CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
TOÁN 11
1D2-3
NHỊ THỨC NEWTON VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Mục lục
Phần A. CÂU HỎI .......................................................................................................................................................... 2
Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton ............................................................................................................. 2
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton.......................................................................................... 3
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức ............................................................................................................................. 3
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng ............................................................................................... 3
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k ...................................................................................................... 4
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n ............................ 5
Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) ................................................................................ 8
Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức .................................................................................................................... 11
n
Dạng 2.2.1 Dạng a1 a2 ...ak ........................................................................................................... 11
n
m
h
Dạng 2.2.2 Tổng a1 b1 a2 b2 ... ak bk ......................................................................... 12
l
m
Dạng 2.2.3 Tích a1 .. an . b1 ... bn ........................................................................................... 12
Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng ..................................................................................................... 13
Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán ............................................................................................................ 13
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................. 14
Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton ........................................................................................................... 14
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton........................................................................................ 16
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức ........................................................................................................................... 16
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng ............................................................................................. 16
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k .................................................................................................... 18
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n .......................... 20
Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) .............................................................................. 27
Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức .................................................................................................................... 31
n
Dạng 2.2.1 Dạng a1 a2 ...ak ........................................................................................................... 31
m
n
h
Dạng 2.2.2 Tổng a1 b1 a2 b2 ... ak bk ......................................................................... 33
m
l
Dạng 2.2.3 Tích a1 .. an . b1 ... bn ........................................................................................... 35
Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng ..................................................................................................... 35
Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán ............................................................................................................ 36
Nguyễn Bảo Vương: />
1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Phần A. CÂU HỎI
Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton
Câu 1.
(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Số số hạng trong khai triển
50
x 2 là
A. 49 .
Câu 2.
B. 50 .
D. 51 .
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức
2018
2 x 3
A. 2019 .
Câu 3.
C. 52 .
B. 2017 .
C. 2018 .
D. 2020 .
5
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn x y .
A. x5 5 x 4 y 10 x 3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
C. x5 5 x 4 y 10 x3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
B. x5 5 x 4 y 10 x 3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
D. x5 5 x 4 y 10 x 3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
Câu 4.
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
(3 2 x)2019 có bao nhiêu số hạng?
A. 2019 .
B. 2018 .
C. 2020 .
D. 2021 .
Câu 5.
Từ khai triển biểu thức x 1 thành đa thức. Tổng các hệ số của đa
thức là
A. 1023 .
B. 512 .
C. 1024 .
D. 2048 .
Câu 6.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Từ khai triển biểu thức x 1
thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là
A. 1023 .
B. 512 .
C. 1024 .
D. 2048 .
Câu 7.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Tính tổng các hệ số trong khai
2018
triển 1 2x .
10
10
A. 1.
B. 1.
C. 2018 .
D. 2018 .
Câu 8.
(THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Khai triển ( 5 4 7)124 . Có bao nhiêu số
hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
A. 30 .
B. 31 .
C. 32 .
D. 33 .
Câu 9.
(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Trong khai triển nhị thức newton của
P( x) ( 3 2 x 3)2018 thành đa thức,có tất cả có bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương?
A. 673.
B. 675.
C. 674.
D. 672.
Câu 10.
(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Trong khai triển 1 2 x a0 a1 x a2 x 2 ... a20 x 20 .
20
Giá trị của a0 a1 a2 bằng
A. 801.
B. 800.
Câu 11.
C. 1.
D. 721.
(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai
triển của biểu thức
A. 136 .
3
35 5
2019
?
B. 403 .
C. 135 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 134 .
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
2019
Câu 12.
1 1
1 1
(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Trong khai triển của x 15 y 3 x 3 y 5 , số hạng mà lũy thừa
của x và y bằng nhau là số hạng thứ bao nhiêu của khai triển?
A. 1348 .
B. 1346 .
C. 1345 .
D. 1347 .
20
Câu 13. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho khai triển 1 2x a0 a1 x a2 x 2 a20 x20 . Giá trị của
a0 a1 a2 a20 bằng:
B. 320 .
A. 1.
D. 1.
C. 0 .
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng
Câu 14.
(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển nhị thức
12
2
(với x 0 ) là:
x
x x
A. 376 .
B. 264 .
Câu 15.
C. 264 .
D. 260 .
(HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Tìm hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai
13
1
triển nhị thức x , (với x 0 ).
x
A. 1716.
B. 68.
Câu 16.
C. 176.
D. 286.
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Hệ số của x31 trong khai triển
40
1
x 2 , x 0 là.
x
4
A. C40 .
Câu 17.
B. C402 .
3
C. C40
.
5
D. C40
.
1 3
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Hệ số lớn nhất trong khai triển x
4 4
9
27
27
27
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
32
32
64
128
n
Câu 18.
(HKI-Chu Văn An-2017) Cho biết hệ số của x 2 trong khai triển 1 2 x bằng 180 .Tìm n .
A. n 8 .
B. n 12 .
C. n 14 .
D. n 10 .
Câu 19.
(HKI-Chu Văn An-2017) Tìm hệ số của x 7 trong khai triển 1 x .
A. 90 .
B. 720 .
C. 120 .
D. 45 .
Câu 20.
4
10
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm hệ số h của số hạng chứa x 5 trong khai triển
7
2 2
x .
x
A. h 84 .
B. h 672 .
C. h 560 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. h 280 .
3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 21.
ĐT:0946798489
6
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển
15
2
Newton x 2 là
x
A. 3640 .
Câu 22.
B. 3640 .
C. 455.
D. 1863680
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tìm hệ số của x 25 y10 trong
15
khai triển x 3 xy .
A. 58690.
B. 4004.
C. 3003.
D. 5005.
6
2
Câu 23. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển x
với x 0 . Tìm hệ số của
x
số hạng chứa x 3 trong khai triển trên
A. 80 .
B. 160 .
C. 240 .
D. 60 .
6
2
Câu 24. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển x
với x 0 . Tìm hệ số của
x
số hạng chứa x 3 trong khai triển trên
A. 80 .
B. 160 .
C. 240 .
D. 60 .
Câu 25.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Biết hệ số của x 2 trong khai
n
triển của 1 3 x là 90 . Tìm n .
A. n 7 .
B. n 6 .
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k
Câu 26.
C. n 8 .
D. n 5 .
15
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Số hạng thứ 13 trong khai triển 2 x
bằng?
A. 3640x13 .
B. 3640x12 .
C. 420x12 .
D. 3640 .
9
Câu 27.
Câu 28.
1
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển x .
2x
1
1
A. C93 x 3 .
B. C93 x 3 .
C. C93 x 3 .
D. C93 x 3 .
8
8
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển
13
1
x .
x
A. C133 .
Câu 29.
B. C133 x 7 .
C. C134 x 7 .
D. C134 .
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm số hạng chứa x 31 trong khai triển
40
1
x 2 ?
x
4 31
A. C 40x .
Câu 30.
