Khai thác cồng nghệ gia công bề mặt phức tạp trên máy CNC 2 trục chính

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Tính cấp thiết của đề tài ............................................................................. 1
2. Mục tiêu nghiên cứu.................................................................................... 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.............................................................. 1
4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................ 2
5. Nội dung nghiên cứu ................................................................................... 2
CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN VỀ GIA CÔNG CẮT GỌT CÁC BỀ MẶT
PHỨC TẠP ...................................................................................................... 3
1.1. TỔNG QUAN CÁC DẠNG BỀ MẶT TRONG GIA CÔNG CẮT GỌT
........................................................................................................................... 3
1.1.1. Các dạng bề mặt gia công ............................................................... 3
a, Dạng bề mặt có đường chuẩn là đường tròn .................................... 3
b) Dạng bề mặt có đường chuẩn là đường thẳng ................................. 4
c, Dạng bề mặt phức tạp ....................................................................... 5
1.1.2. Cơ sở tạo hình bề mặt gia công....................................................... 6
a) Động học gia công cắt gọt................................................................ 6
b) Sơ đồ động học tạo hình ................................................................... 8
1.2. ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ CAD/CAM TRONG GIA CÔNG CÁC
DẠNG BỀ MẶT PHỨC TẠP ....................................................................... 10
1.2.1. Các khái niệm về phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/ CAM
......................................................................................................................... 10
a, Các cách biểu diễn đường cong...................................................... 10
b, Biểu diễn các mặt ............................................................................ 16
1.2.2. Các ma trận cơ bản........................................................................ 20
a, Ma trận cơ bản thứ nhất ................................................................. 20
b, Ma trận cơ bản thứ hai ................................................................... 21
c, Độ cong chuẩn ................................................................................ 21

d, Độ cong chính ................................................................................. 22
CHƯƠNG 2 - MÁY TIỆN CNC 2 TRỤC CHÍNH MAXXTURN 65 ...... 24
2.1. SƠ LƯỢC VỀ MÁY TIỆN 2 TRỤC CHÍNH MAXXTURN 65 ........ 24


2.1.1. Các đặc điểm cơ bản ..................................................................... 24
2.1.2. Các điểm tham chiếu và hệ tọa độ ................................................ 26
a) Các điểm tham chiếu ...................................................................... 26
b) Hệ tọa độ trên máy ......................................................................... 27
2.1.3. Các mặt phẳng làm việc ................................................................ 29
a. Mặt phẳng dọc trục (Turning) ........................................................ 30
b. Mặt phẳng mặt đầu trục (Face) ...................................................... 30
c. Mặt phẳng mặt ngoại vi (Peripheral surface) ................................ 31
2.1.4. Vùng làm việc .............................................................................. 31
2.1.5. Đầu trục chính 2 (counter spindle)................................................ 33
a) Kết cấu ............................................................................................ 33
b) Các chu trình khi làm việc với trục chính 2 ................................... 34
2.2. PHẦN MỀM ĐIỀU KHIỂN SHOPTURN .......................................... 39
2.2.1. Một số bước thao tác cơ bản ......................................................... 39
a)Tạo một chương trình mới ............................................................... 39
b) Tạo một dòng lệnh mới ................................................................... 41
c) Mô phỏng chương trình và gia công chi tiết .................................. 44
2.2.2 Một số chu trình gia công trong phần mềm điều khiển shopturn .. 47
a) Di chuyển theo đường thẳng và đường tròn................................... 47
b) Khoan lỗ (Drilling) ......................................................................... 49
c) Tiện (Turning) ................................................................................. 51
d) Chu trình tạo rãnh (Groove) .......................................................... 55
e) Chu trình phay (Milling) ................................................................. 57
CHƯƠNG 3 - THỰC NGHIỆM GIA CÔNG MỘT SỐ BỀ MẶT PHỨC
TẠP TRÊN MÁY MAXXTURN 65 ............................................................ 64

3.1. CHI TIẾT TRỤC ĐĨA XÍCH ............................................................... 64
3.2. CHI TIẾT CAM LỆCH ......................................................................... 69
3.3. CHI TIẾT TRỤC LỤC GIÁC .............................................................. 73
3.4. CHI TIẾT TRỤC RÃNH ...................................................................... 78
CHƯƠNG 4 - KẾT LUẬN ........................................................................... 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 83
PHỤ LỤC ....................................................................................................... 84


DANH MỤC CÁC BẢNG
Số hiệu

Tên bảng

Trang

bảng
2.1.

