Giáo trình ma sát mòn - Chương 1

Ma sát và mòn phần 1
TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

1
Phần 1:

Ma sát



A. Tính chất lớp bề mặt và phơng pháp xác định

1. Bản chất của các bề mặt kim loại
Trong lĩnh vực ma sát, mòn và bôi trơn (tribology) cần thiết phải mở rộng định
nghĩa đơn giản về bề mặt thờng đợc quan niệm là một mặt hình học phân cách hai
môi trờng. Bề mặt phải đợc đánh giá là một vùng phát triển về phía ngoài của vật
thể rắn mang các tính chất cơ, lý quan trọng ảnh hởng trực tiếp đến khả năng làm
việc của chi tiết máy. Lớp bề mặt của kim loại bao gồm các phân lớp có tính chất cơ
lý đặc biệt khác hẳn với vật liệu bên trong.

Hình A-1: Các lớp điển hình của vùng lớp bề mặt.















Hình A-2: Chiều dày tơng đối giữa các lớp bề mặt.
Hình A-1 mô tả lớp bề mặt cơ bản. Từ vùng vật liệu nền là lớp vật liệu bị biến
cứng, trên nó là vùng vật liệu có cấu trúc vô định hình hoặc hạt mịn. Lớp này gọi là
lớp Bielby đợc tạo nên do sự chảy và biến dạng dẻo của các phân tử bề mặt trong
quá trình gia công cắt và sau đó bị tôi do nhiệt cắt và tác dụng làm nguội nhanh của
khối vật liệu bên trong. Cấu trúc cơ bản của lớp bề mặt thờng bị hoà trộn với sản
phẩm phản ứng hoá học của lớp bề mặt với môi trờng, và bị bao phủ bởi bụi và lớp
Ma sát và mòn phần 1
TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

2
màng phân tử hấp thụ từ môi trờng. Ngoài cùng của lớp bề mặt là các nguyên tử khí
có tính chất khác với môi trờng khí xung quanh. Một điều quan trọng hơn là toàn bộ

cấu trúc bề mặt còn đợc đặc trng bởi tính chất hình học của các nhấp nhô với biên
độ và tần xuất xuất hiện khác nhau. Tính chất hình học và cơ lý của các nhấp nhô bề
mặt đặc biệt là đặc điểm tô-pô-graphy của chúng đóng vai rất trò quan trọng trong
các nghiên cứu về ma sát, mòn và bôi trơn.
Chiều dày của các lớp bề mặt thể hiện trên hình A-2. Trục tung biểu diễn thang
chia log theo giá trị tăng dần. Riêng chiều dày của lớp màng ôxy hoá cần phải xác
định thận trọng vì chúng bao gồm các lớp rất phức tạp. Đặc trng hình học của bề
mặt chỉ ra trên hình A-3 với độ sóng và nhấp nhô tế vi bề mặt.










Hình A-3: Các thành phần của trạng thái hình học bề mặt.
2. Đánh giá đặc trng hình học bề mặt
Việc đánh giá các đặc điểm hình học của bề mặt là rất quan trọng trong việc giải
quyết các vấn đề về ma sát, mòn và bôi trơn. Các hiện tợng tribology nh ma sát và
mòn phụ thuộc vào đặc điểm tiếp xúc thực giữa các bề mặt, bản chất các tiếp xúc
này lại phụ thuộc trực tiếp vào sự phân bố, kích thớc và hình dạng của các nhấp nhô
bề mặt. Kết quả đánh giá đặc điểm tiếp xúc này này cung cấp các phân tích có giá trị
về điều kiện tiếp xúc đàn hồi, dẻo trên các bề mặt vật liệu cũg nh các thông tin về
khoảng cách giữa các nhấp nhô. Hơn nữa từ các kết quả đo các thông số đặc trng
của bề mặt có thể xây dựng đợc mối quan hệ về cả định tính và định lợng liên
quan đến ma sát và mòn trên cơ sở sử dụng các lập luận lý thuyết và kết quả thí
nghiệm.

Các phơng pháp xác định các thông số đặc trng hình học của bề mặt bao
gồm: Quang học nh kính hiển vi điện tử, nhiễu xạ hay reflection microscopy ; Cơ khí
nh mặt cắt nghiêng và máy đo profile. Sử dụng phơng pháp quang học có thấy rõ
hình ảnh 3 chiều của bề mặt.
3. Sự phân bố chiều cao của các nhấp nhô bề mặt
Đặc trng hình học của bề mặt có thể mô tả dới dạng hàm phân bố chiều cao
của chúng dới dạng:

( ) ( )
dzzzF

+

= (A-1)
Trong đó z là chiều cao profile đo từ đờng trung bình và (z) là hàm mật độ xác
suất phân bố độ cao nhấp nhô. Việc xây dựng các đờng cong phân bố liên quan
đến việc đo z
1
, z
2
vv trong khoảng l cụ thể nào đó và xác định số các nhấp nhô có
cùng độ cao (hình A-4). Thực chất của điều này có thể giải thích là biến tín hiệu tơng
tự liên tục của profile thành một bộ số có các giá trị phân biệt đo trên khoảng l.
Đờng cong phân bố là đờng cong trơn đợc vẽ qua các bộ giá trị thực nghiệm.
Nhiều bề mặt độ cao của các nhấp nhô bề mặt có khuynh hớng tuân theo phân
Ma sát và mòn phần 1
TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

3
bố chuẩn, gauss. Hình A-5 là đờng cong phân bố Gauss vẽ gần đúng từ đồ thị phân

bố độ cao của các nhấp nhô trên bề mặt mài. Đờng cong phân bố Gauss hay hàm
số mật độ của nó đợc xác định theo:

( ) ( )
22
2/

z
o
ezz

= (A-2)
Trong đó: là sai lệch chuẩn của phân bố và
2
là variance.
o
(z) có thể tính trên
một cơ sở hiển nhiên là diện tích của đờng cong phân bố phải bằng tổng các dữ liệu
tập hợp theo tỷ lệ đã chọn. Diện tích của đờng cong Gauss sẽ là:

( ) ( ) ( )
2/1
2/
2
22


zdzez
o
x

o
=

+


(A-4)
Do đó đờng cong:
( )
( )
22
2/
2/1
2
1


x
ez

=
có diện tích đơn vị và đờng cong
phân bố Gauss thờng viết dới dạng chuẩn này.

Hình A-4: Phơng pháp xác định phân bố độ cao của nhấp nhô bề mặt.













Hình A-5: Đờng cong phân bố nhấp nhô bề mặt điển hình của một bề mặt mài.

B. Sự tiếp xúc của các bề mặt

1. Mở đầu
Có thể thấy rằng các nghiên cứu về tribology không thể tách rời các nghiên cứu
về cơ chế tiếp tiếp xúc giữa các vật thể rắn. Điều này liên quan tới những vấn đề về
bản chất của biến dạng và ứng suất sinh ra do tải trọng bên ngoài tác dụng lên các
vật thể có hình dáng hình học khác nhau. Đặc biệt điều chúng ta quan tâm không chỉ
biến dạng và ứng suất trên bề mặt vật rắn mà theo suốt chiều sâu của các lớp bề
mặt. Tải trọng tác dụng lên vật rắn có thể phân tích thành hai thành phần pháp và
Ma sát và mòn phần 1

TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

4
tiếp để khảo sát tác dụng của chúng đến ứng suất và biến dạng một cách độc lập và
sau đó tổng hợp lại theo nguyên lý cộng tác dụng.
Các vật liệu rắn chịu tải đều bị biến dạng đàn hồi hoặc dẻo. Trong trờng hợp
thứ nhất quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất và biến dạng có khả năng
hồi phục sau khi bỏ tải. Với biến dạng dẻo quan hệ giữa ứng suất và biến dạng phức
tạp hơn vì một lợng biến dạng d vẫn tồn tại thậm trí sau khi bỏ tải. Phần lớn các
tiếp xúc trong thực tế khi chịu tải đều tồn tại cả biến dạng đàn hồi và dẻo. Ví dụ tải
trọng tác dụng lên vật rắn ở chỗ tiếp xúc có thể gây ra biến dạng đàn hồi với cả khối
và biến dạng dẻo ở đỉnh các nhấp nhô do hai bề mặt tiếp xúc với nhau ở đỉnh các
nhấp nhô và ứng suất ở đây thờng vợt quá giới hạn chảy. Tỷ số biến dạng dẻo trên
đàn hồi hiển nhiên là phụ thuộc vào tải trọng tác dụng. Mức độ biến dạng dẻo sẽ
tăng khi tăng tải. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát đặc điểm biến dạng của
các tiếp xúc trụ và cầu bởi các lý do sau:
- Nhiều tiếp xúc trong kỹ thuật có liên quan đến sự tiếp xúc của các vật thể có
dạng cung tròn nh bánh xe, con lăn, ăn khớp của biên dạng răng vv
- Về mặt hình học có thể coi bề mặt của các vật rắn là tập hợp của các nhấp nhô
hình bán cầu.
Một vấn đề đặt ra là trong các tiếp xúc ma sát trợt công của lực ma sát đều biến
thành nhiệt. Nghiên cứu quá trình phát và truyền nhiệt ở vùng tiếp xúc chung không
tách rời việc mô hình hoá tiếp xúc ở đỉnh các nhấp nhô dạng hình tròn (giao tuyến
của hai mặt cầu).
Tóm lại nghiên cứu chi tiết các tiếp xúc bề mặt gắn liền với những kiến thức về
biến dạng đàn hồi, dẻo, bản chất của quá trình phát và truyền nhiệt do chuyển động
tơng đối giữa các bề mặt ma sát sinh ra.
2. Phân bố ứng suất do tải trọng
2.1. Tải trọng tập trung đơn
Trong hầu hết các nghiên cứu chúng ta thờng quan tâm nhiều đến tính chất của

