SKKN làm thế nào để giúp học sinh làm tốt các dạng bài tập phần rút gọn biểu thức lớp 9

LÀM THẾ NÀO ĐỂ GIÚP HỌC SINH LÀM TỐT CÁC DẠNG BÀI TẬP
PHẦN RÚT GỌN BIỂU THỨC LỚP 9
A. ĐẶT VẤN ĐỀ :
Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng toán 9 tôi nhận thấy học sinh gặp rất
nhiều vướng mắc khi làm các bài toán tổng hợp trong phần rút gọn biểu thức. Khi
thầy đưa ra một bài toán các em thường không biết xuất phát từ đâu, biến đổi như
thế nào.
Qua khảo sát thực tế tôi thấy các em học sinh lớp 9 hầu hết đã bị mất gốc các
kiến thức cơ bản ở lớp 8 như : Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, cách khai triển tích,
cách quy đồng mẫu, kỹ năng biến đổi đồng nhất mẫu thức, giải phương trình, giải
bất phương trình
Từ những lí do trên tôi luôn băn khoăn trăn trở là phải làm như thế nào để
tháo gỡ kịp thời các vướng mắc cho học sinh. Giúp học sinh giải quyết tốt các vấn
đề đặt ra. Sau đây tôi xin nêu ra một số biện pháp mà tôi đã áp dụng qua thực tiễn
và thu được kết quả nhất định .
Muốn học sinh làm tốt các dạng bài toán tổng hợp phần biến đổi biểu thức thì
trước tiên giáo viên phải chia nhỏ bài tập đó thành các bài tập riêng. Mỗi dạng học
sinh được học theo từng chuyên đề nhằm khắc sâu kiến thức, phương pháp, kỹ
năng làm bài. Đối với những học sinh quên kiến thức cũ liên quan đến bài học,
khả năng tiếp thu chậm đòi hỏi giáo viên phải kiên trì bền bỉ bám sát học sinh ôn
tập bổ sung những kiến thức và giải quyết những vướng mắc khó khăn cho học
sinh. Hệ thống các bài tập đưa ra phải từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp phù

1


hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh vì khi các em hiểu bài, làm được
bài thì mới gây được hứng thú tích cực học tập cho học sinh.
B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :
I.KIẾN THỨC BỔ TRỢ :
1. Khai triển tích : Yêu cầu học sinh phải nắm vững được quy tắc nhân đơn thức

với đa thức, quy tắc nhân đa thức với đa thức, nắm vững các công thức biến đổi
căn bậc hai, dấu của tích, quy tắc phá dấu ngoặc, cách thu gọn các hạng tử đồng
dạng
Bài tập 1: Khai triển tích rồi thu gọn biểu thức.
a/ ( 27  12  2 6)3 3
b/ (5 2  4 3)(2 3  6 2)  3(4 2  1)
c/ 2 x ( x  3)  x ( x  3)

(x > 0 )

d/ ( x  1)(3 x  1)  (2 x  1)( x  2)

(x>0)

2. Áp dụng hằng đẳng thức: Yêu cầu học sinh phải nắm vững bảy hằng đẳng
thức đáng nhớ, có kỹ năng nhận biết các biểu thức ở dạng hằng đẳng thức và áp
dụng một cách thành thạo.
Bài tập 2: Phân tích các đa thức thành nhân tử .
a/ 1  2 x  x

b/ a  2 a  1

c/ a  2 ab  b

d/ x  2 xy  y

đ/ x -1

e/ 9x - 1

ê/ x - y

g/ ab - 1

h/ 1  x x

i/ x x  1
2


k/ x x  8

l/ x x  y y

Các bài tập trên thường nằm trong các bài toán rút gọn biểu thức do đó đòi hỏi
học sinh phải có kỹ năng phát hiện nhanh, vận dụng thành thạo hằng đẳng thức
một cách chính xác.
3. Phân tích biểu thức thành nhân tử: Yêu cầu học sinh phải nắm vững các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài tập 3 : Phân tích thành nhân tử.
a/ 3  3

b/ a  a  ab

c/ 8 x  4 x

d/ x y  y x

đ/ x x  x  x  1

e/ x  5 x  6

f/ x  x  2

g/ x  2 x  3

Hướng dẫn : Đối với các câu a, b, c, d dùng phương pháp đặt nhân tử chung, còn
câu đ thì dùng phương pháp nhóm hạng tử.
Đối với các câu e, f, g thì giáo viên cần hướng dẫn học sinh làm theo phương
pháp tách hạnh tử như sau :
Dạng tổng quát: Phân tích ax + b x + c thành nhân tử
Phương pháp: Nếu tìm được tích a.c = m.n thì ta tách hạng tử b x = m x  n x
Ví dụ: Đối với câu e: Dễ thấy 1.6 = (-2).(-3) = 6.
Do đó 5 x  (2) x  (3) x
Vậy x  5 x  6  x  ( 2) x  (3) x  6  ( x  2)( x  3)
Tương tự: x  2 x  3  ( x  1)( x  3) ; x  x  2  ( x  1)( x  2)

