408 câu Toán thi THPT Quốc gia vận dụng cao có lời giải chi tiết

Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />
108 CÂU VDC HÀM SỐ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Tìm m để phương trình f (s inx)  m
có nghiệm x  0;  .

A. m  4; 2.

B. m  4; 2.

C. 4; 2.

D. 4;0 \ 2.

Lời giải
Chọn C
Đặt sinx  t khi đó x  0;   thì t  0;1. Bài toán trở thành tìm m để phương trình

f (t )  m có nghiệm t  0;1. Từ đồ thị ta có f (t )  m có nghiệm t  0;1 khi và chỉ khi

/
ng
lo
ao
db
om
/b

C. m  f (2)  10.

D. m  f (0).

ok

B. m  f (2) 10.

bo

A. m  f (0).

.c

f ( x)  m  x 3  x ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x  2;0 khi và chỉ khi

ce

Lời giải

w

.fa

Chọn D

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé

w

Câu 2.

4  m  2.
Cho hàm số y  f ( x ) , hàm số y  f '( x ) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ.


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />f ( x )  m  x  x, x  2; 0  f ( x )  x 3  x  m, x  2; 0
3

Đặt g ( x)  f ( x)  x3  x  g '( x)   f '( x) 1  3x 2  0, x  2;0. Vậy hàm số
g ( x)  f ( x)  x 3  x đồng biến với mọi x  2;0 . Khi đó m  g (0)  f (0).

Câu 3.

Gọi S là tổng tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  x 3  2 x 2  mx  3 cắt
parabol y  x 2  x  1 tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC bằng

3
. Khi đó
2

A. S  1  3 3 .

B. S  2 3 .

C. S  1 .

D. S  1 .

Lời giải
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 3  2 x 2  mx  3 và parabol
y  x 2  x  1 là: x 3  2 x 2  mx  3  x 2  x  1

 x3  x 2   m  1 x  2  0 (1)
Để đồ thị hàm số y  x 3  2 x 2  mx  3 cắt parabol y  x 2  x  1 tại ba điểm A, B, C phân biệt
thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
 Phương trình 3 x 2  2 x  m  1  0 có 2 nghiệm phân biệt  '  4  3m  0  m 

4
.
3

Ta có y  x 2  x  1  y 2  x 4  x 2  1  2 x 3  2 x  2 x 2  x 4  2 x 3  x 2  2 x  1 (2)
Lấy (2) chia (1), ta được
x 4  2 x 3  x 2  2 x  1   x  1  x3  x 2   m  1 x  2    m  1 x 2  1  m  x  3

 y 2  mx 2  x 2  x  mx  3
 x 2  y 2   mx 2  mx  x  3   m  x 2  x  1  x  3  m  my  x  3  m

 x 2  y 2  x  my  m  3  0
2

2

ng
lo

ao

om
/b

db

Vì đồ thị hàm số y  x 3  2 x 2  mx  3 cắt parabol y  x 2  x  1 tại ba điểm A, B, C phân biệt
3
sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng
nên
2
2
 m  1 N 
m2
13  3 
9
.
m 



4
4  2 
2
 m  5  L 

/

1 

m
m2
13

 x   y  
m .
2 
2
4
4




ok

.c

Vậy S  1 .
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm



w

.fa

ce

bo

4  9.3x 2  2 y  4  9 x2  2 y .7 2 y  x2  2


2 x  1  2 y  2 x  m

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé

w

Câu 4.


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />A. m 

8
.
3

B. m 

11
.
4

C. m 

11
.
4

8
D. m  .
3

Lời giải
Chọn B





4  9.3x2  2 y  4  9 x2  2 y .7 2 y  x2  2 (1)

Ta có 
2 x  1  2 y  2 x  m
(2)
Phương trình (1)  4  9.3x

2

2 y



 4  9x

2

2 y

 .7

2 y  x2 2

.

