Luận văn sư phạm Chuỗi Fourier và ứng dụng

Lời cảm ơn
Em xin trân trọng bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Khuất Văn
Ninh, thầy đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành khóa
luận này.
Em cũng trân trọng cám ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và toàn thể
các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý giúp đỡ em trong suốt
thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận.
Do trình độ chuyên môn còn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp nên
nội dung khóa luận này còn tồn tại nhiều thiếu sót. Em kính mong nhận
được sự phê bình góp ý của thầy cô cùng toàn thể các bạn để nội dung
khóa luận này trở nên hoàn thiện hơn.
Em xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2013.
Sinh viên
Lại Thị Thủy

1


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp: "Chuỗi Fourier và ứng
dụng" là công trình nghiên cứu của bản thân. Những phần sử dụng tài
liệu tham khảo trong khóa luận đã được nêu rõ trong phần tài liệu tham
khảo. Các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực, nếu
sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm và chịu mọi kỷ luật của khoa và
nhà trường đề ra.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013.
Sinh viên
Lại Thị Thủy

2

Lời nói đầu
1. Lý do chọn đề tài.
Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến chúng ta đã được làm
quen với khái niệm chuỗi Fourier của các hàm khả tích và xét sự hội tụ
của nó. Đây là một lĩnh vực quan trọng của Toán học và có nhiều ứng
dụng thiết thực trong Vật lý, Cơ học, Kỹ thuật công nghệ, ... cho nên đã
được quan tâm nghiên cứu rất nhiều. Các kết quả về lĩnh vực này vô cùng
phong phú, đa dạng và những gì chúng ta biết trong giáo trình giải tích
nói trên mới chỉ là những kiến thức ban đầu. Chính vì vậy trong khóa luận
tốt nghiệp em đã lựa chọn đề tài về chuỗi Fourier và ứng dụng của nó để
tiếp tục tìm hiểu và nghiên cứu về chuỗi Fourier.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu về khái niệm, một số tính chất và một số ứng dụng của chuỗi
Fourier.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu về chuỗi Fourier.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của chuỗi Fourier.
4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng: Chuỗi Fourier và ứng dụng.
- Phạm vi: Chuỗi số, chuỗi hàm.
5. Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo.
3


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu.
6. Cấu trúc
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp
gồm ba chương:
- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
- Chương 2: Chuỗi Fourier.
- Chương 3: Ứng dụng của chuỗi Fourier.

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

4


Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Lời nói đầu

3

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

8

1.1

CHUỖI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

. . . . . . . . .

8

. . . . . . . . .

8

. . . . . . . . .

9

. . . . . . . . .

9

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Chuỗi số hội tụ . . . . . . . . . .
1.1.3 Phần dư của chuỗi hội tụ . . .
1.1.4 Điều kiện để một chuỗi hội tụ

1.2

DÃY HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1

Dãy hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Sự hội tụ đều của dãy hàm . . . . . . . . . . . . 11

1.3

CHUỖI HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Sự hội tụ đều của chuỗi hàm . . . .
1.3.3 Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm
1.3.4 Tính chất của tổng chuỗi hàm . . .

1.4

. . . . . . 11
. . . . . . 12
. . . . . . 12
. . . . . . 13

KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TỔNG . . . . . . . . . . 14
1.4.1

Không gian L1[−π, π] . . . . . . . . . . . . . . . 14
5

Khóa luận tốt nghiệp
1.4.2
1.5

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Không gian L2[−π, π] . . . . . . . . . . . . . . . 14

HỆ TRỰC GIAO, HỆ TRỰC CHUẨN. . . . . . . . . . . . 15
1.5.1

Vectơ trực giao, hệ trực giao . . . . . . . . . . . 15
1.5.2 Hệ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.3 Hệ lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6

HÀM SỐ LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI. . . . . . . . . . . . . . 17

2 CHUỖI FOURIER

18

2.1

HỆ HÀM LƯỢNG GIÁC TRỰC GIAO . . . . . . . . . . . 18

2.2

CHUỖI LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3

CHUỖI FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1

Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier (tổng
Dirichlet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4

SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI FOURIER . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5

2.5

Điều kiện Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Điều kiện Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm liên tục từng khúc, hàm khả vi từng khúc
Nguyên lý địa phương . . . . . . . . . . . . . . .
Định lý về sự hội tụ của chuỗi Fourier . . . . .

