Vành và môđun hầu cohen macaulay

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THANH TÙNG

VÀNH VÀ MÔĐUN HẦU COHEN-MACAULAY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THANH TÙNG

VÀNH VÀ MÔĐUN HẦU COHEN-MACAULAY
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2019
i


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bị

trùng lặp với các luận văn trước đây. Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành
luận văn là các nguồn tài liệu mở. Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã
được ghi rõ nguồn gốc.
Thái nguyên, tháng 5 năm 2019
Người viết Luận văn

Phạm Thanh Tùng

Xác nhận
của trưởng khoa chuyên môn

Xác nhận
của người hướng dẫn khoa học

TS. Trần Nguyên An

iii


Mục lục

Trang bìa phụ

i

Lời cam đoan

ii
iiiii

Mục lục
Lời nói đầu
Chương 1

1
Kiến thức chuẩn bị

3

1.1 Môđun mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Chuyển phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Chiều của vành và môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 2

Vành và môđun hầu Cohen- Macaulay

13

2.1 Độ sâu và môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2 Vành và môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3 Vành và môđun hầu Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4 Tính hầu Cohen-Macaulay của vành đa thức và vành các chuỗi lũy
thừa hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.5 Tính hầu Cohen-Macaulay qua đồng cấu phẳng . . . . . . . . . . . .

34

2.6 Tính chất (Cn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39

iii
ii


Lời nói đầu
Vành và môđun Cohen-Macaulay là lớp vành và môđun quan trọng trong Đại
số giao hoán, Hình học Đại số, Lý thuyết bất biến và Đại số tổ hợp. Có nhiều lớp
vành và môđun là mở rộng (theo các khía cạnh khác nhau) của lớp vành và môđun
Cohen-Macaulay được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu: vành và môđun
Cohen-Macaulay suy rộng [13], vành và môđun Cohen-Macaulay dãy [12],...
Một mở rộng khác của vành và môđun Cohen-Macaulay nảy sinh từ tính chất
của độ sâu. Trong cuốn sách "Commutative Algebra" [8, (15.C), p.97], Matsumura
đã chỉ ra depth(P, M ) = depth(PP , MP ), với mọi P ∈ Supp(M ). Tuy nhiên Matsumura đã đính chính trong cuốn sách "Commutative ring theory" [9, Exercise 136,
p.132] (xem thêm [3, Lemma 18.1]) bằng yêu cầu chỉ ra ví dụ về vành và iđêan thỏa
depth(P, M ) < depth(PP , MP ). Y. Han trong bài báo "D-rings", Acta Math. Sinica,

4, 1047–1052, 1998 [4], đã định nghĩa vành R thỏa mãn depth(P, R) = depth(PP , RP ),
với mọi P ∈ Spec(R) mà ông gọi là "D-ring". M.C. Kang trong bài báo "Almost
Cohen-Macaulay", Comm. Algebra, 29(2), 781-787, 2001 [6], đã định nghĩa tổng
quát cho môđun và đổi tên thành môđun hầu Cohen-Macaulay. Định nghĩa của
M. C. Kang như sau
Cho R là một vành Noether giao hoán M = 0 là R-môđun hữu hạn sinh. Môđun
M được gọi là hầu Cohen-Macaulay nếu depth(P, M ) = depth(PP , MP ), với mọi
P ∈ Supp(M ). Vành R được gọi là hầu Cohen-Macaulay nếu nó là môđun hầu

Cohen-Macaulay trên chính nó.
Mục đích của luận văn là tìm hiểu về lớp vành và môđun hầu Cohen-Macaulay
dựa trên 2 bài báo
1. M. C. Kang (2001), "Almost Cohen-Macaulay", Comm. Algebra, 29(2), 781787.
2. C. Ionescu (2015), "More properties of almost Cohen-Macaulay rings", J.

1


Comm. Algebra, 3, 363-372.
Luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn
bị về môđun mở rộng, chuyển phẳng, chiều của vành và môđun. Chương 2 trình
bày về vành và môđun hầu Cohen-Macaulay. Để thấy được mối liên hệ với lớp vành
và môđun Cohen-Macaulay trong chương này luận văn trình bày khá chi tiết một
số kết quả về dãy chính quy, độ sâu và môđun Cohen-Macaulay. Tài liệu tham khảo
chính của mục này là [2], [9]. Mục tiếp theo trình bày định nghĩa và một số tính
chất cơ bản của vành và môđun hầu Cohen-Macaulay. Tính hầu Cohen-Macaulay
khi chia cho một phần tử, của vành đa thức, vành các chuỗi lũy thừa hình thức,
qua chuyển phẳng, đầy đủ hóa, đặc trưng tính hầu Cohen-Macaulay qua hệ tham
số, qua điều kiện (Ck ), .... được trình bày ở các mục tiếp theo của chương.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Nguyên
An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Nhân
dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách
đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã
dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học
và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên
tôi vượt qua những khó khăn trong học tập.
Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,
Khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ
tôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình.
Thái nguyên, ngày 10 tháng 5 năm 2019
Người viết Luận văn

Phạm Thanh Tùng

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong toàn bộ chương này ta luôn giả thiết R là một vành giao hoán.

