SKKN phương pháp tìm công thức tổng quát và tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC
=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

“ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI
HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI”

Tác giả sáng kiến: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG.
Mã sáng kiến: 05.52

Vĩnh Yên,
1 tháng 2/2020


BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong những năm gần đây, Tỉnh Vĩnh Phúc luôn đứng trong tốp đầu cả nước về
chất lượng thi ĐH-CĐ và thi THPT Quốc gia. Là một trường đang trên đà phát triển,
trường THPT Nguyễn Thái Học luôn nỗ lực để duy trì và nâng cao hơn nữa chất lượng
giáo dục mọi mặt của nhà trường. Nhiệm vụ ấy vừa là trách nhiệm, vừa là niềm vinh
dự của mỗi giáo viên. Là một giáo viên được ban Giám hiệu giao nhiệm vụ giảng dạy
lớp mũi nhọn khối A của trường, ôn thi THPT Quốc gia, phụ trách đội tuyển toán lớp
11, tôi nhận thấy mình phải có trách nhiệm giúp các em học sinh đạt được điểm số cao
nhất trong khả năng của các em.
“DÃY SỐ” là một trong những kiến thức hay và khó trong chương trình Đại số
và Giải tích lớp 11. Trong các đề thi khảo sát chuyên đề của các trường có không ít

những câu hỏi trắc nghiệm về dãy số đã gây khó khăn đối với học sinh. Đặc biệt trong
các đề thi học sinh giỏi lớp 11 câu dãy số luôn xuất hiện và là câu khó đối với nhiều
học sinh. Trong đó dạng toán phổ biến nhất về dãy số là dạng bài về tìm công thức số
hạng tổng quát của dãy số( CTTQ) và tình giới hạn của dãy số. Để giúp học sinh
THPT đặc biệt là học sinh lớp khá giỏi lớp 11 trường THPT Nguyễn Thái Học có thể
gải quyết được một số dạng bài tập liên quan đến dãy số, tôi chọn viết đề tài:
“ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA
DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI”
Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá
trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng
nghiệp. Đề tài tập trung nghiên cứu cách tìm số hạng tổng quát và cách tính giới hạn
một

số

dãy

số

cho

bằng

công

thức

truy

hồi.

2. Tên sáng kiến:
“ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA
DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG
2


- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học
- Số điện thoại: 0977604246.
- E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học
- Số điện thoại: 0977604246.
- E_mail:
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào dạy học môn ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
11ở trường THPT và bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 11.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 1 năm 2016
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
Sáng kiến gồm 4 phần:
PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
PHẦN 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
PHẦN 3: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN 4: KẾT QUẢ
PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
I. Cơ sở thực tiễn.
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT và hoạt động dạy của thầy và hoạt động
học của trò. Đối với người thầy, ngoài việc truyền thụ kiến thức mới, giúp học sinh

củng cố những kiến thức đã học còn cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học sinh,
giúp các em từng bước vượt qua những khó khăn, thử thách một cách nhẹ nhàng.
Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn
Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài
toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư
duy logic và suy nghĩ linh hoạt. Vì vậy, trong quá trình dạy học giáo viên cần định
hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một cách có hệ thống, biết cách

3


vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết cách đưa bài toán phức tạp về bài toán đơn giản,
biết cách biến cái “không thể” thành cái “có thể”.
II. Cơ sở lý thuyết.
1. DÃY SỐ
1. 1. Định nghĩa:
*
a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên � được gọi là một dãy số vô hạn

(gọi tắt là dãy số).

u : �* � �

Kí hiệu:

n a u ( n).
Dạng khai triển: u1; u2 ; u3 ;...; un ;...
Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un  u (n) là số thứ n hay số hạng tổng quát
của dãy số.
*

b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M   1;2;3;...; m với m �� được gọi là một

dãy số hữu hạn.
1.2. Dãy số tăng, dãy số giảm
*
a) Dãy số (un ) được gọi là tăng nếu un1  un với mọi n �� .
*
b) Dãy số (un ) được gọi là giảm nếu un1  un với mọi n �� .

1.3. Dãy số bị chặn
*
a) Dãy số (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un �M , n ��
*
b) Dãy số (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un �m, n ��

c) Dãy số (un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là
*
tồn tại các số m, M sao cho m �un �M , n �� .

