Luận văn sư phạm Điểm bất động và ứng dụng

Khãa luËn tèt nghiÖp

SVTH: Lª ThÞ V©n

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
************

LÊ THỊ VÂN

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG
 
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội, 2013 

SVTH: Lª ThÞ V©n

 

K35G_SP To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LI CM N

Khúa lun ny c thc hin v hon thnh di s hng dn tn
tỡnhcaTS.Nguyn Vn Hựng,ngithyóluụnquantõmngviờnv
truyn cho tụi nhng kinh nghim quớ bỏu trong quỏ trỡnh hon thnh khúa
lun.Tụixinbytlũngkớnhtrngvbitnsõusctithy.
TụixinchõnthnhcmnBGHtrngHSPHNi2,khoaToỏnv
tgiitớchcựngtoỏnthcỏcquýthycụótomiiukinthunlicho
tụiktthỳcttpchngtrỡnhihcvhonthnhkhúalunttnghip.

H Ni, ngy 28thỏng 04 nm 2013
Ngi thc hin

Lờ Th Võn

SVTH: Lê Thị Vân



K35G_SP Toán

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin  cam  đoan  đề  tài do  chính  tôi  nghiên  cứu  và  tìm  hiểu  dưới  sự 
hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng. Đề tài được tôi nghiên cứu và hoàn 
thành  trên  cơ  sở  kế  thừa  và  phát  huy  những  công  trình  nghiên  cứu  có  liên 
quan. Kết quả đề tài không trùng lặp với đề tài nào khác. Nếu sai tôi xin hoàn 
toàn chịu trách nhiệm. 
 
 
Người thực hiện
Lê Thị Vân

SVTH: Lª ThÞ V©n

 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU ......................................................................................... 
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................ 1 
2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................... 2 

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................... 2 
4. Cấu trúc khóa luận .............................................................................. 2 
PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH ....................................................................... 
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................ 
1.1. Không gian metric, không gian metric đầy đủ ............................. 4 
1.2. Tô pô trong không gian metric ..................................................... 6 
1.3. Ánh xạ liên tục ............................................................................ 7 
1.4 .Tập hợp compact và bị chặn ........................................................ 7 
1.5. Không gian vectơ ......................................................................... 8 
1.6. Không gian định chuẩn không gian Banch ................................. 10 
1.7. Tính lồi ...................................................................................... 12 
1.8. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều ....................................... 15 
1.9. Phương trình vi phân thường ..................................................... 16 
CHƯƠNG 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG ..................................................................  
2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach ..................................................... 19 
2.2. Định lý điểm bất động Brouwer ................................................. 22 
2.3. Định lý điểm bất động Schauder ................................................ 29 
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ................. 
3.1. Áp dụng vào phương trình vi phân thường ................................ 31 
3.2. Áp dụng vào phương trình tích phân .......................................... 37 
3.3. Áp dụng vào đại số giải tích ...................................................... 42 
KẾT LUẬN ................................................................................................. 47 
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 48 

SVTH: Lª ThÞ V©n

 

K35G_SP To¸n

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều  bài  toán  khác  nhau  của  khoa  học  kĩ  thuật  đã  dẫn  tới  việc 
nghiên cứu vấn đề sau: 
Cho X là một không gian bất kì nào đó, A là ánh xạ từ tập con M
của  không  gian  X  vào  chính  nó,  xét  phương  trình  phi  tuyến  Ax = x,
xMdưới  các  điều  kiện  cụ  thể  hãy  khẳng  định  sự  tồn  tại  nghiệm  của 
phương trình đó.Điểm x  M thỏa mãn phương trình Ax = x được gọi là 
điểm bất động của ánh xạ A trên tập M. 
Việc nghiên cứu vấn đề trên góp phần đắc lực cho việc giải quyết 
hàng loạt các bài toán trong toán học nói riêng và trong khoa học kĩ thuật 
nói chung. Điều này dẫn tới một hướng nghiên cứu mới trong toán học 
và đã hình thành nên lý thuyết điểm bất động. 
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng 
của  giải  tích  hàm  phi  tuyến.  Ngay  đầu  thế  kỉ  20,  các  nhà  toán  học  đã 
quan tâm đến vấn đề này và cho tới nay có thể khẳng định lý thuyết điểm 
bất  động  đã  phát  triển  hết  sức  sâu  rộng,  trở  thành  công  cụ  không  thể 
thiếu để giải quyết những bài toán khác nhau do thực tế đặt ra. 
Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền với tên tuổi các nhà toán 
học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder... nhưng kết quả 
kinh  điển  của  lý  thuyết  điểm  bất  động  đồng  thời  cũng  là  những  công 
trình  khởi  đầu  cho  lĩnh  vực  này  đó  là  nguyên  lý  ánh  xạ  co  Banach, 
nguyên lý điểm bất động Brouwer được áp dụng ở những lĩnh vực của 
toán học hiện đại như: phương trình vi phân, phương trình tích phân, lý 
thuyết điều khiển, lý thuyết tối ưu hóa… 

