SKKN một số phương pháp vẽ thêm yếu tố trong giải toán hình học lớp 7

SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

PHN I - T VN
o to th h tr tr thnh nhng ngi nng ng sỏng to, c lp tip thu tri
thc khoa hc k thut hin i, bit vn dng v thc hin cỏc gii phỏp hp lý cho
nhng vn trong cuc sng xó hi v trong th gii khỏch quan l mt vn m
nhiu nh giỏo dc ó v ang quan tõm.Vn trờn khụng nm ngoi mc tiờu giỏo
dc ca ng v Nh nc ta trong giai on lch s hin nay.
Trong tp hp cỏc mụn hc nm trong chng trỡnh ca giỏo dc ph thụng núi
chung, trng THCS núi riờng, mụn Toỏn l mt mụn khoa hc quan trng, nú l cu
ni cỏc ngnh khoa hc vi nhau ng thi nú cú tớnh thc tin rt cao trong cuc
sng xó hi v vi mi cỏ nhõn.
i mi phng phỏp dy hc c hiu l t chc cỏc hot ng tớch cc cho
ngi hc, kớch thớch, thỳc y, hng t duy ca ngi hc vo vn m h cn
phi lnh hi. T ú khi dy v thỳc y lũng ham mun, phỏt trin nhu cu tỡm tũi,
khỏm phỏ, chim lnh trong t thõn ca ngi hc t ú phỏt trin, phỏt huy kh nng
t hc ca h. i vi hc sinh bc THCS cng vy, cỏc em l nhng i tng ngi
hc nhy cm vic a phng phỏp hc tp theo hng i mi l cn thit v thit
thc. Vy lm gỡ khi dy v kớch thớch nhu cu t duy, kh nng t duy tớch cc,
ch ng, c lp, sỏng to phự hp vi c im ca mụn hc em li nim vui hng
thỳ hc tp cho hc sinh? Trc vn ú ngi giỏo viờn cn phi khụng ngng tỡm
tũi khỏm phỏ, khai thỏc, xõy dng hot ng, vn dng, s dng phi hp cỏc phng
phỏp dy hc trong cỏc gi hc sao cho phự hp vi tng kiu bi, tng i tng hc
sinh, xõy dng cho hc sinh mt hng t duy ch ng, sỏng to.
Vn nờu trờn cng l khú khn vi khụng ớt giỏo viờn nhng ngc li, gii
quyt c iu ny l gúp phn xõy dng trong bn thõn mi giỏo viờn mt phong
cỏch v phng phỏp dy hc hin i giỳp cho hc sinh cú hng t duy mi trong
vic lnh hi kin thc Toỏn.

==============================================
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy

1


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

PHN II - NI DUNG TI
I/ NHNG Lí DO CHN TI.
Trong khi tỡm phng phỏp gii toỏn hỡnh hc, ta gp mt s bi toỏn m nu
khụng v thờm ng ph thỡ cú th b tc. Nu bit v thờm ng ph thớch hp to
ra s liờn h gia cỏc yu t ó cho thỡ vic gii toỏn tr lờn thun li hn, d dng
hn. Thm chớ cú bi phi v thờm yu t ph thỡ mi tỡm ra li gii. Tuy nhiờn v
thờm yu t ph nh th no cú li cho vic gii toỏn l iu khú khn v phc tp.
Kinh nghim thc t cho thy rng, khụng cú phng phỏp chung nht cho vic
v thờm cỏc yu t ph, m l mt s sỏng to trong trong khi gii toỏn, bi vỡ vic v
thờm cỏc yu t ph cn t c mc ớch l to iu kin gii c bi toỏn mt
cỏch ngn gn ch khụng phi l mt cụng vic tu tin. Hn na, vic v thờm cỏc
yu t ph phi tuõn theo cỏc phộp dng hỡnh c bn v cỏc bi toỏn dng hỡnh c
bn, nhiu khi ngi giỏo viờn ó tỡm ra cỏch v thờm yu t ph nhng khụng th gii
thớch rừ cho hc sinh hiu c vỡ sao li phi v nh vy, khi hc sinh hi giỏo viờn:
Ti sao cụ (thy) li ngh ra c cỏch v ng ph nh vy, ngoi cỏch v ny cũn
cú cỏch no khỏc khụng? hay: ti sao ch v thờm nh vy mi gii c bi toỏn?...
gp phi tỡnh hung nh vy, qu tht ngi giỏo viờn cng phi rt vt v gii

