Luận văn sư phạm Cho phép biến đổi bảo toàn độ đo trong không gian Ergodic

.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ LANH

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO
TOÀN ĐỘ
ĐO TRONG KHÔNG GIAN
ERGODIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành :

GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học:
T.S TẠ NGỌC TRÍ

HÀ NỘI - 2013

1


LỜI CẢM ƠN
Em xin cảm ơn bố mẹ và những người thân trong gia đình đã luôn bên cạnh động
viên em trong suốt quá trình học tập. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các
thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy giáo cô giáo trong khoa toán, các thầy giáo cô
giáo trong trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc của mình tới T.S Tạ Ngọc Trí người đã tận tình giúp đỡ em trong suốt

quá trình hoàn thành khóa luận này.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa trong một
thời gian ngắn và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù rất cố gắng nhưng chắc
chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn và bản thân
em có thêm nhiều kiến thức.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Lanh

2


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu,
bên cạnh đó em được sự quan tâm và tạo điều kiện của các thầy giáo cô giáo trong
khoa toán Trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của T.S Tạ Ngọc
Trí.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu
đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin cam đoan rằng khóa luận này là trung
thực, không sao chép từ các tài liệu có sẵn, tên đề tài không trùng lặp với bất cứ tên
đề tài nào khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Lanh

3

Mục lục
1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1

1.2

6

Không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Các ví dụ của không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Các không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Các định lí hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4

Định lý biểu diễn Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN ĐỘ ĐO
2.1

2.2

2.3

11

Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.1

Độ đo bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.2

Độ đo bất biến với các phép biến đổi liên tục

. . . . . . . . . .

12

Không gian của các độ đo bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2.1

Sự tồn tại của các độ đo bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2.2

Các tính chất của M(X,T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Các ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3.1

Sử dụng định lý mở rộng Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3.2

Sử dụng chuỗi Fouries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3 ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN ERGODIC
3.1

Định nghĩa của Ergodic

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

21
21


3.2

Đặc trưng của Ergodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.3

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.4

Sự tồn tại của các độ đo Ergodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.5

Phép truy toán và Ergodic đơn trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.5.1

Định lý phép truy toán của Poincare . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.5.2

Ergodic đơn trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.5.3

Ví dụ

31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn học có vị trí quan trọng trong nhà trường, dạy
toán là dạy phương pháp suy luận khoa học. Học toán là rèn luyện khả năng tư duy
lôgic, còn giải toán là một phương tiện rất tốt trong việc nắm vững tri thức, phát triển
tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo. Giải tích hàm là một ngành toán học được xây
dựng đầu thế kỉ XX và đến nay vẫn được xem là một ngành toán học cổ điển. Trong
quá trình phát triển giải tích hàm đã tích lũy được một số nội dung hết sức phong

phú, những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả
các ngành toán học có liên quan và sử dụng đến công cụ giải tích và không gian vectơ.
Chính điều đó đã mở rộng không gian nghiên cứu cho các ngành toán học.
Với mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu sắc về bộ môn này và bước đầu tiếp
cận với công việc nghiên cứu khoa học cùng với sự giúp đỡ của T.S Tạ Ngọc Trí, em
đã chọn đề tài:” Các phép biến đổi bảo toàn độ đo trong không gian Ergodic ”.
2. Cấu trúc của khóa luận
Khóa luận này gồm 3 chương
Chương 1: Các kiến thức cơ sở.
Chương 2: Các phép biến đổi bảo toàn độ đo.
Chương 3: Độ đo trong không gian Ergodic.
3. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải
tích hàm, đặc biệt là lý thuyết Ergodic.
Nghiên cứu về các phép biến đổi bảo toàn độ đo, độ đo Ergodic.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp.