SVTH: Lª ThÞ V©n

1 

K35G_SP To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Trờn c s cỏc nguyờn lý c bn trờn im bt ng c phỏt
trintheohaihngchớnh:
Hngthnhtlnghiờncuimbtngcacỏcỏnhxliờn
tc,mulnguyờnlýimbtngBrouwer.
Hngthhailnghiờncuimbtngcacỏcỏnhxdng
co,mulnguyờnlýỏnhxcoBanach.
Vo nhng nm 60 ca th k 20 mt hng mi cú th xem l
trunggiancahaihngtrờnúlvicnghiờncuimbtngca
ỏnhxkhụnggióntrongkhụnggianBanach.
Ttcktqucanhngnghiờncutrờnómanglinhngng
dngrthiuquchongnhtoỏnhchini.
Vỡcỏclýdoúmemólachnti:im bt ng v ng
dng.
2. Mc ớch nghiờn cu
Bculmquenvicụngtỏcnghiờncukhoahcvthchin
khúalunttnghip.
Nghiờn cu mt s vn c bn v im bt ng v vic ỏp
dngnúvongnhtoỏnhchini.

3. Nhim v nghiờn cu
Nghiờn cu mt s nh lý im bt ng trong khụng gian
Banach,khụnggiannhchunhuhnchiu.
Nghiờncuvicỏpdngcỏcnhlýimbtngtrongvicgii
bitpvphngtrỡnhviphõnthng,phngtrỡnhtớchphõnvis
giitớch.
4. Cu trỳc ca khúa lun
Ngoi phn m u v phn kt lun, ni dung chớnh ca khúa
lungm3chng.

SVTH: Lê Thị Vân

2

K35G_SP Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sẽ sử dụng trong 
chương 2 và chương 3. 
Chương 2: Nêu  nguyên  lý  ánh  xạ  co  Banach,  định  lý  điểm  bất 
động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder, chứng minh định lý, các 
ví dụ áp dụng. 
Chương 3:Áp  dụng  các  định  lý  điểm  bất  động  vào  việc  giải 
phương trình vi phân thường, phương trình tích phân và đại số giải tích. 

 

SVTH: Lª ThÞ V©n

3 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric, không gian metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.1
Cho X   ,  ta  gọi  là  một  metric  trong  X  một  ánh  xạ  d  từ  tích 
Descartes XX vào tập số thực  ฀  thỏa mãn 3 tiên đề sau: 

i)(x, y X ) d ( x, y )  0, d ( x, y)  0  x  y (tiên đề đồng nhất) 
ii)(x, y X ) d ( x, y)  d ( y, x) (tiên đề đối xứng) 
iii)(x, y, z X ) d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z, y ) (tiên đề tam ) 
Không gian metric là cặp (X,d) trong đó: 
*  X   được gọi là tập nền 
*d là metric trong X 
*d(x,y) là khoảng cách giữa hai phần tử x, y X
* Các phần tử của X gọi là các điểm 
Ví dụ 1.1.1: 
Cho  X  , x, y X  

0 khi x  y
d ( x, y )  
. 
1 khi x  y
Chứng minh d là metric trong X và (X,d) được gọi là không gian 
metric _ không gian metric rời rạc ( d còn được gọi là metric rời rạc ) 
 Ta có mỗi cặp  ( x, y ) X  X  có duy nhất d(x, y)฀
Ta kiểm tra ánh xạ thỏa mãn các tiên đề metric 
Tiên  đề  1:  d ( x, y)  0 x, y X , d ( x, y )  0 nếu  x  y   thì 

d ( x, y)  1  (trái giảthiết)   x  y, x, y X  
Tiên đề 2: Nếu  x  y thì  y  x nên  d ( x, y)  d ( y, x)  0, x, y X  