thớch m cú khi hiu qu cng khụng cao, hc sinh khụng ngh c cỏch lm khi gp
bi toỏn tng t vỡ cỏc em cha bit cỏc cn c cho vic v thờm yu t ph. T thc
t ging dy tụi thy rng: gii quyt vn ny mt cỏch trit , mt khỏc li
nõng cao nng lc gii toỏn v bi dng kh nng t duy tng quỏt cho hc sinh, tt
nht ta nờn trang b cho cỏc em nhng c s ca vic v thờm ng ph v mt s
phng phỏp thng dựng khi v thờm yu t ph, cỏch nhn bit mt bi toỏn hỡnh
hc cn phi v thờm yu t ph, t ú khi cỏc em tip xỳc vi mt bi toỏn, cỏc em
cú th ch ng c cỏch gii, ch ng t duy tỡm hng gii quyt cho bi toỏn,
nh vy hiu qu s cao hn. ú l nhng ng lc thỳc y tụi chn ti: Mt
s phng phỏp v thờm yu t ph trong gii toỏn Hỡnh hc lp 7 nghiờn cu
v thc hin, trong chng trỡnh dy hc sinh gii toỏn lp 7.

II/ NHNG C S CA VIC V THấM YU T PH.
1- C s lý lun:
==============================================
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy

2


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

Vic v thờm cỏc yu t ph phi tuõn theo cỏc phộp dng hỡnh c bn v mt s
bi toỏn dng hỡnh c bn. Sau õy l mt s bi toỏn dng hỡnh c bn trong chng
trỡnh THCS:

Bi toỏn 1: Dng mt tam giỏc bit di ba cnh ca nú l a; b; c.
Gii:
Cỏch dng:

a
B
c

-ADng tia Ax. b

b
c

a
x

C

- Dng ng trũn(A; b). Gi C l giao im ca ng trũn ( A; b) vi tia Ax.
- Dng ng trũn (A; c) v ng trũn (C; a), gi B l giao im ca chỳng. Tam
giỏc ABC l tam giỏc phi dng vỡ cú AB = c; AC = b; BC = a.
- Chỳ ý: Nu hai ng trũn ( A; c) v ( C; a) khụng ct nhau thỡ khụng dng c
tam giỏc ABC.
Bi toỏn 2: Dng mt gúc bng gúc cho trc.
Cỏch dng:
l gúc cho trc. Dng ng trũn (O; r) ct Ox A v ct Oy B ta c
- Gi xOy

OAB.
- Dng OAB = OAB ( c- c- c) nh bi toỏn 1, ta c O ' O .

x
A
A

O

B

y

O

B

==============================================
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy

3


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

Bi toỏn 3: Dng tia phõn giỏc ca mt gúc xAy cho trc.
Cỏch dng:
- Dng ng trũn ( A; r) ct Ax B v ct Ay C.
- Dng cỏc ng trũn ( B; r) v ( C; r) chỳng ct nhau D. Tia phõn giỏc phõn giỏc

.
ca xAy

Tht vy: ABD = ACD ( c- c- c) A1 A 2

x
B
r

r
D

1
2

A

r trc.
Bi toỏn 4: Dng trung im ca on thng AB cho
C
Cỏch dng:

z

r

y
- Dng hai ng trũn ( A; AB ) v ( B; BA )chỳng ct nhau ti C, D. Giao im ca
CD v AB l trung im ca AB.
C

A

B

D
*Chỳ ý: õy cng l cỏch dng ng trung trc ca on thng cho trc.
==============================================
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy

4


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

Bi toỏn 5: Qua im O cho trc, dng ng thng vuụng gúc vi ng thng a
cho trc.
Cỏch dng:
- Dng ng trũn ( O; r) ct a ti A, B.
- Dng ng trung trc ca AB.

O

A

B

Trờn õy l cỏc bi toỏn dng hỡnh c bn, khi cn thỡ s dng m khụng cn nhc
li cỏch dng.
Khi cn v thờm ng ph chng minh thỡ cng phi cn c vo nhng ng
D
c bn ó dng v thờm, khụng nờn v mt cỏch tu tin.
2- C s thc tin:
Ta ó bit nu hai tam giỏc bng nhau thỡ suy ra c cỏc cp cnh tng ng
bng nhau, cỏc cp gúc tng ng bng nhau. ú chớnh l li ớch ca vic chng minh
hai tam giỏc bng nhau.
Vỡ vy mun chng minh hai on thng bng nhau (hay hai gúc bng nhau) ta
thng lm theo cỏc bc sau:
Bc 1: Xột xem hai on thng( hay hai gúc) ú l hai cnh (hay hai gúc) thuc
hai tam giỏc no?
Bc 2: Chng minh hai tam giỏc ú bng nhau.
Bc 3: T hai tam giỏc bng nhau, suy ra cp cnh ( hay cp gúc) tng ng
bng nhau.
Tuy nhiờn trong thc t gii toỏn thỡ khụng phi lỳc no hai tam giỏc cn cú cng
c cho ngay bi m nhiu khi phi to thờm cỏc yu t ph mi xut hin c
cỏc tam giỏc cn thit v cú li cho vic gii toỏn. Vỡ vy yờu cu t ra l lm th no
hc sinh cú th nhn bit cỏch v thờm c cỏc yu t ph gii toỏn hỡnh hc núi
chung v toỏn hỡnh hc 7 núi riờng. Qua thc t ging dy tụi ó tớch lu c mt s
==============================================
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy

5


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học

lớp 7
================================================
===========

cỏch v yu t ph n gin v thit thc, khi hng dn hc sinh thc hin gii toỏn
rt hiu qu.
Trc khi xõy dng chuyờn ny, tụi tin hnh kho sỏt hc sinh gii khi 7 v
chng minh bi toỏn hỡnh hc cú yu t v ng ph, kt qu l:

i tuyn HSG khi 7:
5 em

Tỡm ra hng v gii
hon chnh

Khụng tỡm ra hng
gii

Khi cha ỏp dng KN

1 em: 20 %

4 em: 80 %

3- Cỏc bin phỏp v yờỳ t ph.
Bõy gi chỳng ta cựng nghiờn cu mt s cỏch n gin nht, thụng dng nht
v thờm yu t ph trong gii toỏn Hỡnh hc 7:
Cỏch 1: V trung im ca mt on thng, v tia phõn giỏc ca mt gúc.
Bi toỏn 1: Cho tam giỏc ABC cú AB = 10 cm; BC = 12 cm, D l trung im ca cnh
AB. V DH vuụng gúc vi BC( H BC) thỡ DH = 4cm.

Chng minh rng tam giỏc ABC cõn ti A.
1) Phõn tớch bi toỏn:
Bi cho tam giỏc ABC cú AB = 10 cm; BC = 12 cm, D l trung im ca cnh AB. V
DH vuụng gúc vi BC( H BC) v DH = 4cm.
Yờu cu chng minh tam giỏc ABC cõn ti A.
2) Hng suy ngh:
ABC cõn ti A AB = AC. Ta ngh n im ph K l trung im ca AB. Vy yu
t ph cn v l trung im ca BC.
3) Chng minh:
GT

AA

ABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm;
1
DA DB AB ; DH BC
2

D

==============================================
B
C
K
H
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy

6

SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

DH = 4 cm
KL

ABC cõn ti A.

Gi K l trung im ca on thng BC, ta cú: BK = KC =

1
BC 6 cm.
2

1
2

Li cú: BD = AB = 5 cm ( do D l trung im ca AB)

Xột HBD cú: BHD
= 900 ( gt), theo nh lớ Pitago ta cú:DH2 + BH2 = BD2

BH2 = BD2 - DH2 = 52 - 42 = 9 BH = 3 ( cm)
T ú: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)
DH // AK ( ng ni trung im 2 cnh ca tam giỏc thỡ song song vi cnh th
3).

Ta cú: DH BC, DH // AK AK BC.
Xột ABK v ACK cú:
+ BK = KC ( theo cỏch ly im K)
0
+
AKC = 90
AKB =

+ AK l cnh chung
ABK = ACK (c . g . c)
AB = AC ABC cõn ti A.
4) Nhn xột:
Trong cỏch gii bi toỏn trờn ta ó chng minh AB = AC bng cỏch to ra hai tam giỏc
bng nhau cha hai cnh AB v AC t vic k thờm trung tuyn AK, vic chng minh
cũn s dng thờm mt bi toỏn ph l: Trong mt tam giỏc , ng thng i qua trung
im cnh th nht v cnh th hai thỡ song song vi cnh th ba, kin thc v ng
trung bỡnh ny hc sinh s c nghiờn cu trong chng trỡnh toỏn 8 nhng phm
vi kin thc lp 7 vn cú th chng minh c, vic chng minh dnh cho hc sinh
khỏ gii, trong bi ny cú s dng kt qu ca bi toỏn m khụng chng minh li vỡ
ch mun nhn mnh vo vic v thờm yu t ph.
Bi toỏn 2: Cho tam giỏc ABC cú B C ; chng minh rng: AB = AC?( Gii bng cỏch
vn dng trng hp bng nhau gúc - cnh - gúc ca hai tam giỏc).
==============================================
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy

7


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học

lớp 7
================================================
===========

1) Phõn tớch bi toỏn:
Bi cho: tam giỏc ABC cú B C ; Yờu cu: chng minh rng: AB = AC.
2) Hng suy ngh:

A

ng ph cn v thờm l tia phõn giỏc AI ca BAC (I BC)
3) Chng minh:

1 2

GT


C
ABC; B

KL

AB = AC
B


V tia phõn giỏc AI ca BAC
(I BC).

