Giải và biện luận phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số – Nguyễn Thành Trung

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung

Contents
 DẠNG 1: Cho đồ thị hàm số y = f ( x )

(

xác định số nghiệm của phương trình

)

f t ( x ) = k .................................................................................................................................... 4
 DẠNG 2: Cho bảng biến thiên f  ( x ) tìm tham số m để bất phương trình g ( x , m )  0
có nghiệm thuộc D . .................................................................................................................... 6
 DẠNG 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ( x ) xác định tham số m để g ( x , m )  0 13
 DẠNG 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f  ( x ) xác định tham số m để g ( x , m )  0 36
 DẠNG 5: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định tham số để phương trình có nghiệm
...................................................................................................................................................... 41
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky ........................................................................................... 48
 DẠNG 6: Cho đồ thị hàm số y = f  ( x )

xác định số nghiệm của hàm số

g ( x ) = f ( x ) + g ( x ) ...................................................................................................................... 51

 DẠNG 7 : Biện luận tham số m của bất phương trình hoặc phương trình bằng cách
đưa về hàm số đặc trưng .......................................................................................................... 53

3

Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

(

)

 DẠNG 1: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định số nghiệm của phương trình f t ( x ) = k
Ví dụ 1.
Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

y = f ( x ) như

hình

bên.

có đồ thị
Đặt

g ( x ) = f  f ( x ) xác định số nghiệm của
phương trình g ( x ) = 0

A. 8 .

B. 7 .

C. 6 .

D. 5 .

 Lời giải
 Chọn đáp án A
Ta có

g ( x ) =  f f ( x )  = f  ( x ) f   f ( x ) 


 x = −1

 f ( x) = 0
x = 2
g ( x ) = 0  

f ( x ) = 1 ( 1)
 f   f ( x )  = 0

 f ( x ) = 2 ( 2 )

(

)

Phương trình ( 1) có 3 nghiệm vì đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số f ( x ) tại 3 điểm phân
biệt.
Phương trình ( 2 ) có 3 nghiệm vì đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số f ( x ) tại 3 điểm phân
biệt.
4


Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung

Suy ra g ( x ) = 0 có 8 nghiệm.
Ví dụ 2.
Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

có đồ

thị y = f ( x ) như hình bên. Số nghiệm

(

( )) = 1

thực của phương trình f 2 + f e x
là
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

 Lời giải
 Chọn đáp án B
Ta có

Theo đồ thị

(

f 2 + f (e

x

))

 2 + f ( e x ) = −1
=1 
 2 + f ( e x ) = a , ( 2  a  3)


e x = 1
2 + f e x = −1  f e x = −3   x
x=0
 e = b  −1 ( loaïi )

( )

( )

( )

( )

2 + f ex = a  f ex

 e x = c  −1 ( loaïi )

= a − 2, ( 0  a − 2  1)   e x = d  0 ( loaïi )  x = ln t
 x

 e = t  2

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
Ví dụ 3.

5


Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung
Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

có đồ thị

y = f ( x ) như hình bên. Phương trình

(

)

f 2 − f ( x ) = 0 có bao tất cả bao nhiêu
nghiệm phân biệt.
A. 4 .
C. 6 .

B. 5 .
D. 7 .

Thi Thử THPT Quốc Gia Trường Yên Lạc Vĩnh Phúc Lần 4
 Lời giải
 Chọn đáp án B

Theo đồ thị
 x = a ( −2  a  −1)
 2 − f ( x) = a  f ( x) = 2 − a (1)



 f (2 − f ( x)) = 0   2 − f ( x) = b   f ( x) = 2 − b (2)
f ( x) = 0   x = b (0  b  1)
 x = c (1  c  2)
 2 − f ( x) = c  f ( x) = 2 − c (3)

Nghiệm

của

phương

trình ( 1) ; ( 2 ) ; ( 3 )

là

giao

điểm

của

đường

thẳng

y = 2 − a; y = 2 − b; y = 2 − c với đồ thị hàm số f ( x ) .
•

a  (−2; −1)  2 − a  (3; 4) suy ra phương trình ( 1) có đúng 1 nghiệm phân biệt.

•

b  (0;1)  2 − b  (1; 2) suy ra phương trình ( 2 ) có đúng 1 nghiệm phân biệt.

•

c  (1; 2)  2 − b  (0;1) suy ra nên phương trình ( 3 ) có 3 nghiệm phân biệt.

Kết luận: Có tất cả 5 nghiệm phân biêt.

 DẠNG 2: Cho bảng biến thiên f  ( x ) tìm tham số m để bất phương trình g ( x , m )  0 có
nghiệm thuộc D .
Ví dụ 1.