1.1

Môđun mở rộng

Để định nghĩa khái niệm môđun mở rộng, trước hết ta đưa ra khái niệm giải
tự do của môđun.
Định nghĩa 1.1.1. Cho M là một R-môđun. Một giải xạ ảnh (tự do) của M là
một phức của các môđun xạ ảnh P• và ánh xạ π : P0 → M sao cho
d2

d1

π

. . . −−−→ P2 −−−→ P1 −−−→ P0 −−−→ M −−−→ 0

là một dãy khớp.
Ví dụ 1.1.2. Xét Z2 như một Z-môđun. Khi đó một giải xạ ảnh của Z2 là
j

p

··· → 0 → Z →
− Z→
− Z2 → 0

trong đó j là phép nhân 2 và p là phép chiếu tự nhiên.
Mệnh đề 1.1.3. Mỗi môđun M có một giải tự do.
Chứng minh. Chọn F0 là một R-môđun tự do sao cho có một toàn cấu α : F0 → M.
Đặt
S1 = Ker(F0 → M ) = Ker α.
3


Chọn F1 là một môđun tự do sao cho có một toàn cấu p1 : F1 → S1 . Đặt
d1 = j1 p1 : F1 → F0 , trong đó j1 : S1 → F0 là phép nhúng tự nhiên.Vì p1 là

toàn cấu nên Im d1 = j1 (p1 (F1 )) = j1 (Ker α) = Ker α. Tương tự như vậy ta tiếp tục
đặt
Si+1 = Ker(Fi → Si ).

với Fi là các môđun tự do. Khi đó ta có thể viết quy nạp thành các dãy khớp
0 −−−→ S1

−−−→ F0 −−−→ M −−−→ 0,

0 −−−→ Si+1 −−−→ Fi −−−→ Si −−−→ 0

Đặt dãy khớp ngắn ở trên với nhau sao cho mỗi Si nối với một dãy khớp ngắn, ta
có
0

0
S2

...

F1

d2

F0

d1

α

M

0

S1

0

0

Từ đó ta có một giải tự do của M
d2

d1

α

· · · → F3 −→ F2 −→ F0 −
→ M → 0,

trong đó mỗi Fi là một R-môđun.
Hệ quả 1.1.4. Mỗi R-môđun M đều có một giải xạ ảnh.
Định nghĩa 1.1.5. Cho M là R-môđun. Một giải nội xạ của M là một phức của
các môđun nội xạ E• và ánh xạ i : M → E0 sao cho dãy
i

d0

d1

0 −−−→ M −−−→ E 0 −−−→ E 1 −−−→ E 2 −−−→ . . .

là khớp.
Ví dụ 1.1.6. Một giải nội xạ của Z-môđun Z là
0 → Z → Q → Q/Z → 0 → 0 → · · ·
4


Định lý 1.1.7. Mọi R-môđun có thể nhúng vào một R-môđun nội xạ.
Mệnh đề 1.1.8. Mỗi R-môđun có một giải nội xạ.
Chứng minh. Thật vậy, cho M là R-môđun, theo Định lí 1.1.7 tồn tại R- môđun
nội xạ E 0 và đơn cấu i : M → E i . Đặt C 1 = Coker(M → E 0 ). Tiếp tục như vậy
giả sử ta xây dựng được R- môđun C i . Tồn tại E i là R-môđun nội xạ và đơn cấu
C i → E 0 . Đặt C i+1 = Coker(C i → E i ). Ta có các dãy khớp sau

0 −−−→ M −−−→ E 0 −−−→ C 1

−−−→ 0

0 −−−→ C i −−−→ E i −−−→ C i+1 −−−→ 0

Sắp xếp lại các dãy khớp trên ta được
0

0
C2

0

M

i

d0

E0

E1

d1

...

C1

0

0

Do đó ta nhận được một giải nội xạ của M .
Định nghĩa 1.1.9. Xét một giải xạ ảnh bất kì của R-môđun M
d2

d1

π

. . . −−−→ P2 −−−→ P1 −−−→ P0 −−−→ M −−−→ 0

Tác động hàm tử HomR (−, N ) vào giải trên ta được phức HomR (P• , N )
d∗

d∗

d∗

0
1
2
0 −−−
→ HomR (P0 , N ) −−−
→ HomR (P1 , N ) −−−
→ HomR (P2 , N ) −−−→ . . .

trong đó d∗0 = 0. Ta định nghĩa

ExtiR (M, N ) = H i (HomR (P• , N )) =

Ker(d∗i+1 )
.
Im(d∗i )

Mệnh đề 1.1.10. Định nghĩa ExtiR (M, N ) không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ
ảnh của M .
5


Định nghĩa 1.1.11. Xét một giải nội xạ bất kì của R-môđun M
i

d0

d1

0 −−−→ N −−−→ E 0 −−−→ E 1 −−−→ E 2 −−−→ . . .

Tác động HomR (M, −) ta có phức HomR (M, E • )
d−1

d0

d1

∗
∗
∗

0 −−−
→ HomR (M, E 0 ) −−−
→ HomR (M, E 1 ) −−−
→ HomR (M, E 2 ) −−−→ . . .

trong đó d−1
∗ = 0. Ta định nghĩa
Ker(di∗ )
.
Im(d∗i−1 )

extiR (M, N ) = H i (HomR (M, E • )) =

Mệnh đề 1.1.12. Định nghĩa extiR (M, N ) không phụ thuộc vào việc chọn giải nội
xạ của M .
Mệnh đề 1.1.13. Ta có ExtiR (M, N ) ∼
= extiR (M, N ) với mọi i.
Chú ý 1.1.14. Do ExtiR (M, N ) ∼
= extiR (M, N ) nên ta đồng nhất chúng và gọi là
môđun mở rộng thứ i của M và N , kí hiệu ExtiR (M, N ).
Mệnh đề 1.1.15. Cho dãy khớp của các R-môđun
0 → M → M → M → 0.

Ta có dãy khớp dài của các môđun Ext

0

HomR (M , N )

HomR (M, N )

δ1

Ext1R (M , N )

...

HomR (M , N )
Homn−1
R (M , N )

δn−1

ExtnR (M , N )

ExtnR (M, N )

Extn+1
R (M , N )

Extn+1
R (M, N )

δn−1

ExtnR (M , N )
Extn+1
R (M , N )

Mệnh đề 1.1.16. Cho một dãy khớp của các R-môđun,
0 → N → N → N → 0.

6

...


Ta có dãy khớp dài của các môđun Ext

...

Extn−1
R (M, N )
ExtnR (M, N

)

Extn+1
R (M, N

)

Extn−1
R (M, N )

Homn−1
R (M, N )

δn−1
n
ExtR (M, N )

ExtnR (M, N )

δn
n+1
ExtR (M, N )

Extn+1
R (M, N )

...