28

29
30
31

MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ ĐỀU CỦA CHUỖI FOURIER 32
2.5.1

Định
2.5.2 Định
2.5.3 Định
2.5.4 Định

2.6

24

lý
lý
lý
lý

2.6
2.7
2.8
2.9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI FOURIER . . . . . . . . . 39
2.6.1

Khai triển Fourier trong khoảng [−π, π]. . . . 39

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

6


Khóa luận tốt nghiệp
2.6.2
2.6.3
2.6.4
2.6.5
2.6.6

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khai triển một hàm không tuần hoàn trên
đoạn [−π, π] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Khai triển chẵn và khai triển lẻ của hàm f
trên [−π, π] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Khai triển tuần hoàn trong đoạn [-l, l] bất kỳ
Khai triển một hàm tuần hoàn trên [a, b]. . .
Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 CÁC ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER

41
42
44
44
45
52

3.1

Ứng dụng để tính tổng của một chuỗi số. . . . . . . . . . . 52

3.2

Bài toán dây rung.

3.3

Bài toán dao động tự do của dây rung . . . . . . . . . . . . 55

3.4

Dao động tự do của thanh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5

Dao động của màng hình chữ nhật.

3.6

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

. . . . . . . . . . . . . 58

Kết luận

62

Tài liệu tham khảo

63

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

7


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

CHUỖI SỐ

1.1.1

Định nghĩa

• Cho dãy số: a1 , a2 , ..., an , ...
• Lập dãy số mới: A1 = a1 .

A2 = a1 + a2 .
.........................
n

An = a1 + a2 + ... + an =

ak .

k=1

• Ký hiệu hình thức:

n

+∞

ak = lim An = lim
k=1

n→+∞

n→+∞ k=1

ak và gọi

một chuỗi số, ak được gọi là số hạng thứ k của chuỗi số.

1.1.2

+∞

ak là

k=1

Chuỗi số hội tụ

• Xét chuỗi số:

+∞

ak
k=1

8

(1.1)


Khóa luận tốt nghiệp
• Đặt: An =

n

Trường ĐHSP Hà Nội 2

ak .

k=1

• Khi đó:
– An được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.1).
– Dãy {An } là dãy tổng riêng của chuỗi (1.1).

• Nếu dãy {An } hội tụ và lim An = A thì ta nói chuỗi số
n→+∞

+∞

tụ và có tổng bằng A. Viết là:

+∞

ak hội

k=1

ak = A.

k=1

• Nếu dãy An không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số (1.1) phân
kỳ.

1.1.3

Phần dư của chuỗi hội tụ

• Xét chuỗi số hội tụ:

+∞

ak

(1.2)

k=1

• Đặt rn =

+∞

+∞

ak =

an+k .

k=1

k=n+1

• Khi đó rn được gọi là phần dư thứ n của chuỗi hội tụ (1.2).
• Giả sử A =

+∞

ak và An =

k=1

⇒ lim rn = 0.

n
k=1

ak thì ta có rn = A − An

n→+∞

1.1.4

Điều kiện để một chuỗi hội tụ

• Định lý 1.1:(Định lý về điều kiện cần)
Nếu chuỗi

+∞

k=1

ak hội tụ thì lim ak = 0.
k→+∞

• Điều kiện cần và đủ để chuỗi số hội tụ
Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

9

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

– Xét chuỗi số:

+∞

(1.3)

ak
k=1

có dãy tổng riêng là An =

n

ak .

k=1

– Theo nguyên lý Cauchy để chuỗi (1.3) hội tụ điều kiện cần và đủ
là: ∀ε > 0 cho trước ∃n0 = n0 (ε), n0 ∈ N ∗ sao cho:

∀n > n0 , ∀p ∈ N ∗ thì |An+p − An | < ε.

– Điều này nghĩa là: |an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε
Vậy ta có:

• Định lý 1.2:

Điều kiện cần và đủ để chuỗi

+∞

ak hội tụ là:

k=1

∀ε > 0 cho trước ∃n0 = n0 (ε), n0 ∈ N ∗ sao cho ∀n > n0 , ∀p ∈ N ∗
ta đều có: |an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε.
Từ định lý này ta suy ra chuỗi số

+∞

an phân kỳ khi và chỉ khi tồn

n=1

tại một số ε0 > 0 để ∀n ∈ N ∗ , ∃p0 ∈ N ∗ sao cho: |An+p0 − An | ≥ ε0 .