6


Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

. Bảng biến thiên của hàm số y = f  ( x ) như hình

dưới

−1

x

3

1
3

f ( x)

1

2
1
Tìm m để bất phương trình m + x 2  f ( x ) + x 3 nghiệm đúng với mọi x ( 0; 3 ) .
3
2
A. m  f (0) .
B. m  f (0) .
C. m  f (3) .
D. m  f (1) − .
3
 Lời giải
 Chọn đáp án A
1
1
Ta có m + x2  f ( x ) + x3  m  f ( x ) + x3 − x 2 .
3
3

1
Đặt g ( x ) = f ( x ) + x 3 − x 2 .
3
Ta có g ( x ) = f  ( x ) + x2 − 2x = f  ( x ) − −x2 + 2x .

(

g ( x ) = 0  f  ( x ) = − x + 2 x .

)

2

f  ( x )  1 x  ( 0; 3 )

Theo bảng biến thiên

và

g ( x )  0, x  ( 0; 3 ) .

−x2 + 2x = 1 − ( x − 1)  1,x  ( 0; 3 )
2

nên

Từ đó ta có bảng biến thiên của g( x) :
x

g ( x )

0

3

+

g ( 3)
g ( x)
g (0)
1
Bất phương trình m  f ( x ) + x 3 − x 2 nghiệm đúng với mọi x ( 0; 3 )
3
 m  g ( 0 )  m  f (0) .

Ví dụ 2.
Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
x

f ( x)

−1

−

+

0
4

0

−

0

+

2
0

+

−

3
7


Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung
f ( x)
−

(

−

2

)

Bất phương trình x + 1 f ( x )  m có nghiệm trên khoảng ( −1; 2 ) khi và chỉ khi
2

C. m  27 .

B. m  15 .

A. m  10 .

D. m  15 .

Đề thi Duyên Hải Bắc Bộ năm 2019
 Lời giải
 Chọn đáp án B
Yêu cầu bài toán  m  max g ( x )
 −1; 2

(

)

Với g ( x ) = x 2 + 1 f ( x ) .

(

)

Ta có: g  ( x ) = 2 x f ( x ) + x 2 + 1 f  ( x ) .

x  0

2  f ( x )  4
 g  ( x )  0, x  ( −1; 0 ) .
Với x  ( −1; 0 ) thì 

f
x

0
(
)

 x2 + 1  0

Tại x = 0 , g  ( 0 ) = 0 .

x  0

2  f ( x )  3
 g  ( x )  0, x  ( 0; 2 ) .
Với x  ( 0; 2 ) thì 
 f ( x)  0
 x2 + 1  0


(

)

Ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x ) = x 2 + 1 f ( x ) trên khoảng ( −1; 2 ) như sau

x

g ( x )
g ( x)
Suy ra max g ( x ) = 15 .
 −1; 2

Kết luận: m  15 .
Ví dụ 3.

8

−1

0

−
8

0
3

2

2
+
15

Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung
Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
0

x

f ( x)

1
4

+

−
−
Tìm m để bất phương trình m + 2sin x  f ( x ) nghiệm đúng với mọi x  ( 0; + ) .

B. m  f (1) − 2sin1 .

A. m  f ( 0 ) .

C. m  f ( 0 ) .

D. m  f (1) − 2sin1 .

 Lời giải
 Chọn đáp án C
BPT m + 2sin x  f ( x )  m  f ( x ) − 2sin x .
Yêu cầu bài toán  m  min g ( x ) ; g ( x ) = f ( x ) − 2sin x

Ta có g ( x ) = f  ( x ) − 2cos x .
g ( x ) = 0  f  ( x ) = 2cos x .

Mà f  ( x )  2, x  ( 0; + ) và 2cosx  2,x  ( 0; + ) nên g ( x )  0, x  ( 0; + ) .
 f '( x) = 2
g ( x ) = 0  
 x = 0 . Với g ( 0 ) = f ( 0 ) − 2sin 0 = f ( 0 )
2 cos x = 2
Từ đó ta có bảng biến thiên của g( x) :
x

g ( x )

+

0

+
+

g ( x)
f (0)

Bất phương trình m  f ( 0 ) nghiệm đúng với mọi x  ( 0; + )

Ví dụ 4.

9

Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung
Cho hàm số y = f ( x ) có f ( −2 ) = m + 1 , f (1) = m − 2 . Hàm số y = f  ( x ) có bảng biến thiên
0

0

x

+
+

2

0

f ( x)

−2

−

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

1
2x + 1
f ( x) −
 m có
2
x+3

nghiệm trên x   −2;1 là

7
A.  −5; −  .
2


B. ( −;0 ) .

 7

D.  − ; +   .
 2


C. ( −2;7 ) .

 Lời giải
 Chọn đáp án D
Yêu cầu bài toán g ( x ) =
Ta có g ( x ) =

1
2x + 1
f ( x) −
 m, x   −2; 1  min g ( x )  m
2
x+3
−
 2; 1

1
5
f ( x) −
.
2
2
( x + 3)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f  ( x ) ta có f  ( x )  0, x  ( −2;1)
và −

5

( x + 3)

2

 0, x  ( −2;1) . Do đó g ( x )  0, x  ( −2;1) .