những lớp bề mặt ngoài cùng với độ sâu khoảng một mm, tính chất của vật liệu ở độ
sâu khoảng một vài cm từ bề mặt đợc xếp vào hàng thứ yếu. Lý thuyết về ứng suất
và biến dạng tiếp xúc là một trong những vấn đề khó. Cách tiếp cận thông thờng bắt
đầu từ lực tác dụng lên mặt phẳng là biên của các vật thể semi-infinite. Đó là các vật
thể thể rắn có thể phát triển theo một phía từ mặt phẳng này đến vô cùng. Điều này
giúp chúng ta tập trung nghiên cứu sâu vào bản chất tiếp xúc bề mặt của vật rắn hơn
là hình dáng hình học toàn khối của chúng dẫn đến sự đơn giản hoá đáng kể về mặt
toán học.












Hình B-1: Phân bố ứng suất do tải trọng phân bố tác dụng lên vật thể semi-infinite.

(a)
(b)
Ma sát và mòn phần 1
TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

5
Khảo sát tác dụng của tải trọng pháp tuyến phân bố đều p theo y trong mặt
phẳng oxz (o là điểm đặt lực) tại điểm có toạ độ (

, 0) của một vật thể rắn semi-
infinite (hình B-1(a)). Vùng biến dạng đàn hồi trong mặt phẳng này giới hạn bởi
đờng nét đứt. Khảo sát tác dụng của p trên một đơn vị chiều dài theo phơng y
(P=p.1), ứng suất hớng kính

r
xác định theo lý thuyết đàn hồi nh sau:




cos
2
r
P
r
=
(B-1)
Các ứng suất tiếp


và

r

đều bằng 0.
Đây là trạng thái ứng suất nén đơn phụ thuộc vào cả r và

. Sử dụng vòng tròn

Mohr cho trạng thái ứng suất phẳng (hình B-1(b)), ta xác định đợc các thành phần
ứng suất theo các trục toạ độ ox và oz nh sau.
( )
( )








+
=








===
2
22
22
2
2cossin2
sin2cos1
2

zx
zxP
r
P
r
r
x








( )
( )








+
=

==+=
2
22
33
2
2cos2
cos2cos1
2
zx
zP
r
P
r
r
z






(B-2)
( )
( )

+
=








===
2
22
22
2cossin2
cossin2sin
2
zx
xzP
r
P
r
r

xz







Chuyển toạ độ của các thành phần ứng suất theo hệ toạ độ OXZ (gốc O cách o
một khoảng là

ta có:
( )
( )
[ ]








+

=
2
2
2
2

2
ZX
XZP
X






( )
[ ]








+
=
2
2
2
3
2
ZX
ZP
Z

(B-4)
( )
( )
[ ]








+

=
2
2
2
2
2
ZX
XZP
XZ

Với cách tiếp cận tơng tự ứng suất hớng kính do một tải trọng đờng đơn T tác
dụng ở o xác định nh sau:
'cos
2



r
T
r
=
(B-5)
0
''
==



ứng suất


cũng phụ thuộc vào cả r và

.

Ma sát và mòn phần 1
TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

6
Hình B-2: ứng suất sinh ra do tải trọng tiếp tuyến đơn tác dụng trên vật thể rắn semi-
infinite.
Tơng tự ta cũng xác định đợc các thành phần ứng suất theo phơng các trục
toạ độ của hệ trục toạ độ đề các OXZ:
( )
( )
[ ]








+

=
2
2
2
2

2
ZX
XZT
X






( )
( )
[ ]








+

=
2
2
2
3
2
ZX

XT
Z




(B-6)
( )
( )
[ ]








+

=
2
2
2
2
2
ZX
XZT
XZ

Thay T =
à
p trong đó:
à
là hệ số ma sát thích hợp, các thành phần ứng suất do
cả p và T gây ra tại một điểm có toạ độ (X, Z) sẽ cho quy luật phân bố ứng suất gây
ra bởi tiếp xúc ma sát đơn giản. Việc giải bài toán này tuy nhiên còn gặp phải một trở
ngại đáng kể bởi vì tại r = 0 (tại O) ứng suất tiến tới vô cùng và điều đó không phù
hợp với thực tế. Thực ra trong các tiếp xúc thực luôn tồn tại một diện tích tiếp xúc giới
hạn nào đó giữa hai vật thể làm thay đổi điều kiện biên này và giá trị ứng suất tại đây
là hữu hạn.
2.2. Tải trọng phân bố
Khảo sát tải trọng phân bố đều gây ra áp suất tiếp xúc trên vùng từ O đến a trên
bề mặt vật rắn semi-infinite. Nếu lấy kích thớc khảo sát theo phơng y bằng 1 đơn vị
thì tải trọng tổng hợp P sẽ là:


==
a
papdxP
0
(B-7)
Khảo sát một phân tố diện tích chiều dài d

tại toạ độ (

, 0), lực tác dụng lên
phân tố này là pd

(hình B-3(a)). ứng suất tại điểm có toạ độ (X,Z) xác định theo
công thức (B-4) với tải trọng p đợc thay bằng pd

. Rõ ràng ứng suất tại điểm có toạ
độ (X,Z) do dàn lực phân bố đều sẽ là tổng ứng suất do pd

gây ra khi

biến thiên từ
0 đến a.
( )
( )
[ ]









+

=
a
X

d
ZX
XZp
0
2
2
2
2
2







( )
[ ]









+
=
a

Z
d
ZX
Zp
0
2
2
2
3
2




(B-8)
( )
( )
[ ]









+

=

a
XZ
d
ZX
XZp
0
2
2
2
2
2






Khảo sát tải trọng tiếp tuyến T =
à
P phân bố đều trên vùng từ 0 đến a và tại mỗi
điểm trong khoảng (0,a) lực ma sát sẽ là td

=
à
pd

(hình B-3(b)) nên:


===

a a
PpdtdT
0 0
àà
(B-9)
Tơng tự nh tải trọng pháp tuyến, ứng suất do dàn lực tiếp tuyến phân bố đều t
đợc xác định theo công thức (B-6) nh sau:
Ma sát và mòn phần 1
TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

7
( )
( )
[ ]









+

=
a
X
d
ZX

XZt
0
2
2
2
2
2







( )
( )
[ ]









+

=
a

Z
d
ZX
Xt
0
2
2
2
3
2





(B-10)
( )
( )
[ ]





d
ZX
XZt
a
XZ

+

=
0
2
2
2
2
2

Hình B-3: Sơ đồ tải trọng phân bố pháp tuyến và tiếp tuyến tác dụng trên vật thể rắn
semi-infinite.

ứng suất do cả tải trọng pháp tuyến và tiếp tuyến gây ra sẽ là tống đại số các
ứng suất tơng ứng trong các phơng trình (B-8) và (B-10). Khi tải trọng pháp tuyến
và tiếp tuyến trên vùng tiếp xúc phân bố theo một quy luật bất kỳ thì ứng suất tổng
hợp tại một điểm (X,Z) vẫn đợc xác định theo nguyên tắc trên với p = p(

) và t = t(

).














Hình B-4: Sơ đồ các đờng đẳng áp suất cực đại hằng số.

Trong tất cả các phơng trình trên ta đã giả thiết rằng biến dạng ở chỗ tiếp xúc
của các vật thể là đàn hồi, nhng ngay cả trong những trờng hợp này ta vẫn phải
quan tâm đến cả tác dụng có thể của biến dạng dẻo. Tiêu chuẩn đơn giản nhất để

biến dạng dẻo bắt đầu xảy ra là ứng suất tiếp cực đại đạt tới ứng suất tiếp giới hạn
(a)
(b)
Ma sát và mòn phần 1
TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

8
của vật liệu k, k = Y/2, trong đó Y là ứng suất kéo giới hạn. Trong trờng hợp biến
dạng phẳng nêu trên, trị số ứng suất tiếp cực đại trên mặt phẳng OXZ và bằng bán
kính của vòng tròn Mohr ứng suất.






cos
2
max
r
P
r
==
(B-11)
Tất cả các điểm có cùng

max
sẽ nằm trên vòng tròn có đờng kính b chỉ ra trên
hình B-4(b) và:

b
P


=
max

Điều đó có nghĩa rằng ứng suất tiếp cực đại bằng hằng số tại mọi điểm trên vòng
tròn đờng kính b. Từ đây ta có thể vẽ các đờng đẳng ứng suất và xác định đợc vị
trí mà tại đó

max
= k là vị trí mà biến dạng dẻo xảy ra đầu tiên. Kiểu mô tả này hoàn
toàn phù hợp với kết quả thí nghiệm phân tích ứng suất sử dụng photoelastic. Khi tải
trọng pháp tuyến tập trung hoặc phân bố đều, các tính toán về

max
cho các kết quả
nh trên hình B-4(b,c). Có thể thấy rằng trong cả hai trờng hợp vật liệu sẽ đạt tới
trạng thái giới hạn đầu tiên ở bề mặt khi tăng tải đến mức

max
= k.
3. Chuyển vị dới tác dụng của tải trọng
Sau khi xác định sự phân bố của ứng suất, chúng ta có thể xác định chuyển vị
trong một vật rắn sử dụng các phơng trình mô tả mối quan hệ giữa biến dạng e và
chuyển vị tơng ứng. Dới tác dụng của tải trọng P tại o, các chuyển vị u và w đợc
xác định theo các công thức sau:
( )

cos
21
rE
P
E
e
r
u
rr
===



( )





cos
21
rE
P
E
e
r
w

r
u
r
===


+

0
1
===


+





rr
Gr
w
r
wu
r

Để giải các phơng trình này, ta phải sử dụng các điều kiện biên. Giả sử rằng
các điểm nằm trên trục z (

