ĐỀ THI HS GIỎI MÔN TOÁN

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀLẠT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG PTCS PHAN CHU TRINH VÒNG TRƯỜNG LỚP 9 THCS
Năm học 2006-2007
Đề Thi Môn : TOÁN
Ngày thi: 16/11/2006
(Phần Số Học Và Đại Số)
Bài 1(4đ)
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có 2.7
n
+ 1 là bội của 3
2) Số 19
k
+5
k
+1995
k
+1996
k
với k là số chẵn có phải là số chính phương không? Vì sao?
Bài 2(4đ)
1) Phân tích thành nhân tử: a
3
+b
3
+c
3
-3abc
2) Cho
1 1 1
0
a b c

+ + =
và abc ≠ 0 . Chứng minh rằng biểu thức:

2 2 2
bc ac ab
M
a b c
= + +
không phụ thuộc vào a,b,c
Bài 3 (4đ)
1) Cho:

1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 120 121
1 1
1 ....
2 35
A
B
= + + + +
+ + + +
= + + +
Hãy so sánh A và B
3) Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +

− − −
với p là nửa chu vi tam giác đó
Bài 4 (8đ):
1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đường cao BE và AD. Gọi H là trực tâm và G là
trọng tâm tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng : tgB.tgC =
AD
HD
b) Chứng tỏ rằng HG//BC
⇔
tgB.tgC = 3
2) Cho hình bình hành ABCD, qua đỉnh D kẻ một đường thẳng cắt các đường thẳng AC, AB,
BC tại M,N,K . Chứng minh rằng :
a) DM
2
= MN . MK
b)
1
DM DM
DN DK
+ =

 Hết 

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC 06-07
(Phần Số Học Và Đại Số)

Bài 1(4đ)
1) 7  1(mod 3) =>7
n

 1 (mod 3)
=>2.7
n
 2 (mod 3)
=>2.7
n
+1  3 (mod 3) 0(mod 3)
=>2.7
n
+1 = 3k=> 2.7
n
+1 là bội của 3
2) 19  -1(mod 4)=>19
k
 (-1)
k
(mod 4)
19
k
 1(mod 4) (do k chẵn)
5  1(mod 4)=> 5
k
 1(mod 4)
1995  -1(mod 4)=>1995
k
 (-1)
k
(mod 4)
1995
k

 1(mod 4) (do k chẵn)
1996  0 (mod 4)=> 1996
k
 0(mod4)
=>19
k
+5
k
+1995
k
+1996
k
 3(mod 4)
19
k
+5
k
+1995
k
+1996
k
= 4k+3 (k∈Z)
=>19
k
+5
k
+1995
k
+1996
k

không thể là số
chính phương
Bài 2(4đ):
1) a
3
+b
3
+c
3
-3abc =
=(a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3
) +c
3
-
(3abc+3a
2
b+3ab
2
)
=(a+b)
3
+c
3

-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)
2 2
( ) ( ) 3a b a b c c ab
 
+ − + + −
 
=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc)
2) Theo câu a nếu ta có a+b+c = 0 thì
a
3
+b
3
+c
3
-3abc = 0=> a
3
+b
3
+c
3
= 3abc
áp dụng kết qủa trên nếu
3 3 3

1 1 1 1 1 1 1
0 3.
a b c a b c abc
+ + = => + + =
ta có:
2 2 2 3 3 3
3 3 3
1 1 1 3
( ) . 3( 0)
bc ac ba abc abc abc
M
a b c a b c
abc abc abc
a b c abc
= + + = + +
= + + = = ≠
=>Kết luận
0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
0.5
0.75
0.25
Bài 3(4đ)
1 1 1
...
1 2 2 3 3 4
1
....
120 121
1 2 2 3..... 120 121
121 1 10
A = + + +
+ + +
+
+
= − + − + − +
= − =
1 1
1 ...
2 35
2 2 2
...
2 1 2 2 2 35
2 2 2
...
1 1 2 2 35 35
1 1 1

2( ...
1 2 2 3 35 36
2(6 1) 10
B
B
B
= + + +
= + + +
= + + +
+ + +
=> > + + +
+ + +
> − =
Vậy B >A
2) Chứng minh được :
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
p dụng bđt trên ta có:
1 1 4 4
2p a p b p a b c
+ ≥ =
− − − −
1 1 4 4
2p b p c p b c a
+ ≥ =
− − − −
1 1 4 4
2p c p a p c a b

+ ≥ =
− − − −
1 1 1 1 1 1
2( ) 4( )
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
− − −
1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
− − −
(Học sinh có thể chứng minh bằng cách
khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)
Bài 4 (8đ):
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
0.75
0.5
0.25
1)
a) tìm được tgB=
AD
BD
,tgC=
AD

CD
=> tgB.tgC=
2
.
AD
BD CD

. .BDH ADC BD CD AD DH∆ ∆ => =:
=>tgB.tgC=
AD
DH
b) cm được :
3
AM
GM
=
( M là trung điểm của
BC)
∆ ADM có HG//BC
//
3 .
HG DM
AM AH
GM HD
tgB tgC
<=>
<=> =
<=> =
(nếu học sinh chứng minh hai chiều thì chiều
thứ nhất 0.75đ, chiều ngược lại 0,75đ)

2)
a) cmđược
2
(1), (2)
. .
.
MD AM MD CM
MK MC MN MA
MD DM MA CM
MK MN MC MA
MD MK MN
= =
=> =
=
Từ (1) =>
(1')
MK MC MK MC
MK MD AM MC KD AM MC
= => =
+ + +
Từ (2)=>
(2')
MD MC MD MC
MN MD AM MC ND AM MC
= => =
+ + +
Từ (1’,2’) =>
MK DM
DK DN
=

1
DM DM MK DM DK
DN DK DK DK DK
=> + = + = =