Mã vòng

Trang 286
Bài 13 Mã vòng
13.1 Giới thiệu
13.2 Các tính chất của mã vòng
13.3 Ma trận sinh và ma trận kiểm tra của mã
13.4 Mã BCH
Trang 287
Giới thiệu

Định nghĩa

Một mã tuyến tính
C
(
n
,
k
) được gọi là mã vòng nếu
w
=
a
0
a
1
…
a
n–2
a
n–1
là một từ mã thì
v

=
a
n–1
a
0
a
1
…
a
n–2
cũng là một
từ mã.

Nghĩa là dịch vòng (sang trái hay phải) một từ mã thì kết quả
cũng là một từ mã. Ở đây qui ước dịch phải.

Đa thức mã

Nếu
w
=
a
0
a
1
…
a
n–2
a
n–1

là một từ mã thì
w
(x) =
a
0
+
a
1
x + … +
a
n–2
x
n -2
+
a
n–1
x
n -1
là đa thức mã tương ứng với từ mã
w
.

Ví dụ

Bảng sau đây trình bày một mã vòng
C
(7, 4).
Trang 288
Ví dụ
mw w(x) mw w(x)

0000 0000000 0 0001 0001101 x
3
+ x
4
+ x
6
1000 1101000 1 + x + x
3
1001 1100101 1 + x + x
4
+ x
6
0100 0110100 x + x
2
+ x
4
0101 0111001 x + x
2
+ x
3
+ x
6
1100 1011100 1 + x
2
+ x
3
+ x
4
1101 1010001 1 + x
2

+ x
6
0010 0011010 x
2
+ x
3
+ x
5
0011 0010111 x
2
+ x
4
+ x
5
+ x
6
1010 1110010 1 + x + x
2
+ x
5
1011 1111111 1 + x + x
2
+ x
3
+
x
4
+ x
5
+ x

6
0110 0101110 x + x
3
+ x
4
+ x
5
0111 0100011 x + x
5
+ x
6
1110 1000110 1 + x
4
+ x
5
1111 1001011 1 + x
3
+ x
5
+ x
6
Trang 289
Giới thiệu (tt)

w
(i)
, w
(i)
(x)


w
(i)
là từ mã do dịch từ mã
wi
bit, và
w
(i)
(x) là đa thức mã
tương ứng của
w
(
i
).
w
(0)
chính là
w
.
iw
(i)
w
(i)
(x)
0 1101000 1 + x + x
3
1 0110100 x + x
2
+ x
4
= x * (1 + x + x

3
) = x *
w
(x)
2 0011010 x
2
+ x
3
+ x
5
= x
2
(1 + x + x
3
) = x
2
*
w
(x)
3 0001101 x
3
+ x
4
+ x
6
= x
3
(1 + x + x
3
) = x

3
*
w
(x)
4 1000110 1 + x
4
+ x
5
= x
4
+ x
5
+ x
7 mod 7
5 0100011 x + x
5
+ x
6
= x
5
+ x
6
+ x
8 mod 7
6 1010001 1 + x
2
+ x
6
= x
6

+ x
7 mod 7
+ x
9 mod 7
Trang 290
Giới thiệu (tt)

w
(i)
(x) = x
i
*
w
(x) tuy nhiên nếu
w
(i)
(x) có x
p
với
p
≥
n
thì x
p

được thay bằng x
p mod n
.

Mặc khác trên trường

GF
(2) chúng ta có
x
n + j
= x
j
* (x
n
+ 1) + x
j
hay x
n + j
mod (x
n
+ 1) = x
j

Bổ đề 13.1
w
(i)
(x) = [x
i
*
w
(x)] mod (x
n
+ 1)
Trang 291
Các tính chất của mã vòng


Định lý 13.1

Đa thức mã khác 0 có bậc nhỏ nhất là duy nhất. Hay nói cách
khác không tồn tại hai đa thức mã khác 0, khác nhau và cùng có
bậc nhỏ nhất.

Chứng minh

Giả sử
∃
hai đa thức mã khác nhau, cùng có bậc nhỏ nhất là
r
, 0
<
r
<
n
.
g
(x) =
g
0
+
g
1
x + … +
g
r–1
x
r -1

+ x
r
f
(x) =
f
0
+
f
1
x + … +
f
r–1
x
r -1
+ x
r

Từ đây suy ra đa thức mã
g
(x) +
f
(x) có bậc nhỏ hơn
r
, mâu
thuẫn. Chứng minh hoàn tất.
Trang 292
Các tính chất của mã vòng (tt)

Kí hiệu đa thức mã có bậc nhỏ nhất là g(x)
g

(x) =
g
0
+
g
1
x + … +
g
r–1
x
r -1
+ x
r

Định lý 13.2

Hệ số tự do g
0
của g(x) phải bằng 1.