SVTH: Lª ThÞ V©n

4 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Nếu  x  y thì  y  x  nên d ( x, y )  d ( y, x)  1, x, y X  
Tiên đề 3:  x, y, z  X  
Nếu x  y thì  d ( x, y)  0  
Ta có  0  d ( x, z )  d ( z, y )  d ( x, y )  
Nếu  x  y thì 

x  y  z thì d ( x, y)  1 d ( x, z )  d ( z, y)  2  

 

x  y, x  z thì d ( x, y)  1  0  1  d ( x, z )  d ( z, y)  
x  y, y  z thì d ( x, y )  1  1  0  d ( x, z )  d ( z, y )  
Vậy  d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z, y ) . 
Định nghĩa 1.1.2.
Cho không gian metric (X,d). 
Dãy hội tụ: Dãy  xn  X gọi  là  hội  tụ  đến  a  X nếu 
(  0) (n0  N * ) :(n  n0 ) thì  d ( xn , a )   , kí hiệu:

 

lim xn  a hay xn  a ( n   )  
n 

Điểm  a còn  được  gọi  là  giới  hạn  của  dãy  ( xn ) trong  không  gian 
metric (X,d) 
Dãy cơ bản :dãy  xn  X gọi  là  dãy  cơ  bản  (  dãy  Cauchy  )  
(  0) ( n0  N * ) :(m , n  n0 ) thì  d ( xn , xm )    (  0) (n0 ฀* ) :

(n  n0 ) ( p  ฀* )   thì  d ( xn  p , xn )   hay  xnlà  dãy  cơ  bản  

lim d ( xm , xn )  0  hoặc  lim d ( xn p , xn )  0, p  1, 2,...  

m , n

n 

Không gian đủ: Không gian metric mà mọi dãy cơ bản đều hội tụ 
được gọi là không gian metric đủ. 

SVTH: Lª ThÞ V©n

5 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

1.2. Tô pô trong không gian metric
Định nghĩa 1.2.1:
Cho không gian (X,d), r > 0, a  X 
Hình cầu mở: Ta gọi B(a, r) = { x  X: d(x,a) < r } là hình cầu mở 
tâm a, bán kính  r. 
Hình cầu đóng: Ta gọi B’(a, r) = { x  X: d(x,a)  r } là hình cầu 
đóng tâm a, bán kính  r. 
Định nghĩa 1.2.2:
Cho không gian (X,d), A  X 
Tập mở: A  được  gọi  là  tập  mở  nếu  x  A thì  x  là  điểm  trong 
của A.
Điểm

trong:

xA  được  gọi  là  điểm  trong  của  Anếu 

  0 : B( x,  )  A . 
Tập đóng: Tập A được gọi là tập đóng nếu X\A = Ac là tập mở. 
Quy ước , X vừa là tập đóng vừa là tập mở. 
Định lý 1.2.1:Trong không gian metric hình cầu đóng là tập đóng, hình 
cầu mở là tập mở. 
Định lý 1.2.2: Cho không gian metric (X,d), F  X. Khi đó
F là tập đóng     xn   F và xn  x thì x  F 
Định lý 1.2.3: Cho (X,d) là không gian metric thì: 
a) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là tập mở: 
G mở     G  là tập mở. 


b) Giao của hữu hạn các tập mở là tập mở: 
n

Gi là tập mở  i = 1, n   G i  là tập mở.  
i 1

 

SVTH: Lª ThÞ V©n

 

6 

K35G_SP To¸n

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

c) Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng: 
n

Fiđóng  i = 1, n   Fi  là tập đóng. 
i 1

d) Giao của một họ tùy ý các tập hợp đóng là tập đóng: 
F đóng  = 1, n   F  là tập đóng.  


1.3. Ánh xạ liên tục
Định nghĩa 1.3.1: 
Ánh  xạ  f: X  Y  từ  không  gian  metric  ( X , d X ) vào  không  gian 
metric  (Y , d Y ) được gọi là liên tục tại x0nếu  (  0),(  0)(x  X ) :
d X ( x, x0 )   thì  d Y ( f ( x ), f ( x0 ))   . 