1.2

DÃY HÀM

1.2.1

Dãy hàm số

• Cho U là một tập con của tập số thực R.

A là tập tất cả các hàm số xác định trên U .

• Ánh xạ F: N −→ A
n −→ un (x) ∈ A

u1 (x), u2 (x), u3 (x), ..., un (x), ... (n = 1, 2, 3...) được gọi là dãy hàm
số xác định trên tập U .
Ký hiệu: {un (x)}, ∀n = 1, 2, 3, ...

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

10


Khóa luận tốt nghiệp
1.2.2

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Sự hội tụ đều của dãy hàm

• Giả sử un (x) là một dãy hàm xác định trên U ∈ R.
• Dãy hàm số {un (x)}, ∀n = 1, 2, 3, ... được gọi là hội tụ đều tới hàm
u(x) trên tập U nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại n sao cho

( ∀n > nε ) (∀x ∈ U ) thì |un (x) − u(x)| < ε.

• Định lý 1.3: Dãy hàm {un (x)} hội tụ đều tới hàm u(x) trên A khi
và chỉ khi lim sup |un (x) − u(x)| = 0 với mọi x ∈ A.

n→+∞ A

1.3
1.3.1

CHUỖI HÀM
Định nghĩa

Cho dãy hàm {un (x)} cùng xác định trên một tập U ⊂ R.

Chuỗi hàm là tổng hình thức:

+∞

un (x)

u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... =

(1.4)

n=1

Nếu tại x0 ∈ U chuỗi số
của chuỗi hàm (1.4), nếu

+∞

un (x0 ) hội tụ thì ta nói x0 là điểm hội tụ

n=1

+∞

un (x0 ) phân kỳ thì chuỗi hàm (1.4) phân kỳ

n=1

tại điểm x0 .

Tập tất cả các điểm hội tụ của một chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ
của chuỗi hàm đó. Giả sử A là miền hội tụ của chuỗi hàm (1.4), khi đó với
mọi x ∈ A chuỗi

+∞
n=1

Như vậy: S(x) =
hàm.

un (x) có tổng là S(x).
+∞
n=1

un (x),

∀x ∈ A. Ta gọi S(x) là tổng của chuỗi

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

11

Khóa luận tốt nghiệp
1.3.2

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Sự hội tụ đều của chuỗi hàm

Giả sử

+∞

uk (x) là một chuỗi hàm xác định trên U .

k=1

Ta nói chuỗi hàm

+∞

uk (x) hội tụ đều đến tổng S(x) trên tập U , hay

k=1

∀ε > 0 cho trước đều ∃nε > 0 sao cho (∀n > nε ), (∀x ∈ U ) thì:
|Sn (x) − S(x)| < ε.

1.3.3

Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm

• Định lý 1.4: (Điều kiện cần và đủ Cauchy)
Chuỗi hàm

+∞

k=1

uk (x) hội tụ đều trên tập U khi và chỉ khi ∀x > 0 cho

trước tồn tại số tự nhiên n0 = n0 (ε) (không phụ thuộc vào x) sao cho

∀n > n0 , ∀m ∈ N ∗ đều xảy ra |

n+m

k=n+1

uk (x)| < ε, với mọi x ∈ U .

• Định lý 1.5: (Dấu hiệu Weierstrass)
Cho chuỗi hàm

+∞

un (x) gồm các hàm un xác định trên tập U .

n=1

Giả thiết tồn tại một dãy số dương {Cn } sao cho:

i) |un (x)| ≤ Cn ∀x ∈ U , ∀n ∈ N ∗ .
ii) Chuỗi số

+∞

n=1

Khi đó chuỗi hàm

Cn hội tụ.
+∞

un (x) hội tụ đều trên U .

n=1

• Định lý 1.6: (Dấu hiệu Dirichlet)

Cho hay dãy hàm {an }, {bn } cùng xác định trên tập U .
Giả thiết:
i) Dãy tổng riêng An (x) của chuỗi hàm