Đặt x 2  2 y  t , thay vào phương trình (1) ta được:
4  9.3t   4  9t  .7 2 t 

4  3t  2 4  32t
 2t (*)
7t  2
7
x

x

4  3x
1 3
Xét hàm số f  x  
 4.      , có
x
7
7 7
x

x

1  3
3
1
f '  x   4.   .ln    .ln  0, x   .
7 7
7
7

Khi đó phương trình (*)  f  t  2   f  2t   t  2  2t  t  2  x 2  2 y  2  2 y  x 2  2
.
Thay 2 y  x 2  2 vào phương trình (2) ta được:
2 x 1  x2  2 x  m  2
1

x 

2
m  3x 2  2 x  3


(3)

om
/b

Số nghiệm của hệ phương trình ban đầu chính là số nghiệm của hệ phương trình (3).

db

ao

lo

ng

/

Xét hàm số g  x   3x 2  2 x  3 , ta có bảng biến thiên sau:

w

.fa

ce

bo

11
thỏa yêu cầu bài toán.
4

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé

w

Vậy m 

11
.
4

ok

.c

Do đó để hệ phương trình ban đầu có nghiệm  hệ phương trình (3) có nghiệm  m 


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />
Câu 5.

Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị  C  như hình vẽ bên. Biết đồ thị hàm số đã cho cắt trục

Ox tại ba điểm có hoành độ x1, x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng và x3  x1  2 3 . Gọi
diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và trục Ox là S , diện tích S1 của hình phẳng giới hạn bởi
các đường y  f  x   1 , y   f  x   1 , x  x1 và x  x3 bằng

A. S  2 3 .

B. S  4 3 .

C. 8 3 .

D. 4 3 .

Lời giải
Chọn D

Ta có: S1 

x3

x3

x1

x1

 f  x   1    f  x   1 dx  2  f  x   1dx.

ng

/

Vì f  x   1  0, x   x1 ; x3  nên

hàm

số

ao
db

y  f  x

xác

định

và

liên

tục

trên

 .

Biết

rằng

ok

Cho

om
/b

Vì S2  S3 nên S1  4 3 .

.c

 S1  2  S3  S 2   4 3.

bo

f   x   1  x  x  2  g  x   2019 với g  x   0 , x   .

w

.fa

ce

Hàm số y  f 1  x   2019 x  2020 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé

w

Câu 6.

lo

x3
x3
x3
x3
 x2

S1  2   f  x   1dx  2  f  x dx  2  dx  2   f  x dx   f  x dx   2  x3  x1 

 x1

x1
x1
x1
x2


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
A.  ;3 .

link fb: />
B.  4;   .

C.  0; 4  .

D.  2;  .

Lời giải
Chọn B
Xét hàm số y  f 1  x   2019 x  2020.

y   f  1  x   2019.
x  0
y  0   x  3  x  g 1  x   0  
vì g 1  x   0, x   .
x  3
Ta có bảng xét dấu:

3

bên. Hàm số h( x)  f ( x)  x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
2

A.

 3;0 .

B.  ; 3 .

C. 1;   .

D.  0;3 .

Lời giải

om
/b

db

ng
lo

ao

Vì f ( x) là hàm đa thức bậc bốn nên f ( x) là hàm đa thức bậc ba. Do đó hàm số f (1  x) cũng
là hàm đa thức bậc ba. Hơn nữa, nhìn vào hình vẽ, ta thấy đồ thị của hàm số f (1  x) tiếp xúc
với trục Ox tại điểm có hoành độ x  1 và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là x  3 nên
2
f (1  x)  a 1  x   3  x  , a   .

/

Chọn B

Mặt khác, đồ thị của hàm số y  f (1  x) cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 3 nên ta có

a 1  0   3  0   3  a  1  f (1  x)  1  x   3  x   f ( x)  ax 2  x  2   ax3  2 x 2 .
2

ok

.c

2

w

.fa

ce

bo

Khi đó h( x)  f ( x )  3 x  x3  2 x 2  3 x.

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé

w

Câu 7.

Hàm số y  f 1  x   2019 x  2020 đồng biến trên khoảng  4;   .
Cho hàm đa thức bậc bốn y  f ( x) , đồ thị của hàm số y  f (1  x) là đường cong ở hình vẽ


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />x  0
h( x)  0  x  2 x  3x  0   x  1 .
 x  3
3

2

Bảng xét dấu

Vậy, hàm số h( x) nghịch biến trên  ; 3 .
Câu 8. Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình 2 x  log 2 x  22  x  log 2 (2  x )  m có đúng 3 nghiệm
phân biệt.
A. 2 .

B. vô số.

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn C
Cách 1:
Đặt f ( x)  2 x  log 2 x  22 x  log 2 (2  x).
TXĐ: D   0;2  .