Ánh  xạ  liên  tục  tại  mọi  điểm  thuộc  A  X  thì  ta  nói  f  liên  tục 
trên A  X.
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm 
x  X. 
Định nghĩa 1.3.2:
Ánh  xạ  f: X  Y  từ  không  gian  metric  ( X , d X ) vào  không  gian 
metric  (Y , d Y ) được gọi là liên tục đều trên A  X nếu  (  0),(  0)

(x, x ' X ) : d X ( x, x ')   thì  dY ( f ( x ), f ( x '))   .
Hiển nhiên ánh xạ f liên tục đều thì liên tục. 

1.4. Tập hợp compact và bị chặn.
Định nghĩa 1.4.1:
Không gian compact: Không  gian  metric  (X,d)  là  không  gian 
compact nếu với mỗi dãy điểm   xn   X ,  xnk   xn  : xnk  x  X (k  ) . 
Tập compact:Tập A  X là tập compact nếu không gian con A là 
không gian compact nghĩa là  

 

 xn   A,  xnk   xn  : xnk  x  A (k  ) . 

SVTH: Lª ThÞ V©n

7 

K35G_SP To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

nh lý 1.4.1: (nhlývtớnhchtcaỏnhxliờntctrờntpcompact)
nhxliờntcf: X Ytkhụnggianmetric ( X , d X ) vokhụng
gianmetric (Y , d Y ) .KltpcompacttrongXththỡ:
1.fliờntcutrờnK
2.f(K)ltpcompacttrongY
nh ngha 1.4.2:
Tp hp b chn: ChoAltphptựyýtrongkhụnggianmetric
(X,d).S (A) Sup d(x, y) cgilngkớnhcatpA,núcúth

x ,yA

lshuhnhocvụhn.Nu(A) Túsuyra:
Abchn B(a,R): A B(a,R).
Tp hon ton b chn: Acgiltphontonbchnnu
0, x j X ( j 1, n) )saocho A

n

B( x , ) .
j 1

j

Tp A Xhontonbchnthỡbchn.
H qu:
Tpconcatphontonbchnltphontonbchn.
Hpcahuhncỏctphontonbchnltphontonbchn.
TrongkhụnggianEuclid k tpAbchnAhontonbchn.
1.5. Khụng gian vect (khụng gian tuyn tớnh)
nh ngha 1.5.1:
GisXlmttphp,Klmttrng(K = )trờncúhai
phộptoỏn+v.thamón8tiờnsau:

1) x, y X : x y y x

2) x, y, z X : ( x y) z x ( y z )

SVTH: Lê Thị Vân

8

K35G_SP Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

3) x  X ,  X : x    x  
4) x  X , x ' X : x  ( x ')   . Kí hiệu:  x  x '    
5) x  X ,  ,   K :  (  ( x))  ( ) x  
6) x, y  X ,   K :  ( x  y)   x   y  
7) x  X ,  ,   K :(   ) x   x   x  
Khi đó X được gọi là không gian vectơ trên trường K. 
Ví dụ 1.5.1 
C[a ,b ] = {x(t) liên tục trên [a,b] } được trang bị hai phép toán 
a ) x , y  C[ a ,b ] : x  y  x (t )  y (t )  
b ) x  C[ a ,b ] ,   ฀ : x   x (t )  

Khi đó nó là không gian vectơ. 
Thật vậy 
1)  x , y  C[a ,b ] : x  y  x (t )  y (t )  y (t )  x (t )  y  x  

2) x, y, z C[a ,b ] : x  ( y  z )  x(t )  ( y (t )  z (t ))
 ( x(t )  y(t ))  z (t )  
 ( x  y)  z
3) x  C[a ,b ] ,  X : x    x (t )    x (t )  x  
4)x  C[ a ,b ] ,   x  C[ a ,b ] : x  (  x )  x (t )  (  x (t ))  x  x    

5) x  C[ a ,b ] ,  ,   ฀ : (  x )   (  x (t ))  ( ) x (t )  ( ) x  

6) x, y C[a,b] ,   ฀ :  ( x  y)   ( x(t )  y(t ))   x(t )   y(t )
x  y

 

7) x  C[a,b] ,  ,   ฀ : (   ) x  (   ) x(t )   x(t )   x(t )
x  x

SVTH: Lª ThÞ V©n

9 

 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

8) x  C[a ,b ] ,   ฀ :  x     x(t )  
  
