Boi duong HS gioi 9_Tim GTLN,GTNN

GTLN _GTNN
*phương pháp 1: Phương pháp dựa vào lũy thừa bậc chẵn.
Biến đổi hàm số f(x) sao cho:
* y = M – [g(x)]
2n
, n
∈
Z
+

⇒
y
≤
M
Do đó y
min
= M
⇔
g(x) = 0
* y = m + [h(x)]
2n
, n
∈
Z
+

⇒
y
≥
M
Do đó y

max
= m
⇔
h(x) = 0
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
Bài 2: Tìm max và min của biểu thức S = x
6
+ y
6
biết x
2
+ y
2
= 1
Bài 3: Tìm min của biểu thức A =2x
2
+ 2xy + y
2
– 2x + 2y + 1
* Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị của hàm
Bài 4: Tìm max và min của biểu thức
1
13
2
2
+
++
x
xx
Giải:

Đặt y =
2
2
x 3x 1
x 1
+ +
+
. Hàm số xác định với mọi x. (Vì x
2
+ 1
0 x≠ ∀
)
Gọi y
0
là một giá trị của hàm. Thì:
Phương trình y
0
=
2
2
x 3x 1
x 1
+ +
+
có nghiệm.
 y
0
. (x
2
+ 1) = x

2
+ 3x + 1 có nghiệm.
 (y
0
- 1).x
2
- 6x + y
0
- 1 = 0 có nghiệm.
Nếu y
0
= 1 thì x = 0 thích hợp.
Nếu y
0

≠
1;
2
0
' 9 (y 1) 0∆ = − − ≥

2
0
(y 1) 9− ≤

0
y 1 3− ≤

0
3 y 1 3− ≤ − ≤

Vậy: y
min
= - 2 và y
max
= 4. Khi ………..
* Phương pháp 3: Dựa vào bất đẳng thức Bunhiacốpski
Bài 5: CMR (ac + bd)
2

≤
(a
2
+ b
2
)( c
2
+ d
2
)( Đẳng thức Bunhiacốpski)
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y =
26 ++− xx
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = 3x(3 – 2x)
* Phương pháp 4: Dựa vào bất đẳng thức Côsi:
* Ghi nhớ:
Ta có: a + b
ab≥
(Với a, b là hai số không âm). Dấu bằng xãy ra khi a = b
a
1
+ a

2
+ a
3
+ . . . + a
n

n
n
aaaa ...
321
≥
(với: a
1
;

a
2
; a
3
; . . .; a
n
không âm).
Dấu bằng xãy ra khi a
1
= a
2
= a
3
= . . . = a
n

Vậy:
• Nếu a.b = k (không đổi) thì: Min(a + b) = 2
k
(khi và chỉ khi a = b).
• Nếu a + b = k (không đổi) thì: Max(a.b) =
4
2
k
(khi và chỉ khi a = b).
• Kết quả trên còn được mở rộng với n số không âm.
Bài 8: Cho x > 0; y> 0 thỏa mãn đẳng thức
2
111
=+
yx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
=
yx +
.
Hướng dẫn:
Vì: x > 0; y > 0 nên
0;0;0
1
;0
1
>>>>
yx
yx
. VẬn dụng bất đẳng thức Cosi đối với

2 số dương
yx
1
;
1
. ta có:








+≤
yxyx
11
2
11
.
1
. Suy ra:
4
4
11
≥⇒≤
xy
xy
Vận dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương
yx;

ta được:
A =
4422
=≥≥+
yxyx
(Dấu “=” xãy ra
⇔
x = y = 4 ).
Vậy: MinA = 4 (khi và chỉ khi x = y = 4).
* Lưu ý phương pháp giải:
Trong bất đẳng thức trên ta đã vận dụng bất đẳng thức Cosi theo hai chiều ngược
nhau. Lần thứ nhất ta “làm trội”
yx
1
.
1
bằng cách vận dụng
2
ba
ab
+
≤
để vận dụng giả
thiết
2
111
=+
yx
, từ đó được
4≥xy