2. CẤP SỐ CỘNG
2.1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai)
2.2. Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d với n  2
4


2.3. Tính chất của các số hạng:
2.4. Tổng n số hạng đầu tiên:

uk 

uk 1  uk 1
2
với k  2

Sn  u1  u2  ...  un 

n(u1  un ) n  2u1  ( n  1)d 
2
2
=

3. CẤP SỐ NHÂN
3. 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q:công bội)
3. 2. Số hạng tổng quát:

un  u1.q n1

với n  2

2
3. 3. Tính chất các số hạng: uk  uk 1.uk 1 với k  2

Sn  nu1
vôùi q  1
�
�
u1 (1  q n )
�
Sn 
vôùi q �1

�
1

q
�
3. 4. Tổng n số hạng đầu tiên:
PHẦN 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
I. Thuận lợi:
+ Bản thân tôi là giáo viên đã ra trường lâu năm, được Ban giám hiệu phân công
đứng lớp chọn và phụ trách đội tuyển nhiều năm nên có kiến thức tương đối chắc chắn
và bao quát toàn cấp học.
+ Học sinh đã được rèn luyện kỹ năng giải bài tập về cấp số cộng, cấp số nhân là
nền tảng để giải các bài toán về dãy số.
+ Phương pháp được dạy cho đối tượng học sinh khá, nên đa số các em có ý thức
học tập tốt và nắm bắt kiến thức tốt.
II. Khó khăn:
+ Học sinh vẫn quen cách học thụ động, không chịu suy nghĩ tìm tòi trước những
câu hỏi khó, lạ.
+ Thời lượng dạy không được nhiều nên nhiều ý tưởng của giáo viên chưa truyền tải
được hết.
PHẦN 3: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
DẠNG 1: TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

5


Một trong các nội dung thường gặp trong các bài toán về dãy số là xác định công
thức số hạng tổng quát của một dãy số cho bởi công thức truy hồi. Có nhiều phương
pháp để giải quyết yêu cầu đó. Tuy nhiên phương pháp thường gặp là biến đổi để qui
về dãy số đặc biệt đó chính là: CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Dạng 1.1. Xác định CTTQ của dãy (un) được xác định :

u1  x0
�
�
un  aun1  b , n �2
�

a, b là các hằng số .
Dãy số kiểu này xuất hiện khá nhiều trong các bài tập về dãy số cũng như trong
các câu hỏi trắc nghiệm. Chúng ta hãy bắt đầu bằng ví dụ đơn giản nhất:
Ví dụ 1: (Bài tập 2.6 phần b sách bài tập đại số và giải tích 11) :
u1  2
�
(un ) : �
un1  un  1
�
Tìm công thức số hạng TQ của dãy (un) được xác định như sau :

Lời giải:
Bài toán này có thể giải bằng các cách khác nhau:
Cách 1: Dự đoán SHTQ rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học
Ta có: u1  2  3  1; u2  1  3  2; u3  0  3  3; u4  1  3  4...
Dự đoán: un  3  n .
Dễ dáng chứng minh được công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.
Cách 2: Từ công thức truy hồi un1  un  1 suy ra: un1  un  1 suy ra dãy số (un ) là

một cấp số cộng, với:

u1  2
�
�
d  1
�

. Khi đó: un  u1  (n  1)d  2  (n  1)(1)  3  n

Ví dụ 2: Xác định SHTQ của dãy số  un  được xác định bởi:
Lời giải:

6

u1  3
�
�
un  2un1; n �2
�


Tương tự như ví dụ 1, có thể giải ví dụ 2 bằng cách dự đoán công thức SHTQ rối
chứng minh bằng quy nạp. Tuy nhiên từ công thức truy hồi ta có thể thấy ngay dãy số

này là một CSN với:

u1  3
�
�
q2
�

n 1
từ đó suy ra: un  3.2

* Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên ta thấy bài toán có thể giải quyết dễ dàng bởi dãy số đã
cho chính là những dãy đặc biệt cấp số cộng ( CSC) hoặc cấp số nhân (CSN). Tuy
nhiên không phải dãy số nào cũng là CSC hay CSN. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 3: (Bài tập 3.11 phần a sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao)
u 1
�
(un ) : �1
un1  3un  10
�
Cho dãy số
Hãy điền các số thích hợp vào bảng sau đây:

n
un

3

5

7

Lời giải:
Dãy số này không phải là CSC hay CSN, tuy nhiên ta có thể biến đổi về CSC, CSN
đối với một dãy trung gian khác.
Thật vậy: Từ công thức truy hồi: un1  3un  10 ta biến đổi về dãy  vn  sao cho  vn  là

một CSN. Tức là:

vn  un  c
�
�
vn1  kvn
�

, ta sẽ tìm dãy  vn  như vậy.

k 3
k 3
�
�
un1  c  k (un  c) � �
��
kc  c  10 �
c5
�
Ta có:

Như vậy dãy số

 vn  với

v n = u n  5 là một cấp số nhân xác định như sau:

v1  6
�
(vn ) : �

vn1  3vn
�
.Ta thấy (vn) lập thành một CSN với số hạng đầu v1=6 công bội q=3
n 1
n 1
n
n
nên vn  v1.q  6.3  2.3 suy ra un  2.3  5

7


Vậy ta có bảng sau:

n

3

5

7

un

49

481

4369

*Từ ví dụ trên ta có cách làm tổng quát cho dãy số dạng :

u1  x0
�
�
un  aun1  b , n �2
�

như sau:
Cách giải:
+ Nếu a  1 thì (un) là cấp số cộng với công sai d=b
+ Nếu a �1 : Ta sẽ phân tích b  k  ak nên

k

b
b
b
b
a
1  a hay
1 a
1 a .