Hệ tọa độ tuyệt đối và hệ tọa độ tương đối

27

2.2.

Hệ tọa độ Decac và hệ tọa độ cực

28

2.3.

Bảng thông số trục chính 2

34

2.4.

Bảng tham số khi di chuyển theo đường thẳng

48

2.5.

Bảng tham số khi di chuyển theo đường tròn

49

2.6.

Bảng tham số khi khoan lỗ

50

2.7.

Bảng tham số khi tiện phá

52

2.8.

Bảng tham số khi tiện ren

54

2.9.

Bảng tham số chu trình tạo rãnh

56

3.1.

Các bước gia công trục đĩa xích

64

3.2.

Các bước gia công chi tiết cam lệch

69

3.3.

Các bước gia công trục lục giác

73

3.4.

Chương trình gia công trục rãnh

78


DANH MỤC CÁC HÌNH
Số hiệu

Tên hình vẽ

Trang

hình vẽ
1.1.

Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh thẳng.

3

1.2.

Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh gãy khúc.

3

1.3.

Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh cong.

4

1.4.

Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh thẳng.

4

1.5.

Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh gãy khúc.

4

1.6.

Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh cong.

5

1.7.

Dạng bề mặt phức tạp

5

1.8.

Dạng bề mặt trụ trục khuỷu

6

1.9.

Mạch tạo hình

9

1.10.

Gốc tọa độ trùng tâm đường tròn

11

1.11.

Điểm M nằm bên trái tâm đường tròn đơn vị

12

1.12.

Vectơ pháp tuyến chuẩn và đường tròn mật tiếp

15

1.13.

Mặt cầu với gốc tọa độ tại tâm cầu

17

1.14.

Đường cong trên bề mặt và mặt phẳng tiếp tuyến

18

2.1.

Máy tiện CNC 2 trục chính Maxxturn 65

24

2.2.

Các bộ phận máy tiện CNC 2 trục chính Maxxturn 65

25

2.3.

Các điểm tham chiếu trên máy

26

2.4.

Hệ tọa độ trên máy

27

2.5.

Các mặt phẳng gia công trên máy tiện Maxxturn 65

29

2.6.

Các bước gia công thực hiện trên mặt phẳng dọc trục

30

2.7.

Các bước gia công thực hiện trên mặt phẳng mặt đầu trục

31

2.8.

Các bước gia công thực hiện trên mặt phẳng mặt ngoại

31

vi


Số hiệu

Tên hình vẽ

Trang

hình vẽ
2.9.

Vùng làm việc

32

2.10.

Kết cấu đầu trục chính

33

2.11.

Dải hành trình của trục chính 2

33

2.12.

Bước thực hiện Gripping

35

2.13.

Bước thực hiện Draw

36

2.14.

Bước thực hiện Rear

37

2.15.

Bước thực hiện Complete

38

2.16.

Bảng tham số Progam header

40

2.17.

Các thông số thiết lập hình dạng phôi

40

2.18.

Thiết lập mặt phẳng lùi dao

41

2.19.

Tạo dòng lệnh mới

43

2.20.

Side View

45

2.21.

Front View

45

2.22.

Window view

46

2.23.

Volume model

46

2.24.

Di chuyển theo đường thẳng có và không bù bán kính dao

48

2.25.

Chu trình khoan lỗ

51

2.26.

Khoan nhiều lỗ trên mặt đầu chi tiết

51

2.27.

Chu trình tiện biên dạng

53

2.28.

Mô phỏng chu trình tiện biên dạng

53

2.29.

Chu trình tiện ren

55

2.30.

Mô phỏng chu trình tiện ren

55

2.31.

Chu trình tạo rãnh

56

2.32.

Mô phỏng chu trình tạo rãnh

57

Số hiệu

Tên hình vẽ

Trang

hình vẽ
2.33.

Chu trình phay hốc hình chữ nhật

58

2.34.

Mô phỏng chu trình phay hốc hình chữ nhật

58

2.35.

Chu trình phay hốc tròn

59

2.36.

Mô phỏng chu trình phay hốc tròn

59

2.37.

Các dạng đảo hình chữ nhật

60

2.38.

Chu trình phay đảo hình chữ nhật

60

2.39.

Mô phỏng chu trình phay đảo hình chữ nhật

61

2.40.