B. C 4037x 31 .
37 31
x .
C. C 40
D. C 403 x 31 .
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số hạng chứa x 34 trong khai
1
triển x
x
40
là
Nguyễn Bảo Vương: />
4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
37
40
34
A. C x .
Câu 31.
ĐT:0946798489
3
40
34
B. C x .
2
40
34
4
40
C. C x .
34
D. C x .
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Biết hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai
n
triển 1 4 x là 3040 . Số tự nhiên n bằng bao nhiêu?
A. 28 .
B. 26 .
C. 24 .
D. 20 .
Câu 32. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Biết hệ số của x 2 trong khai
n
triển của 1 3x là 90 . Tìm n .
A. n 5 .
Câu 33.
B. n 8 .
C. n 6 .
D. n 7 .
n
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho biết hệ số của x 2 trong khai triển 1 2 x bằng 180
. Tìm n .
A. n 12 .
B. n 14 .
C. n 8 .
D. n 10 .
Câu 34. (THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của
5
2
biểu thức 3x 3 2 .
x
A. 810 .
B. 826 .
D. 421 .
C. 810 .
Câu 35. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x31 trong khai triển
40
1
x 2 .
x
37
A. C40
.
31
B. C 40
.
4
C. C40
.
D. C402 .
6
2
3
Câu 36. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Trong khai triển x
, hệ số của x x 0 là:
x
A. 80 .
B. 160 .
C. 240 .
D. 60 .
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n
Câu 37.
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn
n
3
Cn0 2.Cn1 2 2.Cn2 ... 2 n.Cnn 59049 . Biết số hạng thứ 3 trong khai triển Newton của x 2
x
81
có giá trị bằng
n . Khi đó giá trị của x bằng
2
A. 1
B. 2 .
C. 1
D. 2 .
n
1
Câu 38. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho nhị thức 2 x 2 3 , trong đó số nguyên dương n
x
5
3
thỏa mãn An 72n . Tìm số hạng chứa x trong khai triển.
A. 26 C104 x5 .
Câu 39.
B. 25 C105 x5 .
C. 27 C103 x5 .
D. 26 C107 x5 .
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
n
3
Newton của 2 x 2 x 0 , biết rằng 1.Cn1 2.Cn2 3.Cn3 ... n.Cnn 256n ( Cnk là số tổ hợp
x
chập k của n phần tử).
A. 489888
B. 49888 .
C. 48988 .
D. 4889888 .
Nguyễn Bảo Vương: />
5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 40.
ĐT:0946798489
n
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho khai triển 1 3 x a0 a1 x1 ... an x n
a
a
trong đó n * và các hệ số thỏa mãn hệ thức a0 1 ... nn 4096 . Tìm hệ số ai lớn nhất.
3
3
A. 1732104.
B. 3897234.
C. 4330260.
D. 3247695 .
3 n 1
1
Câu 41. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm hệ số của x trong khai triển x3
x
2
2
với x 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3Cn 1 nP2 4 An .
6
A. 210 x6 .
C. 120 x 6 .
B. 210.
D. 120.
3
Câu 42. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 2 x 2
x
2
14
1
x 0 , biết rằng 2 3 Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Cn 3Cn n
A. 326592 .
B. 3265922
C. 3265592
D. 32692 .
n
6
Câu 43.
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Tìm số hạng chứa x 26 trong khai triển
n
1
1
2
n
20
7
4 x biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức C2 n 1 C2 n 1 ... C2 n1 2 1 .
x
A. 325 .
B. 210 .
C. 200 .
D. 152 .
Câu 44.
(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Với n là số tự nhiên thỏa mãn Cnn46 nAn2 454
n
2
, hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của x 3
x
( với x 0 ) bằng
A. 1972 .
B. 786 .
C. 1692 .
D. 1792 .
4
Câu 45. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1 Cn3 13n ,
n
1
hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của biểu thức x 2 3 bằng.
x
A. 120 .
B. 252 .
C. 45 .
D. 210 .
5
Câu 46.
(THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
n
3
A C C 4n 6 . Hệ số của số hạng chứa x của khai triển biểu thức P x x 2 bằng:
x
A. 18564 .
B. 64152 .
C. 192456 .
D. 194265 .
2
n
2
n
1
n
9
Câu 47. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cnn 1 Cnn 2 78
n
2
, số hạng chứa x 8 trong khai triển x 3 là
x
8
A. 101376x .
B. 101376 .
C. 112640 .
D. 101376x 8 .
Câu 48. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn
n
3Cn31 3 An2 52 n 1 . Trong khai triển biểu thức x 3 2 y 2 , gọi Tk là số hạng mà tổng số mũ
của x và y của số hạng đó bằng 34 . Hệ số của Tk là
A. 54912 .
B. 1287 .
C. 2574 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 41184 .
6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 49.
ĐT:0946798489
1
n
(SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C Cn2 5 . Tìm hệ
n
1
số a của x 4 trong khai triển của biểu thức 2 x 2 .
x
A. a 11520 .
B. a 256 .
C. a 45 .
D. a 3360 .
Câu 50. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn
2n
1
3 Ann 2 Cn3 40 . Hệ số của x 6 trong khai triển 2 x là
x
A. 1024 .
B. 1024 .
C. 1042 .
Câu 51.
D. 1042 .
(THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Với n là số nguyên
3
dương thoả mãn A 3C 120 , số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức x4
x
bằng
A. 295245 .
B. 245295 .
C. 292545 .
D. 259254 .
2
n
Câu 52.
n
1
n
(THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển
2n
n x
nhị thức Niutơn của , x 0 , biết số nguyên dương n thỏa mãn Cn3 An2 50.
2x 2
97
29
297
279
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
51
512
215
Câu 53.
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
n
3
của 2 x 2
x
của n phần tử).
A. 489888 .
Câu 54.
x 0 , biết rằng 1.Cn1 2.Cn2 3.Cn3 ... nCnn 256n
B. 49888 .
C. 48988 .
D. 4889888 .
n
(THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) Giả sử có khai triển 1 2 x a0 a1 x a2 x 2 ... an x n
. Tìm a5 biết a0 a1 a2 71.
A. 672 .
B. 672 .
Câu 55.
( Cnk là số tổ hợp chập k
C. 627 .
D. 627 .
(CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
n
2
A C 10 , tìm hệ số a5 của số hạng chứa x trong khai triển x 2 3 với x 0 .
x
5
5
A. a5 10 .
B. a5 10 x .
C. a5 10 x .
D. a5 10 .
2
n
Câu 56.
3
n
(HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển 1 3x
An3 2 An2 100
A. 61236 .
Câu 57.
5
B. 63216 .
C. 61326 .
2n
biết
D. 66321 .
(CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
n
n
3n Cn0 3n 1 Cn1 3n 2 Cn2 ..... 1 Cnn 2048 . Hệ số của x10 trong khai triển x 2 là:
A. 11264 .
B. 22 .
C. 220 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 24 .
7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
n
Câu 58.