= 0) không tồn tại chuyển vị ngang và tại điểm nằm trên

trục z cách vị trí gốc ban đầu một khoảng b không tồn tại chuyển vị đứng. Rõ ràng
điều mà ta quan tâm ở đây là chuyển vị xảy ra trên biên (z=0) của vật rắn, vì thế thay

=

/2 vào phơng trình trên chuyển vị ngang sẽ đợc xác định theo công thức:

( )
( )
E
P
u
z
2
1
0


=
=

Điều này chứng tỏ tất cả các điểm trên biên của vật rắn đều có chuyển vị nh
nhau hớng về gốc. Ta cũng có thể tìm đợc chuyển vị đứng của của một điểm trên
biên (z=0) cách gốc một khoảng x theo phơng trình sau :
( )
( )
E
P
x
b

E
P
w
z



+
=
=
1
log
2
0

Từ đây có thể thấy rằng tại điểm đặt của tải trọng (x=0), chuyển vị thẳng đứng
tiến tới vô cùng. Điều này do ta giả thiết tiếp xúc điểm còn trong thực tế tải trọng
phân bố trong vùng tiếp xúc hữu hạn từ O đến a. Thay các giá trị tơng ứng vào
phơng trình trên ta có giá trị chuyển vị tổng tại điểm (X,0) nh sau:
( )

+


=
=

00
0
1
log
2
pd
E
d
X
b
p
E
w
a
z

Ma sát và mòn phần 1
TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

9
Đối với tải trọng pháp tuyến tiếp xúc điểm P tác dụng lên một vật rắn semi-
infinite, các chuyển vị ngang và thẳng đứng dọc theo biên z=0 cách điểm đặt của tải
trọng một khoảng x đợc xác định nh sau:
( )
( )( )
Ex
P
u

z


2
121
0
+
=
=

( )
( )
Ex
P
w
z


2
0
1
=
=

Đối với tải trọng phân bố trên một vùng của biên xét áp xuất p tác dụng trên một
phân tố diện tích dA cách điểm tính chuyển vị một khoảng là x, chuyển vị thẳng đứng
tại điểm đó xác định nh sau:
( )
( )

=
=
x
dA
E
w
z



2
0
1

4. Tiếp xúc Hec (Hertzian)
4.1. Tiếp xúc trụ
4.1.1. Phân bố ứng suất trên mặt tiếp xúc
Có thể thấy rằng trong kỹ thuật các bài toán tiếp xúc giữa các vật thể có dạng
cung tròn đợc đặc biệt quan tâm.
Khảo sát tiếp xúc của hai hình trụ giống nhau ở trạng thái biến dạng phẳng. Do
tính chất đối xứng nên vùng tiếp xúc chung của hai hình trụ là phẳng (Hình B-5(a)).
Mặc dù điều giả thiết vùng tiếp xúc chung phẳng không thật chính xác trong trờng
hợp hình trụ tiếp xúc với mặt phẳng, tuy nhiên sai số có thể bỏ qua. Một đặc điểm
của các tiếp xúc này khi tăng tải, diện tích vùng tiếp xúc sẽ tăng và biến dạng ở vùng
trung tâm sẽ lớn hơn ở vùng biên và có thể thấy ứng suất tiếp xúc sẽ không phải là
hằng số trên vùng tiếp xúc. Đây là một bài toán phức tạp nên trớc khi khảo sát sự
phân bố ứng suất ta cần xác định quy luật phân bố của ứng suất tiếp xúc và diện tích
tiếp xúc thực dới tác dụng của một tải trọng.

Hình B-5: Sơ đồ phân bố ứng suất trên vùng tiếp xúc của hai hình trụ.

Khi hai hình trụ đàn hồi nh nhau tiếp xúc dới tác dụng của tải trọng pháp tuyến
P trên một đơn vị chiều dài hớng trục, vùng tiếp xúc sẽ có chiều rộng tiếp xúc là 2a
(Hình B-5(b)). Do biến dạng pháp tuyến tại tâm của vùng tiếp xúc lớn hơn vùng biên
theo lý thuyết đàn hồi ứng xuất p sẽ phân bố dới dạng:

2/1
2
2
1
2

=
a
x
a
P
p

(B-12)
Một điều hiển nhiên về bản chất vật lý, ứng suất trong hệ thống này sẽ tỷ lệ với
Ma sát và mòn phần 1
TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

10
P/a.
ứng suất








a
P


Khảo sát biến dạng có thể thấy khi tăng tải a sẽ tăng và biến dạng tăng vì thế ta

có thể dự đoán quan hệ biến dạng tỷ đối theo a và R.
Biến dạng








R
a

Trong đó : R là bán kính của hình trụ. Từ những quan hệ của ứng suất và biến
dạng trên ta có:
P
a








R
a
E
hay a
2

E
PR

Theo lý thuyết đàn hồi ta có thể rút ra nh sau:

( )
E
PR
a


2
2
14
=
(B-13)
Công thức này chứng tỏ lập luận đơn giản trên là đúng. Công thức trên còn đúng
khi các hình trụ có bán kính khác nhau tiếp xúc với nhau cũng nh trờng hợp hình
trụ tiếp xúc với mặt phẳng. Tuy nhiên mô đun đàn hồi và bán kính cong là các đại
lợng tơng đơng E và R.

