sức bền vật liệu ( kiến thức nền tảng)

CHƯƠNG 5

ĐẶC TRƯNG HÌNH

HỌC CỦA HÌNH PHẲNG

SỨC BỀN VẬT LIỆU F1


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

Đặt vấn đề

P

? ? ?

P


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

NỘI DUNG

5.1 Mô men tĩnh và trọng tâm của hình phẳng

5.2 Các đặc trưng quán tính của hình phẳng

5.3 Phép biến đổi hệ trục đối với các mô men quán tính

Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

1. Mô men tĩnh
Sx =

y
F

F

A

Sy =

dF
y

O

∫ y dF

∫ xdF
F

ρ

Thứ nguyên:
x

x

[S x ] = [S y ] = [L]3

Giá trị:
S x , S y <>= 0


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

5.1 Mô men tĩnh và trọng tâm của hình phẳng

1. Mô men tĩnh
Ví dụ:
Tính

y

Sx, Sy = ?

dF = b.dy

b

dy
h

C
y
x
O

Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

5.1 Mô men tĩnh và trọng tâm của hình phẳng

2. Trục trung tâm
Định nghĩa: Khi mô men tĩnh của hình phẳng F với một trục bằng 0
thì trục đó gọi là trục trung tâm
y

Sy = 0

b

→ y là trục trung tâm

h

C

x
O


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

5.1 Mô men tĩnh và trọng tâm của hình phẳng

3. Trọng tâm

Định nghĩa: Trọng tâm là giao của ít nhất 2 trục trung tâm

S x1 = 0
Sy = 0

y
b

C(xc,yc) là trọng tâm của hình phẳng
h

x1

C

O

x


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

4. Hệ quả: ta tính được mô men tĩnh của một hình nếu biết trọng
tâm hoặc ngược lại xác định được trọng tâm nếu biết mô men
tĩnh của hình mà không phải qua phép tính tích phân.

S x = Fyc
S y = Fxc
Nếu hình được ghép bởi nhiều hình đơn giản thì công thức

tính mô men tĩnh:
n

S x = ∑ Fi y ci
i =1
n

S y = ∑ Fi xci
i =1


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

5.1 Mô men tĩnh và trọng tâm của hình phẳng

3. Trọng tâm
Cách xác định trọng tâm

Sx
S x = F . yc → yc =
F
Sy
S y = F .x c → x c =
F

Đối với hình ghép:
n

yc =

Σ S xi

i =1
n

Σ Fi

n =1

n

=

Σ Fi . yci

i =1

n

Σ Fi

i =1

n

xc =

Σ S yi

i =1

n

Σ Fi

n =1

n

=

Σ Fi .xci

i =1

n

Σ Fi

i =1


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

5.1 Mô men tĩnh và trọng tâm của hình phẳng

Ví dụ: Tìm trọng
tâm của hình sau

Chọn trục tọa độ xOy

y
2cm

Chia hình thành những hình
đã biết tọa độ trọng tâm

2cm

2cm

1
2

4cm

⎧ xc1 = 0
⎪
⎨ yc1 = 6
⎪ F = 96
⎩ 1

C

yc =
6cm
1

O

2

⎧ xc2 = 0
⎪
⎨ yc2 = 8
⎪ F = 12.56
⎩ 2

6.96 − 8.12,56
= 5,7cm
x
96 − 12,56

xc = 0;


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

5.2 Các đặc trưng quán tính của hình phẳng

1. Mô men quán
tính của hình
phẳng

2. Một số
trường hợp
đặc biệt

3. Công thức
chuyển trục

Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

5.2 Các đặc trưng quán tính của hình phẳng

1. Các đặc trưng quán tính của hình phẳng
Mô men quán tính li tâm

J xy = ∫ xydF

[J ] = [L]

4

xy

J xy

<>=0

F

Trục quán tính chính

J xy = 0

Trục quán tính chính trung tâm

Sx = S y = 0

J xy = 0
Chú ý

Nếu hình có 1 trục đối xứng, thì bất cứ trục nào vuông góc với trục
đối xứng đó cũng tạo thành 1 hệ trục quán tính chính


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

2. Một số trường hơp cơ bản

y

J x = ∫ y 2 dF =

Hình chữ nhật

F

h/2

∫ ybdy =

−h / 2

b

3

bh

12

dy
y

3

hb
Jy =
12

h

x
O

Hình tròn
J 0 = ∫ ρ dF
2

y
dF = 2 π ρ d ρ

F

D/2

Jo =

∫ρ

0

2

2πρdρ = 2π

ρ4
4

D

2

0

dρ
ρ
O

D
2

x

J0 =

πD 4
32

J 0 πD 4

Jx = Jy =
=
2
64


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

2. Một số trường hợp cơ bản
Hình vành khăn

Hình tam giác
y

y

J0 =

d/2

πD 4
32

−

πd 4
32

dy
h

by

y

xC

h/3

x

x
b

D/2

bh 3
Jx =
12

bh 3
J xc =
36

elip
bán nguyệt
y

yc =

y
b

a

Jx =

πab3
4

yc

C

xc
x

2D
3π

J xc = 0,00686 D 4


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

2. Một số trường hợp cơ bản
Thép hình
Tra bảng các giá trị kích
thước và các đặc trưng
quán tính theo số hiệu thép

h, F , J x , J y


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

3. Công thức biến đổi hệ trục quán tính
• Công thức chuyển trục song song

• Công thức xoay trục

• Xác định trục quán tính chính trung tâm


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

3. Công thức biến đổi hệ trục quán tính
Công thức chuyển trục song song
Y

Công thức xoay trục

y
F

Y

A

y

y
dF

F
dF

y
A

b

o

x

O

a

X

Jx =

∫ ( y + b)

2

x

v

∫
F

x

x

u= xcosα + ysinα
v= ycosα - xsinα

y 2 dF + 2 b ∫ ydF + b 2 ∫ dF
F

F

J X = J x + 2 bS x + b F
2

Ju =

J Y = J y + 2 aS y + a 2 F
J XY = J xy + aS x + bS

y

+ abF

Jv =

Nếu x, y là hệ trục trung tâm thì:

J XY = J xy + abF

(α > 0)

α

dF =

J X = J x + b2F

u

X

F

=

u

v

JY = J y + a2F

J uv =

Jx + Jy

2
Jx + Jy
2
Jx − Jy
2

+
−

Jx − Jy
2
Jx − Jy
2

cos 2α − J xy sin 2α
cos 2α + J xy sin 2α

sin 2α + J xy cos 2α


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

4. Mô men quán tính chính trung tâm
Trục quán tính chính trung tâm và mô men quán tính chính
trung tâm
v

J uv =

y

u

α0
C

Jx − Jy
2

⇒ tg 2α 0 = −

sin 2α 0 + J xy cos 2α 0 = 0
2 J xy
Jx − Jy

x

J 1, 2 =

Jx + Jy
2

⎛ Jx − Jy
± ⎜⎜
⎝ 2

2

⎞
⎟⎟ + J xy 2 = J max,min
⎠

Mô men quán tính chính trung tâm J1,2 cũng chính là giá trị mô men
quán tính cực trị Jmax,min


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

Ví dụ: Tính mô men quán tính chính trung tâm của hình phẳng
yo Y c

- Xác định trọng tâm:
XC = 0

zo
Yc

C
h

xo
Xc

YC =

23,4.2,07 + 23,4.(− 9 ) + 2.9.(− 19 )
= −7,78cm
23,4 + 23,4 + 18

- Trục quán tính chính trung tâm:
- Tính mô men quán tính chính trung

tâm:

2cm

2.9 3
J yC = J + J + J = 1520 + 82,6 +
= 1724,9cm 4
12
2
J xc = J 1x + J x2 + J x3 = 113 + (2,07 + 7,78) .23,4 +
1
y

[20: F1=23.4 cm2

I18: F2=23.4 cm2

z0=2.07 cm

h=18 cm

Jx1=1520 cm4

Jx2=1290 cm4

J

y1=113

cm4

J

y2=82.6

cm4

2
y

3
y

2.93
2
+ 1290 + (9 − 7,78) 23,4 +
+ (19 − 7,78) 2.9 =
12
= 6095,6cm 4
2


Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng

Do you have questions ?

Thank’s for your attention !