Khi đó công thức truy hồi của dãy được viết như sau:
un  au n1 b � un  au n1 

Từ đó ta có dãy
Suy ra:
hay

un 

b
b
b
b
a
� un 
 a (u n1 
)
1 a
1 a
1 a
1 a

vn  un  c  un 

b
a  1 là 1 CSN có công bội q=a

b
b
 a n1 (u1 
)
1 a
1 a

un  a n 1u1 

b
(a n 1  1)
1 a
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho dãy số:

u1  1
�
�
un1  3un  10, n �2
�

a. Chứng minh dãy số vn  un  1 là 1 CSN
b. Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số trên ĐS:
Bài 2: Tìm công thức SHTQ của các dãy số sau:

a.

u1  1
�
�
un  2un 1  3, n �2
�

n 1
ĐS: un  2  3

8

b.

u1  1
�
�
un1  6un  1, n �1
�

;

ĐS:

un 

1 4 n1
 .6
5 5

Dạng 1.2: Xác định CTTQ của dãy (un) được xác định như sau :
u1  x0
�
(un ): �
un  aun1  f (n)
�

, Trong đó f  n  là đa thức bậc k với n, a là hằng số.
Cách giải:

Ta phân tích f  n   g  n   ag  n  1
TH1: Nếu a=1 ta chọn g(n) là đa thức bậc k+1 có hệ số tự do bằng 0
TH2: Nếu a ≠1 ta chọn g(n) là đa thức bậc k
Khi đó ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: un  g (n)  a (un 1  g (n  1))
n 1
Ta tìm được CTTQ của dãy (un) là: un   u1  g (1) a  g (n) .

Ví dụ 1:(Bài tập 2.5 trang 106 sách đại số và giải tích 11)

Cho dãy (un) xác định bởi

u1  5
�
�
un1  un  3n  2
�

. Tìm CTTQ của dãy (un).

Lời giải:

Cách 1:

u1  5
u1  5
�
�
��
�
un1  un  3n  2 �

un  un1  3n  5
�

2
2
Giải sử: g (n)  an  bn � g ( n  1)  a (n  1)  b(n  1)

Khi đó ta phân tích:

3n  5  g (n)  g (n  1)
� 3n  5  an2  bn  a(n  1) 2  b(n  1)
� 3n  5  2an  b  a
� 3
a
�
3  2a
�
� 2
��
�
5  b  a
7
�
�
b
�
2
Đồng nhất hệ số

3

7
g ( n)  n 2  n
2
2
Khi đó ta xác định được hàm g(n):
9


Từ công thức truy hồi của dãy (un) ta có:
3n 2  7n  14
un  g (n)  un1  g (n  1) Hay un  u1  g (1)  g (n) 
2

Cách 2:

u1  5
�
�
un1  un  3n  2
�

Từ công thức truy hồi Un+1-Un= 3n-2 ta thay các giá trị n=1,2,….
u2  u1  3.1  2
u3  u2  3.2  2
�����..
un  un1  3. n  1  2
cộng
� un 

theo

vế

ta

được:

un  u1  3  1  2  �   n  1   2  n  1

3n 2  7 n  14
2

Ví dụ 2: (bài 3.28 trang 90 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao)
v1  2
Cho dãy số (vn) xác định như sau: �
�
vn1  3vn  2n  1, n �1
�
n
Chứng minh rằng: Vn  3  n,  n �1.