6


Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1
1.1.1

Không gian độ đo
Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1: Một lớp M các tập con của X được gọi là đại số nếu:

i. ∅ ∈ M;
ii. Nếu A, B ∈ M thì A ∪ B ∈ M;
iii. Nếu A ∈ M thì Ac ∈ M.
Định nghĩa 1.2: Một lớp β các tập con của X được gọi là σ-đại số nếu:
i. ∅ ∈ β;
ii. Nếu E ∈ B thì phần bù của nó X\E ∈ β;
iii. Nếu En ∈ β, n=1,2,3. . . là dãy đếm được các tập hợp trong β thì
∞

En ∈ β.
n=1

Định nghĩa 1.3: Cho X là một không gian metric compact. Một tập hợp σ-đại số
Borel β(X) được xác định là σ -đại số nhỏ nhất các tập con của X mà bao hàm tất cả
các tập con mở của X.
Cho X là một tập và β là một σ-đại số các tập con của X, ta có:
Định nghĩa 1.4: Một hàm số µ : β → R+ ∪ {∞} được gọi là một độ đo nếu:
i. µ(∅) = 0;
7


ii. Nếu En là các tập hợp đếm được, đôi một phân biệt trong β thì:
∞

∞

µ(

En ) =
n=1

µ(En ).
n=1

Ta gọi (X, β, µ) là không gian độ đo.
Nếu µ(X) < ∞ thì µ là độ đo hữu hạn.
Nếu µ (X) = 1 thì µ là độ đo xác suất và (X, β, µ) tương ứng là không gian xác suất.
Đặt M (X) = {µ|µ (X) = 1} là tập hợp tất cả các độ đo xác suất trên (X, β).
Định nghĩa 1.5: Một dãy các độ đo xác suất µn hội tụ yếu đến µ khi n → ∞ nếu với
mỗi f ∈ C (X, R)
f dµn →

f dµ
X

X

khi n → ∞.
Định nghĩa 1.6: Ta nói một tính chất đúng hầu khắp nơi trên X nếu tập hợp các
điểm mà không có tính chất đó có độ đo 0.
Chẳng hạn f=g h.k.n nếu µ ({x ∈ X|f (x) = g (x)}) = 0.

1.1.2

Các ví dụ của không gian độ đo

Độ đo Lebesgue trên [0,1]. Lấy X=[0,1] và lấy M là lớp của các hợp hữu hạn
tất cả các khoảng con của [0,1]. Với mỗi đoạn con [a,b], định nghĩa:
µ ([a, b]) = b − a
là độ đo Lebesgue.

Độ đo Lebesgue trên R/Z. Lấy X=R/Z=[0,1) mod 1 và lấy M là lớp của các
hợp hữu hạn tất cả các khoảng con của [0,1).Với một đoạn con [a,b], định nghĩa:
µ ([a, b]) = b − a
là độ đo Lebesgue trên đường tròn.
Độ đo Dirac. Cho X là không gian xác suất và β là một σ -đại số bất kì. Cho
x ∈ X. Định nghĩa độ đo δx bởi:

 1
δx (A) =
 0

8

,x ∈ A
,x ∈
/A

.


Thì δx là độ đo xác suất. Nó được gọi là độ đo Dirac tại x.

1.2

Tích phân

Cho (X, β, µ) là không gian độ đo.

1.2.1

Các định nghĩa

Định nghĩa 1.7: Cho hàm số f : X → R là đo được nếu f −1 ((c, ∞)) ∈ β với
∀c ∈ R.
Định nghĩa 1.8: Một hàm số f : X → R là đơn giản trên X nếu nó có thể viết như
tổ hợp tuyến tính các hàm đặc trưng của các tập trong β, nghĩa là
r

f=

ai χAi
i=1


 1, x ∈ A
r
với ai ∈ R, Ai ∈ β, Ai đôi một không giao nhau và X =
Ai , χA (x) =
 0, x ∈
i=1
/A

Định nghĩa 1.9: Với một hàm đơn giản f : X → R. Tích phân của hàm f trên X kí
f dµ xác định bởi

hiệu là

X

r

f dµ =

ai µ (Ai ).
i=1

X

Định nghĩa 1.10: Với một hàm đo được f : X → R, nếu f ≥ 0 thì tồn tại một dãy
hàm đơn giản tăng fn sao cho fn ↑ f khi n → ∞. Khi đó tích phân của hàm đo được
không âm xác định bởi:
f dµ = lim

fn dµ.

n→∞

X

X

Định nghĩa 1.11: Với một hàm đo được f : X → R, nếu f có dấu bất kì, ta đặt
f = f + − f − , với f + = max {f, 0} ≥ 0 và f − = max {−f, 0} ≥ 0.
Khi đó tích phân của hàm đo được có dấu bất kì xác định bởi:
f + dµ −

f dµ =
X

X

f − dµ.
X

9


Định nghĩa 1.12: f được gọi là khả tích trên X nếu:
f dµ < +∞.
X

1.2.2

Các không gian Lp

Định nghĩa 1.13: ( Không gian L1 )
Hai hàm đo được f, g : X → C tương đương nếu f = g − h.k.n. Ta viết L1 (X) =
{f : X → C} sao cho

|f | dµ < +∞. L1 là không gian định chuẩn với chuẩn f
X

1

=

|f | dµ.
X

Khi đó, đặt: d(f, g) = f − g

1

thì d (f, g) là metric trên L1 (X).