Sau đây, ta nêu ra một số tính chất của môđun mở rộng.
Mệnh đề 1.1.17. Cho M , N là các R-môđun. Khi đó:
Ext0R (M, N ) ∼
= Hom(M, N ).

Mệnh đề 1.1.18. Cho R là vành Noether, M, N là các R−môđun hữu hạn sinh.
Khi đó ExtiR (M, N ) cũng là các môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0.
Mệnh đề 1.1.19. (Xem [10], Th. 7.16) Cho M, N là các môđun trên vành R và x
x

x

là phần tử thuộc R. Xét ánh xạ ϕ : M −→ M (hoặc N −→ N ), khi đó tồn tại ánh
x

xạ cảm sinh ϕ∗ : ExtiR (M, N ) −→ ExtiR (M, N ).

1.2

Chuyển phẳng

Cho M là R-môđun, kí hiệu A là dãy các R-môđun và R-đồng cấu
fi+1

fi

A : · · · → Ni −→ Ni+1 −−→ Ni+2 → · · ·
Ta cũng kí hiệu A ⊗R M hoặc đơn giản là A ⊗ M cho dãy cảm sinh sau
A ⊗R M : · · · → Ni ⊗R M → Ni+1 ⊗R M → Ni+2 ⊗R M → · · ·
Định nghĩa 1.2.1. R-môđun M được gọi là môđun phẳng trên R hoặc R-phẳng
nếu với mỗi dãy khớp A ta có dãy A ⊗R M là dãy khớp. Nếu mỗi dãy A là khớp
khi và chỉ khi A ⊗R M là khớp thì M được gọi là môđun phẳng hoàn toàn trên R
hoặc R-phẳng hoàn toàn.

7


Nhận xét 1.2.2. Vì dãy khớp dài A đều có thể chẻ ra thành các dãy khớp ngắn
có dạng
0 → N1 → N2 → N3 → 0

nên để kiểm tra một môđun là phẳng ta chỉ cần xét dãy khớp ngắn. Do hàm tử
tenxơ là khớp phải nên ta chỉ cần xét dãy khớp
A : 0 → N1 → N2
và kiểm tra tính khớp của dãy A ⊗R M : 0 → N1 ⊗R M → N2 ⊗R M.
Cho f : R → S là đồng cấu giữa các vành R và S . Khi đó S được gọi là R-đại
số. Hơn nữa, S được xem như một R-môđun với phép nhân vô hướng cho bởi
rr = f (r)r với mỗi r ∈ R, r ∈ S .

Định nghĩa 1.2.3. Cho f : R → S là đồng cấu vành.
(i) Nếu S là phẳng như một R-môđun thì f được gọi là đồng cấu phẳng và S
được gọi là R-đại số phẳng.
(ii) Nếu S là phẳng hoàn toàn như một R-môđun thì f được gọi là đồng cấu
phẳng hoàn toàn và S được gọi là R-đại số phẳng hoàn toàn.
Ví dụ 1.2.4.

Vành các thương S −1 R là một R-phẳng. Thật vậy, ánh xạ tự nhiên

f : R → S −1 R cho bởi r → r/1 với mỗi r ∈ R là đồng cấu vành. Vì thế, S −1 R là
R-đại số. Giả sử 0 → N1 → N2 là dãy khớp các R-môđun. Ta có dãy các R-môđun

sau là khớp
0 → S −1 N1 → S −1 N2 .

Vì N ⊗R S −1 R ∼
= S −1 N nên ta có dãy khớp
0 → N1 ⊗R S −1 R → N2 ⊗R S −1 R.

Vậy S −1 R là R-đại số phẳng và f là đồng cấu phẳng.
Mệnh đề 1.2.5. Cho S là R-đại số, M là S -môđun. Khi đó,
(i) Nếu S là R-phẳng và M là S -phẳng thì M là R-phẳng.
8


(ii) Nếu S là R-phẳng hoàn toàn và M là S -phẳng hoàn toàn thì M là R-phẳng
hoàn toàn.
(iii) Nếu M là S -phẳng hoàn toàn và đồng thời là R-phẳng thì S là R- phẳng.
(iv) Nếu M đồng thời là R và S -phẳng hoàn toàn thì S là R-phẳng hoàn toàn.

Hệ quả 1.2.6. Cho R, R , R là các vành, f : R → R và g : R → R là các đồng
cấu vành. Đặt h = g ◦ f : R → R . Khi đó
(i) Nếu f, g là các đồng cấu phẳng thì h cũng là đồng cấu phẳng.
(ii) Nếu f, g là các đồng cấu phẳng hoàn toàn thì h cũng là đồng cấu phẳng hoàn
toàn.
(iii) Nếu h là đồng cấu phẳng và g là đồng cấu phẳng hoàn toàn thì f là đồng
cấu phẳng.
Mệnh đề 1.2.7. Cho R là R-đại số, M là R-môđun. Khi đó,
(i) Nếu M là R-phẳng thì M ⊗R R là R -phẳng.
(ii) Nếu M là R-phẳng hoàn toàn thì M ⊗R R là R -phẳng hoàn toàn.
Định lý 1.2.8. Cho M là một R-môđun. Khi đó các khẳng định sau là tương
đương:
(i) M là phẳng hoàn toàn trên R.
(ii) M là R-phẳng và N ⊗R M = 0 với mọi R-môđun N khác 0.
(iii) M là R-phẳng và mM = M với mọi iđêan cực đại m của R.

1.3

Chiều của vành và môđun

Trong mục này ta tìm hiểu về chiều Krull của vành và môđun.
Định nghĩa 1.3.1. Một dãy p0 ⊆ p1 ⊆ ... ⊆ pn các iđêan nguyên tố của R thỏa
mãn điều kiện pi = pi+1 với mọi i được gọi là một dãy iđêan nguyên tố độ dài n
của R. Chiều Krull của vành R là cận trên đúng của tất cả độ dài của dãy các
iđêan nguyên tố trong R. Chiều Krull của R được kí hiệu là dim R.

