Dạy học vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.34 MB, 101 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
ĐẶNG THỊ PHƢƠNG THẢO
DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG
TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
CHO HỌC SINH
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
HÀ NỘI – 2020
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
ĐẶNG THỊ PHƢƠNG THẢO
DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG
TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
CHO HỌC SINH
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MƠN TỐN
Mã số: 8.14.01.11
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
HÀ NỘI – 2020
LỜI CẢM ƠN
Từ thực tiễn có thể thấy, để có được sự thành cơng trong bất kỳ lĩnh vực
nào, ngồi sự nỗ lực, cố gắng của bản thân còn cần sự giúp đỡ, hỗ trợ của
những người xung quanh. Trước hết, tác giả xin phép được gửi lời cảm ơn
chân thành và sâu sắc nhất đến Ban Giám hiệu nhà trường cùng các thầy giáo,
cô giáo của trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã dành nhiều
thời gian, tâm huyết của mình để giúp tác giả mở rộng được kiến thức trong
suốt quá trình được đào tạo tại nhà trường.
Thời gian qua, GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu đã ln nhiệt tình, tận tâm
hướng dẫn và chỉ bảo để tác giả có thể hồn thành luận văn của mình. Qua
các cuộc trao đổi hay làm việc, thầy đã luôn rất chi tiết và cụ thể các nội dung
liên quan đến đề tài để giúp tác giả hoàn thiện được luận văn này. Tác giả xin
được trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy và mong
muốn tiếp tục được thầy giúp đỡ trong những thời gian tiếp theo.
Trong quá trình học tập và đặc biệt là trong thời gian làm luận văn này,
bản thân tác giả cũng đã luôn luôn nhận được sự quan tâm, tạo điều kiện của
đồng nghiệp, bạn bè. Đặc biệt phải kể đến sự chia sẻ của các bạn học viên của
lớp Lý luận và Phương pháp dạy học môn Tốn QH-2017-S hay sự ủng hộ,
khích lệ của các thầy cô cùng công tác với tác giả tại trường THPT Giao Thủy
đã tạo nguồn cổ vũ, động viên to lớn giúp tác giả hoàn thành luận văn này.
Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 09 tháng 01 năm 2020
Tác giả
Đặng Thị Phương Thảo
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 3
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu .......................................................... 3
4. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................... 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 4
6. Giả thuyết khoa học .................................................................................. 4
7. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 4
8. Đóng góp của đề tài................................................................................... 5
9. Cấu trúc của luận văn ................................................................................ 5
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ............... 6
1.1. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu............................................................... 6
1.2. Cơ sở thực tiễn ....................................................................................... 7
1.3. Năng lực và sự phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông . 8
1.3.1. Khái niệm năng lực ......................................................................... 8
1.3.2. Phân loại năng lực .......................................................................... 8
1.3.3. Các năng lực cơ bản cần phát triển cho học sinh trung học phổ
thơng .......................................................................................................... 9
1.3.4. Năng lực tốn học ......................................................................... 10
1.4. Kỹ năng giải toán ................................................................................. 11
1.4.1. Khái niệm kỹ năng......................................................................... 11
1.4.2. Các yếu tố cơ bản ảnh hưởng đến kỹ năng ................................... 12
1.4.3. Kỹ năng giải toán .......................................................................... 12
1.4.4. Căn cứ để hình thành các biện pháp phát triển kỹ năng giải tốn
cho học sinh trung học phổ thơng ........................................................... 13
1.4.5. Các biện pháp chính nhằm phát triển kỹ năng giải tốn cho học
sinh trung học phổ thơng......................................................................... 14
1.4.6. Một số phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển kỹ năng
giải toán cho học sinh ............................................................................. 15
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 .............................................................................. 20
CHƢƠNG 2. DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM
GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
......................................................................................................................... 21
2.1. Hàm lồi, lõm......................................................................................... 21
2.1.1. Hàm đơn điệu ................................................................................ 21
2.1.2. Hàm lồi, lõm .................................................................................. 21
2.1.3. Lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc (1, 2) ........................................... 23
2.2. Tính lồi, lõm của các hàm số lượng giác ............................................. 25
2.2.1. Tính đơn điệu của các hàm số lượng giác .................................... 25
2.2.2. Tính lồi, lõm của hàm số lượng giác ............................................ 26
2.3. Bất đẳng thức lượng giác liên quan đến các góc của tam giác ............ 26
2.3.1. Một số đẳng thức và bất đẳng thức liên quan đến các góc của tam
giác .......................................................................................................... 26
2.3.2. Độ gần đều và sắp thứ tự của một dãy các tam giác .................... 29
2.4. Vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng
giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh.......... 31
2.4.1. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác dạng