Các dạng đa giác

61

2.41.

Chu trình phay đa giác

62

2.42.

Mô phỏng chu trình phay đa giác

62

2.43.

Chu trình khắc chữ trên mặt trụ

63

2.44.

Mô phỏng chu trình khắc chữ trên mặt trụ

63

3.1.

Trục đĩa xích

64

3.2.

Chương trình gia công trục đĩa xích

68

3.3.

Trục đĩa xích gia công thực tế

69

3.4.

Chi tiết cam lệch

69

3.5.

Chương trình gia công chi tiết cam lệch

72

3.6.

Chi tiết cam lệch gia công thực tế

73

3.7.

Chi tiết trục lục giác

73

3.8.

Chương trình gia công trục lục giác

76

3.9.

Chương trình gia công trục lục giác(tiếp theo)

77

3.10.

Chi tiết trục lục giác gia công thực tế

77

3.11.

Trục rãnh

78

3.12.

Chương trình gia công trục rãnh

80


Số hiệu

Tên hình vẽ

Trang

hình vẽ
3.13.

Chi tiết trục rãnh gia công thực tế

81


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Công nghệ gia công trên máy CNC ngày càng được sử dụng phổ biến ở
Việt Nam. Với việc sử dụng các máy CNC, ngoài việc chất lượng sản phẩm
được nâng cao, năng suất gia công cũng được cải thiện đáng kể thì việc gia
công những bề mặt phức tạp trên những máy tiện cũng phát triển. Từ đó, những
sản phẩm tạo ra sẽ có giá cạnh tranh hơn nhưng vẫn thỏa mãn những yêu cầu
khắc khe từ khách hàng. Tuy nhiên, để duy trì được các yếu tố trên thì việc sử
dụng công nghệ gia công phù hợp để đảm bảo chất lượng, đúng tiến độ là một
trong những tiêu chí quan trọng bậc nhất.
Nghiên cứu, khai thác khả năng công nghệ của các máy tiện CNC 2 trục

để gia công một số chi tiết dạng trụ có bề mặt phức tạp là một trong những
hướng phát triển nhằm đáp ứng những yêu cầu trên. Việc làm này góp phần
giải quyết vấn đề trước mắt là tiếp cận công nghệ gia công tiên tiến và giảm bớt
nguyên công trong gia công chi tiết dạng trụ.
Xuất phát từ những lý do trên, tôi đã chọn để tài: "Khai thác công nghệ
gia công bề mặt phức tạp trên máy tiện CNC 2 trục chính" làm luận văn tốt
nghiệp.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Khai thác khả năng công nghệ của máy tiện CNC 2 trục chính Maxxturn

65.
- Khai thác phần mềm điều khiển ShopTurn của máy.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng:
Chế tạo các chi tiết có biên dạng phức tạp trên máy tiện Maxxturn 65 tại
Viện CN cơ khí và tự động hóa, trường Đại học Bách khoa, ĐHĐN.


2

Phạm vi:
- Máy tiện CNC 2 trục chính Maxxturn 65.
- Phần mềm điều khiển Shopturn.
- Gia công thực nghiệm một số chi tiết có biên dạng phức tạp.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết kết hợp với phương
pháp thực nghiệm
Lý thuyết
- Nghiên cứu công nghệ gia công trên máy tiện CNC 2 trục chính máy
Maxxturn 65.

Thực nghiệm
- Thực hiện thiết kế, lập trình gia công một số chi tiết bề mặt phức tạp
trên máy CNC 2 trục chính.
5. Nội dung nghiên cứu
Ngoài phần mở đầu, đề tài bao gồm các chương:
Chương 1. Tổng quan về gia công cắt gọt các bề mặt phức tạp
Chương 2. Máy tiện cnc 2 trục chính Maxxturn 65
Chương 3. Gia công thực nghiệm một số chi tiết bằng phần mềm điều khiển
shopturn
Chương 4. Kết luận


3

CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN VỀ GIA CÔNG CẮT GỌT CÁC BỀ

MẶT PHỨC TẠP
1.1. TỔNG QUAN CÁC DẠNG BỀ MẶT TRONG GIA CÔNG CẮT
GỌT
1.1.1. Các dạng bề mặt gia công
Bề mặt hình học của chi tiết máy rất đa dạng . Để có các bề mặt cần
thiết, người ta thường nghiên cứu các dạng bề mặt gia công trên máy cắt kim
loại, tức là chuyển động của các cơ cấu chấp hành của máy tạo ra bề mặt đó,
Các dạng bề mặt thường gặp là:
a, Dạng bề mặt có đường chuẩn là đường tròn
Thể hiện bề mặt được hình thành do đường sinh quay xung quanh đường
chuẩn là đường tròn với đặc trưng cơ bản là có trục chuẩn đối xứng hoặc tâm
đối xứng.
- Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh thẳng:

Hình 1.1. Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh thẳng.
- Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh gãy khúc:

Hình 1.2. Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh gãy khúc.


