ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO ĐỂ GIẢI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn của dãy số

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO
ĐỂ GIẢI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Lời nói đầu:
Bản chất của giới hạn dãy số là khi n càng lớn thì các số hạng của dãy
càng gần nhau “co lại theo nghĩa khoảng cách”. Việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ
co” để chứng minh một dãy số có giới hạn sẽ trở nên hiệu quả và dễ dàng cho
nhiều lớp bài toán dạng xn1  f ( xn ) . Qua các bài thi từ cấp tỉnh, khu vực và
Quốc gia trong năm học 2014 – 2015, tôi nhận thấy ngoài các cách giải thông
thường thì việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” sẽ trở nên nhẹ nhàng và hiệu quả.
Bài viết sau đây sẽ cho thấy được điều này.
II. Nội dung:
1. Kiến thức chuẩn bị:
1.1. Định lý Lagrange:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trong khoảng
(a; b) thì tồn tại c  (a; b) thỏa mãn: f(b)–f(a)=f’(c)(b – a)
1.2. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội hội của dãy số:
a) Định nghĩa dãy Cauchy: Dãy số  un  được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ
bản) nếu   0 cho trước, bao giờ cũng có số tự nhiên N sao cho m, n  N , ta
có um  un   .
b) Định lý: Dãy số  un  hội tụ khi và chỉ khi  un  là dãy cơ bản.
Chứng minh:
i) Điều kiện cần:
Giả sử lim un  a . Khi đó với mọi số   0 cho trước, luôn tồn tại số tự



. Từ đó suy ra m, n  N , ta có
2
um  un  um  a  a  un  um  a  un  a   . Suy ra  un  là dãy cơ bản.

nhiên N sao cho, n  N , ta có un  a 

ii) Điều kiện đủ:
Giả sử  un  là dãy cơ bản. Trước tiên ta chứng minh dãy  un  bị chặn.
Thật vậy với   1, tồn tại N sao cho m, n  N , ta có um  un  1 , cố
định m  N  1 , ta có un  uN 1  1  un  M ,n * .

Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh

1


Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn của dãy số

Như vậy, dãy  un  bị chặn. Theo nguyên lý Bolzano – Weierstrass, tồn tại

 

một dãy con unk hội tụ, giả sử lim unk  a . Khi đó với mọi   0 cho trước,
tồn tại số tự nhiên N1 , sao cho nk  N1  unk  a 


2

.

Mặt khác do  un  là dãy cơ bản, nên tồn tại số tự nhiên N 2 , sao cho



m, n  N2  um  un  . Chọn N  max  N1 , N2  và lấy nk  N thì n  N ,
2

ta có un  a  un  unk  unk  a  un  unk  unk  a 


2




2

 .

Vậy lim un  a .
Ví dụ 1: Dùng tiêu chuẩn Cauchy, xét sự hội tụ của dãy  un  ,
1
1
 ...  , n  * .
2
n
Lời giải: Ta thấy với n bất kỳ, đặt m  2n ,

với un  1 

thì u2 n  un 

1

1
1
1
1

 ...
n
 .
n 1 n  2
nn
nn 2

Như vậy,  un  không phải là dãy cơ bản, suy ra  un  không hội tụ.
Ví dụ 2: Dùng tiêu chuẩn Cauchy, xét sự hội tụ của dãy  un  ,
1
1

...

, n  * .
2
2
2
n
Lời giải: Giả sử m  n bất kỳ, ta có:

với un  1 

um  un 

1

 n  1

2



1

 n  2

2

 ...

1
m2

1
1
1
1
1
1 1 1 1



 ... 
    

n n 1 n 1 n  2
m 1 m n m n
1
n




1
Như vậy, khi cho trước   0 bé tùy ý, nếu chọn số tự nhiên N     1,
 

khi đó: m, n  N thì um  un   hay  un  là dãy cơ bản.
Vậy dãy  un  hội tụ.
Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh

2


Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn của dãy số

2. Nguyên lý ánh xạ co:
a) Định nghĩa:
Cho I là một khoảng đóng, hàm số f : I  I được gọi là hàm số co trên I
nếu tồn tại số thực q, 0  q  1 sao cho f ( x )  f ( y)  q x  y , x, y  I .
b) Tính chất:
Cho I là một khoảng đóng và bị chặn, nếu f là một hàm số co trên I thì dãy
số xn xác định bởi xn1  f ( xn ) hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất
trên I của phương trình x  f ( x ) .
Chứng minh:

Với mọi m  n , áp dụng định nghĩa hàm số co ta có:
xm  xn  f  xm1   f  xn1   q xm1  xn1  q f  xm2   f  xn2 
 q2 xm2  xn2  ...  qn xmn  x0 (*)

Suy ra: xn  x0  xn  xn1  xn1  xn2  ..  x1  x0
 qn1 x1  x0  qn2 x1  x0  ...  q0 x1  x0

 q

n 1

q

n 2

qn  1
1
 ..  1 x1  x0 
x1  x0 
x1  x0
q 1
1 q

Suy ra dãy  xn  bị chặn.
Mặt khác, do q  1 và xmn  x0 bị chặn nên lim qn xmn  x0  0 . Tức là
  0 cho trước, N  0 sao cho m, n  N , ta có qn xmn  x0   .

Suy ra xm  xn  qn xmn  x0   hay  xn  là dãy cơ bản.
Chứng minh f có duy nhất điểm bất động. Thật vậy, giả sử f có hai
điểm bất động là L1 , L2 , tức là L1  f (L1 ), L2  f (L2 ) . Do f là ánh xạ co nên

f (L1 )  f (L2 )  q L1  L2  L1  L2  q L1  L2 do q  1 nên L1  L2 .

c) Áp dụng:
Ví dụ 1. Đề thi Olympic cấp tỉnh 2015: (Toán 11)
Đề bài: Cho dãy số ( xn ) xác định bởi:

 x1  2


 xn1  4  8 xn  1, n  1,2,3,...

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh

3


Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn của dãy số

Lới giải:
Xét hàm số f  x   4  8 x  1 trên khoảng  2;3 .
Ta có f '  x  

2
8 x  1. 4  8 x  1

 1, x  (2;3)

Theo định lý Lagrange, ta có: f  x   f  y   f '  c  x  y , c   2;3
Do f '  c   1 nên luôn tồn tại số q  1 sao cho f '  c   q khi đó

f  x   f  y   q x  y hay f  x  là ánh xạ co, theo tính chất trên thì dãy

số đã cho hội tụ.
Cách giải khác:
Phân tích:
Đây là bài toán cơ bản vể dãy số, đa số học sinh làm được câu này.
Dễ thấy đây là dãy số tăng ( x2  4  17  x1  2 ), Giả sử dãy này có
giới hạn thì giới hạn đó phải thỏa mãn phương trình: x  4  8x  1  x  3
Ta dự đoán được dãy đã cho bị chặn trên bởi số 3.
Lời giải:
Ta có: xn  2, n  1,2,...
Ta lại có: x1  2, x 2  3.
Theo nguyên lý quy nạp suy ra xn  3, n  1,2,...
Do đó 2  xn  3, n  1,2,...
Bằng quy nạp ta chứng minh được  xn  là dãy tăng và bị chặn trên nên nó
hội tụ.
Đặt li mx n  x , khi đó:
x2  4  8x  1  x2  9  4  8x  1  5
x  3

8

x 3
(VN )

4  8x  1  5

Vậy li mx n  3

Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh

4


Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn của dãy số

Ví dụ 2. Đề thi HSG Tỉnh năm 2015:
Đề bài: Cho daỹ số (un ) xác định bởi công thức:
u1  3

Hãy tiń h lim un  a .
1
3

*
u

2
u

,

n


.
 n1 3  n u 2 
n 



Lời giải:
Dễ dàng dự đoán đây là dãy số dương và giảm.
1
3
Đặt f  x    2 x  2  , x   0;3 .
3
x 

Ta có f '  x  

2 2 2
  , x   0;3
3 x3 3

Theo định lý Lagrange, ta có: f  x   f  y   f '  c  x  y , c   0;3
Do f '  c   1 nên luôn tồn tại số q  1 sao cho f '  c   q khi đó
f  x   f  y   q x  y hay f  x  là ánh xạ co, theo tính chất trên thì dãy

số đã cho hội tụ.
Ví dụ 3. Đề thi HSG Quốc gia năm 2015:
Cho a là số thực không âm và dãy số (un ) được xác định bởi:
1
n2
u1  3, un1  un  2
un2  3 , với mọi ( n  1 ).
2
4n  a

a) Với a  0 , chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn và tìm

giới hạn đó.
b) Với mọi a  0;1 , chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn.
Lời giải:
1
1 2
un  3 .
a) Với a  0 ta có u1  3, un1  un 
2
4
1
1 2
x  3 trên khoảng  0;3 .
Xét hàm số f  x   x 
2
4
1 1
x
3
 , x   0;3 .
Ta có f '  x   
2 4 x2  3 4