1   2 x
1

f ( x)   2 x ln 2 
.
   2 ln 2 
x ln 2  
(2  x) ln 2 

Đặt g (t )  2t ln 2 

1
1
 g (t )  2t ln 2 2  2
 0, t   0; 2 
t ln 2
t ln 2

 g (t ) đồng biến trên  0; 2  .
Khi đó, phương trình f ( x)  0  g ( x)  g (2  x)  x  2  x  x  1.

db

Cách 2: Xét phương trình 2 x  log 2 x  22 x  log 2 (2  x )  m (*).

om
/b

Điều kiện: 0  x  2.

bo

ok

.c

Giả sử x  a là nghiệm của phương trình (*), dễ thấy x  2  a cũng là nghiệm của (*) nên nếu
a  2  a , nghĩa là a  1 thì số nghiệm của (*) là số chẵn. Do đó, điều kiện cần để số nghiệm
của (*) là số lẻ thì a  1 (nghĩa là (*) có một nghiệm x  a sao cho a  2  a )  x  1  m  4.

w

.fa

ce

Với m  4 , ta có phương trình 2 x  log 2 x  22 x  log 2 (2  x )  4

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé

w

lo

ao

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình f ( x)  m có nhiều nhất 2 nghiệm nên không tồn tại m
thỏa yêu cầu bài toán.

ng

/

Bảng biến thiên


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />
 2 2
x

2 x

  log 2 x  log 2 (2  x)  4  2 x  22 x  4  log 2   x 2  2 x  (**).

2 x  22  x  2 2 x.22 x  2 x  2 2 x  4
, x   0; 2  nên
Vì 
2
2
log 2   x  2 x   0  4  log 2   x  2 x   4

phương trình (**)  4  log 2   x 2  2 x   4  x  1 (nghiệm duy nhất). Do đó, không tồn tại m

thỏa yêu cầu bài toán.
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  , có 3 cực trị và có đồ thị như hình vẽ

 1 
Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f 

  x  12 


A. 3.
B. 0.
C. 1.

D. 2.

Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  , ta thấy hàm số y  f  x  có 3 điểm cực trị là x  x1  x1  0  ,

x  0 và x  x2  x2  0  .

 x  1

2

/
ng

 0. Vì x1  0 nên 1 vô nghiệm, phương trình  2 hiển nhiên

ao

1

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om
/b

 1 
vô nghiệm. Phương trình  3  có 2 nghiệm đơn phân biệt nên hàm số y  f 
 có 2
  x  12 


điểm cực trị.

db

Nhận thấy x   \ 1 ,

lo

 1  1
Ta có: y   f  
.
  x  12   x  13



 1
 x1 1

2
  x  1

 1 
 1
suy ra y  0  f  


0

 0  2
2
  x  1 
  x  12




 1
 x  1 2  x2  3



w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé

w

Câu 9.


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />
Câu 10. Cho hàm số y  f  x   ax  bx 4  cx3  dx 2  ex  f  a  0  và hàm số f   x  có đồ thị như
5

1
1
hình vẽ bên dưới đây. Gọi g  x   f  x   x3  x 2  2 x  m . Hàm số y  g  x  có tối đa bao
3
2
nhiêu điểm cực trị?

A. 5.

B. 9.

C. 6.

D. 8.

Lời giải
Chọn B

Ta có: g   x   f   x   x 2  x  2 . Do đó g   x   0  f   x   x 2  x  2.
Do y  f  x   ax5  bx 4  cx3  dx 2  ex  f  a  0  là đa thức bậc 5 nên

g   x   f   x   x 2  x  2 là đa thức bậc bốn nên lim g   x   
x 

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om
/b

Dựa vào đồ thị, ta có bảng biến thiên của hàm số g  x  như sau:

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé

w

ng
lo

db

nghiệm đơn x  2, x  1, x  1 nên phải có 1 nghiệm đơn nữa).

ao

các điểm x  2, x  1, x  1 và x  x0  x0  1 (do f   x   x 2  x  2 là đa thức bậc 4 có 3

/

Trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, vẽ đồ thị hàm số y  f   x  và y  x 2  x  2, chúng cắt nhau tại


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />
Từ đó, hàm số y  g  x  có 4 điểm cực trị và phương trình g  x   0 có tối đa 5 nghiệm phân
biệt nên hàm số y  g  x  có tối đa 9 điểm cực trị.
Câu 11. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;3 và có bảng biến thiên như sau

