Bảng công thức Toán 12 đầy đủ nhất.

CHƯƠNG I : HÀM SỐ
1)Công thức đạo hàm
Hàm cơ bản
Hàm hợp
(𝑥 𝑛 )′ = 𝑛. 𝑥 𝑛−1 ; (𝐶 ′ ) = 0
1 ′
𝑢′
𝑛 )′ = 𝑛. 𝑢 𝑛−1 . 𝑢 ′ ; ( ) = −
(𝑢
′
1
1
𝑢
𝑢2
(𝑘. 𝑢)′ = 𝑘. 𝑢′ ; ( ) = − 2
′
𝑢′
′
′
𝑥
𝑥
√𝑢 = 2√𝑢 ; (𝑠𝑖𝑛𝑢) = 𝑢 . 𝑐𝑜𝑠𝑢
1
′
′
(𝑠𝑖𝑛𝑥)
𝑥
=
;
=
𝑐𝑜𝑠𝑥

√
(𝑐𝑜𝑠𝑢)′ = −𝑢′ . 𝑠𝑖𝑛𝑢
2√𝑥
𝑢′
𝑢′
1
(𝑡𝑎𝑛𝑢)′ = 2 ; (𝑐𝑜𝑡𝑢)′ = − 2
(𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = −𝑠𝑖𝑛𝑥 ; (𝑡𝑎𝑛𝑥)′ = 2
cos 𝑢
sin 𝑢
cos 𝑥
(sin𝑛 𝑢)′ = 𝑛. u′ . sin𝑛−1 𝑢 . 𝑐𝑜𝑠𝑢
1
(𝑐𝑜𝑡𝑥)′ = − 2
(cos𝑛 𝑢)′ = −𝑛. u′ . sin𝑛−1 𝑢 . 𝑠𝑖𝑛𝑢
sin 𝑥
𝑢 ′
𝑢′ 𝑣−𝑣 ′ 𝑢
𝑛.𝑢′ .tan𝑛−1 𝑢
′
′
′
(𝑢. 𝑣) = 𝑢 𝑣 + 𝑣 𝑢 ; ( ) =
(tan𝑛 𝑢)′ =
𝑣
𝑣2
cos2 𝑢
(𝑎 𝑥 )′ = 𝑎 𝑥 . 𝑙𝑛𝑎 ; (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥
(𝑎 𝑢 )′ = 𝑢′ . 𝑎𝑢 . 𝑙𝑛𝑎 ; (𝑒 𝑢 )′ = 𝑢′ . 𝑒 𝑢
1

1
𝑢′
𝑢′
(𝑙𝑛𝑥)′ = ; (log 𝑎 𝑥)′ =
(𝑙𝑛𝑢)′ = ; (log 𝑎 𝑢)′ =
𝑥
𝑥.𝑙𝑛𝑎
𝑢

2)Sự biến thiên và đồ thị hàm số
Hàm bậc 3
𝑦 = 𝐴𝑥 3 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷
𝑦 ′ = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ; ∆′ = 𝑏 ′2 − 𝑎𝑐

Đơn
điệu

Cực
trị

Tiệm
cận

GTLN
GTNN

Tiếp
tuyến
(tt)

Đồng biến trên R (tính y’)
𝑎>0
{
( xét TH a = 0)
∆≤0
Nghịch biến R (tính y’)
𝑎<0
{
( xét TH a = 0)
∆≤0
Đơn điệu trên khoảng (..)
Cô lập m. Xét g(x)
𝑔(𝑥) ≥ 𝑚 ⟺ 𝑀𝑖𝑛𝑔(𝑥) ≥ 𝑚
𝑔(𝑥) ≤ 𝑚 ⟺ 𝑀𝑎𝑥𝑔(𝑥) ≤ 𝑚
𝑎≠0
Có 2 cực trị {
∆> 0
∆≤ 0
Không có cực trị [
𝑎=0
Định lý viét
𝑏
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑎
{
𝑐
𝑥1 𝑥2 =
𝑎
Một số công thức trong Oxy

⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )
𝐴𝐵
𝐴𝐵 = √𝑥 2 + 𝑦 2
Trung điểm M của AB
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵
𝑀(
;
)
2
2
Khoảng cách
|𝑎. 𝑥𝑀 + 𝑏. 𝑦𝑀 + 𝑐|
𝑑=
√𝑎2 + 𝑏 2

Đồng biến
𝑦′ ≥ 0
Nghịch biến
𝑦′ ≤ 0
Tìm nghiệm của y’=0
từ đó lập trục xét dấu
để đưa ra kết luận
0 𝑥2 ( 𝑎 > 0)

Có 1 CT: 𝑎. 𝑏 ≥ 0
Có 3 CT: 𝑎. 𝑏 < 0
Có CĐ không có CT
𝑎<0
𝑎=0
{

hoặc {
𝑏≤0
𝑏<0
Có CT không có CĐ
𝑎>0
𝑎=0
{
hoặc {
𝑏≥0
𝑏>0
3 Cực trị lập thành
- Tam giác vuông
3
𝑏 = −2 √𝑎
- Tam giác đều
3
𝑏 = −√24𝑎
-Tam giác có S
5
𝑏 = −2 √𝑆 2 . 𝑎3
-Có góc 𝜑
3

Đồ thị
hàm
số

𝑎<0

𝑢.𝑙𝑛𝑎

Hàm bậc 4
𝑦 = 𝑎. 𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐
𝑦 ′ = 4𝑎𝑥 3 + 2𝑏𝑥
= 2𝑥(2𝑎𝑥 2 + 𝑏)

𝑥1

𝑎>0

𝜑

𝑏 = −2√𝑎. cot 2 ( )
2

CASIO tìm tiệm cận các hàm phức tạp
Nhập hàm f(x) chế độ radian (SHIFT MODE 4 )
𝑉ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚
-Tìm tiệm cận đứng: 𝑀ẫ𝑢 = 0 → [
𝑥 = 𝑥0
𝑥0 + 10^(−5
CALC [
ra 1 số cực lớn là TCĐ
𝑥0 − 10^(−5
-Tìm tiệm cận ngang
999999
CALC [
ra 1 con số là TCN
−999999

Hàm hữu tỷ
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑦=
𝑐𝑥 + 𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑦′ =
(𝑐𝑥 + 𝑑)2
Luôn đồng biến
hoặc nghịch
biến trên TXĐ
𝑦 ′ > 0 hoặc
𝑦′ < 0
Tức
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 > 0
hoặc
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 < 0
Không có cực trị
Lưu ý
Cách tìm cực trị
Cho hàm bậc 3
và bậc 4
𝑥 = 𝑥0 𝑙à 𝐶𝑇
𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0
⟹{
𝑓"(𝑥0 ) > 0
𝑥 = 𝑥0 𝑙à 𝐶Đ
𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0
⟹{
𝑓"(𝑥0 ) < 0
Điểm uốn

𝑦" = 0
⇔ 𝑥 = 𝑥0
y” đổi dấu qua
nghiệm 𝑥 = 𝑥0
Tiệm cận đứng
𝑑
𝑥=−
𝑐
Tiệm cận ngang
𝑎
𝑦=
𝑐
Tâm đối xứng
𝑑 𝑎
𝐼 (− ; )
𝑐 𝑐