    


 x(t )  
x  

1.6. Không gian định chuẩn không gian Banach
Định nghĩa 1.6.1:
Không gian định chuẩn:
Giả sử X là không gian vectơ (không gian tuyến tính), ánh xạ 
. :X ฀
x x

 

thỏa mãn các tính chất sau: 
a )  x  X : x  0, x  0  x  0
b )  x  X :   K :  x   x  
c )  x, y  X : x  y  x  y

Khi đó ánh xạ  .  được gọi là một chuẩn xác định trên không gian 
vectơ  X.  Không  gian  X  cùng  với  một  chuẩn  xác  định  trên  nó  là  một 
không gian định chuẩn. Kí hiệu là:  ( X , . ) ,  x  là chuẩn của x X. 
Định nghĩa 1.6.2:
Sự hội tụ:
Dãy điểm {xn} hội tụ đến a trong không gian định chuẩn X 

lim xn  a  0
n 

   0, n0 :n  n0  xn  a  

 

Kí hiệu:  lim xn  a hay xn  a ( n   )  
n

Định nghĩa 1.6.3:
Dãy cơ bản:
Dãy điểmxntrong không gian định chuẩn Xgọi là dãy cơ bản (dãy 
Cauchy)   (  0) ( n0  ฀ ) :(m , n  n0 )  thì  xn  xm    

SVTH: Lª ThÞ V©n

10 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

   (   0) (n0  ฀ ) :(n  n0 ) (p  1, 2,...) thì  xn p  xn   . 
Định nghĩa 1.6.4:
Không gian Banach:
Không gian định  chuẩn  X  là không gian  Banach nếu  mọi dãy  cơ 
bản trong X đều hội tụ. 
Định lý 1.6.1:
Cho không gian định chuẩn X. Với mọi x,y X thì:
a) x  y  x  y
b) Đặt d(x, y)  x  y thì d là metric trong X gọi là metric sinh bởi
(hay metric tương thích với) chuẩn.
Chứng minh
a) Ta có: 
x  ( x  y)  y  x  y  y

 x  y  x y

(1)

y  ( y  x)  x  y  x  x
 x  y  x  y

 

(2)

Từ (1) và (2) ta có:  x  y  x  y  
b) x, y, z X ta có:  d ( x  z, y  z )  d ( x, y)  

x, y X  ( x  y ) X do đó   d ( x , y )  x  y  
Kiểm tra các tiên đề: 
i) x, y X ta có  d ( x , y )  x  y  0  

d ( x, y )  0  x  y  0  x  y  0
x  y

 

ii)x,y X:  
d ( x , y )  x  y  ( 1)( y  x )  1 y  x  y  x  d ( y , x )  

SVTH: Lª ThÞ V©n

11 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

iii) x, y, z X : 
d ( x, y )  x  y  ( x  z )  ( z  y )  x  z  z  y  d ( x, z )  d ( z , y )

Vậy  d ( x , y )  x  y  là một metric 
Từ đó ta suy ra mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành
không gian metric với metric ở định lý trên. Do đó mọi khái niệm mệnh
đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định
chuẩn.
Nhận xét:
 Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy. 
 Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy. 
Định nghĩa 1.6.5:
Tính liên tục: Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường 
K, MX. Khi đó: 
Toán tử A: M  Y được gọi là liên tục theo dãy điểm nếu với mỗi 
dãy {xn} M,n = 1, 2…, sao cho: 
lim xn  x M  
n 

suy ra 
lim Axn  Ax.  
n 

1.7. Tính lồi
1.7.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.7.1:
Giả sử X là một không gian tuyến tính,  ฀  là tập các số thực. Tập A

 X được gọi là lồi nếu 
x1, x1 X,   ฀ :  0    1   x1  (1   ) x2  A . 
 
 

SVTH: Lª ThÞ V©n

12 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Mệnh đề 1.7.1.1:
Giả sử A X ( I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ. Khi 
đó A   A  cũng lồi. 
 I

Chứng minh
Lấy x1, x1 A khi đó x1, x1 A ( I) 

 I, do A là lồi nên   

 x 1  (1   )x 2  A  (  I)  

suy ra 
 x1  (1   )x 2  A (   ฀ :  0    1 ). 