Lời giải:
Cách 1. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Cách 2. Tìm CTTQ của (vn)
Ta có (vn) được xách định như sau:
v1  2
�
�
vn  3vn 1  2n  3, n �2
�

g  n   an  b  �   g  n  1  a  n  1  b
Phân tích:
2n  3  g  n   3g  n  1  

�  2n  3  an  b  3a  n  1  3b  �  2n  3  2an  3a  2b
10


Đồng nhất hệ số ta có:

2  2a
a  1
�
�
��
�
3  3a  2b
b0
�
�

Vậy ta có hàm g  n    n
Từ công thức truy hồi của (vn)
vn  3vn1  2n  3 � vn  3vn 1  g (n)  3 g ( n  1)
� vn  g (n)  3(vn1  g (n  1))  32 (vn2  g (n  2)).......
� vn  g (n)  3n1 (v1  g (1) � vn  3n1 (2  1)  n � vn  3n  n
n
Từ đó ta chứng minh được vn  3  n  ,  n �1

Ví dụ 3: Tính tổng:

Sn  12  22  32  .......  n 2 , n �N *
Lời giải:

�S1  1
�
S  S n1  n 2
Dãy (Sn) được xác định như sau: (Sn): � n
3
2
3
2
g(n)= an  bn  cn ; g(n-1)= a (n  1)  b(n  1)  c(n  1)

Phân tích:
n 2  g (n)  g (n  1)
� n2  a �
n 3  (n  1)3 �
n 2  (n  1) 2 �
�
� b �
�
� c(n  n  1)
� n2  a �
( n  n  1)(n 2  n( n  1)  (n  1)2 �
�
� b(n  n  1)(n  n  1)  c
� n 2  3an 2  (2b  3a )n  a  b  c

Đồng nhất hệ số:
� 1
a
�
3
3a  1
�
�
1
1
1
�
� 1
2b  3a  0 � �
b  � g ( n)  n 3  n 2  n
�
2
3
2
6
�
abc 0 �
�
� 1
c
�
� 6

Từ công thức truy hồi:

11


Sn  Sn 1  g (n)  g (n  1)
� Sn  g (n)  Sn1  g (n  1)  S n2  g (n  2)...
� Sn  g (n)  S1  g (1) � S n  g (n)  S1  g (1)
1
1
1
1 1 1
1
1
1
� S n  n3  n 2  n  1    � Sn  n3  n 2  n
3
2
6
3 2 6
3
2
6
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Cho (un ) được xác định như sau:

u1  2
�
�
un  un1  2n  1
�

. Tìm CTTQ của (un).

2
( n 2  2n )  �
(n  1)2  2(n  1) �
;
�
�
2
n

1

HD: Tách:
ĐS: un  n  2n  1

u0  2
�
�
un  2un1  3n , n �1
�

Bài 2: Cho (un ) được xác định như sau:

Tìm CTTQ của dãy

(un).
HD: Tách

3n   �
3  n  1  6]
 3n  6   2 �
�
�

Bài 3:(BT2.4 trang 106 sách BT địa số và giải tích 11)
u1  1
�
�
un1  un  n 3
�
Cho dãy (un) được xách định như sau:

n �1

a, Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy (un).
b, Tìm số hạng thứ 100 của dãy
ĐS:

un  1 

n 2 (n  1) 2
4

Bài 4: Tính tổng Sn  1.2.3  2.3.4  ��.  n  n  1  n  2   , n �1
�S1  6
n(n  1)( n  2)
( Sn ) : �
Sn 

S

S

n
(
n

1)(
n

2)
n 1
�n
4
HD:
; ĐS:

Bài 5: T ìm CTTQ c ủa d ãy (Un) được xách định như sau:
u1  2
�
n(n  1) 2
(un ) : �
3
un  [
]  2n
u

u


n

2
,

n
�
1,
n
�
N
n
�n 1
2
a,
ĐS:

12


b,

u1  4
�
(un ) : �
un1  un  2n  1 , n �1, n �N
�

Bài 6: T ìm CTTQ c ủa d ãy (Un) được xách định như sau:
u1  2

�
1 2
n 1
(un ) : �
2
u

4.3

(n  n  2)
n
un 1  3un  n  1 , n �1, n �N
�
2
a,
ĐS:
u1  2
�
(un ) : �
un1  4un  3n3  3n 2  3n  1 , n �1, n �N
�
b,
Dạng 1.3: Xác định CTTQ của dãy (un) được xác định như sau :
u1  x0
�
(un ) : �
un  aun1  b n , n �2
�
Cách giải:
TH1: Nếu a=  Ta có :

un  aun1  na n
un un1

b
a n a n1
u
u
u
u
� nn  nn22  2b  nn33  3b  .......  1  (n  1)b
a
a
a
a
n 1
n
� un  u1a  ( n  1)ba
�

TH2: Nếu a � Ta phân tích   k  ak
n

n

n 1


Khi đó có k=   a

Rồi đưa về các dạng đã biết ta tìm được công thức tổng quát của (Un).

u0  1
�
(un ) : �
un  2un1  2n , n �1
�
Ví dụ 1: Cho (un ) được xác định như sau :
Tìm CTTQ của dãy (un ).
Lời giải:
un  2un1  2n
un un1
un  2
u1


1


2

......

