Định lý talet và tam giác đồng dạng

Mục lục
LỜI CẢM ƠN.......................................................................................................3
Chủ đề 1: ĐỊNH LÝ TALET.............................................................................4
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN......................................................................................4
1. Đoạn thẳng tỉ lệ...................................................................................4
2. Định lý Talet trong tam giác.........................................................4
3. Định lý Talet cho hình thang........................................................5
II – BÀI TẬP............................................................................................................5
1. Ví dụ............................................................................................................5
2. Bài tập tự giải.......................................................................................5
CHỦ ĐỀ 2: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG...................................................7
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN......................................................................................7
1.

Định nghĩa hai tam giác đồng dạng............................................................7

2.

Tính chất của hai tam giác đồng dạng.......................................................7

3.

Định lí hai tam giác đồng dạng...................................................................7

4.

Các trường hợp chứng minh hai tam giác đồng dạng..............................7

II – Bài tập................................................................................................................8
1.

Các bài toán về tính toán.............................................................................8

2. Các bài toán chứng minh................................................................9

2


CHUYÊN ĐỀ: ĐỊNH LÝ TALET VÀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Chủ đề 1: ĐỊNH LÝ TALET
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Đoạn thẳng tỉ lệ
a. Tỉ số hai đoạn thẳng
-

-

Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD là tỉ số độ dài của chúng theo
cùng một đơn vị đo.
AB
Ký hiệu: CD

Nhật xét: Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà
chúng ta chọn.
b. Đoạn thẳng tỷ lệ
- Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A ' B ' và C ' D '
AB A ' B '

nếu có tỉ lệ thức: CD C ' D ' .
Tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng cũng có các tính chất cũng như của
tỉ lệ thức giữa các số:

o Tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ.
AB A ' B '

� AB.C ' D '  A ' B '.CD
CD C ' D '
o Có thể hoán vị các trung tỉ, ngoại tỉ.
AB A ' B '
AB
CD
A' B ' C ' D '
C ' D ' CD

�

�

�

CD C ' D '
A' B ' C ' D '
AB
CD
A ' B ' AB
o Có các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
AB A ' B '
AB �CD A ' B '�C ' D ' AB �A ' B '

�



(CD �C ' D ')
CD C ' D '
CD
C 'D'
CD �C ' D '
2. Định lý Talet trong tam giác
a. Định lý thuận
- Nếu một đường thẳng song song với
một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh
còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó
những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
AB ' AC ' BB ' CC ' AB ' AC '
B ' C '/ / BC �

,

,

AB
AC AB AC BB ' CC '
b. Định lý đảo
- Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của
một tam giác và định ra trên hai cạnh này
những đoạn thẳng tương ứng bằng nhau
thì đường thẳng đó song song với cạnh
còn lại của tam giác.
- Trong tam giác ABC nếu:
AB ' AC ' BB ' CC ' AB ' AC '

,


,

� a / / BC
AB
AC AB AC BB ' CC '
c. Hệ quả
-

3


Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc
cắt hai phần kéo dài của hai cạnh) của một
tam giác và song song với cạnh còn lại thì
nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh
tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác
đã cho.
AB ' AC ' B ' C '
�


AB
AC
BC
3. Định lý Talet cho hình thang
- Nếu một đường thẳng song song với hai
đáy của hình thang và cắt hai cạnh bên
thì nó định ra trên hai cạnh bên đó
những đoạn thẳng tỉ lệ.

- Hình thang ABCD , hai điểm E , F lần lượt
thuộc AD, BC .
-

-

AE BF

Nếu EF / / AB / /CD thì DE CF .
AE BF

Ngược lại nếu DE CF thì EF / / AB / / CD .

II – BÀI TẬP
1. Ví dụ

Ví dụ 1: ABC nhọn ( AB  AC ), AC  36(cm) . AH là đường cao. Trung trực
của BC cắt AC tại K . Tính độ dài của CK
biết HB  10(cm); HC  18(cm).
Giải
Gọi I là trung điểm của BC
� KI là trung trực của BC
Mà AH  BC

� KI / / AH
KC IC

� AC HC
AC  36(cm), HC  18(cm), IC 

Trong đó
� KC  28(cm)

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD
MA 2

( AB / / CD ) , M �AD sao cho MD 3 ,
vẽ MN / / DC ( N �BC ) . Tính MN .
Biết AB  18(cm), CD  21(cm) .
Giải
Gọi P  AC �MN .
-

Có MN / / DC � MP / / DC

4

BH  HC
 14(cm)
2


-

MP AP AM 2



� DC AC AD 3
Mà CD  21(cm) nên MP  14(cm) .

Có MN / / DC mà AB / / DC

� MN / / AB � PN / / AB
PN CP
AP
2 1

 (1 
)  (1  ) 
� AB AC
AC
3 3
Mà AB  18(cm) � PN  6(cm)
- MN  MP  PN  14  6  20(cm)
2. Bài tập tự giải
AM 5
AM AB

,
Bài 1: Cho đoạn thẳng AB , M �AB sao cho AB 8 . Tính tỉ số MB MB
Bài 2: Cho tam giác ABC , trong nửa mặ phẳng có chứa A bờ BC kẻ tia
Cx / / AB . F là trung điểm AB . Kẻ EF / / BC ( F �AC ) , EF �Cx   I  .
BI �AC   H 
.
2
a. Chứng minh: HC  HA.HF
HF
b. Tính HC .