Nhập hàm f(x) chế độ radian (SHIFT MODE 4 )
Máy Vn plus hoặc Vinacal ấn SHIFT MODE ↓ 5 1
MODE 7 ( TABLE) . Nhập hàm f(X)
-Nếu đề bài cho đoạn [a;b] hoặc tự tìm theo TXĐ
Start ? : a . End ? : b . Step ? : (End –Start) : 20
-Nếu đề bài không cho khoảng đoạn
Start ? : -9 . End ? : 9 . Step ? : 1
-Nếu đề bài là hàm lượng giác không cho khoảng đoạn
Start ? : 0 . End ? : 2.𝜋 . Step ? : 𝜋: 10
𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓(𝑥0 ) 𝑉ớ𝑖 ∶ tan(𝜑) = 𝑓 ′ (𝑥0 ) là hệ số góc của tt
1
Tiếp tuyến // (d): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟹ 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑎. Nếu tt ⊥ (𝑑): 𝑓 ′ (𝑥0 ) = −
𝑎

-Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất nằm tại điểm uốn
-Các trường hợp đặc biệt thường có 𝑓 ′ (𝑥0 ) = ±1
(tt cắt TCĐ và TCN tại A,B sao cho AB nhỏ nhất)

Xét phương trình hoành độ giao điểm 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
-Giản đồ hoocne ( rơi đầu –nhân ngang – cộng chéo)
-Pt 𝑔(𝑥) = 0 không có nghiệm 𝑥0 thì 𝑔(𝑥0 ) ≠ 0
-Nghiệm của pt 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 = 0 có 4 nghiệm lập CSC
10
Sự
𝑏 = ± √𝑎. 𝑐
tương
3
-Biện luận theo m số nghiệm pt ( dựa vào hình dáng đồ thị)
giao
-Hàm mang dấu giá trị tuyệt đối
của
hai đồ 𝑦 = |𝑓(𝑥)|. Lấy đối xứng bên dưới ox lên trên và xóa phần
dưới ox đi
thị
𝑦 = 𝑓(|𝑥|).Xóa phần trái oy và lấy đối xứng phần bên phải
oy sang bên trái oy
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
-Điều kiện tiếp xúc của 2 đường cong { ′
𝑓 (𝑥) = 𝑔′ (𝑥)
𝑆 ′ (𝑡) = 𝑉(𝑡); 𝑉 ′ (𝑡) = 𝑎(𝑡). Với S là quãng đường, V là
Toán
vận tốc và a là gia tốc
thực
1

tế
𝑉 = 𝑉0 + 𝑎. 𝑡 ; 𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0 𝑡 + 𝑎. 𝑡 2
2
Sử dụng casio xét tình đồng biến và nghịch biến của hàm số trên
khoảng đoạn (a;b).
MODE 7 (TABLE). Start ? a . End ? b . Step ? (b-a):20
Nếu cột F(x) tăng hàm số đồng biến và giảm là nghịch biến
CHƯƠNG II : HÀM SỐ MŨ -LOGARIT
1)Công thức cơ bản hàm mũ
a)Công thức hàm số mũ
𝑎𝑚
𝑎0 = 1 ; 𝑎1 = 𝑎; 1𝑛 = 1 ; 𝑎 𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 ;
= 𝑎𝑚−𝑛
𝑎𝑛
𝑚
𝑎
𝑎 𝑚 1
𝑎𝑚 . 𝑏 𝑚 = (𝑎𝑏)𝑚 ; (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 ; 𝑚 = ( ) ; 𝑚 = 𝑎−𝑚
𝑏
𝑏
𝑎
𝑚
𝑛
0 𝑣à 0−𝑛
𝑚
𝑛
=
𝑎
;
Không

tồn
tại
0
√𝑎
b) Điều kiện xác định của hàm số mũ – lũy thừa
𝑛 ∈ 𝑁 {1; 2; 3; 4; … } → 𝑓(𝑥) 𝑐ó 𝑛𝑔ℎĩ𝑎
𝑛
𝑛 ∈ 𝑍 − {−1; −2; −3; … } → 𝑓(𝑥) ≠ 0
(𝑓(𝑥)) nếu [
1

𝑛 𝑛ℎữ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 { ; 𝜋; √3; … } → 𝑓(𝑥) > 0
2

c) So sánh
Với 𝑎 > 1 𝑡ℎì 𝑎𝑚 > 𝑎𝑛 ⟺ 𝑚 > 𝑛
Với 0 < 𝑎 < 1 𝑡ℎì 𝑎𝑚 > 𝑎𝑛 ⟺ 𝑚 < 𝑛
2)Công thức cơ bản hàm logarit
a)Công thức hàm số logarit
log 𝑎 1 = 0; log 𝑎 𝑎𝑛 = 𝑛 ; log 𝑎 𝑎 = 1 ; 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏
𝑏
log 𝑎 (𝑏𝑐) = log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐 ; log 𝑎 ( ) = log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐
𝑐
1
1
log 𝑎𝑛 𝑏 = log 𝑎 𝑏 ; log 𝑎 𝑏 𝑛 = 𝑛. log 𝑎 𝑏;
= log 𝑏 𝑎
log 𝑎 𝑏 =

𝑛

logc 𝑏

log𝑐 𝑎

; log 𝑐 𝑎 . log 𝑎 𝑏 = log 𝑐 𝑏 ;

log𝑎 𝑏
𝑎log𝑐 𝑏

log 𝑒 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 ; log10 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑥
b) Điều kiện xác định của hàm số logarit
𝑎 > 0; 𝑏 > 0
y = log 𝑎 𝑏 → đ𝑘: {
𝑎≠1
c) So sánh
Với 𝑎 > 1 𝑡ℎì log 𝑎 𝑏 > log 𝑎 𝑐 ⟺ 𝑏 > 𝑐
Với 0 < 𝑎 < 1 𝑡ℎì log 𝑎 𝑏 > log 𝑎 𝑐 ⟺ 𝑏 < 𝑐

=

𝑏 log𝑐 𝑎


3) Casio trong hàm mũ và logarit
𝑑

a)Đạo hàm f(x) : SHIFT ∫
ta được (𝑓(𝑥))|𝑥=𝑎 (a ∈ 𝑇𝑋Đ)
𝑑𝑥
Kiểm tra các kết quả bằng cách nhập hàm các đáp án CALC a

(chú ý chế độ Radian)

Nhập

11
Ấn log 𝑥 √𝑥. √𝑥 2 . √𝑥 CALC x = 5 ta được 𝑎 =
3

12

𝑥

c)Tìm nghiệm: Ví dụ : 3 + 5 = 2 + 6𝑥
Ấn: 3 𝑥 + 5 𝑥 − 2 − 6𝑥 và ấn = . Ấn SHIFT CALC = . Ta được x = 1
Ấn ← (3 𝑥 + 5 𝑥 − 2 − 6𝑥): (𝑥 − 1) và ấn SHIFT CALC = .Ta được x = 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm 𝑥1 = 1 𝑣à 𝑥2 = 0
d)Biểu diễn loga: Ví dụ: log 2 3 = 𝑎; log 3 5 = 𝑏. Khí đó log12 90 là
Ấ𝑛 log 2 3 = 𝑆𝐻𝐼𝐹𝑇 𝑅𝐶𝐿 (−) → 𝐴 (Lưu biến A)
Ấ𝑛 log 3 5 = 𝑆𝐻𝐼𝐹𝑇 𝑅𝐶𝐿 0 ′′′ → 𝐵 (Lưu biến B).Từ đó thử các đáp án
4)Phương trình ,bất pt và hệ pt mũ – logarit
a)Pt mũ cơ bản : 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 ⟺ 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑏
𝑎 𝑓(𝑥) 𝐵
𝐴. 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐵. 𝑏 𝑓(𝑥) ⇔ ( )
=
𝑏
𝐴
𝑓(𝑥)
b)Đặt ẩn phụ (mũ) : Đặt 𝑎
= 𝑡 ; (đ𝑘 ∶ 𝑡 > 0); 𝑎2𝑓(𝑥) = 𝑡 2
𝐴. 𝑎2𝑓(𝑥) + 𝐵. (𝑎𝑏)𝑓(𝑥) + 𝐶. 𝑏 2𝑓(𝑥) = 0