Câu 59.
1
(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Trong khai triển 3x 2 biết hệ số của x 3 là 34 C n5
x
. Giá trị n có thể nhận là
A. 9 .
B. 12 .
C. 15 .
D. 16 .
(THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển
n
1
n
n 1
5
3 x ; x 0 biết Cn 4 Cn 3 7 n 3 là
x
B. 313 .
C. 495 .
A. 1303 .
D. 13129 .
n
1
Câu 60. (CTN - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton 2 x 5 với x 0
x
4
5
, biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn An 18 An 2 .
A. 8064 .
B. 3360 .
C. 13440 .
D. 15360 .
4
Câu 61.
(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n
2 1
2
2
x biết An Cn 105 .
x
A. 3003 .
B. 5005 .
Câu 62.
D. 3003 .
(THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của
2n
2 3x , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: C20n1 C22n1 C24n1 ... C22nn1 1024 .
A. 2099529 .
Câu 63.
C. 5005 .
B. 2099520 .
C. 1959552 .
D. 1959552 .
[HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018] Biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cnn 1 Cnn 2 78
n
2
, số hạng chứa x 8 trong khai triển x 3 là
x
8
A. 101376x .
B. 101376 .
C. 112640 .
D. 101376x 8 .
n
2
Câu 64. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Tìm số hạng chứa x trong khai triển x ,
x
4
biết n là số tự nhiên thỏa mãn Cn3 n 2Cn2
3
A. 134
B. 144
C. 115
D. 141
5
2
Câu 65. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển x 3
x
n2
n 1
, biết n là sô nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 78 .
A. 112640 .
B. 112643 .
C. 112640 .
D. 112643 .
Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập)
n
9
8
Câu 66. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Trong khai triển x 2 , số hạng không
x
chứa x là
A. 40096.
B. 43008.
C. 512.
D. 84.
Nguyễn Bảo Vương: />
8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 67.
ĐT:0946798489
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số hạng độc lập với x trong
8
2
khai triển x 3 là
x
A. 1792 .
Câu 68.
B. 792 .
C. 972 .
D. 1972 .
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
12
3 1
x .
x
A. 220 .
Câu 69.
B. 220 .
C. 924 .
D. 924 .
(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho x là số thực dương, số
30
2
hạng không chứa x trong khai triển nhị thức x
là
x
10
A. 2 20 .
B. 220 C30
.
C. 210 C3020 .
Câu 70.
D. C3020 .
(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Số hạng không chứa x trong
45
khai triển x 1 là
x2
5
5
15
15
A. C45
.
B. C45
.
C. C45
.
D. C45
.
10
2
Câu 71. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Số hạng không chứa x trong khai triển x
x
là
A. C105 .
B. C105 .25 .
C. C105 .
D. C105 .25 .
7
1
Câu 72. (Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 3 x 4 là:
x
A. 5.
B. 35.
C. 45.
D. 7.
Câu 73.
(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
6
1
2x 2 , x 0 .
x
A. 240 .
Câu 74.
B. 15 .
C. 240 .
D. 15 .
(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức
12
1
A x 2 là
x
A. 924 .
B. 495 .
C. 495 .
D. 924 .
1
Câu 75. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển x 2
x
15
30
5
15
A. C45 .
B. C45 .
C. C45 .
D. C45 .
45
là
5
Câu 76.
1
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x 2 3 .
x
A. 10 .
B. 20 .
C. 5 .
D. 1 .
Nguyễn Bảo Vương: />
9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
7
Câu 77.
Câu 78.
1
(Kim Liên - Hà Nội - Lần 1 - 2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 3 x 4 là
x
A. 5.
B. 35.
C. 45.
D. 7.
(Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x
30
2
trong khai triển nhị thức x
là
x
10
B. 2 20.C30
.
A. 2 20 .
C. 210.C3020 .
D. C 3020 .
10
x 1
x 1
Câu 79. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho biểu thức P
với x 0 , x 1 . Tìm
3 2
x 3 x 1 x x
số hạng không chứa x trong khai triển Niu-tơn của P .
A. 200 .
B. 160 .
C. 210 .
D. 100 .
Câu 80.
(THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI - 2018) Số hạng không chứa x trong khai
9
2
triển f x x 2 , x 0 bằng
x
A. 5376 .
B. 5376 .
Câu 81.
C. 672 .
D. 672 .
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển
14
2
của 3 x 4 với x 0 là:
x
6 8
A. 2 C14 .
B. 26 C146 .
Câu 82.
C. 28 C148 .
D. 28 C148 .
(THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x
11
1
trong khai triển của x x 5 với x 0 .
x
A. 485 .
B. 238 .
C. 165 .
11
D. 525 .
Câu 83. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1 Cn2 55 , số hạng
n
2
không chứa x trong khai triển của biểu thức x 3 2 bằng
x
A. 13440
B. 3360
C. 80640
Câu 84.
(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Tìm số hạng không chứa
n
1
x trong khai triển của x x 4 với x 0 , nếu biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn
x
C n2 C n1 44 .
A. 485.
Câu 85.
D. 322560
B. 525.
C. 165.
D. 238
(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của
n
1
2
1
x x 4 , với x 0 , nếu biết rằng Cn Cn 44 .
x
A. 165 .
B. 238 .
C. 485 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 525 .
10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 86. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển
2n
3
2
3
2 x 3 với x 0 , biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn 2n An 1 là:
x
12 4 12
16 0
A. C16 .2 .3 .
B. C160 .216 .
C. C1612 .24.312 .
D. C16
.2 .
Câu 87.
(SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Với số nguyên dương n thỏa mãn Cn2 n 27 , trong khai triển
n
2
x 2 số hạng không chứa x là
x
A. 84 .
B. 672 .
Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức
Dạng 2.2.1 Dạng a1 a2 ...ak
Câu 88.
(HKI
–
1 3x 2 x
D. 5376 .
n
TRIỆU
2 2017
C. 8 .
QUANG
PHỤC
Cho
2018-2019)
khai
triển
a0 a1 x a2 x 2 ... a4034 x 4034 . Tìm a2 .
A. 9136578
B. 16269122 .
C. 8132544 .
D. 18302258 .
10
Câu 89. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Tìm hệ số của x 7 trong khai triển f x 1 3 x 2 x3 thành
đa thức.
A. 204120 .
B. 262440 .
C. 4320 .
D. 62640 .
9
Câu 90. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Cho khai triển 3 2 x x 2 a0 x18 a1 x17 a2 x16 ... a18 .
Giá trị a15 bằng
A. 218700 .
Câu 91.
B. 489888 .
C. 804816 .
D. 174960 .
(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Tìm hệ số của x 3 sau khi khai triển và rút gọn các
9
1
đơn thức đồng dạng của x 2 x 2 , x 0 .
x
B. 3210 .
C. 2940 .
A. 2940 .
Câu 92.
