Tài liệu ôn thi Toán 11 học kỳ 1 năm học 2018 – 2019 – Lê Văn Đoàn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.87 MB, 112 trang )

Tài liệu ôn thi lớp 11 học kì 1
N¨m häc 2018 – 2019

M«n To¸n

MỤC LỤC
Trang
 Chuyên đề 1. Lượng giác .................................................................................................... 1
 Chuyên đề 2. Nhị thức Newton ......................................................................................... 6
 Chuyên đề 3. Tổ hợp & Xác suất ........................................................................................ 13
 Chuyên đề 4. Phương pháp quy nạp, dãy số tăng giảm ................................................. 18
 Chuyên đề 5. Cấp số cộng, cấp số nhân ............................................................................ 24
 Chuyên đề 6. Quan hệ song song ...................................................................................... 34
 Đề số 01. THPT Bình Hưng Hòa (2017 – 2018) .......................................................... 49
 Đề số 02. THPT Trần Phú (2017 – 2018) ...................................................................... 52
 Đề số 03. THPT Nguyễn Chí Thanh (2017 – 2018) .................................................... 55
 Đề số 04. THPT Nguyễn Thượng Hiền (2017 – 2018) ............................................... 58
 Đề số 05. THPT Trần Quang Khải (2017 – 2018) ........................................................ 61
 Đề số 06. THPT Trung Học Thực Hành (ĐHSP) (2017 – 2018) ................................ 64
 Đề số 07. THPT Trần Cao Vân (2017 – 2018) .............................................................. 68
 Đề số 08. THPT Bình Tân (2017 – 2018) ...................................................................... 71
 Đề số 09. THPT Nguyễn Thái Bình (2017 – 2018) ...................................................... 74
 Đề số 10. THPT Trường Chinh (2017 – 2018) ............................................................. 76
 Đề số 11. THPT Vĩnh Lộc B (2017 – 2018) ................................................................... 80
 Đề số 12. THPT Tây Thạnh (2017 – 2018) ................................................................... 83
 Đề số 13. THPT Tân Bình (2017 – 2018) ...................................................................... 86
 Đề số 14. THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa (2017 – 2018) ............................................ 90
 Đề số 15. THPT Chuyên Lê Hồng Phong (2017 – 2018) ............................................ 93
 Đề số 16. THPT Nguyễn Thị Minh Khai (2017 – 2018) ............................................. 96
 Đề số 17. THPT Gia Định (2017 – 2018) ...................................................................... 99

 Đề số 18. THPT Nguyễn Hữu Cầu (2017 – 2018) ....................................................... 101
 Đề số 19. THPT Trung Học Phổ Thông Năng Khiếu (2017 – 2018) ........................ 104
 Đề số 20. THPT Bùi Thị Xuân (2017 – 2018) ............................................................... 107

Tµi liÖu «n thi häc kú 1 n¨m häc 2018 – 2019

Trang - 49 -

Ôn tập thi học kì 1 lớp 11 năm học 2018 2019

Chuyên đề 1. Phương trình lượng giác
1. Gii: sin 2x 3 cos 2x 1.

2. Gii: 5 cos 2x 7 cos x 1 0.

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

3
tan x cos 2x .
2
2

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

k , (k ). ......................
4

5
ỏp s: S
k ;
k .
k ;
4

12
12

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 1 -

¤n tËp thi häc k× 1 líp 11 n¨m häc 2018 – 2019
5. Giải: 2 sin(x  45)  1.

6. Giải: 2 sin2 4x  3 cos2 4x  5 sin 4x cos 4x .

............................................................................

.................................................................................

4



1
3

 k , x  arctan  k 
16
4
4
2
4

3 cos 2x  sin 2x  3.

Đáp số: x  k , x  

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607


 k 2.
6
Trang - 2 -

¤n tËp thi häc k× 1 líp 11 n¨m häc 2018 – 2019
9. Giải:

3 sin 2x  cos 2x  2.

10. Giải: cos 4x  12 sin2 x  1  0.

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

Đáp số: x  


 k  với k  .
6

Đáp số: x  k với k  .



