Tổ hợp và xác suất ôn thi THPT Toán đầy đủ và chi tiết

BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Đỗ Văn Thọ
(Biên soạn)


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

BÀI TẬP: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
A. Các bài toán về số sổ hợp, số chỉnh hợp và nhị thức niu – tơn
I. Một số kiến thức cần ghi nhớ:
Pn  n !  n.  n  1 .  n  2  ......1
0!  1

n!
, 0kn
k ! n  k  !
n!
Ank 
, 1 k  n
 n  k !

Cnk 

Cnk  Cnnk , 0  k  n
Cnk  Cnk11  Cnk1 , 1  k
a  b

n

 Cn0 a n  Cn1a n1b  Cn2 a n2b 2  ...  Cnk a nk b k  ...  Cnn1ab n1  Cnnb n

n

  Cnk a n k b k
k 0

a  b
n

n

k

n

 Cn0 a n  Cn1a n1b  Cn2 a n2b 2  ...   1 Cnk a nk b k  ...   1 Cnnb n
k

   1 Cnk a nk b k
k 0

n

Số hạng tồng quát của nhị thức  a  b  có dạng Tk 1  Cnk a nk bk
II. Bài tập:
Bài 1: Cho k, n là các số nguyên và 3  k  n . Chứng minh
Cnk3  Cnk  3Cnk 1  3Cnk 2  Cnk 3
Bài 2: Cho k, n là các số nguyên và 4  k  n . Chứng minh

Cnk 4  Cnk  4Cnk 1  6Cnk 2  4Cnk 3  Cnk 4
Bài 3: Cho k, n là các số tự nhiên và 4  k  n . Chứng minh
2Cnk  5Cnk 1  4Cnk  2  Cnk 3  Cnk22  Cnk33
Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau:
Annk2  Annk1  k 2 Ann k , k  2
A kn  Ank1  kAnk11 , n  k  1
nCnk   k  1 Cnk 1  kCnk , n  k  0, n  0
k  k  1 Cnk  n  n  1 Cnk22 , n  k  2

2


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

Bài 5: Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng của x của:
10
8
 x
b.  3  2x 
a. 1  
 2
Bài 6: Khai triển:
7
6
1
7

a.  x  

b.  a  b 
c. P  x    x 2  1 x 2  1
x

Bài 7: Tìm số hạng chính giữa của khai triển:
2008
4
10

a. 1  x 
b. P  x    x  
x

Bài 8: Tìm số hạng không chứa x của khai triển:
12
1

a. P  x     x  , x  0
x

7

1 

b.  3 x  4  , x  0
x

n

28


 3

15
Bài 9: Trong khai triển  x x  x  , tìm số hạng không chứa x. Biết rằng:


n
n 1
n2
Cn  Cn  Cn  79 , n  2

8

Bài 10: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu – tơn
n
1
n 1
n
5 
 3  x  , biết rằng Cn 4  Cn3  7  n  3 , n  0
x

Bài 11: Tìm các số hạng nguyên trong khai triển:
7
5
4 

3
a. 2  3

b.  5  3 
2

Bài 12: Tìm hệ số của:
75
a. x10 trong khai triển  5  3x 





40

1 

b. x trong khai triển  x  2 
x 

Bài 13: Tìm hệ số của:
15
a. x25 y10 trong khai triển của  x3  xy 
31

b. x101 y 99 trong khai triển  2 x  3 y 
Bài 14: Trong khai triển  x 


200

12

1
 hãy tìm số hạng tự do.
x
3


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

Bài 15: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn:
4

3
c/  x  
x


5

a/ ( 2a+b) ,

b/ ( x-3y) ,

6

Bài 16: Tìm hệ số của:
10

a. x16 trong khai triển  x 2  2 x 

2009

1

b. x
trong khai triển  x 2  3 
x 

12
1

c. x8 trong khai triển  x   (ĐHCHQG - 2000)
x

10
d. x 3 y 7 trong khai triển  2x  y 
1008

10

1

e. x trong khai triển  3x 2  
3

20
 3 3
12

f. x trong khai triển  2x  
x

21
 5
1 
43
g. x trong khai triển  x 

3 2
x 

10

10

Bài 17: Tìm số hạng chứa x28 trong khai triển  x 3  xy 
Bài 18: Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển:
21

a.  x3  xy  (nghĩa là có 2 số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11, 12)
20



1 
4

b. x x 
2 


3
xy




Bài 19: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
7
1 
3
a.  x  4  , với x>0 (ĐH khối D - 2004)
x

17

 1

b. 
 4 x 3  , với x  0
3 2
 x

50

1 
c.  x 
 , với x  0
3 2
x 



(ĐH QG HN 2000)

4


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

12

 1

d.  3 2  x 3 x  , với x  0
 x

16



1
e.  1 
 x3  , với x  0
4 2
x


60

1 

f.  x  14  , với x  0
x 

12
1 
3
g.  x  4  , với x  0
x


h. 1  x 2  x 4 

8

20

1 

i.  x 2 
 , với x  0
x

15
 3 3
j.  2x  2  , với x  0
x 

28 n


 3

Bài 20: Trong khai triển  x x  x 15  , x  0 . Hãy tìm số hạng không phụ


thuộc vào x, biết rằng Cnn  Cnn 1  Cnn 2  79
Bài 21: Tìm hệ số của số hạng chứa:
12
1


5
a. x8 trong khai triển  4  x 
x

5
10
5
b. x trong khai triển x 1  2 x   x 2 1  3x 
(Khối D - 2007)
Bài 22: Giải các phương trình sau:
7
a. Cn1  Cn2  Cn3  n
2
1
2
3
b. Cn  6Cn  6Cn  9n2  14n
c. Cn2 Cnn 2  2Cn2 Cn3  Cn3Cnn3  100

d. Pn 3  720 An5 Pn5
e. 2 Pn  6 An2  Pn An2  12
f. An3  3 An2  12 Pn 1
g. Cn4  Cn5  3Cn61

5


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ
n

1
Bài 23: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  3  x5  , biết rằng
x

n 1
n
Cn 4  Cn 3  7  n  3 
8

n


3 
Bài 24: Cho khai triển  x3  3 2  . Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên
x 

trong khai triển bằng 631. Tìm hệ số của số hạng có chứa x5

Bài 25: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức sau
18
12
1
 3 1

a.  x  3 
b.  x  
x
x



12
 x 3
4
Bài 26: Tìm hệ số của số hạng x trong khai triển   
3 x
28 n

 3

Bài 27: Trong khai triển  x x  x 15  ,  x  0  . Hãy tìm số hạng không chứa


n
n 1
n 2
x . Biết rằng Cn  Cn  Cn  79

Bài 28: Tìm x trong khai triển của nhị thức
n

1
x 
 x
2
 2  2  có tổng số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng


n 2
n1
n
Cn  Cn  Cn  22
n

1 

Bài 29: ìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức  x3  2  .
x 

Biết tổng ba hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba trong khai triển trên là 11
2

Bài 30: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển

6



Bài 31: Tìm số hạng nguyên trong khai triển


2

3  15



33

9

15

Bài 32: Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển  x 3  xy 

B. Một số bài toán về quy tắc đếm:
I. Tóm tắt kiến thức:
1. Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong hai
phương án A hoặc B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách, phương
án B có thể thực hiện m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m
cách
6


