SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN
(Dành cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức:
1
1
x4
với x 0; x ; x 1; x 4 .
1 :
P
4
x 3 x 2 2x 3 x 1
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x sao cho P 2019 .
10
c) Với x 5 , tìm giá trị nhỏ nhất của T P .
x
Câu 2: (0,75 điểm)
1
1
(với m là tham số, m 0 ). Gọi
Cho hai đường thẳng (d1): y mx m và (d2): y x
m
m
I( x0 ; y0 ) là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) với (d2). Tính T x02 y02 .
Câu 3: (1,25 điểm)
Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 (2 m) x 1 m 0 (m là tham số).
a) Tìm m để x1 x2 2 2 .
b) Tìm m sao cho T
1
1
đạt giá trị nhỏ nhất.
2
( x1 1) ( x2 1) 2
Câu 4: (1,5 điểm)
a) Giải phương trình:
4 x 8072 9 x 18162 5 .
x3 y 3 3 x 2 6 x 3 y 4 0
b) Giải hệ phương trình: 2
2
x y 3 x 1
Câu 5: (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính a và điểm J có JO = 2a. Các đường thẳng JM, JN theo thứ tự
là các tiếp tuyến tại M, tại N của đường tròn (O). Gọi K là trực tâm của tam giác JMN, H là
giao điểm của MN với JO.
a) Chứng minh rằng: H là trung điểm của OK.
b) Chứng minh rằng: K thuộc đường tròn tâm O bán kính a.
c) JO là tiếp tuyến của đường tròn tâm M bán kính r. Tính r.
d) Tìm tập hợp điểm I sao cho từ điểm I kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (O) và hai
tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Câu 6: (0,5 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: 12 x 10 y 15 z 60 . Tìm giá trị lớn nhất của
T x2 y 2 z 2 4 x 4 y z .
-------------------- HẾT -------------------Họ và tên thí sinh: ....................................................
Chữ kí của giám thị 1: ..............................................
Số báo danh: .........................................
Chữ kí của giám thị 2: ..........................
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN:
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
1
x4
1 :
P
x 3 x 2 2x 3 x 1
a)
x 1
x 2
1
x 2
x 2
x 2
1
x 1
x 1 2 x 1
x 2 x 1 2
2 x 1 2 x 1
x 1 2 x 1
1.0
x 1
4x 1
Câu 1
(2,5đ)
b)
c)
Câu 2
(0,75đ)
1
Vậy P 4 x 1 với x 0; x ; x 1; x 4 .
4
1
Với x 0; x ; x 1; x 4 , ta có:
4
P 2019 4 x 1 2019 x 505 (thỏa mãn ĐK)
Vậy với x 505 thì P 2019 .
10
10 2 x 10 18 x
Xét T P 4 x 1
1
x
x
5
x
5
2 x 10
2 x 10
2
4
Áp dụng BĐT Côsi, ta có:
5
x
5 x
2 x 10
Dấu “=” xảy ra
x 5 (do x 0)
5
x
18 x
Lại có:
18 (vì x 5 )
5
T 4 18 1 21
Vậy min T 21 tại x 5 .
Theo đề bài, ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ:
1
1
y0 mx0 m
2
2
mx0 m x0
m x0 m x0 1
m
m
1
1
y0 mx0 m
y0 m x0 m
y0 mx0 m
1 m2
1 m2
x
x
0
2
2
1 m2
(m 1) x0 1 m
0 1 m 2
2
y0 m( x0 1)
y m 1 m 1
y 2m
0
2
0 1 m 2
1 m
Do đó:
0.5
1.0
0.75
2
2
1 m 2 2m 1 2m 2 m 4 4m 2 1 m
T x y
1
2
2
2
2
1 m 1 m
1 m2
1 m2
2
2
2
0
2
0
Phương trình: x 2 (2 m) x 1 m 0 (m là tham số).
Xét (2 m) 2 4( 1 m) 4 4m m 2 4 4m m 2 8 0 m
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
x1 x2 m 2
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 x2 1 m
0.25
x1 x2 2 2 x1 x2 8 x1 x2 4 x1 x2 8
2
Câu 3
(1,25đ)
a)
b)
2
m 2 4( 1 m) 8 m 2 8 8 m 0
Vậy m 0 là giá trị cần tìm.
1
1
( x1 1) 2 ( x2 1) 2 x12 2 x1 1 x22 2 x2 1
T
( x1 1) 2 ( x2 1) 2
( x1 1) 2 ( x2 1) 2
( x1 x2 x1 x2 1) 2
2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 2( x1 x2 ) 2 ( m 2) 2 2( 1 m) 2( m 2) 2
( x1 x2 x1 x2 1) 2
( 1 m m 2 1) 2
0.5
0.5
m 2 4m 4 2 2m 2m 4 2 m 2 4 4
1
(2) 2
4
4
Vậy min T 1 tại m 0 .
4 x 8072 9 x 18162 5 (ĐK: m 2018 )
2 x 2018 3 x 2018 5
a)
Câu 4
(1,5đ)
b)
5 x 2018 5
x 2018 1
x 2018 1
x 2017 (thỏa mãn ĐK)
Vậy nghiệm của phương trình là x 2017
x 3 y 3 3 x 2 6 x 3 y 4 0
2
2
x y 3 x 1
Nhờ thầy cô giải giúp nhé !
0.75
0.75
M
0.25
J
K
O
H
N
a)
Câu 5
(3,5đ)
b)
c)
Ta có: OM JM (JM là tiếp tuyến của (O))
NK JM (K là trực tâm của JMN)
OM // NK
Chứng minh tương tự được ON // MK
OMKN là hình bình hành
Hình bình hành OMKN có hai đường chéo OK và MN cắt nhau tại H
H là trung điểm của OK.
Hình bình hành OMKN có OM = ON = a nên là hình thoi
OM = MK OMK cân tại M
OMJ vuông tại M, có:
OM a 1 MOJ
600
cos MOJ
OJ 2a 2
OMK là tam giác đều
OK = OM = a K (O; a).
OMKN là hình thoi MH OK tại H
JO là tiếp tuyến của (M; MH) r = MH
OMH vuông tại H
a.sin 600 a 3 hay r a 3
MH OM.sin MOH
2
2
A
0.75
0.75
B
I
d)
0.75
a
O
Giả sử IA, IB là các tiếp tuyến của (O) với A, B là các tiếp điểm
* Phần thuận:
1.0
IAO
IBO
900 nên là hình chữ nhật
Tứ giác IAOB có AIB
Lại có OA = OB = a IAOB là hình vuông
OI OA. 2 a 2 I O;a 2
* Phần đảo:
Lấy điểm I O;a 2 thì IO a 2
OAI vuông tại A IA OI 2 OA 2
a 2
2
a2 a2 a
Tương tự tính được IB = a
IA = IB = OA = OB = a
Tứ giác IAOB là hình thoi
900
AIB
* Kết luận: Tập hợp điểm I cần tìm là đường tròn O;a 2 .
Câu 6
(0,5đ)
Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: 12 x 10 y 15 z 60 . Tìm
giá trị lớn nhất của T x 2 y 2 z 2 4 x 4 y z .
Nhờ thầy cô giải giúp nhé !
Thầy Nguyễn Mạnh Tuấn
Trường THCS Cẩm Hoàng – Cẩm Giàng – Hải Dương
0.5