D. 3210 .
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Hệ số của số hạng chứa x 7
6
trong khai triển x 2 3 x 2 bằng
A. 6432 .
B. 4032 .
C. 1632 .
D. 5418 .
10
Câu 93. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển 1 x x 2 x 3 .
A. 582 .
B. 1902 .
C. 7752 .
D. 252 .
Câu 94. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn
3Cn0 4Cn1 5Cn2 ... (n 3)Cnn 3840 .Tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển
(1 x x 2 x 3 ) n là
A. 410 .
Câu 95. (THPT
1 x x
B. 49 .
CHUYÊN
2
3
VĨNH
10 11
x ... x
C. 210 .
PHÚC
2
3
D. 29 .
LẦN
110
a0 a1 x a2 x a3 x ... a110 x
4
-
2018)
Giả
sử
với a0 , a1 , a2 ,…, a110 là các hệ số.
Giá trị của tổng T C110 a11 C111 a10 C112 a9 C113 a8 ... C1110 a1 C1111a0 bằng
A. T 11 .
B. T 11 .
C. T 0 .
D. T 1 .
Nguyễn Bảo Vương: />
11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
m
n
Dạng 2.2.2 Tổng a1 b1 a2 b2 ... ak bk
Câu 96.
h
(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Sau khi khai triển và rút gọn thì
18
1
P ( x ) (1 x )12 x 2 có tất cả bao nhiêu số hạng
x
A. 27 .
B. 28 .
C. 30 .
D. 25
Câu 97. (PTNK CƠ SỞ 2-TPHCM-LẦN1- 2018) Cho đa thức P x x 2
2017
3 2 x
2018
a2018 x 2018 a2017 x 2017 ... a1 x a0 . Khi đó S a2018 a2017 ... a1 a0 bằng
B. 1.
A. 0 .
C. 2018 .
D. 2017 .
Câu 98. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức
21
12
3
1
f x x 2 2 x 3 2 thì f x có bao nhiêu số hạng?
x
x
A. 30 .
B. 32 .
C. 29 .
Câu 99.
D. 35 .
(THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển
6
7
12
P x x 1 x 1 ... x 1 .
A. 1716 .
B. 1715 .
C. 1287 .
D. 1711 .
Câu 100. (CHUYÊN
BẮC
NINH
LẦN
2
2018)
Cho
đa
thức:
8
9
10
11
12
P x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x . Khai triển và rút gọn ta được đa thức:
P x a0 a1 x a2 x 2 ... a12 x12 . Tìm hệ số a8 .
A. 720 .
B. 700 .
C. 715 .
D. 730 .
Câu 101. (CHUYÊN
BẮC
NINH
LẦN
2
2018)
Cho
đa
thức
8
9
10
11
12
P x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x . Khai triển và rút gọn ta được đa thức
P x a0 a1 x ... a12 x12 . Tính tổng các hệ số ai , i 0; 1; 2; ...; 12 .
A. 5 .
B. 7936 .
C. 0 .
D. 7920 .
m
Dạng 2.2.3 Tích a1 .. an . b1 ... bn
l
Câu 102. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai triển
11
nhị thức Newton 1 2 x 3 x .
A. 4620 .
B. 1380 .
Câu 103. (THPT
CHUYÊN
THĂNG
2 2
10
3 4x 4x
1 2 x
A. 482496 .
C. 9405 .
LONG
-
ĐÀ
LẠT
D. 2890 .
-
2018)
Cho
khai
triển
a0 x a1 x a2 x a14 x . Tìm giá trị của a6 .
2
B. 529536 .
14
C. 278016 .
D. 453504 .
Câu 104. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Hệ số của x6 trong khai triển
2 x 16 x 2 x
A.
1 6
C14 .
2
4
1
thành đa thức là
4
1
B. C146 .
4
C. C146 .
Nguyễn Bảo Vương: />
D. 4C148 .
12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng
Câu 105. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Hệ số của
6
8
x 2 x 1 x 3 bằng
A. 1752
B. 1272
x5 trong khai triển biểu thức
C. 1272
D. 1752
6
8
Câu 106. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của x 5 trong khai triển x 3 x 1 2 x 1 bằng
A. 3007
B. 577
C. 3007
D. 577
Câu 107. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x( x 2)6 (3 x 1)8
bằng
A. 13548
B. 13668
C. 13668
D. 13548
6
8
6
8
Câu 108. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x 2 x 1 3 x 1
bằng
A. 13848
B. 13368
C. 13848
D. 13368
Câu 109. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Hệ số của x 5 trong khai triển x x 2 3 x 1
bằng
A. 13548 .
B. 13548 .
C. 13668 .
D. 13668 .
Câu 110. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm hệ số của x 5
trong khai triển đa thức
f x x 1 x x 2 1 2x .
5
A. 965.
10
B. 263.
C. 632.
D. 956.
Câu 111. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển
5
10
P x x 1 2 x x 2 1 3x .
A. 3240 .
B. 3320 .
C. 80 .
D. 259200 .
Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán
Câu 112. (LẦN
01_VĨNH
YÊN_VĨNH
PHÚC_2019)
1 20
0
1
2
S 319 C20
318 C20
317 C20
... C20
. Giá trị 3S là
3
419
4 18
A. 4 20 .
B.
.
C.
.
3
3
Cho
D.
biểu
thức
4 21
.
3
1
2
3
2017
C2017
C2017
... C2017
Câu 113. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Tổng C2017
bằng.
A. 2 2017 1 .
B. 2 2017 1 .
C. 2 2017 .
D. 4 2017 .
1
2
2018
Câu 114. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tổng C2018
C2018
... C2018
bằng
A. 2 2018 .
B. 2 2018 1 .
C. 2 2018 1 .
D. 4 2016 .
1
3
5
2017
Câu 115. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 1 - 2018) Tổng T C2017
bằng:
C2017
C2017
... C2017
A. 2 2017 1 .
B. 2 2016 .
C. 2 2017 .
D. 2 2016 1 .
Câu 116. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Tổng S C50 2C51 2 2 C52 ... 25 C55 bằng:
A. 324 .
B. 435 .
C. 243 .
D. 342 .
Nguyễn Bảo Vương: />
13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 117. (HKI-Chu Văn An-2017) Tính tổng S C 2C 2 C 2 C .
A. S 59050 .
B. S 59049 .
C. S 1025 .
D. S 1024 .
0
10
1
10
2
2
10
10
10
10
10
Câu 118. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tính tổng S C100 2C101 22 C102 23 C103 210 C10
.
A. S 59050.
B. S 1024.
C. S 59049.
D. S 1025.
1
2
3
2016
Câu 119. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - 2018) Tổng C2016
bằng
C2016
C2016
... C2016
2016
2016
2016
A. 2 .
B. 4 .
C. 2 1 .
D. 2 2016 1 .
Câu 120. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
Cn0 4Cn1 4 2 Cn2 ... 4 n Cnn 15625 . Tìm n .