đối xứng trong tam giác .......................................................................... 31
2.4.2. Áp dụng bất đẳng thức Jensen ...................................................... 41
2.4.3. Áp dụng bất đẳng thức Karamata ................................................. 49
2.4.4. Áp dụng tính đơn điệu liên tiếp bậc (1,2) ..................................... 53
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 .............................................................................. 60
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................ 61
3.1. Đối tượng thực nghiệm ........................................................................ 61
3.2. Mục đích thực nghiệm ......................................................................... 61
3.3. Nhiệm vụ thực nghiệm ......................................................................... 61
3.4. Nội dung và kế hoạch thực nghiệm ..................................................... 62
3.4.1. Nội dung và kế hoạch thực nghiệm theo thời gian ....................... 62
3.4.2. Triển khai dạy theo chuyên đề thực nghiệm ................................. 63
3.4.3. Đề kiểm tra, đánh giá học sinh ..................................................... 63
3.5. Triển khai thực nghiệm ........................................................................ 64
3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm ............................................................. 64
3.6.1. Kết quả bài kiểm tra, đánh giá...................................................... 64
3.6.2. Kết quả sử dụng bảng quan sát, phiếu đánh giá........................... 68
3.6.3. Kết quả phiếu điều tra ý kiến học sinh .......................................... 70
3.6.4. Tổng hợp, phân tích số liệu và kết luận ........................................ 71
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 .............................................................................. 74
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................... 75
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 75
PHỤ LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
STT
Viết tắt
Viết đầy đủ
1
BĐT
Bất đẳng thức
2
CM
Chứng minh
3
ĐC
Đối chứng
4
GV
Giáo viên
5
HS
Học sinh
6
KN
Kỹ năng
7
KNGT
Kỹ năng giải toán
8
KT
Kiểm tra
9
LG
Lượng giác
10
NL
Năng lực
11
PPDH
Phương pháp dạy học
12
PPDHTC Phương pháp dạy học tích cực
13
SGK
Sách giáo khoa
14
TN
Thực nghiệm
15
TNSP
Thực nghiệm sư phạm
16
THPT
Trung học phổ thông
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Mô tả nội dung và kế hoạch thực nghiệm theo thời gian ............... 62
Bảng 3.2. Mô tả kết quả kiểm tra sau tiến hành thực nghiệm lần 1................ 64
Bảng 3.3. Thống kê tỷ lệ học sinh đạt điểm xi trở xuống lần 1 ...................... 64
Bảng 3.4. Tỷ lệ phân loại học sinh lần 1 ......................................................... 65
Bảng 3.5. Mô tả kết quả kiểm tra sau tiến hành thực nghiệm lần 2................ 66
Bảng 3.6. Thống kê tỷ lệ học sinh đạt điểm xi trở xuống lần 2 ...................... 66
Bảng 3.7. Thống kê tỷ lệ phân loại học sinh đạt lần 2 .................................... 68
Bảng 3.8. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh thông qua
giáo viên lần 1 ................................................................................................. 70
Bảng 3.9. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh thông qua
giáo viên lần 2 ................................................................................................. 70
Bảng 3.10. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh thông
qua giáo viên lần 3 .......................................................................................... 70
Bảng 3.11. Thống kê kết quả đánh giá kỹ năng giải toán của học sinh qua ... 70
điều tra ............................................................................................................. 70
DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1. Đường lũy tích ứng với bài kiểm tra số 1................................... 65
Biểu đồ 3.2. Thống kê phân loại kết quả học tập của học sinh bài kiểm tra số
1 ....................................................................................................................... 65
Biểu đồ 3.3. Đường lũy tích ứng với bài kiểm tra số 2................................... 66
Biểu đồ 3.4. Kết quả phân loại, đánh giá kết quả học tập của học sinh qua bài
kiểm tra số 2 .................................................................................................... 68
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong giáo dục, dạy học theo định hướng phát triển năng lực đang trở
thành xu hướng chung và phổ biến. Để đạt mục tiêu phát triển năng lực người
học thì việc chú ý dạy học vận dụng trong tình huống học tập sẽ góp phần tạo
ra những tiền đề cho mục tiêu đó. Do đó, ngay trong q trình học tập ở nhà
trường phổ thơng, học sinh (HS) cần được hình thành và phát triển kỹ năng
vận dụng và giải quyết vấn đề.
Toán học là một trong những môn khoa học tự nhiên gắn liền với thực
tiễn đời sống, vì vậy, cần tạo cho học sinh sự hứng thú, hăng say trong
học tập, thấy được sự thiết thực của học tập, đồng thời còn giúp kích thích
tính sáng tạo, phát triển tư duy logic cho học sinh. Qua đó, bên cạnh sự hình
thành và phát triển năng lực, cần chú trọng tới quá trình vận dụng để rèn kỹ
năng cho học sinh.
Bản thân công tác tại trường phổ thông, tác giả nhận thấy bản thân
việc phân loại các dạng bài tập Tốn đơi khi cịn có ranh giới khơng rõ ràng.
Có khi phân chia theo đơn vị kiến thức thì bị trùng lặp về phương pháp, có
khi phân chia theo thuật giải cũng rất khó khăn bởi có những bài tốn đa dạng
về cách giải. Đối với những bài tốn có nhiều phương pháp giải, việc chọn lựa
phương án tối ưu để trình bày là rất cần thiết. Song bên cạnh đó, có nhiều
những bài tốn mà thuật giải chưa rõ ràng hoặc khó định hướng trong quá
trình lựa chọn thuật giải. Riêng với bài tốn chứng minh (CM) bất đẳng thức
(BĐT) nói chung hay chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nói
riêng thường xuất hiện trong kì thi học sinh giỏi cấp trung học phổ thông
(THPT) và thi Olympic sinh viên, việc chắt lọc, lựa chọn phương pháp giải
phù hợp để áp dụng là rất cần thiết.