Mệnh đề 1.7.1.2: Giả sử tập  Ai  X  lồi,  i  ฀ (i  1, 2,..., m ).  Khi đó: 

1 A1  2 A2  ...  m Am là tập lồi. 
Mệnh đề 1.7.1.3:
Giả sử X,Y là các không gian tuyến tính, T: X  Y là toán tử tuyến 
tính, khi đó 
a) A  X lồi suy ra T(A) lồi 
b) B  Y lồi suy ra nghịch ảnh T-1(B) của ảnh B là tập lồi. 
Định lý 1.7.1:
Giả sử A  X lồi, x1, x2,…,xm A. Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lồi của 
x1, x2,…,xm. 
1.7.2.Bao lồi và bao đóng
Định nghĩa 1.7.2.1:
Giả sử tập A X, giao của tất cả các tổ hợp chứa A được gọi là bao lồi 
của tập A và kí hiệu là CoA. 
Nhận xét 1.7.2.1: 
a) CoA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A. 
b) A lồi CoA = A. 

SVTH: Lª ThÞ V©n

13 

K35G_SP To¸n

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Định nghĩa 1.7.2.2:
Giả sử tập A X, giao của tất cả các tập lồi, đóng chứa A được gọi là bao 
lồi đóng của tập A và kí hiệu là  CoA . 
Nhận xét 1.7.2.2:
CoA là tập đóng, đó là tập đóng nhỏ nhất chứa A 

Định nghĩa 1.7.2.3:
Cho  M  X, X  là không gian tuyến  tính trên trường  K, khi đó  ta 
định nghĩa:spanM là không gian con tuyến tính nhỏ nhất chứa M. 
1.7.3.Liên tục trên tập compact
Mệnh đề 1.7.3.1:
Cho  M  ฀   là  một  hàm  liên  tục  trên  tập  compact  khác  rỗng  M  của 
không gian định chuẩn X. 
 Khi đó f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên M. 
Mệnh đề 1.7.3.2:
Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng trường K, choA : M

 X  Y là toán tử tuyến tính liên tục trên tập compact khác rỗng M của 
X, khi đó A liên tục đều trên M. 
Định nghĩa 1.7.3:
Toán tử compact: Cho X, Y là các không gian định chuẩn 
Toán tử tuyến tính A: X  Y được gọi là toán tử compact nếu A 
biến tập bị chặn bất kỳ trong X thành tập compact tương đối trong Y. 
Định lý 1.7.3:
 Cho A, B là các toán tử compact: X  Y (X, Y là các không gian định 

chuẩn) thì p, q ta có pA + qB là toán tử compact. 
Chứng minh
Giả sử E là tập bị chặn trong X, {yn} là dãy tùy ý các phần tử của 
tập(pA + qB)(E) {xn}  X: yn = (pA + qB)xn , n = 1, 2… 

SVTH: Lª ThÞ V©n

14 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Vì A là toán tử compact nên tồn tại dãy con  (Ax nk )  (Ax n )  hội tụ 
trong Y 
Vì B là toán tử compact nên tồn tại dãy con  (Bx nk )  ( Bx nk )  hội tụ 
j
trong Y 
dãy ( pA  qB) xnk j  pAx nk j  qBxnk j (j = 1, 2,…) hội tụ trong Y 
hay yn chứa dãy con hội tụ trong Y 
(pA + qB)(E) là tập compact tương đối trong Y 
Vì vậy pA + qB là toán tử compact 
Mệnh đề 1.7.3.3(Định lý xấp xỉ đối với các toán tử compact)
Cho  A : M  X  Y  là  một  toán  tử  compact,  ở  đây  X,  Y  là  các 
không gian Banach trên trường K, M là tập con bị chặn khác rỗng của X. 
Khi đó với mọi n = 1,2,… có một dãy toán tử liên tục An : M  Y sao 
cho 

1
Sup Au  A n u  và dim( Span An ( M ))    
n
uM

Cũng như 
An(M)  CoA(M)
1.8. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều
Định nghĩa 1.8.1: 
Cho  X  là  không  gian  định  chuẩn  n_chiều  trên  trường  K,  n =
1,2,…,m.  Một  cơ  sở  {e1,…,en}  của  X  ta  hiểu  là  tập  hợp  các  phần  tử 
e1,…,en của X sao cho u  X đều có thể biểu diễn dưới dạng 
u  1e1  ...   n en  