9


Một vành giao hoán R được gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các iđêan

của R đều dừng. Chú ý rằng R là vành Noether nếu và chỉ nếu mọi iđêan của R
là hữu hạn sinh. Một vành giao hoán R được gọi là vành Artin nếu mọi dãy giảm
các iđêan của R đều dừng. Chú ý rằng nếu R là vành Artin thì R là vành Noether
và mỗi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan tối đại.
Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết nếu tồn tại
một phần tử m ∈ M sao cho p = AnnR m. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M
được kí hiệu là AssR M. Chú ý rằng tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR M
chính là tập các iđêan tối thiểu trong AssR M. Vì thế ta có công thức tính chiều
qua chiều của các iđêan nguyên tố liên kết như sau.
Bổ đề 1.3.2. dim M = dim R/ AnnR M = max{dim(R/p)|p ∈ AssR M }.
Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính chiều của vành đa thức (xem [9, Theorem
15.4]).
Mệnh đề 1.3.3. dim R[X1 , . . . , Xn ] = n + dim R.
∞

ai xi | ai ∈ R, ∀i . Mỗi phần tử của R[[x]] được gọi là một

Đặt R[[X]] =
i=0

chuỗi lũy thừa hình thức của biến X với hệ số trong R. Định nghĩa phép cộng
∞

∞
i

ai X +
i=0

∞

i

(ai + bi )X và phép nhân

bi X =
i=0

∞
i

i=0

trong đó ck =

∞

ai X
i=0

i

∞
j

ck X k ,

bj X =
j=0

k=0

ai bj . Khi đó R[[X]] là một vành giao hoán Noether, được gọi
i+j=k

là vành các chuỗi lũy thừa hình thức của biến X trên R. Khi (R, m) là vành địa
phương với iđêan tối đại duy nhất m thì R[[X]] cũng là vành địa phương với iđêan
tối đại duy nhất
∞

ai X i ∈ R[[X]], a0 ∈ m .

n=
i=0

Vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến X1 , . . . , Xn với hệ số trên R, kí hiệu là
R[[X1 , . . . , Xn ]], được định nghĩa tương tự.

Mệnh đề sau đây cho phép ta tính được chiều của vành các chuỗi lũy thừa hình
thức (xem [9, Theorem 15.4]).

10


Mệnh đề 1.3.4. dim R[[X1 , . . . , Xn ]] = n + dim R.
Ví dụ 1.3.5. (i) Tính chiều của vành Z[X, Y, Z]/I với I = (X 2 , Y ) ∩ (Z 3 ). Đặt
R = Z[X, Y, Z]. Ta có dim R = 3 + dim Z = 4. Chú ý rằng AssR (R/I) = {(X, Y ), (Z)}.

Suy ra
dim(R/I) = max{dim(R/(X, Y )), dim(R/(Z))} = 3.

(ii) Tinh chiều của vành R[[X, Y, Z, T ]]/J với J = (X, Y 2 , Z)∩(Y, Z 3 , T 5 ). Đặt R =
R[[X, Y, Z, T ]]. Khi đó dim R = 4+dim R = 4. Ta có AssR (R/J) = {(X, Y, Z), (Y, Z, T )}.
Suy ra
dim(R/J) = max{dim R/(X, Y, Z), dim(R/(Y, Z, T )} = 1.

Nhắc lại rằng một vành Noether R được gọi là vành địa phương nếu nó có duy
nhất một iđêan tối đại. Từ nay đến hết tiết này, luôn giả thiết (R, m) là vành địa
phương với m là iđêan tối đại duy nhất. Cho I là iđêan thực sự của R. Ta nói rằng
√
I là iđêan nguyên sơ nếu ab ∈ I và a ∈
/ I kéo theo b ∈ I với mọi a, b ∈ R. Chú ý
√
rằng nếu I là iđêan nguyên sơ thì p = I là iđêan nguyên tố. Trong trường hợp

này ta gọi I là iđêan p-nguyên sơ. Định lí sau đây cho ta 2 bất biến tương đương
với chiều Krull của M .
Định lý 1.3.6. ([Mat, Định lí 13.4]). Cho q là một iđêan m-nguyên sơ. Khi đó
R (M/q

nM )

là một đa thức với hệ số hữu tỉ khi n đủ lớn và
dim M = deg

R (M/q

n

M)

(1.1)

= δ(M )
= inf{t|∃x1 , ..., xt ∈ m,

R (M/(x1 , ..., xt )M )

< ∞}.

Vì R là vành Noether nên m là iđêan hữu hạn sinh. Do đó tồn tại hữu hạn
phần tử x1 , ..., xt thuộc m sao cho m = (x1 , ..., xt )R. Vì
suy ra

R (M/(x1 , ..., xt )M )

R (M/mM )

< ∞ nên ta

< ∞. Do đó theo Định lí 1.1.5 ta có dim M

t. Suy ra

dim M < ∞. Do đó từ đây ta luôn giả thiết rằng dim M = d.

Định nghĩa 1.3.7. Một hệ (x1 , ..., xd ) ⊆ m được gọi là một hệ tham số của M nếu
R (M/(x1 , ..., xd )M )

< ∞. Một hệ (x1 , ..., xr ) ⊆ m với r ≤ d được gọi là một phần hệ
11

tham số của M nếu tồn tại các phần tử xr+1 , ..., xd sao cho (x1 , ..., xd ) là một hệ
tham số của M .
Hệ quả 1.3.8. Giả sử r ≤ d. Khi đó dim(M/(x1 , ..., xr )M ) ≥ d−r với mọi x1 , ..., xr ∈
m. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x1 , ..., xr ) là một phần hệ tham số của M .
Ví dụ 1.3.9. Với R = K[[X, Y, Z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức 3 biến với
hệ số trên một trường K , ta có dim R = 3, (X, Y 2 ) là phần hệ tham số của R vì
(X, Y 2 , Z) là hệ tham số của R. Tuy nhiên (X 3 + Y 3 , X 2 − Y 2 ) không là phần hệ

tham số của R vì dim(R/(X 3 + Y 3 , X 2 − Y 2 )R) = 2.