𝑎 2𝑓(𝑥)
𝑎 𝑓(𝑥)
𝑎 𝑓(𝑥)
⟺ 𝐴. ( )
+ 𝐵. ( )
+ 𝐶. = 0 ; Đặ𝑡 ∶ ( )
= 𝑡 (đ𝑘: 𝑡 > 0)
𝑏
𝑏
𝑏
2𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)
2𝑔(𝑥)
𝐴. 𝑎
+ 𝐵. 𝑎
+ 𝐶. 𝑎
=0
⟺ 𝐴. 𝑎2[𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)] + 𝐵. 𝑎 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) + 𝐶 = 0 ; Đặ𝑡 ∶ 𝑎 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) = 𝑡
c)Logarit hóa : 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). log 𝑎 𝑏
𝑓 ′ (𝑥) > 0
d)Đạo hàm: 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑛ế𝑢 [ ′
⇒ 𝑓(𝑥) = 0 𝑐ó 𝑡ố𝑖 đ𝑎 1 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚
𝑓 (𝑥) < 0
𝑓"(𝑥) > 0
𝑛ế𝑢 [
⇒ 𝑓(𝑥) = 0 𝑐ó 𝑡ố𝑖 đ𝑎 2 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚
𝑓"(𝑥) < 0
e)Pt logarit cơ bản: log 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑏 (đ𝑘: 𝑓(𝑥) > 0)
log 𝑎 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) (đ𝑘: 𝑓(𝑥) > 0; 𝑔(𝑥) > 0)
f) Đặt ẩn phụ (loagarit): Đặt : log 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑡 ⇒ log 2𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑡 2

Chú ý : log 𝑎 𝑓 2𝑛 (𝑥) = 2𝑛. 𝑙𝑜𝑔𝑎 |𝑓(𝑥)|
g)Bất pt , hệ pt mũ và logarit: Nếu cơ số > 1 bất phương trình giữ nguyên
dấu. Nếu cơ số < 1 bất phương trình đảo chiều. Sử dụng trục xét dấu
Đối với hệ phương trình chủ yếu sử dụng phương pháp thế
5)Bài toán thực tế
a)Tìm số chữ số của 𝒂𝒏 𝒍à: 𝑙ấ𝑦 𝑝ℎầ𝑛 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 (𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎) + 1
𝐴(1+𝑟)
b)Bài toán lãi suất : 𝑆 = 𝐴. (1 + 𝑟)𝑛 ; 𝑆 =
[(1 + 𝑟)𝑛 − 1]
Số tiền phải trả : 𝑚 =
c)Tổng cấp số : 𝑆 =

𝐴.𝑟.(1+𝑟)𝑛

𝑟

. Bài toán tăng trưởng : 𝑆 = 𝐴. 𝑒 𝑟.𝑡

(1+𝑟)𝑛 −1
𝑛[2𝑢1 +(𝑛−1)𝑑]
2

(𝑐ấ𝑝 𝑠ố +); 𝑆 =

𝑈1 (𝑞 𝑛 −1)
𝑞−1

(C.S.Nhân)

CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN

1)Công thức nguyên hàm
Cơ bản
Nâng cao
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =

𝑥 𝑛+1
+𝐶
𝑛+1

1
∫ 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶
𝑥
1
1
∫ 2 𝑑𝑥 = − + 𝐶
𝑥
𝑥
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶
∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑎𝑥
+𝐶
𝑙𝑛𝑎

∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶
∫(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 𝑑𝑥 =

(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛+1
+𝐶

𝑎(𝑛 + 1)

𝑘. 𝑑𝑥
k
= ln|ax + b| + C
𝑎𝑥 + 𝑏 a
𝑘𝑑𝑥
𝑘
∫
=−
+𝐶
(𝑎𝑥 + 𝑏)2
𝑎(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑎𝑥
𝑒
∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
+𝐶
𝑎
𝑘𝑥
𝑎
∫ 𝑎𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
+𝐶
𝑘. 𝑙𝑛𝑎
∫

1
∫ sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = − cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
𝑎
1
∫ cos(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶

𝑎
1
1
∫
𝑑𝑥 = tan(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
cos2 (𝑎𝑥 + 𝑏)
a
1
1
∫ 2
𝑑𝑥 = − cot(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
sin (𝑎𝑥 + 𝑏)
a
𝑑𝑥
∫
= ln |𝑥 + √𝑥 2 + 1| + 𝐶
√1 + 𝑥 2

dạng : ∫ (
= ∫(

3

b)Đưa về mũ hữu tỷ: Ví dụ: √𝑥. √𝑥 2 . √𝑥 = 𝑥 𝑎

𝑥

2)Một số dạng nguyên hàm thường gặp
𝑷(𝒙)
a)Phân thức : ∫

𝒅𝒙. Nếu bậc P(x) < Q(x) ta tách tích mẫu và đưa về tổng

CASIO Nguyên hàm
-Nhập hàm CALC a =
-SHIFT tích phân các đáp
án với x = a ( a ∈ 𝑇𝑋Đ)
Ví dụ: ∫ √𝑥 + 2 𝑑𝑥
-Nhập √𝑥 + 2 CALC 5 =
Ta được √7 ≈ 2,645751
-Kiểm tra 4 đáp án A,B,C,D
bằng nút SHIFT tích phân
các hàm với x = 5

5

𝐴
𝑄1 (𝑥)
3

−

+

𝑸(𝒙)
𝐵
𝑄2 (𝑥)

+ ⋯ ) 𝑑𝑥. Ví dụ : ∫

2𝑥+1

𝑑𝑥 = ∫ (𝑥−1)(𝑥−2) 𝑑𝑥

) 𝑑𝑥 = 5 ln|𝑥 − 2| − 3 ln|𝑥 − 1| + 𝐶; Tìm A,B bằng Casio:

𝑥−2
𝑥−1
2𝑥+1
𝑥−1

2𝑥+1
𝑥 2 −3𝑥+2

CALC 2 ta được 5; Nhập

2𝑥+1
𝑥−2

CALC 1 ta được -3
𝑑ư

Nếu bậc P(x) > Q(x) ta thực hiện phép chia : Thương +
𝑚ẫ𝑢
b)Lượng giác:
𝑛 𝑐ℎẵ𝑛, 𝑚 𝑙ẻ đặ𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑡
𝑛
𝑙ẻ, 𝑚 𝑐ℎẵ𝑛 đặ𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑡
∫ sin𝑛 𝑥 . cos𝑚 𝑥 𝑑𝑥 Nếu
𝑛 𝑙ẻ, 𝑚 𝑙ẻ đặ𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑡
[𝑛 𝑐ℎẵ𝑛, 𝑚 𝑐ℎẵ𝑛 𝑑ù𝑛𝑔 𝑐𝑡 ℎạ 𝑏ậ𝑐