4

- Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh cong:

Hình 1.3. Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh cong.
b) Dạng bề mặt có đường chuẩn là đường thẳng
Thể hiện bề mặt được hình thành do đường sinh quét dọc theo đường
chuẩn là đường thẳng.
- Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh thẳng:

Hình 1.4. Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh thẳng.
- Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh gãy khúc:

Hình 1.5. Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh gãy khúc.


5

- Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh cong:

Hình 1.6. Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh cong.
c, Dạng bề mặt phức tạp
Dạng bề mặt phức tạp là các dạng bề mặt cần gia công khác với các
dạng bề mặt ở trên. Các dạng bề mặt này có cách tạo hình phức tạp hơn nhiều

so với các dạng bề mặt có đường chuẩn là đường thằng hay đường tròn. Các
dạng bề mặt này có thể thường gặp như các dạng bề mặt trụ hay côn không
tròn xoay, các dạng cam, dạng thân khai, dạng cánh turbin, dạng tấm cong,
dạng lòng khuôn…

a, Bề mặt trụ chuyển tiếp

b, Dạng tấm cong

c, Dạng cánh
Hình 1.7. Dạng bề mặt phức tạp


6

Ngoài ra, các chi tiết có các bề mặt tuy đơn giản nhưng lại có các yêu
cầu về vị trí tương quan giữa các bề mặt rất cao như độ đồng tâm giữa các bề
mặt trụ của trục khuỷu, các bề mặt rãnh dạng cong trên bề mặt trụ… cũng có
thể được xem là bề mặt phức tạp.

Hình 1.8. Dạng bề mặt trụ trục khuỷu
1.1.2. Cơ sở tạo hình bề mặt gia công
a) Động học gia công cắt gọt
- Tạo hình và tạo hình bề mặt cho chi tiết máy.
Tạo hình là quá trình hình thành bề mặt thực của những cặp đối tượng có
mối quan hệ động học ràng buộc hay tự do và dựa trên dữ liệu đầu vào của
đối tượng này sẽ tìm ra dữ liệu của đối tượng kia. Thông thường trong quá
trình gia công mối quan hệ động học của cặp đối tượng là tự do. Ví dụ: tiện
mặt trụ tròn xoay đường sinh thẳng, phay mặt phẳng. Tạo hình bằng bao hình
mối quan hệ động học của cặp đối tượng là ràng buộc. Ví dụ: phay lăn răng,

xọc bao hình bánh răng.
Đặc trưng của quá trình tạo hình là hình thành bề mặt khởi thủy bằng mối
quan hệ đôi động học dụng cụ và chi tiết gia công.
Các phương pháp gia công tạo hình bề mặt cho chi tiết gồm có: cắt gọt, rèn,
dập, cán, ép. . .
- Động học gia công
Động học gia công nghiên cứu chuyển động của dụng cụ và chi tiết
trong quá trình cắt gọt, chèn ép gây biến dạng để tạo nên hình dạng, kích


7

thước của chi tiết máy. Trong quá trình nghiên cứu, tìm kiếm, xây dựng các
sơ đồ động học gia công thích hợp nhất cho mỗi chi tiết máy ứng với các dạng
gia công khác nhau để đạt năng suất gia công và độ chính xác gia công mong
muốn.
Sơ đồ động học gia công là biễu diễn các chuyển động tuyệt đối mà các cơ
cấu máy truyền cho dụng cụ và chi tiết gia công trong quá trình gia công.
- Sơ đồ động học gia công cơ bản
Trong quá trình gia công kim loại, lưỡi cắt và dụng cụ chuyển động
theo những quỹ đạo khác nhau so với bề mặt của chi tiết. Quỹ đạo này xác
định mối quan hệ động học tương hỗ giữa dụng cụ và chi tiết.
Sơ đồ động học gia công cơ bản được thiết lập trên cơ sở tổ hợp các chuyển
động cơ bản là chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.
Độ phức tạp của sơ đồ động học gia công phụ thuộc vào tổng số các chuyển
động thành phần và đặc trưng tổ hợp. Ta có thể chia sơ đồ động học gia công
thành các nhóm:
 Một chuyển động thẳng.
 Một chuyển động quay.
 Hai chuyển động thẳng.