A
1 BAC
A
.
1
2
2

(1)


I1
I2

(2)

1

1 2
I

C

( gt)
C
M B

Xột ABI v ACI ta cú:
+
I1

I 2 ( theo (2))
+ Cnh AI chung
A
( theo (1))
+ A
1
2

ABI = ACI ( g - c - g)
AB = AC (2 cnh tng ng)
4) Nhn xột:
Trong cỏch gii trờn, ta phi chng minh AB = AC bng cỏch k thờm on thng AI
l tia phõn giỏc ca gúc BAC to ra hai tam giỏc bng nhau.
Cỏch 2: Trờn mt tia cho trc, t mt on thng bng on thng cho trc.
Bi toỏn 3: Chng minh nh lớ: Trong tam giỏc vuụng, trung tuyn thuc cnh huyn
bng na cnh huyn ( Bi 25/ 67- SGK toỏn 7 tp 2)
1) Phõn tớch bi toỏn:

==============================================
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy

8


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

Bi cho Tam giỏc ABC vuụng ti A, AM l ng trung tuyn ng vi cng huyn,
1
2

yờu cu chng minh: AM BC 2 AM BC
2) Hng suy ngh:
Ta cn to ra on thng bng 2.AM ri tỡm cỏch chng minh BC bng on thng
ú. Nh vy d nhn ra rng, yu t ph cn v thờm l im D sao cho M l trung
im ca AD.
A
3) Chng minh:
GT

1

90 0 ;
ABC; A

AM l trung tuyn

KL

2
M 1

B

1
AM BC
2

C

Trờn tia i ca tia MA ly im D sao cho: MD = MA.
Xột MAC v MDB ta cú:
+ MA = MD ( theo cỏch ly im D)

D

= M
( vỡ i nh)
+M
1
2

+ MB = MC ( Theo gt)
MAC = MDB ( c - g - c)
AB = CD (2 cnh tng ng)

(1)

D
(2 gúc tng ng).
v A
1

AB // CD ( vỡ cú cp gúc so le trong bng nhau)
Li cú: AC AB ( gt)
C
900 (2)

AC CD (Quan h gia tớnh song song v vuụng gúc) hay A
C
900 (Theo (2)); AC l
Xột ABC v CDA cú: AB = CD ( Theo (1)); A

cnh chung ABC = CDA ( c - g - c).
BC = AD (2 cnh tng ng) . M AM

1
1
AD AM BC
2
2

4) Nhn xột:
==============================================
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy

9


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========
1
Trong cỏch gii ca bi tp trờn, chng minh AM BC ta ó v thờm
2
1

2

on thng MD sao cho MD = MA, do ú AM AD . Nh vy ch cũn phi chng
minh AD = BC. Trờn mt tia cho trc, t mt on thng bng mt on thng khỏc
l mt trong nhng cỏch v ng ph vn dng trng hp bng nhau ca tam
giỏc.
Bi toỏn 4: Cho tam giỏc ABC cú AB < AC. Gi M l trung im ca BC. So sỏnh:


v MAC
?( Bi 7/ 24 SBT toỏn 7 tp 2).
BAM
1) Phõn tớch bi toỏn:
Bi cho tam giỏc ABC cú AB < AC, M l trung im ca BC.
?

Yờu cu : So sỏnh BAM
v MAC

2) Hng suy ngh:
Hai gúc BAM v MAC khụng thuc v mt tam giỏc. Do vy ta tỡm mt tam giỏc cú
hai gúc bng hai gúc BAM v MAC v liờn quan n AB, AC vỡ ó cú AB < AC. T
ú dn n vic ly im D trờn tia i ca tia MA sao cho MD = MA. im D l yu
A
t ph cn v thờm gii c bi toỏn ny.
1 2

3) Li gii:
GT

KL

ABC; AB < AC
M l trung im BC

B

1
M

2

C

?