∫ tan𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(tan𝑛 𝑥 + tan𝑛−2 𝑥)𝑑𝑥 − ∫ tan𝑛−2 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ tan𝑛−2 𝑥 . (1 + tan2 𝑥)𝑑𝑥 − ∫ tan𝑛−2 𝑥 𝑑𝑥 Đă𝑡: 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑡
c)Các công thức lượng giác
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 ; tan 𝑥 =
; 𝑐𝑜𝑡𝑥 =
; 𝑡𝑎𝑛𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑥
1
1
1 + tan2 𝑥 =
; 1 + cot 2 𝑥 =
; 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
cos2 𝑥
sin2 𝑥
2𝑡𝑎𝑛𝑥
2
2
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 = cos 𝑥 − sin 𝑥 = 1 − 2 sin 𝑥 = 2 cos2 𝑥 − 1; 𝑡𝑎𝑛2𝑥 =
1−tan2 𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
sin2 𝑥 =
; cos2 𝑥 =
; 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 3𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4 sin3 𝑥

2
2
𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 4 cos3 𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥; sin(𝑎 ± 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 ± 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝑎
3 𝑐𝑜𝑠4𝑥
cos(𝑎 ± 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 ∓ 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏 ; sin4 𝑥 + cos4 𝑥 = +
4
4
5 3𝑐𝑜𝑠4𝑥
17 7𝑐𝑜𝑠𝑠4𝑥 cos2 4𝑥
6
6
8
8
sin 𝑥 + cos 𝑥 = +
; sin 𝑥 + cos 𝑥 =
+
+
8
8
32
16
32
𝑡𝑎𝑛𝑎 ± 𝑡𝑎𝑛𝑏
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
tan(𝑎 ± 𝑏) =
; 𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑐𝑜𝑠𝑏 = 2 cos (
) cos (
)
1 ∓ 𝑡𝑎𝑛𝑎. 𝑡𝑎𝑛𝑏

2
2

𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
𝑐𝑜𝑠𝑎 − 𝑐𝑜𝑠𝑏 = −2 sin (
) sin (
) ; 𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2 sin (
) cos (
)
2
2
2
2
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
cos(𝑎 + 𝑏) + cos (𝑎 − 𝑏)
𝑠𝑖𝑛𝑎 − 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2 cos (
) sin (
) ; 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 =
2
2
2
sin(𝑎 + 𝑏) + sin (𝑎 − 𝑏)
cos(𝑎 − 𝑏) − cos (𝑎 + 𝑏)
𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 =
; 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏 =
2

2

3) Công thức tích phân
𝑏
𝑎
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) ; ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝑏

𝑎

𝑏

𝑐

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎

𝑏

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [

𝑎

𝑎

𝑎

𝑐

2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ( 𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥)𝑙à ℎà𝑚 𝑐ℎẵ𝑛)
0

−𝑎

0

( 𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥)𝑙à ℎà𝑚 𝑙ẻ)
𝑎
𝑓(𝑥)
∫ 𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ( 𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥)𝑙à ℎà𝑚 𝑐ℎẵ𝑛)
−𝑎 𝑏 + 1
0
𝑎

𝑏

T.P từng phần (nhất lô nhì đa tam lượng tứ mũ) 𝐼 = 𝑢. 𝑣|𝑏𝑎 − ∫𝑎 𝑣. 𝑑𝑢
𝑏

𝐼 = ∫𝑎 𝑒 𝑓(𝑥) . sin (𝑔(𝑥)). 𝑑𝑥 Từng phần 2 lần để truy hồi về biểu thức ban đầu
𝜋
2

𝜋

sin𝑛 𝑥
2
cos𝑛 𝑥
𝜋
∫
𝑑𝑥
=
∫
𝑛 𝑥 + cos 𝑛 𝑥
𝑛 𝑥 + cos 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 4
sin
sin
0
0
Lượng giác hóa tích phân :
𝑓 2 (𝑥) + 𝑎2 đặ𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑡𝑎𝑛𝑡 ⟺ 𝑑(𝑓(𝑥)) = 𝑎(1 + tan2 𝑡)𝑑𝑡
𝑎
𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡. 𝑑𝑡
𝑓 2 (𝑥) − 𝑎2 đặ𝑡 𝑓(𝑥) =
⇔ 𝑑(𝑓(𝑥)) =
𝑐𝑜𝑠𝑡
cos2 𝑡
𝑎2 − 𝑓 2 (𝑥) đặ𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑡 ⇔ 𝑑(𝑓(𝑥)) = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡. 𝑑𝑡
Tích phân hàm trị tuyệt đối
𝑏

𝑥0

𝑏

∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 = ± ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∓ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑥0 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑓(𝑥) = 0
𝑎

𝑎

𝑥0

4) Ứng dụng tích phân trong tính S và V
Diện tích S và thể tích V của hình phẳng giới hạn bởi hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥);
𝑦 = 𝑔(𝑥); 𝑥 = 𝑎; 𝑥 = 𝑏 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = 𝑓(𝑦); 𝑥 = 𝑔(𝑦); 𝑦 = 𝑐 ; 𝑦 = 𝑑
𝑏

𝑑

𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 = ∫ |𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)|𝑑𝑦
𝑎

𝑐

𝑏

𝑉 = 𝜋∫

|𝑓 2 (𝑥)

−

𝑔2 (𝑥)|𝑑𝑥

𝑎

(Xoay quanh ox)

𝑑

= 𝜋 ∫ |𝑓 2 (𝑦) − 𝑔2 (𝑦)|𝑑𝑦
𝑐

(Xoay quanh oy)


CHƯƠNG IV : SỐ PHỨC
1)Công thức cơ bản số phức
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ; 𝑎 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ℎự𝑐 ; 𝑏 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 ả𝑜 ; 𝑖 2 = −1; 𝑧 = 𝑏𝑖 𝑙à 𝑠ố ả𝑜
𝑎1 = 𝑎2
𝑧1 = 𝑧2 ⟺ { 𝑏 = 𝑏 ; 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑛: |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 2 ; 𝑙𝑖ê𝑛 ℎợ𝑝: 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖
1
2
𝑧1 𝑧1 . 𝑧 𝑧1 . 𝑧
𝑧1
|𝑧1 |
|𝑧| = |𝑧|; 𝑧. 𝑧 = |𝑧|2 ;
=
=
; |𝑧 . 𝑧 | = |𝑧1 |. |𝑧2 |; | | =
|𝑧|2 1 2
𝑧
𝑧. 𝑧
𝑧2
|𝑧2 |

||𝑧1 | − |𝑧2 || ≤ |𝑧1 + 𝑧2 | ≤ |𝑧1 | + |𝑧2 |; 𝑖 4𝑛 = 1; 𝑖 4𝑛+1 = 𝑖; 𝑖 4𝑛+2 = −1
arg (𝑧)
𝑖 4𝑛+3 = −𝑖; √−𝑎 = ±𝑖√𝑎; 𝑇ì𝑚 𝑐ă𝑛 𝑏ậ𝑐 2 𝑐ủ𝑎 𝑧 𝑙à ∶ √|𝑧| −
=
2
2)Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
Đặt: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 . Phương trình đường thẳng: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Phương trình đường tròn: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2 𝑣ớ𝑖 𝑡â𝑚 𝐼(𝑎; 𝑏)
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑅 = √𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑐
Điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) biểu diễn số phức z; |𝑧| là độ dài 𝑂𝑀 ; 𝑧 là điểm đối xứng
với z qua ox. Nếu √(𝑥 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦 − 𝑦𝐴 )2 = √(𝑥 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦 − 𝑦𝐵 )2 thì
tập hợp z là đường trung trực của đoạn thẳng AB
3) Một số dạng toán thường gặp
a)Tìm z: nếu đề bài chỉ có 1 ẩn z ta giải như phương trình bậc 1,2,3….Nếu
đề bài có chứa 𝑧; 𝑧; |𝑧|; …. ta nên đặt z = a+b.i thay vào pt tìm a, b
b)Casio trong số phức: MODE 2 (CMPLX) . ENG là i. Các phép tính
cộng trừ nhân chia được thực hiện như phép tính trong số thực.
𝑧 được bấm SHIFT 2 2 là Conjg ( …) . |𝑧| được bấm là SHIFT hyp là |…|
-Tìm tập hợp điểm biểu diễn z . Ví dụ: 2|𝑧 − 2 + 3𝑖| = |2𝑖 − 1 − 2𝑧|
A.20x-16y-47=0 B.20x+16y-47=0 C.20x+16y+47=0 D.20x-16y+47=0
Nhập biểu thức 2|𝑋 − 2 + 3𝑖| − |2𝑖 − 1 − 2Conjg(X)| CALC:x+yi
Thử đáp án A: CALC 100 + ((20.100-47):16).i = . Đáp án nào ra 0 là đúng
arg(𝑧)+𝑘2𝜋
( 𝑘 ∈ {0; 1; 2})
-Tìm căn bậc 3 của số phức z : 3√|𝑧| −
3
2
(1
-Tìm z khi không có đáp án : ví dụ: + 2𝑖) . 𝑧 + 𝑧 = 4𝑖 − 20.Tìm |𝑧|
Nhập : (1 + 2𝑖)2 . 𝑋 +Conjg(X) . CALC: 10000 +100.i = .Ta được kết quả