 Hai chuyển động quay.
 Một chuyển động thẳng, một chuyển động quay.
 Hai chuyển động thẳng một chuyển động quay.
 Hai chuyển động quay, một chuyển động thẳng.
 Ba chuyển động quay.
Động học gia công cơ bản là nhưng sơ đồ khởi thủy thiết lập mối quan
hệ xác định quỹ đạo chuyển động các điểm lưỡi cắt của dụng cụ. Nó được sử
dụng để tính toán chính xác thiết diện lớp cắt, lực cắt.
- Động học tạo hình bề mặt


8

Động học tạo hình bề mặt nghiên cứu chuyển động tương đối giữa
dụng cụ và chi tiết máy để tạo nên hình dạng bề mặt chi tiết máy. Trong quá
tình nghiên cứu, tìm cách phối hợp 2 chuyển động cơ bản là chuyển động
thẳng đều và chuyển động quay đều để tạo nên hình dạng bề mặt cần thiết cho
chi tiết máy, bằng các sơ đồ động học tạo hình bề mặt.
b) Sơ đồ động học tạo hình
Sơ đồ động học tạo hình là tập hợp tất cả các chuyển động của bề mặt
định trước đối với vật thể đối tượng cần tạo hình mà các chuyển động đó cần
để xác định bề mặt khởi thủy của vật thể đối tượng tạo hình gọi là sơ đồ động
học tạo hình. Ví dụ: tập hợp tất cả các chuyển động tương đối của bề mặt
dụng cụ đối với chi tiết gọi là sơ đồ động học tạo hình khi cắt.
Sơ đồ động học tạo hình dùng để xác định hình dạng bề mặt khởi thủy của chi
tiết hay dụng cụ khi đã biết hình dạng của dụng cụ hay chi tiết.
Các sơ đồ động học tạo hình bề mặt chủ yếu là tổng hợp của 2 chuyển động
đều là tịnh tiến thẳng và quay, tổ hợp 3 chuyển động trở lên chưa được dùng.
Xét một số trường hợp cụ thể:
 Tổng hợp hai chuyển động tịnh tiến, chuyển động tức thời là chuyển

động tịnh tiến.
 Tổng hợp hai chuyển động quay, chuyển động tức thời là chuyển động
quay hay xoắn vít. Hai chuyển động quay có trục song song, cắt nhau
hoặc chéo nhau.
 Tổng hợp chuyển động quay và tịnh tiến, chuyển động tổng hợp tức
thời là chuyển động quay hoặc xoắn vít. Chuyển động quay và tịnh tiến
có thể vuông góc trục quay, làm với trục quay một góc khác 90o.
Các sơ động học tạo hình có thể chia làm 04 bậc:
 Nhóm bậc 0: là các sơ đồ động học tạo hình, khi bề mặt tạo hình của
vật thể trùng với bề mặt nguyên gốc đầu vào. Ví dụ khi chuốt rãnh, đột


9

lỗ. Trong trường hợp này chuyển động tương đối là chuyển động tự
trượt, để xác định bề mặt khởi thủy không cần quan tâm đến chuyển
động này.
 Nhóm bậc 1: là sơ đồ động học có đặc trưng, cặp bề mặt của phần tự
quay và phần đứng yên trùng nhau và tạo thành đường thẳng. Ví dụ:
tiện rãnh bằng dao tiện định hình, phay răng bằng dao phay định hình,
phay thanh răng bằng dao phay môđun.
 Nhóm bậc 2: là sơ đồ động học tạo hình có đặc trưng, chuyển tương hỗ
của cặp bao hình là chuyển động quay tức thời. Ví dụ: gia công bao
hình bánh răng bằng dao xọc mô đun.
 Nhóm bậc 3: là nhóm chứa các sơ đồ động học tạo hình, chuyển động
tương hổ là chuyển động xoắn vít tức thời. Tổng hợp của hai chuyển
động quay, hai trục chéo nhau. Ví dụ: phay bao hình bánh răng bằng
dao phay lăn răng.
Biểu diễn mạch tạo hình như sau:
Đầu vào