So sỏnh BAM
v MAC


Trờn tia i ca tia MA ly im D sao cho: MD = MA.
Xột MAB v MDC ta cú:
+ MA = MD ( theo cỏch ly im D)
= M
( vỡ i nh)
+M
1
2

+ MB = MC ( Theo gt)

MAB = MDC ( c - g - c)
AB = CD (2 cnh tng ng)

(1)

============================================== 10
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========


v A1 D (2 gúc tng ng).
(2)

Ta cú: AB = CD ( Theo (1)), m AB < AC ( gt) CD < AC.

(3)

Xột ACD cú:
CD < AC ( theo (3))
D
(Quan h gia gúc v cnh i din trong mt tam giỏc)
A
2
D

( theo (2))
M A
1
A
hay BAM


A
< MAC
2
1

4) Nhn xột:
Trong cỏch gii ca bi tp trờn, ta phi so sỏnh hai gúc khụng phi trong cựng mt
tam giỏc nờn khụng vn dng c nh lớ v quan h gia gúc v cnh i din trong
mt tam giỏc. Ta ó chuyn gúc A1 v A2 v cựng mt tam giỏc bng cỏch v ng
, ta ch cũn phi so sỏnh D
v
A1 = D
A2 trong cựng
ph nh trong bi gii, lỳc ú

mt tam giỏc ADC.
Cỏch 3: Ni hai im cú sn trong hỡnh hoc v thờm giao im ca hai ng
thng.
Bi toỏn 5: Cho hỡnh v, bit AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bi
38/ 124 SGK Toỏn 7 tp 1)
B
A

C

D

( Bi toỏn cũn c phỏt biu di dng: Chng minh nh lớ: Hai on thng song
song b chn gia hai ng thng song song thỡ bng nhau)
1) Phõn tớch bi toỏn:
Bi cho hỡnh v, bit AB // CD; AC // BD.
Yờu cu chng minh: AB = CD, AC = BD.
2) Hng suy ngh:

============================================== 11
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

chng minh AB = CD, AC = BD cn to ra tam giỏc cha cỏc cp cnh trờn, yu
t ph cn v l ni B vi C hoc ni A vi D.
3) Chng minh:
GT

AB // CD; AC // BD

KL

AB = CD; AC = BD

B

A

C

D

Xột ABD v DCA cú:
+ BAD = CDA ( so le trong AB // CD)
+ AD l cnh chung

+
( so le trong AC // BD)
ADB = DAC

ABD = DCA ( g - c - g)
AB = CD; AC = BD ( cỏc cnh tng ng)
4) Nhn xột:
Vic ni AD lm xut hin trong hỡnh v hai tam giỏc cú mt cnh chung l AD, mun
chng minh AB = CD; AC = BD ta ch cn chng minh ABD = DCA. Do hai tam
giỏc ny ó cú mt cnh bng nhau ( cnh chung) nờn ch cn chng minh hai cp gúc
k cnh ú bng nhau l vn dng c trng hp bng nhau gúc- cnh- gúc. iu
ny thc hin c nh vn dng tớnh cht ca hai ng thng song song.
Cỏch 4: T mt im cho trc, v mt ng thng song song hay vuụng gúc
vi mt ng thng.
Bi toỏn 6: Tam giỏc ABC cú ng cao AH v trung tuyn AM chia gúc A thnh ba
gúc bng nhau.

Chng minh rng ABC l tam giỏc vuụng v ABM l tam giỏc u?
1) Phõn tớch bi toỏn:
Bi cho ABC cú ng cao AH v trung tuyn AM chia gúc A thnh ba gúc bng
nhau. Yờu cu ta chng minh ABC l tam giỏc vuụng v ABM l tam giỏc u.
2)Hng suy ngh:
============================================== 12
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

Mun chng minh tam giỏc ABC vuụng ti A ta cn k thờm ng thng vuụng gúc
vi AC v chng minh ng thng ú song song vi AB, t ú suy suy ra AB AC
v suy ra A = 900.
3) Chng minh:
ABC; AH BC;

A

GT trung tuyn AM;
3
1 2

A
A

A
1
2
3

KL

I

ABC vuụng ;
ABM u

B

V MI AC ( I AC)

1 2
H

C

M

Xột MAI v MAH cú:
I 90 0 ( gt)
+ H

+ AM l cnh chung)

MAI = MAH ( cnh huyn - gúc nhn)

A
(gt)
+ A
2
3

MI = MH ( 2 cnh tng ng)

(1)

Xột ABH v AMH cú:
H
90 0 ( gt)
+ H
1
2

+ AH l cnh chung

ABHI = AMH ( g - c - g)

A

+ A
1
2 ( gt)