+∞

un (x) bị chặn đều trên

n=1

U có nghĩa là tồn tại một số M > 0 sao cho:
n

|An (x)| = |

k=1

ak (x)| ≤ M , ∀n, ∀x ∈ U .

ii) Dãy hàm {bn } đơn điệu có nghĩa là với mỗi số x ∈ U dãy bn (x)

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

12


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

là dãy số đơn điệu và dãy hàm {bn (x)} hội tụ đều trên U đến 0.
Khi đó chuỗi hàm

+∞

an (x).bn (x) hội tụ đều trên U .

n=1

1.3.4

Tính chất của tổng chuỗi hàm

• Định lý 1.7: (Tính liên tục) Chuỗi hàm
i) un là các hàm liên tục trên tập U ,
ii) Chuỗi hàm

+∞

+∞

un (x). Giả thiết rằng:

n=1

∀ n = 1, 2, 3, ...

un (x) hội tụ đều trên U đến tổng S(x)

n=1

Khi đó S là một hàm liên tục trên U .

• Định lý 1.8: (Định lý Dini)
Giả thiết rằng:

– Chuỗi hàm

+∞

un (x) hội tụ trên [a, b] đến tổng S(x).

n=1

– un (n = 1, 2, 3, ...) là các hàm liên tục trên [a, b] và

un (x) ≥ 0 (hoặc un (x) ≤ 0) ∀x ∈ [a, b], ∀n = 1, 2, 3, ...

– S là hàm liên tục trên [a, b]
Khi đó chuỗi hàm

+∞

un (x) hội tụ đều trên [a, b].

n=1

• Định lý 1.9: (Tích phân từng số hạng)
Cho chuỗi hàm

+∞

un (x). Giả sử rằng:

n=1

– un là các hàm khả tích trên [a, b], ∀n = 1, 2, 3, ...
– Chuỗi hàm

+∞

un (x) hội tụ đều trên [a, b] và có tổng là S(x).

n=1

khi đó:
i) S là hàm khả tích trên [a, b].
ii)

b

+∞ b

S(x)dx =
a

un (x)dx.

n=1 a

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

13


Khóa luận tốt nghiệp

1.4
1.4.1

Trường ĐHSP Hà Nội 2

KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TỔNG
Không gian L1[−π, π]

Định nghĩa:
π
−π

Tập L1 [−π, π] gồm các hàm đo được Lebesgue trên đoạn [−π, π] và

|f (x)|dµ < +∞.

Trong L1 [−π, π] ta đưa vào một chuẩn bằng công thức:
π

||f || =

−π

|f (x)|dµ và quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g(x) hầu khắp

nơi trên [−π, π]. Khi đó L1 [−π, π] cùng với chuẩn xác định một không
gian định chuẩn.
Trong L1 [−π, π] ta đưa vào khoảng cách bằng công thức:

ρ(f, g) = ||f − g||. L1 [−π, π] cùng với khoảng cách này tạo thành một

không gian metric với quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g(x) hầu khắp
nơi trên [−π, π].
Sự hội tụ theo nghĩa này của một dãy các hàm khả tổng được gọi là sự
hội tụ trung bình.

Định lý 1.10: Không gian C[−π, π] trù mật khắp nơi trong không gian

L1 [−π, π].
1.4.2

Không gian L2[−π, π]

Định nghĩa:
Tập L2 [−π, π] gồm tất cả các hàm có bình phương khả tổng trên
đoạn [−π, π ] tức là các hàm f đo được Lebesgue trên đoạn [−π, π ] mà
π

−π

|f (x)|2 dµ < +∞.

Trong L2 [−π, π] ta đưa vào một chuẩn bằng công thức :

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

14


Khóa luận tốt nghiệp
π

||f || = (

−π

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1
2

|f (x)| dµ) với quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g(x) hầu
2

khắp nơi trên đoạn [−π, π]. L2 [−π, π] cùng với chuẩn trên xác định một

không gian định chuẩn.
Khoảng cách giữa hai phần tử f, g trong L2 [−π, π] đươc định nghĩa:
π

ρ(f, g) = ||f − g|| = (

−π

1
2

|f (x) − g(x)| dµ) . L2 [−π, π] cùng với khoảng
2

cách này tạo thành một không gian metric với quy ước f = g khi và chỉ
khi f (x) = g(x) hầu khắp nơi trên đoạn [−π, π ].