2
2
2
1
2
1
11
'

1
EEE


+

=
(B-14)

21
11
'
1
RRR
+=
(B-15)
Do đó:
'
'4
2
E
PR
a

=
(B-16)
Trong trờng hợp tiếp xúc của hình trụ trên mặt phẳng, bán kính của mặt phẳng
nhận giá trị vô cùng nên R = R
1
. Với hình trụ tiếp xúc trong bán kính lấy giá trị âm

(Hình B-6). Một điều đáng chú ý là khi E



, chiều rộng tiếp xúc a

0 nghĩa là tiếp
xúc trở thành tiếp xúc đờng.









Hình B-6: Các dạng tiếp xúc giữa hai hình trụ.

4.1.2. Phân bố ứng suất trong vùng tiếp xúc
Có thể thấy rằng biến dạng dẻo bắt đầu khi ứng suất tiếp cực đại đạt tới giá trị
của ứng suất tiếp giới hạn k. Để nghiên cứu sự phân bố của ứng suất tiếp cực đại cho
vật thể rắn chịu tác dụng của lực phân bố mô tả theo phơng trình (B-12) trong vùng
có chiều rộng tiếp xúc từ a đến +a.
Thay giá trị ứng suất p vào phơng trình (B-8) ta đợc các phơng trình mô tả
Ma sát và mòn phần 1
TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

11
ứng suất tại điểm có toạ độ (X,Z) trong lòng vật thể.

( )
( )
[ ]










++
+






=
0
2
2
2
2
2/1
2
2

2
1
4
a
X
d
ZX
XZ
aa
P





( )
( )
[ ]









+

a
d
ZX
XZ
aa
P
0
2
2
2
2
2/1
2
2
2
1
4






( )

[ ]










++






=
0
2
2
2
3
2/1
2
2
2
1
4

a
z
d
ZX
Z
aa
P





( )
[ ]









++

a
d
ZX
Z
aa
P
0
2
2
2
3
2/1
2
2
2
1
4






(B-17)
( )
( )
[ ]

++
+






=
0
2
2
2
2
2/1
2
2
2
1
4
a
XZ

d
ZX
XZ
aa
P





( )
( )
[ ]









+

a
d
ZX
XZ
aa
P
0
2
2
2
2
2/1
2
2
2
1
4





Tri số ứng suất tiếp cực đại cho trờng hợp biến dạng phẳng đợc xác định bằng
bán kính của vòng trong Mohr.

2/1
2
2
max

2








+







=
xz
zx



(B-18)

Hình B-7: (a) Các đờng đẳng áp suất thực khi hình trụ tiếp xúc với mặt phẳng chịu
tác dụng của riêng tải trọng pháp tuyến (b) Plastic behaviour tại bề mặt.












Hình B-8: (a) Các đờng đẳng áp suất thực khi hình trụ tiếp xúc với mặt phẳng chịu
tác dụng kết hợp của tải trọng pháp tuyến và tiếp tuyến với T = 0,5
à
P.

(a)
(b)
Ma sát và mòn phần 1

TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

12
Thay giá trị của

x
,

y
,

z
vào biểu thức của

max
ta sẽ xác định đợc

max
tại mọi
điểm. Các giá trị của phơng trình này giúp chúng ta vẽ các đờng đẳng ứng suất thể
hiện trên hình B-7. Giá trị lớn nhất của

max
sẽ xuất hiện dới bề mặt một khoảng
0,67a. Hơn nữa khi tăng tải để

max
tại điểm này đạt giá trị k tơng ứng với ứng xuất
cực đại ở trung tâm vùng tiếp xúc p
o

= 3,1k. Đây là kết quả đáng ngạc nhiên bởi vì ở
trạng thái nén đơn chúng ta có thể dự đoán vật liệu bề mặt sẽ chảy khi p
o
= 2k. Tuy
nhiên điều này không đúng với các phân tố bề mặt khi chúng chịu ứng suất nén theo
3 phơng vuông góc. ở trạng thái này p
o
có thể lớn hơn 2k mà vẫn không xảy ra biến
dạng dẻo. Nói cách khác thành phần ứng suất thuỷ tĩnh tại một điểm bất kỳ không
thể gây ra biến dạng dẻo ngay tại điểm đó. Kết luận này rất quan trọng bởi vì mặc dù
ứng suất tiếp xúc vợt quá giới hạn chảy của vật liệu, biến dạng dẻo vẫn không xảy
ra. Nói cách khác biến dạng ở chỗ tiếp xúc Hec vẫn có thể là đàn hồi. Hơn nữa mặc
dù biến dạng dẻo có thể xảy ra bên dới bề mặt, nhng trong một phạm vi rất nhỏ vì
sự phát triển của vùng biến dạng dẻo bị hạn chế bởi biến dạng đàn hồi của vật liệu
theo mọi phơng.
Khi tiếp tục tăng tải kích thớc của vùng biến dạng dẻo sẽ tăng lên và phát triển
đến bề mặt. Plastic flow sau đó có thể sẽ xảy ra và hình trụ sẽ lún vào bề mặt. Khi đó
áp suất tiếp xúc p
o
bằng 6k lớn hơn 2 lần ứng suất bắt đầu gây ra biến dạng dẻo. Giá
trị áp suất trung bình trong điều kiện này xấp xỉ bằng độ cứng H của vật liệu và đó là
lý do tại sao với kim loại ta có:
H