Định nghĩa 1.14: ( Không gian Lp )
|f |p < +∞. Lp là không gian định

Với p > 1, ta viết Lp (X) = {f : X → C} sao cho
chuẩn với chuẩn f

p

1/
p

|f |p dµ

=

X

.

X

Khi đó, đặt: d (f, g) = f − g

p

thì d (f, g) là metric trên Lp (X) .

Nếu (X, β, µ) là không gian độ đo hữu hạn và nếu 1 ≤ p < q thì
Lq (X, β, µ) ⊂ Lp (X, β, µ).

1.2.3

Các định lí hội tụ

Định lí 1.1: (Định lí hội tụ đơn điệu)
Giả sử fn : X → R là một dãy tăng các hàm khả tích trên (X, β, µ). Nếu

fn dµ

là dãy bị chặn của các số thực thì lim fn tồn tại h.k.n và khả tích và
n→∞

lim fn dµ = lim

n→∞

fn dµ.

n→∞

X

X

Định lí 1.2: (Định lí hội tụ trội)

Giả sử rằng g : X → R là khả tích và fn : X → R là một dãy các hàm đo được với
|fn | ≤ g h.k.n và lim fn = f h.k.n. Thì f khả tích và
n→∞

lim

fn dµ =

n→∞
X

f dµ.
X

10


1.2.4

Định lý biểu diễn Riesz

Cho X là một không gian metric compact và C (X, R) = {f : X → R} cho sao cho f
liên tục - biểu thị không gian của tất cả các hàm số liên tục trên X. Trang bị C (X, R)
với một metric
d (f, g) = f − g

∞

= sup |f (x) − g (x)| .
x∈X

Cho β là σ - đại số Borel trên X và cho µ là một độ đo xác suất trên (X, β) thì có thể
coi µ là hàm số tác động trên C (X, R), cụ thể
µ : C (X, R) → R
f→

f dµ.
X

Ta thường viết µ (f ) cho

f dµ.
X

Định lý biểu diễn Riesz
Cho ω : C (X, R) → R là hàm số sao cho
i. ω là bị chặn: nghĩa là, nếu f ∈ C (X, R) thì |ω (f )| ≤ f

∞;

ii. ω là tuyến tính: ω (λ1 f1 + λ2 f2 ) = λ1 ω (f1 ) + λ2 ω (f2 );
iii. ω là dương: nghĩa là nếu f ≥ 0 thì ω (f ) ≥ 0;
iv. ω là tầm thường: nghĩa là: 1 (x) ≡ 1.
Thì tồn tại duy nhất độ đo xác suất Borel µ ∈ M (X) sao cho
ω (f ) =

f dµ.
X

11

Chương 2
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO
TOÀN ĐỘ ĐO
2.1
2.1.1

Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục
Độ đo bất biến

Cho (X, β, µ) là một không gian xác suất. Một phép biến đổi T : X → X được gọi
là đo được nếu T −1 B ∈ β với ∀B ∈ β.
Định nghĩa 2.1: Ta nói rằng T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo hay µ được gọi
là độ đo T-bất biến nếu µ(T −1 B) = µ(B) với ∀B ∈ β.
Bổ đề 2.1
Cho T : X → X. Các mệnh đề sau tương đương:
i. T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo;
ii. Với mỗi f ∈ L1 (X, β, µ), ta có
f ◦ T dµ.

f dµ =
X

X

Chứng minh:
(ii) ⇒ (i). Với B ∈ β, χB ∈ L1 (X, β, µ) và χB ◦ T = χT −1 B , ta có
µ (B) =

χB ◦ T dµ

χB dµ =
X

X

12


χT −1 B dµ = µ T −1 B .