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m dể phương trình f  x  1 
hai nghiệm phân biệt trên đoạn  2;4 . Tổng các phần tử của S là

A. 297 .

B. 294 .

C. 75 .

m
có
x  6 x  12
2

D. 72 .

Lời giải
Chọn D
f  x  1 

2
m
  x  1  4  x  1  7  f  x  1  m .


x  6 x  12
2

Đặt t  x  1 , với x   2; 4  t  1;3 .
Phương trình trở thành:  t 2  4t  7  f  t   m * với t  1;3 .
Đặt g  t    t 2  4t  7  f  t   g   t    2t  4  f  t   f   t   t 2  4t  7  .
Với t  2 thì g   t   0 và t  2 thì g   t   0 , ta có bảng biến thiên

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình * có hai nghiệm t phân biệt thuộc đoạn

1;3  12  m  3  S  12; 11; 10;...; 5; 4 .

ng

/

Vậy tổng các phẩn tử của S là 72 .

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om
/b

db

ao

lo

Câu 12. Cho hàm số f  x   ax3  bx2  cx  d có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />
Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f  sin x   f  m  có nghiệm
A. 0  m  5 .

B. 1  m  1 .

C. 2  m  2 .

D. 1  m  5 .

Lời giải
Chọn C
Xét phương trình f  sin x   f  m  1 .
Đặt t  sin x với t   1;1 .

1  f  t   f  m   2 .
Phương trình 1 có nghiệm  phương trình  2  có nghiệm t   1;1  đường thẳng

y  f  m  cắt đồ thị hàm số y  f  t  tại ít nhất 1 điểm có hoành độ thuộc đoạn  1;1 .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có 2  m  2 thì phương trình f  sin x   f  m  có nghiệm.

ao

Câu 13. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên  .Biết f '(0)  3, f '(2)  2018 và bảng xét dấu

lo

ng

/

Từ bảng biến thiên ta có 1  f  m   5 .

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om
/b

db

của f "( x ) như sau:

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />Hàm số y  f ( x  2017)  2018 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây?
A. ( 2017; 0) .

B. (2017;  ) .

D. ( ; 2017) .

C. (0; 2) .
Lời giải

Chọn D
Bảng biến thiên f '( x ) .

y '  f '( x  2017)  2018
y'  0
 f '( x  2017)  2018
 x  2017  2

 
 x  2017  x1 , x1  0
 x  2015
 
 x  x1  2017  (; 2017)

ng

/

Bảng biến thiên y .

ao

4sinx  m6sinx
không nhỏ hơn
9sinx  41sinx

db

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của m để giá trị lớn nhất của hàm số y 

lo

Vậy hàm số y  f ( x  2017)  2018 x đạt GTNN tại x0  x1  2017 .

13
.
18

D.

13
2
m .
18
3

.c

C. m 

ok

2
.
3

bo

B. m 

w

.fa

ce

Lời giải

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé

w

2
.
3

w

A. m 

om
/b

1
.
3


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />Chọn B
sin x

3
1 m 
s inx
mt  1
3
2 3

2
,
với
t

y


f
(
t
)
   ;  .
2sin x
2
t 4
2
3 2
3
4
 
2

1
Vậy yêu cầu bài toán trở thành tìm m để tồn tại giá trị max f (t ) (luôn đúng) và f (t )  có
2 3
3
 ; 
3 2

2 3
nghiệm thuộc đoạn  ;  (1) .
3 2

1
1
4
t2 1
 mt  1  t 2   3m 
 g (t ) (2)
3
3
3
t
1
g '(t )  1  2 ; g '(t )  0  t  1
t

Xét f (t ) 

Dựa vào bảng biến thiên : 3m  g (1)  2  m 

2
.
3

.c

om
/b

db

ao

lo

ng

/

Câu 15. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và hàm số y  f   x  có đồ thị như sau

2

bo

ok

m 1
m 

Đặt g  x   f  x     x   1  m  1 với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các số
3  2
3



ce

nguyên dương của m để hàm số y  g  x  đồng biến trên khoảng  7;8 . Tổng của các phần tử

w

.fa

có trong tập S bằng

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />A. 186 .