1
Như đã biết, các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác thường được
biểu diễn dưới dạng một đẳng thức hoặc một bất đẳng thức nào đó thể hiện
mối liên hệ giữa các yếu tố trong một tam giác. Đặc biệt là các bài toán về bất
đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng (các hệ số m, n, p trong biểu thức
mf ( A) nf (B) pf (C) không bằng nhau) trong tam giác là những bài tốn
thú vị và khó trong giải tốn lượng giác ở THPT. Trong các phương pháp đề
xuất, việc áp dụng tính chất hàm lồi, lõm của hàm số lượng giác nói riêng và
hàm số nói chung để khảo sát tính chất và tạo ra các mối quan hệ giữa các yếu
tố của tam giác mang hướng tiếp cận phù hợp và hiệu quả nhất để chứng minh
bất đẳng thức lượng giác trong tam giác. Đặc biệt phương pháp này thể hiện
quan hệ logic tốt trong tư duy, phù hợp với học sinh khá, giỏi; do đó, sử dụng
nó để phục vụ cho giáo viên (GV) bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THPT hay
phục vụ cho các kỳ thi Olympic sinh viên.
Đã có nhiều đề tài nghiên cứu về các phương pháp chứng minh bất
đẳng thức nói chung bao gồm cả bất đẳng thức lượng giác trong tam giác hay
cũng có những đề tài nghiên cứu về vấn đề sử dụng tính chất hàm lồi để
chứng minh các bất đẳng thức nhưng chủ yếu tập trung vào các bất đẳng thức
đại số. Tuy nhiên, về vấn đề riêng: sử dụng tính chất hàm lồi để chứng minh
bất đẳng thức lượng giác trong tam giác thì chưa được trình bày chuyên biệt ở
một đề tài nghiên cứu cụ thể nào. Đồng thời, các đề tài này chỉ thuần túy về
kiến thức toán nói chung mà khơng thể hiện rõ mục tiêu hướng đến là rèn
luyện kỹ năng (KN) hay năng lực (NL) cụ thể nào cho học sinh.
Từ các lý do trên tơi đã chọn đề tài “Dạy học vận dụng tính chất của
hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát
triển kỹ năng giải toán cho học sinh” để nghiên cứu thông qua dạy học một
lượng kiến thức, các dạng tốn cụ thể có thể hình thành và phát triển kỹ năng
giải tốn hay kỹ năng vận dụng tính chất cho học sinh. Đồng thời, đề tài này
2
cũng khơng nằm ngồi mong muốn góp phần vào việc bồi dưỡng học sinh
khá, giỏi trường THPT trong giai đoạn hiện nay cả về năng lực Tốn học cũng
như hình thành năng lực xã hội tương ứng.
2. Mục đích nghiên cứu
Thơng qua tổng hợp các dạng tốn về bất đẳng thức trong tam giác giải
được bằng phương pháp áp dụng tính chất của hàm lồi, trình bày cách thức
vận dụng vào những bài tốn cụ thể hình thành và phát triển kỹ năng giải
tốn, kỹ năng vận dụng tính chất cho học sinh.
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Là q trình dạy học mơn Tốn chuyên đề bất đẳng thức ở trường
THPT đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn liên quan đến đơn
vị kiến thức này.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là kỹ năng vận dụng tính chất, kỹ năng giải tốn
thơng qua phân tích tính chất của hàm lồi, lõm, tính đơn điệu bậc (1,2) của
các hàm số trong đó có hàm số lượng giác và áp dụng của chúng vào giải các
bài toán về bất đẳng thức lượng giác trong tam giác.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Các bài toán bất đẳng thức lượng giác trong tam giác được chứng
minh bằng phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi.
- Cách sử dụng hệ thống bài tốn đó để vận dụng kiến thức phát triển
được kỹ năng giải toán (KNGT) cho học sinh.
- Thực nghiệm sư phạm được tiến hành với GV tham gia bồi dưỡng và
HS giỏi mơn Tốn khối 11 trong năm học 2018 – 2019 tại trường THPT Giao
Thủy và trường THPT Giao Thủy B, tỉnh Nam Định.
3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu các căn cứ lý luận làm cơ sở cho đề tài.
- Điều tra thực trạng dạy học phát triển KNGT từ vận dụng tính chất
thơng qua sử dụng tình huống cụ thể là: vận dụng tính chất hàm lồi để chứng
minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác ở trường THPT hiện nay.
- Tìm hiểu nội dung bất đẳng thức trong tam giác, nội dung liên quan
tới tính chất hàm lồi, từ đó thiết kế hệ thống bài tập thực tiễn, cách sử dụng
các bài trên trong dạy học mơn Tốn để phát triển KNGT cho HS THPT.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm bước đầu tính khả
thi cũng như tính hiệu quả và những biện pháp đề xuất của đề tài.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu GV tuyển chọn, xây dựng được hệ thống bài tập chất lượng đi kèm
với hiệu quả sử dụng phương pháp nói trên vào trong quá trình dạy học sẽ làm
HS phát triển được tư duy logic, tăng khả năng nhạy bén, say mê, tích cực,
chủ động và sáng tạo trong học tập. Qua đó phát triển KNGT hữu hiệu cho
HS, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học bất đẳng thức cũng như
chất lượng dạy học Toán ở trường THPT.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu những cơ sở lý luận về bài tập thực tiễn, các năng lực
chung và năng lực chuyên biệt, các phương pháp dạy học Toán để phát triển
kỹ năng vận dụng cho học sinh THPT.
- Hệ thống trên cơ sở phân tích các tài liệu có liên quan từ các tạp chí,
sách chuyên đề và các nguồn tài liệu từ internet, hội thảo.