3


Nếu chúng ta rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết tốt các bài tập trên thì
sẽ rất thuận lợi cho học sinh giải các bài tập tổng hợp sau này.
II. RÚT GỌN BIỂU THỨC:
Phương pháp chung: B1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức
B2. Thực hiện các phép biến đổi về phân thức
B3. Làm các bài tập có liên quan
Dạng 1: Biểu thức có dạng tổng.

A C E
 

B D F

Bài tập 1: Rút gọn các biểu thức sau.
a/

A

� A

x y
x y
x y


2 x 2 y 2 x 2 y x y

(ĐK: x �0, y �0, x �y )

( x  y )( y  x ) ( x  y )( x  y ) 2( x  y )


2( x  y)
( x  y)
( x  y)

( x  y ) 2  ( x  y ) 2  2( x  y )
� A
( x  y)
� A

 x  2 xy  y  x  2 xy  y  2( x  y )
( x  y)

2( x  y ) 2
( x  y )
� A

2( x  y )( x  y ) ( x  y )
b/ B 

x4 x

x x 2

x 3
x 2

x  2 1 x

�B

x4 x

( x  1)( x  2)

�B

x4 x
( x  3)( x  1) ( x  2)( x  2)



( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2)

(ĐK: x �0; x �1; x �4 )

x 3
x 2

x 2
x 1

4


�B

x  4 x  x  x  3 x  3  ( x  4)
( x  1)( x  2)

x  2 x 1
( x  1) 2
( x  1)
�B


( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2) ( x  2)
Đối với các bài tập trên trước khi vào làm giáo viên cần cho học sinh nhận xét
mẫu của các phân thức trong biểu thức, từ đó học sinh sẽ phát hiện ra mẫu thức chung
của các phân thức để quy đồng.
Dạng 2: Biểu thức là tích hay thương của hai biểu thức.

Bài tập 2: Rút gọn biểu thức .
1 a a
1 a a
 a )(
 a)
a/ C  (
1 a
1 a

(Đ/K : a �0 ; a �1 )

�
��
�
(1  a )(1  a  a)
(1  a )(1  a  a)
�C�
 a ��
 a�
1 a
1 a
�
��
�
� C  (1  a  a  a )(1  a  a  a )
2

�  1  a  2
� C  (1  a ) 2 (1  a ) 2  �
(1


a
)(1

a
)
�
�
�x  3 x
�� 9  x
x 3
x 2�
 1��
:


b/ D  �
�
x 3�
� x 9
��x  x  6 2  x
(Đ/K: x �0 ; x �4 ; x �9 )

� x ( x  3)
��
(3  x )(3  x )
x 3
x  2�
�D�
 1��

:


�
( x  3)( x  3) ��
( x  3)( x  2)
x 2
x  3�
�

� x
��3  x
� D�
 1��
:

� x  3 �� x  2

x 3
x  2�

�
x 2
x 3�
5


� x  x  3 ��3  x  x  3
x 2�
� D�

:

��
�
x

3
x

2
x

3
�
��
�

� 3 �� x  2 �
� D�
:�

�
�
x

3
x

3
�

��
�

3
x 2

Đối dạng bài tập này giáo viên cần nên rèn cho học sinh kỹ năng biến đỗi, kỹ
năng tìm điều kiện. Cần uốn nắn cho học sinh những lỗi thường bị mắc phải như viết
thiếu dấu ngoặc, nhầm dấu, trình bày xấu
Dạng 3: Biểu thức phối hợp các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và nâng lên luỹ thừa
trong hay ngoài ngoặc.
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức.
2
a/ A 
xy

2

�1
1 �
:�

�
�x
�
y
�
�

2

� A
xy

x y



x y

2

�y x�
:�
� xy �
�
�
�

x y



x y

2

2 � xy �
� A
�
�

�
xy �
x

y
�
�

� A

b/ B 



2 xy
x y



 
2





x y
x y

x y

x y

3x  9 x  3
x 1


x x 2
x 2



2





(Đ/K : x>0 ; y> 0 ; x �y )