 n 1
2n 2n1
2n 2
2
� un  2n1  (n  1)2n
�

13

u0  1
�
(un ) : �
un  3un1  2n , n �1
�
Ví dụ 2: Cho (Un ) được xác định như sau :
Tìm CTTQ của dãy (Un ).
Lời giải:
Ta phân tích :
3k 2n
k
2  k 2  3k 2 � 2  k 2 
� 2n  (  )2n � k  2
2
2
n
n
n 1
� 2  2.2  3(2)2
n

n

n

n

n

Từ công thức truy hồi của dãy (Un ) ta có:
un  3un1  22n  3(2)2n 1
� un  2.2n  3(un1  22n1 )  32 (un2  22 n2 )  33 (un3  22n3 )  ....
 3n1 (u1  221 )  3n (u0  220 )  3n (1  2)  3n1
� un  3n1  2n1

Ví dụ 3: Cho (Un ) được xác định như sau:
u1  2
�
(un ) : �
un  5un 1  2.3n  6.7n , n  2,3
�
Tìm CTTQ của dãy (un ).
Lời giải:
Phân tích
n 1

�
3  k 3  5k 3
�
�n
7  l 7 n  5l 7 n1
�
n

Vậy :

n

5k n �

3
�n
3

(
k

)3
k


�
�
�
�
3
2
��
��
5l
7
�
�
7 n  (l  )7 n
l
�
7
� 2

3 n

3 n1
�n
3


3

5(

)3
�
�
2
2
�
7
7
�
7 n  7 n  5( )7 n1
� 2
2

14


Từ

công

thức

truy

hồi

3
3
7
7
un  5un1  2(  )3n  5(  )3n1  6( 7 n  5( )7 n1
2
2
2
2

� un  33n  217 n  5(un 1  33n1  217 n1 )  52 (un2  33n2  217 n2 )  ......
 5n1 (u1  331  2171 )  5n 1 (2  9  147)  5n1.154
� un  1545n2  3n1  3.7n1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
u1  1
�
�
un1  7un  7 n1 , n �1
�
Bài 1: Cho dãy (Un) được xác định như sau:
Tìm CTTQ của dãy (un ).
un1 un
u
u

u
 n  1  nn11  nn22  3  .........  1  n
n 1
7
7
7
7
HD: 7

;

Đs:

un1  (

u1
 n)7 n1
7

Bài 2: Tìm CTTQ của dãy (Un ) được xác định như sau :
u1  3
�
(un ) : �
n
un 1  un  3.4n , n �1, n �N
�
a,
ĐS: un  4  1
u1  5
�

(un ) : �
un 1  4un  3.4n , n �1, n �N
�
b,
Bài 3: Tìm tất cả giá trị a �R sao cho (Un) xác định bởi:
u1  a
�
(un ) : �
un1  3un  2n , n �1
�
Là dãy số tăng
Dạng 1.4: Cho dãy (Un) được xách định như sau:
u1
�
(un ) : �
un  aun1  b. n  f ( n) , n �2
�

Trong đó f  n  là đa thức bậc k theo n .

Tìm CTTQ của dãy  un  .
Cách giải:
15


n
n
n 1
 Phân tích   k  ak

 Phân tích f  n   g  n   ag  n  1 .
 Trong đó:
+ Nếu a=1 thì g(n) là đa thức bậc k+1 của n
+ Nếu a �1 thì g(n) là đa thức bậc k của n.
Sau đó chuyển công thức truy hồi của dãy (u n) về các dạng đã học ta tìm được
CTTQ của (un).
u1  1
�
�
u  2un1  3n  n , n �2
Ví dụ 1: Cho dãy (un) được xách định như sau: �n
Tìm CTTQ của dãy (un).
Lời giải:
Ta phân tích:

n 1

3  k 3  2k 3
n

n

2k 3n
k
� 3  k3 
� 3n  3n � k  3 � 3n  3.3n  2.3.3n1
3
3
n

n

Ta phân tích :

 n  g (n)  2 g (n  1), g (n)  an  b �  n  an  b  2  a (n  1)  b  �  n  an  2a  b
a 1
a 1
�
�
��
�
2a  b  0 �
b2
�

� g ( n)  n  2

Đồng nhất hệ số ta có
và n  (n  2)  2  (n  1)  2
Từ công thức truy hồi của (Un) thì hồi
un  2un1  3.3n  2.3.3n1  ( n  2)  2  ( n  1)  2 

� un  3.3n  ( n  2)  2 �
(un1  3.3n1  ( n  1)  2) �
�
�
 22 (un2  3.3n2  ( n  2)  2))

16

...................................
 2n1 (u1  3.31  1  2)
 5.2 n1
n 1
n 1
Vậy CTTQ của (un) là un  3  5.2  n  2 .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm CTTQ của dãy (un ) được xách định như sau :
u1  5
�
(un ) : �
un 1  2un  n 2  3.2n , n �1, n �N
�

Bài 2: Tìm CTTQ của dãy (un) biết:

1
un  2n 2  3.2 n1  ( n 2  2n  3)
2
ĐS:

u1  1
�
�
n
�u n 1  3u n  5  2n – 1  n �1  

DẠNG 1.5: Cho dãy (un) được xách định như sau:

u1
�
(un ) : �
un  aun1  bun2  0, n �2
�
Tìm CTTQ của dãy (un).