 I , K  �AH sao cho

Bài 3: Cho tam giác ABC có AH là đường cao. Lấy
AI  IK  KH . Qua I kẻ DE / / BC ( D �AB, E �AC ) . Qua K kẻ
MN / / BC ( M �AB, N �AC ) .
DE
AI
MN AK


a. Chứng minh BC AH và BC AH .
b. Cho BC  30(cm) . Tính 2 đoạn DE , MN .
Bài 4: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD) , Q là trung điểm của CD ,
 M   AQ �BD ,  N   BQ �AC .
a. Chứng minh MN / / AB

 E  AD �MN ,  F   BC �MN . Chứng minh

EM  NF .
 M   AD �BC . Lấy I là
Bài 5: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD)( AB  DC ) ,
 H   BI �AD , DN / / BH ( N �AB) . Gọi P là đỉnh
điểm bất kì thuộc DC ,
b.

thứ tư của hình bình hành ICPH .
Chứng minh rằng M , N , P thẳng hàng.

5


CHỦ ĐỀ 2: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa hai tam giác đồng dạng
- Hai tam giác đồng dạng nếu chúng có các
góc tương ứng bằng nhau và các cạnh
tương ứng tỉ lệ.
- Tam giác A ' B ' C ' được gọi là đồng dạng với
tam giác ABC nếu:
�
�'  B
�, C
�'  C
�
A'  �
A, B
và
A' B ' A'C ' B ' B '


AB
AC
BC

-

-

Ký hiệu tam giác đồng dạng :

A ' B ' C ' ∽ABC

A' B ' A'C ' B 'C '


k
AC
BC
Tỉ số: AB
gọi

là tỉ số đồng dạng.
2. Tính chất của hai tam giác đồng dạng
Hai tam giác A ' B ' C ' và ABC đồng dạng có 1 số tính chất:
-

ABC ∽A ' B ' C '
Nếu A ' B ' C ' ∽ABC thì ABC ∽A ' B ' C '
Nếu A ' B ' C ' ∽A '' B '' C '' và A '' B '' C '' ∽ABC thì A ' B ' C ' ∽ABC .

3. Định lí hai tam giác đồng dạng
- Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn
lại tạo thành một tam giác với tam giác đã cho.
- Chú ý : Định lý đúng cho trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài của
hai cạnh tam giác và song song với cạnh còn lại.
4. Các trường hợp chứng minh hai tam giác đồng dạng
a. Trường hợp góc – góc:
- Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau là hai tam giác đồng dạng với
nhau.
- Ví dụ :
�B
�'

A ' và B
Hai tam giác ABC và A ' B ' C ' có �A  �
thì ABC ∽A ' B ' C ' .
b. Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh :
- Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau là hai tam giác
đồng dạng
- Ví dụ :
AB
AC
BC


Hai tam giác ABC và A ' B ' C ' có A ' B ' A ' C ' B ' C ' thì ABC ∽A ' B ' C ' .

c. Trường hợp cạnh – góc – cạnh :
6


-

Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và góc xen giữa hai cặp
cạnh này bằng nhau thì đó là hai tam giác đồng dạng với nhau.
Ví dụ
AB
AC

A ' và A ' B ' A ' C ' thì ABC ∽A ' B ' C ' .
Hai tam giác ABC và A ' B ' C ' có �A  �

d. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

- Hai tam giác vuông có hai góc nhọn tương ứng bằng nhau thì chúng
đồng dạng.
- Hai tam giác vuông có hai cặp cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ với nhau
thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
- Cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với
cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam
giác đó đồng dạng với nhau.
II – Bài tập

1. Các bài toán về tính toán.
a. Ví dụ :
Ví dụ 1 : Tam giác ABC có AB  5(cm), BC  8(cm) . Tính AC
Giải
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho BD  BC
� Tam giác BCD cân tại B .
�  DCB
�
� BDC

A
Mà ABC và ACD có chung �
� ABC ∽ACD (g.g)
AC AB

� AC 2  AB. AD  AB ( AB  BC )
� AD AC
� AC  65(cm)
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC

vuông tại A có

AB  12(cm), BC  20(cm) . Trên tia

đối của AB lấy điểm D sao cho
CD 5

�
AC 3 . Tính BCD
.
Giải:
AB 12 3 AC

 
Ta có: BC 20 5 CD
AB BC

�  CAD
�  90�
� AC CD mà ABC và ACD có BAC
�  CDA
�
� ABC ∽ACD (c.g.c) � BCA
�
�
�
�
�
Mà CDA  ACD  90�� BAC  ACD  90�� BCD  90�
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và hình bình hành
AMNP ( M �AB, N �BC , P �AC ) .