Bảng biến thiên của hàm số y = h ( x ) trên khoảng  −2;1 .
x

g ( x )

−2

1
+

g ( −2 )

g ( x)
g ( 1)
 min g ( x ) = g ( 1)
−
 2; 1

Suy ra g (1)  m 

10

2m − 7
1
m−2 3
3
7
 m  −  m.
f ( 1) −  m 
− m 
4
2
2
4
4
2


Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung
Ví dụ 4.

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục

và có đồ

thị như hình vẽ. Tập các giá trị thực của
tham số m để phương trình
f

(

)

4 − x 2 = m có nghiệm thuộc nữa

)

khoảng  − 2 ; 3 là

A.  −1; 3  .


(

C. −1 ; f



( 2 ) .

B.  −1; f ( 2)  .



D. ( −1; 3 .

Đề thi thử THPT Quốc Gia Phan Bội Châu Nghệ An Lần 2 năm 2019
 Lời giải
 Chọn đáp án D

4−x )
(
, t =
=
2

Đặt t = 4 − x

2

2 4−x

−x

2

4 − x2

x

− 2

, t=0x=0

Bảng biến thiên
t ( x )

0

3

2
t

Suy ra t  t  ( 1; 2  .

2

1

Phương trình tương đương với f ( t ) = m ( 1) có nghiệm t  ( 1; 2 

Nghiệm của phương trình ( 1) là giao của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = f ( x ) với
x  ( 1; 2  .

Theo đồ thị ta suy ra −1  m  3 . Chọn D.
11


Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

Ví dụ 5.

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục

và có đồ

thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên dương
của m để phương trình

(

)

f x2 − 4x + 5 + 1 = m có nghiệm là

A. 0 .

B. 3 .

C. 4 .

D. Vô số.

8 Trường chuyên đồng bằng Sông Hồng Lần 1 năm 2019
 Lời giải
 Chọn đáp án B

(

)

(

)

f x2 − 4 x + 5 + 1 = m  f x2 − 4x + 5 = m − 1  f ( t ) = m − 1
ñoà thò
Với t = x2 − 4x + 5 = ( x − 2 ) + 1  1  t  1; +  ) ⎯⎯⎯
→ f ( t )  2; +  )
2

Nên để phương trình có nghiệm  m − 1   2; +  )  m − 1  2  m  3
Và m 

12

+

 m 1; 2; 3 . Chọn đáp án B.


Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung

 DẠNG 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ( x ) xác định tham số m để g ( x , m )  0

Ví dụ 1.
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

Bất phương trình f ( x)  sin

x
2

, có đồ thị f  ( x ) như hình vẽ.

+ m nghiệm đúng với mọi x   −1;3 khi và chỉ khi
C. m  f (−1) + 1 .

B. m  f (1) − 1 .

A. m  f (0) .

D. m  f (2) .

 Lời giải
 Chọn đáp án B

f ( x)  sin

x
2

+ m  m  f ( x ) − sin

x
2

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x   −1;3 thì

x

m  min  f ( x ) − sin


 −1; 3 
2 
Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − sin

x
2

, g( x) = f ( x) −


2

cos

x
2

Nhận thấy f  ( x ) đổi dấu khi qua x = 1 gợi ý cho ta xét dấu của hàm g  ( x ) trên 2 khoảng

( −1;1) và (1;3)
• Với x  ( −1;1)
x  ( −1;1)  f  ( x )  0 ( đồ thị hàm số
x  ( −1;1) 

 x  −  


x 


;   − cos 
  0, x  ( −1;1)
2  2 2
2
 2 

Vậy g  ( x ) = f  ( x ) −
•



x 
cos 
  0, x  ( −1;1)
2
 2 

Với x = 1

g  (1) = f  (1) −
•

f  ( x ) nằm dưới trục hoành )



  .1 
cos 
=0
2

 2 

Với x  (1;3)
13


Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

x  (1;3)  f  ( x )  0 (đồ thị hàm số f  ( x ) nằm trên trục hoành )
x  (1;3) 

 x   3 


 x 
  ;   − cos 
  0, x  (1;3)
2 2 2 
2
 2 

Vậy g  ( x ) = f  ( x ) −



x 
cos 
  0, x  (1;3)
2
 2 

Ta có bảng biến thiên

−1

x

g ( x )

3

1
−

0

f ( −1) + 1

3

+

f ( 3) + 1

g ( x)

f ( 1) − 1

Suy ra Min g ( x ) = f (1) − 1
−1;3

Vậy m  f (1) − 1 .
Ví dụ 2.
Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

và có đồ

thị f  ( x ) như hình vẽ. Bất phương trình
log 5  f ( x ) + m + 2  + f ( x )  4 − m

đúng

với mọi x ( −1; 4 ) khi và chỉ khi
A. m  4 − f ( −1) .