Sự hội tụ trong L2 [−π, π] của dãy các hàm khả tổng được gọi là sự hội

tụ trung bình phương.

Trong L2 [−π, π] ta trang bị một tích vô hướng giữa hai phần tử f và g
bằng (f, g) =

π

f (x)g(x)dµ.

−π

L2 [−π, π] cùng với tích vô hướng trên tạo thành một không gian Hilbert.
Chú ý: Các tích phân trong khóa luận này là tích phân Lebesgue. Khái
niệm hàm khả tổng hay còn gọi là khả tích xem trong sách Giải tích hiện
đại (Hoàng Tụy, NXB Giáo dục).

1.5

HỆ TRỰC GIAO, HỆ TRỰC CHUẨN.

1.5.1

Vectơ trực giao, hệ trực giao

• Trong khôn gian Hilbert H , hai vectơ x, y được gọi là trực giao với
nhau nếu (x, y) = 0. Ký hiệu: x⊥y .

• Hệ các vectơ {xn } được gọi là một hệ trực giao nếu các vectơ xn đôi
một trực giao với nhau.

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

15


Khóa luận tốt nghiệp
1.5.2

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Hệ trực chuẩn

• Một hệ {en }n≥1 các phần tử trong không gian Hilbert H được gọi là
một hệ trực 
chuẩn nếu (ei , ej ) = δij tức là:
1 khi i = j
δij =
0 khi i = j

• Nếu một hệ {en }n≥1 các phần tử trong không gian Hilbert H được

gọi là một hệ trực chuẩn đầy đủ nếu với mọi vectơ trực giao với hệ

{en }n≥1 đều là vectơ 0. Tức là nếu x⊥en thì x = 0, (∀n = 1, 2, ...).
• Định lý 1.11:

a) Cho (xi )i=1,n là họ n vectơ trực giao từng đôi một, ta có:
2

+∞

xi

+∞

=

i=1

i=1

||xi ||2 .

b) Cho {en } là hệ trực chuẩn gồm n vectơ, (ti )i=1,n là n số thực
(hay phức), ta có:

2

+∞

ti e i
i=1

+∞

=
i=1

|ti |2 .

c)Bất đẳng thức Bessel: Nếu hệ (en )n≥1 là một hệ trực chuẩn nào đó
trong không gian Hilbert H thì ∀x ∈ H ta có bất đẳng thức Bessel:

n≥1

|(x, en )|2 ≤ ||x||2 .

• Định nghĩa: Một hệ trực chuẩn (en )n≥1 được gọi là đầy đủ (hay cơ

số đầy đủ) nếu với mọi x trong H , ta có đẳng thức Parseval sau đây:
n≥1

1.5.3

|xn |2 ≤ ||x||.

Hệ lượng giác

Trong không gian L2 [−π, π], các hàm 1, cosnx, sinnx (n = 1, 2, 3, ...)
tạo thành một hệ trực giao đầy đủ gọi là hệ lượng giác.

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1 cosnx sinnx
(n = 1, 2, 3, ...) là một hệ trực chuẩn đầy đủ.
Hệ √ ; √ ; √

π
π
2π

1.6

HÀM SỐ LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI.

• Định nghĩa:

Một hàm f (x) xác định trên đoạn [a, b] được gọi là liên tục tuyệt

đối trên đoạn [a, b] nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho với mọi họ hữu hạn

những khoảng đôi một rời rạc nhau (ak , bk ) (k = 1, n) mà có tổng độ
dài nhỏ hơn δ .
Tức là:

n

k=1

(bk − ak ) < δ thì ta có bất đẳng thức:
n
k=1

|f (bk ) − f (ak )| < δ

.

• Định lý 1.11: (Định lý Lebesgue)

Đạo hàm của một hàm liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b] thì khả

tổng trên đoạn đó với mọi x ∈ [a, b] ta có:
x

a

f (t)dt = F (x) − F (a), trong đó F là nguyên hàm của f trên

đoạn [a, b] .