.
Lần thứ hai ta “làm giảm” tổng (
yx +
) bằng cách vận dụng bất đẩng thức Cô_si
theo chiều a + b
ab2≥
để dùng kết quả
4≥xy
.
Biện pháp 1: Đôi khi để tìm cực trị của một biểu thức ta cần phải tìm cực trị của bình
phương của biểu thức đó.
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
xx 3753 −+−
.
Giải.
Cách 1:
Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức . Hai biểu thức lấy căn có tổng
không đổi là 2. Vì vậy nếu bình phương biểu thức A thì ta có được hạng tử cộng là hai lần
tích của hai căn thức. Đến đây có thể vậm dụng bất đẳng thức Cô_si.
ĐKXĐ:
3
7
3
5
≤≤ x
.
A
2
= (3x – 5) + (7 – 3x) + 2
)7).(53( xx −−

= 2 + 2
)37).(53( xx −−
A
2

≤
2 + (3x – 5) + (7 – 3x) = 4( Dấu “=” xãy ra
⇔
3x – 5 = 7 – 3x
⇔
x = 2).
Vậy: maxA
2
= 4
⇒
maxA = 2( khi và chỉ khi x =2).
Cách 2:
Theo BĐT Bunhiacopski ta có:
( )
2
2 2 2 2
ab cd (a c )(b d )+ ≤ + +
.
Dấu “=”

xãy ra khi ad = bc.
ĐKXĐ:
3
7
3

5
≤≤ x
.
Ta có: A =
( )
(
)
2 2
2 2
1. 3x 5 1. 7 3x 1 1 3x 5 7 3x 2− + − ≤ + − + − =
⇒
maxA = 2. Khi:
3x 5 7 3x x 2− = − ⇔ =
Biện pháp 2: Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không.
* Phương pháp 3:
Bài 1:
a) CMR: a 0, b 0, thì : a b a b∀ ≥ ≥ + ≤ +
. Dấu “=” xãy ra khi nào?
b) CMR: a 0, b 0 và a b. Thì : a b a b∀ ≥ ≥ ≥ − ≥ −
. Dấu “=” xãy ra khi nào?
Áp dụng:
1. Tìm GTNN của biểu thức: A = xx 3753 −+− .
Điều kiện xác định của biểu thức A là:
3
7
3
5
≤≤ x
Ta có: A =
3x 5 7 3x 3x 5 7 3x 2− + − ≥ − + − =

.
Dấu “=” xãy ra. Khi 3x - 5 = 0 Hoặc 7 - 3x = 0
5
x
3
⇔ =
hoặc
7
x
3
=
Vậy: A
max
=
2
5
x
3
⇔ =
hoặc
7
x
3
=
2. Tìm GTLN của biểu thức: B 3x 5 3x 7= − − −
Điều kiện xác định của biểu thức B là:
7
x
3
≥

Ta có: B =
3x 5 3x 7 3x 5 7 3x 2− − − ≤ − + − =
Dấu “=” xãy ra. Khi 3x - 5 = 3x - 7(vô lí) Hoặc 3x - 7 = 0 <=>
7
x
3
=
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
x
x
5
9−
Bài 2: Tìm GTNN của biểu thức:
a) A =
x 2 x 3− −
b)
( )
2
2
B (x 2007) x 1= − + −
c)
2 2 2 2
C x 2y 6x 4y 11 x 3y 2x 6y 4= + − + + + + + + +
Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức:
a)
D x 2 x= + −
b)
2
E 2 x x= − −

c)
2
F 1 6x x 7= + − −
Bài 4: Cho x, y dương,
a) CMR:
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
. Dấu “=” trong BĐT xãy ra khi nào?
b) Áp dụng: Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a, b, c và chu vi 2p = a + b + c
Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
 
+ + ≥ + +
 ÷
− − −
 
c) Dấu “=” trong BDDT trên xãy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?