-20400+39600i ta phân tích là -( 20000+400) +(40000-400)i tức là
𝑎=4
2𝑎 + 4𝑏 = 20
-(2a+4b)+(4a-4b)i = -20+4i ⟺ {
⟺{
⟹ |𝑧| = 5
𝑏=3
4𝑎 − 4𝑏 = 4
(chỉ dùng pp này khi phương trình đơn giản, không chứa phân số, căn thức)
c)Tìm max,min số phức: cho |𝑧 − 𝑥𝐼 − 𝑦𝐼 . 𝑖| = 𝑅
Tìm max,min của |𝑧 − 𝑥𝐸 − 𝑦𝐸 . 𝑖|
Xác định 𝐼(𝑥𝐼 ; 𝑦𝐼 ); 𝐸(𝑥𝐸 ; 𝑦𝐸 ); 𝑅 𝑣à độ 𝑑à𝑖 𝐼𝐸
MAX
MIN
Max = M = IE + R
Min = |IE-R| ; m = IE – R
𝑀. 𝑥𝐼 − 𝑅. 𝑥𝐸 𝑀. 𝑦𝐼 − 𝑅. 𝑦𝐸
𝑚. 𝑥𝐼 + 𝑅. 𝑥𝐸 𝑚. 𝑦𝐼 + 𝑅. 𝑦𝐸
𝑧=
+
.𝑖 𝑧 =
+
.𝑖
𝐼𝐸
𝐼𝐸
𝐼𝐸
𝐼𝐸
CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1)Phương trình
𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 = 0 ; Đặ𝑡 ∶ 𝑥 2 = 𝑡 ; đ𝑘: 𝑡 ≥ 0 ⟹ 𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0

𝑔(𝑥) ≥ 0
|𝑓(𝑥)| = 𝑔(𝑥) ⇔ {
; |𝑓(𝑥)| = |𝑔(𝑥)| ⟺ 𝑓(𝑥) = ±𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) = ±𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥) ≥ 0
𝑓(𝑥)𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥) ≥ 0
|𝑓(𝑥)| = [
; √𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ {
𝑓(𝑥) = 𝑔2 (𝑥)
−𝑓(𝑥)𝑛ế𝑢 𝑓(𝑥) < 0
2)Bất phương trình
𝑔(𝑥) < 0
𝑓(𝑥) ≥ 0
{
𝑓(𝑥) ≥ 0
; √𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) ⟺ { 𝑔(𝑥) > 0
√𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⟺
𝑔(𝑥) ≥ 0
{
𝑓(𝑥) < 𝑔2 (𝑥)
[ 𝑓(𝑥) > 𝑔2 (𝑥)
3)Bất đẳng thức
Cosi: 𝑎 + 𝑏 ≥ 2√𝑎𝑏; đ𝑘 (𝑎; 𝑏 ≥ 0). Dấu “=” xảy ra khi a = b
𝑎
𝑏
Bunhia: (𝑎2 + 𝑏 2 )(𝑥 2 + 𝑦 2 ) ≥ (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)2 . Dấu “=” xảy ra khi =
𝑥

𝑦

4)Casio trong phép phá đa thức và tách tích
Ví dụ: Rút gọn 3(𝑥 2 + 2𝑥)2 − 4𝑥 3 + (𝑥 − 1)3 + 4
𝑁ℎậ𝑝 3(𝑋 2 + 2𝑋)2 − 4𝑋 3 + (𝑋 − 1)3 + 4 CALC : 1000 = ta được
3.009009003 x 1012 lấy 12 : 3 = 4 tức đây là 3𝑥 4 . Ấn ← và điền thêm
– (3𝑥 4 =.Ta được 9009003003 ấn ENG được 9.009003003x109 lấy 9:3=3
tức đấy là 9𝑥 3 .Ấn ← và điền thêm – (3𝑥 4 + 9𝑥 3 = Ta được 9003003 ấn
ENG được 9.003003x106 lấy 6:3=2 tức đấy là 9𝑥 2 . Ấn ← và điền thêm
– (3𝑥 4 + 9𝑥 3 + 9𝑥 2 = Ta được 3003 ấn ENG được 3.003x103 lấy 3:3=1
tức đấy là 3x .Ấn ← và điền thêm – (3𝑥 4 + 9𝑥 3 + 9𝑥 2 + 3𝑥 = Ta được 3
Vậy đa thức được phá là : 3𝑥 4 + 9𝑥 3 + 9𝑥 2 + 3𝑥 + 3
Ví dụ:Tách tích 𝑧 4 − 4𝑥 3 + 14𝑧 2 − 36𝑧 + 45 . Giả sử ta đã biết biểu thức
được tách thành (𝑧 2 − 4𝑧 + 5)(… ) Ta tìm biểu thức còn lại bằng cách sau:
Nhập

𝑧 4 −4𝑥 3 +14𝑧 2 −36𝑧+45
𝑧 2 −4𝑧+5

CALC 1000 và làm như trên ta được : 𝑧 2 + 9

CHƯƠNG VI : TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ
1)Công thức tọa độ cơ bản
𝑀(𝑥𝑀 ; 𝑦𝑀 ; 𝑧𝑀 ) ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑀 . 𝑖 + 𝑦𝑀 . 𝑗 + 𝑧𝑀 . 𝑘⃗ ; 𝑖 = (1; 0; 0); 𝑗 = (0; 1; 0)
𝑥 +𝑥 𝑦 +𝑦 𝑧 +𝑧
𝑘⃗ = (0; 0; 1) . Trung điểm M của AB: ( 𝐴 𝐵 ; 𝐴 𝐵 ; 𝐴 𝐵)
Trọng tâm G của tam giác ABC : (

2
2
2

𝑥𝐴 +𝑥𝐵 +𝑥𝑐 𝑦𝐴 +𝑦𝐵 +𝑦𝑐 𝑧𝐴 +𝑧𝐵 +𝑧𝑐

)
𝑥 = 𝑥′
-Hai vecto bằng nhau : 𝑎 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑏⃗ = (𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ; 𝑧 ′ ) ⇔ {𝑦 = 𝑦′
𝑧 = 𝑧′
-Tích vô hướng : 𝑎. 𝑏⃗ = 𝑥. 𝑥 ′ + 𝑦. 𝑦 ′ + 𝑧. 𝑧′; 𝑎 ⊥ 𝑏⃗ ⇔ 𝑎. 𝑏⃗ = 0
2
⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝐴𝐵2
-Độ dài vecto : |𝑎| = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ; |𝐴𝐵
-Góc giữa 2 vecto : cos(𝑎; 𝑏⃗) =