Cách giải:
Ta đưa CT truy hồi: un  a un1  bun 2  0 về dạng:
un  x1 un1  x2 (un1  x1un 2 )
� un  x1 un1  x2un1  x2 x1un 2
� un  ( x1  x2 )un1  x2 x1un 2  0

Đồng nhất hệ số:

�x1  x2   a
�
�x1 x2  b , n �2

2
Khi đó x1, x2 là nghiệm phương trình:  T  aT  b  0, sau khi tìm x1, x2 thế vào (*) và

dựa vào các dang đã học tìm được CTTQ của dãy (un).

Ví dụ 1: Xác định CTTQ của dãy

u0  1, u1  3
�
(un ) : �
un  5 un1  6un2  0 , n �2

�

Lời giải:
Ta có:
un  5 un1  6un 2  un  x1 un1  ( x2 (un1  x1un2 ))  un  ( x1  x2 )un1  x2 x1un2  0

17


Đồng nhất hệ số:

�x1  x2  5
�
�x1 x2  6

T  2 �x1  2, x2  3
�
� �1
��
T

3
2
�
2
�x1  3, x2  2
� x1, x2 là nghiệm phương trình: T -5T+6=0

Ta chọn x1  2, x2  3 :
� un  5 un1  6un2  0

� un  2un1  3(un1  2un 2 )  32 (un1  2un2 )  3n1 (u1  2u0 )  3n1 (3  2)  5.3n1
5
� un  2un1  5.3n1  2un 1  .3n (*)
3
Áp dụng dạng 3 ta có:
3n  k 3n  2k 3n1 � 3n  (k 

2k n
)3 � k  3 � 3n  3.3n  2.3.3n 1
3

Từ (*) ta có:
5
5
un  2un1  .3n  2un1  (3.3n  2.3.3n 1 )
3
3
n
n 1
� un  5.3  2(un1  3 .5)  2 2 (un2  3n2.5)  2 n1 (u1  31.5)  2 n1 (3  15)  12.2 n1  6.2 n
� un  5.3n  6.2n

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Xác định công thức tổng quát của dãy (U n).được cho bởi công thứ :
u0  1, u1  3
�
(un ) : �
un  5 un1  6un 2  0, n �2
�

Bài 2: Xác định công thức tổng quát của dãy (U n).được cho bởi công thức:
u0  1, u1  2
�
1�
(un ) : �
u

(2  5) n  (2  5) n �
n
u

4
u

u
,

n
�
2
�
�
n
n 1
�n1
2
ĐS

Bài 3: Xác định công thức tổng quát của dãy (U n) được cho bởi công thức:
u1  2, u2  3

�
(un ) : �
un 2  3 un1  2un  0
�

18


Bài 4: Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thức:
u0  2, u1  3
�
(un ) : �
un  3 un1  2un2 , n �2
�
a,

b,

u0  1, u1  2
�
(un ) : �
un  9 un1  18un2 , n �2
�

u0  2, u1  3
�
(un ) : �
un  5un1  6un2 , n �2
�
c,

n 1
ĐS: un  2  1

n 2
n 2
ĐS: un  4.3  2.6

n 1
n 1
ĐS: un  3.2  3

u0  2, u1  3
�
(un ) : �
un  3un1  2un 2 , n �2
�
d,
u0  0, u1  2
�
(un ) : �
un  4un1  3un2 , n �2
�
e,

CÂU HỎI TRĂC NGHIỆM
u1  5
�
�
un1  un  n

�

Câu 1. Cho dãy số  un  với

.Số hạng tổng quát un của dãy số là số

hạng nào dưới đây?
A.
C.

un  5 
un 

(n  1) n
2 .

B.

(n  1) n
2 .

D.

Câu 2. Cho dãy số  un  với

u1  2
�
�
un1  un  2n  1
�

un  5 

( n  1)( n  2)
2
.

un  5 

(n  1) n
2 .

. Số hạng tổng quát un của dãy số là

số hạng nào dưới đây?
A. un  2   n  1 .
2

2
B. un  2  n . C. un  2   n  1 . D. un  2   n  1
2

2

.
Câu 3. Cho dãy số  un  với

u1  2
�
�

un1  2un
�

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này

:
19


n 1
B. un  2 .

n
A. un  2 .

Câu 4. Cho dãy số  un  xác định bởi

n 1
D. un  n .

C. un  2 .
u1  1
�
�
un1  un  2n  1, n �1
�

. Giá trị của n để

un  2017 n  2018  0 là

A. 2018 .

B. 2017 .

C. Không có n .

D. 1009 .

u1  2
�
�
u  4un  4  5n  n �1
được xác định như sau: �n1

Câu 6. Cho dãy số  un 

Tính tổng S  u2018  2u2017 .
2018
A. S  2016  3.4

2018
B. S  2016  3.4

2017
C. S  2015  3.4 .

2017
D. S  2015  3.4

Câu 7. Cho dãy số (un ) xác định bởi
của u2019 .
A. 4.

u1  4
�
.
�
u

3
u

6,

n
�
1
n
�n1

B. 6.

Câu 8. Cho dãy số  un 

Tìm chữ số hàng đơn vị

C. 0.

D. 2.

u1  1
�
�
�
2n
un1  un   1
�
với
. Số hạng tổng quát un của dãy số là

số hạng nào dưới đây?
B. un  1   1 .
2n

A. un  1  n .

C. un  n .

D. un  1  n .

u1  1
�
�
n
(un ) �
�1 �
un1  un  � �n �1
�
�2 �

�
Câu 9: Cho dãy
Tính lim un
A. 2

1
B. 2

Câu 10. Cho dãy số  un  với

C. 1

u1  2
�
�
un1  un  2n  1
�

số hạng nào dưới đây?
20

D. 3

. Số hạng tổng quát un của dãy số là


A. un  2   n  1 .
2

2

B. un  2  n .

C. un  2   n  1 .

D. un  2   n  1 .

2

Câu 11: Cho dãy số có

2

u1  1
�
n �N * 

�
un  2un1  3un2
�

. Khi đó số hạng thứ n+3 là?

A. un 3  2un 2  3un 1

B. un3  2un 2  3un

C. un3  2un 2  3un 1

D. un3  2un 2  3un1
u1  3, u2  2

�
�
un 2  2un 1  3un , n �1.
�

Câu 12. Cho dãy số (un ) xác định bởi
A. u5  17.
B. u5  12.
Câu 13. Cho dãy số  un 

C. u5  19.

Tìm u5 .
D. u5  13.

u1  1
�
�
u  un  n 2
với �n 1
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số

hạng nào dưới đây?
A.
C.

un  1 

n  n  1  2n  2 
6

.

un  1 

n  n  1  2n  2 
6
.

B.
D.

un  1 

n  n  1  2n  1
6
.

un  1 

n  n  1  2n  1
6
.

u1  1
�
�
un1  un  n3 , n ��*
u



�
n
Câu 14. Cho dãy số
xác định bởi
. Tìm số nguyên dương

n nhỏnhất sao cho
A. n  2020 .

un  1 �2039190 .
B. n  2018 .

C. n  2017 .

n  2019 .
2
3
2017
Câu 15. Tính tổng S  1  2.2  3.2  4.2  ........  2018.2
2018
A. S  2019.2  1 .

2018
B. S  2017.2  1 .

2018
C. S  2017.2 .

2018
D. S  2018.2  1 .

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI
21

D.


Dạng 2.1. Tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách xác định
CTTQ của dãy số.
Nếu biết CTTQ của dãy số thì việc tính giới hạn không còn khó khăn nữa. Để tìm ra
CTTQ của dãy số có khá nhiều cách. Trong dạng 1 ở chuyên đề này chúng ta đã đưa ra
được một số cách cơ bản để xác định. Các ví dụ sau đây dùng các phương pháp đã biết
ở dạng 1 để tìm CTTQ của dãy số.
u  10
�
�1
�
1
un1  un  3, n �1
lim un
�
5
Ví dụ 1. Cho dãy số: �
. Tính
Lời giải:
n 3

1 �1 � 15
un  .� � 
4 �5 �

4
Áp dụng dạng 1.1 ta tìm được CTTQ cảu dãy số trên là:
Do đó:

lim un 

15
4 .

u1  1
�
�
n
�
�1 �
un1  un  � �, n �1
�
lim un
�2 �
Ví dụ 2: Cho dãy số: �
. Tính
n 1

�1 �
un  2  � �
�2 �
Lời giải: Áp dụng dạng 1.1 ta tìm được CTTQ cảu dãy số trên là:
Do đó: lim un  2

Ví dụ 3: Cho dãy số:

u0  1; u1  6
�
�
un 2  3un1  2un  0, n �1
�

. Tính

lim

un
3.2n (HSG Bắc Giang)

n
Lời giải: Áp dụng dạng 1.5 ta tìm được CTTQ của dãy số trên là: un  5(2  1)

un
5(2  1)
 lim
 lim
n
3.2
3.2n
n

Do đó:

lim

5
2n  5
3
3

5

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
22


u  5
�
�1
�
2
un1  un  6, n �1
lim un
�
3
Bài 1: Cho dãy số: �
. Tính
.

Bài 2: Cho dãy số:

u1  3
�
�
un1  4un  1, n �1

�

. Tính

lim

un
22 n .

ĐS:

ĐS:

lim un  18
lim

un 2

22 n 3

Nhận xét: Nhiều bài toán việc tìm được CTTQ là khó khăn, khi đó ta có thể tìm giới
hạn dãy số theo cách khác dễ hơn.
Dạng 2.2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng
tính đơn điệu và bị chặn.
Để tìm được giới hạn theo cách này ta cần nắm được các tính chất sau của dãy số:
1. Dãy số tăng và bị chặn trên hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới thì có
thì có giới hạn hữu hạn
lim un
2. Nếu dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện un �M , n và tồn tại
thì

lim un �M
lim un
lim un �m
3. Nếu dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện un �m, n và tồn tại
thì
lim un  lim un1
4. Giải sử dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn thì
�
u1  2
�
�
lim un
u  2  un , n �1
Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) xác địn bởi: �n1
. Tìm
Lời giải:
Ta sẽ chứng minh dãy (un ) tăng và bị chặn trên.
Thật vậy: Chứng minh dãy số tăng bằng quy nạp như sau:
- Với n=1 ta có: u2  2  u1  2  2  2  u1

u  2  uk 1  2  uk  uk 1
- Giả xử uk 1  uk , khi đó k  2
. Vậy un1  un , n �1
Hay dãy số (un ) tăng nê sẽ bị chặn dưới bởi
chặn trên bởi 2 bằng quy nạp, thật vậy:
23

2 . Ta sẽ chứng minh dãy số (un ) bị

- Khi n=1 ta có u1  2  2

u  2  uk  2  2  2
- Giả sử , uk  2, k �1 , khi đó k 1
Vậy dãy số (un ) bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn.
Giả sử

lim un  a

thì a � 2 .

Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có:
a  1(l )
�
lim un1  lim 2  un � a  2  a � a 2  a  2 � �
a2
�

Vậy

lim un  2

u1  0
�
�
1�
2�
�
u


u

, n �1
�
�
n

1
n
�
2
u
n �
�
Ví dụ 2 : Cho dãy số (un) xác định như sau: �

Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải :
1�
2�
u1  0, un1  �
un  � 0, n �1
2 � un �

1�
2�
2
un1  �
un  �� un .  2, n �1
2 � un �

un
Áp dụng bất đẳng thức CôSi :
�
un

2, n 1 hay dãy số (un ) bị chặn dưới bởi

2

Dự đoán dãy số giảm, ta sẽ chứng minh .
Thật vậy :

- Xét hiệu :

1�
2�
1 � un2 �
un1  un  �
un  � un  �
1 �
2 � un �
un � 2 �

un2
un ��
2 ��
 1
2
Do

un2
1
2

0

un1 un

24

hay dãy số giảm.


Như vậy dãy số (un ) giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn. Giả sử

lim un  a (a>0) � lim un1  a
Vậy

. Ta có phương trình:

a 2
1� 2� �
a  �a  �� �
2� a � �
a   2(l )

lim un  2

u1  2019
�

(n �N *)
�
2
u

2019
u

u
n
n
Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định như sau: �n1
lim(
Tìm:

u1 u2 u3
u
   ...  n ).
u2 u3 u4
un1
Lời giải:

2
Dễ dàng chứng minh được dãy tăng vì: un1  un  2019un  0 n suy ra dãy số bị

chặn dưới bởi u1=2019 hay un �2019, n �1
2
Giả sử dãy số có giới hạn hữu hạn là a( a>2019) thì : a  2019a  a � a  0  2019

suy ra dãy số không có giới hạn hữu hạn hay lim un  �

un
un2
(u  u )
1
1
1

 n1 n 
( 
)
u
u
u
2019
u
u
2012
u
u
n

1
n

1
n
n

1

n
n
n

1
Ta có :
S
Vậy :

1
1
1
1
.lim( 
)
2019 n��u1 un1
2019 2

u1  0
�
�
1�
2�
�
un1  �
un  �
, n �1
�
2
u

n �
�
Ví dụ 3 : Cho dãy số (un) xác định như sau: �

Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải :
1�
2�
u1  0, un1  �
un  � 0, n �1
2 � un �
Ta có :

25