BH = MH ( 2 cnh tng ng)
1

2

1
2

(2)
1
2

Mt khỏc: H BM , T (1) v (2) BH MH BM CM MI CM
1

Xột vuụng MIC cú: MI CM nờn C 300 t ú suy ra: HAC
= 600 .
2

3
3

HAC
600 900 .
BAC
2

2

Vy ABC vuụng ti A.
Vỡ C 300 B 600 ;
============================================== 13
============

Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========
1
Li cú AM = MB BC (tớnh cht trung tuyn ng vi cnh huyn trong tam
2

giỏc vuụng)
ABM cõn v cú 1 gúc bng 600 nờn nú l tam giỏc u.
4) Nhn xột:
Trong bi toỏn trờn nu ch cú cỏc yu t bi ra thỡ tng chng nh rt khú gii, tuy
nhiờn, ch bng mt ng v thờm ( MI AC) thỡ bi toỏn li tr lờn rt d dng, qua
ú cng thy rừ vai trũ ca vic v thờm yu t ph trong gii toỏn hỡnh hc.
Bi toỏn 7: Cho tam giỏc ABC ( AB < AC). T trung im M ca BC k ng vuụng
gúc vi tia phõn giỏc ca gúc A ct tia ny ti H, ct tia AB ti D v AC ti E. Chng
minh rng: BD = CE.
1) Phõn tớch bi toỏn:
Bi cho ABC ( AB < AC). T trung im M ca BC k ng vuụng gúc vi tia
phõn giỏc ca gúc A ct tia ny ti H, ct tia AB ti D v AC ti E.
Yờu cu chng minh: BD = CE.
2) Hng suy ngh:
Mun chng minh BD = CE, ta tỡm cỏch to ra on thng th ba,ri chng minh
chỳng bng on thng th ba ú. ng ph cn v thờm l ng thng qua B v
song song vi AC ct DE F, BF chớnh l on thng th ba ú.
3) Chng minh:
A

1
ABC; AB < AC; MB MC BC
2
GT ;
AH l tia phõn giỏc gúc BAC;

E
B

DE AH .
KL BD = CE.

D

F

H

M

C

V ng thng qua B v song song vi AC, gi F l giao im ca ng thng ny
vi ng thng DE.
============================================== 14
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy

SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

Xột MBF v MCE cú:


+ MBF
= MCE
( so le trong ca BF // CE)

+ MB = MC ( gt)


+ BMF
= CME
( i nh)

MBF = MCE (g - c - g)
BF = CE ( 2 cnh tng ng)

(1)

Mt khỏc ADE cú AH DE v AH cng l tia phõn giỏc ca gúc DAE ( gt)

Do ú: ADE cõn ti A BDF
AED

M BF // CE ( theo cỏch v) BFD

AED
BFD

Do ú: BDF

BDF cõn ti B
BF = BD

(2)

T (1) v (2) suy ra: BD = CE
4) Nhn xột:
Cỏch v ng ph trong bi toỏn ny nhm to ra on thng th ba cựng bng
hai on thng cn chng minh l bng nhau, õy l cỏch rt hay s dng trong nhiu
bi toỏn nờn giỏo viờn cn lu ý cho hc sinh nh vn dng. Cỏch gii ny cng
c ỏp dng gii mt s bi toỏn rt hay trong chng trỡnh THCS.
5 cỏch v thờm yu t ph trờn nm trong nhúm phng phỏp chung gi l phng
phỏp Tam giỏc bng nhau , sau õy ta s nghiờn cu thờm mt phng phỏp mi rt
hay nhng cha c khai thỏc nhiu trong gii toỏn.
Cỏch 5: Phng phỏp: Tam giỏc u:
õy l mt phng phỏp rt c bit, ni dung ca nú l to thờm c vo
trong hỡnh v cỏc cnh bng nhau, cỏc gúc bng nhau giỳp cho vic gii toỏn c
thun li. Ta hóy xột mt bi toỏn in hỡnh:
Bi toỏn 8: Cho tam giỏc ABC cõn ti A, A = 200. Trờn cnh AB ly im D sao cho
1

AD = BC. Chng minh rng DCA
= A .
2

1) Phõn tớch bi toỏn:
============================================== 15
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========
Bi cho ABC cõn ti A, A = 200 ; AD = BC ( D AB)
1

Yờu cu chng minh: DCA
= A .

A

2

2) Hng suy ngh:
bi cho tam giỏc cõn ABC cú gúc nh l 200,
suy ra gúc ỏy l 800.

