Luận văn sư phạm Phép biến đổi Laplace và ứng dụng

Khoá lu n t t nghi p đ i h c

M CL C
Trang
L IM

U

2

1. Lí do ch n đ tài

2

2. M c đích nghiên c u

2

3. Nhi m v nghiên c u

2

4. Ph

2

ng pháp nghiên c u

5. C u trúc khóa lu n

2

N I DUNG

4

Ch

4

ng I: M t s khái ni m và k t qu chu n b

1.1. S l

c v gi i tích ph c

1.2. M t s khái ni m c b n c a ph
Ch

4
ng trình và h ph

ng trình vi phân12

ng II: Phép bi n đ i Laplace

20

2.1. Bi n đ i Laplace thu n

20

2.2. Bi n đ i Laplace ng

41

c

Ch

ng III:

ng d ng c a phép bi n đ i Laplace

3.1.

ng d ng gi i ph

3.2.

ng d ng đ tính tích phân suy r ng và tính t ng c a chu i

ng trình vi phân và h ph

57
ng trình vi phân

57
97

B ng đ i chi u g c - nh

106

K T LU N

110

TÀI LI U THAM KH O

111

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

1


Khoá lu n t t nghi p đ i h c

L IM

U

1.Lý do ch n đ tài:
Phép bi n đ i Laplace là m t trong các phép bi n đ i tích phân. Lý
thuy t bi n đ i tích phân ban đ u đ
th

ng, ph

c áp d ng đ gi i ph

ng trình vi phân đ o hàm riêng. Ph

ng trình vi phân

ng trình vi phân là môt

l nh v c c a toán h c c b n, v a mang tính lý thuy t, v a mang tính ng
d ng r ng rãi. Thông th

ng các bài toán ph

các v n đ trong th c t và sau đó ng

ng trình vi phân đ

c rút ra t

i ta tìm ra nó có nhi u ng d ng trong

nhi u l nh v c khác nh trong V t lý, K thu t, X lý tín hi u, Xác su t…
Các sách tham kh o dành cho sinh viên nghiên c u s d ng phép bi n đ i
Laplace vào ph

ng trình và h ph

ng trình vi phân ch a có nhi u. B i v y

vi c nghiên c u phép bi n đ i này là r t c n thi t đ i v i m i sinh viên.
Do v y mà em đã ch n đ tài: ”Phép bi n đ i Laplace và ng d ng” đ th c

hi n khóa lu n t t nghi p đ i h c.
2.M c đích nghiên c u:
B
h n v ph

c đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c và tìm hi u sâu
ng trình và h ph

ng trình vi phân, gi i tích hàm đ c bi t là

phép bi n đ i Laplace.
3.Nhi m v nghiên c u:
Nghiên c u phép bi n đ i Laplace thu n và ngh ch, các ng d ng c a
phép bi n đ i này vào gi i toán.
4.Ph

ng pháp nghiên c u:
Nghiên c u lý lu n, phân tích, t ng h p và đánh giá.

5.C u trúc khóa lu n:
Ngoài ph n M đ u, K t lu n, Tài li u tham kh o, n i dung khóa lu n
g m ba ch

ng :

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

2

Khoá lu n t t nghi p đ i h c
Ch

ng I : M t s khái ni m và k t qu chu n b

Ch

ng II : Phép bi n đ i Laplace

Ch

ng III :

ng d ng c a phép bi n đ i Laplace

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

3


Khoá lu n t t nghi p đ i h c

N I DUNG
CH

NG I: M T S
1.1. S

KHÁI NI M VÀ K T QU CHU N B

L

C V GI I TÍCH PH C

1.1.1. Hàm bi n ph c
1.1.1.1. Khái ni m hàm bi n ph c
là m t t p con c a

Cho

là m t quy lu t đ t t
Ký hi u

ng ng m i

,

+

N u

+

N u

+

t

trong đó

. M t hàm bi n ph c xác đ nh trên
v i m t ph n t

.

.
v im i

thì hàm g i là h u h n.
v im i

thì hàm g i là b ch n.

. Khi đó:

) và

là các hàm c a hai bi n th c g i t

th c và ph n o c a hàm

. Ký hi u :

;

ng ng là ph n

.