2



2

2





y

x y
x

2

2

 1

x 2� 1
�
 1� (Đ/K : x > 0 ; x �1 )
�
x �
1 x
�

6


�B

3x  3 x  3
( x  1)( x  1)
x 2� x �



�
�
( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2)
x � x 1�

�B

3x  3 x  3
( x  1)( x  1) ( x  2)( x  2)


( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2)

�B

3 x  3 x  3  ( x  1)  ( x  4)
( x  1)( x  2)

�B

x3 x 2
( x  1)( x  2)


( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2)

x 1
x 1

Đối với các dạng bài tập này giáo viên yêu cầu nắm vững thứ tự thực hiện phép

tính, định hướng cách làm và biến đổi đúng.
III. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC :
Đối với bài tập này giáo viên cần rèn cho học sinh kỹ năng biến đỗi giá trị của
biến cho đơn giản sau đó mới thay giá trị của biến vào biểu thức
Bài 1: Cho M 

x4 x 4
Tính giá trị của M khi x  4  2 3
x

Bài giải : Ta có x 





3 1

2

� x

3 1  3 1

( x  2) 2
Thay x  3  1 vào biểu thức M 
ta có
x
M

( 3  1  2)
3 1

2






3  1 

3 1

2

 
3  1
3 1



3 1

3

2

Bài 2: Cho biểu thức N  x  2 x  1 Tính giá trị của N khi x 

53
92 7

7


Bàigiải: Ta có x 

� x 1 
Thay
N





53(9  2 7)
 9  2 7 � x  1  9  2 7  1  ( 7  1) 2
(9  2 7)(9  2 7)



2

7 1  7 1

x  1  7  1 vào biểu thức N  x  2 x  1 







x 1 1

2

ta có

2

7 1 1  7

IV. TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐỂ THOẢ MÃN CÁC ĐIỀU KIỆN CỦA
BÀI TOÁN.
Dạng 1: Bài tập sử dụng giải phương trình.
Bài 1: Cho A 

4x
(với x �0 ; x �9 ) .Tìm x để A = -1
x 3

Bài giải : A = -1 �

Đặt

4x
 1 � 4 x   x  3 � 4 x  x  3  0
x 3

x  t ( t �0 ) � 4t 2  t  3  0 ( Giải ra ta có t  1 hoặc t 

Đối chiếu điều kiện ta có : t 
Với t 

3
ta có
4

Vậy với x 

x

3
)
4

3
(Thoả mãn ) ; t  1 (Loại )
4

3
9
� x  (TM )
4
4

9
thì A = -1

4

Dạng 2: Loại bài tập xét dấu của biểu thức.
Bài 2 : Cho A 

4x
(với x �0 ; x �9 ) . Tìm x để A > 0 ; A < 0
x 3

Dạng 3: Bài tập sử dụng giải bất phương trình.

8


Bài 3: Cho A =

x 1
(với x �0 ; x �9 ) . Tìm x để A < 1
x 3

Dạng 4: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 4: Cho A =

x 1
x 3

(với x �0 ; x �9 ) . Tìm giá trị nguyên của x để A nhận

giá trị nguyên .
Trên đây là các bài toán cơ bản . Nếu giáo viên ôn tập cho học sinh nắm vững

phương pháp giải các dạng toán trên và có kỹ năng giải thành thạo thì khi đưa ra các
bài toán tổng hợp học sinh sẽ không bở ngỡ trước bất kỳ một bài toán nào.
Sau đây là một số bài toán tổng hợp mà giáo viên cần đưa ra cho học sinh làm
khi đã làm tốt các dạng toán trên.
* CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP NHIỀU KỸ NĂNG :
� a
1 �� 1
2 �


Bài 1: Cho biểu thức K  �
�: �
�
� a  1 a  a �� a  1 a  1 �
a/ Rút gọn K .
b/ Tính giá trị của K khi a  3  2 2
c/ Tìm các giá trị của a sao cho K < 0 .
2

�x
1 �� x  1
x 1�

Bài 2: Cho biểu thức B  � 
��
�
2
2
x
x


1
x

1
�
��
�
a/ Rút gọn B.
b/ Tìm giá trị của x để B > 0 .
c/ Tìm các giá trị của x để B = -2 .