12


Chương 2
Vành và môđun hầu CohenMacaulay
Trong toàn bộ chương này, ta giả thiết R là vành giao hoán Noether, M là
R-môđun.

2.1

Độ sâu và môđun Cohen-Macaulay

Cho M là một môđun trên vành R. Ta nói x ∈ R là một phần tử M -chính quy
nếu xz = 0 với z ∈ M thì z = 0. Tức là x không là một ước của không trên M hay
x

phép nhân M −→ M là đơn cấu. Khi đó Dãy chính quy được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 2.1.1. Một dãy các phần x1 , ..., xn của R được gọi là M -dãy chính

quy hay M -dãy nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) xi là M/(x1 , ..., xi−1 )M -chính quy với i = 1, ..., n, tức là với mỗi 1 ≤ i ≤ n,
xi

M/(x1 , ..., xi−1 )M −−→ M/(x1 , ..., xi−1 )M

là một đơn ánh.
(ii) M/(x1 , ..., xn )M = 0, tức là M = (x1 , ..., xn )M .
Một dãy được gọi là M -dãy yếu nếu thỏa mãn điều kiện (i).
Khi tất cả các xi nằm trong một iđêan I của R ta nói x1 , ..., xn là một M -dãy
chính quy trong I .
13


Khi M = R thì x1 , ..., xn là R-dãy nếu và chỉ nếu (x1 , ..., xn ) là iđêan thực sự của
R, và với mỗi i = 1, ..., n xi không phải ước của không trên R/(x1 , ..., xi−1 ).

Giả sử R là một vành địa phương với iđêan cực đại m và M = 0 là R-môđun
hữu hạn sinh. Nếu (x1 , ..., xn ) ⊆ m thì theo Bổ đề Nakayama ta có (ii) luôn thỏa
mãn. Vậy (x1 , ..., xn ) là dãy chính quy nếu và chỉ nếu với mỗi 1 ≤ i ≤ n, xi là
M/(x1 , ..., xi−1 )M -chính quy. Với mỗi R-môđun M ta kí hiệu
ZDR (M ) = {a ∈ R | tồn tại 0 = x ∈ M sao cho ax = 0}

là tập các ước của 0 trên M . Khi vành cơ sở đã rõ ta kí hiệu tập này là ZD(M ).
Ta có
p.

ZD(M ) =
p∈AssR (M )

Bổ đề 2.1.2. Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Nếu iđêan
I ⊆ R gồm các ước không của M , thì tồn tại p ∈ Ass M , I ⊆ p.

Chứng minh. Nếu I ⊂ p với mọi p ∈ Ass M , thì theo định lý tránh nguyên tố tồn
tại x ∈ I với x ∈
/ p với mọi p ∈ Ass M . Ta có x là M -chính quy. Điều vô lý này
chứng tỏ bổ đề được chứng minh.
Từ trên ta dễ thấy đặc trưng sau của phần tử chính quy.
Bổ đề 2.1.3. Cho R là vành Noether và M là R- môđun hữu hạn sinh, x ∈ R. Khi
đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) x là phần tử M -chính quy;
(ii) x ∈
/ p, với mọi p ∈ Ass(M ).
Ví dụ 2.1.4. Cho R là vành, đặt S := R[X1 , ..., Xn ] là vành đa thức n biến X1 , ..., Xn .
Ta có đẳng cấu S/(X1 , ..., Xi−1 ) ∼
= R[Xi , ..., Xn ], mà Xi là R[Xi , ..., Xn ]-chính quy nên
X1 , ..., Xn là S -dãy.

Mệnh đề 2.1.5. Cho (x1 , ..., xn ) ⊆ R một M -dãy yếu. Giả sử ϕ : R → S là
đồng cấu vành, N là S -môđun và R-môđun phẳng. Khi đó (x1 , ..., xn ) ⊆ R và
(ϕ(x1 ), ..., ϕ(xn )) ⊆ S là (M ⊗R N )-dãy yếu. Nếu (x1 , ..., xn )(M ⊗R N ) = M ⊗R N , thì
(x1 , ..., xn ) và (ϕ(x1 ), ..., ϕ(xn )) là (M ⊗R N )-dãy.
14


Chứng minh. Ta có ϕ(xi )(M ⊗R N ) = xi (M ⊗R N ) nên ta chỉ cần xét (x1 , ..., xn ).
Phép nhân x1 : M → M là đơn ánh nên phép nhân x1 ⊗ N cũng là đơn ánh vì N
là R-môđun phẳng. Lại có phép nhân bởi x1 ⊗ N là phép nhân bởi x1 trên M ⊗ N .
Do đó x1 là phần tử (M ⊗ N )-chính quy. Tiếp theo ta có (M ⊗ N )/x1 (M ⊗ N ) ∼
=

(M/x1 M ) ⊗ N .