1.1.1.2. Hàm s liên t c
Hàm

g i là liên t c t i

,

đ u có:

,
+) N u

n u:

thì đ nh ngh a trên t
,

+) N u hàm s

ng đ

,

ng v i:
.

liên t c t i m i đi m thu c

thì

g i là liên t c trên

+) Hàm
v(x, y) liên t c t i
+) T ng, hi u, tích, th

ng (n u m u khác 0) c a hai hàm s liên t c t i

là hàm s liên t c t i
+) Hàm

.

g i là liên t c đ u trên

n u:

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

4


Khoá lu n t t nghi p đ i h c

,

,

.

1.1.2. HƠm gi i tích:
T p h p
d

g i là lân c n c a

ng nào đ y) n u

( là s

.

Còn t p

g i là lân c n c a đi m xa vô t n.

o hàm c a hàm ph c:

1.1.2.1.

xác đ nh trên mi n ,

Cho hàm

. Cho

có s gia

, khi đó s gia c a hàm là:
thì hàm g i là có đ o hàm t i

N u t n t i và h u h n:
gi i h n đó g i là đ o hàm c a hàm

t i

, ký hi u là

và

.

Nh v y:

có đ o hàm t i

Hàm

thì:

) là vô cùng bé b c cao h n
t i

. Ta g i:
Chú ý:

khi

, do đó

là vi phân c a hàm

c ng kh vi
t i

o hàm c a hàm ph c có các công th c và quy t c tính t

.
ng t

hàm th c.
1.1.2.2. Hàm gi i tích:
1.1.2.2.1.

nh lý Cauchy-Riemann:
kh vi t i đi m

Hàm s

(nh là hàm s c a bi n s ph c ) khi và ch khi các hàm s
kh vi t i

(nh là hàm s giá tr th c c a hai bi n th c , ) và

các đ o hàm riêng c a chúng t i đi m

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

tho mãn đi u ki n:

5


Khoá lu n t t nghi p đ i h c

nh ngh a hàm gi i tích:

1.1.2.2.2.

xác đ nh trên

+) Hàm
n u hàm
đi m t i

g i là gi i tích (hay ch nh hình) t i

có đ o hàm t i m i đi m trong m t lân c n nào đó c a

.
có đ o hàm t i m i

Hay: n u
+) Hàm s

.

g i là hàm gi i tích trên mi n

n u

gi i tích t i

ng h p

là mi n tu ý

m i đi m thu c mi n .
+) Nh n xét:
Ta có th m r ng đ nh ngh a nêu trên t i tr
còn là ánh x t

trong
h n còn

ta nói

b i phép ngh ch đ o. Nh v y khi

vào

gi i tích t i

ta nói gi i tích t i

n u

n u:

,

, còn khi

gi i tích t i 0.
là h u h n.

N u không có gì đ c bi t ta luôn coi
Ví d : Hàm

gi i tích t i

h u

.

N u
N u

.

1.1.3. Tích phơn c a hƠm bi n ph c
1.1.3.1.

nh ngh a và cách tính

- Tích phân c a hàm s
tr

ng L v i các mút a,b và h

xác đ nh, liên t c trên đ
ng t a đ n b, ký hi u

ng cong kh
là gi i h n

c a t ng tích phân:
là các đi m chia
thành

ph n,

- Gi s

là đi m tu ý thu c cung

,

v i

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

6


Khoá lu n t t nghi p đ i h c
V i gi thi t đã cho v hàm s

và v đ

ng cong , ta luôn có:

trong đó ph n th c và ph n o c a v ph i (1.1.1) là các tích phân đ
2 l y trên
- Khi
phân đ

ng t a đ n b.

theo h
là đ

ng lo i

ng cong kh tr

c l y theo h

ng d

ng và đóng thì (1.1.1) có ngh a là tích

ng (h

ng mà khi chuy n đ ng trên L, mi n

h u h n gi i h n b i L luôn n m bên trái).
Nh v y, khi tính tích phân ph c ta có th áp d ng công th c (1.1.1) và khi
tính các tích phân đ

ng lo i 2 t

ng ng ta s d ng các ph

ng pháp đã

bi t.
- N u L là đ

ng cong tr n, có ph

ng trình d ng tham s :

Thì ta có công th c:

là tích phân xác đ nh trên

c a hàm s bi n s th c nh n giá tr ph c.