7.2. Nghiên cứu thực tiễn
- Dự giờ và điều tra bằng bảng hỏi để biết được thực trạng dạy và học
Tốn cũng như thực trạng sử dụng tính chất của hàm số để chứng minh bất
đẳng thức lượng giác trong tam giác khi dạy học ở THPT.
4
- Điều tra về khả năng dạy học phát triển kỹ năng, đặc biệt là KNGT
cho học sinh của giáo viên trường THPT.
- Điều tra về hứng thú của HS với bài toán bất đẳng thức lượng giác
trong tam giác.
- Lập hệ thống bảng kiểm tra, bảng quan sát KNGT của HS THPT từ
đó đánh giá sự tiến bộ của HS qua quá trình dạy nhằm bồi dưỡng và phát triển
KNGT.
- Xin ý kiến của các chuyên gia, GV Toán về áp dụng phương pháp
phát triển và đánh giá KNGT.
- Để kiểm tra mức độ đảm bảo tính khả thi và tính hiệu quả trong áp
dụng vào thực tiễn của đề tài cần tiến hành thực nghiệm sư phạm bước đầu tại
một vài trường THPT với đối tượng HS phù hợp.
7.3. Phương pháp xử lý thông tin
Để xử lý thông tin từ kết quả thực nghiệm cần sử dụng phương pháp
thống kê trong tốn học.
8. Đóng góp của đề tài
- Về mặt lý luận: Góp phần hệ thống hóa về vấn đề phát triển KNGT
cho HS THPT trong dạy học mơn Tốn từ vấn đề cụ thể.
- Về mặt thực tiễn: Thiết kế hệ thống bài tập bất đẳng thức lượng giác
trong tam giác và đề xuất phương pháp sử dụng tính chất của hàm lồi để giải
quyết các bài tập trên nhằm phát triển KNGT cho HS ở trường THPT.
9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo, trong
ba chương sau luận văn trình bày các nội dung chính và cụ thể của đề tài:
Chương 1. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu.
Chương 2. Dạy học vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng
thức lượng giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
5
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Lịch sử của vấn đề nghiên cứu
Kỹ năng giải toán hay kỹ năng vận dụng kiến thức trong toán học rất
được chú trọng q trình dạy học tốn. Bởi tốn học là mơn khoa học cơ sở,
gắn liền với nhiều môn khoa học khác kể cả khoa học tự nhiên hay khoa học
xã hội. Nếu HS có được KNGT tốt thì sẽ say mê hơn với tốn học, đặc biệt
khi có được KNGT xuất phát từ việc giải được các bài tốn bất đẳng thức
bằng vận dụng tính chất hàm lồi thì càng kích thích được khả năng học toán,
với đối tượng học sinh khá giỏi cũng vậy và học sinh có khả năng nhận thức
tốn nhất định cũng thế. Sách giáo khoa hiện hành khơng cịn đề cập nhiều
đến bất đẳng thức lượng giác trong tam giác, song đây vẫn là dạng toán quan
trọng xuất hiện trong các kỳ thi mang tính quốc gia hay các kỳ thi chọn học
sinh giỏi. Tuy nhiên, do nhiều nguyên nhân nên việc gắn liền giữa giải bài
tốn nói trên qua vận dụng tính chất hàm lồi để phát triển KNGT cho học sinh
cịn gặp nhiều khó khăn, hạn chế. Nhiều khi bài tốn đưa ra lời giải chỉ là để
đấy cịn rất xa vời với việc hình thành KNGT nói chung cho học sinh, q chú
trọng đến các tính tốn phức tạp mà qn hình thành và phát triển dần KNGT
đó. Để phần nào đáp ứng được nhu cầu đổi mới nội dung, phương pháp giảng
dạy và học tập mơn tốn tại trường phổ thông theo hướng phát triển KNGT
cho HS đã có một số sách tham khảo được xuất bản.
Bên cạnh đó, một số học viên cao học cũng đã nghiên cứu và bảo vệ
luận văn theo hướng đề tài này, song đi theo hướng nghiên cứu về Toán học,
chủ yếu tập trung vào tính chun ngành, như:
Lê Thị Bình, 2018, Áp dụng tính chất của hàm lồi giải các bài toán cực
trị trong tam giác, Luận văn thạc sĩ Tốn học, Đại học Hồng Đức.
Nguyễn Đình Thọ, 2014, Về cực trị hàm lồi, Luận văn Thạc sĩ Toán
học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.
6
Ngồi ra, cũng có một số bài báo liên quan đến vấn đề này được đăng
trên tạp chí Tốn học và ứng dụng cũng như các tạp chí khoa học quốc tế.
Cũng có những đề tài luận văn nghiên cứu của các học viên cao học về
năng lực vận dụng kiến thức, về kỹ năng giải tốn nói chung, như:
Nguyễn Trung Hiếu, 2010, Nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải
toán cho học sinh lớp 10 Trung học phổ thơng, Luận văn Thạc sĩ Sư phạm
Tốn học, Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội.
Vũ Thị Ninh, 2008, Kỹ năng giải toán và sáng tạo bài tốn mới trong
giảng dạy mơn Tốn ở trường Trung học phổ thơng, Luận văn Thạc sĩ Sư
phạm Tốn học, Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tuy nhiên, chưa có đề tài nghiên cứu về năng lực vận dụng và KNGT
nói trên đối với việc dạy học vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất
đẳng thức lượng giác trong tam giác.