B. m  3 − f (1) .

C. m  4 - f (-1) .

D. m  3 − f (4) .
Thi Thử THPT Quốc Gia Chuyên Hạ Long năm tháng 5 năm 2019

 Lời giải
 Chọn đáp án D

log 5  f ( x ) + m + 2  + f ( x )  4 − m (1)  log 5  f ( x ) + m + 2  +  f ( x ) + m + 2   log 55 + 5 ( 2 )
Xét hàm số đặc trưng cho 2 vế của BPT ( 2 )

g ( t ) = log t5 + t với t  0
g ( t ) =

1
+ 1  0 suy ra g ( t ) đồng biến với t  0
5ln t

 ( 2)  f ( x) + m + 2  5  m  3 − f ( x)

(

)

Yêu cầu bài toán  m  max 3 − f ( x ) = max h ( x ) ( 2 ) x  ( −1; 4 ) với h ( x ) = 3 − f ( x ) khi đó
h ( x )max  f ( x )min

14


Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung
Từ đồ thị suy ra bảng biến thiên

x

f ( x)

−1
0

1
+

0

4
−

0

f ( 1)
f ( −1)

f ( 4)

 f ( −1)
f ( x )min = 
 f ( 4 )

So sánh f ( −1) và f ( 4 )

S1  S2 

1



−1

4

f  ( x ) dx  −  f  ( x ) dx  f ( 1) − f ( −1)  −  f ( 4 ) − f ( 1)   f ( −1)  f ( 4 )
1

Suy ra f ( x )min = f ( 4 ) và ( 2 )  m  3 − f ( 4 )
Ví dụ 3.
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục
trên
có đồ thị khi và chỉ khi
A. m  f (1) − 1 .
B. m  f ( 1) + 1 .
C. m  f (1) − 1 .

D. m  f (1) − 1 .

 Lời giải
 Chọn đáp án D
Ta có f ( x )  3x − 2 x + m  f ( x ) − 3x + 2 x  m.

15


Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung
Đặt g( x) = f ( x ) − 3x + 2x. Khi đó g( x) = f  ( x ) − 3x ln 3 + 2.
g( x) = 0  f  ( x ) = 3x ln 3 − 2.

Đặt h( x) = 3x ln 3 − 2. Khi đó h( x) = 3x ln 2 3  0, x  ( −; 1 .
Bảng biến thiên
−

x

h ( x )

1
+

+

−

3ln 3 − 2

h ( x)

−2

 h( x)  −2, x  ( −; 1 .

(1)

Theo đồi thị y = f ( x), ta thấy f ( x)  −3, x  ( −; 1 .

(2)

Từ (1) và (2), ta được f ( x)  h( x), x  ( −; 1 .
Nên g( x) = f  ( x ) − h( x)  0, x  ( −; 1 ,=suy ra min g( x) = g(1) = f (1) − 1.
( − ; 1

Do đó f ( x )  3x − 2x + m có nghiệm trên ( −; 1 khi và chỉ khi m  min g( x)  m  f (1) − 1.
( − ; 1
Ví dụ 4.
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục

trên
và đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả
các giá trị nguyên của tham số m để bất
phương trình

(

)

(

)

f x
f x
f x
9.6 ( ) + 4 − f 2 ( x ) .9 ( )  −m2 + 5m .4 ( )

đúng với x  là
A. 10 .
B. 4 .

C. 5 .

D. 9 .

 Lời giải
 Chọn đáp án A

(

)

(

)

f x
f x
f x
9.6 ( ) + 4 − f 2 ( x ) .9 ( )  −m2 + 5m .4 ( ) ( 1)

Đặt t = f ( x )  ( −; −2  ( theo đồ thị)

(

)

(

)

 ( 1) : 9.6t + 4 − t 2 .9t  −m2 + 5m .4t
t

2t

3
3
 9.   + 4 − t 2    − m2 + 5m ( 2 )

2
2

16

(

)


Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung
t

3
Đặt: g ( t ) = 9.   + 4 − t 2
2

(

)

2t
t
3
3 
.   =   . 9 + 4 − t 2
2
 2  

(

)

3
. 
2

t


 , t  ( −; −2  .


t

3
Xét hàm số: h ( t ) = 9 + 4 − t .   với t  ( −; −2 
2

(

t

3
h ( t ) = −2t.   + 4 − t 2
2

(

2

)