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

17


Chương 2
CHUỖI FOURIER
2.1

HỆ HÀM LƯỢNG GIÁC TRỰC GIAO

Định nghĩa
Giả sử {ϕn }+∞
n=1 là dãy các hàm khả tích trên [a, b]. Khi đó:

• Nếu

b

a

ϕn (x).ϕm (x)dx = 0 với ∀n, m ∈ N (n = m) thì ta nói {ϕn } là

hệ hàm lượng giác trực giao trên [a, b].

• Xét hệ hàm lượng giác trên [−π, π ]
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cosnx, sinnx, ...

(2.1)

• Ta có thể dễ dàng kiểm
 tra được rằng:
 0 khi k = n
π
coskx.cosnxdx =
 π khi k = n
−π

 0 khi k = n
π
sinkx.sinnxdx =
 π khi k = n
−π
π

sinkx.cosnxdx = 0 với mọi k, n.

−π

Như vậy hệ hàm lượng giác (2.1) là hệ hàm lượng giác trực giao trên
[−π, π ]. Hơn nữa nó là một hệ hàm lượng giác đầy đủ.
18


Khóa luận tốt nghiệp

2.2

Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHUỖI LƯỢNG GIÁC

• Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng:
+∞

a0
(an cosnx + bn sinnx)
+
2
n=1

(2.2)

– Trong đó a0 , an , bn (n = 1, 2, 3, ...) là những số thực.
– Số hạng tổng quát: un (x) = an cosnx + bn sinnx.
2π
– Hàm tuần hoàn với chu kỳ

, liên tục và khả vi mọi cấp.
n

• Nếu chuỗi (2.2) hội tụ và có tổng f (x) thì f là một hàm liên tục, tuần

hoàn với chu kỳ 2π . Vì thế sau đây ta chỉ cần xét chuỗi hàm lượng
giác trên một đoạn có độ dài 2π , chẳng hạn trên [−π, π ].

• Giả sử chuỗi hàm (2.2) hội tụ đều trên [−π, π ] và:
+∞

a0
f (x) =
(an cosnx + bn sinnx),
+
2
n=1

x ∈ [−π, π]

(2.3)

• Tìm hệ số a0 , an , bn (n = 1, 2, 3, ...)

Trước tiên ta đi lấy tích phân từ −π tới π của chuỗi hàm ở vế phải
của biểu thức (2.3). Ta tính được:
π
π a
+∞ π
0

dx +
. (an cosnx + bn sinnx)dx
f (x)dx =
n=1 −π
−π
−π 2
π

⇔

π

f (x)dx =
−π

−π

a0
dx = πa0
2

1 π
⇔ a0 = . f (x)dx
π −π
• Tính ak : Nhân hai vế của (2.3) với coskx . Sau đó lấy tích phân 2
vế của đẳng thức nhận được trên [−π, π ] và do tính trực giao của hệ
hàm lượng giác ta có:

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

19


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
π

π

cos2 kxdx = πak

f (x)coskxdx = ak .
−π

−π

1 π
⇒ ak =
f (x)coskxdx
π −π

(k = 1, 2, 3...)

• Tương tự tính bk : nhân 2 vế với sinkx. Sau đó lấy tích phân 2 vế của
đẳng thức nhận được trên [−π, π ].
π

π

f (x)sinkxdx = bk

−π

sin2 kxdx = πbk

−π

1 π
⇒ bk =
f (x)sinkxdx (k = 1, 2, 3, ...).
π −π

2.3

CHUỖI FOURIER

2.3.1

Chuỗi Fourier

• Định nghĩa:

Trong không gian L2 [−π, π], cho hàm số f (x). Khi đó các hệ số:
1 π
a0 = . f (x)dx
π −π

1
an =

π

π

f (x)cosnxdx (n = 1, 2, 3...)

(2.4)

−π

1 π
f (x)sinnxdx (n = 1, 2, 3...)
π −π
được gọi là hệ số Fourier của hàm f (x).
bn =

• Chuỗi hàm lượng giác:
+∞

a0
(an cosnx + bn sinnx)
+
2
n=1

(2.5)

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x).

• Nếu xét hàm số f ∈ L1 [−π, π] thì các tích phân:

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

20


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1 π
1 π
1 π
f (x)dx,
f (x)cosnxdx,
f (x)sinnxdx (n = 1, 2, ...)
π −π
π −π
π −π
vẫn có nghĩa đối với các hàm trong không gian L1 [−π, π].
• Vậy với các hàm f ∈ L1 [−π, π] có thể ứng với các hệ số Fourier và
chuỗi Fourier của nó như công thức (2.4), (2.5).

