ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
MÔN THI : TOÁN
-------------------------------------KHỐI 11 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Ngày thi : Thứ Hai 02/5/2019
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
---------------------------------------------Bài 1. (1,5đ) Tính các giới hạn sau:
a) lim
x
9 x 12 x 3x .
2
b) lim
3 x
x 3
x 2 7 4( x 3)
.
( x 3)2
Bài 2. (1đ) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
b) y cos 2 (1 2 x 2 ).
a) y (1 2 x) 1 x 2 x .
2
2
3
3
2
Bài 3. (1đ) Chứng minh phương trình (m 2m 3)( x 3 x 4) m x 0 có ít nhất một nghiệm
với mọi số thực m.
2 x 2 x
, khi 2 x 0 liên tục trên [2;2] .
x
m 2 x,
khi 0 x 2
Bài 4. (1đ) Tìm m để hàm số y f ( x)
Bài 5. (1,5đ) Cho hàm số y f ( x)
2x 1
(C).
1 x
a) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng y 2 x 1 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
x 3y 1 0 .
Bài 6. (4đ) Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình thoi ABCD, AB = a,
(𝐴𝐵𝐶𝐷), SA a 3 . Dựng OK ⊥ SC ( K thuộc SC).
a) Chứng minh BD (SAC) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
b) Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
d) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC).
HẾT
, SA ⊥
Đáp án và cho điểm
Bài 1
a)
b)
Bài 2
Tìm giới hạn
12 x
9 x 2 12 x 3x lim
2
x
x
9 x 12 x 3x
12
lim
x
12
9 2 3
x
2
lim
3 x x 2 7 4( x 3)
x2 7 4
lim
lim
x 3
x 3
( x 3) 2
( x 3)
x3
lim
2
x 3
x 7 4
3
4
Tính đạo hàm hàm số
y (1 2 x) 1 x 2 x 2 .
y' (1 2 x)' 1 x 2 x 2 (1 2 x)
2 1 x 2 x 2 (1 2 x)
1 x 2 x2
'
1 4x
2 1 x 2 x2
4(1 x 2 x 2 ) (1 2 x)(1 4 x) 16 x 2 10 x 3
2 1 x 2 x2
2 1 x 2 x2
b) y cos 2 (1 2 x 2 )
y' 2 cos(1 2x 2 ). cos(1 2x 2 ) '
2cos(1 2 x 2 ).sin(1 2 x 2 ). (1 2 x 2 )'
= 8 x cos(1 2 x 2 ).sin(1 2 x 2 ).
4 x.sin(2 4 x 2 ).
Bài 3
Chứng minh rằng phương trình
(m 2 2m 3)( x3 3 x 4)3 m 2 x 0
một nghiệm với mọi số thực m.
Đặt
f ( x) (m 2 2m 3)( x 3 3x 4)3 m 2 x .
(1) có ít nhất
Hàm số
f ( x ) xác định và liên tục trên R
Hàm số
f ( x ) liên tục trên [-1;1]
3
2
2
f (1) (8) (m 2m 3) m 0
f (1) m2 0
f (1). f (1) 0, m
x1 [1;1] sao c ho f ( x1 ) 0.
Vậy pt (1) có ít nhất 1 nghiệm với mọi m.
2 x 2 x
, khi 2 x 0
x
m 2 x,
khi 0 x 2
Bài 4
(1đ) Tìm m để hàm số y f ( x)
liên tục trên
[2;2] .
lim f ( x) lim
x 0
x 0
2 x 2 x
2
1
lim
x 0
x
2 x 2 x
2
lim (m 2 x) m
x 0
f (0) m
Hàm số liên tục trên
[2;2]
khi và chỉ khi
lim f ( x) lim ( f ( x) f (0)
x 0
m
x 0
1
2
Bài 5
Cho hàm số
y f ( x)
2x 1
1 x
có đồ thị (C).
a)Viết pt tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng
y ' f '( x)
3
(1 x)2
.
2x 1
2 x 1;
Pthđ giao điểm :
1 x
1
x
(x 1)
2
x 0
1
1 4
x
y 0; f '( )
2
2
3
x 0 y 1; f '(0) 3
y 2 x 1.
Tại
4
2
1
M 1 ;0 , pttt : y x
3
3
2
Tại M2(0;1),
pttt : y 3x 1
b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng
x 3y 1 0 .
Gọi M(xo;yo) là tọa độ tiếp điểm. tt song song với (d):
3
1
2
(1 x0 )
3
x 2 y0 1
x 4 y0 3
Bài 6
pttt tại M(-2;-1);
1
1
y x
3
3
pttt tại M(4;-3);
1
13
y x
3
3
( loại)
(4đ) Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình thoi ABCD, AB = a,
(𝐴𝐵𝐶𝐷),
, SA ⊥
SA a 3 . Dựng OK ⊥ SC ( K thuộc SC).
a) Chứng minh
BD (SAC)
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
b) Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
d) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC).
S
K
H
D
C
O
A
B
I
a) Học sinh chứng minh
BD (SAC)
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là OK.
* Tam giác SAC có
Suy ra
OK
SA AC a 3 . Gọi M là trung điểm SC
1
1
a 6
AM SC
2
4
4
b)Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
Xác định SH là hình chiếu vuông góc của SA lên (SBD), suy ra góc
[ SA;( SBD)] ASH ASO
tan ASO
1
ASO 26034'
2
c)Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
d[C;(SBD)] d[A;(SBD)]
AH (SBD) d[A;(SBD)] AH
1
1
1
a 15
AH
AH 2 SA2 AO 2
5
d)Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC).
Xác định đúng
[( KBC );(OBC )] [( SBC );( ABC )] SIA
AI .BC AC.BO 2S ABC
AI
a2 3
4
a 3
2
tan SIA
SA
2
AI
[(KBC);(OBC)] [(SBC);( ABC)] SIA 63026 '