A. n 3 .
B. n 5 .
C. n 6 .
D. n 4 .
2
2018
2019
1
Câu 121. (THPT THUẬN THÀNH 1) Tổng S 2C2019
tương ứng
3C2019
... 2019C2019
2020C2019
bằng:
A. 2020.2 2019 .
B. 2019.2 2018 .
C. 2021.2 2018 1 .
D. 2020.2 2019 1 .
13
20
12
Câu 122. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Tính tổng S C22
C22
.... C 22
C2221 C2222 .
11
C22
C 11
11
.
C. S 2 21 22 .
D. S 221 C22
.
2
2
Câu 123. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Kí hiệu Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử
B. S 221
11
A. S 221 C22
.
0 k n; k , n
tính tổng sau:
1
2
2017
2018
0
S C2018
2C2018
3C2018
... 2018C2018
2019C2018
A. 1009.22016 .
Câu 124. (TOÁN
C. 1010.22018 .
B. 1006.22018 .
HỌC
TUỔI
2
TRẺ
-
9
A. 10! .
8
B. 20! .
THÁNG
4
-
2018)
Biểu
thức
10
1 x
x
x 1 x x 1 x
.
.
...
10! 9! 1!
8!
2!
10!
10
D. 1007.22018 14 .
bằng
C.
1
.
10!
D.
1
.
100!
Câu 125. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số dương n sao cho
S 2 C10 C20 ... Cn0 C11 C21 ... Cn1 ... Cnn11 Cnn 1 Cnn là một số có 1000 chữ số?
A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 1.
Câu 126. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn:
1
1
1
1
1024
.....
1! n 1 ! 3! n 3 ! 5! n 5 !
n 1!1! n !
Tìm mệnh đề đúng.
A. n là số chia hết cho 10 .
B. n là số nguyên tố.
C. n là số chia hết cho 3 .
D. n là số chia hết cho 4 .
Câu 1.
Câu 2.
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton
Số số hạng trong khai triển là: n 1 50 1 51 .
n
2018
Trong khai triển nhị thức a b thì số các số hạng là n 1 nên trong khai triển 2 x 3
có
2019 số hạng.
Nguyễn Bảo Vương: />
14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 3.
ĐT:0946798489
Ta có:
5
5
1
2
x y x y C50 x5 C51 x 4 y C52 x 3 y
5
Hay x y x5 5 x 4 y 10 x 3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
Câu 4.
Câu 5.
3
4
C53 x 2 y C54 x1 y C55 y
5
Chọn C
Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn (a b)n có n 1 số hạng.
Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (3 2 x)2019 có 2020 số hạng.
Chọn C
10
10
Xét khai triển f ( x) x 1 C10k .x k .
k 0
10
Câu 6.
Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S f (1) 1 1 210 1024 .
Chọn C
10
10
Xét khai triển f ( x) x 1 C10k .x k .
k 0
10
Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S f (1) 1 1 210 1024 .
Câu 7.
0
1
2
3
2018
Xét khai triển (1 2x)2018 C2018
2 x.C2018
(2 x) 2 .C2018
(2 x)3 .C2018
... (2 x) 2018 .C2018
1
2
3
2018
0
Tổng các hệ số trong khai triển là: S C2018
2.C2018
(2) 2 .C2018
(2)3 .C2018
... (2) 2018 .C2018
0
1
2
Cho x 1 ta có: (1 2.1) 2018 C2018
2.1.C2018
(2.1)2 .C2018
(2.1)3 .C32018 ... (2.1) 2018 .C2018
2018
1
2018
S S 1
124
Câu 8.
k
124 k
2
k
Ta có ( 5 4 7)124 C124
. 1 .5
k
.7 4
k 0
124 k
2
k 0; 4;8;12;...;124 .
Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với
k
4
Vậy số các giá trị k là:
Câu 9.
124 0
1 32 .
4
Chọn A
2018
P( x) ( 3 2 x 3) 2018
k 0
3
2x
2018 k
2018
3k 2
2018 k
3
.3k x 2018k
k 0
Để hệ số nguyên dương thì 2018 k 3 2018 k 3t k 2018 3t ,do 0 k 2018 nên ta
có 0 2018 3t 2018 0 t
Câu 10.
2018
672, 6 vậy t=0,1,2….672 nên có 673 giá trị
3
Chọn A
Ta có 1 2 x
20
20
k
2
0
1
2
4C202 .
C20k 2 x k , k Z a0 C20 , a1 2.C20 , a2 2 C20
k 0
0
1
2
Vậy a0 a1 a2 C20
2C20
4C20
801.
Câu 11.
Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: />
15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Ta có
3
3 5 5
2019
ĐT:0946798489
2019
k
C2019
.
k 0
3
3
2019 k
.
k
2019
5 C
5
k
2019
.3
2019 k
3
k
5
.5 .
k 0
k
k
0 k 2019
0 k 2019
2019 k
k
Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì
673
3
3
k
k
5
5
k
0 k 2019 .
k 15
Ta có k 15 k 15m mà 0 k 2019 0 15 m 2019 0 m 134, 6 . Suy ra có 135 số
hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức.
Câu 12.
Chọn D
2019 k
k
2019 4
2019 2
k
k
151 13
13 51
k
15 15
y 3 15
Ta có số hạng thứ k 1 là : C x y
x y C2019 x
2019 4
2019 2
Theo đề bài ta có;
k
k k 1346
15
15
3
15
Vậy số hạng thỏa yêu cầu bài toán là số hạng thứ 1347 .
k
2019
A. 20.
Câu15.
(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang
20
(2 x 1) a0 a1 x a2 x 2 .... a20 x 20 . Tìm a1
B. 40.
C. -40. D. -760. Chọn C
Ta có: a1 là hệ số của x
lần
1-
18-19)
Cho
khai
triển
19
Hạng tử chứa x trong khai triển là: C20
2 x a1 40
Câu 13.
1 2x
20
a0 a1 x a2 x 2 a20 x20 1 .
Thay x 1 vào 1 ta có:
20
a0 a1 a2 a20 1 1 .
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng
Câu 14.
Chọn C
12
2
Số hạng tổng quát của khai triển x
(với x 0 ) là
x x
k
3k
5k
12
2
k
k
k
12 k
k
2
2
Tk 1 C .x .
.
2 .C12 .x .x 2 .C12 .x
x x
5k
Số hạng trên chứa x 7 suy ra 12
7 k 2.
2
2
Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển trên là 2 .C122 264 .
k
12
12 k
Nguyễn Bảo Vương: />
16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 15.
ĐT:0946798489
Chọn D
13
1
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức x .
x
k
1
Tk 1 C x C13k x13 2 k .
x
7
Tk 1 chứa x 13 2k 7 k 3 .
k 13 k
13
13
1
Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức x bằng: C133 286 .
x
Câu 16. Chọn C
7
40
40
40
1
k 40 3 k
k 40 k 2 k
x 2 C40 x .x C40 x
x
k 0
k 0
Theo giả thiết: 40 3k 31 k 3 .
3
Vậy hệ số của x31 là C40
9880 .