Với mong muốn đóng góp thêm những kiến thức và bài tập toán học
nhằm phát triển kỹ năng cho học sinh nên trong luận văn này tác giả tuyển
chọn và xây dựng thêm một số kiến thức cũng như dạng tốn căn cứ trên loại
bài tập vận dụng tính chất hàm lồi chứng minh bất đẳng thức lượng giác
tương đối phức tạp này, đồng thời đưa chúng vào trong dạy học với phương
pháp phù hợp nhằm góp phần nâng cao hứng thú học tập, phát triển KNGT
cho HS THPT.
1.2. Cơ sở thực tiễn
Giáo dục hiện nay đang ngày càng tiệm cận với định hướng phát triển
NL nhằm mục tiêu phát triển NL người học, theo xu thế tất cả vì người học và
cần đảm bảo chất lượng đầu ra của việc dạy học, thơng qua phát triển tồn
diện các NL, phẩm chất, chú trọng NL vận dụng kiến thức trong những tình
huống thực tiễn nhằm tạo tiền đề cho các cá nhân hình thành và phát triển các
năng lực chuyên môn cũng như trong cuộc sống. Như vậy, ngay trong quá
7
trình học tập ở nhà trường phổ thơng, HS cần được hình thành và phát triển
năng lực vận dụng kiến thức.
1.3. Năng lực và sự phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông
1.3.1. Khái niệm năng lực
Theo [5] thì NL “là một thuộc tính tích hợp nhân cách, tổ hợp các đặc
tính tâm lí của cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động xác
định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả tốt đẹp” hoặc theo cách quan niệm
khác NL lại là khả năng đảm nhận công việc và thực hiện tốt cơng việc đó
nhờ có phẩm chất đạo đức và trình độ chun mơn.
(Xem [9]) Khi các GV trường THPT hồn thiện những chủ đề dạy học
thì các nhà trường đã đến gần hơn với mục tiêu giáo dục đề ra đã giúp cho
việc giải quyết những vấn đề cơ bản của dạy học theo cách tiếp cận năng lực
được sáng tỏ hơn, như: hiểu như thế nào về dạy học theo cách tiếp cận năng
lực? Những yêu cầu, nguyên tắc giáo dục theo tiếp cận năng lực? Hay điểm
khác biệt giữa khái niệm năng lực, kỹ năng… Từ những vấn đề lý luận này,
ông đã nhận định “NL của học sinh là khả năng làm chủ những hệ thống kiến
thức, kỹ năng, thái độ... ” đồng thời ông cũng chỉ ra rằng NL của HS cần “phù
hợp với lứa tuổi” hay NL cũng cần được “ vận hành chúng một cách hợp lý
vào thực hiện thành công nhiệm vụ học tập” để góp phần “giải quyết hiệu quả
những vấn đề đặt ra cho chính các em trong cuộc sống”.
Từ đó, có thể khái quát được là NL phải gắn liền với khả năng thực
hiện được, tức là “học” và “hành” phải song hành cùng nhau. Do đó cần phải
thể hiện được bằng hành động là đạt được những yêu cầu nhất định về kiến
thức, kỹ năng cũng như thái độ thì mới khẳng định được là q trình dạy đó
đã hình thành và phát triển được năng lực cho đối tượng tương ứng.
1.3.2. Phân loại năng lực
Có nhiều cách phân chia năng lực, nhưng phổ biến nhất là cách phân
chia thành hai loại: năng lực chung và năng lực cốt lõi.
8
- Năng lực chung.
Tất cả những NL tổng hợp đi từ căn bản, cốt lõi, nền tảng đến những
NL phù hợp với đặc điểm của lao động, học tập và cuộc sống đều thuộc phạm
vi của NL chung. Có nhiều yếu tố có thể tác động đến NL này, chẳng hạn
như: di truyền, tính bản năng, q trình giáo dục, thông qua các hoạt động
thực tiễn hay giáo dục, trải nghiệm.
Có nhiều cách tiếp cận để phân loại nhưng nhìn chung, có hai hướng
tiếp cận phù hợp với THPT là:
+ Dựa vào nội dung: Cách tiếp cận này chủ yếu căn cứ vào cấu trúc,
kiến thức, thời lượng của môn học và tập trung vào khả năng ghi nhớ kiến
thức cũng như tái tạo lại trên cơ sở đã biết của HS.
+ Dựa vào kết quả đạt được: Cách tiếp cận này lại chủ yếu quan tâm
đến những NL mà HS có thể đạt được tùy thuộc từng bộ mơn và đánh giá khi
kết thúc q trình học; cũng có thể quan niệm cách tiếp cận này chú ý đến đầu
ra và tính thực tiễn, ứng dụng hiệu quả trong học tập cũng như trong thực tiễn
- Năng lực chuyên biệt.
Đây là NL thường phù hợp với từng lĩnh vực, ngành nghề trong cuộc
sống nhất định; áp dụng trong giảng dạy là NL phù hợp với từng môn học:
môn mang khuynh hướng trí tuệ, thể thao, thẩm mĩ hay cảm xúc, nghệ
thuật,...
1.3.3. Các năng lực cơ bản cần phát triển cho học sinh trung học phổ thơng
Để góp phần phát triển toàn diện học sinh, rất nhiều năng lực cần chú
trọng để hướng đến; ở đây, cần tập trung tới những năng lực cốt lõi nhất cần
phát triển cho HS phổ thông là:
+ NL tự học;
+ NL giải quyết vấn đề;
+ NL sáng tạo;
9
+ NL tự quản lý;
+ NL giao tiếp;
+ NL hợp tác;
+ NL vận hành cơng nghệ;
+ NL tìm kiếm và khai thác thông tin;
+ NL sử dụng ngôn ngữ;
+ NL tính tốn.