2.3.2

Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier (tổng Dirichlet)

Cho hàm f ∈ L2 [−π, π] có khai triển thành chuỗi Fourier là:
a0 +∞
+
(an cosnx + bn sinnx) với x ∈ [−π, π]

2 n=1
1 π
Trong đó: a0 = . f (x)dx
π −π
1 π
f (x)cosnxdx (n = 1, 2, 3...)
an =
π −π
1 π
bn =
f (x)sinnxdx (n = 1, 2, 3...).
π −π
Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier là:
n

a0
Sn (x) =
(ak coskx + bk sinkx)
+
2
k=1

(2.6)

Thay các hệ số a0 , an , bn theo công thức (2.5) vào công thức (2.6) ta
được:

Sn (x) =

1 n π

1 π
f (t)[coskt.coskx + sinkt.sinkx]dt
f (t)dt +
2π −π
π k=1 −π

=

n
1
1 π
f (t)( + [coskt.coskx + sinkt.sinkx])dt
π −π
2 k=1

=

n
1 π
1
cosk(t − x))dt
f (t)( +
π −π
2 k=1

Ta có: 2.sin

n
t−x 1
cosk(t − x))

( +
2 2 k=1

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

21


Khóa luận tốt nghiệp

= sin

t−x
t−x
t−x
+ 2cos(t − x).sin
+ 2cos2(t − x).sin
+ ...+
2
2
2

+2cosn(t − x).sin
= sin

Trường ĐHSP Hà Nội 2

t−x
2

t−x
3(t − x)
t−x
2n + 1
+ sin
− sin
+ ... + sin(
.(t − x))
2
2
2
2

−sin(
= sin(

2n − 1
.(t − x))
2

2n + 1
.(t − x))
2
n

1
cosk(t − x)) =
⇒( +
2 k=1

2n + 1
.(t − x))
2
t−x
)
2sin(
2

sin(

Vậy:

1
Sn (x) =
π

π

2n + 1
.(t − x))
2
dt
t−x
)
2sin(
2

sin(
f (t).

−π

(2.7)


 t=z+x
Đặt z = t − x ⇒
 dt = dz

Do f ∈ [−π, π] ⇒ hàm f (x) xác định trên [−π, π ]

Vì vậy ta có thể khuếch tuần hoàn cho hàm f (x) với chu kỳ 2π trên

toàn trục số. Khi đó dưới dấu tích phân của biểu thức (2.7) là một hàm
tuần hoàn với chu kỳ 2π nên tích phân trên đoạn bất kỳ có độ dài 2π đều
có giá trị như nhau.
Vậy ta có thể giữ nguyên cận như cũ là [−π, π ]
Ta được Sn (x) =

π

1
f (x + z).
π −π

2n + 1
.z)
2
dz
z

2sin( )
2

sin(

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

22


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

2n + 1
.z)
2
Đặt: Dn (z) =
π 2sin( z )
2
Khi đó Sn (x) được gọi là tổng Dirichlet của hàm f (x) còn Dn (z) được
1 sin(

gọi là nhân của Dirichlet của hàm f (x).
Ta thấy rằng với mỗi hàm số f ∈ L2 [−π, π] (hoặc f ∈ L1 [−π, π]) đều

tồn tại một chuỗi Fourier xác định như công thức (2.5).

Câu hỏi đặt ra là khi nào chuỗi Fourier này hội tụ tới hàm f (x) (hội tụ
điểm hoặc hội tụ đều).

Để tìm hiểu vấn đề này ta sẽ xét hiệu Sn − f (x)
π
n
1 π 1
coskz)dz
( +
Ta có: Dn (z)dz =
π −π 2 k=1
−π

z
=
2π

π

2 n sinkz
)
+(
π k=1 k
−π

π

=1
0

Vậy:
π

Sn (x) − f (x) =

1
f (x + z)
π −π
π

=
−π

2n + 1
z
2
z dz − f (x)
2sin
2

sin

π

f (x + z)Dn (z)dz −

f (x)Dn (z)dz
−π

π

=
−π

[f (x + z) − f (x)]Dn (z)dz

2n + 1
z
1
2
=
dz
(2.8)
. [f (x + z) − f (x)]
z
2π
sin
−π
2
Các vấn đề hội tụ của chuỗi này ta sẽ nghiên cứu trong các phần tiếp
π

sin

sau đây.