1.1.3.2. Tích phân Cauchy (m t s đ nh lý quan tr ng)
1.1.3.2.1.

nh lý tích phân Cauchy đ i v i mi n đ n liên

N u hàm s

gi i tích trên mi n D đ n liên và L là đ

ng cong

Jordan đóng, tr n t ng khúc n m trong D thì

1.1.3.2.2.

nh lý tích phân Cauchy đ i v i mi n đa liên

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

7


Khoá lu n t t nghi p đ i h c
N u D là mi n h u h n
các đ

- liên v i biên

g mm ts h uh n

ng cong Jordan đóng, tr n t ng khúc sao cho các mi n đóng h u h n

gi i h n b i

n m hoàn toàn trong mi n h u h n gi i h n b i

và đôi m t không giao nhau, hàm s

gi i tích trên mi n đóng

, th thì:

1.1.3.2.3. Công th c tích phân Cauchy
N u D là mi n h u h n v i biên

c a nó g m m t s h u h n đ

cong Jordan đóng, tr n t ng khúc, hàm s

gi i tích trên

ng
,

là đi m nào đó c a m t ph ng ph c không thu c . Khi đó

nh ngh a tích phân lo i Cauchy:
Tích phân lo i Cauchy là hàm s đ n tr c a bi n z, d ng:

trong đó

là đ

liên t c trên

; là đi m thu c m t ph ng ph c nh ng không thu c .

c bi t, khi đ
b i

ng cong Jordan (đóng ho c không đóng) tr n t ng khúc; f(t)

ng cong

và liên t c trên

đóng, f(t) gi i tích trên mi n D h u h n gi i h n
thì tích phân lo i Cauchy tr thành công

th c tích phân Cauchy:

1.1.3.2.4.

nh lí tính ch t c a tích phân lo i Cauchy

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

8


Khoá lu n t t nghi p đ i h c
V i m i thu c m t ph ng ph c và không thu c , tích phân lo i Cauchy là
hàm gi i tích, có đ o hàm m i c p và đ

c tính theo công th c:

(n = 1,2,3,…)
Chú ý: Trong các đi u ki n c a công th c (1.1.2) công th c (1.1.3) tr thành:

1.1.4. LỦ thuy t chu i vƠ th ng d
1.1.4.1. Chu i Laurent
1.1.4.1.1. nh ngh a chu i Laurent

g it

ng ng là ph n chính và ph n đ u c a khai tri n Laurent.
N u ph n chính có mi n h i t là

, ph n đ u có mi n h i t

thì mi n h i t c a chu i Laurent là:

là

g i là hình vành kh n h i t c a chu i.
N u hàm

gi i tích trong hình vành kh n:

thì trong hình vành kh n này

khai tri n đ

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

c thành chu i Laurent:

9


Khoá lu n t t nghi p đ i h c

trong đó các h s

là duy nh t đ

là đ

(n = 0, ±1, ±2,…;

c tính theo công th c:

ng tròn

)

1.1.4.1.2. Các đi m kì d cô l p
+)

≠ ∞ g i là đi m kì d cô l p c a hàm s

trong lân c n th ng
trong lân c n

gi i tích

,n u

gi i tích

nào đó c a

∞ g i là đi m kì d cô l p c a hàm s

+)

,n u

c a đi m

+) i m kì d cô l p c a

chia thành 3 lo i:



đ

c g i là đi m kì d b đ

cn u



đ

c g i là c c đi m n u



đ

c g i là đi m kì d c t y u n u

không t n t i c

l n trong m t ph ng ph c m r ng

trong m t ph ng ph c

.

1.1.4.2. Th ng d
1.1.4.2.1.

nh ngh a th ng d

Gi s

≠ ∞ là đi m kì d cô l p c a hàm gi i tích

,

là đ

ng

cong Jordan đóng, tr n t ng khúc n m hoàn toàn trong mi n gi i tích c a
sao cho trong mi n h u h n D v i biên
khác ngoài

.