1.3.4. Năng lực tốn học
Năng lực tốn học có thể hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (xuất
phát từ hoạt động của trí tuệ) đáp ứng những u cầu đặc thù của hoạt động
tốn học.
Đối với mơn Tốn, các NL chun biệt có thể kể đến là:
+ NL sử dụng ngơn ngữ và ký hiệu tốn học;
+ NL giải toán;
+ NL phát hiện vấn đề nảy sinh;
+ NL giải quyết vấn đề trong giải tốn;
+ NL tính toán;
+ NL vận dụng kiến thức và tư duy toán học vào cuộc sống...
Có thể thấy NL tốn học biểu hiện thông qua các NL cụ thể:
+ NL tư duy: từ tư duy cụ thể, đơn giản đến tư duy trừu tượng, khái
qt;
+ NL đơn giản hóa: từ q trình lập luận toán học và sử dụng hệ thống
các phép biến đổi hay tính tốn cồng kềnh đến rút gọn vấn đề, chuyển từ phức
tạp về đơn giản;
+ NL sáng tạo, nhạy bén, linh hoạt trong tư duy;
+ NL sử dụng ngơn ngữ thể hiện tính rõ ràng trong q trình trình bày
lời giải tốn;
10
+ NL chuyển đổi từ thuận sang nghịch trong tư duy và ngược lại;
+ NL lưu trữ và ghi nhớ thơng tin: có trí nhớ về kiến thức, về khái qt
và hệ thống trong tốn học, hình thành sơ đồ tư duy với từng nhóm vấn đề;
Với mỗi cá nhân khác nhau thì năng lực học tập tốn học cũng khác
nhau. Ngay trong quá trình học, mỗi HS khác nhau đều hình thành NL; song
sự phát triển của NL thì khơng giống nhau. Do đó, vấn đề quan trọng trong
dạy học toán là cần lựa chọn nội dung và sử dụng PPDH thích hợp nhằm phát
triển NL cho mỗi cá nhân HS.
1.4. Kỹ năng giải toán
1.4.1. Khái niệm kỹ năng
KN dưới cách định nghĩa của Tâm lý học sư phạm “là khả năng vận
dụng kiến thức để giải quyết một nhiệm vụ mới”.
Tâm lý học đại cương lại coi KN “là năng lực sử dụng các dữ liệu, các
tri thức hay khái niệm đã có” hay quan niệm khi có KN thì cần phải có khả
năng giải quyết được tình huống từ lý thuyết đến thực tiễn thông qua NL vận
dụng để phát hiện được những tính căn bản, cốt lõi của sự vật.
Còn GS.G.Polya đã chỉ ra rằng kỹ năng đối với lĩnh vực Toán học là
“giải các bài tốn” đối với q trình tiến hành, “thực hiện các chứng minh”
theo các bước đã định hướng, cũng như “phân tích có phê phán các lời giải và
chứng minh nhận được” sau khi kết thúc q trình.
Có thể khái qt lại, áp vào một tình huống mới thì KN là khả năng vận
dụng được những kiến thức đã biết vào để khai thác một cách có hiệu quả.
Tùy từng đối tượng HS, tùy từng cách tiếp cận vấn đề nhưng nhìn chung,
trong quá trình dạy học, việc vận dụng kiến thức bao gồm: khái niệm, tính
chất, định lý, ... vào giải quyết từng bài toán cụ thể với học sinh là khá khó
khăn. Hiện tượng này đặc biệt cịn phổ biến ở những học sinh có kiến thức
khơng chắc chắn, ghi nhớ khái niệm không linh hoạt nên không gắn liền với
11
cơ sở của kỹ năng. Với những học sinh có nhận thức khá, giỏi, hiện tượng này
không phổ biến, song vẫn cần quan tâm đến quá trình vận dụng kiến thức vào
giải quyết các bài tốn cụ thể từ đó hình thành kỹ năng cho học sinh.
1.4.2. Các yếu tố cơ bản ảnh hưởng đến kỹ năng
- Việc định hướng tư duy từ phân tích, tổng hợp dữ kiện ban đầu
không tốt, ảnh hưởng tới nhận diện bản chất vấn đề.
- Khả năng khái quát vấn đề chưa tốt.
- Tâm lý khơng vững vàng hay hình thành các thói quen tâm lý khơng tốt.
1.4.3. Kỹ năng giải tốn
Đối với việc dạy học mơn Tốn đặc biệt là dạy Tốn ở trường phổ
thơng thì việc rèn luyện kỹ năng là căn cốt và là cơ sở cho các mục đích khác
liên quan từ các môn khoa học đến thực tiễn. Vấn đề rèn kỹ năng nói chung,
kỹ năng giải tốn nói riêng là một yêu cầu cơ bản, nền tảng, để gắn liền được
lý thuyết với thực tiễn. Nhiều tác giả đã thể hiện quan điểm về vấn đề này
như: Với J.Piaget là “Suy nghĩ tức là hành động”, với Hồ Chí Minh lại là
“Học để hành, học và hành phải đi đơi”.