Với  1 ,...,  n  ฀ , xác định duy nhất bởi u. Các số  1 ,...,  n  được 
gọi là các phần tử của u 

SVTH: Lª ThÞ V©n

15 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Mệnh đề 1.8.1:
Cho (un) là một dãy trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X

dimX > 0, khi đó un u trong X khi n , nếu và chỉ nếu dãy các thành 
phần tương ứng (với một cơ sơ cố định) hội tụ đến các tọa độ tương ứng 
của u trong X 
Hệ quả 1.8.1: Mỗi không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không 
gian Banach 
Hệ quả 1.8.2: Cho M là một tập con của không gian định chuẩn hữu hạn 
chiều X, khi đó: 
1) M là compact tương đối nếu và chỉ nếu nó bị chặn 
2) M là compact nếu và chỉ nếu nó bị chặn và đóng. 
Mệnh đề 1.8.2:
Cho  M  là  tập  con  khác  rỗng  lồi  và  bị  chặn,  đóng  của  không  gian 
định chuẩn X, ở đây M có một điểm trong khi đó M đồng phôi với hình cầu 
 

B  u X : u  1  

Mệnh đề 1.8.3:
Cho  M  là  tập  khác  rỗng,  lồi,  compact  của  không  gian  định 
chuẩn  hữu  hạn  chiều  X.  Khi  đó  M  đồng  phôi  với  các  N_  đơn  hình 
trongX, N = 1.2… 
1.9. Phương trình vi phân thường
1.9.1. Một số khái niệm:
Phương trình vi phân thường bậc n là một hệ thức có dạng: 
 

F(x,y,y’,y”,…,y(n)) =0   ; (1.4) 

Trong đó: x là biến độc lập, y là hàm số cần tìm,y’,y”,…,y(n) là các 
đạo hàm của hàm số y (y là hàm số của x). 
Cấp  của  phương  trình  là  đạo  hàm  cấp  cao  nhất  có  mặt  trong 

phương trình 

SVTH: Lª ThÞ V©n

16 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Hàm  số  y=(x)được  gọi  là  nghiệm  của  phương  trình  (1.4)  nếu 
thayy = (x),y’=’(x),…, y(n)=(n)(x)  vào  (1.4)  thì  (1.4)  trở  thành  đồng 
nhất thức. 
Hàm số y = (x,c) thỏa mãn (1.4) khi (x,y) chạy khắp D, với mọi 

c฀  
1.9.2. Một số phương trình vi phân đã biết cách giải:
a) Phương trình vi phân có biến số phân li:

dy
 f ( x)  y   f ( x)dx  C  
dx
dy
dy
 f ( y)  
 xC 
dx

f ( y)
M 1 ( x ) N1 ( y ) dx  M 2 ( x ) N 2 ( y ) dy  0



M 1 ( x)
N ( y)
dx  2
dy  0  
M 2 ( x)
N1 ( y)
( M 2 ( x ).N1 ( y )  0)  

b) Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất:

 y
y'  f   
x
Giả thiết hàm số xác định với mọi x 0.Để giải phương trình này 
ta  đặt  u 

y
  sau  đó  đưa  về  việc  giải  phương  trình  vi  phân  có  biến  số 
x

phân li. 
c) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Dạng tổng quát: y’ + P(x) y = Q(x) 
+)  Q(x)  0  thì  gọi  là  phương  trình  tuyến  tính  không  thuần  nhất 
cấp 1 

+) Q(x)  0 thì gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 

SVTH: Lª ThÞ V©n

17 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là: 
y  e

 

 P ( x ) dx

(  Q ( x )e 

P ( x ) dx

dx  C )  

d) Phương trình Bernoulli:
Dạng tổng quát: y’ + P(x) .y = Q(x) .yα 
+) α=1: phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 
+) α=0: phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1 

+) α0, α1: ta chia cả 2 vế của phương trình cho yα 
Sau đó, đặt z=y1-α và đưa về phương trình tuyến tính không thuần nhất. 
e) Phương trình vi phân toàn phần:
Dạng tổng quát:  P(x,y) dx + Q(x,y) dy =0 (1.5)
trong đó : P(x,y) , Q(x,y)  là các hàm số liên tục cùng với các đạo 
hàm riêng trên miền đơn liên D và thỏa mãn :  Q’x(x,y) =P’y(x,y)  trên D. 
Nếu D= ฀2 , giả sử (x0,y0)D thì tích phân tổng quát của (1.5) là: 
x

y

x

y

x0

y0

x0

y0

u ( x, y )   P( x, x0 )dx   Q( x, y)dy   P( x, y )dx   Q( x0 , y )dy  
f)Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần nhất
cấp 1.

