Sáng kiến kinh nghiệm: Tĩnh học vật rắn vật lý 10

Tĩnh học vật rắn

PHẦN MỞ ĐẦU


I. Bối cảnh của đề tài
Trong năm học 2014 – 2015, tôi được nhà trường phân công giảng dạy chuyên đề “Tĩnh
học vật rắn” cho lớp 10 chuyên Lý. Và từ thực tế giảng dạy tôi nhận thấy, để làm các bài
tập nâng cao, khó của chuyên đề này thì thật sự không dễ đối với đa số học sinh.
II. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta điều biết, trong chương trình Vật Lý lớp 10 thì chương “Tĩnh học vật
rắn” là chương nối tiếp sau chương động lực học. Kiến thức trong chương này rất quan
trọng, vì nó giải quyết nhiều bài toán trong thực tế, giúp học sinh có sự liên hệ giữa kiến
thức hàn lâm và thực tiễn cuộc sống từ đó có sự đam mê hơn đối với bộ môn. Để hoàn thành
tốt nhiệm vụ được giao và nhằm giúp các em học sinh hiểu và vận dụng tốt chuyên đề này,
đồng thời xuất phát từ bối cảnh trên, tôi thiết nghĩ việc nghiên cứu chuyên đề “Tĩnh học vật
rắn” là thật sự cần thiết.
III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu chương “Tĩnh học vật rắn” của chương trình Vật Lý
10 Nâng cao.
IV. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm giúp học sinh nắm vững các kiến thức trong chương “Tĩnh học vật rắn”.
Đồng thời rèn luyện kỹ năng giải bài tập, mà đặc biệt là các bài tập khó phục vụ cho việc thi
chọn học sinh giỏi, đó là mục đích chính của đề tài.
V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu
Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh có thể áp dụng rất tốt các kiến thức đã học
để giải các bài tập đơn giản. Nhưng khi yêu cầu các em dùng kiến thức này để giải các bài
tập tương đối khó hơn, cần có sự tư duy cao hơn thì đại đa số các em không làm được.
Trong đề tài này có những điểm mới cơ bản sau:
- Giúp học sinh vận dụng kiến thức đã học, đồng thời hướng dẫn cho các em cách tư
duy logic để giải các bài tập hay và khó.

GV: Lê Chí Hiếu

1


Tĩnh học vật rắn
- Giúp cho người dạy thấy được học sinh thường vướng mắc ở những phần nào, yếu
ở mặt nào từ đó có kế hoạch bồi dưỡng thêm cho các em, cũng như rút kinh nghiệm cho bản
thân trong quá trình giảng dạy.

PHẦN NỘI DUNG


Tĩnh học là một phần của vật lý học, nó nghiên cứu các trạng thái cân bằng của vật
rắn (vật rắn tuyệt đối) dưới tác dụng của các lực. Tĩnh học giải quyết hai vấn đề chính sau:
+ Thu gọn hệ lực, tức là biến đổi hệ lực đã cho thành một hệ lực khác tương đương
với nó nhưng đơn giản hơn. Hệ lực được thu gọn về dạng đơn giản nhất gọi là hệ lực tối
giản, tập hợp các dạng tối giản khác nhau của hệ lực gọi là dạng chuẩn của hệ lực.
+ Thiết lập các điều kiện đối với hệ lực mà dưới tác dụng của nó vật rắn cân bằng
được gọi là các điều kiện cân bằng của hệ lực.
Để giải quyết hai vấn đề trên, trong tĩnh học người ta sử dụng phương pháp tiên đề,
tức là phương pháp dựa trên các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề, dựa trên phép suy luận
logic để tìm các qui luật của đối tượng nghiên cứu. Các khái niệm cơ bản và các hệ tiên đề
là cực kì quan trọng vì nó là nền tảng để xây dựng nên môn học, thiếu nó thì môn học sẽ
không còn ý nghĩa và không có căn cứ khoa học.

GV: Lê Chí Hiếu

2

Tĩnh học vật rắn

Phần I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Trong tĩnh học có ba khái niệm cơ bản là: Vật rắn tuyệt đối, cân bằng và lực.
1.1. Vật rắn tuyệt đối
Vật rắn tuyệt đối (vật rắn) là tập hợp vô hạn các chất điểm mà khoảng cách giữa hai
chất điểm bất kì luôn luôn không đổi. Trong trường hợp các biến dạng của vật là quá nhỏ có
thể bỏ qua được hoặc không đóng vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát thì vật vẫn
được coi là vật rắn tuyệt đối.
1.2. Cân bằng
Vật rắn được gọi là cân bằng khi vị trí của nó không thay đổi so với vị trí của một vật
nào đó được chọn làm mốc gọi là hệ qui chiếu. Trong tĩnh học hệ qui chiếu được chọn là hệ
qui chiếu quán tính khi đó cân bằng của vật rắn gọi là cân bằng tuyệt đối. Thực tế ta không
thể tìm được một hệ qui chiếu quán tính đúng nghĩa mà chỉ có hệ qui chiếu gần đúng là hệ
qui chiếu quán tính, ví dụ hệ qui chiếu gắn với mặt đất được coi gần đúng là hệ qui chiếu
quán tính.
1.3. Lực
Tác dụng tương hỗ cơ học của vật này lên vật khác gọi là lực, khi chịu lực tác dụng
vật rắn bị biến dạng hoặc thay đổi trạng thái chuyển động. Ta dùng một véctơ để biểu diễn
lực gọi là véctơ lực có đặc điểm sau:
- Gốc của véctơ là điểm đặt của lực.
- Phương và chiều của véctơ là phương và
chiều tác dụng của lực.

Giá của lực

F

- Độ dài của véctơ (môđun) biểu thị độ lớn của lực theo một tỉ lệ xích nào đó.
- Đường thẳng mang véctơ lực được gọi là giá của lực hay đường tác dụng của lực.
II. CÁC HỆ TIÊN ĐỀ
GV: Lê Chí Hiếu

3


Tĩnh học vật rắn
2.1. Tiên đề về hai lực cân bằng
Điều kiện cần và đủ để cho hệ hai lực cân bằng là chúng có cùng giá (đường tác
dụng), cùng độ lớn và ngược chiều nhau.