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

23


Khóa luận tốt nghiệp

2.4

Trường ĐHSP Hà Nội 2

SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI FOURIER

Ta xét điều kiện đủ để chuỗi Fourier hội tụ điểm:

2.4.1

Điều kiện Dini

Định lý Dini:
Giả sử f là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π xác định trên R, liên
tục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn và x0 là một số thực sao cho các
f (x0 + h) − f (x0 + 0)
f (x0 − h) − f (x0 − 0)
; lim+
tồn tại
giới hạn: lim+
h→0
h→0
h
h
và hữu hạn. Khi đó chuỗi Fourier của hàm số f hội tụ tại điểm x0 và có
1
tổng là: [f (x0 + 0) + f (x0 − 0)]
2
Đặc biệt, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì chuỗi Fourier của hàm số

f hội tụ tại điểm x0 và có tổng là f (x0 ).
Nếu f (x) thỏa mãn thêm điều kiện ∃f ′ (x), f ”(x) ở [−π, π] và có

f (−π) = f (π), f ′ (−π) = f ′ (π),

π

π

|f ”(x)| dx ≤ C thì chuỗi Fourier hội tụ

đều đến tổng S(x) và là chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Điều kiện Dini

Hàm số f (x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Dini tại điểm x nếu tồn
δ f (x + t) − f (t)
|dt tồn tại.
tại số δ sao cho tích phân: |
t
−δ
Bổ đề Riemann
Nếu ϕ(x) là hàm khả tổng trên đoạn [a, b] thì:
i) lim

b

ϕ(x)cospxdx = 0

p→+∞ a

ii) lim

b

p→+∞ a

ϕ(x)sinpxdx = 0

Chứng minh : lim

b

p→+∞ a

ϕ(x)sinpxdx = 0

Nếu ϕ(x) là hàm khả vi liên tục thì sử dụng công thức tính tích phân

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

24


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

từng phần ta có:
b

b

b
cospx
sinpx
ϕ(x)sinpxdx = −ϕ(x)
dx
+ ϕ′ (x)
p a a
p
b
ϕ(a)cospa − ϕ(b)cospb 1
′
+ max ϕ (x) dx
≤
p
p [a,b]
a

a

=

ϕ(a)cospa − ϕ(b)cospb 1
+ (b − a) max ϕ′ (x) → 0 (p → +∞) (2.9)
[a,b]
p
p

Nếu ϕ(x) là hàm khả tổng tùy ý trên đoạn [a, b] vì tập các hàm khả vi

liên tục, trù mật khắp nơi trong L1 [a, b] nên ∀ε > 0 bất kỳ luôn tồn tại
hàm khả vi liên tục ϕε sao cho:
b

|ϕ(x) − ϕε (x)|dx <

a

ε
2

(2.10)

Vì vậy ta có:
b

b

b

| ϕ(x)sinpxdx| ≤ | [ϕ(x) − ϕε (x)]sinpxdx +
a

a

b

≤

a

ϕε (x)sinpxdx|
a

b

|ϕ(x) − ϕε (x)|dx + | ϕε (x)sinpx|dx
a

Theo (2.9) ∀ε > 0, ∃p0 > 0 sao cho ∀p ≥ p0 thì:
b

|

ϕε (x)sinpx|dx <
a

ε
2

(2.11)

Từ (2.10) và (2.11) ta có ∀ε > 0, ∃p0 > 0 sao cho ∀p ≥ p0 thì:
b
ε ε
| ϕε (x)sinpxdx| < + = ε
2 2
a
Vậy lim

b

p→+∞ a

ϕ(x)sinpxdx = 0.

Chứng minh tương tự phần trên ta được lim

b

p→+∞ a

ϕ(x)cospxdx = 0.

Hệ quả: Dãy hệ số Fourier {an } và {bn } của hàm khả tích trên đoạn
[−π, π ] có giới hạn bằng 0 khi n → +∞.

Định lý 2.1: Nếu f (x) là hàm khả tổng và với mỗi x cố định hàm số f (x)

Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán

25