B. 816 .

C. 168 .

D. 618 .

Lời giải
Chọn C
Hàm số y  f  x  liên tục trên  nên hàm số y  g  x  cũng liên tục trên  .
m 
m 


g   x   f   x     x   1 .
3 
3 


Hàm số đồng biến trên khoảng  7;8  g   x   0 x   7;8 (do hàm số y  g  x  liên tục)
m
m

 f   x    x   1 x   7;8 1 .
3
3


Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị y  f   x  và y  x  1

m

 1  x  3  1
3 x  3  m  3 x  3
 21  m  24
x  7;8  
x 7;8  
.
1  
m  3x  9
 m  12
x  m  3

3

/

Vậy S  1;...;12;21;22;23;24 suy ra tổng của các phần tử có trong tập S là 168 .

1
.
36

D. y0 

lo
ao

om
/b

C. y0  

1
.
36

.c

1

có đỉnh I  ; y0  . Tìm y0 .
6


1
1
A. y0  .
B. y0   .
6
6

db

tuyến với  S  tại các điểm đó song song với nhau. Biết A, B, C cùng nằm trên một Parabol  P 

ng

Câu 16. Cho hàm số y  x 4  2 x 2 có đồ thị  S  . Gọi A, B, C là các điểm phân biệt trên  S  có tiếp

ok

Lời giải

ce

bo

Chọn C

w

.fa

Giả sử k là hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm A , B , C .

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: /> k  4x  4x
3

Vì A, B, C là các điểm phân biệt trên  S  nên ta có:
x
k
y  x 4  2 x 2  y  .  4 x 3  4 x   x 2  y   x 2  .x
4
4

Do đó A , B , C nằm trên Parabol có phương trình y   x 2 

k
x  P .
4

 k k2 
 Parabol  P  có đỉnh là I  ;  
 8 64 
4
k 1



k


1

8 6

3
Mà I  ; y0  suy ra 
.

2
1
k
6

y  
y  
 0
 0
36
64
Câu 17. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có đạo hàm f ' x   x 2  x  2 x 2  6 x  m với mọi

x   . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 2019; 2019 để hàm số g  x  f 1 x

nghịch biến trên khoảng ; 1
A. 2012 .

B. 2011

C. 2009 .
Lời giải

D. 2010 .

Chọn A
Đặt t  1 x , khi x  ; 1 thì t  2;  .

Hàm số y  f 1 x nghịch biến trên ; 1
 hàm số y  f t  đồng biến trên  2; 

 x 2  6 x  m  0, x   2; 
 m x 2  6 x, x  2; 

 m  9 . Vậy m  9;10;11;...; 2019 hay có 2011 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.

ng

/

Câu 18. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị

ao

lo

hàm số y  f ' x như hình vẽ bên.

om
/b

db

1
1
Gọi g  x   f  x   x3  x 2  x  2019 .
3
2

.c

Biết g 1  g 1  g 0  g 2 . Với x  1; 2 thì g  x đạt giá

bo
.fa

ce

C. g 1 .

w

B. g 1

D. g 0 .

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé

w

A. g  2 .

ok

trị nhỏ nhất bằng


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />Lời giải
Chọn A

.
+ g '  x  f '  x   x 2  x  1

 x  1

+ g '  x   0  f '  x   x  x 1   x  0

x  2

+ Ta có bảng biến thiên

/

2

lo

ng

+ g 1  g 1  g 0  g 2  g 1  g 0  g 1  g 2


ao

0

 g 1  g 2 .

db

Vậy min g  x  g 2 . Chọn A.

om
/b

1;2

Câu 19. Cho hàm số f  x   2 x 4  4 x 3  3mx 2  mx  2m x 2  x  1  2 ( m là tham số thực). Biết

ok

 5
C. m   0;  .
 4

bo

D. m  1;1 .

ce

B. m    : 1 .

w

.fa

Lời giải

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé

w

A. m   .

.c

f  x   0, x   . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />Chọn C

Nhận xét f 1  0.
Vậy f  x   0, x    f  x   f 1 , x   .
 x  1 là điểm cực trị của f  x 

Ta có f   x   8 x 3  12 x 2  6mx  m  m

2x 1
x2  x  1

.

f  1  0  m  1.
Thử lại

m  1  f  x   2  x 4  4 x3  3 x 2   x  2 x 2  x  1  2
 2  x 4  2 x 3  x 2    x 2  x  1  2 x 2  x  1  1
 2  x2  x  
2

Vậy m  1.
Câu 20. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
x

f ( x)







2

x 2  x  1  1  0, x   .

có bảng biến thiên



1

0

2





5

0

22



Số cực trị của hàm số g  x   f  2 x 2  2 x  .
Lời giải
Ta có g   x    4 x  2  f   2 x 2  2 x  .