=
X

Vậy µ là độ đo T- bất biến.
(i) ⇒ (ii). Ngược lại, giả sử rằng T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo. Với hàm
đặc trưng bất kì χB , B ∈ β,
χB dµ = µ (B) = µ T −1 B =
X

χB ◦ T dµ.

χT −1 B dµ =
X

X

Suy ra đẳng thức đúng cho hàm đơn giản bất kì. Cho bất kì f ∈ L1 (X, β, µ) với f ≥ 0,
ta có thể tìm được một dãy tăng của các hàm số đơn giản fn với fn → f khi n → ∞.

Với mỗi n ta có
fn ◦ T dµ.

fn dµ =
X

X

Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu cho cả hai vế, ta có
f ◦ T dµ.

f dµ =
X

X

Với f có dấu bất kì ( f = f + − f − ) bằng cách xét phần âm và phần dương ta có kết
quả
f + ◦ T dµ −

f dµ =
X

2.1.2

X

f − ◦ T dµ.
X

Độ đo bất biến với các phép biến đổi liên tục

Cho X là một không gian metric compact, β là σ - đại số Borel và T là một ánh xạ
liên tục (T đo được) thì T cảm sinh ra một ánh xạ trên M (X) như sau:
Định nghĩa 2.2. Định nghĩa độ đo cảm sinh T∗ : M (X) → M (X) bởi:
(T∗ µ) (B) = µ T −1 B .
Nhận xét: µ được gọi là T - bất biến nếu và chỉ nếu T∗ µ = µ. Viết
M (X, T ) = {µ ∈ M (X) |T∗ µ = µ} .

13


Bổ đề 2.2 Với f ∈ C (X, R) , ta có
f d (T ∗ µ) =
X

f ◦ T dµ.
X

Chứng minh: Ta luôn có với B ∈ β,
χB d (T ∗ µ) =
X

χB ◦ T dµ.
X

Do đó, kết quả này đúng với các hàm đơn giản. Với f ∈ C (X, R) sao cho f ≥ 0, ta có
thể chọn một dãy tăng của các hàm đơn giản fn hội tụ đến f. Ta có
fn ◦ T dµ.

fn d (T∗ µ) =
X

X

Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu với mỗi vế ta có:
f ◦ T dµ.

f d (T∗ µ) =
X

X

Với f có dấu bất kì ( f = f + − f − ) bằng cách xét cả phần âm và dương ta có kết quả
f + ◦ T dµ −

f d (T ∗ µ) =
X

X

f − ◦ T dµ.
X

Bổ đề 2.3
Cho T : X → X là một ánh xạ liên tục của các không gian metric compact.
Các mệnh đề sau đây tương đương:
i. T∗ µ = µ;
ii. Với ∀f ∈ C (X, R), ta có:
Chứng minh:

f ◦ T dµ.

f dµ =
X

X

i ⇒ ii. Hiển nhiên theo bổ đề 2.1 và vì C (X) ∈ L1 (X, β, µ).
ii ⇒ i. Xây dựng 2 hàm số tuyến tính ω1 , ω2 : C (X, R) → R như sau:
ω1 (f ) =

f dµ,ω2 (f ) =
X

f dT∗ µ.
X

14


Ta thấy cả ω1 và ω2 là các hàm tuyến tính, bị chặn dương trên C (X, R). Hơn nữa,
theo bổ đề 2.2
ω2 (f ) =

f ◦ T dµ =

f dT∗ µ =
X

X

f dµ = ω1 (f ).
X

Nên ω1 và ω2 xác định cùng một hàm số tuyến tính. Theo tính duy nhất trong định lý
biểu diễn Riesz có: T∗ µ = µ.

2.2
2.2.1

Không gian của các độ đo bất biến
Sự tồn tại của các độ đo bất biến

Định lý 2.4. Cho T : X → X là một ánh xạ liên tục của một không gian metric
compact thì tồn tại ít nhất một độ đo xác suất T-bất biến.
Chứng minh
Cho σ ∈ M (X) là một độ đo xác suất. Định nghĩa dãy µn ∈ M (X) bởi
µn =

1
n

n−1

T j ∗ σ.
j=0

Với B ∈ β, ta có
µn (B) =

1
σ (B) + σ T −1 B + ... + σ T −(n−1) B
n

.