�x x  1 x x  1 �2 x  2 x  1
Bài 3: Cho biểu thức A  �

:
�
x 1
x

x
x

x
�
�

9


a/ Rút gọn A.
b/ Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên .
� x x�
� x x 2�
3
Bài 4: Cho biểu thức A  �x 
�
�
� (Đ/K : x �o ; x �1 ) .
x

1
x

1
�
�
�
�
a/ Chứng minh A =

x ( x  1) .

b/ Tìm x để A = x .
Bài 5: Cho biểu thức

� a 1
a  1 8 a �� a  a  3
1 �
R�


:

��
�
a

1
a

1
a

1
a

1
a

1
�
��
�

a/ Rút gọn R

b/ Tính giá trị của R biết a  7  4 3
c/ So sánh R với 1
Bài 6 : Cho biểu thức

�x  5 x �� 25  x
x 3
x 5�

1
:


H =�
��
�
x 5 3 x �
�x  25
��x  2 x  15

a/ Rút gọn H
b/ Với giá trị nào của x thì H < 1
c/ Tìm giá trị lớn nhất của H
x �
�x  2
�� x  4
 x�
:�

Bài 7 :Cho biểu thức : P  �
�

x 1�
� x 1
��1  x
Với x  0; x �1; x �4
a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tìm x để P < 1
c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất
* CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
10


Bài 1: Rút gọn các biểu thức .
A

B

2 10
2 5 7
1
1
1
1


 ... 
2 1 1 2 3 2  2 3 4 3  3 4
2012 2011  2011 2012

C  (4  15)( 10  6) 4  15
D  3 5  2 13  3 5  2 13

Bài 2: a/ Cho a, b là các số dương . Chứng minh rằng :
1
1
1
1 1
1
 2
  
2
2
a
b
(a  b)
a b a b
9992
999
b/ Rút gọn : M  1  999 

2
1000 1000
2

Bài 3 : Cho a 

1  2
1  2
. Tính a 7  b 7
;b 
2
2

Bài 4 : Cho n  3 4  80  3 80  4 , n có phải là nghiệm của phương trình
x 3  12 x  8  0 hay không ? Vì sao ?

Bài 5 : Cho biểu thức :

P

x4 x4  x4 x4
16 4
 1
x2 x

a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tìm x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất
c/ Tìm giá trị nguyên của x để P đạt giá trị nguyên
C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN .

11


Trước khi chưa áp dụng cách ôn tập như trình bày ở trên, tôi nhận thấy nhiều
học sinh rất bở ngỡ, mơ hồ trong quá trình làm bài. Chưa nắm được phương pháp giải
các loại câu hỏi trong một bài toán, khả năng biến đổi còn hạn chế. Cho nên khi làm
xong một bài toán không biét mình làm đúng hay sai.
Sau khi áp dụng đề tài này tôi thấy: Khi giáo viên đưa ra một bài toán thì học
sinh định hướng được phương pháp giải bài toán đó ngay. Tỷ lệ học sinh làm được
bài tăng lên rõ rệt, các em hứng thú và tích cực học tập hơn. Các em có cảm giác rất
sung sướng khi làm xong một bài toán mà giáo viên đưa ra. Sau đây là bảng điều tra
kết quả áp dụng qua các năm về phần biến đổi biểu thức (Thông qua bài kiểm tra

chương I đại số lớp 9 ).

NĂM HỌC

BIỆN PHÁP

2012-2013
2013-2014
2014-2015
2015-2016

Chưa áp dụng
Đã áp dụng
Đã áp dụng
Đã áp dụng

KẾT QUẢ ĐIỂM KIỂM TRA
Giỏi
Khá
T.Bình Yếu
Kém
1%
16%
45%
30%
8%
5%
20%
55%
25%

6%
7%
22%
43%
23%
5%
8%
25%
50%
15%
2%

Qua các năm áp dụng đề tài này, bản thân tôi rút ra được một số kinh nghiệm
nhất định. Đó là giáo viên luôn phải bám sát học sinh, luôn điều tra khảo sát việc tiếp
thu kiến thức của học sinh, phân loại đối tượng để có phương pháp giảng dạy tối ưu
nhất. Trong thực tế có những vấn đề giáo viên cho là đơn giản nhưng đối với học sinh
tiếp thu lại rất khó khăn. Do đó người giáo viên cần phải kiên trì, bền bỉ, gần gủi với
học sinh, quan tâm động viên học sinh, nhiệt tình giảng dạy. Từ đó sẽ cảm hoá được
học trò, các em mạnh dạn trao đổi ý kiến với giáo viên.
D. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
12


Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần hệ thống, phân loại bài tập thành từng
dạng. Mỗi dạng nên hình thành phương pháp giải và rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh. Người thầy giáo phải làm sao phải phát huy được tính chủ động, tích cực và
sáng tạo của học sinh. Có làm như vậy thì chất lượng giáo dục trong nhà trường mới
được nâng cao.
Trong quá trình làm đề tài không tránh khỏi những thiếu sót và những hạn chế
nhất định. Kính mong sự góp ý giúp đỡ của quí đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tôi

hoàn thiện đề tài tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

13