F  F
1
2
2.2. Tiên đề về thêm bớt hai lực cân bằng
Tác dụng của một hệ lực đã cho sẽ không đổi nếu ta thêm hoặc bớt đi hai lực cân
bằng.
* Hệ quả: Tác dụng của một lực sẽ không thay đổi nếu ta trượt véctơ lực trên giá của
nó.
2.3. Tiên đề về hình bình hành lực
Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm tương đương với một
lực đặt tại điểm đặt chung đó và có vectơ lực là đường chéo của
hình bình hành mà hai cạnh là hai lực thành phần.

  

F F F
1 2


F


F1

O


F2

Nhờ tiên đề này ta có thể tổng hợp hai hay nhiều lực đồng qui và phân tích một lực
thành hai lực theo qui tắc hình bình hành.
2.4. Tiên đề về lực tác dụng và lực phản tác dụng
Lực tác dụng (lực) và lực phản tác dụng (phản lực) giữa hai vật có cùng giá, cùng độ
lớn nhưng ngược chiều nhau, lưu ý là chúng đặt vào hai vật khác nhau nên chúng không
phải là hệ lực cân bằng.
2.5. Tiên đề hóa rắn
Một vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực thì khi hóa rắn lại nó
vẫn cân bằng. Nhờ vậy ta có thể áp dụng các điều kiện cân bằng của vật rắn cho trường hợp
vật biến dạng cân bằng (ví dụ như lò xo bị nén, kéo) nhưng điều đó chưa đủ để giải quyết
bài toán mà phải thêm các giả thuyết về biến dạng (ví dụ định luật Húc)
2.6. Tiên đề giải phóng liên kết
Vật không tự do (tức vật chịu liên kết) cân bằng có thể coi là vật tự do cân bằng nếu
giải phóng các liên kết, thay thế tác dụng của các liên kết được giải phóng bằng các phản
lực liên kết tương ứng.
GV: Lê Chí Hiếu

4


Tĩnh học vật rắn
Sau đây là cách xác định phản lực liên kết của một số liên kết thường gặp (ta không
xét đến lực ma sát tại các liên kết)
* Liên kết tựa: hai vật tựa lên nhau theo các bề mặt, theo các đường, theo mặt và
đường, theo điểm và bề mặt, theo điểm và đường thì phản lực liên kết vuông góc với mặt
tựa hoặc đường tựa.

N


N


N


N

* Liên kết bởi dây mềm, mảnh: Phản lực của dây luôn luôn là lực căng dây, có điểm
đặt tại chổ dây nối với vật, phương trùng với dây, chiều từ hai đầu dây hướng vào trong.


T


T


T'

* Liên kết nhờ ổ trục dạng hình trụ, liên kết bản lề: Trong
trường hợp này trục của ổ, hay trục của bản lề vuông góc với mặt
phẳng chứa hệ lực. Khi đó phản lực tại ổ trục có hướng bất kì và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với ổ trục.

* Liên kết gối: để đỡ các dầm, khung, . . . người ta
thường dùng liên kết gối cố định hoặc gối con lăn. Phản lực
liên kết của gối cố định được xác định như liên kết bản lề,
phản lực liên kết của gối con lăn được xác định như liên kết
tựa.
* Liên kết ngàm: khi vật chịu liên kết và vật gây liên
kết nối cứng với nhau, ví dụ một trụ được chôn xuống nền.
Phản lực liên kết ngàm phẳng gồm hai lực vuông góc với nhau
và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng của hai lực thành phần.

GV: Lê Chí Hiếu


N1


N2
M

5

Tĩnh học vật rắn
* Lên kết nhờ thanh nhẹ: chỉ có lực tác dụng ở hai đầu thanh còn dọc thanh thì
không có lực tác dụng và trọng lượng thanh không đáng kể. Phản lực
liên kết nằm dọc theo đường nối 2 đầu thanh.
Nói chung, liên kết có rất nhiều dạng khác nhau, nguyên tắc
chung để xác định phản lực liên kết là: tương ứng với hướng di chuyển
thẳng bị cản trở thì có phản lực ngược chiều, tương ứng với hướng di
chuyển quay bị cản trở thì có ngẫu phản lực ngược chiều.
* Chú ý: Trong phần trên ta không xét đến lực ma sát, nếu có lực ma sát (thông






thường là lực ma sát nghỉ vì vật cân bằng) thì phản lực tổng hợp phải là R  Fmsn  N . Lực
ma sát nghỉ có chiều ngược với hướng (xu hướng) chuyển động của vật khi mất cân bằng và
có giá trị từ 0  Fmsn  N tùy thuộc vào ngoại lực tác dụng vào vật.


R


Fmsn


Fmsn



 N




R


N



N 



Góc  tạo bởi R và N thay đổi từ 0 đến giá trị  max với tan  max 


R


N

Fmsn

Fmsn max

N

III. CÁC ĐỊNH NGHĨA KHÁC
3.1. Mômen của lực đối với một điểm và mômen của lực đối với một trục
3.1.1. Mômen của lực đối với một điểm


Mômen của lực F đối với điểm O là đại lượng đặc trưng
cho tác dụng làm quay của lực quanh điểm O, được kí hiệu là
MF/O và có độ lớn là:

M F / O  Fd

O
d


F

H

[ N .m]


trong đó d = OH là khoảng cách từ O đến giá của lực F (gọi là cách tay đòn của lực đối với

điểm O), đơn vị của mômen lực là N.m. Từ công thức trên ta thấy nếu F có giá đi qua điểm
O thì d = 0 do đó MF/O = 0
3.1.2. Mômen của lực đối với một trục

GV: Lê Chí Hiếu

6


Tĩnh học vật rắn


Mômen của lực F nằm trong mặt phẳng vuông góc với
trục quay  là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của
lực quanh trục ấy và được đo bằng tích của lực với cánh tay
đòn.



O


F

d
H

M F /   Fd

[ N .m]

trong đó d = OH là cánh tay đòn (khoảng cách từ giao điểm O
của trục quay với mặt phẳng chứa lực tới giá của lực)


* Lưu ý: Nếu lực F có giá cắt trục quay hoặc song song

với trục quay  thì mômen của lực đối với trục quay sẽ bằng 0.