Câu 17. Chọn D
4k
k
4
4
1 3
1 3
Ta có x C4k . .
4 4 k 0
4 4
3
27 2 27 3 81 4
1
x
x
x
x
256 64
128
64
256
27
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là
.
64
Câu 18.
Chọn D
Ta có: Tk 1 Cnk .2k x k . .
Hệ số của x 2 trong khai triển bằng 180
Cn2 .22 180
Câu 19.
n 10
n!
.22 180 n n 1 90 n2 n 90 0
n 2 .2
n 9 l
Chọn D
Số hạng tổng quát là: Tk 1 C10k .x k .
Số hạng chứa x 7 trong khai triển 1 x là: T8 C108 .x 7 nên hệ số là 45.
Câu 20. Chọn D
10
7 k
7
7
7
k 2
2
Ta có: x 2 C7k x 2 C7k .27 k .x 3k 7 .
x
x
k 0
k 0
Cần tìm k sao cho 3k 7 5 , suy ra k 4.
7
2
Vậy hệ số h của số hạng chứa x trong khai triển x 2 là h C74 .23 280.
x
Câu 21. Chọn A
5
15
k
15
15
2 15 k 15 k
2
k 15 3 k
k
k 15 k
2 k
k
x 2 C15 x 2 C15 x 2 x C15 2 x
x
x k 0
k 0
k 0
k 15 3 k
k
Số hạng tổng quát của khái triển Tk 1 C15 2 x
Số của số hạng chứa x 6 : 15 3k 6 k 3 . Hệ số của số hạng chứa x6
k
3
C15k 2 C153 2 3640
Câu 22. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: />
17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là C . x
k
15
3 15 k
k
k
15
. xy C .x
45 2 k
k
.y ,
với 0 k 15 , k . Số hạng này chứa x 25 y10 khi và chỉ khi k 10 (thỏa mãn).
15
10
3003.
Vậy hệ số của x 25 y10 trong khai triển x 3 xy là C15
Câu 23.
Chọn D
6
k
3k
6
k
3k
6
6
6
2
k 6 k 2
k
k
2
C
x
Ta có: x
.
6
2 C6 x
x k 0
x k 0
3k
3 k 2 . Vậy hệ số của số hạng chứa x 3 bằng 22.C62 60 .
Số hạng chứa x 3 ứng với 6
2
Câu 24. Chọn D
6
6
6
2
k 6 k 2
k
k
2
C
x
Ta có: x
.
6
2 C6 x
x k 0
x k 0
3k
3 k 2 . Vậy hệ số của số hạng chứa x 3 bằng 22.C62 60 .
Số hạng chứa x 3 ứng với 6
2
Câu 25. Chọn D
n
k
Số hạng thứ k 1 trong khai triển của 1 3 x là: Tk 1 Cnk 3 x k .
Số hạng chứa x 2 ứng với k 2 .
2
Ta có: Cn2 3 90 Cn2 10 (với n 2 ; n )
n 5
n!
10 n n 1 20
. Vậy n 5 .
2! n 2 !
n 4 L
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k
Câu 26. Chọn B
15
15
Ta có 2 x C15k .215k. x
k
k 0
12
12 1512
.2 . x 3640 x12 .
Số hạng thứ 13 trong khai triển tương ứng với k 12 . C15
Câu 27.
Chọn A
k
k
1
1
Số hạng thứ k 1 trong khai triển là: Tk 1 C x C9k x9 2 .
2x
2
3
Số hạng chứa x có giá trị k thỏa mãn: 9 2k 3 k 3 .
1
Vậy số hạng chứa x 3 trong khai triển là: C93 x 3 .
8
Câu 28. Chọn B
Ta có công thức của số hạng tổng quát:
k
9
9 k
k
k
k
1
Tk 1 C x . C13k x13k 1 x k C13k . 1 x132 k
x
Số hạng chứa x7 khi và chỉ khi 13 2k 7 k 3 .
Vậy số hạng chứa x 7 trong khai triển là C133 x 7 .
Câu 29. Chọn D
k 13 k
13
40
40
40
k
1
Ta có khai triển: x 2 C40k x 40 k x 2 C40k x 40 3k
x
k 0
k 0
Nguyễn Bảo Vương: />
18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
k
40
Số hạng tổng quát trong khai triển: C x
40 3 k
Số hạng chứa x 31 ứng với: 40 3k 31 k 3
3 31
Vậy số hạng chứa x 31 là: C40
x
Câu 30. Chọn B
1
Số hạng thứ k 1 trong khai triển x
x
40
là:
k
k
40
ak 1 C x
40 k
1
. C40k x 40 k x k C40k x 40 2 k .
x
Số hạng chứa x
1
trong khai triển x
x
34
Vậy số hạng chứa x
Câu 31.
34
40
tương ứng với: 40 2k 34 k 3 .
1
trong khai triển x
x
40
3 34
là: C40
x .
Chọn D
n
n
n
k
Ta có: 1 4 x Cnk 4 x Cnk 4k x k .
k 0
2
k 0
2 2
n
Hệ số của số hạng chứa x là: C 4 .
Giả thiết suy ra Cn2 4 2 3040 Cn2 190
Câu 32.
n 20 t/m
n n 1
.
190 n 2 n 380 0
2
n 19 loai
k
k
Số hạng tổng quát thứ k 1 là Tk 1 Cnk 3x Cnk 3 x k .
Vì hệ số của x 2 nên cho k 2 .
2
Khi đó ta có Cn2 3 90 Cn2 10
n 5 n
n n 1
.
10
2
n 4 l
Vậy n 5 .
n
n
2
Câu 33. Ta có 1 2 x Cn0 Cn1 .2 x Cn2 . 2 x ... Cnn 2 x .
Hệ số của x 2 bằng 180 4.Cn2 180 4
n!
180 n n 1 90
2! n 2 !
n 9 l
.
n 2 n 90 0
n 10
Vậy n 10 .
k
5
5
5
5 k 2
2
k
k
Câu 34. Ta có 3x3 2 1 .C5k . 3x3 . 2 1 .C5k .35 k .2k x155k .
x k 0
x k 0
10
Số hạng chứa x ứng với 15 5k 10 k 1 .
1
Hệ số của số hạng chứa x10 là 1 C51.34.21 810 .
40
Câu 35.
k
40
40
1
1
Ta có: x 2 C40k .x 40 k . 2 C40k .x 403k .
x
x k 0
k 0
Số hạng tổng quát của khai triển là: Tk 1 C40k .x 403k .
Số hạng chứa x31 trong khai triển tương ứng với 40 3k 31 k 3 .
Nguyễn Bảo Vương: />
19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
3
40
Vậy hệ số cần tìm là: C C
37
40
k
n
(theo tính chất của tổ hợp: C C
Ta
có:
6
k
6
k
C .2 x
).
k
6
6
Câu 36.
nk
n
1
1
1
6
6
2
6k
6k
k
k
k
2
2
2
x
x 2 x C6 x 2 x C6 .2 x 2 x
x
k
0
k
0
k
3
6 k
2
k 0
3
6 k
2
3
x3 6 k 3 k 2
2
3
2 2
Hệ số của x x 0 là: C6 .2 60 .