D

Ta thy 800 - 200 = 600 l s o mi gúc ca
tam giỏc u V tam giỏc u BMC
M

3) Chng minh:
GT

ABC; AB = AC; A = 200
AD = BC (D AB)

B

C

1

KL DCA
= A .
2

Ta cú: ABC; AB = AC; A = 200 ( gt)
1800 200


800
Suy ra: B C
2

V tam giỏc u BCM ( M v A cựng thuc na mt phng b BC),
ta c: AD = BC = CM.
= 200 : 2 = 100

MAB = MAC ( c - c - c) MAB
= MAC

0
0
0

ACM = 80 - 60 = 20
ABM =

Xột CAD v ACM cú:
AD = CM ( chng minh trờn)
0

=
CAD
ACM ( = 20 )

AC l cnh chung
CAD = ACM ( c - g - c )
1
= MAC


.
DCA
= 100, do ú: DCA
= BAC
2

4) Nhn xột:

============================================== 16

============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

1- bi cho tam giỏc cõn ABC cú gúc nh l 20 0, suy ra gúc ỏy l 800. Ta thy
800 - 200 = 600 l s o mi gúc ca tam giỏc u. Chớnh s liờn h ny gi ý cho ta v
tam giỏc u BCM vo trong tam giỏc ABC. Vi gi thit AD = BC thỡ v tam giỏc
u nh vy giỳp ta cú mi quan h bng nhau gia AD vi cỏc cnh ca tam giỏc u
giỳp cho vic chng minh tam giỏc bng nhau d dng.
2- Ta cng cú th gii bi toỏn trờn bng cỏch v tam giỏc u kiu khỏc:
- V tam giỏc u ABM ( M v C cựng thuc mt na mt phng b AB).
- V tam giỏc u ACM ( M v B cựng thuc mt na mt phng b AC).
- V tam giỏc u ABM(M v C thuc hai nana mt phng i nhau b AC).
Ngoi ra cũn nhng cỏch v tam giỏc u khỏc cng giỳp ta tớnh c gúc DCA
dn ti iu phi chng minh, cỏc cỏch khỏc cũn tu thuc vo s sỏng to ca mi
ngi v bt ngun t vic yờu thớch mụn Hỡnh hc.
Bi toỏn 9: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, C = 150. Trờn tia BA ly im O sao cho
BO = 2 AC. Chng minh rng tam giỏc OBC cõn.
1) Phõn tớch bi toỏn:
Bi cho tam giỏc ABC vuụng ti A, C = 150. Trờn tia BA ly im O sao cho BO = 2
AC.
Yờu cu chng minh OBC cõn ti O.
2) Hng suy ngh:
Ta thy C = 150 suy ra A = 750 - 150 = 600 l s o ca mi gúc trong tam giỏc u
s dng phng phỏp tam giỏc u vo vic gii bi toỏn.

O
3) Chng minh:
GT

ABC; A = 900; C = 150
O tia BA: BO = 2AC
H

KL OBC cõn ti O.

M
M

Ta cú: ABC; A = 90 ; C = 15 (gt)
0

0

B = 750
V tam giỏc u BCM

A
B

C
============================================== 17
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy

SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

( M v A cựng thuc mt na mt phng b BC)

Ta cú: OBM
= 150

Gi H l trung im ca OB thỡ HMB = ABC ( c - g - c)
H A = 900

MOB cõn ti M BMO
= 1500

CMO
= 3600 - ( 1500 + 600 ) = 1500

MOB = MOC ( c - g - c) OB = OC, vy OBC cõn ti O.
4) Nhn xột:
Trong bi toỏn trờn ta ó s dng phng phỏp tam giỏc u vo vic gii toỏn
vỡ phỏt hin thy C = 150 suy ra A = 750 - 150 = 600 l s o ca mi gúc trong tam
giỏc u, iu ny gi ý cho ta v tam giỏc u BCM nh trờn. Nh cú cỏc cnh ca
tam giỏc u bng nhau, cỏc gúc ca tam giỏc u l 60 0, ta chng minh c
HMB=ABC ( c - g - c); MOB = MOC ( c - g - c) dn ti OBC cõn ti O, ú
chớnh l tỏc dng ca phng phỏp tam giỏc u.