Nếu lực F không nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục
quay thì vẫn có mômen đối với trục quay, khi đó ta phân tích




lực F thành 2 lực thành phần là F1 có giá song song với trục


quay và F2 nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay, thì


F1



O


F

 
F2

d
H

M F1 /   0 do đó M F /   M F2 /  (với F2  F cos  )

* Mở rộng: Thật ra mômen của lực đối với một điểm hay một trục là một đại lượng véctơ
tuy nhiên trong chương trình vật lý phổ thông để đơn giản ta chỉ tính giá trị đại số và xác
định chiều quay của vật khi có mômen lực tác dụng.
3.2. Ngẫu lực
Ngẫu lực là hai lực có cùng độ lớn, có giá song song, ngược chiều và cùng tác dụng
vào một vật.
Nếu vật rắn không có trục quay cố định thì dưới tác dụng của ngẫu lực vật rắn sẽ
quay quanh trục đi qua trọng tâm và vuông góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực. Nếu vật rắn
có trục quay cố định thì dưới tác dụng của ngẫu lực vật rắn sẽ quay quanh trục quay cố định
đó. Ba đặc trưng quan trọng của ngẫu lực là mặt phẳng tác dụng (mặt phẳng chứa ngẫu lực),
chiều quay của ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng và mômen ngẫu lực đối với trục quay.

F

Mômen của ngẫu lực đối với một trục quay bất kì vuông góc
với mặt phẳng chứa ngẫu lực là:

M  Fd

d
F'

[ N .m]

trong đó d là cánh tay đòn của ngẫu lực (khoảng cách giữa hai giá của hai lực thành phần)
3.3. Hệ lực
GV: Lê Chí Hiếu

7

Tĩnh học vật rắn
- Hệ lực phẳng: Tất cả các lực tác dụng lên vật đều nằm trong một mặt phẳng.
- Hệ lực không gian: Các lực tác dụng lên vật phân bố trong không gian.
- Hệ lực đồng qui: Các lực tác dụng lên vật có giá cắt nhau tại một điểm, điểm đó gọi
là điểm đồng qui. Để tìm hợp lực của hệ lực đồng qui ta trượt các lực đến điểm đồng qui rồi
áp dụng qui tắc hình bình hành để tìm hợp lực.
- Hệ lực song song: Các lực tác dụng lên vật có giá song song với nhau.
* Qui tắc hợp hai lực song song cùng chiều: Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là
một lực có phương song song với hai lực thành phần,
cùng chiều với hai lực thành phần, có độ lớn bằng tổng độ
d1
lớn của hai lực thành phần, có giá nằm trong mặt phẳng
của hai lực thành phần và chia trong đoạn thẳng nối giá

d2
F1
của hai lực thành phần những đoạn tỉ lệ nghịch với hai lực.

F2

 F  F1  F2

 F1 d 2
 F  d (chia trong )
1
 2



F

* Qui tắc hợp hai lực song song trái chiều: Hợp hai lực song song trái chiều là một lực
song song cùng chiều với lực có độ lớn lớn hơn, có độ lớn bằng hiệu độ lớn của hai lực
thành phần, có giá nằm trong mặt phẳng của hai lực thành phần và có khoảng cách đến giá
của hai lực thành phần tuân theo công thức sau:

 F  F1  F2 ( F1  F2 )
 F1 d 2
(chia ngoài )
 
 F2 d1

d2

F2

d1

F


F1

3.4. Trọng tâm (khối tâm)
3.4.1. Định nghĩa: Trọng tâm (khối tâm) của một vật là điểm đặt của trọng lực tác dụng lên
vật.
3.4.2. Các định lí về trọng tâm

GV: Lê Chí Hiếu

8


Tĩnh học vật rắn
* Định lí 1: Nếu vật rắn đồng chất có tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng thì trọng tâm
của nó nằm tại tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng đó.
* Định lí 2: Nếu vật rắn gồm các phần mà trọng tâm của các phần đó nằm trên một
đường thẳng (mặt phẳng) thì trọng tâm của vật cũng nằm trên đường thẳng (mặt phẳng) đó.
* Định lí 3: Nếu vật rắn được ghép từ n phần mỗi phần có khối lượng mi và trọng
tâm Gi (xi; yi; zi) đã biết thì tọa độ trọng tâm G (x; y; z) của vật được xác định bởi công thức:
n

x

m x

i i

i

n

m

n

; y

i

1

m y
i

n

i

i

n

m

i

1

; z

m z

i i

i

n

m

i

1

* Định lí 4 (công thức Guynđanh 1): Diện tích S sinh ra bởi đường cong phẳng (C)
khi quay quanh trục đồng phẳng  nhưng không cắt nó được xác định bởi công thức

S  2Ld
trong đó: L là độ dài đường cong (C), d là khoảng cách từ trọng tâm G của đường cong (C)
đến trục  .
* Định lí 5 (công thức Guyđanh 2): Thể tích V sinh ra bởi tấm phẳng khi quay quanh
trục  đồng phẳng và không cắt nó được xác định bởi công thức

V  2Sd
trong đó: S là diện tích tấm phẳng, d là khoảng cách từ trọng tâm G của tấm phẳng đến trục


 Áp dụng các định lí trên ta tìm được:
- Trọng tâm của một thanh mảnh đồng chất là điểm giữa của thanh.
- Trọng tâm của vật đồng chất có dạng hình tròn, hình vuông, hình chữ nhật, hình
bình hành, khối cầu, khối lập phương, khối chữ nhật là tâm của chúng.
- Trọng tâm của vật đồng chất hình tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.
- Trọng tâm của vật đồng chất, phẳng mỏng, có dạng một hình quạt AOB với bán


kính R và góc ở tâm AOB  2 nằm trên trục đối xứng Ox của quạt và cách tâm O một
khoảng là OG 
OG 

2R sin 

(  đo bằng radian) nếu quạt là nửa hình tròn tức   thì
3
2

4R
.
3

GV: Lê Chí Hiếu

9


Tĩnh học vật rắn
- Trọng tâm của vật đồng chất có dạng một bán cầu tâm O bán kính R nằm trên trục
đối xứng của bán cầu và cách tâm O một khoảng là OG 

3R
8

- Trọng tâm của một vật đồng chất có dạng một cung tròn AB với bán kính R và góc


ở tâm AOB  2 nằm trên trục đối xứng Ox của cung và cách O một khoảng là
OG 

R sin 


2R
(  đo bằng radian) nếu cung AB là nửa hình tròn tức   thì OG 

2


IV. CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN
4.1. Vật rắn không có chuyển động quay quanh một trục
Điều kiện cần và đủ để một vật rắn không có chuyển động quay quanh một trục ở
trạng thái cân bằng là tổng (hợp) các lực tác dụng lên vật bằng 0.