11. Giải: 2 sin x    3  0.

3

12. Giải: cos5 x  sin5 x  sin x  cos x .

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

13. Giải: cos 2x  5 sin x  2  0.

14. Giải: sin 5x  3 cos 5x   2.

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

5

Trang - 3 -

¤n tËp thi häc k× 1 líp 11 n¨m häc 2018 – 2019
15. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng
(0; ) của phương trình:

16. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn
[0;10 ] của phương trình:

sin2 2x  3 sin 2x  2  0.

2 cos 3x  sin x  cos x .
............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

.................................................................................

Đáp số: Tổng các nghiệm bằng

3

2

Đáp số: Tổng các nghiệm bằng

105

2

17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 18. Tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của m
m để phương trình sau có nghiệm:
để phương trình có nghiệm:

m sin x  cos x  5.

4 sin x  (m  4)cos x  2m  5  0.

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

cos x  2
x
x
a sin2  2 sin x  3a cos2  2.
giá trị lớn nhất bằng 1.
2
2
............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

cos x  2 sin x  3
sin x cos x  2(sin x  cos x )  2 thì giá trị
nghiệm m 

2 cos x  sin x  4
của P  3  sin 2x  bằng bao nhiêu ?
............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

2
 m  2.
11

Đáp số: P  3.

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 5 -

Ôn tập thi học kì 1 lớp 11 năm học 2018 2019

Chuyên đề 2. Nhị thức Newton
1. Gii: 3An3 2C n2 330 0.

n 3 n 3
Li gii. iu kin:

n 2
n

Ta cú: 3An3 2C n2 330 0

3

n!

n!
2
330 0
(n 3)!
2!(n 2)!

3n (n 1)(n 2) n (n 1) 330 0
3

2

3n 10n 7n 330 0
n 6 : tha món iu kin.
Kt lun: n 6.
Cn nh: Vi n k 0, n , k

2. Gii: Ax31 C x21 14(x 1).
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................

n!
n!
v C nk

A

(n k )!
(n k )!.k !

.................................................................................

Gii tng t vi BPT, nhng chn n .

ỏp s: x 4. .....................................................

3. Gii: 3C n34 2An22 24(n 2).

4. Gii: C n6 3C n7 3C n8 C n9 2C n82 .

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

.................................................................................

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 6 -

¤n tËp thi häc k× 1 líp 11 n¨m häc 2018 – 2019
5. Tìm số hạng không chứa x trong khai 6. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
10

1 

triển nhị thức x  4  với x  0.

x 

Lời giải. Số hạng tổng quát:

Tk 1

 k
k 10k  1 
 C 10x .  4   C 10k .x 105k
 x 

15


1

nhị thức 2x 2  

x 

với x  0.

.................................................................................
.................................................................................

Số hạng không chứa x  10  5k  0

.................................................................................

 k  2.

.................................................................................

2
Do đó số hạng cần tìm là C 10
 45.

.................................................................................

 Cần nhớ: Khai triển Newton

.................................................................................

n

(a  b)n  C nk .a n k .b k với số mũ của a

k 0

giảm và số mũ của b tăng.

.................................................................................
.................................................................................

.................................................................................
am
m n

a
và
.................................................................................
an
thường được sử dụng.
Đáp số: Số hạng không chứa x là 96096.

Công thức: a m .a n  a m n ,

(a m )n  a m .n

7. Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong 8. Tìm số hạng chứa x 15 trong khai triển nhị

 3 1 11
khai triển 2x   với x  0.

x 

10

 3
2 

thức x  2  với x  0.

x 

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

Đáp số: Hệ số cần tìm là C 114 .24  5280.

Đáp số: Số hạng cần tìm là 960x 15 .