Theo đề bài, x
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n
Câu 37. Chọn C
n
Ta có: Cn0 2.Cn1 2 2.Cn2 ... 2 n.Cnn 59049 2 1 59049 3n 310 n 10 .
10
3
Ta được nhị thức x 2 .
x
Số hạng thứ ba của khai triển là T3 C . x
2
10
Theo giả thiết ta có: 405 x14
Câu 38.
2 8
2
3
. 405 x14 .
x
81
n 405 x14 405 x14 1 x 1 .
2
Chọn C
Ta có: An3 72n
n!
72n n n 1 n 2 72n n 10 .
n 3 !
Xét khai triển:
10
k
10
10
10
2 1
k
2 10 k 1
k
10 k 20 2 k
.x 3k C10k .210 k x 20 5 k .
2 x 3 C10 2 x 3 C10 .2 x
x
x k 0
k 0
k 0
5
Số hạng chứa x trong khai triển tương đương với: 20 5k 5 k 3 .
Suy ra số hạng chứa x 5 trong khai triển là: 27 C103 x5 .
Câu 39. Chọn A
Tìm n.
k
Trước hết ta chứng minh công thức Cnk Cnk11 với 1 k n và n 2.
n
k k k
n!
( n 1)!
Thật vậy, Cn .
Cnk11. (đpcm)
n
n k !( n k )! ( k 1)!( n k )!
Áp dụng công thức trên ta có
2
3
n
1
1.Cn1 2.Cn2 3.Cn3 ... n.Cnn n .Cn1 .Cn2 .Cn3 ... .Cnn
n
n
n
n
0
1
2
n 1
n 1
n Cn 1 C n 1 C n 1 ... C n 1 n 2
Theo đề 1.Cn1 2.Cn2 3.Cn3 ... n.Cnn 256n n 2 n 1 256n 2 n 1 256 n 9.
Chọn A.
Câu 40. Chọn C
n
Xét khai triển 1 3 x a0 a1 x1 ... an x n .
Nguyễn Bảo Vương: />
20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Cho x
1
ta được
3
12
ĐT:0946798489
n
an
1
a1
n
1 3. a0 1 ... n 2 4096 n 12.
3
3
3
12
Khi đó 1 3 x C12k .3k .x k .
k 0
Ta có hệ số ak 3k C12k 3k .
12!
k !. 12 k !
12!
12!
k
k 1
3
.
3
.
k 1!. 12 k 1!
ak ak 1
k !. 12 k !
Hệ số ak lớn nhất nên
12!
12!
ak ak 1
3k.
3k 1.
k 1!. 12 k 1!
k !. 12 k !
1
39
3
k
k 13 k
39 3k k
4
k 1 36 3k
1 3
k 35
4
12 k k 1
Vì k nên nhận k 9.
Vậy hệ số lớn nhất a9 39.C129 4330260.
Câu 41. Chọn B
Đk: n 2, n .
3Cn21 nP2 4 An2
3
n 1! 2!n 4 n!
n 1!2!
n 2!
3
n n 1 2n 4n n 1
2
n 0 L
5
15
n2 n 0
2
2
n 3
10
1
Với n 3 , nhị thức trở thành x3 .
x
10 k
k
1
Số hạng tổng quát là C10k . . x3 C10k .x 4 k 10
x
Từ yêu cầu bài toán ta cần có: 4k 10 6 k 4.
Vậy hệ số của số hạng chứa x6 là C104 210.
Câu 42. Chọn A
14
1
2
Xét phương trình 2 3 1
Cn 3Cn n
Điều kiện: n 3, n
1
2. n 2 !.2! 14 n 3!.3! 1
4
28
1
n!
3.n !
n
n n 1 n n 1 n 2 n
n 9
4
28
1 4 n 2 28 n 1 n 2 n2 7n 18 0
n 1 n 1 n 2
n 2 l
Nguyễn Bảo Vương: />
21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
9
9
3
Với n 9 ta có: 2 x 2 C9k . 2 x 2
x k 0
9k
k
9
k
3
. C9k .29k . 3 .x183k
x k 0
k
Số hạng tổng quát của khai triển là C9k .29 k . 3 .x183k
4
Cho 18 3k 6 k 4 hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển là C94 .25. 3 326592 .
Câu 43. Chọn B
Từ giả thiết ta suy ra C20n 1 C21n 1 C22n1 ... C2nn 1 220 .
Mặt khác: C2kn 1 C22nn11k , k , 0 k 2n 1 nên ta có:
1
1
2 n 1
C20n 1 C21n 1 C22n1 ... C2nn1 C20n 1 C21n 1 C22n 1 ... C22nn11 1 1
22 n .
2
2
Suy ra: 22 n 2 20 n 10 .
10 k
10
1
1
Số hạng tổng quát trong khai triển 4 x 7 là: Tk 1 C10k 4
x
x
k
Hệ số của x 26 là C10 với k thỏa mãn: 11k 40 26 k 6 .
7 k
x
C10k x11k 40 .
Vậy hệ số của x 26 là C106 210 .
Câu 44. Điều kiện n 6 và n .
n 4 ! n n! 454 n 5 n 4 2
Cnn46 nAn2 454
n n 1 454
2
n 6 !2! n 2 !
2n3 n 2 9n 888 0 n 8 (Vì n ).
8
2
Khi đó ta có khai triển: x3 .
x
8 k
k
k
2
Số hạng tổng quát của khai triển là C x 3 C8k 1 28 k x 4 k 8 .
x
4
Hệ số của số hạng chứa x ứng với k thỏa mãn: 4k 8 4 k 3 .
3
Vậy hệ số của số hạng chứa x 4 là: C83 1 25 1792 .
k
8
Câu 45.
Cn1 Cn3 13n n
n n 1 n 2
n!
13n n
13n 6 n2 3n 2 78 .
6
3! n 3 !
n 7
n 2 3n 70 0
. Vì n là số nguyên dương nên n 10 .
n 10
10
1
Ta có khai triển: x 2 3 .
x
k
1
. 3 C10k x 205k .
x
5
Số hạng chứa x ứng với 20 5k 5 k 3 . Vậy hệ số của số hạng chứa C103 120 .
n!
n!
n!
4n 6
Câu 46. An2 Cn2 Cn1 4n 6
n 2 ! n 2 !.2! n 1!.1!
Số hạng tổng quát của khai triển: Tk 1 C10k x
n n 1
210 k
n 1 l
n n 1
.
n 4n 6 n 2 11n 12 0
2
n 12 n
Nguyễn Bảo Vương: />
22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
12
3
Khi đó P x x 2 .
x
Công thức số hạng tổng quát: Tk 1 C . x
k
12
2 12 k
k
3
. C12k .3k .x 243k .
x
Số hạng chứa x 9 24 3k 9 k 5 .