GS. Nguyễn Cảnh Tồn đã quan niệm về dạy toán là dạy về mặt kiến
thức, về kỹ năng tư duy và hình thành tính cách cho cá nhân học sinh. Mục
tiêu của dạy toán cũng bao gồm cả mục tiêu chính yếu là phát triển tư duy, trí
tuệ cho học sinh. Do đó cần giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc và tồn diện về
kiến thức tốn cũng như các hoạt động thực hành liên quan đến thực tiễn của
Tốn học.
Do đó, phát triển KNGT là sử dụng các kiến thức cơ bản giải các bài toán
đặt ra để áp dụng có hiệu quả vào tình huống học tập cụ thể của mơn học.
Trong mơn Tốn, kỹ năng thực hành gồm hai nhóm kỹ năng cơ bản là
vận dụng tri thức vào giải các bài toán và toán học hóa tình huống thực tiễn.
12
1.4.4. Căn cứ để hình thành các biện pháp phát triển kỹ năng giải toán cho
học sinh trung học phổ thơng
Mấu chốt để hình thành các biện pháp, chính là vấn đề phải hệ thống
hóa, bổ sung thêm các dạng bài tập cho HS hướng về cùng một chủ đề, một
mục tiêu để HS phát triển KNGT tự nhiên nhất.
- Hệ thống hóa bài tập cho HS là GV làm cho các bài tập trở nên có hệ
thống;
- Hệ thống hóa là một trong những biện pháp, thao tác tư duy logic
quan trọng. Việc làm này không chỉ giúp HS củng cố những đơn vị kiến thức
đã học mà còn sắp xếp chúng một cách có hệ thống chặt chẽ.
- Việc hệ thống hóa các dạng bài tập sẽ giúp cho HS tiết kiệm được thời
gian khi học tập, tập trung và nhận biết thơng tin chính xác của bài học, cải
thiện được trí nhớ và sự sáng tạo. Việc làm này còn giúp cho HS biết nhận
dạng, sắp xếp các bài tập theo thứ tự từ dễ đến khó, tạo mối liên kết giữa các
kiến thức, giúp HS phát triển năng lực tư duy logic, tư duy biện chứng nhằm
phát triển năng lực nhận thức, hoạt động và sáng tạo, giúp HS có thể lấp đầy
những kiến thức đang hổng hoặc khuyết, củng cố kiến thức cũ và sắp xếp
chúng thành một hệ thống nhất. Ngồi ra nó cịn giúp HS phát triển năng lực
tự học, giúp HS có thể tự học suốt đời.
- Việc hệ thống các dạng bài tập trong chương trình tốn phổ thơng nói
chung và chẳng hạn như toán học phần bất đẳng thức lượng giác nói riêng là
một việc làm hết sức cần thiết. Các nội dung trong bài toán liên quan đến
chứng minh bất đẳng thức lượng giác đặc biệt là trong tam giác rất nhiều và
đôi khi gây nhằm lẫn cho HS. Do đó nếu GV hệ thống bài tập theo từng dạng
sẽ giúp cho HS dễ dàng hơn trong việc chiếm lĩnh tri thức, HS sẽ được học
từng dạng một cách nhuần nhuyễn rồi mới chuyển sang dạng khác, trong quá
trình học từng dạng như vậy HS có thể tự rút ra cho mình phương pháp giải
13
phù hợp với từng loại, từng bài toán sao cho bản thân HS có thể giải bài tốn
đó một cách nhanh nhất.
- Việc hệ thống hóa bài tập cho HS nhằm mục đích củng cố thêm kiến
thức cho HS và giúp các em có một tài liệu tham khảo để sử dụng trong q
trình tự học của mình.
- Học tốn phần nhiều là giải bài tập do đó mà việc hệ thống lại các
dạng bài tập và tổ chức dạy học giải bài tập một cách có hiệu quả có vai trị
quan trọng đến chất lượng dạy học tốn.
- Trong quá trình dạy học GV nên cung cấp thêm cho HS một hệ thống
các có phân loại các dạng khác nhau, phù hợp với từng đối tượng HS khác
nhau. Bên cạnh đó GV cũng cần hướng dẫn cho HS từng phương pháp cụ thể
để giải từng dạng toán cụ thể của nội dung này.
1.4.5. Các biện pháp chính nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh
trung học phổ thơng
Có nhiều biện pháp tùy thuộc vào cách nhìn nhận hay tiếp cận vấn đề, ở
đây dưới góc độ giảng dạy, từ phân tích vào các căn cứ trên, tác giả chia
thành hai hướng chính:
a. Hướng gián tiếp
Khơi gợi từ việc cung cấp cho học sinh một số các bài tốn có cùng
cách giải để sau khi giải quyết học sinh tự rút ra kỹ năng giải toán. Đây là
biện pháp có hiệu quả cao nhưng mất nhiều thời gian của học sinh, khó đánh
giá và khơng đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực của học sinh.
b. Hướng trực tiếp
GV soạn thành những bài giảng một cách hệ thống về một số kỹ năng
đầy đủ và hệ thống. Biện pháp này địi hỏi sự tìm tịi, đầu tư của GV, song, rất
thuận tiện cho HS. Nó hiệu quả hơn biện pháp gián tiếp và dễ nâng cao độ
14
phức tạp của bài toán cần giải quyết cũng như định hướng, dẫn dắt của giáo
viên đến những mục tiêu gần và mục tiêu cao hơn của việc giải toán.