Vì M(X) là compact yếu nên có dãy con µnk hội tụ đến một độ đo µ ∈ M (X) khi
k → ∞. Ta sẽ chỉ ra rằng µ ∈ M (X, T ).
Với f ∈ C (X, R), ta có
f ◦ T dµ −
X

k→∞

X

= lim

k→∞

f ◦ T dµnk −

f dµ = lim

X

f dµnk
X

nk −1

1
nk

f ◦ T j+1 − f ◦ T j dσ
X

j=0

15


= lim

k→∞

1
nk

(f ◦ T nk − f ) dσ
X

2 f ∞
.
k→∞
nk

= lim
Do đó

f ◦ T dµ ∀f ∈ C (X, R).

f dµ =
X

X

Theo bổ đề 2.3 có T∗ µ = µ tức µ ∈ M (X, T ).

2.2.2

Các tính chất của M(X,T)

Định lý 2.5
i. M(X,T) là lồi, nghĩa là µ1 , µ2 ∈ M (X, T ) ⇒ αµ1 + (1 − α) µ2 ∈ M (X, T ) với
0 ≤ α ≤ 1.
ii. M(X,T) là đóng yếu và do đó compact.
Chứng minh:
i. Nếu µ1 , µ2 ∈ M (X, T ) và 0 ≤ α ≤ 1 thì
(αµ1 + (1 − α) µ2 ) T −1 B
= αµ1 T −1 B + (1 − α) µ2 T −1 B
= αµ1 (B) + (1 − α) µ2 (B) = (αµ1 + (1 − α) µ2 ) (B) .
Vì vậy αµ1 + (1 − α) µ2 ∈ M (X, T ).
ii. Cho µn là một dãy trong M(X,T) và giả sử rằng µn hội tụ yếu đến µ ∈ M (X, T )
khi n → ∞. Với f ∈ C (X),
f ◦ T dµn .

f dµn =
X

X

Cho n → ∞, ta có
f ◦ T dµ.

f dµ =
X

X

Suy ra µ ∈ M (X, T ). Điều này chỉ ra rằng M (X, T ) là đóng. Nó là compact vì nó là
tập con đóng của tập compact M(X.

16


2.3

Các ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo

Phần này chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo
bằng cách sử dụng định lý mở rộng Kolmogorov và sử dụng chuỗi Fourier.

2.3.1

Sử dụng định lý mở rộng Kolmogorov

Định lý 2.6(Định lý mở rộng Kolmogorov)
Cho M là một đại số các tập hợp con của X. Giả sử µ : M → R+ thỏa mãn:

i. µ (∅) = 0;
Xn và µ (Xn ) <

ii. Tồn tại hữu hạn hoặc đếm được các tập Xn ∈ M sao cho X =
n

∞;
iii. Nếu En ∈ M, n ≥ 1 đôi một không giao nhau và nếu

∞

En ∈ M thì

n=1
∞

µ

∞

En

=

n=1

µ (En ).
n=1

Thì có một độ đo duy nhất µ : β (M ) → R+ là mở rộng của µ : M → R+ .

Hệ quả 2.7 .
Cho M là một đại số các tập con của X. Giả sử µ1 và µ2 là 2 độ đo trên β (M ) sao
cho µ1 (E) = µ2 (E) với ∀E ∈ M thì µ1 = µ2 trên β (M ).
Để chỉ ra T bảo toàn một độ đo xác suất µ ta phải chỉ ra rằng T∗ µ = µ. Bằng hệ
quả trên ta chỉ cần chỉ ra rằng T∗ µ = µ trên một đại số. Tức để chỉ ra rằng T xác định
trên X bảo toàn một độ đo µ trên một tập hữu hạn thì ta cần chỉ ra
T∗ µ (a, b) = µT −1 (a, b) = µ (a, b) .
Một số ví dụ:
i)Phép quay của đường tròn
∗ Đặt
X = R/Z = {x + Z|x ∈ R}
= [0, 1) mod 1.