9. Tìm hệ số của số hạng chứa x 48 trong 10. Tìm hệ số của số hạng đứng chính giữa

 3 x 24
khai triển nhị thức 2x   
2 


20

3 

trong khai triển nhị thức x  2  

x 

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

15



2y
gấp đôi số mũ của y trong x  2  
x 

12. Tìm số hạng mà trong đó số mũ của x gấp
3 lần số mũ của y trong khai triển nhị thức
Newton: (2x 2  3xy )10 .

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

2
13. Trong khai triển x   , hệ số số 14. Trong khai triển của nhị thức x 2  


x 
x 
hạng thứ ba lớn hơn hệ số số hạng thứ
cho biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên
hai là 35. Tính số hạng không chứa x .
bằng 97. Tìm hệ số của số hạng có chứa x 4 .
............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

thức (x 2  2)n , biết số nguyên dương n
thỏa mãn An3  8C n2  C n1  49.

thỏa mãn 4C n31  2C n2  An3 .

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

17. Tìm số hạng chứa x trong 2x  3  ,
x 


18. Biết hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai

4

biết n thỏa mãn 3C n21  4An2  8n.

triển nhị thức (1  2x 2 )n bằng 40. Hãy tìm
số nguyên đương n.

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

............................................................................

.................................................................................

Đáp số: n  7  Số hạng thỏa là C 72 25 x 4 .

Đáp số: n  10  Số hạng cần tìm là 17010.

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 9 -

¤n tËp thi häc k× 1 líp 11 n¨m häc 2018 – 2019
19. Tính tổng:
0
n

20. Tính tổng:

1
n

2

2
n

3

n

3
n

n
n

S  C  2C  2 C  2 C   2 C .
Nhận xét. Không có số mũ giảm nên chọn
a  1, số mũ của số 2 tăng nên chọn b  2
và tất cả là dấu cộng nên xét (a  b)n .

n

k 0

k 0

2

2
n

.................................................................................

.................................................................................

n

(1  2)n  3n  C nk 1n k .2k   2k C nk
1
n

.................................................................................

.................................................................................

Giải. Xét khai triển:

0
n

S  2n C n0  2n 1C n1  2n 1C n2     C nn .

3

n

3
n

 C  2C  2 C  2 C     2 C

n
n

n

1
n

n2

2
n

n

n
n

24. Tính tổng:

3 C 3 C 3 C (1) C  2048.

S  316C 160  315C 161  314C 162   3C 1615  C 1616 .

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

Ôn tập thi học kì 1 lớp 11 năm học 2018 2019
25. Tỡm s nguyờn dng n tha món:

C

1
2n 1

C

3
2n 1

C

5
2n 1

C

2n 1
2n 1

26. Tỡm s nguyờn dng n tha món:

1024.

Nhn xột: õy l dng ton l (hoc ton chn),
n

n

C 20n C 22n C 24n C 22nn 512.
.................................................................................

ta s khai trin (a b) v (a b) , ri cng
hoc tr li vi nhau.

.................................................................................

Nhn thy: khụng cú s m tng hoc gim nờn
chn a b 1. T ú cú li gii sau:

.................................................................................
.................................................................................

Xột hai khai trin:

(1 1)2n1 C 0 C 1 C 2 C 2n1

2n1
2n1
2n1
2n1

(1 1)2n 1 C20n1 C21n1 C22n1 C22nn11

Tr v theo v, ta c:
2n 1

2

2(C

1
2n 1

C

.................................................................................

3
2n 1

C

.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................

5
2n 1

C

2n 1
2n 1

)

.................................................................................

22n1 2.1024

.................................................................................

22n1 2.210 211

.................................................................................

2n 1 11

.................................................................................

2n 10 n 5.

ỏp s: n 5.

n
28. Tỡm h s ca x 7 trong khai trin biu thc
1

3

27. Tỡm h s ca x trong x , bit
(2 3x )2n thnh a thc, bit n tha:
x

6

n tha: C n1 C n2 C n3 C nn 1023.

C 21n 1 C 23n 1 C 25n 1 C 22nn11 1024.

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

ỏp s: H s cn tỡm l C 107 .23.(3)7 .