Đối với HS nhiệm vụ liên quan đến toán học chủ yếu là giải toán. Việc
dạy học toán ở trường phổ thông nhằm mục tiêu phục vụ cho củng cố kiến
thức, đảm bảo vận dụng được vào các kỳ thi. Trong q trình giải tốn vấn đề
vận dụng kiến thức như thế nào để áp dụng hiệu quả thường được đặt ra. Tùy
từng tình huống và bài tốn cụ thể có thể thơng qua các bước khác nhau; song,
nói một cách cơ bản nhất thì kỹ năng này được tiến hành theo bốn bước sau:
+ Bước 1. Tìm hiểu nội dung bao gồm giả thiết và kết luận của bài
toán;
+ Bước 2. Xác định và xây dựng phương hướng giải quyết căn cứ vào
phân tích nội dung;
+ Bước 3. Tiến hành thực hiện định hướng giải quyết;
+ Bước 4. Kiểm tra, đánh giá và phát triển lời giải đó.
Trong dạy học mơn tốn, khi hướng dẫn HS giải tốn, cần rèn cho học
sinh hai chiều kỹ năng tư duy, tức là bao gồm tư duy thuận (xi theo tình
huống để tìm hướng giải quyết vấn đề) và tư duy nghịch (đảo lại giả thiết kết
luận) để học sinh nhìn nhận được đầy đủ mọi góc cạnh của vấn đề. Đồng thời,
tư duy hai chiều sẽ giúp học sinh có cái nhìn hệ thống, nắm được bản chất cốt
lõi mối liên hệ của các kiến thức tốn, qua đó có thể vận dụng và kết nối được
các vấn đề một cách logic hay hệ thống nhất.
1.4.6. Một số phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển kỹ năng giải
tốn cho học sinh
a. Phương pháp dạy học tích cực
(Xem [9]) PPDHTC là một trong các phương pháp dạy học mà ở đó,
GV sử dụng một nhóm PPDH theo hướng phát huy được tính tích cực, chủ
15
động và sáng tạo của từng HS; đồng thời làm triệt tiêu tính thụ động trong học
tập của HS.
b. Một số dấu hiệu thể hiện tính tích cực trong học toán
- Dấu hiệu 1. Chủ động
HS chủ động nghiên cứu trước bài học, đã có sự chuẩn bị các kiến thức
liên quan, hăng hái chia sẻ suy nghĩ liên quan đến nội dung bài học với các
đối tượng khác trong lớp học;
- Dấu hiệu 2. Sẵn sàng
HS sẵn sàng tiếp nhận nhiệm vụ học tập, chủ động trình bày các học
liệu, nội dung liên quan đến bài học với các HS khác;
- Dấu hiệu 3. Tương tác
HS mạnh dạn bày tỏ chính kiến, đưa ra các phản hồi và thường xuyên
tương tác với GV, các HS khác;
- Dấu hiệu 4. Lật ngược vấn đề
HS khơng có thái độ chấp nhận, bằng lòng ngay với cách giải nhận
được mà thường lật ngược vấn đề, tìm thêm hướng giải khác hoặc nhận xét,
chỉ ra sai lầm trong những cách giải quyết minh họa;
- Dấu hiệu 5. Tự học
HS chịu khó thực hiện đầy đủ và mở rộng các bài tốn, cơng việc được
giao về nhà sau khi kết thúc bài học trên lớp; tự học, tự tìm tịi và khám phá
mối liên hệ của bài học với các đơn vị kiến thức khác; logic và kết nối môn
học với các môn khác.
- Dấu hiệu 6. Vận dụng
HS vận dụng có hiệu quả kiến thức và các nội dung đã được học không
chỉ vào chính mơn học hay các mơn khoa học khác có liên quan mà cịn áp
dụng hiệu quả vào thực tiễn của cuộc sống.
16
c. Một số phương pháp dạy học tích cực phát triển được kỹ năng giải
toán cho học sinh
- Phương pháp 1. Phương pháp trực quan
+ Nội dung
(Xem [5]) Là PPDH tốn mà ở đó GV làm cho HS tiếp nhận được tri
thức và hình thành được kỹ năng của bộ môn căn cứ trên các hoạt động quan
sát trực tiếp của HS đối với các hiện tượng, các sự vật cụ thể có ở đời sống
xung quanh cá nhân HS. Khi sử dụng phương pháp trực quan cần lưu ý đồ
dùng trực quan đảm bảo tính khoa học, nguyên liệu phổ biến, an tồn, thuận
lợi cho các góc độ quan sát. Đồ dùng trực quan cũng cần phải phong phú, đa
dạng, đẹp mắt.
+ Lưu ý khi sử dụng phương pháp.
(Xem [5]) Dụng cụ trực quan phải nêu được bản chất tốn học của tri
thức cần dạy và khơng được lạm dụng, cần phù hợp với mục tiêu, động cơ và
điều kiện, khả năng của đối tượng HS, nhà trường.
- Phương pháp 2. Phương pháp gợi mở, vấn đáp
+ Nội dung
Là PPDH tốn mà ở đó GV khơng đưa ra kiến thức trực tiếp mà sử
dụng hệ thống câu hỏi cho HS suy nghĩ trả lời từng bước hình thành và mở ra
vấn đề.
+ Lưu ý khi sử dụng phương pháp.
Câu hỏi phải rõ ràng, ngắn gọn, chính xác; khơng được quá dễ hay quá
khó; phải làm cho HS có tư duy, có suy nghĩ, hỏi để kích thích trí óc; không
đưa ra những câu hỏi mà học sinh chỉ phải trả lời ở dạng: Có, khơng hay
đúng, sai.
+ Cách hỏi
17