 
F
 i 0

4.2. Vật rắn có trục quay cố định (hoặc tức thời)
Điều kiện cần và đủ để một vật rắn có trục quay cố định (hoặc tức thời) ở trạng thái
cân bằng là tổng các momen lực làm vật quay theo một chiều bằng tổng các mômen lực làm
cho vật quay theo chiều ngược lại.

M  M'
4.3. Điều kiện cân bằng tổng quát của vật rắn (vật rắn vừa có chuyển động tịnh tiến vừa
có chuyển động quay)

 
 Fi  0

 M   M '
V. CÁC DẠNG CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN

5.1. Cân bằng của một vật tựa lên một điểm hoặc một trục cố định
* Cân bằng không bền: Đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ vật sẽ tiếp tục
rời xa vị trí cân bằng. Trọng tâm của vật ở vị trí cao nhất so với các vị trí khác của vật.
* Cân bằng bền: Đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ vật sẽ tự trở về vị trí
cân bằng cũ. Trọng tâm ở vị trí thấp nhất có thể có được.

GV: Lê Chí Hiếu

10


Tĩnh học vật rắn
* Cân bằng phiếm định: Đưa vật ra xa vị trí cân bằng một đoạn nhỏ vật sẽ cân bằng
ở vị trí mới. Trọng tâm có độ cao không thay đổi.

Cân bằng không bền

Cân bằng bền

Cân bằng phiếm định

5.2. Cân bằng của vật có mặt chân đế
* Mặt chân đế: Là hình đa giác lồi nhỏ nhất
chứa các diện tích tiếp xúc của vật với giá đỡ (mặt
phẳng đỡ).
* Điều kiện cân bằng: Giá của trọng lực đi
qua mặt chân đế (trọng tâm rơi trên mặt chân đế)
* Mức vững vàng của cân bằng được xác
định bởi độ cao của trọng tâm và diện tích của mặt chân đế. Diện tích mặt chân đế càng lớn
và trọng tâm càng thấp thì vật càng vững vàng và ngược lại.

GV: Lê Chí Hiếu

11


Tĩnh học vật rắn

Phần II. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Bài 1: Tìm trọng tâm của một bản mỏng đồng chất như hình vẽ, biết chiều dài các cạnh là
AB = 12 cm, BC = 4 cm, DE = 4 cm, EF = 3 cm?
Giải:
y (cm)
B

D
A

B H

C

E
F

C

G1
G
E

H D
H G2
F
AO
H H

x (cm)

H thành
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, ta chia vật
là ABCH và DEFH
H hai phần H
dễ dàng suy ra trọng tâm của mỗi phần là giao điểm của hai đường chéo và tọa độ trọng tâm
của mỗi phần là G1 (2;6) và G2 (6;1,5)
Vậy tọa độ trọng tâm G của vật là
x

x1.m1  x2 m2 x1 S1  x2 S 2 2  12  4  6  4  3


 2,8cm
m1  m2
S1  S 2
12  4  4  3

y

y1.m1  y2 m2 y1 S1  y2 S 2 6  12  4  1.5  4  3



 5,1cm
m1  m2
S1  S 2
12  4  4  3

Bài 2: Tìm trọng tâm của một nửa tấm tròn đồng chất tâm
O bán kính R?

y

O
GV: Lê Chí Hiếu

G

x
12


Tĩnh học vật rắn
Giải: Do tính đối xứng nên trọng tâm của vật sẽ nằm trên Ox, cho vật quay quanh trục Oy ta
4
3

được khối cầu có thể tích V  R 3 theo công thức Guyđanh 2 ta có
4
1
4R
V  2SxG  R 3  2 . R 2 .xG  xG 
3

2
3

Bài 3: Một chiếc thang có khối lượng 20 kg được dựa vào tường trơn nhẵn với góc nghiêng
 so với sàn, hệ số ma sát giữa thang và sàn là 0,5 lấy g = 10 m/s2.
a. Tìm điều kiện của góc  để thang không bị trượt trên sàn?
b. Tìm các lực tác dụng lên thang nếu   600 ?
c. Một người có khối lượng 45 kg leo lên thang khi góc   550 hỏi người này lên
đến vị trí nào trên thang thì thang sẽ bị trượt, cho chiều dài của thang là 2,5 m?
Giải:


NB B

   
a. Các lực tác dụng lên thang gồm P; N B ; N A ; Fmsn áp dụng điều kiện cân

bằng tổng quát ta có:



 
P

N

N

F


0
(1)
B
A
msn


AB
M P/ A  M N / A  P.
cos   N B . AB sin  (2)
B
2


G

NA

A


Chiếu phương trình (1) lên phương chiều của N B ta được: N B  Fmsn


P



Fmsn



Chiếu (1) lên phương chiều của P ta được P  N A
Để thang cân bằng thì Fmsn  N A mà P  N A nên Fmsn  P mà N B  Fmsn nên N B  P
Thay các kết quả trên vào (2) ta được:

P cos 
1
 P sin   tan  
 1    450
2
2

Vậy để thang không bị trượt trên sàn thì   450 trường hợp “=” là trường hợp giới
hạn khi đó chỉ cần một tác động rất nhẹ thì thang sẽ trượt.
b. Theo phần trên ta có
N A  P  mg  20.10  200 N
( 2) 

P cos 
P
20.10
 N B sin   N B 

 57,74 N
2
2 tan  2. tan 600

GV: Lê Chí Hiếu

13


Tĩnh học vật rắn
Fmsn  N B  57,74 N

NB B

c. Giả sử O là vị trí cao nhất mà người đó có thể leo lên mà thang không
bị trượt.
  