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 11 -

¤n tËp thi häc k× 1 líp 11 n¨m häc 2018 – 2019
29. Xét khai triển nhị thức của đa thức:
n

2

(1  2x )  a 0  a1x  a2x     an x

30. Xét khai triển nhị thức của đa thức:
n

Tìm a 5 , biết rằng a 0  a1  a2  71.

(1  2x )n  a 0  a1x  a2x 2     an x n .
Tìm n   , biết a 0  8a1  2a 2  1.

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

bn trong cỏc bn hc sinh gii trờn i d
xỏc sut 3 qu cu ly c cú ỳng
l tuyờn dng cp trng. Tớnh xỏc sut
mt mu ?
trong ba bn c chn cú c nam v n.
Li gii. Chn 3 qu cu trong 10 qu cu,
suy ra s phn t khụng gian mu l:
3
10

.................................................................................
.................................................................................

n() C 120.

.................................................................................

Gi A l bin c: ba qu ly cựng mu.

.................................................................................

TH1: Chn 3 qu mu trng cú C 43 cỏch.

.................................................................................

TH2: Chn 3 qu mu xanh cú C 63 cỏch.

.................................................................................

Theo quy tc cng n(A) C 43 C 63 24.

Do ú xỏc sut cn tỡm ca bin c A l:

P (A)

n(A)
24
1

n() 120 5

.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
ỏp s: P (A)

6

7

3. T mt hp ng 5 bi xanh, 6 bi v 4 4. Thy giỏo cú 10 cõu hi trc nghim, trong
bi vng, tt c cỏc bi khỏc nhau ụi mt,
ú cú 6 cõu i s v 4 cõu hỡnh hc. Thy
ngi ta ly ngu nhiờn ba bi. Tớnh xỏc
gi bn An lờn bng chn ngu nhiờu 3 cõu
xut ba bi c chn ch gm ỳng
trong 10 cõu hi tr li. Tớnh xỏc sut
hai mu.
bn An chn ớt nht mt cõu hỡnh hc.
............................................................................

Trang - 13 -

Ôn tập thi học kì 1 lớp 11 năm học 2018 2019
5. Trờn giỏ sỏch cú 4 quyn sỏch toỏn, 3 6. Mt lụ hng gm 30 sn phm tt v 10
quyn sỏch lý, 2 quyn sỏch húa. Ly
sn phm xu. Ly ngu nhiờn 3 sn phm.
ngu nhiờn 3 quyn sỏch. Tớnh xỏc sut
Tớnh xỏc sut 3 sn phm ly ra cú ớt
trong ba quyn sỏch ly ra cú ớt nht
nht mt sn phm tt.
mt quyn l toỏn.
............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

244

247

7. Cú 30 tm th ỏnh s t 1 n 30 . 8. Mt hp cú 5 viờn bi xanh, 6 viờn bi v
Chn ngu nhiờn ra 10 tm th. Tỡm xỏc
7 viờn bi vng. Chn ngu nhiờn 5 viờn bi
sut cú 5 tm th mang s l v 5 tm
trong hp, tớnh xỏc sut 5 viờn bi c
th mang s chn trong ú ch cú ỳng
chn cú ba mu v s bi bng s bi
mt tm th chia ht cho 10 .
vng.
............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

ỏp s: P (A)

99

667

ỏp s:

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

95

408

Trang - 14 -

¤n tËp thi häc k× 1 líp 11 n¨m häc 2018 – 2019
9. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 10. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất.
đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và nhân hai
Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xác
số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác
suất để phương trình x 2  bx  2  0 có
suất để tích nhận được là số chẵn.
hai nghiệm phân biệt là bao nhiêu ?
............................................................................