Trường hợp quan trọng của Mệnh đề 2.1.5 được trình bày trong bổ đề sau.
Trước hết ta nhắc lại đầy đủ hóa của môđun. Một dãy (xn ) = (xn )n∈N ⊆ R được
gọi là một dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số
tự nhiên n0 sao cho xn − xm ∈ mk với mọi n, m ≥ n0 . Dãy (xn ) ⊆ R được gọi là
dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số n0 sao cho xn ∈ mk với mọi
n ≥ n0 . Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai

dãy Cauchy (xn ), (yn ) được gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn ) là dãy không. Kí
hiệu R là tập các lớp tương đương. Chú ý rằng quy tắc cộng (xn ) + (yn ) = (xn + yn )
và quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn các đại diện của
các lớp tương đương. Vì thế nó là các phép toán trên R và cùng với hai phép toán
này, R làm thành một vành Noether địa phương với iđean tối đại duy nhất là mR.
Vành R vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R. Một dãy
(zn ) ⊆ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước,

tồn tại n0 sao cho zn − zm ∈ mk M. Từ khái niệm dãy Cauchy như trên, tương tự ta
định nghĩa được khái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành R. Môđun
này được kí hiệu là M . Theo [9, Theorem 8.7, Theorem 8.8] R → R là mở rộng
phẳng và M = M ⊗ R. Giả sử (R, m, k), là vành địa phương, ta ký hiệu k = R/m là
trường thặng dư của R.
Hệ quả 2.1.6. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và x1 , ..., xn
là M -dãy.
(i) Giả sử iđêan nguyên tố p ∈ Supp M chứa x1 , ..., xn . Khi đó x1 , ..., xn (như một
dãy trong Rp ) là Mp -dãy.
(ii) Giả sử R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m. Khi đó (x1 , ..., xn )
15

(như một dãy trong R) là M -dãy.
Chứng minh. Ta có R → Rp và R → R là phẳng. Do đó
(i) Theo giả thiết Mp = 0, và theo Bổ đề Nakayama suy ra Mp = pMp . Do đó
(x1 , ..., xn )Mp = Mp .

(ii) Chú ý M = M ⊗ R là một R- môđun hữu hạn sinh.
Mệnh đề 2.1.7. Cho R là một vành, M là R-môđun và (x1 , ..., xn ) là M -dãy yếu.
Khi đó dãy khớp R-môđun
ϕ2

ϕ1

ϕ0

N2 → N1 → N0 → M → 0

(2.1)

cảm sinh dãy khớp
ϕ2

ϕ1

ϕ0

N2 /(x1 , ..., xn )N2 → N1 /(x1 , ..., xn )N1 → N0 /(x1 , ..., xn )N0 → M/x1 , ..., xn )M → 0.

(2.2)
Chứng minh. Bằng quy nạp ta chỉ cần chứng minh với n = 1, ký hiệu x thay cho x1 .
Lấy tenxơ dãy (2.1) với R/(x) Vì tích tenxơ là hàm tử khớp bên phải nên ta chỉ cần

thử lại tại N1 /xN1 . Ta có ϕ1 ϕ2 = 0 nên Im ϕ2 ⊆ Ker ϕ1 . Ký hiệu y cho y +xN1 , tương
tự ký hiệu lớp thặng dư trong môđun thương tương ứng. Giả sử y ∈ Ker ϕ1 hay
ϕ1 (y) = 0. Ta có 0 + xN0 = ϕ1 (y) = ϕ1 (y) = ϕ1 (y) + xN0 . Suy ra ϕ1 (y) = xz, z ∈ N0 .

Kéo theo xz ∈ Im ϕ1 = Ker ϕ0 hay xϕ0 (z) = 0. Theo giả thiết x là M - chính quy
nên ta có ϕ0 (z) = 0; do đó ∃y ∈ N1 với z = ϕ1 (y ). Tức là ϕ1 (y − xy ) = 0. Vì vậy
y − xy ∈ Im ϕ2 và do đó y ∈ Im ϕ2 hay Ker ϕ1 ⊆ Im ϕ2 . Vậy mệnh đề được chứng

minh.
Mệnh đề 2.1.8. Cho R là vành và
ϕm

ϕ0

N• : ... → Nm → Nm−1 → ... → N0 → N−1 → 0

là dãy khớp của R-môđun. Nếu x1 , ..., xn là Ni -chính quy yếu với mọi i thì N• ⊗
R/(x1 , ..., xn ) cũng là dãy khớp.

16


Chứng minh. Bằng quy nạp theo n, ta chỉ cần xét x = x1 . Vì x là Ni -chính quy
nên x cũng là Im ϕi+1 -chính quy. Vì vậy ta có thể áp dụng Mệnh đề 2.1.7 với mỗi
dãy khớp
Ni+3 → Ni+2 → Ni+1 → Imϕi+1 → 0.

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ sau chứng tỏ hoán vị của dãy chính quy không là dãy chính quy.
Ví dụ 2.1.9. Chú ý rằng khái niệm M -dãy chính quy phụ thuộc vào vị trí các phần

tử trong dãy, chẳng hạn xét trong trường K và A = K[X1 , X2 , X3 ] thì X1 , X2 (1 −
X1 ), X3 (1 − X1 ) là A-dãy. Nhưng X2 (1 − X1 ), X3 (1 − X1 ), X1 lại không phải A−dãy.

Thật vậy, trước hết ta thấy rằng X1 ∈
/ ZD(A) và (X1 ), (X1 , X2 (1 − X1 )) = (X1 , X2 )
là các iđêan nguyên tố của A. Khi đó nếu h · X2 (1 − X1 ) ∈ (X1 ), do X2 (1 − X1 ) ∈
/ (X1 )
nên h ∈ (X1 ) tức là X2 (1 − X1 ) là A/(X1 )−chính quy. Tương tự, nếu h · X3 (1 − X1 ) ∈
(X1 , X2 (1 − X1 )), do X3 (1 − X1 ) ∈
/ (X1 , X2 (1 − X1 )) nên h ∈ (X1 , X2 (1 − X1 )), tức

là X3 (1 − X1 ) là A/(X1 , X2 (1 − X1 ))-chính quy. Từ đó X1 , X2 (1 − X1 ), X3 (1 − X1 ) là
A−dãy.

Nhưng X2 (1 − X1 ), X3 (1 − X1 ), X1 không phải A-dãy. Vì X2 ∈
/ (X2 (1 − X1 )) nhưng
X2 (1 − X1 )X3 ∈ (X2 (1 − X1 )) tức là X3 (1 − X1 ) ∈ ZD(A/(X2 (1 − X1 ))).