Tích phân
d c a

không ch a đi m kì d cô l p nào

l y d c L theo h

t i đi m kì d cô l p

ng d

ng đ

c g i là th ng

, kí hi u là:

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

10


Khoá lu n t t nghi p đ i h c

t i đi m kì d cô l p

Th ng d c a
l yd cđ

ng tròn

ng d

theo h

xác đ nh b i tích phân

ng:

(R>0 đ l n)
1.1.4.2.2. Các đ nh lý v th ng d


trong đó

nh lý c b n v th ng d

gi i tích trên mi n

(tr m t s h u h n đi m kì d cô l p

thu c ), liên t c trên

N u

nh lý th ng d toàn ph n
gi i tích trên m t ph ng ph c

tr các đi m kì d cô l p

, thì:

Các h th c (1.1.4), (1.1.5) th

ng hay s d ng khi tính tích phân ph c.

1.1.4.2.3. Tính th ng d
(h s c a
t i lân c n đi m

)
(h s c a

c n đi m
b)

trong khai tri n Laurent c a

trong khai tri n Laurent c a

t i lân

= ∞)
là đi m c c đi m c p m thì:

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

11

Khoá lu n t t nghi p đ i h c

Ví d : Tính th ng d c a các hàm t i các đi m b t th

ng khác ∞.

là c c đi m đ n)

(

1.2. MÔT SÔ KHAI NIểM C
PH
1.2.1. Ph
1.2.1.1.
Ph

NG TRINH VA Hể

NG TRINH VI PHỂN

ng trình vi phơn c p m t
nh ngh a
ng trình vi phân c p m t có d ng t ng quát là:

Nghi m c a ph
vào ph

BAN CUA PH

ng trình (1.2.1) là hàm

ng trình (1.2.1) thì ta đ

có tính ch t khi th

c m t đ ng nh t th c.Ph

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

ng trình (1.2.1)

12


Khoá lu n t t nghi p đ i h c
có vô s nghi m. Quá trình tìm các nghi m c a ph
là s tích phân ph

cg i

ng trình đó.

N u t (1.2.1) ta gi i đ
thì (1.2.2) đ

ng trình (1.2.1) đ

c g i là ph

c

ngh a là (1.2.1) có d ng:

ng trình vi phân c p 1 đã gi i ra đ i v i đ o hàm.

1.2.1.2. Bài toán Cauchy
Trong th c t ng
ph

i ta th

ng không quan tâm đ n t t c các nghi m c a

ng trình mà ch chú ý đ n nh ng nghi m tho mãn đi u ki n nào đó.
c a ph

Ch ng h n đòi h i tìm nghi m

ng trình (1.2.1) ho c ph

trình (1.2.2) tho mãn đi u ki n:
tr cho tr

; trong đó

ng

là các giá

c.

Bài toán đ t ra nh v y g i là bài toán Cauchy. i u ki n (1.2.3) đ
g i là đi u ki n ban đ u;

c

là các giá tr ban đ u.

Chú ý: Bài toán Cauchy không ph i bao gi c ng có nghi m.
Ví d : Tìm nghi m c a ph

ng trình

tho mãn đi u ki n ban đ u:

.

Ta d th y nghi m c a bài toán là hàm

.

1.2.1.3. Nghi m t ng quát
Gi s trong mi n G c a m t ph ng (x, y) nghi m c a bài toán Cauchy
đ i v i ph
đ

ng trình (1.2.2) t n t i và duy nh t. Hàm s :

c g i là nghi m t ng quát c a ph

ng trình (1.2.2) trong G n u trong

mi n bi n thiên c a x và C nó có đ o hàm riêng liên t c theo x và tho mãn
các đi u ki n sau:
a) T h th c (1.2.4) ta có th gi i đ

b) Hàm

tho mãn ph

c C:

ng trình (1.2.2) v i m i giá tr c a

xác

đ nh t (1.2.5) khi (x, y) bi n thiên trong . N u nghi m t ng quát c a

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

13


Khoá lu n t t nghi p đ i h c

ph

ng trình (1.2.2) đ

thì nó đ

c cho d

i d ng n:

c g i là tích phân t ng quát.