3

;

3

;

3

𝑥.𝑥 ′ +𝑦.𝑦 ′ +𝑧.𝑧′

√𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 .√(𝑥 ′ )2 +(𝑦 ′ )2 +(𝑧 ′ )2
(𝑦𝑧 ′ − 𝑦 ′ 𝑧 ; 𝑧𝑥 ′ − 𝑧 ′ 𝑥 ; 𝑥𝑦 ′ − 𝑥 ′ 𝑦)

-Tích có hướng : [𝑎, 𝑏⃗] =
1
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
-A,B,C thẳng hàng : [𝐴𝐵
𝐴𝐶 ] = ⃗0 ; Diện tích ∆ABC: 𝑆 = . |[𝐴𝐵
𝐴𝐶 ]|
2
1
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ]. ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ]. ⃗⃗⃗⃗⃗
-A,B,C,D đồng phẳng : [𝐴𝐵
𝐴𝐷 = 0; 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 = |[𝐴𝐵
𝐴𝐷|
6
2)Phương trình mặt cầu:
(𝑆): (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 = 𝑅2 ; 𝑇â𝑚 𝐼 (𝑎; 𝑏; 𝑐); 𝑅 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ
⟺ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 − 2𝑐𝑧 + 𝑑 = 0; 𝑅 = √𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑑
3)Phương trình mặt phẳng
(𝑃): 𝐴(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐶. (𝑧 − 𝑧0 ) = 0 ⇔ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
𝑛⃗ = (𝐴; 𝐵; 𝐶)𝑙à 𝑉𝑇𝑃𝑇 ⊥ (𝑃). Điểm 𝑀(𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) ∈ (𝑃)
(P1) // (P2) ⟺ ⃗⃗⃗⃗
𝑛1 = ⃗⃗⃗⃗
𝑛2 ; (𝑃1 ) ⊥ (𝑃2 ) ⇔ ⃗⃗⃗⃗
𝑛1 . ⃗⃗⃗⃗
𝑛2 = 0
Mp(oxy): z = 0 ; Mp(oxz): y = 0 ; Mp(oyz): x = 0
𝑥
𝑦
𝑧
Mp(P) cắt ox;oy;oz tại 3 điểm A;B;C có dạng : + + = 1

𝑑(𝑀; (𝑃)) =

|𝐴𝑥𝑀 +𝐵𝑦𝑀 +𝐶.𝑧𝑀 +𝐷|
√𝐴2 +𝐵2 +𝐶 2

𝑎

𝑏

; cos((𝑃1 ); (𝑃2 )) =

𝑐

|𝐴1 𝐴2 +𝐵1 𝐵2 +𝐶1 𝐶2 |

√𝐴21 +𝐵12 +𝐶12 .√𝐴22 +𝐵22 +𝐶22

(P) tiếp xúc (S) ⇔ 𝑑(𝐼; (𝑃)) = 𝑅 ; (P) không cắt (S) ⇔ 𝑑(𝐼; (𝑃)) > 𝑅
(P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) ⇔ 𝑑(𝐼; (𝑃)) < 𝑅; 𝑟 2 + 𝑑2 = 𝑅 2
4) Phương trình đường thẳng
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡
𝑥−𝑥0
𝑦−𝑦0
𝑧−𝑧0
Pt tham số (d): {𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡 ; Pt chính tắc (d):
=
=
𝑎
𝑏
𝑐

𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡
𝑢
⃗ = (𝑎; 𝑏; 𝑐)𝑙à 𝑉𝑇𝐶𝑃 𝑠𝑜𝑛𝑔 𝑠𝑜𝑛𝑔, 𝑡𝑟ù𝑛𝑔 (𝑑). Điểm 𝑀(𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) ∈ (𝑑)
-Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mp(P)
𝐴(𝑥0 + 𝑎𝑡) + 𝐵(𝑦0 + 𝑏𝑡) + 𝐶(𝑧0 + 𝑐𝑡) + 𝐷 = 0
Pt có 1 nghiệm thì (d) cắt (P) ; Pt vô nghiệm thì (d)//(P); Pt vô số nghiệm d⊂ 𝑃
(d)⊥ (𝑃) ⇔ 𝑢
⃗ = 𝑘. 𝑛⃗ ; (d) // (P) hoặc d ⊂ (𝑃) ⇔ 𝑢
⃗ . 𝑛⃗ = 0
-Xét vị trí tương đối của (d) và (d’)
[𝑢
⃗ , ⃗⃗⃗
𝑢′ ] = ⃗0
[𝑢
⃗ , ⃗⃗⃗
𝑢′ ] = ⃗0
(d) // (d’) ⇔ {
;
(d) trùng (d’) ⇔ {
′
𝑀 ∉ (𝑑 )
𝑀 ∈ (𝑑′ )
′
⃗⃗⃗
⃗
[𝑢
⃗ ,𝑢 ] ≠ 0
(d) cắt (d’) ⇔ {
; (d) chéo (d’) ⇔ [𝑢
⃗ , ⃗⃗⃗

𝑢′ ]. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑀′ ≠ 0
⃗⃗⃗
[𝑢
⃗ , 𝑢′ ]. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑀′ = 0
-Khoảng cách và góc
|[𝑢
⃗ , ⃗⃗⃗
𝑢′ ]. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑀′ |
|[𝑢
⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀]|
|𝑢
⃗ . 𝑛⃗|
𝑑(𝐴; (𝑑)) =
; 𝑑(𝑑; 𝑑′) =
; sin(𝑑; (𝑃)) =
|𝑢
⃗|
|𝑢
⃗ |. |𝑛⃗|
|[𝑢
⃗ , ⃗⃗⃗
𝑢′ ]|
cos(𝑑; 𝑑′ ) =

⃗⃗⃗⃗′ |
⃗ .𝑢

|𝑢
.
⃗⃗⃗⃗′ |
⃗ |.|𝑢
|𝑢

Phân giác 𝑑1 𝑣à 𝑑2 𝑐ó: [

⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑢1
𝑢
+ ⃗⃗⃗⃗2
⃗⃗⃗⃗1 |
|𝑢
|𝑢2 |
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑢
𝑢
= ⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗⃗2
|𝑢1 |
|𝑢2 |

𝑢
⃗ =

𝑝ℎâ𝑛 𝑔𝑖á𝑐 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔

𝑢

⃗

𝑝ℎâ𝑛 𝑔𝑖á𝑐 𝑛𝑔𝑜à𝑖

( Với điều kiện ⃗⃗⃗⃗
𝒖𝟏 . ⃗⃗⃗⃗
𝒖𝟐 > 0 )
5)Casio trong hình học Oxyz
a)Tính tích có hướng và tích hỗn tạp
MODE 8 1 1 ( nhập số liệu cho 𝑎 ) .SHIFT 5 2 2 1 (nhập số liệu cho 𝑏⃗ )
SHIFT 5 2 3 1 (nhập số liệu cho 𝑐 . Ấn AC thoát khỏi màn hình
Tính [𝑎, 𝑏⃗] ấn SHIFT 5 3 SHIFT 5 4 = .
Tính [𝑎, 𝑏⃗]. 𝑐 ấn SHIFT 5 3 SHIFT 5 4 SHIFT 5 7 SHIFT 5 5 =
b)Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD: (MODE 5 2)
a
b
c
d
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑧𝐵 − 𝑧𝐴
(𝑥𝐵2 + 𝑦𝐵2 + 𝑧𝐵2 − 𝑥𝐴2 − 𝑦𝐴2 − 𝑧𝐴2 ): 2
𝑥𝐶 − 𝑥𝐴
𝑦𝐶 − 𝑦𝐴
𝑧𝐶 − 𝑧𝐴
(𝑥𝐶2 + 𝑦𝐶2 + 𝑧𝐶2 − 𝑥𝐴2 − 𝑦𝐴2 − 𝑧𝐴2 ): 2
𝑥𝐷 − 𝑥𝐴
𝑦𝐷 − 𝑦𝐴
𝑧𝐷 − 𝑧𝐴
(𝑥𝐷2 + 𝑦𝐷2 + 𝑧𝐷2 − 𝑥𝐴2 − 𝑦𝐴2 − 𝑧𝐴2 ): 2