O

Các lực tác dụng lên thang lúc này sẽ là: P; P' ; N B ; N A ; Fmsn áp

G

dụng điều kiện cân bằng tổng quát


NA





  
 P  P ' N B  N A  Fmsn  0 (1)

AB
M P/ A  M P'/ A  M N / A  P.
cos   P '.AO cos   N B . AB sin  (2)
B
2


A


P
 P'

Fmsn



Chiếu (1) lên phương chiều của N B ta được N B  Fmsn


Chiếu (1) lên phương chiều của P ta được P  P'  N A
Để thang cân bằng thì Fmsn  N A mà P  P'  N A nên Fmsn   ( P  P' ) mà N B  Fmsn nên
N B   ( P  P' ) thay vào (2) ta được
P. AB. cos 
 P'.AO. cos    ( P  P' ) AB sin 
2
P. AB. cos 

 ( P  P' ) AB sin  
2
 AO 
P' cos 
0,5.(200  450).2,5. sin 550  0,5.200.2,5. cos 550
 AO 
 2,023m
450. cos 550

Vậy người này leo cao nhất đến điểm O với AO = 2,023 m
Bài 4: Một chiếc thang tựa vào bức tường, tường nghiêng một góc  so với phương thẳng
đứng. Hỏi hệ số ma sát của thang và tường phải bằng bao
nhiêu để thang cân bằng ngay cả khi nền nhà là trơn nhẵn? Nếu
một người có khối lượng m leo lên thang thì nó còn cân bằng 
như trước không?
Giải:
Đối với bài này ta thấy nếu tường là thẳng đứng thì
thang không thể cân bằng được khi không có ma sát với nền nhà cho dù hệ số ma sát của
thang với tường có lớn đến cỡ nào đi nữa (bạn đọc có thể chứng minh dễ dàng bằng cách
phân tích lực tác dụng lên thang và áp dụng điều kiện cân bằng

tổng quát)
Fmsn


GV: Lê Chí Hiếu


NB

B

G

P


NA

A

14


Tĩnh học vật rắn
Tuy nhiên nếu tường nghiêng và hệ số ma sát giữa thang và tường đủ lớn thì thang có
thể cân bằng cho dù sàn nhà không có ma sát.
 











Các lực tác dụng lên thang là P; N A ; N B ; Fmsn và lưu ý là N B vuông góc với tường.







Thang cân bằng nên: P  N A  N B  Fmsn  0 (1)
Chiếu (1) lên phương ngang ta được: Fmsn sin   N B cos  mặt khác Fmsn  N B nên
thay vào ta được N B sin   N B cos     cotg
Ở đây ta không cần xét đến phương thẳng đứng của phương trình (1) cũng như điều
kiện thứ hai là tổng các mômen lực bằng 0 vì ta đã tìm được đáp án là   cotg đây là điều
kiện cần và đủ để thang cân bằng. Thật vậy, theo cơ hệ trên thì thang chỉ có thể trượt xuống
nếu lực ma sát với tường là nhỏ (thang không thể tự trượt lên được) mà nếu thang trượt
xuống thì đầu B sẽ dịch chuyển theo phương ngang một đoạn x nào đó, nhưng khi
  cotg thì thành phần nằm ngang của lực ma sát nghỉ đã lớn hơn hoặc bằng thành phần
nằm ngang của phản lực tại B nên thang không thể dịch chuyển theo phương ngang được.
Hay nói cách khác điều kiện để thang cân bằng là   cotg nó không phụ thuộc vào
góc nghiêng của thang cũng như trọng lượng của thang, như vậy nếu một người leo lên
thang thì nó vẫn cân bằng cho dù có leo đến đỉnh thang. (Ta có thể nói một cách đơn giản để
dễ hiểu hơn là nếu hệ số ma sát đủ lớn thì giống như ta móc đầu thang vào tường nhám khi
đó cho dù có leo lên thì thang không thể trượt xuống được)
Bài 5: Một thanh nhẵn đồng chất dài 2L tựa trên mép một mặt bán cầu đứng yên bán kính R.
Hỏi ở vị trí cân bằng thanh lập với phương ngang một góc bao nhiêu? Bỏ qua ma sát.

A
 / 2  2

 O

NB

B


NC

C

G


P

Giải:
Các lực tác dụng lên thanh như hình vẽ (vì không có ma sát nên phản lực tại B vuông
góc với mặt cầu tức là theo phương bán kính còn phản lực tại C vuông góc với thanh vì vậy
chúng sẽ đồng qui tại A nằm trên mặt cầu do góc ở C là 900 tức nó phải là góc chắn nửa
đường tròn, vì vậy trọng lực chắt chắn phải đi qua A thì thanh mới cân bằng được)

GV: Lê Chí Hiếu

15


Tĩnh học vật rắn
Ghi chú: Điều kiện cân bằng của vật chịu tác dụng của ba lực không song song trước
tiên là chúng phải đồng qui vì vậy nếu 2 lực đã đồng qui tại một điểm thì lực thứ ba phải đi
qua điểm đồng qui đó.
Tam giác ABC vuông tại C nên ta có BC  2R cos  ,
Mặt khác GC  BC  BG  2 R cos   L (1)

Giá của trọng lực chia bán kính OC thành hai đoạn là
R  R sin(


 2 )  GC cos  (2)
2

Thay (1) vào (2) ta được

 2 )  (2 R cos   L) cos 
2
 R  R cos 2  2 R cos 2   L cos 
R  R sin(

 R  R(2 cos 2   1)  2 R cos 2   L cos 
 4 R cos 2   L cos   2 R  0 (3)

Vì 0   

L  L2  32 R 2

nên nghiệm của (3) sẽ là cos  
8R
2

0  cos   1  L  L2  32 R 2  8R  L  2 R (4)

Biện luận: Theo điều kiện (4) ta thấy
- Nếu chiều dài của thanh (2L) lớn hơn đường kính của mặt bán cầu thì trọn tâm của
thanh sẽ nằm ngoài vành mặt bán cầu và thanh sẽ bị lật ra khỏi mặt bán cầu.

