Đề thi giữa HK2 toán 11 năm 2018 2019 trường newton hà nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THCS THPT NEWTON

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ 2 LỚP 11
NĂM HỌC 2018 – 2019
Mơn: Tốn
Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian phát đề)

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (5 ĐIỂM)
       
Câu 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1 B1C1 . Đặt AA1  a , AB  b , AC  c , BC  d trong các đẳng thức
sau, đăng thức nào đúng?
   
   
  
    
A. a  b  c  d .
B. a  b  c .
C. b  c  d  0 .
D. a  b  c  d  0 .

x 2016  x  2
khi x  1

Câu 2. Xác định giá trị thực k để hàm số f  x    2018 x  1  x  2018
liên tục tại x  1 .
k
khi x  1

A. k  1 .
C. k 

B. k 

20016
2019 .
2017

2017. 2018
.
2

D. k  2 2019 .
n

1
Câu 3. Kết quả của giới hạn lim   bằng
2
B.  .

A. 0 .

C.

1
.
2

D.  .

Câu 4. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề sai là

A. Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến song song
với nhau.
B. Hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với
mặt phẳng kia.
C. Hai mặt phẳng song song thì khơng có điểm chung.
D. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
 x 2  ax  1 khi x  2
Câu 5. Tìm a để hàm số f  x    2
có giới hạn khi x  2
2 x  x  3a khi x  2
1
1
A. 1.
B. .
C. 1.
D.
.
2
2
2
f 1 . f  3 . f  5  ... f  2n  1
2
. Tìm
Câu 6. Đặt f  n   n  n  1  1 , xét dãy số  u n  sao cho un 
f  2  . f  4  . f  6  ... f  2n 




A. lim  n u  

C. lim  n u  





lim n un .

n

n

 
D. lim  n u  

1
.
3

B. lim n un 

2.

n

1
.
2

3.

Câu 7. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tính góc giữa hai đường thẳng B ' D ' và A ' A.
A. 300.
B. 600.
C. 900.
D. 450 .
 x 2  3 x  2 khi x  1
liên tục tại điểm x  1 thì giá trị của a là
Câu 8. Để hàm số y  
khi x  1
4 x  a
A. 4.
B. 1.
C. 1.
D. 4 .
3
2
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  m  1 x  2mx  x  3m  0 có nghiệm thuộc
khoảng  0 ;1
A. m  0 .

1
B. 0  m  .
3

C. m  0 .

1
D. 0  m  .
3

Trang 1/13 - WordToan


Câu 10. Kết quả của giới hạn lim
A. 3 .

2n
bằng:
n 1
2

B. 2 .

C. 0 .

D.

1
.
3

 1

1
1

 ... 
Câu 11. Kết quả của giới hạn lim 
 bằng:
 2n  1 2n  1 

 1.3 3.5
1
A. 0 .
B. .
C. 1 .
D.  .
2
Câu 12. Hình chiếu của hình chữ nhật khơng thể là hình nào trong các hình sau?
A. Hình bình hành.
B. Hình chữ nhật.
C. Hình thoi.
D. Hình thang.
x2
Câu 13. Cho hàm số y 
. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
x 1
B. Hàm số liên tục trên  .
A. Hàm số gián đoạn tại x  1 .
C. Hàm số liên tục trên  \ 1 .
D. Hàm số liên tục tại x  1 .
Câu 14. Kết quả của giới hạn lim  n 2  n  1 bằng
A.  .

C.  .

B. n 2 .

D. 0 .

1  n  3n

bằng
2n  1
2

Câu 15. Kết quả của giới hạn lim
A. 1 .

B. 2 .

C.

1
.
4

D.

1
.
2

 
Câu 16. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tích vô hướng AB.CD bằng?
a2
a2
A.  .
B.
.
C. a 2 .
D. 0 .