7


Tính diện tích AMNP biết:
S MBN  3(cm 2 ), S PNC  12(cm 2 )
Giải
�
�
- Ta có: AM / / PN � BMN  MNP (so le trong)
�  NPC
�
AP / / MN � MNP
(so le trong)
�
�
� BMN  NPC
�
�
Mà AB / / PN � MBN  PNC (đồng vị)
� MBN ∽PNC ( g .g )
�
� BM 

MB MN


PN PC

S MBN
3 1



S PNC
12 2

PN AM
AM

� S AMN 
S BMN  2.3  6(cm 2 )
2
2
BM

PC  2 MN  2 AP � S ANP 

AP
1
S PNC  .12  6(cm 2 )
PC
2

2
Vậy S AMNP  S AMN  S ANP  6  6  12(cm )

b. Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho tam giác ABC , D là trung điểm BC , M là trung điểm AD .
BM �AC   P , P '
a.
là điểm đối xứng của P qua M .

CMR : PA  P ' D
PA
AP
b. Tính tỷ số PC và AC
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB : AC : BC  2 : 3 : 5 và chu vi của tam giác là

54(cm).

Cho tam giác DEF có DE  3(cm); DF  4,5(cm); EF  6(cm)
a. CM 2 tam giác trên đồng dạng
�
�  45�
;D
. tính các góc còn lại của 2 tam giác trên.
b. Biết A  105�
Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và trung tuyến AM .
Tính diện tích tam giác AMH , biết BH  4(cm0), CH  9(cm) .
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  15(cm), AC  20(cm) . AD là tia
A DE  AC   E

phân giác trong của góc

.

.

 Tính độ dài của BD, CD, DE .
 Tính diện tích của ABD, ACD .
Bài 5: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD) . Tính BC , CD biết
�  DBC

�
AB  5(cm); AD  7(cm); BD  10(cm), DAB
2. Các bài toán chứng minh
a. Ví dụ

8


Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD ) .
AC �BD   M  ; AD �BC   P .N , Q
lần lượt là
trung điểm của AB, DC .

-

CM: M , N , P, Q thẳng hàng.
Giải:
Nối NP, PQ ta được
AB AP
2 AN AP
AN AP

�

�

CD CP
2CQ CP
CQ CP
�

�
�
�
Mà NAP  QCP � NAP ∽QCP(c.g.c) � APN  CPQ
� N , P, Q thẳng hàng.
(1)
ABP ∽CDP ( g .g ) �

-

Nối MN , MQ ta chứng minh tương tự ta chứng minh được M , N , Q
thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) ta chứng minh được M , N , P, Q thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ba đường cao
AD, BE , CF đồng quy tại H . Chứng minh
rằng:

AH .DH  BH .EH  CH .FH .

Giải
- Ta có:
�
�  90�
�
�
AFH  CDH
và AHF  CHD (đối đỉnh)
� FAH ∽DCH ( g .g )
FH AH

�

� FH .CH  AH .DH
DH CH
(1)
- Tương tự ta có: � EAH ∽DBH ( g.g )
�

-

EH AH

� EH .BH  AH .DH
DH BH
(2)
Từ (1) với (2) ta có AH .DH  BH .EH  CH .FH

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D, E , F , I , K sao cho
BD AE AF DP DQ 1




 ( D �BC , E �AC , F �AB, P �DF , Q �DE )
DC EC FB PF QE 2
.

Chứng minh PQ / / BC
Giải:
Gọi M là trung điểm của AE

Gọi N là giao điểm của FM và DE
-

Xét AFM và ABC có :
AF AM 1


AB AC 3 và �
A :chung

9


-

� AFM ∽ABC (c.g.c)
��
AFM  �
ABC mà 2 góc ở vị trí đồng vị
� FN / / BC
(1)
Xét MEN và CED có :
�  CED
�
MEN
(đ.đ)
�
�
EMN  EDC (s.l.trong)
� MEN ∽CED �

�

EN EM

 1 � EN  ED
ED EC

DQ DQ DE 2 1 1 DP

.
 .  
DN DE DN 3 2 3 DF

�  DFN
� � FN / / PQ
� PDQ ∽FDN (c.g .c) � DPQ

(2)

Từ (1) và (2) suy ra PQ / / BC
b. Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho ABC có D, E , F là trung điểm của BC , AC , AB .
BM  MN  NC ( M , N �BC ) . AM �BE   P , AN �CF   Q . CMR:
a. F , P, D thẳng hàng
b. D, Q, E thẳng hàng
c. ABC ∽DQP
Bài 2: Lấy O là một điểm nằm trong ABC . AO, BO, CO lần lượt cắt
OA OB OC



2
BC , AC , AB tại P, Q, R CMR: AP BQ CR
Bài 3: Cho 4 điểm A, E , F , B theo thứ tự trên một đường thẳng. Trên
cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cá hình vuông ABCD; FGHE .
AG �BH   O
a.
. CMR: OHE ∽OBC
b. CMR: O �CE , O �DF
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Lấy M , N lần lượt là trung
F �AB; FM �BC   E ; FN �AD   K 
điểm BO, AO .
. CMR
BA BC

4
a. BF BE
b. BE  AK �BC
Bài 5: Cho ABC , M �BC . CMR: MA.BC  MC. AB  MB. AC

10