)

t

3
3 3
.   .ln =  
2 2
2

t


3
.  −2t + 4 − t 2 .ln  .
2


(

)

2

2

 3

 3
−1 + 1 + 4  ln 
−1 − 1 + 4  ln 
 2
 2
h ( t ) = 0  t =
 −2 (loại) hoặc t =
 −2 (tm)
3
3
ln
ln
2
2
Ta có BBT:

x

−

h ( t )

0

 3
−1 − 1 + 4  ln 
 2
3
ln
2

−

0

2

−2

+

9

9

h (t )

0

Từ BBT  h(t )  9 t  ( − ; − 2  (3).
t

3 4
Vì t  ( −; −2   0    
2 9

3
Từ (3) và (4) suy ra g ( t ) =  
2

(4).

t


. 9 + 4 − t 2


(

)

3
. 
2

t


  4 t  ( − ; − 2 


 max g ( t ) = 4 . (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = −2 ).
( − ; −2

Bất phương trình (1) đúng với x 

 Bất phương trình (2) đúng với t  ( − ; − 2 

 −m2 + 5m  max g ( t )  − m2 + 5m  4  m2 − 5m + 4  0  1  m  4 .
( − ; −2

Do m

suy ra m1; 2; 3; 4 . Vậy tổng các giá trị nguyên của m là: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 .

Ví dụ 5.

17


Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  −1; 9  và có đồ thị là đường cong như hình vẽ

y

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
f x
f x
f x
16.3 ( ) −  f 2 ( x ) + 2 f ( x ) − 8  .4 ( )  m2 − 3m .6 ( ) nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc
đoạn  −1; 9  ?

(

A. 32 .

)

C. 5 .

B. 31 .

D. 6 .

Đề thi thử THPT Quốc Gia Yên Khánh Ninh Bình Lần 4 năm 2019
 Lời giải
 Chọn đáp án D
Từ đồ thị ta suy ra −4  f ( x )  2 x  −1;9  .
Đặt t = f ( x ) , t  −4; 2  .

(

)

ycbt  tìm m sao cho bất phương trình 16.3t − t 2 + 2t − 8  .4t  m2 − 3m .6t (1) đúng với
t   −4; 2 
t

2
16
(1)  2t − t 2 + 2t − 8  .  3   m2 − 3m với t  −4; 2 (*).
 

Ta có

16
 4, t   −4; 2  . Dấu bằng xảy ra khi t = 2 .
2t

Mặt khác t 2 + 2t − 8  0 với t   −4; 2  .
t

2
Do đó t + 2t − 8 .    0, t   −4; 2  . Dấu bằng xảy ra khi t = 2  t = −4 .
3

(

2

)

t

Như vậy

t

2
2
16
16
− t 2 + 2t − 8  .    4 t   4; −2  . Mà
− t 2 + 2t − 8  .    m2 − 3m với
t
3
2t 
2
 
3

t   −4; 2  .

Suy ra m2 − 3m  4  −1  m  4 . Như vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
18


Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung
Ví dụ 6.
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

 −1; 3

và có đồ thị như hình vẽ. Bất

phương trình f ( x) + x + 1 + 7 − x  m
có nghiệm thuộc  −1; 3 khi và chỉ khi
A. m  7 .
B. m  7 .
C. m  2 2 − 2 .
D. m  2 2 + 2 .
Đề thi thử THPT Quốc Gia Yên Khánh A Ninh Bình Lần 4 năm 2019
 Lời giải
 Chọn đáp án A
Xét hàm số g ( x ) =

g '( x) =

x + 1 + 7 − x liên tục trên  −1;3 ta có:

1

1
−
, x  ( −1;3
2 x +1 2 7 − x

g ' ( x ) = 0  x + 1 = 7 − x  x + 1 = 7 − x  x = 3 (nhận)
g ( −1) = 2, g ( 3) = 4  max g ( x ) = max  g ( −1) , g ( 3) = g ( 3) = 4. (1)
−1;3

Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có: max f ( x ) = f ( 3) = 3. ( 2 )
 −1;3

Đặt h ( x ) = f ( x) + g ( x ) trên  −1;3 , kết hợp với (1) và ( 2 ) ta suy ra:

h ( x )  max f ( x ) + max g ( x ) = f ( 3) + g ( 3) = 7 , đẳng thức xảy ra khi x = 3.
−1;3

−1;3

Vậy bất phương trình m  h ( x ) có nghiệm thuộc  −1;3 khi và chỉ khi

m  max h ( x ) = 7.
−1;3

Ví dụ 7.
Cho hàm số f ( x) = x 3 − 4 x 2 − x + 4 có đồ thị như
hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
phương trình sau có 4 nghiệm thuộc đoạn 0; 2 
2019 f