.................................................................................

xác suất được chọn chia hết cho 3.
............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

¤n tËp thi häc k× 1 líp 11 n¨m häc 2018 – 2019
13. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số 14. Trong giờ Thể dục, tổ I lớp 12A có 12 học
sinh gồm 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ
có 4 chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên
tập trung ngẫu nhiên theo một hàng dọc.
1 số trong các số được lập, tính xác suất
Tính xác suất để người đứng ở đầu hàng và
để số được lấy có hai chữ số chẵn, hai
cuối hàng đều là học sinh nam.
chữ số lẻ ?
............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

5

Đáp số: P (A) 

7

22

15. Một tổ học sinh trong lớp 11A1 tường 16. Cho hai đường thẳng d1  d2 . Trên d1 có 6
THPT X có 4 em nữ và 5 em nam
được xếp thành một hàng dọc. Tính xác
suất để chỉ có hai em nữ A, B đứng
cạnh nhau, còn các em nữ còn lại không
đứng cạnh nhau và cũng không đứng
cạnh A, B.

điểm phân biệt được tô màu đỏ. Trên d2 có

4 điểm phân biết được tô màu xanh. Xét tất
cả các tam giác được tạo thành khi nối các
điểm đó với nhau. Chọn ngẫu nhiên một
tam giác. Tính xác suất thu được tam giác có
hai đỉnh màu đỏ ?

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

Đáp số: P 

5

63

Đáp số: P (A) 

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

5

8

Trang - 16 -

¤n tËp thi häc k× 1 líp 11 n¨m häc 2018 – 2019
17. Lập các số tự nhiên có 7 chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Tính xác suất để số lập được thỏa
mãn: các chữ số 1, 2, 3 có mặt hai lần, chữ số 4 có mặt 1 lần đồng thời các chữ số lẻ đều
nằm ở các vị trí lẻ (tính từ trái qua phải).
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
Đáp số: P (A) 

9
 .........................................................................................................................
8192

18. Một học sinh A thiết kế một bảng khóa điện tử để khóa một hộp bí mật. Bảng gồm 10 nút,
mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở
được hộp bí mật này cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo
thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Bạn A mang hộp đến lớp
cho các bạn thử mở. Một bạn B trong lớp không biết quy tắc mở nên đã nhấn ngẫu nhiên
liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng khóa. Tính xác suất để bạn B mở được hộp bí mật.
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
Đáp số: P (E ) 

8
1

 .................................................................................................................
720 90

19. Xét tập hợp A gồm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số
từ A. Tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước (tính
từ trái sang phải) ?
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

1.4 2.7 n(3n 1) n(n 1)2 ()
Li gii.

Vi n 1 VT() VP() 4.
Suy ra () ỳng vi n 1.

Gi s () ỳng vi n k , ngha l cú:

1.4 2.7 k (3k 1) k (k 1)2 .
Ta chng minh () ỳng vi n k 1,
ngha l cn chng minh:

1.2 2.5 3.8 n(3n 1) n 2 (n 1).
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................

1.4 k(3k 1) (k 1)(3k 4) (k 1)(k 2)2

.................................................................................

Tht vy, ta cú:

.................................................................................

1.4

2.7 k (3k 1) (k 1)(3k 4)

.................................................................................

2

k (k 1)

.................................................................................

2

k (k 1) (k 1)(3k 4)

.................................................................................

(k 1)(k 2) () ỳng khi n k 1. .................................................................................
Kt lun: Theo nguyờn lý quy np, ()
.................................................................................
ỳng vi mi s nguyờn dng n.
2

3. Chng minh vi mi s nguyờn dng n thỡ 12 22 32 n 2

n(n 1)(2n 1)

6

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 18 -

¤n tËp thi häc k× 1 líp 11 n¨m häc 2018 – 2019
4. Chứng minh với mọi số n   , thì ta có 22  42  62     (2n )2 

2n(n  1)(2n  1)

3

...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
5. Chứng minh với mọi số n   , thì ta có: 13  23  33      n 3 

n 2 (n  1)2

4

...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................


1 
1 
1 
1  n 1
6. Chứng minh: 1   1   1      1  2  
với n   và n  2.








4 

9 
16  
2n
n 
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 19 -

¤n tËp thi häc k× 1 líp 11 n¨m häc 2018 – 2019
7. Chứng minh với mọi số n   , thì un  n 3  11n chia hết cho 6.
Lời giải.