17


∗ Phép biến đổi được xác định như sau T : R/Z → R/Z
x → x + α mod 1
là phép quay đường tròn theo góc α.
Đồng thời T bảo toàn độ đo Lebesgue trên X.
Thật vậy, ta có
T −1 (a, b) = {x|T (x) ∈ (a, b)} = (a − α, b − α) .
Do đó
T∗ µ (a, b) = µT −1 (a, b)
= µ (a − α, b − α)
= (b − α) − (a − α)
= b − a = µ (b, a) .
Do đó T∗ µ = µ trên đại số của hợp hữu hạn các khoảng con. Vì đại số này tạo ra σ
- đại số Borel, theo tính duy nhất trong định lý mở rộng Kolmogorov ta thấy rằng
T∗ µ = µ, nghĩa là độ đo Lebesgue là T -bất biến.

ii)Ánh xạ kép
Cho X = [0, 1]. Xét ánh xạ T : X → X xác định bởi:
T (x) = 2x mod 1.
Ta có T bảo toàn độ đo Lebesgue µ.
Thật vậy, ta có
T −1 (a, b) = {x|T (x) ∈ (a, b)} =

a b
,
2 2

∪

Do đó
T ∗ µ (a, b) = µT −1 (a, b)
a b
,
2 2

=µ
=

∪

a+1 b+1
,
2
2

b a b+1 a+1

− +
−
2 2
2
2
18

a+1 b+1
,
2
2

.


= b − a = µ (b, a) .
Do đó T∗ µ = µ trên đại số của hợp hữu hạn các khoảng con. Khi nửa đại số này tạo
ra σ -đại số, theo tính duy nhất trong định lý mở rộng Kolmogorov, ta thấy T∗ µ = µ,
nghĩa là độ đo Lebesgue là T- bất biến.
iii)Ánh xạ liên phân số
Ánh xạ liên phân số T : [0, 1) → [0, 1) được xác định bởi:

 0, x = 0
T (x) =
 1 = 1 mod 1, 0 < x < 1
x

x

Dễ dàng thấy rằng ánh xạ liên phân số không bảo toàn độ đo Lebesgue vì tồn tại

B ∈ β sao cho T −1 B và B có độ đo khác nhau.
Mặc dù ánh xạ liên phân số không bảo toàn độ đo Lebesgue nhưng nó bảo toàn độ
đo Gauss’ được xác định bởi
1
ln 2

µ (B) =

B

1
dx.
1+x

Thật vậy, trước hết, chú ý rằng:
∞

T

−1

(a, b) =
n=1

1
1
.
,
b+n a+n

Do đó
µ (T −1 (a, b))
∞

=

1
ln 2

n=1

1
a+n

1
b+n

1
dx
1+x

∞

=
=

1
ln 2
1
ln 2

ln 1 +
n=1
∞

1
a+n

− ln 1 +

1
b+n

[ln (a + n + 1) − ln (a + n) − ln (b + n + 1) + ln (b + n)]
n=1

N
1
[ln (a + n + 1) − ln (a + n) − ln (b + n
N →∞ ln 2 n=1
1
lim [ln (a + N + 1) − ln (a + 1) − ln (b + N +
ln 2 N →∞

= lim

+ 1) + ln (b + n)]

=

1) + ln (b + 1)]

=

1
ln 2

=

1
ln 2

ln (b + 1) − ln (a + 1) + lim

N →∞

a+N +1
b+N +1

(ln (b + 1) − ln (a + 1))

19


=

1
ln 2

b

1
dx
1+x

a

= µ (a, b).

Do đó T∗ µ = µ trên đại số của hợp hữu hạn các khoảng con. Vì đại số này tạo ra σ
-đại số, theo tính duy nhất trong định lý mở rộng Kolmogorov ta thấy rằng T∗ µ = µ,
nghĩa là độ đo Gauss là T -bất biến.

2.3.2

Sử dụng chuỗi Fouries

Cho β là σ -đại số Borel trên R/Z và µ là độ đo Lebesgue f ∈ L1 (R/Z, β, µ).
Chuỗi Fourier của f ở dạng phức có dạng:
∞

cn e2πinx
i=−∞

ở đó cn =

1

f (x)e−2πinx dµ.
0

Bổ đề 2.8(Bổ đề Riemann-Lebesgue)
Nếu f ∈ L1 (R/Z, β, µ) thì cn → 0 khi |n| → ∞, nghĩa là:
1

f (x)e2πinx dµ = 0.

lim

n→∞
0

Gọi sn (x) là tổng riêng thứ n của chuỗi, ta có
n

c1 e2πilx

sn (x) =
l=−n

và σn (x) là trung bình của n tổng riêng đầu tiên
σn (x) =

1
(s0 (x) + s1 (x) + ... + sn−1 (x)) .
n

Đặt L2 (X, β, µ) = f : X → R|

|f |2 dµ < ∞ .