(

)

15x 2 − 30 x + 16 − m 15x 2 − 30 x + 16 − m = 0

A. 4541 .
B. 4542 .
C. 4543 .
D. 4540 .
19


Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung
THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 3 – tháng 5 – 2019
 Lời giải
 Chọn đáp án B
Theo đề f  ( x ) = ( x + 1)( x − 1)( x − 4 )
x  0; 2  : t = 15x 2 − 30 x + 16 = 15 ( x − 1) + 1  1; t ( 0 ) = t ( 2 ) = 4  t  1; 4 
2

Với t  1 thì phương trình có 2 nghiệm x thoả mãn.
Với t = 1 có 1 nghiệm x thoả mãn.
BPT  2019 f ( t ) = m ( t + 1)  2019 ( t + 1)( t − 1)( t − 4 ) = m ( t + 1)
Xét t  (1; 4 
 5  2 9 
 9
 m = g ( t ) = 2019 ( t − 1)( t − 4 ) = 2019 t − 5t + 4 = 2019  t −  −   2019  −  = −4542,75
 2  4 
 4

(

x

1

g ( t )

0

g (t )

0

)

2

5
2
−

0

4
+

0
0

y=m

−4542,75

Yêu cầu bài toán  −4542,75  m  0  m −45042; −45042;...; −1 có 45042 m nguyên thoả
mãn.
Ví dụ 8.
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

và có đồ thị

như hình vẽ.
Tập hợp tất cả các giá trị của m để bất phương
1   2x  
trình f  f  2
  + 1 − m  0 có nghiệm là
2   x + 1 
A. m  2 .
B. 1  m  2 .
C. m  1 .
D. m  −5 .

 Lời giải
 Chọn đáp án A
Đánh giá: x 2 + 1  2 x 
20

2x
x +1
2

 1  −1 

2x
1
x +1
2


Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung
Từ đồ thị thấy
x   −1;1  −2  f ( x)  2

x   −2; 2   −2  f ( x)  2

Xét bất phương trình
1
2

  2x  
2x
; u=
ff 2
  + 1  m . Đặt t = 2
x +1
  x + 1

 2x 
f 2
.

 x +1

1
Vì t   −1;1  u   −2; 2   −2  f (u)  2  0  f ( u ) + 1  2
2

Vậy để bất phương trình ban đầu có nghiệm thì m  2 .
Ví dụ 9.
Cho

hàm

f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d

số

với

a, b, c, d có đồ thị như hình vẽ. S là tập hợp
 −10; 10  để
m
chứa tất cả
thuộc

f

(

)

2
10
1 − x 2 + x3 − x 2 + − f (m)  0 có nghiệm
3
3

số phần tử của S là
A. 9 .
B. 10 .
C. 11 .
D. 12 .
 Lời giải
 Chọn đáp án A
f

(

)

( 1 − x ) + 23 x − x + 31 = g ( x )
2
1
m  min g ( x ) = min f ( 1 − x ) + min  x − x +  x   −1; 1
3
3

2
1
1 − x2 + x3 − x2 + − f ( m)  0  f ( m )  f
3

3

Yêu cầu bài toán

2

(vì điều kiện 1 − x 2  0  −1  x  1 )
•

0  t = 1 − x2  1 suy ra
min f ( t ) = min f
 0; 1

•

h ( x) =

2

(

)

f

)

(

3

3

1 − x 2 = f ( t ) t 0; 1

2

2

quan sát đồ thị

ta thấy

1 − x = 3 khi t = 0  x = 1 .
−
 1; 1

2 3
1
x − x2 + x   −1; 1 ; h ( x ) = 2x2 − 2x = 2x ( x − 1) ; h ( x ) = 0  x = 0; x = 1
3
3



8
min h ( x ) = min h ( 0 ) = ; h (1) = 0  = 0
3



min g ( x ) = min g ( x ) = min f
−
 1; 1

−1; 1

(

)

1 − x 2 + min h ( x ) = 3 + 0 = 3

−1; 1

−
 1; 1

21


Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung
Suy ra f ( m )  3 quan sát đồ thị  m  0 và m   −10; 10  suy ra m0; 1; 2;...;10 có
10 − 0 + 1 = 11 giá trị.

Ví dụ 10.
Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d với

a, b, c, d

có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu

giá trị nguyên của tham số m để bất phương
trình

 3sin x − cos x − 1
f
 2 cos x − sin x + 4


2
  f m + 4m + 4


(

)

luôn đúng ?
A. 3 .
C. 1 .