 Với n  1  u1  12  6. Do đó un đúng khi n  1.
 Giả sử với n  k thì uk  k 3  11k  6.
Ta cần chứng minh n  k  1 thì uk 1  (k  1)3  11(k  1)  6
Thật vậy: uk 1  (k  1)3  11(k  1)  k 3  3k 2  3k  1  11k  11

 (k 3  11k )  3k (k  1)  12  uk  3k (k  1)  12.

Mà uk  6, 12  6 và có k (k  1)  2  3k (k  1)  6 nên tổng của chúng sẽ chia hết cho

6. Nghĩa là uk 1  6. Do đó un đúng khi n  k  1.
 Theo nguyên lý quy nạp, ta có un  n 3  11n chia hết cho 6 (đpcm).
 Cần nhớ: n   thì ta luôn có n(n  1)  2.
8. Chứng minh với mọi số n   , thì un  2n 3  3n 2  n chia hết cho 6.
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
9. Chứng minh với mọi số n   , thì un  n 3  3n 2  5n chia hết cho 3.
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 20 -

¤n tËp thi häc k× 1 líp 11 n¨m häc 2018 – 2019
10. Chứng minh với mọi số n   , thì un  4n  15n  1 chia hết cho 9.
Lời giải.

 Với n  1  u1  41  15.1  1  18  9. Do đó un đúng khi n  1.
 Giả sử với n  k thì uk  4k  15k  1  9  4uk  (4k  15k  1)  9.
Ta cần chứng minh n  k  1 thì uk 1  4k 1  15(k  1)  1  9.
Thật vậy: uk 1  4.4k  15k  14  4(4k  15k  1)  45k  18  4.uk  9(2  5k )
Mà 4u k 1  9 và 9(2  5k )  9 nên tổng của chúng sẽ chia hết cho 9 nghĩa là u k 1  9.
Do đó un đúng khi n  k  1.

 Theo nguyên lý quy nạp, ta có un  4n  15n  1 chia hết cho 9. (đpcm).
 Cần nhớ: Gặp dạng un có chứa a n ta sẽ nhân thêm a để dễ nhìn nhận uk 1 chia hết.
11. Chứng minh với mọi số n   , thì un  4n  6n  8 chia hết cho 8.
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
12. Chứng minh với mọi số n   , thì un  32n 1  2n 2 chia hết cho 7.
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................

un 

 Nếu

un

un 1
un

un 

n 1
2
 1

n 1
n 1


2
2 

Xét un 1  un  1 
 1 
n  2 
n  1

1
1
1




 0, n  .
n  1 n  2 (n  1)(n  2)

với số 1. (sử dụng khi có a n ).

 1 thì (un ) là dãy số giảm.

14. Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:

n 1
với mọi n    .
n 1

Lời giải. Ta có: un 

un 1

2n  1
với mọi n    .
n 3

.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................

Kết luận: Dãy số (un ) là dãy số tăng.

.................................................................................

15. Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:

16. Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:

2

3n  2n  1
un 
với mọi n    .
n 1

n2  n  1
un 
với mọi n    .
2
2n  1

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

.................................................................................

............................................................................

¤n tËp thi häc k× 1 líp 11 n¨m häc 2018 – 2019
19. Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:

un 

n
với mọi n    .
n
2

Lời giải. Nhận thấy un  0, n   .
Xét

un 1

2n

n  1 2n . n  1

 n 1 
2
n
n .2.2n

un



Thật vậy

20. Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:

n 1
2 n
n 1
2 n

un 

n 1
với mọi n    .
n
3

.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................

 1, (n  1).

.................................................................................
.................................................................................

1 

n 1
 12
4n

 4n  n  1  3n  1 : đúng n  1.

.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................

Kết luận: Dãy số (un ) là dãy số giảm.

.................................................................................

21. Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:

22. Xét tính tăng, giảm của dãy số sau:

un 

3n
với mọi n    .
2
n

un 

3n
với mọi n    .
n 1
2

............................................................................

.................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 23 -

Tài liệu ôn thi Toán 11 học kỳ 1 năm học 2018 – 2019 – Lê Văn Đoàn

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về