2
2
Câu 17. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D . Biểu thức nào sau đây đúng:
  
   
A. AD  AB  AC .
B. AB  AB  AA  AD .
   
   
C. AC  AB  AA  AD .
D. AD  AB  AD  AC .





2
Câu 18. Với giá trị nào của tham số m thì lim mx  3x  2m  0 .
x 1

A. m  3 .

B. m  1 .

C. m  0 .

D. m  3 .
3 6 f (x)  5  5
f (x)  20
 10 . Tình lim

.
Câu 19. Cho f (x) là đa thức thỏa mãn lim
x 2
x 2
x2  x  6
x2
4
12
6
4
.
.
.
A. T  .
B. T 
C. T 
D. T 
15
25
25
25
Câu 20. Phương trình x 7  2 x 2  x  5  0 có nghiệm thuộc khoảng nào dưới đây?.
A.  0;1 .
B. 1; 2  .
C.  1; 0  .
D.  2;3  .
Câu 21. Cho hình lăng trụ ABC. ABC  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB và CC  . Gọi  là giao
tuyến của hai mặt phẳng  AMN  và  ABC   . Khẳng định nào sau đây đúng?.
A.  // BC .
B.  // AB .

C.  // AC .
D.  // AA .

x2 - 5x + 6
.
x 2
x-2
A. 1 .
B. - 2 .
C. 0 .
D. - 1 .
n
x -1
Câu 23. Kết quả của giới hạn lim m
, (m , n Ỵ * ) .
x1 x -1
n -1
n
n!
n +1
.
B. .
C.
.
D.
.
A.
m!
m -1
m

m +1
Câu 24. Cho hình hộp ABCD. ABC D . Gọi M là trung điểm của AB . Mặt phẳng  MAC   cắt hình hộp
ABCD. ABC D theo thiết diện là hình gì?

Câu 22. Kết quả của giới hạn lim

Trang 2/13 – Diễn đàn giáo viên Toán


A. Hình thang.
B. Hình tam giác.
C. Hình ngũ giác.
2
Câu 25. Kết quả của giới hạn lim  x  3 x  1 bằng:

D. Hình lục giác.

x 1

A. 2 .

B. 0 .

C. 1 .

D. 1 .

PHẦN II: TỰ LUẬN (5 ĐIỂM)
Câu 26. (3 điểm) Tính các giới hạn sau:
2n  2017

x 2  3 x  10
x 1  3 x  5
lim
a) lim
.
b)
.
c) lim
.
x 2
x 3
3n  2018
x2
x3
Câu 27. (1,5 điểm) Cho tứ diện đều SABC cạnh a . Gọi I , J lần lượt là trọng tâm tam giác SBA , SBC , K là
điểm trên cạnh BC sao cho BC  3CK .
a) Chứng minh  IJK  / /  SAC  .
b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi  IJK  .
Câu 28. (0,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3  3 x 2   2m  2  x  m  3  0 có

ba nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  1  x2  x3 .
------------- HẾT -------------

Trang 3/13 - WordToan


PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (5 ĐIỂM)
BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
C D A D A B C A B C B D C C B D C A D B A D B A D

Câu 1.

Câu 2.

LỜI GIẢI CHI
TIẾT 
    

Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1 B1C1 . Đặt AA1  a , AB  b , AC  c , BC  d trong các đẳng
thức sau, đăng thức nào đúng?
   
   
  
    
A. a  b  c  d .
B. a  b  c .
C. b  c  d  0 .
D. a  b  c  d  0 .
Lời giải
Chọn C

Đẳng thức C đúng
 
  
    vì   
b  c  d  0  AB  AC  BC  0  CB  BC  0  CC  0 .

x 2016  x  2


Xác định giá trị thực k để hàm số f  x    2018 x  1  x  2018
k

A. k  1 .
C. k 

B. k 

20016
2019 .
2017

khi x  1

liên tục tại x  1 .