- Nếu L = 2R thanh sẽ nằm ngang và chỉ tựa trên mặt bán cầu tại C.
- Nếu thanh quá ngắn nó sẽ trượt vào trong mặt bán cầu. Ta tìm độ dài cực tiểu của
thanh để thanh cân bằng và một đầu của thanh vẫn còn tựa vào mép mặt bán cầu (tại C) lúc
đó ta sẽ có: GC = L và 2 R cos  '  2 L (5) khi đó cos  ' 

2 R.

L  L2  32 R 2
thay vào (5) ta được:
8R

2
L  L2  32 R 2
2
 2 L  L2  32 R 2  49 L2  L  R
khi đó cos  ' 
, như vậy chiều
3
8R
3

dài ngắn nhất thanh có thể cân bằng mà một đầu còn tựa trên mép C là L  R

GV: Lê Chí Hiếu

2
3

16

Tĩnh học vật rắn
Tóm lại, nếu chiều dài của thanh thõa mãn R
hợp bởi thanh và phương ngang là cos  

2
 L  2 R thì thanh nằm cân bằng và góc
3

L  L2  32 R 2
8R

Cũng cần lưu ý thêm rằng nếu thanh ngắn hơn đường kính mặt bán cầu (Ltồn tại một vị trí cân bằng nửa đó là thanh nằm theo phương ngang trong mặt bán cầu.
Bài 6: Một thanh đồng chất nằm trong một chỏm cầu nhám, hệ số ma sát là  độ dài thanh
bằng bán kính chỏm cầu. Hỏi thanh có thể tạo với đường nằm ngang một góc lớn nhất bằng
bao nhiêu mà vẫn cân bằng? Biết thanh nằm trong mặt phẳng thẳng đứng qua tâm chỏm
cầu.
Giải:

M
O


 
RA
G

A 


RB

B


P

Các lực tác dụng lên thanh như hình vẽ:








Tại A, B gồm có lực ma sát và phản lực pháp tuyến, hợp của chúng là R A  N A  FmsA




  

và RB  N B  FmsB ta cũng có tg   , tương tự bài trên để thanh cân bằng thì P; RA ; RB phải








đồng qui và P  RA  RB  0 (1)




sin MAG sin AMG

Áp dụng định lý sin cho tam giác MAG :
và lưu ý rằng tam giá
MG
AG



sin 900  (   MAG )
0
sin(60   )

  cos(  60   ) (2)
OAB đều ta được:

MG
0,5 AB
0,5 R
0

Áp dụng định lý sin cho tam giác MBG:





sin MBG sin BMG

MG
BG



sin 1800  (600    MGB)
0
sin(60   )

  cos(  60   ) (3)


MG
0,5 AB
0,5 R
0

GV: Lê Chí Hiếu

17


Tĩnh học vật rắn
Chia (2) cho (3) ta được:

sin(600   ) cos(  600   )
biến đổi lượng giác phương trình

sin(600   ) cos(  600   )

này ta sẽ đi đến kết quả: tg 

4tg
4

2
3  tg  3   2

Vậy thanh có thể tạo với phương ngang một góc lớn nhất là   arctan(

4
) khi
3  2

thanh cân bằng.
Bài 7: Một cần trục có trọng lượng P1 = 20 kN, chân cần trục tiếp xúc với mặt đất có bề
rộng AB = 2 m, giá của trọng lực cần trục đi qua trung điểm AB. Đối trọng là P2 = 10 kN
nằm cách giá của P1 một đoạn bằng 2 m. Tìm trọng lượng P lớn nhất mà cần trục mang
được, biết rằng điểm treo vật nằm cách giá của P1 một đoạn bằng 4 m.
Giải:

P2

Xét trục quay tại B ta thấy cần trục không bị lật khi:

M P2 / B  M P1 / B  M P / B
 P2 .3  P1.1  P.3  P 

P2 .3  P1.1 10.3  24

 18kN
3
3


P1

A

B


P

Vậy trọng lượng P lớn nhất mà cần trục mang được là 18 kN
  



Bài này cũng có cách giải khác là tìm hợp lực của ba lực song song P1 ; P2 ; P ta được lực F


nào đó và điều kiện là F phải có giá đi qua đoạn AB, trường hợp giới hạn là giá đi qua
điểm B thì cần trục vẫn còn cân bằng.
Bài 8: Một hình cầu bán kính R, bên trong có chứa một viên bi nhỏ. Cho hình cầu quay

quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc  . Biện luận các vị trí cân bằng của viên bi, và các
dạng cân bằng khi đó?




R

N

O


r


Fqt


P

Giải:
GV: Lê Chí Hiếu

18


Tĩnh học vật rắn
Chọn hệ qui chiếu gắn với hình cầu, các lực tác dụng lên viên bi như hình vẽ:
Fqt  man  m 2 r  m 2 R sin 









Quả cầu cân bằng: P  N  Fqt  0 (1)
Chiếu (1) lên phương tiếp tuyến ta được:
P sin   Fqt cos   0
 mg sin   m 2 R sin  cos   0
sin   0
  0


cos   g2
  arccos g2
 R
 R



Như vậy, với mọi  ta luôn có một vị trí cân bằng ứng với   0 (vật ở đáy hình
cầu), khi

g
g
g
(để cos  có nghĩa) ta có vị trí cân bằng thứ hai với cos   2 .

1 2 
2
 R
R
 R

* Biện luận:
- Khi   0 ta đưa viên bi ra khỏi vị trí cân bằng 1 đoạn nhỏ, vì  nhỏ nên
sin    ; cos   1 . Hợp lực tác dụng lên viên bi sẽ là Ft  m ( g   2 R )
+ Nếu  

g
 Ft  0 : Vậy Ft có chiều hướng về vị trí cân bằng nên sẽ kéo hòn bi
R

trở về vị trí cân bằng: Cân bằng bền.
+ Nếu  

g
 Ft  0 : Vậy Ft có chiều hướng ra xa vị trí cân bằng nên sẽ kéo hòn
R

bi rời xa vị trí cân bằng: Cân bằng không bền.
- Khi cos  

g
 
2R

g

ta đưa viên bi lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ
R

+ Nếu đưa viên bi lên cao thì  tăng thì Ft  m( g   2 R cos  ) sin   0 viên bi bị kéo
xuống trở về vị trí cân bằng: Cân bằng bền
+ Nếu đưa viên bi xuống thấp thì  giảm thì Ft  m( g   2 R cos  ) sin   0 viên bi bị
kéo lên cao trở lại vị trí cân bằng: Cân bằng bền.
Bài 9: Có n viên gạch đồng chất như nhau, chiều dài mỗi viên là 2L được xếp chồng lên
nhau sao cho tấm trên nhô ra một phần so với tấm dưới. Xác định chiều dài phần nhô ra tối
đa của mỗi tấm để hệ vẫn cân bằng?
GV: Lê Chí Hiếu

19


Tĩnh học vật rắn
Giải:
- Xét viên gạch trên cùng (cao nhất). Trọng tâm của viên
gạch nằm ở trung điểm nên phần nhô ra tối đa của nó sẽ là L
(khi đó trọng lực vẫn còn rơi trên mặt chân đế)
- Xét viên gạch thứ hai: P( L  d 2 )  Pd 2  d 2 

L
2

- Xét viên gạch thứ ba: P( L  d 3 )  2 Pd 3  d 3 

L
3

Như vậy, phần nhô ra của tấm thứ k (đếm từ trên xuống) là d k 

 L
d2 P
d3 2 P

L
thì hệ vẫn còn cân bằng.
k

Bài 10: Cho cơ hệ như hình vẽ, thanh có chiều dài L khối lượng không đáng kể, đầu dưới
gắn một quả cầu nhỏ khối lượng m, đầu trên gắn vào một ống hình trụ rỗng, nhẹ có bán kính
trong là R, ống này được lồng không khít vào một trục nằm ngang, cho hệ số ma sát của ống
và trục nằm ngang là  . Tìm các vị trí cân bằng của hệ?