1.2.1.4. Nghi m riêng
Nghi m c a ph

ng trình (1.2.2) mà t i m i đi m c a nó tính duy nh t

nghi m c a bài toán Cauchy đ
Nghi m nh n đ

cb ođ mđ

c g i là nghi m riêng.

c t nghi m t ng quát v i giá tr c th c a h ng s

là

nghi m riêng.
1.2.1.5. Nghi m k d
Nghi m c a ph

ng trình (1.2.2) mà t i m i đi m c a nó tính duy nh t

nghi m c a bài toán Cauchy b phá v đ
Nh v y nghi m nh n đ

c g i là nghi m k d .

c t nghi m t ng quát v i giá tr c th c a h ng s

không th cho ta nghi m k d . Nghi m k d có th nh n đ
t ng quát ch khi

c t nghi m

. Ngoài ra chúng ta còn có nghi m h n h p t c là

nghi m bao g m m t ph n nghi m riêng và m t ph n nghi m k d .
1.2.1.6. Ph
+) Ph
Ph

ng trình vi phân
ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t c p 1:

ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t c p 1 có d ng

có nghi m t ng quát d ng:

ho c d

i d ng Cauchy:

+) Ph
Ph

ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t c p 1:

ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t c p 1 có d ng:

có nghi m t ng quát d ng:

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

14


Khoá lu n t t nghi p đ i h c
ho c d

i d ng Cauchy:

ng trình vi phơn c p cao

1.2.2. Ph
1.2.2.1.
Ph

Hàm

nh ngh a
ng trình vi phân c p n có d ng t ng quát:

xác đ nh trong m t mi n

N u t (1.2.6) ta có th gi i ra đ
thì (1.2.7) đ

c g i là ph

.
ngh a là nó có d ng:

c

ng trình vi phân c p n đã gi i ra đ i v i đ o hàm

c p cao nh t.
Nghi m c a ph

ng trình (1.2.6) là hàm

kh vi n l n trên kho ng

(a, b) sao cho:
a)
b) Nó nghi m đúng ph

ng trình (1.2.6) trên (a, b)

1.2.2.2. Bài toán Cauchy
Tìm nghi m c a ph

ng trình (1.2.6) ho c (1.2.7) tho mãn đi u ki n

ban đ u:

trong đó
là các s cho tr

c và đ

c g i là các giá tr ban đ u.

1.2.2.3. Nghi m t ng quát
Ta gi thi t r ng

là mi n t n t i và duy nh t nghi m c a ph

ng trình

(1.2.7), t c là nghi m bài toán Cauchy t n t i và duy nh t đ i v i m i đi m
.

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

15


Khoá lu n t t nghi p đ i h c
xác đ nh trong mi n bi n thiên c a các bi n

Hàm

có t t c các đ o hàm riêng theo x liên t c đ n c p n đ
là nghi m t ng quát c a ph
ph

ng trình (1.2.7) trong mi n

n u trong

cg i
t h

ng trình:

ta có th xác đ nh đ

c:

là nghi m c a ph

và hàm

ng trình (1.2.7) ng v i

xác đ nh t (1.2.8) khi

m ih

bi n thiên

trong .
1.2.2.4. Tích phân t ng quát
Khi gi i ph

ng trình (1.2.7) nhi u khi ta đ

c nghi m t ng quát d

i

d ng n:
và đ

c g i là tích phân t ng quát c a ph

H th c (1.2.9) đ
mi n
c a ph

ng trình (1.2.7).

c g i là tích phân t ng quát c a ph

ng trình (1.2.7) trong

n u nó xác đ nh nghi m t ng quát:
ng trình đó trong mi n .