B. 4 .
D. vô số.

 Lời giải
 Chọn đáp án D
3sin x −cos x − 1
 ( 2t + 1)cos x − ( t + 3 )sin x = −1 − 4t ( * ) .
Đặt t =
2 cos x − sin x + 4

Phương trình ( * ) có nghiệm  ( 2t + 1) + ( t + 3 )  ( 4t + 1)  −
2

2

2

9
t 1 .
11

Suy ra 0  t  1 .
Từ đồ thị y = f ( x ) ta có
y = f ( x ) đồng biến trên x  0; + )

Do m2 + 4m + 4 = ( m + 2 )  0; + ) ; t  0; + )
2

Nên

 3sin x − cos x − 1 
2
2
2
f
  f m + 4m + 4  f t  f m + 4m + 4  t  m + 4m + 4 Bất
2cos
x
−
sin

x
+
4



(

)

( ) (

)

 m  −3
phương trình luôn đúng  m2 + 4 m + 4  1  
. Suy ra có vô số giá trị của tham số m .
 m  −1

Ví dụ 11.

22


Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

và có

đồ thị như hình vẽ.Có bao nhiêu giá trị

nguyên dương của tham số m để bất
phương trình
m
f 2 ( x) + 1 −
− mf ( x )  0 luôn đúng
f ( x)
trên đoạn  −1; 4  ?

A. 3 .
C. 1 .
 Lời giải

B. 4 .
D. vô số.

 Chọn đáp án D
Dựa vào đồ thị ta có x  −1; 4   1  f ( x )  4  m  0
Bất phương trình ban đầu tương đương với :
2
 m
5 2
m f ( x) f ( x) 
0
f ( x) + 1 − 
+2
.
+
 f ( x)
4
4 

f ( x) 2



f ( x) 
m

+
2 
f ( x)

f ( x)
5 2
m
f ( x) + 1 −

4
2
f ( x)


5
 f 2 ( x) + 1  

4



2

 5 2
f ( x) 
 g ( x) = 
f ( x) + 1 −
 f (x)  m
 4
2 


Đặt

f ( x ) = t (1  t  2 )

Bất phương trình trở thành
 5 4
t2
t +1 −

 4
2



t  m



 5 4
t2
t +1 −

Yêu cầu bài toán  m  h ( t ) với h ( t ) = 
 4
2



t



30 4
t +2
3
h ( t ) = 4
− t 2  0, t  1; 2 
2
5
2 t4 + 1
4

 h ( t )  h ( 2 ) , t  1; 2 

Để bất phương luôn đúng trên đoạn  −1; 4  ta phải có
23


Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

(

m  h ( 2 )  m  h 2 ( 2 ) = 2 21 − 4

)

2

Suy ra có vô số giá trị m thoả mãn.
Ví dụ 12.
Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình
vẽ.Có bao nhiêu số nguyên âm m để bất

1 x
phương trình f  + 1   m − x có
3 2

nghiệm thuộc đoạn  −2; 2  ?
A. 3 .
B. 9 .
C. 8 .
D. 10 .
 Lời giải
 Chọn đáp án D
x

x

Ta có bất phương trình  f  + 1  + 6  + 1   3m + 6 (*)
2

2



Yêu cầu bài toán  3m + 6  min g ( t ) với g ( t ) = f ( t ) + 6t với t =
Xét hàm số g = f ( t ) + 6t với t  0; 2 

x
+ 1 và t  0; 2 
2

Quan sát đồ thị 0; 2  hàm số f ( t ) đồng biến suy ra f  ( t )  0
Ta có g ' = f ' ( t ) + 6  0, t  0; 2  suy ra hàm số g đồng biến t  0; 2  nên
g  g ( 0 ) = f ( 0 ) = −4  min g ( t ) = −4  3m + 6  −4  m  −

Vì m nguyên âm nên m−3; −2; −1 .
Ví dụ 13.
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

và có

đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị
nguyên âm lớn hơn −50 của tham số m để
bất phương trình

( f ( x) − 3 f ( x) + m)
3

3

− 4 f ( x ) + m  0 luôn

đúng trên đoạn  −1; 4  ?
A. 3 .
C. 1 .
 Lời giải
24

B. 5 .
D. 2 .

10
.
3


Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung
 Chọn đáp án D

(

BPT f 3 ( x ) − 3 f ( x ) + m

(

 f 3 ( x) − 3 f ( x) + m

)

3

− 4 f ( x) + m  0

) + ( f ( x ) − 3 f ( x ) + m )   f ( x )
3

3

3

+ f (x)

Đặt f 3 ( x ) − 3 f ( x ) + m = t
Bất phương trình trở thành t 3 + t  f 3 ( x ) + f ( x )
Xét hàm số đặc trưng cho hai vế của BPT g ( u ) = u3 + u có g ( u) = 3u2 + 1  0, u 
Vậy hàm số g ( u ) luôn đồng biến trên