Tuy nhiên với điều kiện vành Noether, địa phương thì dãy chính quy hoán vị
được.
Mệnh đề 2.1.10. Cho R là vành Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn
sinh và x = x1 , ..., xn là M -dãy. Khi đó mỗi hoán vị của x1 , ..., xn cũng là M - dãy.
Chứng minh. Mỗi hoán vị là tích của chuyển vị của các phần tử. Do đó ta chỉ
cần chứng minh x1 , ..., xi+1 , xi , ..., xn là M -dãy. Giả thiết của mệnh đề thỏa mãn với
M = M/(x1 , ..., xi−1 )M và xi , ..., xn là M -dãy. Do đó ta chỉ cần xét i = 1 và chứng

tỏ x2 , x1 là M - dãy.
Giả sử x1 , x2 là M - dãy và ký hiệu hạt nhân của phép nhân bởi x2 trên M là
x2

K , tức là K = 0 :M x2 . Giả sử z ∈ K . Khi đó vì M/x1 M −→ M/x1 M là đơn cấu và
17


x2 z = 0 ta có z ∈ x1 M, z = x1 z và x1 (x2 z ) = x2 z = 0. Do đó x2 z = 0 và z ∈ K .

Chứng tỏ K = x1 K suy ra K = 0 theo Bổ đề Nakayama. Dễ dàng chứng minh được
x1 là chính quy trên M/x2 M .

Tiếp theo ta sẽ trình bày một số tính chất khác của M -dãy. Trước hết ta chứng
minh lũy thừa của dãy chính quy là dãy chính quy.
Bổ đề 2.1.11. Cho R là vành và M là R-môđun hữu hạn sinh. Giả sử x1 , ..., xr là
M -dãy các phần tử trong R và
x1 ξ1 + ... + xr ξr = 0,

ξi ∈ M.

Khi đó ξi ∈ (x1 , ..., xr )M với mọi i = 1, ..., r.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo r. Với r = 1 ta có x1 ξ1 = 0. Vì
x1 , ..., xr là dãy chính quy nên x1 là M -chính quy, suy ra ξ1 = 0. Với r > 1, ta có
r−1

−xr ξr =

xi ξi ∈ (x1 , ..., xr−1 )M.
i=1

Mà xr là M/(x1 , ..., xr−1 )M -chính quy nên ξr ∈ (x1 , ..., xr−1 )M , tức là ξr =

r−1

i=1 xi ηi

và
r−1

−xr

r−1

xi ξi ⇔

xi ηi =
i=1

r−1

i=1

xi (ξi + xr ηi ) = 0.
i=1

Theo giả thiết quy nạp, với i < r ta có ξi + xr ηi ∈ (x1 , ..., xr−1 )M , do đó ξi ∈
(x1 , ..., xr )M.

Định lý 2.1.12. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và x1 , ..., xr ∈
R là một M -dãy chính quy. Khi đó với mọi υ1 , ..., υr là các số nguyên dương, dãy
xυ1 1 , ..., xυr r là M -chính quy.

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh xυ1 , x2 , ..., xr là M -chính quy, bởi vì khi đó
x2 , ..., xr sẽ là M/xυ1 M -chính quy và ta lặp lại lập luận trên. Ta chứng minh bằng

quy nạp theo υ và r. Quy nạp theo υ (quy nạp 1), với trường hợp υ = 1 hiển
nhiên đúng. Với υ > 1 và giả sử rằng xυ−1
1 , x2 , ..., xr là M -chính quy, ta chứng minh
xυ1 , x2 , ..., xr là M -dãy bằng quy nạp theo r (quy nạp 2). Hiển nhiên xυ1 là M -chính
18


quy. Với r > 1 và giả sử xυ1 , x2 , ..., xr−1 là một M -dãy chính quy. Ta chứng minh nếu
xr ω ∈ (xυ1 , x2 , ...xr−1 )M thì ω ∈ (xυ1 , x2 , ..., xr−1 )M .

Thật vậy, xr ω ∈ (xυ1 , x2 , ...xr−1 )M nên
xr ω = xυ1 ξ1 + ... + xr−1 ξr−1 = xυ−1
1 (x1 ξ1 ) + ... + xr−1 ξr−1 ,

từ đó xr ω cũng nằm trong (x1υ−1 , x2 , ..., xr−1 )M , theo giả thiết quy nạp 1 suy ra
ω ∈ (xυ−1
1 , ..., xr−1 )M , tức là
ω = xυ−1
1 η1 + ... + xr−1 ηr−1 .

(∗)

υ
Từ đó xr (xυ−1
1 η1 + ... + xr−1 ηr−1 ) = x1 ξ1 + ... + xr−1 ξr−1 hay

xυ−1
1 (xr η1 − x1 ξ1 ) + x2 (xr η2 − ξ2 ) + ... + xr−1 (xr ηr−1 − ξr−1 ) = 0.

Theo Bổ đề 2.1.11 ta có xr η1 − x1 ξ1 ∈ (xυ−1
1 , x2 , ..., xr−1 )M ⊆ (x1 , ..., xr−1 )M , do
đó xr η1 ∈ (x1 , ..., xr−1 )M . Mà x1 , ..., xr là M -dãy nên η1 ∈ (x1 , ..., xr−1 )M và η1 =
x1 γ1 + ... + xr−1 γr−1 , từ đó thế vào (∗) ta được
ω =

xυ−1
1 (x1 γ1 + ... + xr−1 γr−1 ) + x2 η2 + ... + xr−1 ηr−1

υ−1
= xυ1 γ1 + x2 (η2 + xυ−1
1 γ2 ) + ... + xr−1 (ηr−1 + x1 γr−1 ).

Suy ra ω ∈ (xυ1 , x2 , ..., xr−1 )M. Từ đó xr là M/(xυ1 , x2 , ..., xr−1 )M -chính quy, theo giả
thiết quy nạp 2 ta được xυ1 , x2 , ..., xr là M -dãy.
Định lý 2.1.13. Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn
sinh. Lấy x1 , ..., xn là M -dãy. Khi đó
dim M/(x1 , ..., xn )M = dim M − n.