Định lý 2.9
i. Nếu f ∈ L2 (R/Z, β, µ) thì sn hội tụ đến f trong L2 , nghĩa là:
khi n → ∞.

20

|sn − f |2 dµ → 0


ii. Nếu f ∈ C (R/Z) thì δn hội tụ đều đến f khi n → ∞, nghĩa là: δn − f

∞

→0

khi n → ∞.
Một số ví dụ:
i)Phép quay một đường tròn
Cho T (x) = x + α mod 1 là phép quay đường tròn. Ta sẽ chỉ ra µ là T-bất biến
bằng sử dụng chuỗi Fourier. Ta đã biết: µ là T-bất biến nếu và chỉ nếu
f ◦ T dµ =
X

f dµ
X

với ∀f ∈ C (X, R).
Ta thấy


 0, n = 0
f (x)e2πinx dµ =
 1, n = 0

cn e2πinα e2πinx .

cn e2πinx thì f ◦ T có chuỗi Fourier

Nếu f ∈ C (X, R) có chuỗi Fourier

x∈Z

x∈Z

Ta có
cn e2πinα e2πinx dµ

f ◦ T dµ =
X

X

x∈Z

e2πinx dµ

cn e2πinα

=

x∈Z

X

= c0 =

f dµ.
X

ii)Ánh xạ kép
Cho T : X → X xác định bởi T (x) = 2x mod 1.
Ta sẽ chỉ ra rằng µ là T-bất biến bằng sử dụng chuỗi Fourier.
n

n

cn e2πi2nx dµ =

f ◦ T dµ =
X

cn e2πi2nx . Do đó

cn e2πinx thì f ◦ T có chuỗi Fourier

Nếu f có chuỗi Fourier

X

n

n

= c0 =

f dµ.
X

21

e2πi2nx dµ

cn
X


Chương 3
ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN
ERGODIC
3.1

Định nghĩa của Ergodic

Định nghĩa 3.1: Cho (X, β, µ) là một không gian xác suất và cho T : X → X là
một phép biến đổi bảo toàn độ đo. Ta nói rằng T là một phép biến đổi Ergodic( hoặc
µ là một độ đo Ergodic) nếu, với B ∈ β, có T −1 B = B ⇒ µ (B) = 0 hoặc 1.
Chú ý: Nếu T −1 A = A với 0 < µ (A) < 1 thì có thể cắt T : X → X thành T : A → A
và T : (X\A) → (X\A) với các độ đo xác suất bất biến tương ứng
1
µ (.

1−µ(A)

1
µ (.
µ(A)

∩ A) và

∩ (X\A)). Cách này đôi khi rất thuận lợi để làm suy yếu điều kiện T −1 B = B

đến µ (T −1 B∆B) = 0, ở đó ∆ biểu thị hiệu số đối xứng
A∆B = (A\B) ∪ (B\A) .
Mệnh đề 3.1.
Nếu B ∈ β thỏa mãn µ (T −1 B∆B) = 0 thì tồn tại B∞ ∈ β với T −1 B∞ = B∞ và
µ (B∆B∞ ) = 0. (Đặc biệt µ (B) = µ (B∞ ) .).
Chứng minh. Với mỗi j ≥ 0, ta có bao hàm thức
j−1

T −1 B∆B ⊂ ∪ T −(i+1) B∆T −i B
i=0

j−1

= ∪ T −i T −1 B∆B .
i=0

22


Vì T bảo toàn độ đo µ, ta có:

µ T −j B∆B ≤ jµ T −1 B∆B = 0.
∞ ∞

Đặt B∞ = ∩ ∪ T −i B.
j=0 i=j

Ta có

∞
∞

µ B∆ ∪ T

−i

i=j

µ B∆T −i B = 0.

≤
i=j

∞

Vì ∪ T −i B giảm khi j tăng, do đó ta có µ (B∆B∞ ) = 0. Ngoài ra
i=j

∞ ∞

T −1 B∞ = ∩ ∪ T −(i+1) B

j=0 i=j

∞ ∞

= ∩ ∪ T −i B = B∞ .
j=0 i=j

Hệ quả 3.2
Nếu T là Ergodic và µ (B∆B∞ ) = 0 thì µ (B) = 0 hoặc 1.