1.2.2.5. Nghi m riêng
Nghi m c a ph

ng trình (1.2.7) mà t i m i đi m c a nó tính duy nh t

nghi m c a bài toán Cauchy đ

cb ođ mđ

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

c g i là nghi m riêng c a

16


Khoá lu n t t nghi p đ i h c
ng trình (1.2.7). Nghi m nh n đ

ph

c t nghi m t ng quát v i các giá tr
là nghi m riêng.

xác đ nh c a các h ng s
1.2.2.6. Nghi m k d
Nghi m c a ph

ng trình (1.2.7) mà t i m i đi m c a nó tính duy nh t

nghi m c a bài toán Cauchy b phá v đ
Nghi m k d c a ph

c g i là nghi m k d .

ng trình vi phân c p n có th là c m t h ph

thu c m t s h ng s tu ý, nh ng s h ng s tu ý này không đ

c quá

.
Ví d : Xét ph

và coi là hàm s m i ph i tìm ta đ

t

Ph

ng trình

c:

ng trình này có nghi m t ng quát là:
do đó nghi m t ng quát c a ph

nên ta có

Vì

ng trình

đang xét là:

Ph

ng trình (1.2.10) là ph

Cho nên ph

ng trình vi phân c p 1 có nghi m k d là

ng trình đang xét có h nghi m k d ph thu c m t h ng s tu

ý, ngh a là
1.2.3. H ph
1.2.3.1.

ng trình vi phân

nh ngh a

H ph

ng trình vi phân d ng chu n t c là h có d ng:

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

17

Khoá lu n t t nghi p đ i h c

là các hàm c a mà chúng ta c n tìm;

đây
hàm cho tr

c xác đ nh và liên t c trong m t mi n
,s nđ

nào đó c a các bi n

c g i là b c c a h (1.2.11).

T p h p n hàm
kho ng (a, b) đ

là các

xác đ nh và kh vi liên t c trên

c g i là nghi m c a h (1.2.11) trên kho ng đó n u khi thay

chúng vào h (1.2.11) ta đ

c n đ ng nh t th c v i m i

.

1.2.3.2. Bài toán Cauchy

Tìm nghi m

c a h (1.2.11) tho mãn đi u ki n ban
là các s cho tr

trong đó

c mà ta g i là đi u ki n

ban đ u.
Nói chung bài toán Cauchy không ph i bao gi c ng có nghi m, ho c có
nghi m nh ng nghi m có th không duy nh t. Tuy nhiên ng
minh đ

i ta đã ch ng

liên t c trong

c r ng n u

thì

bài toán Cauchy luôn luôn có nghi m (đ nh lý Pêanô).
1.2.3.3. Nghi m t ng quát
H n hàm kh vi liên t c theo x, ph thu c n h ng s tu ý

đ

c g i là nghi m t ng quát c a h (1.2.11)

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

trong mi n

.

n u:

18


Khoá lu n t t nghi p đ i h c
a)

ng v i m i

t h (1.2.12) (sau khi đã thay

b ng

) ta có th xác đ nh đ

b) H hàm (1.2.12) nghi m đúng h ph

c các h ng s :

ng trình (1.2.11) v i

xác đ nh t (1.2.13).
1.2.3.4. Tích phân t ng quát

H hàm:

đ

c g i là tích phân t ng quát c a h (1.2.11) trong mi n

n u nó xác đ nh

nghi m t ng quát c a h (1.2.11) trong .
1.2.3.5. Nghi m riêng
Nghi m c a h (1.2.11) mà t i m i đi m c a nó tính duy nh t nghi m
c a bài toán Cauchy đ
đ

cb ođ mđ

c g i là nghi m riêng. Nghi m nh n

c t nghi m t ng quát v i các h ng s

xác đ nh t (1.2.13) là

nghi m riêng.
1.2.3.6. Nghi m k d
Nghi m c a h (1.2.11) mà t i m i đi m c a nó tính duy nh t nghi m
c a bài toán Cauchy b phá v đ
1.2.3.7. H ph
H ph

c g i là nghi m k d .

ng trình vi phân tuy n tính

ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t có d ng:

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

19


Khoá lu n t t nghi p đ i h c

H ph

ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t có d ng:

CH

NG II: PHÉP BI N
2.1 BI N

I LAPLACE

I LAPLACE THU N

nh ngh a vƠ ví d hƠm g c

2.1.1.

Hàm bi n s th c

đ

c g i là hàm g c n u th a mãn 3 đi u ki n sau

đây:
liên t c t ng khúc trên m i kho ng h u h n c a tr c th c .

