Đề HSG ôn chuyên

Đề kiểm tra m«n to¸n lớp 8 – thời gian 120 phút. Đề 1
Bài 1: (3đ)
Cho A =
842
44
23
2
−−+
++
aaa
aa
a) Rút gọn A
b) Tim a
∈
Z để A là số nguyên
Bài 2: (6đ)
a) Cho a+b+c = 1 và
a
1
+
b
1
+
c
1
= 0 . Tính a
2
+ b
2
+ c
2

b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và
cb
a
−
+
ac
b
−
+
ba
c
−
= 0
Chứng minh rằng trong ba số a,b,c phải có 1 số âm, 1 số dương
c) Cho m
2
+ n
2
= 1 và a
2
+ b
2
= 1 CMR –1
≤
am+bn
≤
1
Bài 3: (3đ) Giải phương trình
a) | x+1| = |x(x+1)|
b) x

2
+
2
1
x
+ y
2
+
2
1
y
= 4
Bài 4: (2đ) Tổng của một số tự nhiên và các chữ số của nó bằng 2359. Tìm số tự nhiên đó.
Bài 5: (6đ) Cho tam giác ABC vuông ở A. Điểm H di chuyển trên BC. Gọi E,F lần lượt là
các điểm đối xứng qua AB,AC của H.
a) Chứng minh E,A,F thẳng hàng
b) Chứng minh rằng BEFC là hình thang. Có thể tìm H để BEFC là hình thang vuông, hình
bình hành, hình chữ nhật được không?
c) Xác định H để EHF có điện tích lớn nhất.

Đề kiểm tra m«n to¸n lớp 8 – thời gian 120 phút. Đề 2
Bài 1: (3đ) Giải phương trình : | x + 1 | + | x - 1 | = 1 + | x
2
-1 |
Bài 2: (3đ) Cho a
100
+ b
100
= a
101

+ b
101
= a
102
+ b
102

Tìm P = a
2004
+ b
2004
với a, b là các số thực dương
Bài 3: (3đ) Tìm giá trị nhỏ nhất
Q =
2
1
(
2
10
y
x
+
2
10
x
y
) +
4
1
( x

16
+ y
16
) – ( 1 + x
2
y
2
)
2
Bài 4:(4đ) Cho tam giác ABC có AB=3 Cm, BC= 4 Cm, CA = 5 Cm. Đường cao, đường
phân giác, đường trung tuyến từ đỉnh B của tam giác chia tam giác làm 4 phần. Hãy tính diện
tích mỗi phần..
Bài 5: (3đ) Cho ngũ giác ABCDE . M, P, N, Q là trung điểm AB, BC, DE, EA. Chứng minh
rằng MN đi qua trung điểm PQ khi và chỉ khi MN // CD.
Bài 6: (4đ) Cho phân số A =
5
4
2
+
+
n
n
. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên n từ 1 đến 2004 sao cho
A là phân số chưa tối giản.
Đề kiểm tra m«n to¸n lớp 8 – thời gian 120 phút. Đề 3
Bài 1: (4đ) Phân tích ra thừa số
a) 18 x
3
-
x

25
8
b) 4 x
2
+ 2 x + 30
c) x
6
+ x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
- y
6
d) 6x
3
+ 13 x
2
+ 4x –3
Bài 2: (4đ) Giải phương trình
a)
1
1
−
x
+
1

52
3
2
−
−
x
x
=
1
4
2
++
xx
b) | x
2
-3x + 3 | = 3x - x
2
-1

c) Tìm m để phương trình (ẩn x) sau 2x
2
-(2m + 7) x + 10m – 15 =0 có 2 nghiệm phân
biệt dương.
Bài 3: (2đ) a)Cho a
3
- 3a b
2
= 5 và b
3
- 3a

2
b = 10 Tính a
2
+ b
2
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
2
+y
2
+ xy + x + y
Bài 4:(4đ) cho ba phân thức
ab
ba
+
−
1
,
bc
cb
+
−
1
,
ac
ac
+
−
1
Chứng minh rằng tổng ba phân thức này bằng tích của chúng.
Bài 5: (4đ) Cho đoạn thẳng AB và điểm I nằm giữa hai điểm A và B trong cùng một mặt

phẳng bờ AB. Kẻ Ax, By và vuông góc với AB. Trên Ax Lấy C, tia vuông góc với IC tại I cắt
By ở D.
a) CMR : AC . DB = IA.. IB
b) Ba điểm A, B, C cố định. Xác định I để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.
Bài 6: (2đ) Gọi M, N trung điểm của AD và BC của hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối DC
lấy P bất kỳ. Giao điểm của AC với PM là Q.
CMR : QNM = MNP
Đề kiểm tra m«n to¸n lớp 8 – thời gian 120 phút. Đề 4
Bài 1: (2đ) Giải phương trình
b) x +
x
1
= 2
b) | x –1 | + | x + 2 | + | x – 3 | = 14
Bài 2: (3đ) Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của
a) A = 3x
2
+ 2x +1 b) B= x - x
2


Bài 3: (2đ) a) CMR a + b
≥

ab
ab
+
9
12
với a>0,b>0

b) (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
abc
≤
với a,b,c là ba cạnh của tam giác.
Bài 4:(5đ) Chứng minh rằng
a) 10
n
– 9n –1

27 với
Nn
∈∀
*
b) Cho tích của hai số tự nhiên là 1985
1986
. Hỏi tổng 2 số này có là bội của 1986 không?
c) Tìm n để A =
134
115
−
−
n
n
là số tự nhiên
d) CMR ( a
3
+ 11a - 6 a
2
- 6 )


6
Za
∈∀

e) CMR tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
Bài 5: (4đ) Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AH (H trung điểm AB).
Đường vuông góc với AB ở I cắt AH tại O. Dựng M sao cho O là trung điểm AM.
a) Chứng minh rằng IOMB là hình thang vuông.
b) Gọi K là trung điểm OM, Chứng minh IKB là tam giác cân
c) Chứng minh rằng AIKC có tổng các góc đối là 180
0
Bài 6: (4đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ AD, BE, CF là các đường cao
a) Chứng minh rằng góc AEF = góc ABC
b) EB là phân giác góc FED
Đề kiểm tra m«n to¸n lớp 8 – thời gian 120 phút. Đề 5
Bài 1: (3đ) Chứng minh rằng 21
30
+ 39
21


45
Bài 2: (4đ)
a) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng
ba
11
2
+

ab

≤

a) Cho 0
≤
a
≤
2, 0
≤
b
≤
2, 0
≤
c
≤
2 và a + b + c =3
Chứng minh a
2
+ b
2
+ c
2

≤
5
Bài 3: (4đ) a) Giải phương trình x
2
+ x -
1
7
2

++
xx
= 5
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
P =
1
1
2
2
+−
++
xx
xx
Bài 4:(3đ) Cho A =
122
12
23
23
+++
−+
nnn
nn

a) Rút gọn A

b) Tìm n nguyên để A nguyên
Bài 5: (6) Cho ABCD là hình vuông cạnh là a. I là một điểm trên AB. DI cắt BC ở E, CI cắt
AE ở M, cắt AD ở P. BM cắt AP ở K, cắt DE ở F. Cho AI = x
a) Tìm BE và AP theo a,x (1.5đ)
b) Chứg minh AK = AI (1.5đ)

c) Chứng minh khi I di động trên AB, thì F đi động trên một quỹ đạo cố định. Tìm quỹ đạo
đó. (3đ)