1

x   2
 2
4 x  2  0
 2 x  2 x  a ( a  1) 1
g  x  0   4x  2 f   2x2  2x   

2

f
2
x

2
x

0
 2



 2 x  2 x  0 (nghiem boi chan )
 2 x 2  2 x  b (b  2)  2 






ao

lo

1
.
2

om
/b

 g   x   0 có ba nghiệm phân biệt nên hàm số g  x   f 2 x 2  2 x có ba điểm cực trị.

db

Xét phương trình  2  có   1  2b  0 nên 1 có hai nghiệm phân biệt khác

ng

/

Xét phương trình 1 có    1  2 a  0 nên 1 vô nghiệm.

Câu 21 . Cho hàm số f  x   ax  bx  cx  d x  m ( với a , b, c, d , m   ). Hàm số y  f '  x  có đồ
4

3

2

w

.fa

ce

bo

ok

.c

thị như hình vẽ bên dưới:

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />
Tập nghiệm của phương trình f  x   48ax  m có số phần tử là:
A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn B
5

f '  x   4ax 3  3bx 2  2cx  d  4a  x  3  x    x  1
4

 a  x  3 4x  5  x  1  a  4 x3  13 x 2  2 x  15 

 4ax3  13ax 2  2ax  15a .
 13
b  3 a
3b  13a


Đồng nhất ta được hệ 2c  2a  c   a
d  15a
d  15a



 f  x   ax 4 

13 3
ax  a x 2  15ax  m.
3

Khi đó f  x   48ax  m  ax 4 

13 3
ax  a x 2  15ax  m  48ax  m
3

13 3
x  x 2  15 x  48 x 
3

x  0
13


x  x 3  x 2  x  63   0  
.
3


x  3

 x4 

Lời giải

ok

.c

Chọn C

om
/b

D. 6 .

db

ao

của m để h  x   g  f  x   đồng biến trên  0;  
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .

lo

Câu 22. Cho hàm số f  x   x 4   4  m 2  x  1 và g  x   x3  3x 2  5 x  1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên

ng

/

Vậy tập nghiệm của phương trình f  x   48a x  m có 2 phần tử

w

.fa

ce

bo

h  x   g  f  x    h '  x   g '  f  x   . f '  x   0

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: /> g '  f  x    0
3 f  x   6 f  x   5  0  vn 
m2  4
m2  4
3
3
 
 3

x


x

2
4
4
 4 x  4  m  0

 f '  x   0
2

BBT

Hàm số đồng biến trên  0;   khi và chỉ khi

3

m2  4
 0  2  m  2 .
4

Vậy có 5 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Câu 23. Tìm tất cả các giá trị của m để GTNN của hàm số y  x 2  4 x  m  3  4 x bằng 5 .
A. m  8 .

4
C. m  .
5

B. m  0 .

D. m  5 .

Lời giải
Ta có x 2  4 x  m  3  4 x  5, x  x 2  4 x  m  3  4 x  5, x .
Xét hàm số y  x 2  4 x  m  3 có đồ thị  P  và đường thẳng d : y  4 x  5 .
Yêu cầu bài toán  d nằm dưới  P  , x và d ,  P  có điểm chung.
Trường hợp 1: Phương trình x 2  4 x  m  3  0 có   0 , khi đó đồ thị hàm số

y  x 2  4 x  m  3 cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt.

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om
/b

db

ao

lo

ng

/

Ta có đồ thị  P  và đường thẳng d như sau

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />
Ta thấy d không nằm dưới  P  , x  loại.

Trường hợp 2: Phương trình x 2  4 x  m  3  0 có   0 , khi đó đồ thị hàm số
y  x 2  4 x  m  3 nằm phía trên trục Ox hoặc tiếp xúc với Ox . Khi đó đồ thị hàm số
y  x 2  4 x  m  3 chính là đồ thị hàm số y  x 2  4 x  m  3 .
Ta có đồ thị

 P

và đường thẳng d như sau

Yêu cầu bài toán  d tiếp xúc với  P   x 2  4 x  m  3  4 x  5 có nghiệm kép
 x 2  8x  m  8  0 có nghiệm kép

   0  42  4  m  4   0  m  8 .
Vậy m  8 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 24. Cho hàm số y  f  2  x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số y  f  x 2  2  đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.  0;1 .