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

2. Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và
B. Công đoạn A có thể làm theo n cách, công đoạn B có thể làm theo m
cách. Khi đó công việc được thực hiện theo n.m cách
3. Hoán vị (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó ta
lấy “tất cả” n phần tử đó ta đi sắp xếp vào “n vị trí” đã có sẵn
4. Chỉnh hợp (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó
ta lấy ra “k phần tử trong n phần tử”, sau đó ta lấy k phần tử đó ta
“sắp xếp vào k vị trí” đã có sẵn thì gọi là “chỉnh hợp chập k của n phần
tử”
5. Tổ hợp (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó ta
lấy ra “k phần tử trong n phần tử”, gọi là “tổ hợp chập k của n phần
tử”
Nhận xét: Chỉnh hợp khác tổ hợp ở chỗ là “Chỉnh hợp thì ta lấy ra k
phân tử trong n phần tử rồi đi sắp xếp vào k vị trí đã có sẵn” còn “tổ
hợp thì ta chỉ lấy ra k phần tử trong n phần tử chứ không sắp xếp gì
hết”.
* Các chú ý khi giải bài tập
1. Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt
(trường hợp số 0 đứng đầu trong bài toán đếm số, các điều kiện ràng buộc khác của
bài toán…)
2. Ta thường lẫn lộn giữa tổ hợp và chỉnh hợp, điểm khác nhau cơ bản là sắp
xếp có thứ tự hay không. Để phân biệt ta làm như sau: Đầu tiên ta đưa ra một đáp
án của bài toán sau đó ta đảo vị trí các phần tử trong đáp án, nếu:
- Tạo nên đáp án mới  có thứ tự  tổ hợp
- Không tạo nên đáp án mới  không có thứ tự  chỉnh hợp
II. Bài tập:
Bài 1: Một lớp có 30 học sinh. Cần chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn
làm lớp phó và một bạn làm thư ký. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học
sinh nào cũng có khả năng làm lớp trưởng, lớp phó hoặc thư ký như nhau.
Bài 2: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ.

7


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

a) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi về môi trường.
b) Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ tham gia sân chơi
kiến thức dưới cờ.
c) Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh trực an toàn giao thông, biết rằng trong
đó phải có ít nhất 2 học sinh nam.
Bài 3: Một trường phổ thông có 5 học sinh giỏi lớp 10, 6 học sinh giỏi lớp 11
và 8 học sinh giỏi lớp 12. Cần chọn 4 học sinh để tham gia đội tuyển thi “Đố
vui để học”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu mỗi khối có ít nhất một học
sinh.
Bài 4: Một học sinh có 4 quyển sách Toán khác nhau và 3 quyển sách Văn
khác nhau. Cần sắp xếp 7 quyển sách trên thành một dãy theo hàng ngang trên
một tủ sách.
a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp.
b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu 2 quyển kề nhau phải khác nhau.
Bài 5: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu:
a) Số lẻ có 3 chữ số khác nhau.
b) Số chia hết cho 5 và có 3 chữ số khác nhau.
Bài 6: Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ
tịch, 1 uỷ ban thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có
mấy cách ?
Bài 7: Từ 7 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số
đôi một khác nhau
a. Nếu số đó là số lẻ

b. Nếu số đó là số chẵn
ĐS: a. 900 số b. 1260 số
Bài 8: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách
xếp sao cho :
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ?
b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề
nhau ?
8


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được
ngồi kề nhau ?
Bài 9: Cho tám chữ số 0;1; 2;3; 4;5;6; 7 . Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4
chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10
ĐS: 1260 số
Bài 10: Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy
số đôi một khác nhau và :
a) Gồm 3 chữ số ?
b) Gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400 ?
c) Gồm 3 chữ số và chẵn ?
d) Gồm 3 chữ số và chia hết cho 5 ?
Bài 11: Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5
chữ số khác nhau.
Bài 12: Xét dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, …., 8, 9)
thỏa chữ số vị trí số 3 là số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, các chữ số
4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

Bài 13: Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác
nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các chữ số trên.
Bài 14: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ
X mà chữ số 1 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
Bài 15: Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu,
sau đó xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng.
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành.
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành.
Bài 16: Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0,
2, 3, 6, 9.
Bài 17: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của
mỗi số là một số lẻ.
Bài 18: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
Bài 19: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu:
9


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

a) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một.
b) Số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
c) Số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9.
Bài 20: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ
số khác nhau mà số đó không chia hết cho 3.
ĐS: 66 số
Bài 21
a. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu
tiên là số lẻ

b. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba số lẻ
và ba chữ số chẵn
ĐS: a. 42.000 số
b. 64.800 số
Bài 22: Cho các chữ số 0;1; 2;3; 4;5 . Từ các chữ số đã cho ta lập được
a. Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau từng đôi một
b. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng
đôi một
c. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng
đôi một
ĐS: a. 156 số b. 36 số c. 16 số
Bài 23: Với các chữ số 0;1; 2;3; 4;5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 5
ĐS: 1560 số
Bài 24:
a. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau đôi một
b. Từ có chữ số 0;1; 2;3; 4;5;6; 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi
một khác nhau
ĐS: a. 648 số b. 3000 số
Bài 25: Từ các chữ số 1; 2;3; 4;5; 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác
nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6
không đứng cạnh nhau
10


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

ĐS: 480 số

Bài 26: Từ các chữ số 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 thiết lập tất cả các số có 9 chữ số
khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9
đứng ở vị trí giữa
ĐS: 40.302 số
Bài 27:
a. Có nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số
1; 2;3; 4;5
b. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số
1; 2;3; 4;5; 6 mà các chữ số đó nhỏ hơn số 345
ĐS: a. 24 số
b. 50 số
Bài 28: Với các số 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có
3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789
ĐS: 171 số
Bài 29: Với các chữ số 1; 2;3; 4;5; 6 ta lập các số mà mỗi số có 5 chữ số,
trong đó các chữ số khác nhau đôi một. Hỏi:
a. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2
b. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và số 6
ĐS: a. 600 số b. 480 số
Bài 30: Cho tập A  0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số
khác nhau nhỏ hơn 600.000 được thiết lập từ tập A đã cho
ĐS: 36.960
Bài 31: Cho tập A  0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 có thể thành lập bao nhiêu số gồm
6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1
ĐS: 42.000 số
Bài 32: Cho tập A  0;1; 2;3; 4;5;6; 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5
chữ số khác nhau đôi một trong các trường hợp sau:
a. Số 5 chữ số là số chẵn
b. Một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1

11


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

ĐS: a. 3000 số b. 2280 số
Bài 33: Một lớp học có 25 học sinh. Lớp học muốn chọn ra: một lớp trưởng,
một lớp phó, một thủ quỹ mà không kiêm nhiệm. Hỏi có bao nhiêu cách
ĐS: 13.800 cách
Bài 34: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn
chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một
bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?
ĐS: 1200 cách
Bài 35: Một nhóm học sinh gồm 10 nam, 6 nữ. Chọn ra một tổ gồm 8 người.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn để tổ có nhiều nhất là năm nữ
ĐS: 12825 cách
Bài 36: Một lớp học có 40 học sinh, lớp cần cử ra một ban cán sự lớp gồm
một lớp trưởng, một lớp phó và 3 ủy viên. Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự
lớp
ĐS: 13.160.160
Bài 37: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D và E vào một
chiếc ghế dài sao cho:
a. Bạn C ngồi chính giữa
b. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế
ĐS: a. 24 cách b. 12 cách
Bài 38: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta
chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra
không có đủ ba màu

ĐS: a. 645 cách
Bài 39: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn
xếp chỗ ngồi cho 10 hoc sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
chỗ ngồi nếu:
a. Các học sinh ngồi tùy ý
b. Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi môt bàn
ĐS: a. 3.628.800
b. 28.800
12


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

Bài 40: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao
nhiêu cách cử ba người đi dự hội nghị Hội học sinh của trường sao cho trong
ba người đó có ít nhất một cán bộ lớp
ĐS: 324 cách
Bài 41: Có 5 nhà toán học nam, ba nhà toán học nữ và bốn nhà vật lý nam.
Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học
và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách
ĐS: 90 cách
Bài 42: Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh
được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau:
a. Nếu phải có ít nhất hai nữ
b. Nếu chọn tùy ý
ĐS: a. 3.764.320
b. 8.145.060
Bài 43: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có

bao nhiêu cách chọn ra năm người sao cho:
a. Có đúng hai nam trong năm người đó
b. Có ít nhất hai nam và ít nhấ một nữ trong năm người đó
ĐS: a. 102 số b. 12.900 số
Bài 44: Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam
a. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng
nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau
b. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam
ĐS: a. 120 cách
b. 66 cách
C. XÁC SUẤT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của
nó, mặc dù ta đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó
- Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là
không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là 
- Biến cố là một tập con của không gian mẫu
13


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

- Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập
 được gọi là biến cố chắc chắn.
- Xác suất của biến cố A
Ta gọi n  A là số phần tử của A, còn n    là số kết quả có thể xảy ra của
phép thử. Khi đó xác suất của biến cố A, kí hiệu là P  A 
n  A

P  A 
n 
II. Bài tập:
Bài 1: Xác định không gian mẫu và số phần tử khi gieo ngẫu nhiên 1 đồng xu:
a. 1 lần
b. 2 lần liên tiếp
c. 3 lần liên tiếp
Bài 2: Xác định không gian mẫu và số phần tử khi gieo ngẫu nhiên:
a. 1 con xúc xắc
b. 2 con xúc xắc
c. 3 con xúc xắc
Bài 3: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 50
a. Mô tả không gian mẫu
b. Gọi A là biến cố “Số được chọn là số nguyên tố”. Hãy liệt kê các kết quả
thuận lợi cho A
Bài 4: Trong bình có 6 viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 4 viên bi
trắng và 2 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi
a. Mô tả không gian mẫu
b. Mô tả biến cố có 2 bi trắng
c. Biến cố: “có nhiều nhất 2 bi trắng” có bao nhiêu khả năng?
Bài 5: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để:
a. Số được chọn là số nguyên tố
b. Số được chọn chia hết cho 3
Bài 6: Gieo hai con xúc xắc cân đối
a. Mô tả không gian mẫu
14


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

b. Gọi A là biến cố “tổng số chấm xuất hiện của hai con xúc xắc nhỏ hơn
hoặc bằng 7”. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính P  A 
c. Cũng câu hỏi như trên cho các biến cố B: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất
hiện mặt 6 chấm” và C: “Có đúng một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”
Bài 7: Một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ
a. Cần chọn nhóm 4 người để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác
nhau?
b. Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một nhóm 4 người ta được nhóm có
đúng 1 nữ
Bài 8: Cho tám quả cân có trọng lượng 1kg, 2kg, …,8kg. Chọn ngẫu nhiên 4
quả cân. Tìm xác suất để tổng trọng lượng bốn quả cân được chọn không vượt
quá 12kg
Bài 9: Trong 100 vé xổ số có 1 vé trúng 100.000 đồng, 5 vé trúng 50.000
đồng và 10 vé trúng 10.000 đồng. Một người mua ngẫu nhiên 4 vé. Tìm xác
suất để người mua trúng thưởng 250.000 đồng
Bài 10: Gieo đồng thời ba con xúc xắc. Tìm xác suất để:
a. Tổng số chấm xuất hiện ở 3 con là 10
b. Tổng số chấm xuất hiện ở 3 con là 7
Bài 11: Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó
có 6 nam và 4 nữ. Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người. Tìm xác suất để
a. Có 6 khách là nam
b. Có 4 khách nam, 2 khách nữ
c. Có ít nhất 2 khách nữ
Bài 12: Một hòm có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm
thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn
Bài 13: Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ ta được một sấp
bài. Tính xác suất để trong sấp bài này chứa hai bộ đôi (ĐS: 123552 / C525 )
Bài 14: Tìm xác suất để khi gieo con xúc xắc 6 lần độc lập, không lần nào

xuất hiện mặt có số chấm là một số chẵn. (ĐS: 1 / 64 )

15


Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất

Đỗ Văn Thọ

Bài 15: Một người đi du lịch mang 3 hộp thịt, 2 hộp hoa quả và một hộp sữa
kích thước và hình dáng giống hệt nhau. Do trời mưa nên các hộp bị mất
nhãn. Chọn ngẫu nhiên 3 hộp. Tìm xác suất để trong đó có 1 hộp thịt, 1 hộp
sữa và 1 hộp hoa quả. (ĐS: 9 / 28 )
Bài 16: Tám người trong đó có hai vợ chồng anh Bình được xếp ngẫu nhiên
xung quanh bàn tròn. Tìm xác suất để họ ngồi cạnh nhau (ĐS: 2 / 7 )
Bài 17: Một bình chứa 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3
viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi. Tìm xác suất để rút được 5 viên bi
trắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏ (ĐS: 45 / 286 )
Bài 18: Một đoàn tàu có 7 toa đổ ở một sân ga. Có 7 hành khách từ sân ga lên
tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn một cách ngẫu nhiên lên một toa. Tìm
xác suất để có đúng 1 khách lên tàu
(ĐS: 7!/ 7 7 )
Bài 19: Một đợt xổ số phát hành 20.000 vé trong đó có 1 giải nhất, 100 giải
nhì, 200 giải ba, 1000 giải tư và 5000 giải khuyến khích. Tìm xác suất để 1
người mua 3 vé, trúng 1 giải nhì, 2 giải khuyến khích (ĐS:
25999 / 199996666 )
Bài 20: Gieo đồng thời 3 con xúc xắc. Tìm xác suất để tổng số chấm xuất hiện
của ba con là 10 (ĐS: 1 / 9 )

16

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

6

Chuyên đề

T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON
Bài 1. NHỊ THỨC NEWTON

I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững
 Nhị thức Newton là khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng:
n

( a + b)n = ∑ Cnk .an − k .b k = Cn0 an + Cn1 an −1b + Cn2 an − 2 b2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnn −1 abn −1 + Cnn bn .
k =0

 Nhận xét trong khai triển nhị thức:
+ Trong khai triển ( a ± b)n có n + 1 số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu
và số hạng cuối thì bằng nhau: Cnk = Cnn− k .
+ Số hạng tổng quát dạng: Tn +1 = Cnk .an − k .b k và số hạng thứ N thì k = N − 1 .
+ Trong khai triển ( a − b)n thì dấu đan nhau, nghĩa là + , rồi − , rồi + , ….…
+ Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n.
+ Nếu trong khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được
những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như:
x =1

• (1 + x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn →
Cn0 + Cn1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn = 2n.
x =−1

• (1 − x)n = Cn0 xn − Cn1 xn −1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( −1)n Cnn ⇒ Cn0 − Cn1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1)n Cnn = 0.
 Công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển):
+ Hoán vị: Pn = n ! = n.( n − 1).(n − 2)...3.2.1, (n ≥ 1). .
+ Chỉnh hợp: Ank =
+ Tổ hợp: Cnk =

n!
, (1 ≤ k ≤ n) . .
(n − k )!

Ak
n!
= n , (1 ≤ k ≤ n) và Cnk + Cnk +1 = Cnk ++11 .
k !.( n − k )!
k!

II. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều cho trước
1) Khai triễn dạng: (axp + bx q )n kết hợp với việc giải phương trình chứa Ank , Cnk , Pn .
BT 1.

Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triễn của nhị thức:

a)  x +


5

12

1
 , ∀x ≠ 0.
x

ĐS: 924.


1 
b)  x 3 − 2  ⋅
x 


ĐS: −8064.

x 3
d)  +  ⋅
3 x

ĐS: 495.


1 
f)  2 x +
 , ( x > 0).
5
x


10


1
c)  2 x −  , ∀x ≠ 0.
x


12

ĐS: 6528.

17

7

 1

+ 4 x 3  , ∀x ≠ 0.
h) 
ĐS: 24310.

3 2
 x

Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:


1 

g)  3 x +
 , ∀x > 0.
4
x


BT 2.

ĐS: 924.
18

12

1

e)  + x  , ∀x > 0.
x



ĐS: −10.

ĐS: 35.

a) (2 x − 3 y )17 .

M = x8 y9 .

9
ĐS: −39.28.C17

.

b) ( x + y)25 .

M = x12 y13 .

13
ĐS: C25
.

c) ( x − 3)9 .

M = x4 .

ĐS: −35.C95 .

Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607

www.DeThiThuDaiHoc.com

/>
Page - 113 -


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

d) (1 − 3x)11 .

M = x6 .

6
ĐS: 36.C11
.

e) (3 x − x 2 )12 .

M = x15 .

3
ĐS: −39.C12
.

f) ( x 2 − 2 x)10 .

M = x16 .

ĐS: 3360.

M = x 31 .

3
ĐS: C40
.


2
h)  x 2 −  , ∀x ≠ 0.

x


M = x11 .

3
ĐS: −2 3.C10
.

i) ( 3 x −2 + x)7 .

M = x2 .

ĐS: 35.


x
j)  xy +  , ∀xy ≥ 0, y ≠ 0.
y


M = x6 y 2 .

ĐS: 45.

k) (1 + x + x 2 + x 3 )5 .

M = x10 .

ĐS: 101.

40


1
g)  x + 2  , ∀x ≠ 0.
x


10

10

5

BT 3.

2

10

5

l) x(1 − 2 x) + x (1 + 3x) .

M=x .

ĐS: 3320.

m) (2 x + 1)4 + (2 x + 1)5 + (2 x + 1)6 + (2 x + 1)7 .

M = x5 .

ĐS: 896.

Tìm hệ số của số hạng thứ n trong khai triễn nhị thức, ứng với các trường hợp sau:
5


1
a)  x +  , ∀x ≠ 0.
x


n = 4.

ĐS: 120.

b) (3 − x)15 .

n = 13.

ĐS: 12285.


1
c)  x −  , ∀x > 0.
x


n = 6.

5
ĐS: C15
.

d) (2 − 3x)25 .

n = 21.

20
ĐS: 2 5.320.C25
.

15

BT 4.

Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện)
a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn Cn3 = 5Cn1 . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị
n

 2 3
1 
thức Newton của 
x+
 , x>0 ?
4
x
n−5

ĐS: C74 = 35.
n

2

b) Tìm hệ số của x4 trong khai triển biểu thức  − x 3  , ∀x ≠ 0, biết n là số tự nhiên thỏa mãn
x


hệ thức: Cnn−−46 + n.An2 = 454 ?
ĐS: n = 8; − 1792.

1
c) Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển:  x. 3 x +

5 28
x

n
n −1
n−2
thỏa mãn điều kiện: Cn + Cn + Cn = 79 ?

d) Cho a = 5log 5

3

9x −1 + 7

và b = 5

1
− log 5 ( 3x−1 + 1)
5

n


 , ∀x ≠ 0, biết rằng n là số tự nhiên

ĐS: 792.

. Tìm các số thực x , biết rằng số hạng chứa a 3 trong khai

8

triển Newton: ( a + b) bằng 224 .

ĐS: x = 1 ∨ x = 2.
n

x
e) Tìm các giá trị của x , biết trong khai triển  2 lg(10 − 3 ) + 5 2( x − 2)lg 3  có số hạng thứ 6 bằng 21



và Cn1 + Cn3 = 2Cn2 .

ĐS: x = 0 ∨ x = 2 .

2
n

2
n

2

f) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 3C + 2 A = 3n + 15 . Tìm số hạng chứa x10 trong khai
n


3
triển nhị thức Newton:  2 x 3 − 2  , ∀x ≠ 0 .
x 


4
ĐS: C10
.2 6.34.x10 .

g) Cho khai triển: (1 + 2 x)n = ao + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n với n ∈ ℕ ∗ . Biết rằng a3 = 2014 a2 .
ĐS: n = 6044 .

Tìm n ?
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607

www.DeThiThuDaiHoc.com

/>

Page - 114 -


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600
n


2 
h) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:  3 x +
 , x > 0. Biết rằng n thỏa mãn điều
x

6
ĐS: C15
.26 = 320320 .
kiện: Cn6 + 3Cn7 + 3Cn8 + Cn9 = 2Cn8+ 2 .
n

 a

i) Cho n ∈ ℤ + và a , b , (b > 0). Biết trong khai triển nhị thức Newton 
+ b  có hạng tử chứa
 b

4 9
a b , tìm số hạng chứa tích a và b với số mũ bằng nhau ?
ĐS: 5005a6 b6 .

j) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: Cnn− 3 − Cn2−1 = Cn1 −1Cnn++32 . Tìm hệ số của số hạng chứa x11
n


n 
8
ĐS: C12
.48.
trong khai triển: P = x 3  xn − 8 −
 , x ≠ 0.
3
x


k) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 6Cnn+−11 = An2 + 160 . Tìm hệ số của x7 trong

khai triển: (1 − 2 x 3 )(2 + x)n ?
2

ĐS: −2224 .

3 4

2

12

l) Cho P = (1 − x + x − x ) = ao + a1 x + a2 x + .. + a12 x . Tìm a7 ?

ĐS: −40 .

m) Tìm hệ số của x trong khai triển: P = x(1 − 2 x) + x (1 + 3 x) , biết rằng An2 − Cnn+−11 = 5 .
n

5

2n

2

n) Cho P( x) = ( x + 1)10 ( x + 2) = x11 + a1 x10 + a2 x9 + .. + a10 x + a11 . Tìm a5 ?
20

ĐS: 3320.
ĐS: 672.

10


1

1
o) Cho: P ( x ) =  x − 2  +  x 3 −  , ∀x ≠ 0. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức sẽ gồm
x

x 

bao nhiêu số hạng ?
ĐS: 29 số hạng.

2) Khai triễn dạng: (a + bx p + cx q )n kết hợp với việc giải phương trình chứa Akn , Ckn , Pn .
n

n

n

k

Viết P( x) = ( a + bx p + cxq )n =  a + ( bx p + cx q )  = ∑ Cnk a n− k ( bx p + cx q )k = ∑ Cnk an − k ∑ C ki ( bx p )k −i .(cxq )i
k =0
k =0
i =0
n

k

= ∑∑ Cnk a n − k .C ki .(bx p ) k − i .( cx q )i , với k , i ∈ ℕ.
k =0 i =0

BT 5.

Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:
a) (1 + x + 3 x 2 )10 .

M = x4 .

2 10

b) (1 + 2 x + 3 x ) .
2 5

d) (2 + x − 3 x ) , ∀x ≥ 0.

ĐS: −230.

3

ĐS: −10.

8

M=x .

ĐS: 238.

10

M=x .

ĐS: 101.

M = x8 .

ĐS: −27159.

M=x .

5

M=x .

e) ( x + x − 1) .
3 8

f) (1 + x − x ) .
2

ĐS: 38400.

2

M=x .

c) (1 + x + 2 x ) .

2

ĐS: 8085.

17

M=x .

2 10

2

ĐS: 1695.

4

3 5

g) (1 + x + x + x ) .
12


1
h)  1 − x 4 −  , ∀x ≠ 0.
x



BT 6.

Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện)
a) Cho (1 + x − x 2 )10 = ao + a1 x + a2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a20 x 20 . Tìm a8 ?

ĐS: a8 = 45 .

n

1

b) Cho P ( x ) =  − ( x + x 2 )  , ∀x ≠ 0. Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển
x



P( x) biết n thỏa: Cn3 + 2n = An2+1 .

ĐS: −98.
n



1 
c) Tìm hệ số x 4 trong khai triển biểu thức  x + 3  1 −   , (x > 0) ? Biết rằng n là số nguyên
x 


1
2
3
dương thỏa mãn 3Cn +1 + 8Cn + 2 = 3Cn+ 1 .
ĐS: 4422 .
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607

www.DeThiThuDaiHoc.com

/>
Page - 115 -


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

d) Cho khai triển nhị thức: (1 − 2 x + x 3 )n = ao + a1 x + a2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a3 n x 3n . Xác định hệ số a6 , biết
15

rằng: ao +

a
a1 a2
1
+
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 33nn =   ⋅
2 22
2
2

ĐS: a6 = −150 .

e) Cho: (1 + 2 x)10 (3 + 4 x + 4 x 2 )2 = ao + a1 x + a2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a14 x14 . Tìm a6 ?

ĐS: a6 = 482496 .

2

 x2

f) Tìm hệ số của x10 trong khai triển Newton:  + x + 1  .( x + 2)3n với n là số tự nhiên thỏa
4



mãn điều kiện: An3 + Cnn − 2 = 14n .

ĐS: a10 = 2956096 .

3) Khai triển (axp + bxq )n ; (a + bxp + cx q )n kết hợp tính tổng đơn giản
Khai triển Newton: ( a + b)n = Cn0 an + Cn1 an −1b + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnn −1 abn −1 + Cnn bn , với:



Số mũ của a giảm dần và số mũ của b tăng dần. Nếu trong biểu thức không có số mũ tăng hoặc
giảm thì nó (a hoặc b) có thể bằng 1 .
Nếu dấu của biểu thức đan nhau thì khai triển sẽ có dạng ( a − b)n .



Trong biểu thức có Cn0 + Cn2 k + Cn4 k ... (toàn chẵn hoặc toàn lẻ) thì đó là dấu hiệu nhận dạng khai
triển hai biểu thức dạng ( a − b)n và ( a + b)n khi chọn a , b rồi cộng lại (khi toàn chẵn) hoặc trừ đi
(khi toàn lẻ) theo từng vế.

BT 7.

Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + x 2 )n là 1024. Tìm hệ số của x12 ?

ĐS: n = 10; 210.

n

BT 8.

1


Tìm hệ số của x6 trong khai triển  + x 3  , với n là số nguyên dương và biết rằng tổng các hệ
x

số trong khai triển bằng 1024 ?
ĐS: n = 10; 210.
n

BT 9.

 2

Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển P ( x ) =  3 + x 5  với x > 0 . Biết n thỏa mãn
x

1
2
n −1
n
8
điều kiện: Cn + Cn + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cn + Cn = 4095 .
ĐS: C12
.2 4 = 7920 .
8

BT 10. Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2 + x)n , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn
điều kiện: 3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n − 2 Cn2 − 3n − 3 Cn3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1)n Cnn = 2048 .

10
ĐS: a10 = C11
.2 = 22 .

BT 11. Tìm hệ số của x10 trong khai triển ( x − 3 x 2 )n , (x > 0), biết rằng n là số nguyên dương và tổng
các hệ số trong khai triển bằng −2048 ?

BT 12. Tìm hệ số của x
n

10

0
n

điều kiện: 3 C − 3

ĐS: −4455.
n

trong khai triển nhị thức (2 + x) , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn
n −1

n

Cn1 + 3n − 2 Cn2 − 3n − 3 Cn3 + ... + ( −1) Cnn = 2048 .

ĐS: 22 .

BT 13. Tìm hệ số của x19 trong khai triển biểu thức P = (2 x − 1)9 .( x + 2)n , biết rằng n là số nguyên
dương: Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2048 ?

ĐS: 8960 .

2n

7

BT 14. Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức (2 – 3x) , trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn
điều kiện: C21n + 1 + C23n +1 + C25n +1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C22nn++11 = 1024 ?

ĐS : a7 = −2099520 .

2 n

4

BT 15. Tìm hệ số x trong khai triển (1 + x + 2 x ) , biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:
C20n + C22n + C24n + ... + C22nn = 512 .

ĐS: 105 .
2 3n

5

BT 16. Hãy tìm hệ số của x trong khai triển: P( x) = (1 − 2 x + 4 x ) .
2
4
6
8
1006
Biết rằng: C2014
+ C2014
+ C2014

+ C2014
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C2014
= 2 503n − 1 với n là số nguyên dương.
3
4
5
ĐS: a5 = −2C12
C31 4 2 − 8C12
C43 41 + ( −2)5 C12
C55 .

BT 17. Tìm hệ số chứa x18 trong khai triển P( x) = ( x + 2)13 ( x 2 − 2 x + 4)n . Biết n nguyên dương thỏa mãn
điều kiện: C21n +1 + C22n+ 1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C2nn +1 = 2 20 − 1 .

Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607

ĐS: a18 = 15138816 .

www.DeThiThuDaiHoc.com

/>
Page - 116 -


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

4) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (a + bx)n .

Xét khai triển nhị thức Newton ( a + bx)n có số hạng tổng quát: Tk +1 = Cnk a n− k b k x k .
Đặt ak = Cnk an− k b k , 0 ≤ k ≤ n thì dãy hệ số là {ak } . Khi đó hệ số lớn nhất trong khai triển này thỏa
a ≥ ak +1
hệ phương trình:  k
⇒ ko ⇒ ako max = Cnko an − ko b ko .
a
≥
a
 k
k −1
 1 2x 
BT 18. Trong khai triển  +

3 3 

11

thành ao + a1 x + a2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a11 x11 . Hãy tìm k để hệ số ak lớn nhất và

28 8
.C11 .
311
BT 19. Cho khai triển : (1 + 2 x)n = a0 + a1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + an xn , trong đó n ∈ ℤ và các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn
ĐS: ak max =

tính nó ? (0 ≤ k ≤ 11, k : nguyên)

hệ thức a0 +

a

a1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + nn = 4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., an ? ĐS: amax = 126720.
2
2
n

1 x
BT 20. Cho khai triển  +  = a0 + a1 x + a2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an x n . Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 ,..., an ?
2 3
1001
Biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn Cn2Cnn − 2 + 2Cnn − 2Cnn −1 + Cn1Cnn −1 = 11025 ? ĐS: amax =
⋅
62208
BT 21. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khai triển (1 + x)n có tỉ số hai hệ số liên tiếp trong
khai triễn trên bằng

7
?
15

ĐS: n = 21 .

5) Tìm số hạng hữu tỉ ( hoặc số hạng là số nguyên) trong khai triển (a + b)n .
m

r

Xét khai triển ( a + b)n có số hạng tổng quát: Cnk an − k b k = Cnk .α p .β q với α , β là các số hữu tỉ. Số
m
 p ∈ℕ


hạng hữu tỉ cần tìm thỏa mãn hệ: 
k ∈ ℕ , 0 ≤ k ≤ n ) ⇒ ko ⇒ Cnko an − ko b ko là số hạng cần tìm.
(
r ∈ℕ
 q

BT 22. Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển nhị thức: ( 3 + 3 2)n , biết rằng n là số nguyên dương
3

thỏa mãn điều kiện: ( Pn ) .Cnn .C2nn .C3nn = P27 .

ĐS: C93 33.21 và C99 2 3.

 1 3 
BT 23. Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển: 
+ 5
 2


3n +1

. Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn

điều kiện: Cnn + 2Cnn −1 + Cnn − 2 = Cn2+n2− 3 .

ĐS:

0
C10

32

;

6
C10
2 3.52

32

⋅

III. Chứng minh hoặc tính tổng
1) Sử dụng những nhận xét cơ bản hoặc tính chất, công thức Akn , Cnk , Pn .

• Trong khai triển ( a − b)n thì dấu đan nhau, nghĩa là + , rồi − , rồi + , ….…
• Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n.
1
1
• Vận dụng linh hoạt tính chất: Cnk + Cnk +1 = Cnk ++11 , Cnk = Cnn − k và
.C k =
.C k +1 .
k + 1 n n + 1 n +1
• Khi gặp tổng giữa các tích của hai công thức tổ hợp (⋅ ⋅ ⋅ + Cni .Cnj + ⋅ ⋅ ⋅), lúc đó thường so sánh
hệ số của biến cùng bậc với nhau, chẳng hạn so sánh khai hệ số của số mũ cùng bậc của hai
khai triển: (1 − x 2 )n với (1 − x)n ( x + 1)n ......
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607

www.DeThiThuDaiHoc.com

/>
Page - 117 -


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

BT 24. Tính các tổng sau:
a) S = C50 + C51 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C55 .

ĐS: S = 2 5.

b) S = C50 + 2C51 + 2 2 C52 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2 5 C55 .

ĐS: S = 35.

c) S = 40 C80 + 41 C81 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 48 C88 .

ĐS: S = 58.

0
1
2
2010
d) S = C2010
+ C 2010
+ C2010

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C2010
.

ĐS: S = 2 2010.

0
1
2
2010
e) S = C2010
+ 2C2010
+ 2 2 C2010
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2 2010 C2010
.

ĐS: S = 32010.

6
7
8
9
10
f) S = C10
+ C10
+ C10
+ C10
+ C10
.

ĐS: S = 386.

g) S = C

0
100

2
100

2

+C x +C

4
100

+ ⋅⋅⋅ + C

100
100

ĐS: S = 299.

.

1
3
5
2009
h) S = 2.C2010

+ 2 3.C2010
+ 2 5.C2010
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2 2009.C2010
.
k 1
2 n +1
1
1
1
BT 25. Tính S = C21n − C22n + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1) . C2kn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1)
C 2n .
2
3
k
2n + 1 2 n

1
1
1
1
+
+ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +
+
⋅
2!.2012! 4!.2010!
2012!.2! 2014!
BT 27. Hãy tính các tổng sau:

BT 26. Tính tổng: S =

ĐS: S =

1
2
3
2013
a) S1 = 12.C2013
+ 2 2.C2013
+ 32.C 2013
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 20132.C2013
.

b) S2 =

0
C 2013

1

+

1
C 2013

2

+

2
C 2013

3

+ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +

2013
C 2013

2014

1
ĐS: S = (32010 − 1).
2
2n
ĐS: S =
.
2n + 1
2 2013 − 1
.
2014!

ĐS: 2013.2014.2 2011. .
ĐS: S2 =

⋅

2 2014 − 1
.
2014

BT 28. Chứng minh: (C ) + (C ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + (Cnn )2 = C2nn với n ≥ 2, n ∈ ℕ .
0 2
n

1 2
n

 C0
BT 29. Cho số tự nhiên n ≥ 2, chứng minh đẳng thức:  n
 1


BT 30. Tính S =

2

2

2

  Cn1 
 Cnn  C2nn++12 − 1
⋅
 +   + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 
 =
( n + 1)2
  2 
 n+1

12

12
12
C 12
C 2013
C 2014
C12
C 12
?
+ 13 + 14 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
+
11.12 11.12 11.12
2012.2013 2013.2014

 2n − 2 
BT 31. Chứng minh ∀n ≥ 2, n ∈ ℕ , ta luôn có: Cn0Cn1 ...Cnn ≤ 

 n−1 
BT 32. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức sau đây:

ĐS: S =

1 11
C .
132 2013

n−1

.

C20n + C22n .32 + ⋅ ⋅ ⋅ + C22nk .32 k + ⋅ ⋅ ⋅ + C22nn − 2 .32 n − 2 + C22nn .32 n = 215.(216 + 1) .

ĐS: n = 8 .

2) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng
a) Sử dụng đạo hàm cấp I
• Nhận dạng: các hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần (1, 2, 3, ..., n hay 12 , 2 2 , ..., n2 ) hoặc
giảm dần dạng (n, ..., 3, 2, 1 hay n2 ,..., 2 2 , 12 ) (không kể dấu). Hay tổng quát hơn nó có
dạng là k.Cnk hoặc dạng k.Cnk an − k b k −1 .

• Phương pháp giải:
+ Bước 1. Xét khai triễn: ( a + x)n = Cn0 an + Cn1 an −1 x + Cn2 an − 2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn −1ax n −1 + Cnn xn .

+ Bước 2. Lấy đạo hàm hai vế được:
n( a + x)n −1 = Cn1 an−1 + 2Cn2 an − 2 x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( n − 1)Cnn −1 axn − 2 + Cnn xn −1 .

(i)

+ Bước 3. Chọn giá trị x và a thích hợp dựa vào đề bài để thế vào (i).
BT 33. Chứng minh ∀n ≥ 1, n ∈ ℕ ∗ , thì: Cn1 .3n −1 + 2.Cn2 .3n − 2 + 3.Cn3 .3n − 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n.Cnn = n.4n –1.
BT 34. Chứng minh ∀n ≥ 1, n ∈ ℕ ∗ , thì: 2 n −1 Cn1 + 2 n−1 Cn2 + 2n − 3 Cn3 + 2n − 4 Cn4 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +nCnn = n.3n −1.
BT 35. Tìm n ∈ ℤ + , thỏa: C21n + 1 − 2.2C22n+ 1 + 3.2 2 C23n + 1 − 4.2 3 C24n +1 + ⋅ ⋅ ⋅ + (2n + 1).2 2 n C22nn++11 = 2005 ĐS: 1002.
BT 36. Tính tổng S trong các trường hợp sau:
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607

www.DeThiThuDaiHoc.com

/>
Page - 118 -

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

2
4
6
100
a) S = 4C100
+ 8C100
+ 12C100
+ ⋅ ⋅ ⋅ + 200C100
.

ĐS: S = 100.299.

0
1
2
2000
b) S = C2000
+ 2C2000
+ 3C2000
+ ⋅ ⋅ ⋅ + 2001C2000
.

ĐS: S = 1001.2 2000.

0

1
2
2006
2007
c) S = 2008C2007
+ 2007C2007
+ 2006C2007
+ ⋅ ⋅ ⋅ + 2C2007
+ C2007
.

ĐS: S = 2009.2 2006.

n


2 
BT 37. Cho P( x) =  x 3 − 2  , n ∈ ℕ∗ . Hãy tìm số hạng chứa x6 , biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn
x


n− 1 1
6 6
đẳng thức: 1.2 Cn + 2.2n − 2 Cn2 + 3.2n − 3 Cn3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + nCnn = 12.3n −1 .
ĐS: 2 6 C12
x .

BT 38. Cho khai triển ( x − 1)100 = ao x100 + a1 x99 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a98 x 2 + a99 x + a100 .
Tính tổng: S = 100 ao .2100 + 99 a1 .299 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2 a98 .2 2 + 1a99 .21 + 1 .

BT 39. Cho khai triển (1 − 3x)

2014

2

= ao + a1 x + a2 x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a2014 x

2014

ĐS: S = 201 .

.
ĐS: S = 3022.2 2014 .

Tính tổng S = ao + 2 a1 + 3a1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2015a2014 ?
0
2
4
2014
BT 40. Tính tổng: S = C2014
.
+ 3C2014
+ 5C2014
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2015.C2014

ĐS: S = 1008.2 2013 .

2
4

6
2014
BT 41. Tính giá trị biểu thức: A = C2014
+ 2C2014
+ 3C2014
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 1007C2014
.

ĐS: A =

1007 2013
.2 .
2

b) Sử dụng đạo hàm cấp II
• Nhận dạng: các hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần 1.2, 2.3, ...,( n − 1)n hoặc giảm dần

(n − 1)n,..., 2.3, 1.2  (không kể dấu), có dạng tổng quát: k.Cnk an − k hoặc k( k − 1)Cnk .
• Phương pháp giải: Các bước giải tương tự như đạo hàm cấp 1.
1
2
3
2006
2007
BT 42. Tính tổng: S = 12 C2007
.
+ 2 2 C2007
+ 32 C2007
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2006 2 C2007
+ 2007 2 C2007

ĐS: 2007.2008.2 2005.

1
2
2012
2013
BT 43. Chứng minh: 12 C2013
+ 2 2 C203
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2012 2 C 2013
+ 20132 C2013
= 2013.2014.2 2011.

BT 44. Cho n ∈ ℤ , thỏa mãn điều kiện:

An3 + Cn3
= 35, (n ≥ 3).
( n − 1)(n − 2)

Hãy tính tổng: S = 2 2.Cn2 − 32 Cn3 + 4 2 Cn4 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1)n .n2 .Cnn ?

ĐS: S = 30 .

3) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng
• Nhận dạng: Số hạng tổng quát có dạng

ak +1 − b k +1 k
⋅ Cn ( có dạng phân số)
k +1

• Phương pháp giải:

+ Bước 1. Xét khai triễn: (cx + d)n = Cn0 (cx)n + Cn1 (cx)n −1 d + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn −1cxdn −1 + Cnn d n .
+ Bước 2. Lấy tích phân hai vế với cận a và b
b

∫ (cx + d)

b

n

dx = ∫ Cn0 (cx)n + Cn1 ( cx)n −1 d + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnn −1cxdn −1 + Cnn d n  dx.

a

a
b

b

⇔

+

 xn +1 0

1 ( cx + d)n+ 1
xn
x2

=  cn
Cn + c n Cn1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +cdn −1 Cnn −1 + d nCnn x  ⋅
c n+1 a  n+1
n
2
a

Bước 3. Chọn a , b , c , d phù hợp dựa vào đề bài.

BT 45. Các bài toán mở đầu về sử dụng tích phân
1
1
1
a) Tính tổng: S = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
⋅ Cn ⋅
2
3
n+1 n
b) Tính tổng: S = Cn0 +
c) Tính tổng: S =

22 − 1 1 23 − 1 2
2 n+ 1 − 1 n
Cn +
Cn + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
C ⋅
2
3
n+1 n

2 n.Cn0 2n −1 Cn1
20 Cnn
+
+ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +
⋅
n+1
n
1

Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607

ĐS: S =

2 n +1 − 1
⋅
n+1

ĐS: S =

3n + 1 − 2 n + 1
⋅
n+1

ĐS: S =

3n + 1 − 1
⋅
2(n + 1)

www.DeThiThuDaiHoc.com

/>
Page - 119 -


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

d) S =

T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

22 − 1 1
24 − 1 3
26 − 1 5
2 2010 − 1 2009
C 2010 +
C2010 +
C2010 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
C ⋅
2
4
6
2010 2010

ĐS:

32011 − 1 − 2 2011
⋅
4022

1
1
1
1
e) S = Cn0 + Cn1 .2 + Cn2 .2 2 + Cn3 .2 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
C n .2n.
2
3
4
n+1 n

ĐS: S =

3n + 1 − 1
⋅
2( n + 1)

1
1
1
1
f) S = C21n + C23n + C 25n + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C 22nn −1 ⋅
2
4
6
2n

ĐS: S =

22n − 1
⋅
2n − 1

ĐS: S =

( n − 1)2 n + 1
⋅
n+1

1
2
3
n
g) S = Cn1 + Cn2 + Cn3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
Cn ⋅
2
3
4
n+1 n
1
2
3
4
2n
1
h) Tìm n ∈ ℤ + thỏa: C21n − C22n + C23n − C24n + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
C22nn =
⋅
2

3
4
5
2n + 1
123

ĐS: n = 61.

n

 2

BT 46. Tìm hệ số của x trong khai triển Newton của biểu thức  3 + x 5  , biết rằng n là số nguyên
x

n
1
1
1
1
7
dương thỏa mãn: Cn0 − Cn1 + Cn2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1)
ĐS: C12
Cn = ⋅
.2 5 = 25344 .
2
3
n + 1 n 13
20

n


1 
BT 47. Tìm hệ số chứa x2 trong khai triển  x +
 , biết n là nguyên dương thỏa mãn điều kiện:
4
2 x

21
22
23
2n +1 n 6560
.
?
ĐS: a2 = 2 −2.C72 =
2Cn0 + Cn1 + Cn2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
Cn =
2
3
n+1
n+1
4
2
22
2n n 121
BT 48. Tìm n ∈ ℤ + thỏa: Cn0 + Cn1 + Cn2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
C =
⋅
2

3
n+1 n n+1

ĐS: n = 4 .

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
n


2
BT 49. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển nhị thức Newton  x 3 −  , ( x ≠ 0 ) . Biết rằng n là số nguyên
x

3
2
3
dương thỏa mãn điều kiện: 4Cn +1 + 2Cn = An .
n


1 
BT 50. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton  3x 3 − 2  với x ≠ 0, biết rằng
x 

n ∈ ℕ ∗ và thỏa mãn điều kiện: 2 Pn − (4n + 5)Pn − 2 = 3 Ann − 2 .

BT 51. Tìm hệ số của x9 trong khai triển (1 − x 3)2 n , n ∈ ℕ∗ . Biết số nguyên dương n thỏa mãn mãn
điều kiện:

2

14
1
+
= ⋅
2
3
Cn 3Cn n
n


1 
BT 52. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:  3 x +
 , x > 0. Biết rằng n là số nguyên dương
4
x

thỏa mãn phương trình: 2(Cn2 + Cn3 ) = 3n2 − 5n.

BT 53. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn phương trình: 5Cnn −1 = Cn3 . Tìm số hạng chứa x 5 trong khai
n

 nx 2 1 
triển nhị thức Newton 
−  , x ≠ 0.
 14 x 
n


2
BT 54. Tìm hệ số của x trong khai triển  3x 2 −  , biết hệ số của số hạng thứ ba bằng 1080 .

x

8
BT 55. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức: ( x 2 + 2)n , biết rằng số nguyên dương
7

n thỏa mãn phương trình: An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49 .

BT 56. Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức: ( x − 3 x 2 )n , (x > 0), biết rằng tổng các hệ số trong
khai triển bằng −2048 .
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607

www.DeThiThuDaiHoc.com

/>
Page - 120 -


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600
n

2

BT 57. Tìm hệ số x 4 trong khai triển  − x 3  , x > 0 . Biết n là số nguyên dương thỏa mãn phương
x



trình: Cnn−−46 + nAn2 = 454 .
n

BT 58. Tìm hệ số của số hạng chứa x

−1


3 
trong khai triển  2 x 2 − 3  thành đa thức. Biết rằng n là số
x 


nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: Cn3 − Cnn−−13 = Cnn−−12 .Cn1+ 3 .
n


2 
BT 59. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: p ( x ) =  3 x +
 . Biết số nguyên dương n thỏa
x

mãn phương trình: Cn6 + 3Cn7 + 3Cn8 + Cn9 = 2Cn8+ 2 .
n


1 
BT 60. Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển Newton của nhị thức:  2 x − 2  , biết
2x 


∗
1
2
n ∈ ℕ và thỏa mãn phương trình: 2Cn + Cn = 90 .

BT 61. Cho số nguyên dương n thỏa mãn phương trình: An3 + 6Cn2 − 4Cn1 = 100 . Tìm hệ số chứa x8 trong
3n


2n 
khai triển nhị thức Newton của  x 2 +
 .
5 

n

 2

BT 62. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
− x 2  , x ≠ 0. Biết rằng n là số nguyên dương
3
 x

1
2
3
thay đổi thỏa mãn phương trình: C2 n+ 1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C2nn +1 = 2 28 − 1 .
n



1
BT 63. Tìm số hạng chứa x10 của P ( x ) =  3x 3 −  , x ≠ 0 . Biết rằng n ∈ ℤ + , thỏa: An2 − Cnn+−11 = 5n + 7 .
x


BT 64. Khai triển nhị thức: (2 + x)n theo lũy thừa tăng dần của x ta được số hạng thứ tám là 144 . Tìm x
biết n thỏa mãn phương trình: Cnn++31 + 2Cnn+ 2 = 16( n + 2), n ∈ ℕ * .
n

1

BT 65. Tìm hệ số của x trong  + x 3  , biết rằng tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024 ?
x

6

n


1 
BT 66. Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của  x +
 , biết n thỏa mãn n là số
3
2 x

nguyên dương thỏa mãn: Cn1 + 4Cn2 + 3Cn3 2 2 + 4Cn4 2 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + nCnn 2n −1 = 6561n .

BT 67. Tìm hệ số của x19 trong khai triển biểu thức P = (2 x − 1)9 .( x + 2)n , biết rằng n là số nguyên
dương thay đổi thỏa mãn phương trình: Cn0 + Cn1 + Cn2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Cnn = 2048.

BT 68. Cho khai triển: (1 + x + x 2 )12 = ao + a1 x + a2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a24 x 24 . Tính a4 .
BT 69. Tìm hệ số x 4 trong khai triễn P( x) = (1 − x − 3x 3 )n , biết n ∈ ℤ + , thỏa: Cnn − 2 + 6n + 5 = An2+1 .
BT 70. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn phương trình: Cn1 + Cn2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn−1 + Cnn = 255. Hãy tìm số
hạng chứa x14 trong khai triển: P( x) = (1 + x + 3x 2 )n .
3

3n
1

BT 71. Tìm hệ số của x13 trong khai triển  + x + x 2  . ( 2 x + 1) với n là số tự nhiên thay đổi thỏa mãn
4

3
n−2
phương trình: An + Cn = 14n .

BT 72. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: Cn1 + Cn2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnn −1 + Cnn = 255. Hãy tìm số
hạng chứa x14 trong khai triển: P( x) = (1 + x + 3x 2 )n .

BT 73. Tìm hệ số chứa x10 trong khai triển P( x) = (1 − x + x 3 − x 4 )n . Biết rằng n là số nguyên dương thay
đổi thỏa mãn phương trình: C2nn++11 + C2nn++21 + C2nn++31 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C 22nn+−11 + C22nn+1 = 28 − 1.

Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607

www.DeThiThuDaiHoc.com

/>
Page - 121 -