 ax  by  c 
dy
 f

 
dx
a
x

b
y

c
 1
1
1 

(1.6) 

- Nếu c=c1=0 thì (1.6) là phương trình thuần nhất cấp 1 
- Nếu  c  0, c1  0,

a b
 0 
a1 b1

 x  x1  
,( ,  _ co nst )  
Đặt  



y
y

1


SVTH: Lª ThÞ V©n

18 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT ĐỘNG
2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach
Định nghĩa 2.1.1:
Ánh xạ co:Ánh  xạ  f:  X  Y từ  không  gian  metric  ( X , d X ) vào 
không gian  metric  (Y , d Y ) được gọi là ánh xạ co nếu [0,1) sao cho 
x, x’X ta đều có: 
d y  f ( x ), f ( x ')    d x ( x, x ')  

 

Hiển nhiên, một ánh xạ co là liên tục đều 
Định lý 2.1.1: Nguyên lý ánh xạ co Banach
Một ánh xạ co f: X  X từ không gian metric đủ (X,dX) vào chính
nó thì có duy nhất một điểm bất động nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm



x  X sao cho f x  x .

Chứng minh
Vì f là ánh xạ co từ X vào chính nó nên [0,1) sao cho x, x’
X ta có: 
d y ( f ( x ), f ( x '))   d x ( x , x ')  

Lấy  x0  X , lập dãy  xn  f ( xn 1 ); n  1, 2,...  
Ta có: 
d ( x2 , x1 )  d ( f ( x1 ), f ( x0 ))   d ( x1 , x0 )  d ( f ( x0 ), x0 )  
d ( x3 , x2 )  d ( f ( x2 ), f ( x1 ))   d ( x2 , x1 )   2 d ( f ( x0 ), x0 )  

………………. 
d ( xn 1 , xn )  d ( f ( xn ), f ( xn 1 ))   d ( xn , xn 1 )   n d ( f ( x0 ), x0 )  

Do đó  p  1,2,...  
d ( xn  p , xn )  d ( xn  p , xn  p 1 )  d ( xn  p 1 , xn  p  2 )  ...  d ( xn 1 , xn )  

SVTH: Lª ThÞ V©n

19 

K35G_SP To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

 ( n p1   n p2  ...   n )d ( f ( x0 ), x0 )   n


1 p
d ( f ( x0 ), x0 )  
1

n
d ( f ( x0 ), x0 )  
1

 n  0 . Suy ra  lim d ( xn  p , xn )  0 p = 1, 2… 
Vì 0 < 1 nên  lim
n 
n 

Do đó {xn} là dãy cơ bản trong không gian metric đủ (X,d) 
 {xn } hội tụ nên   x  X :lim xn  x  X  
n 

Do đó: 
0  d ( f ( x), x)  d ( f ( x), xn )  d ( xn , x )  d ( f ( x ), f ( xn1 ))  d ( xn , x )

 

  d ( x, xn 1 )  d ( xn , x )  0( n  )  

 d ( f ( x), x)  0  f ( x)  x X  
Vậy f có điểm bất động  x . 
 Giả sử x* cũng là điểm bất động của ff(x*) = x* 

Khi đó: 

0  d ( x, x* )  d ( f ( x ), f ( x* ))   d ( x, x* )   [0,1)
 (  1) d ( x, x* )  0   [0,1)

 

 d ( x, x* )  0  
*
*
Mặt khác  d ( x , x * )  0 từ đó ta suy ra  d ( x, x ) = 0  x  x  

Vậy điểm bất động là duy nhất. 
Ví dụ 2.1.1Cho ánh xạ f ánh xạ nửa khoảng  [1, ) vào chính nó 
xác định bằng công thức  f ( x)  x 

1
 
x

f có phải là ánh xạ co không? 
f có điểm bất động không?Vì sao? 

SVTH: Lª ThÞ V©n

20 

K35G_SP To¸n