B. 1;2 .

C.  2;  1 .

D.  1;0  .

Lời giải

lo
ao

om
/b

db

t  3
 2  x  3
x  5


Đặt x  2  t . Khi đó phương trình 1  f   2  t   0   t  1   2  x  1   x  3 .
 t  1
 2  x  1
 x  1

ng

/

Chọn D

Xét phương trình f   x   0 1

Xét hàm số g  x   f  x 2  2  .

w

.fa

ce

bo

ok

.c

Ta có g   x   f   x 2  2  .2 x

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />x   7
 x2  2  5



 f   x2  2  0
x2  2  3
x   5

 2
g  x   0  

x  2 1
2x  0

x   3

 x0
x

0



5

Câu 25. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   2 x   như hình vẽ bên. Hàm số
2

1
1
y  f  x   x 2  x  1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
4
4

7

A.  ;   .
2


 9 17 
B.  ;  .
2 2 

 7 17 
C.   ;  .
 2 2

 7 9
D.   ;  .
 2 2

Lời giải
Chọn D

1
1
1
1
Ta có y  f  x   x 2  x  1  y  f   x   x 
4
4
2
4

1
1
1
1
y  0  f   x   x   0  f   x    x  (1)
2
4
2
4

lo

5

 f   2t    t  1 (2)
2


om
/b

db

5
1
5 1

Phương trình (1) trở thành: f   2t      2t   
2
2

2 4


ng

/

5
2

ao

Đặt x  2t 

w

.fa

ce

bo

ok

.c

5

Dựa vào đồ thị hàm số y  f   2t   và đồ thị hàm số
2


y  t  1 . Khi đó

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />7

t  3  x   2

9
phương trình (2)  t  1  x 

2

t  3  x  17
2


Bảng biến thiên

 7 9
 17

Hàm số nghịch biến trên khoảng   ;  và  ;    .

 2 2
 2

x2
Câu 26. Cho hàm số y 
có đồ thị  C  . Hai điểm A, B trên  C  sao cho tam giác AOB nhận điểm
x
H  8;  4  làm trực tâm. Tính độ dài đoạn thẳng AB
A. 2 2 .

B. 2 5 .

C. 2 6 .

D. 2 3 .

Lời giải
Chọn B

Ta có AB  OH  AB có một VTPT là OH   8;  4   AB có hệ số góc là k  2 .
Phương trình đường thẳng AB có dạng y  2 x  m .

x2
 2x  m
x
 2 x 2   m  1 x  2  0 , x  0

Phương trình hoành độ giao điểm của AB và  C  là

(1)

Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác 0

/

1 m
, x1.x2  1 .
2

ng

Giả sử A  x1 ; 2 x1  m  , B  x2 ; 2 x2  m  với x1  x2 


 OA   x1 ; 2 x1  m  , HB   x2  8; 2 x2  m  4  .

 x1 x2  8 x1  4 x1 x2  2m  x1  x2   m 2  4  2 x1  m   0

om
/b

1 m
 m 2  4m  0  m  1
2

2
2
 AB   x2  x1 ; 2  x2  x1    AB 2  5  x2  x1   5  x1  x2   4 x1 x2   5  02  4   20



db

ao

lo

Ta có OA  HB  x1 x2  8 x1   2 x1  m  2 x2  m  4   0 .

ok

.c

 5  2m.

w

.fa

ce

bo

Vậy AB  2 5.

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé

Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />
Câu 27. Cho hàm số y  x  3mx  3  m 2  1 x  m 2  1 Cm  . Với m 
3

2





a , b  1  a, b  



thì  Cm 

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. Khi đó S  a  b  ab có giá trị bằng
B. 7

A. 7 .

D. 5 .

C. 3 .
Lời giải

Chọn A

Ta có y  x 3  3mx 2  3  m 2  1 x  m 2  1   x  m



3

 3 x  m3  m 2  1

y  3  x  m   3
2

x  m 1
y  0  
 x  m 1
Khi đó
y  m  1  m3  m 2  3m  1
y  m  1  m3  m 2  3m  3

 Cm  cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ dương khi và chỉ khi
phân biệt x1 , x2 và y  x1  . y  x2   0 , a. f  0  0

y   0 có hai nghiệm dương

m  1  0
m  1  0
m  1

 3

2

3
2
3
2
3  m  m  3m  1
 m  m  3m  1 m  m  3m  3  0
 m2  1  0

m  1
m  1



2
  m  1  m  3  0
 m  3
 3  m  1 2


2
1  2  m  1  2
 m  1  m  2m  1  0

Vậy a  3; b  2 suy ra S  a  b  ab  7

 và có đồ thị như hình vẽ bên.