Vậy hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai triển là C125 .35 192456 .
Câu 47.
Ta có: Cnn 1 Cnn 2 78
n!
n!
n 1 n 78
78 n
2
n 1!.1! n 2 !.2!
n 12
n 2 n 156 0
n 12 (vì n là số nguyên dương).
n 13
k
12
12 k 2
2
k
k
Số hạng tổng quát trong khai triển x 3 là: 1 C12k x 3 1 C12k .2k .x 36 4 k .
x
x
Cho 36 4k 8 k 7 .
12
2
Vậy số hạng chứa x trong khai triển x 3 là C127 .27.x8 101376x 8 .
x
*
Câu 48. Điều kiện: n 2 , n .
n 1 ! 3 n ! 52 n 1
Ta có 3Cn31 3 An2 52 n 1 3.
3! n 2 !
n 2!
8
n 1 n n 1 3 n
2
n 1 52 n 1 n 2 n 6 n 104
n 13
n 2 5 n 104 0
n 13 .
n 8
x
3
13
2 y2
13
3 13 k
2 k
C x 2 y
k
13
0
13
C13k 2 k x 39 3 k y 2 k .
0
Ta có: 39 3k 2 k 34 k 5 . Vậy hệ số C135 2 5 41184 .
Câu 49. Điều kiện n , n 2 .
n n 1
n 1
Có 5Cn1 Cn2 5 5n
5 n2 11n 10 0
2
n 10
Do n 2 n 10 .
10
k
10
10
1
10 k 1
Xét khai triển: 2 x 2 C10k 2 x . 2 C10k 210 k x103k
x
x k 0
k 0
4
Hệ số a của x trong khai triển tương ứng với 10 3k 4 k 2 .
Vậy hệ số cần tìm là a C102 .28 11520 .
Câu 50. Điều kiện n 3, n .
Ta có 3 Ann 2 Cn3 40 3
Vì
3
n!
n!
1
40 n !
40 .
2! 3! n 3 !
2 6 n 3 !
3
1
1 nên n ! 40 . Lần lượt thử các giá trị n 3, 4 ta có n 4 thỏa mãn.
2 6 n 3 !
Nguyễn Bảo Vương: />
23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
k
8
1
1
8 k
k
Với n 4 , số hạng tổng quát trong khai triển 2x là C8k 2 x C8k 28 k 1 x8 2 k .
x
x
1
Số hạng chứa x 6 tương ứng với 8 2k 6 k 1 . Do đó hệ số cần tìm là C81 281 1 1024 .
Câu 51.
Giải phương trình: An2 3Cn1 120 , Đk: n 2, n .
n 10
An2 3Cn1 120 n n 1 3n 120
n 12 l
n
10
3
k
Có x 4 C10k 3 x 40 5 k .
x k 0
Số hạng không chứa x khi 40 5k 0 k 8 .
8
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là C108 . 3 295245 .
Câu 52.
điều kiện n N , n 3.
n!
n!
Cn3 An2 50
50
3! n 3 ! n 2 !
n n 1 n 2 6n n 1 300 0
n3 3n 2 4n 300 0 n 6 .
12
3 x
Ta có nhị thức .
x 2
12 k
k
k
12 k
3
x C .3
Số hạng tổng quát C12k . 12 k .x 2 k 12
2
x
2
Cho 2k 12 8 k 10.
C 10 .32 297
Hệ số cần tìm là 1210
.
2
512
n
Câu 53. Xét khai triển 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 Cn3 x3 ... Cnn x n 1
Đạo hàm hai vế của 1 ta được: n 1 x
n 1
Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x 2 ... nCnn x n1 2
Trong công thức 2 ta cho x 1 ta được:
n2n1 Cn1 2.Cn2 3.Cn3 ... nCnn n.2 n 1 256n 2n1 256 n 9 .
n
9
9
3
3
k
Khi đó, 2 x 2 2x 2 C9k 3 29 k .x183k .
x
x n0
9
3
Do đó số hạng không chứa x trong khai triển 2x 2 nếu 18 3k 0 hay k 6 .
x
6
Suy ra số hạng cần tìm là C96 3 23 489888 .
Câu 54.
n
n
k
Ta có 1 2 x Cnk 2 x . Vậy a0 1 ; a1 2Cn1 ; a2 4Cn2 .
k 0
Theo bài ra a0 a1 a2 71 nên ta có:
n!
n!
1 2Cn1 4Cn2 71 1 2
4
71 1 2n 2n n 1 71
1! n 1 !
2! n 2 !
2 n 2 4 n 70 0 n 2 2 n 35 0 n 7 (thỏa mãn) hoặc n 5 (loại).
5
Từ đó ta có a5 C75 2 672 .
Nguyễn Bảo Vương: />
24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 55.
ĐT:0946798489
Ta có
n!
n!
10 , n , n 3
n 2 ! 3! n 3!
An2 Cn3 10
n 2
1
1 3 3 2 4
n n 1 n n 1 n 2 10 n n n 10 0 n 6 .
6
2
3
6
n 5
So điều kiện nhận n 6 hay n 5 .
6
k
5
k
6
6
2
k
2 6 k 2
Khi n 6 , ta có x 2 3 C6k x 3 C6k 2 x12 5 k .
x
x
k 0
k 0
7
Để có x 5 thì 12 5k 5 k (loại).
5
5
5
2
k
2 5 k 2
Khi n 5 , ta có x 2 3 C5k x 3 C5k 2 x10 5 k .
x
x
k 0
k 0
5
Để có x thì 10 5k 5 k 1 .
Vậy a5 C51 2 10 .
Câu 56.
Ta có: An3 2 An2 100
n!
n!
2
100 n n 1 n 2 2n n 1 100
n 3 ! n 2 !
n3 n 2 100 0 n 5 .
2n
10
10
k
Ta có: 1 3x 1 3x C10k 3 x .
k 0
Hệ số x 5 sẽ là C105 35 61236 .
Câu 57.
n
n
Ta có 3 1 3n Cn0 3n1 Cn1 3n 2 Cn2 ..... 1 Cnn
2 n 2048 2 n 211 n 11 .
11
11
Xét khai triển x 2 C11k x11 k .2k
k 0
Tìm hệ số của x tìm k k 11 thỏa mãn 11 k 10 k 1 .
10
11
Vậy hệ số của x10 trong khai triển x 2 là C111 .2 22 .
n
k
n
n
nk 1
1
Câu 58. Ta có 3 x 2 Cnk 3 x 2 Cnk 3n k x 2 n 3 k .
x
x
k 0
k 0
2n 3k 3
n k 4
k 5
3
5
4
Biết hệ số của x là 3 C n nên
.
n 9
k 5
0 k n, k , n N
Vậy n 9 .
Câu 59. Điều kiện: n
Ta có
Cnn41 Cnn3 7 n 3
n 4 ! n 3 ! 7 n 3
n 1!3! n!3!
Nguyễn Bảo Vương: />
25