khi x  1

2017. 2018
.
2

D. k  2 2019 .
Lời giải

Chọn D

 x 2016  x  2

x 2016  x  2

x 1
.
 lim 
Xét lim f  x   lim
.
1
x 1
x 1
x

x 1
2018 x  1  x  2018
2018 x  1  x  2018 

Ta có
lim
x 1

 lim

x 1
 lim
2018 x  1  x  2018 x1

 x  1 

x 1

 x  1 



2018 x  1  x  2018

2018 x  1  x  2018
2017  x  1

2

2019
.
2017

Lại có
x 2016  x  2
x 2016  1  x  1
lim
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
2015
2014
 x  1 x  x  ...  x  1  x  1
 lim
 2017 .
x 1
x 1



Trang 4/13 – Diễn đàn giáo viên Toán

2018 x  1  x  2018







2018 x  1  x  2018




Vậy lim f  x   2 2019 .
x 1

Hàm số f  x  liên tục tại x  1 khi và chỉ khi lim f  x   f 1  2 2019  k .
x 1

n

Câu 3.

1
Kết quả của giới hạn lim   bằng
2

B.  .

A. 0 .

C.

1
.
2

D.  .

Lời giải
Chọn A
Có lim q n  0 nếu q  1 .
n

1
1
 1 nên lim    0 .
2
2
Câu 4. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề sai là
A. Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến
song song với nhau.
B. Hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song
với mặt phẳng kia.
C. Hai mặt phẳng song song thì khơng có điểm chung.
D. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Lời giải

Chọn D
Phương án A, B, C đúng theo các tính chất của hai mặt phẳng song
Phương án D sai vì hai mặt phẳng khơng phân biệt nên chúng có thể trùng nhau
2
 x  ax  1 khi x  2
Câu 5. Tìm a để hàm số f  x    2
có giới hạn khi x  2
2 x  x  3a khi x  2

Vì

A. 1.

B.

1
.
2

C. 1.

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn A
2

Ta có lim f  x   lim x  ax  1  5  2a
x 2

x 2





lim f  x   lim  2x2  x  3a   6  3a

x2

x2

Hàm số có giới hạn khi x  2 khi và chỉ khi lim f  x   lim f  x   5  2a  6  3a  a  1
x 2

Vậy a  1
Câu 6.





2
Đặt f  n   n  n  1  1 , xét dãy số



2

 un 

x 2

sao cho un 



f 1 . f  3 . f  5  ... f  2n  1
. Tìm
f  2  . f  4  . f  6  ... f  2n 

lim n un .

 
C. lim  n u  
A. lim n un 
n

1
.
3

2.

 
D. lim  n u  

B. lim n un 
n

1
.
2

3.

Lời giải
Chọn B
Ta có:

Trang 5/13 - WordToan


2
4
2
f  n    n  1  n   1   n  1  2n  n  1   n2  1


4
4
  n  1  2n  n2  1  2n    n2  1   n  1  4n2    n2  1  2n  1


2

2

  n2  1 n2  4n  1   n2  1  2n  1   n2  1  n  1  1


2
Từ đó ta có: f  2k  1   2k  1  1 .  4k 2  1


2
2
f  2k    2k  1  1 .  4k  1



2 10 26  2n  1  1
2
Suy ra un  . . ...

2
10 26 50  2n  1  1  2n  12  1
2


 lim n un  lim  n.




2
1
  lim


.
2
2
2
1
1
 2n  1  1 

2   2
n n

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tính góc giữa hai đường thẳng B ' D ' và A ' A.
B. 600.
C. 900.
D. 450 .
A. 300.
Lời giải
Chọn C



Câu 7.



2

B

C

A

D

B'

C'

D'

A'

     
Vì ABCD. A ' B ' C ' D ' là hình lập phương nên ta có A ' A  B ' B; B ' A '.B ' B  B ' C '.B ' B  0 và

  
B ' D '  B ' A'  B 'C ' .
        