(

g (t )  g f ( x )

 t  f ( x)

vậy ta có

)

 f 3 ( x) − 3 f ( x) + m  f ( x)
 m  − f 3 ( x) + 4 f ( x)

Yêu cầu bài toán  m  min g ( x ) với g ( x ) = −  f ( x )  + 4 f ( x )
3

Đặt f ( x ) = v
Có x   −1; 4   1  f ( x )  4  1  v  4
Để BPT luôn đúng trên đoạn  −1; 4  ta phải có

(

)

m  Min −v 3 + 4v  m  −48 và m  −50  m −49; − 48 .
1;4 

Ví dụ 14.
Cho hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) liên
tục trên

đồ thị của hàm số

y = f ( x ) g ( x ) như sau Có bao nhiêu giá

trị nguyên thuộc  −2020; 2020  của tham
số m để bất phương trình

m +1−

1
1
−
 0 luôn
2

1+ f ( x) 1+ g 2 ( x)

đúng trên đoạn  −1; 4 ?
A. 2019 .
C. 2021 .

B. 2020 .
D. 2022 .

 Lời giải
 Chọn đáp án D
Ta có bất phương trình tương đương với :

25


Tư duy giải bài toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung

m +1 

1
1
+
= h ( x)
2
1+ f ( x) 1+ g 2 ( x)

Yều cầu bài toán  m + 1  min h ( x )
−
 1; 4 

Xét bất đẳng thức sau :
Nếu ab  1 , Có

1
1
2
+

(1)
2
2
1 + a 1 + b 1 + ab
Chứng minh:

1
1
2
+

2
2
1 + a 1 + b 1 + ab
a 2 + b2 + 2
2
 2

2
( a + 1)( b + 1) ab + 1
2 ( a 2b 2 + a 2 + b 2 + 1)

( ab + 1) ( a 2 + b 2 + 2 )
 2

( a + 1)( b2 + 1) ( ab + 1) ( ab + 1) ( a 2 + 1)(b 2 + 1)

( ab − 1)( a − b )

0
( ab + 1) ( a 2 + 1)( b 2 + 1)
2

Áp dụng ( 1) h ( x ) =

1
1
2
+

2
2
1+ f ( x) 1+ g ( x) 1+ f ( x) g ( x)

Dựa vào đồ thị ta có

1  f ( x) g ( x)  4 

2
2
5


 1 suy ra min h ( x ) =
2
5 1+ f ( x) g ( x)
−
 4; 1

Vậy để thỏa mãn điều kiện đề bài ta phải có

m +1 

2
−3
m
và m   −2020; 2020  ; m   m −2020; −2019;...; −1 .
5
5

Vậy có 2020 giá trị nguyên của m .
Ví dụ 15.
Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Có
bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình

( mx + m

2

)

5 − x 2 + 2 m + 1 f ( x)  0 có nghiệm

đúng với mọi x   −2; 2 
A. 0 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 4 .

26


Tư duy giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung
Đề thi thử THPT Quốc Gia Đại học Vinh Lần 2 năm 2019
 Lời giải
 Chọn đáp án B
Đặt g( x) = mx + m2 5 − x 2 + 2 m + 1 hàm số luôn xác định với x   −2; 2  .
Vì f ( x ) đối dấu 1 lần từ dương qua âm khi qua x = 1 x   −2; 2 
Bất phương trình  g ( x ) . f ( x )  0 x   −2; 2 
 g ( x )  0   −2; 1
.

 g ( x )  0  1; 2 
 m = −1
Hàm số g ( x ) liên tục trên  −2; 2  nên g(1) = 0  m + 2 m + 2 m + 1 = 0  
.
m = − 1

2
2

Do m

nên chỉ lấy m = −1 .

Thử lại m = −1  g( x) = −x + 5 − x2 − 1  0 −2; 1 và g( x)  0x  [1; 2]
Nên m = −1 thoả mãn. Chọn B.
 Lời giải
 Chọn đáp án B
Ví dụ 16.
Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
bất phương trình 2 f ( x) + x2  4x + m có
nghiệm đúng với mọi x  ( −1; 3 ) .
A. m  −3 .
C. m  −2 .

B. m  −10 .
D. m  5 .

Đề thi thử THPT Quốc Gia Sở Giáo Dục Ninh Bình Năm 2019 Lần 1
 Lời giải
 Chọn đáp án B
Bất phương trình  m  2 f ( x ) + x2 − 4 x = g ( x )
Yêu cầu bài toán  m  min g ( x )
( −1; 3 )

Từ đồ thị min f ( x ) = −3 khi x = 2
( −1; 3 )

(

( 1)

)

x 2 − 4 x = ( x − 2 ) − 4  4  min x 2 − 4 x = −4 khi x = 2 ( 2 )
2

( −1; 3 )

27