3.2

Đặc trưng của Ergodic

Mệnh đề 3.2
Cho T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo của (X, β, µ). Các mệnh đề sau là tương
đương:
i. T là Ergodic;
ii. Bất kì f ∈ L1 (X, β, µ) thỏa mãn f ◦ T = f µ -h.k.n ta có f là hàm hằng µ -h.k.n.
Chứng minh
(i) ⇒ (ii). Giả sử rằng T là Ergodic và f ∈ L1 (X, β, µ) với f ◦ T = f µ -h.k.n. Với
k ∈ Z, n ∈ N, định nghĩa :
X (k, n) = x ∈ X| 2kn ≤ f (x) ≤

k+1
2n

= f −1

k k+1

,
2n 2n

.

Vì f đo được, X (k, n) ∈ β. Ta có
T −1 X (k, n) ∆X (k, n) ⊂ {x ∈ X|f (T x) = f (x)} .
Nên
µ T −1 X (k, n) ∆X (k, n) = 0.
23


Do đó µ (X (k, n)) = 0 hoặc µ (X (k, n)) = 1 .
Với mỗi n cố định, ta có
µ X∆ ∪ X (k, n)
k∈Z

=0

và hợp này là rời nhau. Do đó, ta có
µ (X (k, n)) = µ (X) = 1
k∈Z

và vì vậy có duy nhất kn mà µ (X (k, n)) = 1. Cho
∞

Y = ∩ X (kn , n) .
n=1

Thì µ (Y ) = 1 và theo cách xây dựng thì f là hàm hằng trên Y, nghĩa là, f là hàm hằng

µ - h.k.n.
(ii) ⇒ (i). Giả sử B ∈ β với T −1 B = B thì ta có χB ∈ L1 (X, β, µ) và χB ◦ T (x) =
χB (x) ∀x ∈ X. Mà χB là hàm hằng µ - h.k.n. Vì vậy µ (B) =

B

χB dµ = 0 hoặc 1

Vậy T là Ergodic.

3.3

Các ví dụ

a)Các phép quay một đường tròn
Cố định α ∈ R và định nghĩa T : R/Z → R/Z bởi T (x) = x + α mod 1.
Ta đã biết rằng T bảo toàn độ đo Lebesgue.
Định lý 3.4
Cho T (x) = x + α mod 1.
i. Nếu α ∈ Q thì T không là Ergodic.
ii. Nếu α ∈
/ Q thì T là Ergodic.
Chứng minh.
(i). Giả sử α ∈ Q và viết α =

p
q

với p, q ∈ Z và q = 0. Định nghĩa

f (x) = e2πiqx ∈ L2 (X, β, µ) .

24


Giả sử T là Ergodic. Khi đó ta có
f (T x) = e

2πiq x+p/q

= e2πi(qx+p) = e2πiqx = f (x) .

Mà f không là hàm hằng. Điều này mâu thuẫn với mệnh đề 3.2.
Vậy T không là Ergodic.
(ii). Giả sử rằng α ∈
/ Q. Giả sử f ∈ L2 (X, β, µ) sao cho f ◦ T = f h.k.n. Giả sử f
có chuỗi Fourier

∞

cn e2πinx .
n=−∞

Thì f ◦ T có chuỗi Fourier
∞

cn e2πinα e2πinx .
n=−∞

So sánh các hệ số Fourier ta thấy rằng

cn = cn e2πinα
với ∀n ∈ Z. Khi α ∈
/ Q , e2πinα = 1 trừ khi n=0. Do đó cn = 0 với n = 0. Do đó f có
chuỗi Fourier c0 , nghĩa là, f là hàm hằng h.k.n.
Vậy T là Ergodic.
b)Ánh xạ kép
Cho X = R/Z và định nghĩa T : X → X bởi T (x) = 2x mod 1.
Tính chất 3.5
Ánh xạ kép T là Ergodic đối với độ đo Lebesgue µ.
Chứng minh. Cho f ∈ L2 (X, β, µ) và giả sử rằng f ◦ T = f µ -h.k.n.
Giả sử f có chuỗi Fourier
∞

am e2πimx trongL2 .

f (x) =
m=−∞

Với mỗi j ≥ 0, f ◦ T j có chuỗi Fourier
∞
j

am e2πim2 x .
m=−∞

So sánh các hệ số Fourier ta thấy
am = a2j m
25