Theo định lý Lagrange, ta có: f  x   f  y   f '  c  x  y , c   0;3
Do f '  c   1 nên luôn tồn tại số q  1 sao cho f '  c   q khi đó
Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh

5


Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn của dãy số

f  x   f  y   q x  y hay f  x  là ánh xạ co, theo tính chất trên thì dãy

số đã cho hội tụ.
n2
n2
1
b) Với a  0;1 , ta có
 2
 . Do đó:
2
4n  1 4n  a 4
1
n2
1
1 2
un  2
un2  3  un1  un 
un  3 .
2
4n  1
2
4

Xét hai dãy  xn  và  yn  như sau:
 y1  3
 x1  3


,


1
1 2
1
n2
x

x

x

3
y

y

yn2  3
n 1
n
n
n 1
n


2

2
4
2
4n  1



Ta có yn  un  xn ,n *
Theo câu a) ta có lim xn  1 , ta cần phải chứng minh lim yn  1 .
1
n2
Xét hàm số f  x   x  2
x 2  3, x   0;3 , n là tham số.
2
4n  1

Ta có f '  x  

1
n2
x
3
 2
 , x   0;3 , n .
2 4n  1 x 2  3 4

Theo định lý Lagrange, ta có: f  x   f  y   f '  c  x  y , c   0;3
Do f '  c   1 nên luôn tồn tại số q  1 sao cho f '  c   q khi đó
f  x   f  y   q x  y hay f  x  là ánh xạ co, theo tính chất trên thì dãy

số đã cho hội tụ.
Mặt khác f là hàm liên tục, gọi lim yn  L , chuyển qua giới hạn ta được:
1
1 2
L L

L  3  L  1 . Vậy lim yn  1 .
2
4
Áp dụng định lý về giới hạn kẹp, ta suy ra lim un  1.

d) Bài tập đề nghị:
Bài 1: (Đề dự bị VMO 2008)
Cho số thực a và dãy số thực {xn} xác định bởi:
x1 = a và xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, …
Chứng minh rằng dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vô
cùng.
Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh

6


Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn của dãy số
xn

Bài 2: Cho dãy số {xn} xác định bởi x0  2 và xn1  2 với n=0, 1,…
Chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
 x1  2015

Bài 3: Cho dãy số thực (xn) xác định bởi: 
x  3
 n1


xn
x 1

2
n

n  1

1. Chứng minh dãy số (xn) bị chặn.
2. Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
u1  1

Bài 4: Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
1
u

, n  1
n

1

u

1
n


Chứng minh dãy số  un  có giới hạn và tìm giới hạn đó.
u1  a  1; 2 

Bài 5: Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
un2
un1  1  un  , n  1


2

Chứng minh dãy số  un  có giới hạn và tìm giới hạn đó.
III. Kết luận:
Từ những phân tích trên, ta thấy được tính hiệu quả trong việc giải bài
toán tìm giới hạn của dãy số thông qua việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co”.
Trong quá trình bồi dưỡng cho học sinh ở các đội tuyển, nếu người thầy trang bị
đầy đủ các kiến thức căn bản về việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” cho học
sinh thì sẽ giúp các em có cách nhìn nhận bài toán ở các góc độ khác nhau trong
việc tìm lời giải. Tài liệu này được viết trong khoảng thời gian ngắn, không
tránh khỏi những sai sót, kính mong quý đồng nghiệp và các em học sinh góp ý
để bài viết có tính hữu dụng cao hơn.

Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh

7


Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co để tìm giới hạn của dãy số

IV. Tài liệu tham khảo:
1. Nguyễn Tài Chung (2013), chuyên khảo dãy số, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội.
2. Trần Nam Dũng (2013), Gặp gỡ toán học 2013, ĐH KHTN TP. HCM.
3. Trần Nam Dũng (chủ biên), Nguyễn Tất Thu, Võ Quốc Bá Cẩn, Lê Phúc Lữ,
lời giải và bình luận đề thi VMO 2015.
4. Internet.

Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh

8