Fms


N

A


 N


Fms

R A

O
B


L

P


P

Giải:
Đối với bài này ta thấy một số vấn đề sau:
+ Nếu không có ma sát trong ống trụ thì hiển nhiên con lắc chỉ có thể cân bằng ở vị
trí thẳng đứng, nếu vật nặng m ở dưới ống trụ thì cân bằng là bền, nếu vật m ở trên ống trụ
thì cân bằng là không bền.
+ Nếu có ma sát trong ống trụ thì con lắc có thể cân bằng ở vị trí hợp với phương
thẳng đứng một góc  nằm trong một giới hạn nhỏ nào đó, vấn đề đặt ra ở đây là ta đi tìm
giới hạn đó.
+ Khi con lắc hợp với phương thẳng đứng một góc  thì các lực tác dụng lên hệ là
  
P; N ; Fms phương chiều của các lực này thì rất dễ xác định, tuy nhiên một vấn đề đặt ra là lúc
đó điểm tiếp xúc giữa khối trụ và trục cố định (điểm A) là ở đâu, ta lưu ý rằng khi vật rắn
GV: Lê Chí Hiếu

20


Tĩnh học vật rắn
chịu tác dụng của 3 lực nằm cân bằng thì ba lực đó phải có giá đồng qui do đó ta xác định

được điểm A như trên hình vẽ. Khi đó ta lại thấy xuất hiện một kết luận là nếu vật m lệch
sang trái hoặc phải một đoạn lớn hơn R (tức giá của trọng lực không còn cắt khối trụ) thì ba
lực trên không thể đồng qui và con lắc không thể cân bằng cho dù hệ số ma sát có lớn đến
mức tùy ý.
Ta biết Fms  N khi con lắc lệch cực đại thì ta có Fms  N và tg 
Mặt khác ta có: OB  R sin   ( L  R) sin   sin  

Thay (1) vào (2) ta được: sin  

Fms
  (1)
N

R
R
tg
sin  
( 2)
LR
L  R 1  tg 2

R

(3)
R  L 1 2

Từ công thức (3) ta thấy:
+ Điều kiện cân bằng không phụ thuộc vào khối lượng m của vật nặng.
  00
+ Nếu không có ma sát   0  sin   0  

tức là con lắc cân bằng ở vị trí
0
  180

thẳng đứng như trên đã nói.
+ Nếu hệ số ma sát rất lớn    thì số hạng


1 2

 1 do đó sin  max 

R
tức
RL

là con lắc lệch cực đại đến vị trí mà giá của trọng lực sẽ tiếp tuyến với ống hình trụ.
Như vậy, với một hệ số ma sát  cho trước thì con lắc ở trạng thái cân bằng hợp với
phương thẳng đứng một góc  nằm trong giới hạn 0  sin  

R

nếu kéo con lắc
R  L 1 2

lệch một góc lớn hơn góc giới hạn rồi thả ra thì sau một số dao động tắt dần con lắc sẽ nằm
cân bằng tại một vị trí bất kì nào đó trong vùng giới hạn của góc  .
Một vấn đề đặt ra là nếu vật m ở trên ống trụ thì con lắc có cân bằng không? Giải
tương tự ta cũng sẽ tìm được công thức tính góc  là công thức (3) tức là con lắc lộn ngược
lên trên nó vẫn cân bằng được như trường hợp nó ở dưới ống trụ.

Bài 11: Một quả cầu đồng chất bán kính R, khối lượng m trượt trên mặt phẳng ngang dưới

tác dụng của lực kéo F không đổi của một sợi dây nhẹ, không dãn luôn nằm ngang. Tìm hệ
số ma sát giữa quả cầu và sàn để có hiện tượng này? Gia tốc của quả cầu khi đó bằng bao
nhiêu?

N


F

GV: Lê Chí Hiếu O R
h

Fms

O R


P

h

F 21


Tĩnh học vật rắn

Giải: Các lực tác dụng lên quả cầu như hình vẽ, vì quả cầu không lăn nên theo qui tắc
mômen lực ta có: Xét trục quay qua O
Fms R  F ( R  h)  mgR  F ( R  h)   

Theo định luật II Niutơn: a 

F
h
(1  ) (1)
mg
R

F  Fms Fh

( 2)
m
mR

Bài 12: Một thanh AB đồng chất có chiều dài L, trọng lượng P được đặt trên hai mặt phẳng
đỡ vuông góc với nhau như hình vẽ, bỏ qua mọi ma sát. Tìm vị trí cân bằng của thanh và giá
trị các phản lực ở A và B? Cân bằng có bền không?

NA

C
A G 
NB
B



O



P

Giải:
Các lực tác dụng lên thanh AB như hình vẽ, các phản lực tại A và B vuông góc với
mặt phẳng đỡ do đó OACB là hình chữ nhật, để thanh cân bằng thì các lực tác dụng lên
thanh phải đồng qui do đó giá của trọng lực P phải đi qua O nên ta luôn có OG = 1/2 L vậy
quỹ tích của G là một cung tròn bán kính R = 1/2L tâm O. Tại vị trí trên hình vẽ trọng tâm
G cao nhất nên cân bằng của thanh là không bền.