Chứng minh

Giả sử g
0
= 0. Suy ra
g(x) = x * (g
1
+ … + g
r–1
x

r - 2
+ x
r - 1
)

Đặt f(x) = (g
1
+ … + g
r–1
x
r - 2
+ x
r - 1
), suy ra f(x) cũng là một đa
thức mã. Vì f(x) tương ứng với từ mã được dịch trái 1 bit hay
dịch phải (
n
– 1) bit từ từ mã ứng với g(x).

Mà bậc của f(x) bằng r – 1 < r mâu thuẫn với định nghĩa của
g(x).
Trang 293
Các tính chất của mã vòng (tt)

Định lý 13.3

Một đa thức
v
(x) trên trường
GF

(2) có bậc ≤
n
–1 là đa thức
mã nếu và chỉ nếu nó là một bội số của
g
(x). Tức là nó có thể
viết
v
(x) =
q
(x) *
g
(x).

Chứng minh

Chiều thuận

Nếu
v
(x) =
q
(x) *
g
(x) và có bậc ≤
n
–1 thì
v
(x) là đa thức mã.
v

ới
p
là bậc của
q
(x) và
p
+
r
≤
n
– 1. Do x
i
*
g
(x) với 0 ≤
i
≤
p
là đa thức mã, nên
v
(x) là đa thức mã vì nó là một tổ hợp tuyến
tính của các đa thức mã.
()
∑∑
==
=
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
==
p
i
i
i
p
i
i
i
gqgqgqv
00
)(*)(*)(*)()( xxxxxxx
Trang 294
Các tính chất của mã vòng (tt)

Chiều ngược

Nếu
v
(x) là đa thức mã thì chia
v
(x) cho
g
(x)
v
(x) =

q
(x) *
g
(x) +
r
(x)
trong đó
r
(x) là đa thức dư và có bậc nhỏ hơn bậc của
g
(x).
Đối với các đa thức trên trường
GF
(2) chúng ta có thể suy ra
r
(x) =
q
(x) *
g
(x) +
v
(x)
Nên
r
(x) là một đa thức mã. Theo định nghĩa của
g
(x) suy ra
r
(x) = 0. Chứng minh hoàn tất.


Từ định lý này chúng ta gọi
g
(x) là
đa thức sinh
, vì từ
g
(x) có
thể sinh ra tất cả các đa thức mã khác.
Trang 295
Các tính chất của mã vòng (tt)

Định lý 13.4

Đa thức sinh của một mã vòng
C
(
n
,
k
) có bậc
r
=
n
–
k
.

Chứng minh

Mỗi đa thức mã

w
(x) là một bội số của
g
(x)
w
(x) =
q
(x) *
g
(x)

Có 2
k
từ mã nên có 2
k
đa thức
q
(x). Suy ra bậc của
q
(x) là
≤ k
–
1. Suy ra bậc của g(x) là
n
–
k
.

Từ định lý này đa thức sinh
g

(x) có thể được biểu diễn như sau
g
(x) =
g
0
+
g
1
x + … +
g
n – k
x
n – k
trong đó
g
0
=
g
n – k
= 1.
Trang 296
Các tính chất của mã vòng (tt)

Định lý 13.5

Đa thức sinh của mã vòng
C
(
n
,

k
) là một ước số của x
n
+ 1.

Chứng minh

Bổ đề 13.1 suy ra
g
(i)
(x) = [x
i
*
g
(x)] mod (x
n
+ 1)
⇔
x
i
*
g
(x) = q(x) * (x
n
+ 1) +
g
(i)
(x)
Chọn
i

=
k ⇒ q
(x) = 1 tức
x
k
*
g
(x) = (x
n
+ 1) +
g
(i)
(x)
⇒
x
n
+ 1 = x
k
*
g
(x) +
g
(i)
(x)
Do
g
(i)
(x) là một đa thức mã nên
g
(i)

(x) là một bội của
g
(x),
⇒
x
n
+ 1 là một bội của
g
(x). Chứng minh hoàn tất.