Chứng minh. Do xi là M/(x1 , ..., xi−1 )M -chính quy nên ta chỉ cần chứng minh với
trường hợp n = 1 tức là
dim M/xM = dim M − 1,

trong đó x là M -chính quy. Đặt M = M/xM . Trước hết giả sử dim M = r. Theo
Định lý 1.3.6 suy ra r là số nhỏ nhất sao cho tồn tại x1 , ..., xr ∈ m thỏa mãn
(M /(x1 , ..., xr )M ) < ∞ hay (M/(x, x1 , ..., xr )M ) < ∞.
19


Do đó dim M = δ(M ) ≤ r + 1, hay dim(M/xM ) = r ≥ dim M − 1.

Ngược lại, do x là M -chính quy nên x ∈
/ ZD(M ) =

p∈Ass(M ) p

do đó x ∈
/ p với

mọi p ∈ Ass(M ). Mà min Supp(M ) ⊆ Ass(M ) nên x ∈
/ min Supp(M ). Lại có
Supp(M/xM ) = V (Ann(M/xM )) = V (Ann(M ) + (x)),

do đó
Supp(M/xM ) ⊆ Supp(M ) \ min Supp(M ).

Suy ra dim(M/xM ) < dim(M ), tức là dim(M/xM ) ≤ dim(M ) − 1.
Định nghĩa 2.1.14. Cho R là vành Noether và 0 = M là R-môđun hữu hạn sinh.
I là iđêan của R thỏa mãn IM = M . Lấy x1 , ..., xn là M -dãy các phần tử trong I .

Ta nói x1 , ..., xn là M -dãy cực đại trong I nếu không có phần tử b ∈ I nào thỏa
mãn x1 , ..., xn , b là M -dãy có n + 1 phần tử.
Nhận xét 2.1.15. Cho R là vành Noether và 0 = M là R-môđun hữu hạn sinh.
(i) Không tồn tại một dãy vô hạn (xi )∞
i=1 các phần tử của R thỏa mãn, với mọi n ∈ N,
dãy hữu hạn (xi )ni=1 là một M -dãy. Từ đó, mọi M −dãy trong I đều có thể mở rộng
thành M -dãy cực đại trong I . Thật vậy, giả sử có một dãy (xi )∞
i=1 thỏa mãn điều
(x1 , ..., xn , xn+1 ) (do xn+1 ∈
/ (x1 , ..., xn )).

kiện trên. Khi đó ta luôn có (x1 , ..., xn )
Tức là ta có dãy
(x1 )

(x1 , x2 )

...

(x1 , ..., xn )

...

là dãy tăng vô hạn các iđêan trong R. Mâu thuẫn với giả thiết R là Noether.
(ii) Gọi x = x1 , ..., xn là M -dãy, x là M -dãy cực đại trong I khi và chỉ khi I ⊆
ZD(M/(x)M ). Mà

p,

ZD(M/(x)M ) =
p∈Ass(M/(x)M )

và Ass(M/(x)M ) là tập hữu hạn nên theo Định lý tránh nguyên tố thì I nằm trong
một iđêan nguyên tố liên kết nào đó của M/(x)M .
Giả sử I là iđêan chứa trong p ∈ Ass M . Theo định nghĩa, tồn tại 0 = z ∈ M với
p = Ann z . Do đó 1 → z cảm sinh đơn cấu ϕ : R/p → M và vì vậy có ϕ : R/I → M
không là đồng cấu không. Quan sát đơn giản này cho ta kết quả sau:
20


Mệnh đề 2.1.16. Cho R là vành và M, N là các R- môđun. Đặt I = Ann N .

(i) Nếu I chứa phần tử M -chính quy, thì HomR (N, M ) = 0.
(ii) Ngược lại, giả sử R là Noether và M, N là R-môđun hữu hạn sinh. Nếu
HomR (N, M ) = 0 thì I chứa một phần tử M - chính quy.

Chứng minh. (i) Dễ kiểm tra được.
(ii) Giả sử I chỉ chứa các ước của không của M . Áp dụng Bổ đề 2.1.2, tồn
tại p ∈ Ass M sao cho I ⊆ p. Theo giả thiết, p ∈ Supp N . Từ đó theo bổ đề
Nakayama suy ra Np ⊗ k(p) = 0. Vì N hữu hạn sinh Np ⊗ k(p) là tổng trực tiếp
của k(p) = Rp /pRp . Do đó ta có toàn cấu Np → k(P ). Ta có pRp ∈ Ass Mp nên
ta có phép nhúng Rp /pRp −→ Mp . Gọi ϕ là hợp thành hai đồng cấu vừa xác
định. Ta có 0 = ϕ ∈ HomRp (Np , Mp ). Vì HomRp (Np , Mp ) ∼
= HomR (N, M )p suy ra
HomR (N, M ) = 0.

Bổ đề 2.1.17. Cho R là vành, M, N là các R-môđun và x1 , ..., xn là M -dãy yếu
trong Ann N . Khi đó
HomR (N, M/(x1 , ..., xn )M ) ∼
= ExtnR (N, M ).

Chứng minh. Ta quy nạp trên n, với n = 0 bổ đề luôn đúng theo Mệnh đề 1.1.17.
∼
Khi đó theo giả thiết quy nạp suy ra Extn−1
R (N, M ) = HomR (N, M/(x1 , ..., xn−1 )M ).

Ta có xn là (M/(x1 , ..., xn−1 )M )-chính quy. Nên Extn−1
R (N, M ) = 0 theo Mệnh đề
2.1.16.
Lại có dãy khớp
x1

0 → M → M → M/x1 M → 0.

Từ đó tồn tại dãy khớp
ψ

ϕ

n
n
0 → Extn−1
R (N, M/x1 M ) → ExtR (N, M ) → ExtR (N, M ).

Ánh xạ ϕ là phép nhân bởi x1 . Vì x1 ∈ Ann N nên suy ra ϕ = 0. Do đó ψ là đẳng
cấu và áp dụng giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh.

21