Dễ dàng thấy GAO  AOG   ta có P  N A  N B  0 (1)




Chiếu (1) lên phương chiều của N A ; N B ta được: N A  P sin  ; N B  P cos 

Bài 13: Thanh CD vuông góc với trục thẳng đứng Oz và quay quanh trục này với vậntốc
góc  . Hai hòn bi A và B có khối lượng mA và mB nối với nhau bằng 1 lò xo có độ cứng k
và có chiều dài tự nhiên l0 . Hai hòn bi có thể trượt không ma sát trên thanh CD. Tìm các vị
trí cân bằng của hai hòn bi? Cân bằng có bền không?
z
C
AO

GV: Lê Chí Hiếu



D
B

C

z 
FđhA  FđhB

AO

D

B

22


Tĩnh học vật rắn

Giải:
Chọn hệ qui chiếu gắn với O, hai hòn bi A và B chuyển động tròn đều với vận tốc
gốc  , các lực tác dụng lên A và B như hình vẽ.
2
 FđhA  m A anA
OA mB
kl  m A OA
Ta có: 

 m A 2OA  mB 2OB 

(1)
2
OB m A
 FđhB  mB anB
kl  mB OB

mặt khác: FđhA  FđhB  kl  k OA  OB  l0  (2)
thay (1) vào (2) ta được:
  m 

FđhA  k OA  OB  l0   k OA1  A   l0   m A 2OA
  mB 

kmB l0
 OA 
(3)
k ( m A  m B )  m A m B 2

ta có điều kiện OA>0 nên suy ra  

k ( m A  mB )
(4)
m A mB

Bây giờ ta xét xem hệ cân bằng có bền không, xét sự cân bằng của bi A chẳn hạn, ta
chọn hệ qui chiếu gắn với bi A, khi đó bi A sẽ chịu tác dụng của lực đàn hồi và lực quán








tính ly tâm là: Fđh  k OA1 
Từ (4) ta có m A 2  k


mA 
  l0  và Fqt  mA 2OA vẽ đồ thị hai lực trên ta được:
mB 


m A  mB
tức là hệ số góc của Fqt nhỏ hơn
mB

F

hệ số góc của Fđh nên ta mới vẽ được đồ thị bên cạnh.
Điểm A là vị trí cân bằng hiện tại của quả cầu A nếu vì lý
do gì đó mà OA tăng lên thì ta thấy ngay Fđh sẽ lớn hơn Fqt nên
sẽ kéo bi A trở lại vị trí cũ, tương tự nếu OA giảm thì Fqt lớn
hơn Fđh nên cũng sẽ kéo bi A trở lại vị trí cũ. Vậy cân bằng của
hệ là bền.

Fđh
O
A

Fqt

OA

Bài 14: Một tấm ván nằm ngang có bậc cao h, một quả cầu đồng chất có bán kính R (R>h)
đặt trên ván và tựa vào mép A. Ván chuyển động sang phải với gia tốc a. Tính giá trị cực đại
của gia tốc a để quả cầu không nhảy lên bậc trong hai trường hợp sau:
a. Không có ma sát ở mép A?
b. Ở mép A có ma sát ngăn không cho quả cầu trượt mà chỉ có thể quay quanh A?

GV: Lê Chí Hiếu

23


Tĩnh học vật rắn


 N Q

Fqt


R
A

A


a

h


P


a

Giải:
a. Chọn hệ qui chiếu gắn với ván, các lực tác dụng lên quả cầu như hình vẽ.










Để quả cầu không nhảy lên bậc thì: P  N  Q  Fqt  0 (1)
Chiếu (1) lên phương ngang và phương thẳng đứng ta được:

R 2  ( R  h) 2
 Fqt
Q cos   Fqt  Q
R
( 2)

R

h
 P  N  Q sin   P  N  Q

R

Để quả cầu không nảy lên thì N  0  P  Q

Rh
PR
0Q
(3)
R
Rh

Thay (3) vào (2) ta được:
Fqt 

PR

Rh

a

gR
Rh

R 2  ( R  h) 2
mgR
 ma 
R
Rh

R 2  ( R  h) 2
R

R 2  ( R  h) 2 g h( 2 R  h)

R
Rh

Vậy để quả cầu không nhảy lên bậc thì a 

g h( 2 R  h)
Rh

b. Khi có lực ma sát ở A thì quả cầu không thể lăn lên bậc nếu.
M P / A  M Fqt / A  P R 2  ( R  h) 2  Fqt ( R  h)  mg R 2  ( R  h) 2  ma( R  h)
a

g h( 2 R  h)
Rh

GV: Lê Chí Hiếu

24


Tĩnh học vật rắn
Kết quả như câu a
Bài 15: Thanh OA nhẹ hợp với trục thẳng đứng Oz một góc  và quay quanh trục thẳng
đứng Oz với vận tốc góc  . Một hòn bi nhỏ khối lượng m có thể trượt không ma sát trên
OA và được nối với điểm O bằng một lò xo có độ cứng k chiều dài tự nhiên l0 . Tìm các vị
trí cân bằng của viên bi? Cân bằng có bền không?
z

z



A


N



R




A

 
Fđh P


Fqt

O

O
Giải:

Chọn hệ qui chiếu gắn với viên bi, các lực tác dụng lên viên bi như hình vẽ.
Fđh  k (l  l0 ); Fqt  ma










Viên bi cân bằng nên P  N  Fđh  Fqt  0 (1)
P cos   Fđh  Fqt sin   mg cos   k (l  l0 )  ma sin 
 mg cos   k (l  l0 )  m 2 R sin 

Chiếu (1) lên phương OA:  mg cos   k (l  l0 )  m 2l sin 2 
 mg cos   kl0  (m 2 sin 2   k )l
l 

mg cos   kl0
( 2)
m 2 sin 2   k

Vì viên bi nhỏ nên trọng lực làm lò xo bị nén một đoạn nhỏ hơn l0 hay mg cos   kl0 vậy để
(2) có nghĩa thì m 2 sin 2   k  0   

1
sin 

k
(3) vậy biểu thức (2) và điều kiện (3) là
m

vị trí và điều kiện để viên bi cân bằng
Để khảo sát dạng cân bằng của viên bi ta đặt: f1  mg cos   kl  kl0 ; f 2  m 2l sin 2  theo (3)
thì ta có hệ số góc của f1 lớn hơn hệ số góc của f 2 ta có đồ thị sau:
Tại A chính là vị trí cân bằng hiện tại, nếu vì lý do nào đó l
tăng lên thì f1 tăng nhanh hơn f 2 nên viên bi bị kéo trở lại A, nếu lý
do nào đó l giảm thì f 2 giảm chậm hơn f1 nên viên bi cũng sẽ bị kéo
trở lại A vậy cân bằng là bền.
GV: Lê Chí Hiếu

f

f1

A

f2
l

O

25