6k

3Y (B-19)
Trong đó: Y là sức bền kéo đơn của vật liệu.
Dới tác dụng kết hợp của cả tải trọng pháp tuyến và tiếp tuyến các đờng đẳng
ứng suất

max
đợc vẽ trên hình B-8. Có thể thấy vị trí giá trị lớn nhất của của ứng suất
tiếp cực đại sẽ tiến gần hơn tới bề mặt và biến dạng dẻo xảy ra dễ dàng hơn so với
tác dụng riêng của tải trọng pháp tuyến. Nói cách khác biến dạng dẻo cả khối trở nên
dễ dàng hơn khi có tác dụng của tải trọng tiếp tuyến.
4.1.3. Sự trợt dới tác dụng của tải trọng tiếp tuyến
Trong thực tế khi hai vật thể tiếp xúc chịu tác dụng của tải trọng tiếp tuyến nhỏ
hơn
à
P sự trợt không xảy ra. Điều này thờng gặp khi ma sát là cơ chế ngăn cản sự
trợt giữa các bề mặt đối tiếp nh bu lông đai ốc, ly hợp ma sát vv phần lớn các
sách đều giải thích hiện tợng này bằng cách cho hệ số ma sát tăng từ 0 đến một giá
trị giới hạn mà tại đó trợt xảy ra. Cách giả thích này không chính xác vì vô tình ta đã
biến một hằng số vật lý thành một biến số. Có thể thấy rằng giả thiết trên là không
cần thiết nếu ta coi các bề mặt tiếp xúc có khả năng biến dạng chứ không phải là
tuyệt đối cứng. Sự biến dạng không đồng đều trên bề mặt tiếp xúc là cơ sở để giải
thích hiện tợng xảy ra ở chỗ tiếp xúc của một hình trụ đặt trên một mặt phẳng khi
chịu tải trọng tiếp tuyến nhỏ hơn
à
P.
Chúng ta bắt đầu bằng giả định kết quả và kiểm nghiệm lại tính đúng đắn của
nó. Giả sử trong vùng tiếp xúc tồn tại một vùng trung tâm mà ở đó không tồn tại trợt
còn ở phần ngoài sự trợt xảy ra sự trợt với mức độ nhỏ nh trên hình B-9. Sự tồn tại
đồng thời các vùng dính và trợt tế vi là hoàn toàn có khả năng bởi vì bản chất biến
dạng của vật liệu ở chỗ tiếp xúc và kiểu biến dạng cho phép sự trợt xảy ra ở vùng
biên của tiếp xúc. Khi tải trọng tiếp tuyến tăng, diện tích vùng trợt tăng cho đến khi
T=
à
P thì phát triển tới vùng trung tâm và sự trợt cả khối xảy ra trên toàn vùng tiếp

xúc. Với mô hình này
à
có giá trị là hằng số. ở những vùng trợt xảy ra t =
à
p còn ở
những vùng không trợt (dính) t <
à
p. T đợc xác định bằng cách tích phân t trên toàn
diện tích tiếp xúc chỉ ra trên hình B-9 thoả mãn điều kiện bài toán là hệ số ma sát
à
=
const.
Ma sát và mòn phần 1
TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

13

Hình B-9: (a) Mô hình tiếp xúc ma sát với hai vùng dính và trợt. (b, c) Mô hình phân
bố tải trọng pháp tuyến p, tiếp tuyến t=
à
p và biến dạng trên mặt tiếp xúc.

Trong trờng hợp T =
à
P, sự phân bố của áp
suất pháp và lực tiếp tuyến t =
à
p chỉ ra trên hình
B-9(b,c). Tăng tải trọng pháp tuyến gây ra biến
dạng nén bằng nhau e
x
ở cả hai phía làm cho sự
trợt không xảy ra. Dới tác dụng lực tiếp tuyến có
thể thấy rằng kiểu biến dạng xảy ra trái chiều nhau
trên hai vật thể (hình B-9(c)) và trợt phải xảy ra
trên khắp vùng tiếp xúc. Khi T <
à
P vùng dính
trung tâm phải có biến dạng bằng 0 ở cả hai phía
quyết định kiểu phân bố của lực tiếp tuyến.