𝟐
Kết quả (x;y:z) là tọa độ tâm I và 𝑹 = 𝑰𝑨𝟐
6)Một số dạng bài tập thường gặp
𝐼𝐴2 = 𝐼𝐵2 ; 𝐼𝐴2 = 𝐼𝐶 2
a)Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: {
𝐼 ∈ (𝐴𝐵𝐶)
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ; 𝐻𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶
𝐻𝐵
b)Tìm trực tâm H của tam giác ABC: {
𝐻 ∈ (𝐴𝐵𝐶)


⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

BC.OA+AC.OB+AB.OC
c)Tìm E tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC: ⃗⃗⃗⃗⃗
OE =
BC+AC+AB
d) Tìm hình chiếu H và điểm đối xứng A’ của điểm A trên mp (P):
Viết pt đường thẳng (d) qua A và vuông (P). Lấy giao điểm H của d và (P). H là
hình chiếu của A và H là trung điểm của AA’
e)Tìm h/c H và điểm đối xứng A’ của điểm A trên đường thẳng (d)
Viết pt mp(P) đi qua A và vuông (d). Lấy giao điểm H của d và (P). H là hình

chiếu của A và H là trung điểm của AA’
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ]
𝑛 = [𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗
f)Viết pt mp(P) đi qua 3 điểm A,B,C: { 𝑃
𝐴 ∈ (𝑃)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗
𝑛 = [𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗
𝑢𝑑 ]
g)Viết pt mp(P) chứa A và đường thẳng (d) : { 𝑃
với M ∈ (𝑑)
𝐴 ∈ (𝑃)
𝑛⃗ = 𝑢
⃗𝑑
h)Viết phương trình mp(P) đi qua A và vuông góc với (d): { 𝑃
𝐴 ∈ (𝑃)
u = [𝑛
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗𝑃 , ⃗⃗⃗⃗
𝑛𝑄 ]
i)Viết pt (d) = (P) ∩ (Q): { d
với 𝑀 ∈ (𝑃) ∩ (𝑄)𝑐ℎọ𝑛 𝑧 = 0
M ∈ (𝑑)
j)Viết pt (d) là đoạn vuông góc chung của d1 và d2
⃗⃗⃗⃗
𝑈 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁 = 0
Tham số hóa M và N trên d1 và d2 theo ẩn t1 và t2. Giải hệ { 1

⃗⃗⃗⃗
𝑈2 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁 = 0
Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua MN
k)Mp(P) cắt mc (S) theo giao tuyến là đường tròn (C)
Gọi I ,H là tâm của (S) và (C). R,r là bán kính của (S) và (C)
Ta có H là hình chiếu vuông góc của I trên (P)
𝑑(𝐼; (𝑃)) = 𝑑 ⇒ 𝑑2 + 𝑟 2 = 𝑅2
CHƯƠNG VII: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1)Công thức tính thể tích
1
a)Thể tích hình chóp: 𝑉 = . 𝑆. ℎ ; b) Thể tích lăng trụ: 𝑉 = 𝑆. ℎ
3
2)Các công thức trong hình học phẳng
a)Tamg giác đều
𝐴𝐵2 . √3
𝐴𝐵√3
𝐴𝐵√3
𝐴𝐵√3
𝑆=
; 𝐴𝐻 =
; 𝐴𝐺 =
; 𝐺𝐻 =
4
2
3
6
b)Tam giác vuông
𝐴𝐵. 𝐴𝐶
𝑆=

; 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2 ; 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐻. 𝐵𝐶; 𝐴𝐶 2 = 𝐶𝐻. 𝐵𝐶
2
𝐴𝐵. 𝐴𝐶
𝐻𝐵. 𝐻𝐶 = 𝐴𝐻 2 ; 𝐴𝐵. 𝐴𝐶 = 𝐴𝐻. 𝐵𝐶; 𝐴𝐻 =
√𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2
1
𝐴𝐶
𝐴𝐵
𝐴𝐶
𝐴𝐵
𝐴𝑀 = 𝐵𝐶; 𝑠𝑖𝑛𝐵 =
; 𝑐𝑜𝑠𝐵 =
; 𝑡𝑎𝑛𝐵 =
; 𝑐𝑜𝑡𝐵 =
2
𝐵𝐶
𝐵𝐶
𝐴𝐵
𝐴𝐶
c)Tam giác thường
𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2 − 2𝐴𝐵. 𝐴𝐶. 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝐴𝐶)
𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2 − 𝐵𝐶 2
𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
𝑐𝑜𝑠(𝐵𝐴𝐶) =
; 𝑝=
2𝐴𝐵. 𝐴𝐶
2
𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2 𝐵𝐶 2
𝐴𝐵
𝐴𝐶

𝐵𝐶
𝐴𝑀2 =
−
;
=
=
= 2𝑅
2
4
𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴
𝐴𝐻. 𝐵𝐶 𝐴𝐵. 𝐴𝐶. 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝐴𝐵. 𝐴𝐶. 𝐵𝐶
𝑆=
=
=
= 𝑝. 𝑟
2
2
4𝑅
𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝐴𝐵)(𝑝 − 𝐴𝐶)(𝑝 − 𝐵𝐶) ( công thức Herong)
AH: là đường cao; AM là đường trung tuyến, S là diện tích tam giác, R là bán
kính đường tròn ngoại tiếp,r là bán kính đường tròn nội tiếp,p là nửa chu vi
-Trọng tâm: giao 3 đường trung tuyến ; -Trực tâm: giao điểm 3 đường cao
-Tâm đường tròn ngoại tiếp: giao điểm 3 đường trung trực
-Tâm đường tròn nội tiếp: giao điểm 3 đường phân giác
d)Hình vuông
𝐴𝐵√2
𝑆 = 𝐴𝐵2 ; 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵√2; 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 = 𝐼𝐷 =
2
e)Hình chữ nhật
√𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2

𝑆 = 𝐴𝐵. 𝐴𝐷; 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2 ; 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 = 𝐼𝐷 =
2
f)Hình thoi
𝐴𝐶.𝐵𝐷
𝑆=
; Nếu hình thoi có 1 góc ở đỉnh là 600 hoặc 1200 thì hình thoi được
2

𝐴𝐵2 .√3

cấu tạo bởi 2 tam giác đều 𝑆 =
2
g)Hình thang vuông hoặc cân
𝐴𝐵(𝐴𝐷 + 𝐵𝐶)
𝐵𝐶
̂ = 900
𝑆=
; ∆𝐼𝐴𝐷 ∼ ∆𝐼𝐶𝐵 ; 𝑁ế𝑢 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 =
⟹ 𝐵𝐷𝐶
2
2
𝐵𝐶
𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶 =
𝐼 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷
2
Nửa lục giác đều là hình thang cân: { 𝐵𝐷𝐶
̂ = 𝐶𝐴𝐵
̂ = 900
𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 = 𝐼𝐷