4. Kt qu t c:
Trong thc t ging dy vic bi dng hc sinh khỏ gii mụn toỏn, vi cỏch

lm trờn õy ó mang li hiu qu cao trong vic rốn luyn nng lc sỏng to toỏn cho
hc sinh. Hu ht cỏc em hc sinh ó thc s cú hng thỳ hc toỏn, phn u tr
thnh hc sinh khỏ gii, ó t c lp tỡm tũi ra nhiu cỏch gii khỏc nhau m khụng
cn s gi ý ca giỏo viờn.
C th, sau khi dy chuyờn : Mt s phng phỏp v thờm yu t ph trong
gii toỏn Hỡnh hc lp 7, hc sinh trong i tuyn hc sinh gii khi 7
lm mt bi toỏn hỡnh hc cú s dng v thờm yu t ph, ó cú kt
qu nh sau:
i tuyn HSG khi 7:
5 em

Tỡm ra hng v gii
hon chnh

Khụng tỡm ra hng
gii

Khi cha ỏp dng KN

1 em: 20 %

4 em: 80 %

Khi ỏp dng KN

3 em: 60%

2 em: 40 %

============================================== 18

============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

Kt qu trờn tuy cha hn cú tỏc dng i vi tt c i tng hc sinh, song nú
cng th hin c rừ nột tớnh u vit ca vic hc tp chuyờn : Mt s phng
phỏp v thờm yu t ph trong gii toỏn Hỡnh hc i vi hc sinh khỏ, gii.
* Bi hc kinh nghim:
Qua vic nghiờn cu ti trờn, dy hc sinh, c bit l hc sinh khỏ,
gii vi phng phỏp tớch cc, hiu qu, tụi rỳt ra mt s bi hc kinh nghim
sau:
Mt l: GV cn xỏc nh ỳng yờu cu nhim v, trỏch nhim v vn
bi dng hc sinh gii, v vn cht lng hc mụn toỏn, cht lng hc
sinh gii toỏn.
Hai l: GV cn cú tinh thn trỏch nhim cao, luụn chm lo n cht lng hc
sinh c bit l hc sinh gii.
Ba l: GV cú k hoch phn u c th cho tng i tng hc sinh, cú thi gian bi
dng c th, cú chng trỡnh bi dng phự hp vi tng i tng hc sinh.
Bn l: GV cn nm vng kin thc toỏn hc, ni dung chng trỡnh
SGK, nm vng phng phỏp ging dy mụn toỏn, phng phỏp bi dng hc
sinh gii.
Nm l: HS luụn cú ng c hc tp t ú cú ý thc tỡm tũi phng
phỏp hc tt hn.

PHN III- KT LUN

Ging dy ỏp dng sỏng kin trờn õy ó mang li hiu qu trong vic bi
dng hc sinh gii mụn toỏn. Nhiu hc sinh ó ch ng tỡm tũi, nh hng v
sỏng to ra nhiu cỏch gii toỏn khụng cn s gúp ý ca giỏo viờn. T ú ó mang li
cỏc kt qu bt ng t vic gii toỏn thụng qua cỏc phng phỏp sỏng to tỡm li gii
ca mt bi toỏn cho hc sinh.
Chớnh vỡ vy mi giỏo viờn núi chung v bn thõn tụi núi riờng cn hiu rừ kh
nng tip thu bi ca tng i tng hc sinh a ra cỏc bi tp v phng phỏp gii
============================================== 19
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

toỏn cho phự hp, giỳp cỏc em lm c v sỏng to cỏc cỏch gii gõy hng thỳ cho cỏc
em, t ú s dn dn nõng cao kin thc t d n khú.
lm c nh vy i vi mi giỏo viờn cn tỡm tũi tham kho nhiu ti liu
tỡm ra cỏc bi toỏn hay, vi nhiu cỏch gii khỏc nhau tung ra cho hc sinh cựng
lm, cựng phỏt hin cỏc cỏch gii hay.
Thụng qua phng phỏp ny giỏo dc cho cỏc em nng lc t duy c lp, rốn
t duy sỏng to tớnh t giỏc hc tp, cú phng phỏp gii toỏn nhanh, k nng phỏt
hin tt.
Trờn õy l vi kinh nghim v vic bi dng hc sinh khỏ, gii.
Rt mong bn bố, ng nghip, thy cụ giỏo gúp ý kinh nghim c hon
thin hn.

Xuõn Thy, ngy 15 thỏng 5 nm 2012

Ngi thc hin:

Lờ Th í Nhi

NHN XẫT, NH GI CA HKH TRNG THCS XUN THY

*NH GI, XP LOI:




============================================== 20
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy


SKKN Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học
lớp 7
================================================
===========

* NGH:



THAY MT HKH TRNG

NHN XẫT, NH GI CA HKH NGNH GIO DC

*NH GI, XP LOI:

* NGH:



THAY MT HKH NGNH

============================================== 21
============
Giáo viên: Lê Thị ý Nhi- Trờng THCS Xuân Thủy- Lệ Thủy