Sự phân bố của lực tiếp tuyến mà biến dạng
bằng 0 ở trung tâm của vùng dính mô tả trên hình
B-10. Khảo sát một tải trọng tiếp tuyến T =
à
P trên
hình B-10(a). Biến dạng e
x
chỉ ra trên hình B-10(b).
Chú ý rằng biến dạng này tuân theo quy luật bậc
nhất trong vùng tiếp xúc từ a đến a (e
x
=
à
x/2R).
Tiếp tục khảo sát dạng phân bố lực tiếp tuyến
tơng tự T, tác dụng ngợc lại trên vùng từ -a đến
+a. Biến dạng e
x
do T gây ra chỉ ra trên hình B-
10(d). Biến dạng cũng phân bố theo luật bậc nhất
ngợc dấu và cùng giá trị giống nh trờng hợp tải
trọng T. Bằng cách cộng các biến dạng e
x
và e
x
sẽ đợc biến dạng 0 trên cả vùng từ -

đến +

và

phần lực tiếp tuyến trên vùng này nơi mà t <
à
p.
Trên phần tiếp xúc còn lại t =
à
p và biến dạng khác không là vùng trợt chỉ ra
(a)

Hình B-10: Sơ đồ trợt tổng
hợp
Ma sát và mòn phần 1
TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

14
trên hình B-10(e,f). Lập luận trên chỉ ra rằng thậm trí không có hiện tợng trợt cả
khối, trợt tế vi với một mức độ nào đó vẫn xảy ra khi T <
à
P và cơ chế của nó tơng
tự nh fretting. Đối với những hình dạng tiếp xúc phức tạp lập luận này vẫn đúng và
sự trợt tế vi vẫn xảy ra ở biên của vùng tiếp xúc.

4.2. Tiếp xúc 3D tổng quát
Để đơn giản, trong phần trên ta đã nghiên cứu tiếp xúc Hertzian 2D. Trong nhiều
bài toán thực tế chúng ta phải giải quyết các vấn đề phức tạp liên quan đến tiếp xúc
3D. Nói chung mô hình biến dạng 3D cũng tơng tự nh 2D, tuy nhiên một số công
thức phải thay đổi cho phù hợp.

Hình B-11: Sơ đồ phân bố áp suất trên vùng tiếp xúc cầu.

Khảo sát hai hình cầu nh nhau chịu tải trọng pháp tuyến N (hình B-11), diện tích
tiếp xúc là một hình tròn bán kính a và áp suất tiếp xúc phân bố dạng cầu theo công
thức sau:

2/1
2
2
2
2
2
1
2
3

=
a
z
a
x
a
N
p

(B-20)
Giá trị của a xác định nh sau:

3/1
'8
3






=
E
NR
a
(B-21)

Hình B-12: Sơ đồ xác định vùng tiếp xúc giữa hai vật thể.
Ma sát và mòn phần 1
TS. Phan Quang Thế Bộ môn Cơ sở Thiết kế máy - Trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học TN

15
Mặc dù tiếp xúc của hai hình cầu khác nhau không phải là một vùng tiếp xúc
phẳng nh trên hình B-11, các phơng trình trên vẫn nghiệm đúng sử dụng bán kính
cong tơng đơng R xác định nh sau:
21
11
'
1
RRR
+=
:

3/1
'4
'3

=
E
NR
a
(B-22)
Khi hình cầu tiếp xúc với một mặt phẳng R = R.
Trong trờng hợp hai vật thể tiếp xúc với nhau, các bán kính sử dụng tính toán là
các bán kính cong chính của mỗi biên dạng trong hai mặt phẳng pháp tuyến. Khi đó
hình dáng tiếp xúc là ellip và áp suất tiếp xúc phân bố theo quy luật sau:

2/1
2
2
2
2
1
2
3

=
a
z
a
x
ab
N
p

(B-23)
Các bán trục lớn và bé của ellip đợc xác định nh sau:

( )
3/1
'4
3






+
=
BAE
N
ka
a

và
( )
3/1
'4
3






+
=
BAE
N
kb
b
(B-24)
Trong đó: k
a
và k
b
là các hằng số phụ thuộc vào giá trị của các bán kính cong
chính của hai vật thể tiếp xúc và góc nghiêng

giữa các mặt phẳng pháp tuyến chứa
các cung cong chính. Nếu ký hiệu các bán kính cong chính của vật thể 1 là R
11
và R
12

và của vật thể 2 là R
21
và R
22
, các hằng số A và B sẽ là:

2/1
22211211
2
2221
2
1211
2cos
1111
2
1111
2
1

+








+

=

RRRRRRRR
AB
(B-25)









+++=+
22211211
1111
2
1
RRRR
BA
(B-26)

Hình B-13: Đồ thị mô tả quan hệ của k
a
và k
b
.

Trong những phơng trình này các bán kính cong lõm lấy giá trị âm. Các hệ số k
a

và k
b
là các số phụ thuộc vào tỷ số (B-A)/(A+B) thông qua góc phụ: