Để đạt được điểm 7 môn Toán trong kỳ thi THPT Quốc gia

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015

TÀI LIỆU

MỤC LỤC:
1-Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan
2-Giá Trị Lớn Nhất Giá Trị Nhỏ Nhất
3- Lƣợng Giác
4-Phƣơng trình bất phƣơng trình Mũ và Logarit
5-Tích Phân và Ứng Dụng
6-Số phức
7-Phƣơng Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz
8-Hình Học Không Gian Thuần Túy
9-Tổ Hợp và Xác Suất

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

1


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015

Tài liệu đã đƣợc tinh giảm chỉ còn những phần cơ bản và cần thiết, vừa
đủ để các em có thể học nhanh và nắm bắt đƣợc phù hợp với kiến thức THPT
cũng nhƣ kì thi Quốc Gia 2015 sắp tới.
Chỉ cần nắm bắt đƣợc các vấn đề cơ bản của tài liệu này thì điểm 6,5-7 là
điều không hề khó khăn.
Chú ý tập tài liệu chỉ đề cập đến các kiến thức cơ bản sẽ xuất hiện trong
kì thi Quốc Gia 2015 môn Toán nên sẽ không có các phần nâng cao. Các em
học sinh ôn thi vào các trƣờng lớn hay các trƣờng có tổ chức thi xét tuyển lần
2 thì các kiến thức trong tài liệu là không đầy đủ.

Do tài liệu đƣợc biên soạn bởi tác giả nên không tránh đƣợc sự thiếu xót.
Nếu có thì mong các em thông cảm.
Chúc các em học tốt và vƣợt qua kì thi năm nay một cách dễ dàng.
Thân!

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

2


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A. Lý thuyết:
I.

Các bƣớc khảo sát hàm số:
 Tập xác định.
 Giới hạn, Tiệm cận (Nếu có)
 Đạo hàm
 Bảng biến thiên: Các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị (Nếu có)
 Đồ thị: Điểm đặc biệt, Vẽ đồ thị.

II.

Tổng kết các dạng đồ thị:
3
2
1. Hàm bậc 3: y  ax  bx  cx  d , a  0

 Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm uốn.
 Dạng đồ thị được căn cứ vào:

Số nghiệm của y '  0 và dấu của hệ số a.

 Có 3 trường hợp:
 TH1: y '  0 có 2 nghiệm phân biệt  có 2 cực trị.

a0

a0

 TH2: y '  0 có nghiệm kép  không có cực trị.

a0

a0

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

3


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
 TH3: y '  0 vô nghiệm  không có cực trị.

a0

a0

4
2
2. Hàm trùng phƣơng: y  ax  bx  c, a  0

 Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy.
 Đồ thị có 2 dạng căn cứ vào : Số nghiệm của y '  0 và dấu của hệ số a.
 TH1: y '  0 có 3 nghiệm phân biệt  có 3 cực trị.

a0

a0

 TH2: y '  0 có 1 nghiệm  có 1 cực trị.

a0

a0

ax  b 2 2
,a  c  0
cx  d
Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

3. Hàm phân thức: y 

4


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
 Đồ thị có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

 Đồ thị là hai đường hypebol đối xứng qua giao điểm của hai đường tiệm cận.
 Đồ thị có hai dạng: Dựa vào dấu của y‟.

TCN

TCN

TCĐ

TCĐ

- y '  0, x  D  hàm số đồng biến.

- y '  0, x  D  hàm số nghịch biến.

B. Các dạng toán liên quan:
I.

Đồng biên nghịch biến:
 Lý thuyết: Liên quan đên phương trình bậc 2
2
Cho phương trình: y  ax  bx  c  a  0 

b
c
 Hệ thức Vi-et: S  x1  x2   ; P  x1 x1 
a
a
 Để phương trình có hai nghiệm trái dấu  P  0

  0
 Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu  
P  0
  0

 Để phương trình có hai nghiệm dương   P  0
S  0

  0

 Để phương trình có hai nghiệm âm   P  0
S  0

 So sánh nghiệm x1 , x2 của phương trình với các số ,  cho trước:
Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

5


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
Để phương trình có nghiệm x1 , x2 thõa mãn:


  0
x1    x2  
a. f ()  0

  0
x1    x2  
a. f ()  0




  0

x1  x2    a. f ()  0
S
 
2


  0

  x1  x2  a. f ()  0
S
 
2

  0
a. f ()  0



x



x


a. f ()  0
1
2


S  
 2

  0
a. f ()  0

x1    x2    a. f ()  0

S  
 2

  0
a. f ()  0

  x1  x2    a. f ()  0


  S  

2

  0

x1      x2  a. f ()  0
a. f ()  0



Chú ý: Nếu đề có dấu “=” thì ta sẽ thêm dấu ”=” tương ứng đối với các điều kiện.
 Bài toán: Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên TXD hay trong một
khoảng nào đó sau đây:  a, b  ,  a, b ,  a,   ,  a,   ,  , b  ,  , b
 Phƣơng pháp chung:
 Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số suy luận.
 Quy về bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với các số cho trước ở
đây là các số a, b trong các khoảng đó.

1 3
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  mx   3m  2  x . Xác định m để hàm số đồng biến trên
3
R.
Giải:
Do a 

1
 0 nên để hàm số đồng biến trên R thì đồ thị hàm số không có cực trị
3
Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

6


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
 y '  0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
2
Ta có y '  x  2mx  3m  2

'
2
Để hàm số đồng biến trên R   y '  m  3m  2  0  1  m  2

Vậy 1  m  2
Ví dụ 2: Cho hàm số y 

1
 m  1 x3  mx 2   3m  2  x . Xác định m để hàm số nghịch
3

biến trên R.
Giải:
Để hàm số nghịch biến trên R thì a  0 và y '  0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.
2
Ta có: y '   m  1 x  2mx  3m  2

Để hàm số nghịch biến trên R

m  1
a  0
m  1
m  1  0

 '
 2


1
2

 y '  0 m   m  1 3m  2   0 2m  5m  2  0 m   m  2

2
m

1
2

Vậy m 

1
2

3
2
Ví dụ 3: Cho hàm số y  2 x  3x  6(m  1) x . Xác định m để hàm số nghịch biến trên

khoảng  2, 0 
Giải:
2
Ta có: y '  6 x  6 x  6(m  1)

Từ tính chất của đồ thị, do a  0 để hàm số có khoảng nghịch biến thì đồ thị hàm số
phải có cực đại và cực tiểu. Gọi các điểm cực trị là x1 , x2
Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng  x1 , x2 
Vậy để hàm số nghịch biến trên  2, 0  thì x1  2  0  x2

  0
4m  3  0



 a. f (2)  0  6(m  3)  0  m  3
a. f (0)  0
6(m 1)  0


Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

7


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
3
2
Ví dụ 4: Cho hàm số y  2 x  x  6mx

Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng  2,  
Giải:
2
Ta có: y '  6 x  2 x  6m

Từ tính chất của đồ thị, do a  0 để hàm số có khoảng đồng biến ta có hai trường hợp:
+ TH1: Hàm số không có cực trị    0  1  36m  0  m 

1
suy ra hàm số đồng
36

biến trên R nên hàm số đồng biến trên khoảng  2,  
+ TH2: Hàm số có cực trị    0 . Gọi các điểm cực trị là x1 , x2 thì hàm số đồng biến

trên các khoảng  , x1  ,  x2 ,  
Để hàm số đồng biến trên  2,   thì x1  x2  2

1


m


  0
36


14
1
 a. f (2)  0  6  28  6m   0    m 
3
36
S
 1
 2
  2
2
 6
Vậy khi m  

14
thì hàm số đồng biến trên khoảng  2,  
3

Ví dụ 5: Cho hàm số y 

xm
.
x  4m

a) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
b) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên 1,  
Giải:
Ta có TXD: D   ; 4m    4m;   và y ' 

3m

 x  4m 

2

a) Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó thì y '  0 với mọi x  D
Có nghĩa là y ' 

3m

 x  4m 

2

0m0

Vậy m  0 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

8


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
b) Ta có khi m  0 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là:

 m  và  4 m,  
Để hàm số nghịch biến trên 1,   thì 1,     4m,  

1
Có nghĩa là 4m  1  m   .
4

1
Kết hợp với điều kiện để nghịch biến    m  0
4
Bài tập vận dụng:
3
2
1/Cho hàm số y  x  3x  mx  4 .

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R.
c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng    
3
2
2/Cho hàm số y  2 x  3  2m  1 x  6m  m  1 x  1 .

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên tập xác định.
c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng  2,   .
3/Cho hàm số y 

mx  4
.
xm

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
c) Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng  
4/Cho hàm số y 

x 1
. Xác định m để:
xm

a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng  0,  
4
2
5/Cho hàm số y  x  2mx  3m  1 . Xác định m để

a) Hàm số đồng biến trên  0,  
b) Hàm số đồng biến trên  2,  
Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

9

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
c) Xác định giá trị của m để hàm số đồng biến trên 1, 2 
4
2
2
6/Cho hàm số y   x  2mx  m . Xác định m để:

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng 1,  
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng  1, 0 
3
2
7/Cho hàm số y  x  3mx  3x  3m  4 . Xác định giá trị của m để hàm số nghịch biến trên

đoạn có độ dài đúng bằng 1.

1 3
2
8/Cho hàm số y  mx  (m  1) x  3(m  2) x  1 . Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch
3
biến trên  2,   .
2
2
9/Cho hàm số y  x  3(2m 1) x  (12m  5) x  2 . Xác định m để hàm số đồng biến đồng thời

trên cả 2 khoảng    và  2,  
3
2
10/Cho hàm số y  x  3x  (m  1) x  4m . Xác định m để hàm số nghịch biến trên  1,1

1 3

2
11/Cho hàm số y  mx  2(m  1) x  (m  1) x  m . Xác định m để:
3
a/Hàm số đồng biến trên  , 0
b/Hàm số nghịch biến trên  2,  
c/Hàm số đồng biến trên các khoảng  , 1   2;  

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

10


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
II.

Cực trị:
 Bài toán 1: Xác định m để hàm số đạt cực trị.
 Phƣơng pháp: Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số để suy luận.
3
2
 Tìm m để đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d

 a  0

 Có cực trị   y '  0
 Không có cực trị   y '  0
4
2
 Tìm m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c

 a  0

 Có 3 cực trị: y '  0 có 3 nghiệm phân biệt
 Có 1 cực trị: y '  0 có 1 nghiệm
 Chỉ có cực đại: y '  0 có 1 nghiệm và a  0
 Chỉ có cực tiểu: : y '  0 có 1 nghiệm và a  0
 Xác định m để hàm số:

a  0

-Đạt cực đại tại x  xo   y '( xo )  0
 y "( x )  0
o


a  0

-Đạt cực tiểu tại x  xo   y '( xo )  0
 y "( x )  0
o


3
2
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y  mx  3x  x có cực đại, cực tiểu.

Giải:
2
Ta có: y '  3mx  6 x  1 (m  0)
2

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì   ' y '  0  3  3m  0  m  3

Vậy để hàm số có cực đại, cực tiểu thì m  3, m  0 .
4
2
Ví dụ 2: Cho hàm số y  x  2mx  1, tìm m để:

a) Có 3 cực trị
b) Có 1 cực trị
c) Chỉ có cực tiểu, không có cực đại.
Giải:
3
2
Ta có: y '  4 x  4mx  4 x  x  m 

x  0
Suy ra: y '  0   2
x  m

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

11


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
a) Để hàm số có 3 cực trị thì y '  0 có 3 nghiệm phân biệt  x2  m có 2 nghiệm phân
biệt  m  0
b) Để hàm số có 1 cực trị thì y '  0 có 1 nghiệm  x2  m vô nghiệm hoặc có nghiệm
bằng 0  m  
c) Để hàm số chỉ có cực tiểu, không có cực đại thì a  0 và hàm số có 1 cực trị

a  0

m0
m

0

4
2
Ví dụ 3: Cho hàm số y  mx  x  1, tìm m để hàm số đạt cực đại tại x  1

Giải:
3
2
Ta có: y '  4mx  2 x và y "  12mx  2

Để hàm số đặt cực đại tại x  1 thì :

m  0
m  0
a  0
1



3
 y '(1)  0  4m.1  2.1  0  m  1/ 2  m  
2
12m.12  2  0

m  1/ 6
 y "(1)  0



Vậy m  

1
2

 Bài toán 2: Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn một hệ thức hay
một yêu cầu về hình học phẳng của đề bài ( nhƣ tam giác, khoảng cách…)
 Phƣơng pháp:
 Bƣớc 1: Tìm điều kiện m để hàm số có cực đại, cực tiểu.(như bài toán 1)
 Bƣớc 2: Dựa vào yêu cầu đề bài suy ra phương trình theo m. Giải tìm m.
 Bƣớc 3: So sánh m tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi kết luận.
3
2
 Đối với hàm số bậc 3: y  ax  bx  cx  d

Ta thấy: xCD , xCT chính là nghiệm của y '  0 nên ta sẽ sử dụng hệ thức Viet để
giải dạng toán này.
4
2
 Đối với trùng phƣơng : y  ax  bx  c

Ta thấy: xCD , xCT chính là nghiệm của y '  0 , ngoài nghiệm x  0 thì hai nghiệm
còn lại ta có thể tính được.
Nên dạng này ta sẽ làm thủ công: rút thế trực tiếp.
Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

12


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
x3
2
Ví dụ 1: Xác định m để hàm số y   mx  x có cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 và các
3
2
2
điểm cực đại cực tiểu thõa mãn: x1  x2  6

Giải:
2
Ta có: y '  x  2mx  1

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y '  0 có 2 nghiệm phân biệt:

 'y '  0  m2  1  0  m  1  m  1 (*)

 x1  x2  2m
Áp dụng Viet cho y '  0 : 
 x1 x2  1
2
2
2
2
2
Theo đề: x1  x2  6  ( x1  x2 )  2 x1 x2  6  (2m)  2(1)  6  m  2  m   2

So sánh với (*) ta nhận cả 2 giá trị của m
Vậy m   2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
4
2
Ví dụ 2: Xác định m để hàm số y  x  2mx  m có cực đại cực tiểu và 3 điểm cực đại

cực tiểu lập thành một tam giác vuông.
Giải:
3
2
Ta có: y '  4 x  4mx  4 x  x  m 

x  0
y '  0  4 x( x 2  m)  0   2
x  m
Để hàm số có cực đại cực tiểu thì y '  0 có 3 nghiệm phân biệt

 x2  m có hai nghiệm phân biệt khác 0  m  0

x  0
x  0
y
'

0



Với m  0 thì

 2
x  m
x   m
2
2
Gọi A, B, C là ba điểm cực trị với A  (0, m) ; B  ( m , m  m ) ; C  ( m , m  m ) .

Do đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung nên tam giác ABC cân tại A. Nên ABC là một
tam giác vuông thì vuông tại A.
Ta có: AB 







m , m2 ; AC   m , m2



Do tam giác ABC vuông tại A:
Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

13


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
 AB  AC  AB. AC  0  m ( m )  (m2 )(m2 )  0

 m  0(l )
 m  m4  0  m(m3  1)  0  
 m  1(n)
Vậy m  1 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài tập vận dụng:
3
2
1/ Cho hàm số y  x  2 x  1  m  x  m . Xác định m để hàm số:

a) Không có cực trị.
b) Có cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x1  x2  4x1x2
c) Có cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn hệ thức

1 1
  3x1 x2
x1 x 2

d) Có cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn hệ thức  3x1 x2  1  5  3x1  3x2
2

1 3
2
2
2
1/ Cho hàm số: y  x  (m  m  2) x  (3m  1) x  m  5
3
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x  2 .
4
2

2/Cho hàm số: y  (1  m) x  mx  2m  1 ( m  1)

a) Xác định m để hàm số có 3 cực trị.
b) Xác định m để hàm số có 1 cực trị.
c) Xác định m để đồ thị hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại.

1 3
2
3/Cho hàm số: y  x  mx  (m  6) x  (2m  1) . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu
3
và hoành độ của hai điểm cực trị trái dấu.
4
2 2
4/ Cho hàm số: y  x  2m x  1 . Xác định m để:
2
2
2
a) Hàm số có 3 cực trị x1 , x2 , x3 thỏa mãn hệ thức x1  x2  x3  1

b) Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và ba điểm đó lập thành một tam giác đều.

1 3
2
5/ Cho hàm số: y  x  mx  x  m  1
3
a) Chứng minh hàm số luôn có cực trị.
b) Xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị nhỏ nhất.
Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

14

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
III.

Tiếp tuyến:
 Lý thuyết:
 Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số:
Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm M  xo ; yo   (C) có dạng:

y  f '( xo )( x  xo )  yo

với: yo  f ( xo )

 Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị:
Cho hàm số:

y  f ( x) có đồ thị (C)
y  g ( x) có đồ thị (C‟)

Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau là hệ sau có nghiệm:

 f ( x)  g ( x)
(*)

f
'(
x
)


g
'(
x
)

 Số nghiệm của hệ (*) là số tiếp điểm của hai đồ thị.
 Hệ vô nghiệm thì hai đồ thị không tiếp xúc nhau.
 Bài toán 1: Liên quan đến tiếp tuyến tại điểm M  xo ; yo   (C) :
 Phƣơng pháp chung:
 Bƣớc 1: Gọi tiếp tuyến tại M có dạng : y  f '( xo )( x  xo )  yo
 Bƣớc 2: Dựa vào giả thuyết bài toán ta đi tìm xo
 Bƣớc 3: Kết luận theo yêu cầu của đề bài.
 Các kiến thức liên quan:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b thì f '  xo   a
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  ax  b thì a. f '  xo   1
3
2
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  4 x  6 x  1

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1 .
b) Tại điểm có tung độ bằng 1.
c) Biết tiếp tuyến song song đường thẳng y  3x

1
d) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y   x  1
9
Giải:
Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

15

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
a) Với xo  1  yo  f (1)  9
2
Ta có: y '  f '( x)  12 x 12 x . Suy ra: f '(1)  24

Vậy tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 có phương trình:

y  f '(1)( x  (1))  (9)
y  24( x  1)  9
y  24 x  15
 xo  0

3
b) Với yo  1  4 x  6 x  1  1  
xo 

2
3
o

2
o

Khi xo  0, yo  1  f '  xo   0 . Phương trình tiếp tuyến là:

y  0  x  0  1  y  1

3

Khi xo  , yo  1  f '  xo   9 . Phương trình tiếp tuyến là:
2

3
25

y  9  x    1  y  9x 
2
2

c) Gọi phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y  f '( xo )( x  xo )  yo
Do tiếp tuyến song song đường thẳng y  3x nên

f '  xo   3  12 xo2  12 xo  3  xo 
Với xo 

1
2

1
3
1

 yo  0 . Phương trình tiếp tuyến là: y  3  x    0  y  3x 
2
2
2


1

d) Tương tự, Do tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y   x  1 nên:
9

1
1
3
 . f '  xo   1  12 xo2  12 xo  9  xo    xo 
9
2
2

1
7
1

Với xo    yo  1 . Phương trình tiếp tuyến là: y  9  x     y  9 x 
2
2
2

Với xo 

3
25
3

 yo  1 . Phương trình tiếp tuyến là: y  9  x    1  y  9 x 
2
2
2



Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

16


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
2x 1
(C ) . Tìm điểm M  (C ) để tiếp tuyến của (C ) tại M
x 1
cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A, B thỏa mãn OA=OB.
Ví dụ 2: Cho hàm số : y 

Giải:
Gọi tiếp tuyến tại M ( xo ; yo ) là đường thẳng d có dạng: y  f '( xo )( x  xo )  yo (1)
Ta có: y ' 

1
1
 f '( x)  f '( xo ) 
2
( xo  1)2
( x  1)

Ta có phương trình tiếp tuyến : y  
Gọi

1

 xo  1

2

( x  xo ) 

2 xo  1
xo  1

A  (d )  Ox  A   2 xo2  2 xo  1;0   OA  2 xo2  2 xo  1
 2x2  2x  1 
2 xo2  2 xo  1
o
o
B  (d )  Oy  B   0;
  OB 
2
2


x

1


 xo  1
o



Theo đề thì: OA  OB  2 x  2 xo  1 
2
o



2 xo2  2 xo  1

 xo  1

2

2
Do A, B  O  2 xo  2 xo  1  0

 xo  0

x  2
2
 xo  1
 o
1

Vậy các điểm M cần tìm là: (0;1) và (2;3)
 Bài toán 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số y  f ( x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A( xA; y A) .
Phƣơng pháp:
 Bƣớc 1: Gọi tiếp tuyến qua A( xA ; y A ) là đường thẳng (d) có dạng: y  k ( x  xA )  y A .
 Bƣớc 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc:

 f ( x)  k ( x  x A )  y A


(d) tiếp xúc (C)
 f '( x)  k
 Bƣớc 3: Giải tìm k suy ra tiếp tuyến cần tìm
Nhận thấy được sự khác biệt giữa tiếp tuyến tại điểm M  xo ; yo  và tiếp tuyến qua điểm M
Tiếp tuyến tại M thì có duy nhất 1 đường thẳng còn tiếp tuyến qua M thì có thể có nhiều đường.
Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

17


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
3
Ví dụ 1: Cho hàm số: y  x  3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến

đi qua điểm A 1, 2  .
Giải:
Gọi tiếp tuyến qua A 1, 2  có phương trình  d  : y  k ( x  1)  2

k  x  1  2  x3  3x

2
k  3x  3

Để (d) tiếp xúc (C) thì hệ sau có nghiệm:

1


 3x 2  3  x  1  2  x3  3x
2 x3  3x 2  1  0  x  1  x  



2
2
2
k

3
x

3
2

k

3
x

3



k  3x  3
Với x  1  k  0 Phương trình tiếp tuyến là: y  0( x 1)  2  y  2

1
9

9
9
1
Với x    k   Phương trình tiếp tuyến là: y   ( x  1)  2  y   x 
2
4
4
4
4
x2
(C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp
x 1
tuyến đi qua giao điểm của đồ thị và trục hoành.
Ví dụ 2: Cho hàm số y 

Giải:
Giao điểm của (C) và trục hoành có tọa độ  2, 0 
Gọi tiếp tuyến qua  2, 0  có phương trình  d  : y  k ( x  2)

Để (d) tiếp xúc (C) thì hệ sau có nghiệm:

x2

k  x  2   x  1


3
k 
2


 x  1

 3 x  2 x  2


2
 3x 2  3  x  1  2  x3  3x
x

1
  x  1  x  2




1
2
3
k  3x  3
k 
k  3
2

x

1



Phương trình tiếp tuyến cần tìm:

y

1
1
2
 x  2  y  x 
3
3
3

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

18


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
Bài tập vận dụng:
3
1/Cho hàm số: y   x  3x  1

a) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng -1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song đường thẳng:
y  9 x .

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng

1
y   x 3

3
2/Cho hàm số: y 

2x 1
x 1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y  3x  6 .
3
2
3/Cho hàm số: y  x  3x  2

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0,3) .
b) Viết phương trình tiếp tuyến (d) tại những điểm cách đều hai trục tọa độ.
3
2
4/Cho hàm số: y  x  3x  m  2 (C) m: tham số

M là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Xác định m để tiếp tuyến của (C) tại điểm M đi
qua điểm A(3,2) .
5/Cho hàm số y 

2x
(C)
x 1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của © và trục Oy.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox tại A, Oy tại B sao
cho tam giác OAB cân tại O.
3

2
6/Cho hàm số: y  x  mx  4 . Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.

7/Cho hàm số: y 

x2
(C)
x2

a/Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b/Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt hai tiệm cận tại A
và B sao cho MA=MB.

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

19


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
IV.

Giao điểm của hai đồ thị:
 Lý thuyết: Cho hàm số y  f ( x) và y  g ( x)
Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
f ( x)  g ( x)

 Bài toán 1: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

f ( x)  g (m)
 Phƣơng pháp chung:

 Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)
 Số nghiệm của phương trình f ( x)  g (m) là số giao điểm của hai đồ thị:

 y  f ( x)

Với y  g (m) là đường thẳng song song Ox.
 y  g ( m)
 Đặc biệt:
 Đồ thị hàm số y  f ( x) : Từ đồ thị hàm số y  f ( x) ta bỏ phần đồ thị nằm dưới Ox,
lấy đối xứng phần đó qua Ox.
 Đồ thị thàm số y  f  x  : Từ đồ thị hàm số y  f ( x) ta bỏ phần đồ thị nằm bên trái
Oy, lấy đối xứng phần còn lại qua Oy.
3
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  3x  2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3  3x2  m  0
Giải:
a) Khảo sát ta được đồ thị:
3

2

1

-2

2

4

-1

-2

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

20


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
b) Ta có x3  3x2  m  0  x3  3x2  2  2  m
Số nghiệm của phương trình x3  3x2  m  0 là số giao điểm của hai đồ thị:

 y  x3  3x 2  2

Với y  2  m là đường thẳng song song Ox.
y  2 m
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Nếu 2  m  2  m  0 thì y  2  m cắt (C) tại 1 điểm
+ Nếu 2  m  2  m  4 thì y  2  m cắt (C) tại 1 điểm
+ Nếu 2  m  2  m  0 thì y  2  m cắt (C) tại 2 điểm
+ Nếu 2  m  2  m  4 thì y  2  m cắt (C) tại 2 điểm
+ Nếu 2  2  m  2  0  m  4 thì y  2  m cắt (C) tại 3 điểm.
Kết luận:
+ Nếu m  0 hoặc m  4 phương trình (1) có 1 nghiệm.
+ Nếu m  0 hoặc m  4 phương trình (1) có 2 nghiệm.
+ Nếu 0  m  4 phương trình (1) có 3 nghiệm.
3

Ví dụ 2: Cho hàm số y  x  3x (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
3
b) Xác định m để phương trình sau có đúng 6 nghiệm phân biệt: x  3x  m

c) Xác định m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: x  3 x  m  0
3

Giải:
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
4

3

2

1

-2

2

-1

-2

-3

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

21


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
3
b) Ta có x  3x  m
3
Số nghiệm của phương trình x  3x  m là số giao điểm của hai đồ thị:

 y  x3  3x

 y  m

Với y  m là đường thẳng song song Ox

3
3
Ta có đồ thị hàm số y  x  3x Từ đồ thị hàm số y  x  3x ta bỏ phần đồ thị nằm

dưới Ox, lấy đối xứng phần đó qua Ox. Ta được:
3

2

1

-2

2

-1

-2

3
Dựa vào đồ thị để phương trình x  3x  m có đúng 6 nghiệm phân biệt thì đường thẳng

y  m cắt đồ thị y  x3  3x tại 6 điểm phân biệt  0  m  2
3
Vậy  0  m  2 thì phương trình x  3x  m có 6 nghiệm phân biệt.

c) Ta có x  3 x  m  0  x  3 x  m
3

3

Số nghiệm của phương trình x  3 x  m  0 là số giao điểm của hai đồ thị:
3

 y  x 3  3 x

 y  m

Với y  m là đường thẳng song song Ox

3
Ta có đồ thị hàm số y  x  3 x Từ đồ thị hàm số y  x  3x ta bỏ phần đồ thị nằm
3

bên trái Oy, lấy đối xứng phần còn lại qua Oy. Ta được:

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

22


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015

3

2

1

-2

2

-1

-2

Dựa vào đồ thị để phương trình x  3 x  m  0 có đúng 3 nghiệm phân biệt thì đường
3

thẳng y  m cắt đồ thị y  x  3 x  m tại 3 điểm phân biệt  m    m  0
3

Vậy m   thì phương trình x  3 x  m  0 có 3 nghiệm phân biệt.

3

 Bài toán 2: Bài toán giao điểm của đồ thị và đƣờng thẳng.
3
2
 Giao điểm của đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d và đƣờng thẳng y  kx  m

Phƣơng pháp chung:
 Bƣớc 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm.
2
 Bƣớc 2: Sử dụng sơ đồ Hoocne để phân tích: ( x   )  ax  Bx  C   0 (1)

 Bƣớc 3: Khi đó hoành độ các giao điểm là nghiệm của

x   0

(1)  2
 ax  Bx  C  0, g ( x)
 Bƣớc 4: Dựa vào đề bài mà ta suy ra các điều kiện tương ứng
Chú ý: Sử dụng Viet cho phương trình ax2  Bx  C  0 đối với bài toán này.
3
2
Ví dụ 1: Xác định m để hàm số y  mx  x  2 x  8m cắt trục hoành tại 3 điểm phân

biệt.
Giải:
Ta có PTHDGD:

mx3  x2  2 x  8m  0 (*)

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

23


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
 ( x  2)  mx2  (2m  1) x  4m  0
 x  2
 2
 mx  (2m  1) x  4m  0   g ( x)
Để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

 g ( x)  mx2  (2m  1) x  4m  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2
1
 1


m

12m  4m  1  0  6
  0
2



 g (2)  0 2  12m  0
m  1

6
2

1
1
1
Vậy   m   m 
6
2
6
 Giao điểm của đồ thị hàm số y 

ax  b
và đƣờng thẳng y  kx  m
cx  d

Phƣơng pháp chung:
 Lập phương trình hoành độ giao điểm.
 Dựa vào yêu cầu đề bài và tính chất của đồ thị hàm số để suy ra bài toán bậc 2.
 Sử dụng Viet.
Ví dụ: Cho hàm số y 

x 1
(C)
x 1

Tìm m để đường thẳng y  mx  1 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm thuộc hai nhánh đồ thị.
Giải:
Ta có PTHDGD:

x 1
 mx  1

x 1
 mx2  mx  2  0 (1)  x  1

Ta thấy hai nhánh của đồ thị (C) được phân chia bởi tiệm cận đứng x  1 nên đường
thẳng y  mx  1 cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh có hoành độ x1 , x2 thì x1  1  x2 .

m2  8m  0
  0
m  8  m  0


 a. f (1)  0  m(2)  0  
m0
m

0

a  0


m  0
Vậy m  0 thõa mãn yêu cầu bài toán.
Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

24


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
Bài tập vận dụng:
3

2
1/Cho hàm số y  x  (m  3) x  mx  4  Cm 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m  0
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3  3x2  4  m
c) Xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
d) Xác định m để phương trình sau có 1 nghiệm

1 3 2 4
x x  m
3
3

1 3 2
x x m
3

e) Xác định m để  Cm  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
f) Xác định m để  Cm  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
2/Cho hàm số y 

x 1
(C).
x 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Xác định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

x 1
m

x 1

c) Xác định m để phương trình sau vô nghiệm x  1  m  x  1
4
2
3/Cho hàm số y  x  2 x  3 .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4  2 x2  m  0
4
2
c) Xác định m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt x  2 x  3  m

3
2
2/Cho hàm số y  x  mx  m . Xác định m để đường thẳng y  x cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm

phân biệt:
a) Có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
b) Có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
3
2
3/Cho hàm số y  x  3x  2 . Gọi (d) là đường thẳng qua A  3, 20  có hệ số góc là m. Tìm m

để (d) cắt đồ thị tai 3 điểm phân biệt.
4
2
4/Cho hàm số y  x  (3m 2) x  3m

a) Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt.

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246

25