3) Các phương pháp xác định chân đường cao
a)Cạnh bên vuông góc với đáy: SA ⊥ (ABC)
b)Mặt bên vuông góc với đáy: (SAB) ⊥ (ABC) thì đường cao SH trong SAB
là đường cao hình chóp.Nếu SAB là ∆ đều , cân tại S thì H là trung điểm AB
c)Chóp đều: có chân đường cao là trọng tâm hoặc giao 2 đường chéo
Đáy của chóp đều là tam giác đều hoặc hình vuông
d)Lăng trụ đứng,đều, hộp chữ nhật,lập phương: các cạnh bên là đường
cao. Như AA’ ; BB’ ;CC’ ; DD’……
e) Hai mặt bên cùng vuông đáy: giao tuyến của 2 mặt đó là đường cao
f)Các cạnh bên bằng nhau,hoặc tạo đáy 1 góc bằng nhau : chân đường cao
là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
Tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
-Tam giác vuông: Trung điểm cạnh huyền -Tam giác đều: Trọng tâm
-Tam giác thường: giao 3 đường trung trực -Hình vuông, chữ nhật: tâm
4)Xác định góc
a) Đường thẳng (d) và mp(P): Tìm giao điểm M của d và (P). Chọn trên d
̂
̂
(𝑃)) = 𝑆𝑀𝐴
điểm S khác M , từ S hạ SA ⊥ (P)⟹ (𝑑;
b)Mp(P) và mp(Q): Tìm giao tuyến ∆ của (P) và (Q). Từ chân đường cao A
̂
̂
(𝑄)) = 𝑆𝑀𝐴
hạ AM ⊥ ∆ .Nối đỉnh đường cao S với M ⟹ ((𝑃);
c)Đường thẳng (d) và (∆): Dời song song 2 đường thẳng trên về cùng 1 gốc
5)Khoảng cách
a)Khoảng cách từ 1 điểm thuộc mp đáy đến mp chứa toàn bộ đường cao
Từ điểm đó kẻ 1 đoạn thẳng ⊥ với giao tuyến của mp đáy và mp cần tính
khoảng cách. Đoạn thẳng đó là khoảng cách cần tìm

b)Khoảng cách từ chân đường cao đến mp chứa đỉnh đường cao
Chân đường cao A, đỉnh đường cao S, mặt phẳng đáy (ABC), mặt phẳng cần
tình khoảng cách (SBC)
-Từ A kẻ 1 đoạn thẳng AM ⊥ với giao tuyến của mp đáy và mp cần tính
𝐴𝑀.𝐴𝑆
khoảng cách (BC). Kẻ AH⊥ SM⟹ 𝐴𝐻 = 𝑑(𝐴; (𝑆𝐵𝐶)) =
√𝐴𝑀2 +𝐴𝑆 2
c)Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau (d;d’)
Chọn (P) chứa d (chứa đỉnh đường cao) và song song với d’. Chọn trên d’
điểm A (A thuộc đáy) ⇒ 𝑑(𝑑; 𝑑′ ) = 𝑑(𝐴; (𝑃))
d)Tỷ lệ khoảng cách :
𝑑(𝐴;(𝑃))
𝐼𝐴
AB giao (P) tại I⇒
= ; AB // (P) ⇒ 𝑑(𝐴; (𝑃)) = 𝑑(𝐵; (𝑃))
𝑑(𝐵;(𝑃))

𝐼𝐵

6)Tỷ lệ thể tích
𝑉
𝑆𝑀.𝑆𝑁.𝑆𝑃
Cho chóp S.ABC, lấy trên SA,SB,SC các điểm M,N,P : 𝑆.𝑀𝑁𝑃 =
.
𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶

𝑆𝐴.𝑆𝐵.𝑆𝐶

7)Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,lăng trụ
-Chóp: tìm tâm đường tròn ngoại tiêp đáy là O. Từ O dựng d song song hoặc

trùng đường cao. Chọn một cạnh bên từ đó dựng đường thẳng trung trực hoặc
mặt phẳng trung trực của cạnh bên cắt d tại I. Ta có I là tâm cần tìm .SI = R
-Lăng trụ: Trung điểm nối 2 tâm của 2 đáy là tâm I
-Chóp đều: 𝑅 =

𝑆𝐴2
2.𝑆𝑂

𝑆𝐴2

. Chóp có SA vuông đáy: 𝑅 = √

-Chóp có mặt bên vuông đáy: 𝑅 = √𝑅𝑏2 + 𝑅đ2 −

𝐺𝑇 2
4

4

+ 𝑟2

; (GT: là giao tuyến)

8)Một số công thức nhanh của hình đặc biệt
𝑎3 √2

𝑎3 √2

-Hình tứ diện đều,chóp tứ giác đều tất cả cạnh là a : 𝑉 =
;𝑉=

12
-Thể tích tam diện:
𝑆𝐴.𝑆𝐵.𝑆𝐶
𝑉=
. √1 − cos2 𝑆1 − cos2 𝑆2 − cos2 𝑆3 + 2𝑐𝑜𝑠𝑆1 𝑐𝑜𝑠𝑆2 . 𝑐𝑜𝑠𝑆3
6
9)Phương pháp tọa độ hóa hình không gian
Ví dụ: Cho chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a; đường cao SH = 2a.
Tọa độ hóa điểm như sau:

6

1
√3
; 0; 0); 𝐵(0; ; 0)
2
2
1
√3
√3
(0; − ; 0) ; 𝐻 ( ; 0; 0) ; 𝑆 ( ; 0; 2)
2
6
6

O(0;0;0); A(

𝐶
H là trọng tâm .S lấy tọa độ của H và cao độ là SH
10)Một số đặc điểm khối đa diện

Loại
Tên gọi
Số đỉnh Số cạnh Số mặt
Tâm đx
(3;3) Tứ diện đều
4
6
4
Không có
(4;3) Lập phương
8
12
6
Có
(3;4) Tám mặt đều
6
12
8
Có
CHƯƠNG VIII: KHỐI TRÒN XOAY
4
1)Mặt cầu: 𝑆 = 4𝜋𝑅2 ; 𝑉 = 𝜋𝑅3 (R bán kính;h đường cao; l đường sinh)
3

1

2)Mặt nón: 𝑆𝑥𝑞 = 𝜋𝑅. 𝑙 ; 𝑆𝑡𝑝 = 𝜋𝑅𝑙 + 𝜋𝑅2 ; 𝑉 = 𝜋𝑅2 ℎ ; ℎ2 + 𝑅2 = 𝑙 2
3
3)Mặt trụ: 𝑆𝑥𝑞 = 2𝜋𝑅. 𝑙 ; 𝑆𝑡𝑝 = 2𝜋𝑅𝑙 + 2𝜋𝑅2 ; 𝑉 = 𝜋𝑅2 ℎ ; ℎ = 𝑙
ℎ

4)Đường tròn: 𝑆 = 𝜋. 𝑅2 ; 𝐶ℎ𝑢 𝑣𝑖 = 2𝜋𝑅 5)Chỏm cầu: 𝑉 = 𝜋ℎ2 (𝑅 − )
6)Nón cụt: 𝑉 =

𝜋ℎ(𝑅12 +𝑅22 +𝑅1 𝑅2 )
3

; 7) Hình xuyến: 𝑉 =

𝜋2 .(𝑅+𝑟)(𝑅−𝑟)2
4

3