(1)
(2)

khi
t ng không nhanh h n hàm s m , ngh a là tìm đ

(3)

c các s

sao cho v i m i ta đ u có:
S inf

,v it tc

th a mãn (3) đ

c g i là ch s t ng c a .

Ví d 1: Ch ng minh r ng hàm đ n v sau đây là hàm g c.

Gi i:

i u ki n (1) và (2) rõ ràng đ
th l y

c th a mãn.

i v i đi u ki n (3) ta có

s có ngay:

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

20


Khoá lu n t t nghi p đ i h c

V y

là hàm g c.

Ví d 2: Ch ng minh r ng hàm s sau đây là hàm g c:

Gi i:
i u ki n (1) và (2) rõ ràng đ

c th a mãn.

i v i điêu ki n (3), ta th y r ng:

nên khi

, rõ ràng

hay

.

T đó suy ra v i m i t ta đ u có:
có ngh a là đi u ki n (3) đ

c th a mãn,

đây coi

.

Ví d 3: Hàm s sau đây có ph i là hàm g c hay không?

Gi i:
i u ki n (1) và (2) rõ ràng đ
ý khi

n u

c th a mãn.

là hàm g c thì:

i v i đi u ki n (3), ta chú
sao cho:

đây là m t đi u mâu thu n vì:

Ví d 4: Hàm:

là hàm g c. Th t v y:
+

i u ki n (1), (2) rõ ràng đ

c th a mãn.

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

21


Khoá lu n t t nghi p đ i h c
+ V i đi u ki n (3) ta có th l y
.

Vì:

nh ngh a vƠ ví d phép bi n đ i Laplace

2.1.2.

Cho hàm s g c
đ

, ta g i hàm s ph c

c a bi n s ph c

c xác đ nh b ng công th c sau đây:

là hàm nh c a hàm

hay là phép bi n đ i Laplace c a hàm

Kí hi u:

ho c

.

.

Chú ý:
ch xác đ nh trong mi n

+ Hàm nh

và là hàm gi i

tích trong mi n đó.
+ Còn có th ch ng minh đ
nên nh ng hàm

c khi

thì

. Cho

nào không th a mãn đi u ki n này s không ph i

là hàm nh c a m t hàm g c nào c .
Ch ng h n
n ul y

T

không ph i là hàm nh c a hàm g c nào c vì
thì khi

ng t c ng d th y các hàm:

, nh ng khi đó:

ta s có

,

,

,…không ph i là nh c a hàm

g c nào c .
Ví d 1: Xét hàm s đ n v :

Bi n đ i Laplace c a là:

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

22


Khoá lu n t t nghi p đ i h c
Ví d 2: Xét hàm m :
Bi n đ i Laplace c a là:

v i
Ví d 3: Hàm l y th a:
nh sau:

Bi n đ i Laplace c a hàm

(s d ng tích phân t ng ph n).
Ví d 4: Tìm nh c a hàm g c:

Hàm nh c a hàm g c

là:

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

23

Khoá lu n t t nghi p đ i h c
2.1.3. Các đ nh lý và tính ch t c a phép bi n đ i Laplace
2.1.3.1

nh lý

Cho là hàm g c có ch s t ng

. Khi đó bi n đ i Laplace

c a hàm

là hàm gi i tích trong mi n
Ch ng minh:
t

+

thì dãy

c a hàm đ nh b i:

h it đ uv

trên mi n

v i

b t

k .
Th t v y:

ta có:

do b t đ ng th c trên không ph thu c vào
suy ra

h it đ uv

+ Ngoài ra, v i m i

trong mi n

nên

gi i tích trên mi n

. S d ng

trên mi n đó.

đ nh lý h i t v ch n Lebesgue ta có:

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

24


Khoá lu n t t nghi p đ i h c

V y suy ra

gi i tích trên mi n

.

2.1.3.2. Tính ch t tuy n tính
Cho hàm g c
là

có các ch s t ng

, bi n đ i Laplace

. Khi đó bi n đ i Laplace c a hàm t h p tuy n tính c a

các hàm
là hàm đ nh b i:

v i mi n xác đ nh

.

Ch ng minh:
Ta có:

Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán

25