Bề mặt 1
(Mặt định
trước)

Liên kết động học
Điều kiện tạo
hình

Điều chỉnh liên kết
Điều chỉnh hình học bề mặt 1

Hình 1.9. Mạch tạo hình

Đầu ra
Bề mặt 2
(Mặt tạo hình)


10

1.2. ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ CAD/CAM TRONG GIA CÔNG CÁC
DẠNG BỀ MẶT PHỨC TẠP
Với công nghệ gia công truyền thống, việc gia công các bề mặt phức
tạp sẽ cần phải dùng thêm các trang bị công nghệ phức tạp như các chi tiết
mẫu, đồ gá hoặc các máy chuyên dùng. Điều này dẫn đến việc gia công không
đạt năng suất, hiệu quả kinh tế và tính linh hoạt thấp.
Sự ra đời của máy CNC và công nghệ CAD/CAM đã giúp cho việc gia
công các bề mặt phức tạp trở nên thuận lợi hơn, hiệu quả hơn. Do vậy, có thể
nhận định rằng, hiện nay công nghệ CAD/CAM/CNC đã gần như thay thế
hoàn toàn công nghệ gia công truyền thống trong việc gia công các dạng bề

mặt phức tạp.
1.2.1. Các khái niệm về phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/ CAM
Các bề mặt sản phẩm, sản xuất trong công nghiệp khá đa dạng và phức
tạp, vì vậy để thiết kế và chế tạo thuận lợi người ta đẫ sử dụng máy tính trợ
giúp trong quá trình này. Lĩnh vực thiết kế và mô tả bề mặt gia công trên máy
tính được gọi là CAMM - Computer Aided Modeling Machining, nó đóng
vai trò quan trọng trong hệ CAD/CAM/CNC. Để mô tả, xây dựng các đường
cong và bề mặt trên máy tính sử dụng mô hình toán học ta cần có những điều
cơ bản.
a, Các cách biểu diễn đường cong
Đường cong là quỹ tích của điểm chuyển động theo quy luật nào đó.
Vết để lại của điểm chuyển động hình thành đương cong hình học. Trong
toán học biễu diễn đường cong bằng các phương trình toán học, có 3 cách
biễu diễn một đường cong:
Đường cong ẩn.
Đường cong tường minh.


11

Đường cong tham số.
y

P(x,y)

y
θ
O

x

x

Hình 1.10. Gốc tọa độ trùng tâm đường tròn
Để biễu diễn đường tròn bằng toán học dưới dạng phương trình bằng
cách gắn hệ tọa độ Đềcac phẳng có gốc tọa độ trùng với tâm đường tròn đơn
vị. Từ khoảng cách giữa tâm đường tròn O(0,0) và điểm P(x,y) trên đường
tròn bán kính 1 đơn vị, chúng có mối quan hệ giữa hai biến tọa độ biễu diễn
như sau:
Phương trình ẩn, có dạng g(x,y) = 0
x2 + y2 = 1 hoặc x2 + y2 – 1 = 0
Nếu chỉ xét nửa trên đường tròn đơn vị thì công thức trên được
viết lại và gọi dạng tường minh của đường cong:
1

y = (1- x2 )2
Gọi góc hợp thành giữa chiều dương trục OX với tia PO là góc θ, giá trị tọa
độ x,y là hàm của θ được gọi là phương trình tham số của đường tròn:
x = x(θ) = cos(θ) ; y = y(θ) = sin(θ), trong đó θ được gọi là
tham số của đường tròn.


12

Y
P(x,y)]

α

y
β

O

M

X

x

Hình 1.11. Điểm M nằm bên trái tâm đường tròn đơn vị
Tham số khác của đường tròn đơn vị. Chọn góc α được hợp thành giữa
PM và OX, trong đó M là giao điểm bên trái giữa trục OX và đường tròn, ta
có:
tgα =

𝑦
𝑥+1

Để chuyển đường tròn đơn vị sang phương trình tham số, nối điểm P với gốc
tọa độ O, tia OP hợp với OX một góc β, quan hệ giữa x, y với tham số α:
y = 1.sinβ và x = 1. cosβ, trong đó β = 2α nên
x = cos2α = 2cos2α – 1
=

2
1-tg2 α
-1=
1+tg2 α
1+tg2 α

đặt tgα = t. Ta có x(t), y(t) như sau:

1- t2
x = x(t)=
;
1+t2

y = sin2α =

2tgα
2t
nên
y
=
y(t)
=
1+tg2 α
1+t2


13

Các phương trình trên là phương trình tham số biễu diễn đường tròn
đơn vị dưới dạng toán học và được gọi là dạng da thức tỉ lệ, vì mỗi phương
trình được định nghĩa như là tỉ lệ của đa thức theo tham số t.
Đường cong trong không gian 3D được biễu diễn dưới dạng phương
trình tham số như sau:
x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)
Để thuận lợi, chúng ta dùng ký hiệu vectơ khi biểu diễn đường cong
trong không gian 3D theo hệ tọa độ Đềcac như sau:
r(t) = (x(t); y(t); z(t))
Trong mặt phẳng mỗi đoạn cong dễ dàng biểu diễn bởi một phương trình

ẩn hoặc tường minh ở một khoảng xác định của tham số. Nhưng một đường
cong trong không gian không thể biểu diễn bằng một phương trình, bởi vì
đường cong được tạo ra nhờ giao của hai mặt vì vậy phương trình đường cong
phải là phương trình chứa cả hai phương trình bề mặt viết dưới dạng ẩn có
dạng g(x,y,z) = 0.
- Tốc độ chảy đường cong : flow rate of a curve
Tốc độ chảy ṡ (t) của đường cong bằng độ lớn đạo hàm của vectơ ṙ (t):
ṡ (t) = |ṙ (t)|
Tốc độ chảy không là tính chất của đường cong nhưng cho phép dễ dàng biểu
diễn đường cong dưới dạng tham số.
- Véctơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong
Đặt độ dài s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), độ dài đường cong được
xác định như sau:
s

s = ∫0 |ṙ (t)| dt
Ký hiệu T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t), T được định nghĩa
như sau :


14

T=

ds
ṙ (t)
nên T =
|ṙ (t)|
dt

- Độ cong của đường cong
Ta có s và T là tham số của đường cong, T là véctơ tiếp tuyến đơn vị của
đường cong r(t) thì độ cong k của đường cong được định nghĩa như sau:
k= |

dT
|
ds

Áp dụng qui tắc chuổi trong phép lấy vi phân và sau đó biến đổi đại số ta
được độ cong:
k=

|ṙ x r̈ |
|ṙ |3
dr(t)
dṙ (t)
và r̈ =
dt
dt

Trong đó: ṙ =

Đối với đường cong tường minh hai chiều cho dưới dạng y = y(x), phương
trình độ cong trên có thể viết dưới dạng đơn giản như sau:
y''

k=

2

2
(1+y' )3

dy'
dy
trong đó: y =
và y' =
dx
dx
''

- Véctơ pháp tuyến chính của đường cong
Lấy vi phân tiếp tuyến T theo t sau đó chuẩn hóa ta nhận được vectơ N,
vectơ này được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong. Vectơ N được
xác định như sau:
dT

N=

dt
dT

| |
dt

dT

=

ds
dT

| |
ds


15

Vectơ T là vectơ đơn vị nên T.T = 1 và vectơ pháp tuyến N trực giao với
vectơ tiếp tuyến T. Mặt phẳng xác định bởi T và N được gọi là mặt phẳng mật
tiếp. Vectơ thứ ba trực giao với cả vectơ N và T được gọi là vectơ trực giao
kép B:
B = TxN
- Bán kính cong của đường cong
Đường tròn trong mặt phẳng mật tiếp đi qua một điểm trên đường cong r(t)
thì được gọi là đường tròn mật tiếp. Độ cong của đường cong r(t) tại điểm tiếp
xúc với đường tròn mật tiếp bằng độ cong của đường tròn mật tiếp.
Nếu gọi ρ là bán kính của đường tròn mật tiếp, bán kính cong của đường tròn
khảo sát r(t) được tính theo công thức :
ρ=

1
, trong đó k là độ cong.
k

- Độ xoắn của đường cong
Độ xoắn τ của đường cong 3D được định nghĩa như sau:
τ=-

dB
N
ds

Trong đó B và N tương ứng là vec tơ trực giao kép và vec tơ pháp tuyến
chính.

r(t)

T

Mặt phẳng mật tiếp

N

Đường tròn mật tiếp
Hình 1.12. Vectơ pháp tuyến chuẩn và đường tròn mật tiếp