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om
/b

db

ao

lo

ng

/

Câu 28. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé

Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f  x  m   m có đúng 6 nghiệm phân biệt
là
A. 1.

B. 3

C. 2 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn B
Đặt t  x  m , ứng với mỗi giá trị của t cho ta một giá trị của x
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình f  t   m có đúng 6 nghiệm phân biệt.

om
/b

db

ao

lo

ng

/

Đồ thị hàm số y  f  t  như hình vẽ dưới đây

ok

.c

Vậy phương trình f  t   m có đúng 6 nghiệm phân biệt khi 1  m  3

w

.fa

ce

bo

Câu 29. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy
link fb: />
Có

bao

nhiêu

giá

trị

nguyên

của

tham

1
1

f  x    x 2  2  m có nghiệm.
x

x
A. 8 .
B. 9 .

m 10;10

số

C. 10 .

để

phương

trình

D. 12 .

Lời giải
Chọn D
Điều kiện: x  0
Đặt t  x 

1
 t   ; 2   2;   . Phương trình đã cho trở thành f (t )  t 2  2  m.
x

Xét hàm số g (t )  f (t )  t 2  2 với t   ; 2   2;   . Có g '(t )  f '(t )  2t
Ta có bảng biến thiên của hàm số g (t )  f (t )  t 2  2 như sau

t

∞

2

2

+∞

f'(t)

+

t

+

g'(t)

+

g(t) + ∞

2

+∞

1

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi m  1 .
Câu 30. Cho hàm số f ( x)  ax3  cx  d . Biết min f ( x)  f ( 2). Khi đó max f ( x) bằng
( ;0)

5
C. f   .
 2

/

D. f (2) .

ng

 3
B. f   .
 2

lo

1
A. f   .
2

(1;3)

Chọn D

om

/b

Nếu a  0 thì f ( x)  cx  d không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) trên (;0) .

db

ao

Lời giải

Nếu a  0 thì lim f ( x)   nên không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) trên (;0)

.c

x

ok

.

w

ce

.fa

Ta có f '(2)  0  12a  c  0  c  12a  f ( x )  ax 3  12 ax  d

bo

Do đó a  0 và hàm số đạt cưc tiểu tại x  2.

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé


Tổng hợp Page: Học Toán cùng Cayyy

link fb: />x  2
 f '( x)  3ax 2  12a  3a( x 2  4)  0  
.
 x  2

Do hàm số đạt cực tiểu tại x  2 nên hàm số đạt cực đại tại x  2. Do đó max f ( x)  f (2).
(1;3)

Câu 31 . Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  5;3 như hình vẽ ( phần cong
của đồ thị là 1 phần của parabol y  ax2  bx  c ).

Biết f  0   0 . Giá trị của 6 f  5  3 f  2  bằng
A. 9 .

B. 11 .

D. 11 .

C. 9 .
Lời giải

Chọn A

a  b  c  0
 a  1


Ta có a  b  c  4  b  2   P  : y   x 2  2 x  3 .
 b  2 a
c  3




1 11
1 1
7
Ta có : f  1  f  5   . .2  . .1  1 .
2 3
2 3
2
f  0   f  1 

0

5

 f   x dx  3  2  .

0

lo
ao

22
22
.
 f  2 
3
3

db

2

Ta lại có f  2   f  0    f   x dx 

ng

31
.
6

om
/b

Từ 1 ,  2   f  5   

/

1

Vậy: 6 f  5   3 f  2   31  22  9.

.c

9
1
, f  2   . Biết rằng hàm số
2
2

ok

Câu 32 . Cho hàm số y  f  x  xác định trên  có f  3  8, f  4  

2

có bao nhiêu

ce

bo

y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số y  2 f  x    x  1

w

.fa

điểm cực trị?

w

w

Like và follow page để học ăn ớt đúng cách nhé