Khi đó B ' D '. A ' A  B ' A '  B ' C ' .B ' B  B ' A '.B ' B  B ' C '.B ' B  0  B ' D '  A ' A .





Vậy  B ' D ', A ' A   900.
Câu 8.

 x 2  3x  2 khi

Để hàm số y  
khi
4 x  a
B. 1.
A. 4.

x  1
x  1

liên tục tại điểm x  1 thì giá trị của a là
C. 1.
Lời giải

Chọn A
Hàm số liên tục tại điểm x  1  lim  f  x   lim  f  x   f  1 (*).
x  1


2
 f  1   1  3  1  2  0

Với  lim  f  x   lim   x 2  3 x  2   0 .
x  1
 x  1
 lim f  x   lim  4 x  a   a  4

x  1
 x  1
 *  a  4  0  a  4 .
Trang 6/13 – Diễn đàn giáo viên Toán

x  1

D. 4 .


Câu 9.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  m  1 x 3  2mx 2  x  3m  0 có nghiệm
thuộc khoảng  0;1
1
B. 0  m  .
3

A. m  0 .

C. m  0 .

1
D. 0  m  .
3

Lời giải
Chọn B
Đặt f  x    m  1 x 3  2mx 2  x  3m .
 f  0   3m
Ta có 
.
 f 1  6m  2

Phương trình có nghiệm thuộc khoảng  0;1  f  0  . f 1  0  3m  6m  2   0  0  m 
Câu 10. Kết quả của giới hạn lim

2n
bằng:
n 1
2

B. 2 .

A. 3 .

1
3

C. 0 .

D.

1
.
3

Lời giải
Chọn C

2
n

2n

0
 lim
 0
1
n 1
1 2 1
n
 1

1
1

 ... 
Câu 11. Kết quả của giới hạn lim 
 bằng:
 2n  1 2n  1 
 1.3 3.5
1
A. 0 .
B. .
C. 1 .
2
Lời giải
Chọn B
1
1 1
1 
 

Với mọi k  * thì

, do đó
 2k  1 2k  1 2  2k  1 2k  1 
Ta có : lim

2

D.  .

 1

1
1
1 1 1 1
1
1 
1
1  1
lim 

 ... 

 lim 1 

  lim 1    

2  3 3 5 2n  1 2n  1 
2  2n  1  2
 2n  1 2n  1 
 1.3 3.5
.

Câu 12. Hình chiếu của hình chữ nhật khơng thể là hình nào trong các hình sau?
A. Hình bình hành.
B. Hình chữ nhật.
C. Hình thoi.
D. Hình thang.
Lời giải
Chọn D
Hình chữ nhật có hai cặp cạnh đối song song nên hình chiếu của nó khơng thể là hình thang.
x2
Câu 13. Cho hàm số y 
. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
x 1
B. Hàm số liên tục trên  .
A. Hàm số gián đoạn tại x  1 .
C. Hàm số liên tục trên  \ 1 .
D. Hàm số liên tục tại x  1 .
Lời giải
Chọn C
Ta có Tập xác định của hàm số D   ; 1   1;   do đó hàm số liên tục trên các khoảng

 ; 1

và  1;   .

Câu 14. Kết quả của giới hạn lim  n 2  n  1 bằng
Trang 7/13 - WordToan


A.  .

C.  .
Lời giải

B. n 2 .

D. 0 .

Chọn C

  1 1 
Ta có lim n2  n  1  lim  n 2 1   2   .
  n n 
 1 1 
Mặt khác: limn 2   ; lim 1   2   1 .
 n n 





  1 1 
Suy ra lim n2  n  1  lim  n 2 1   2     .
  n n 





1  n 2  3n
bằng

2n  1

Câu 15. Kết quả của giới hạn lim
A. 1 .

B. 2 .

C.

1
.
4

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn B
Ta có:
1  n 2  3n
lim
 lim
2n  1

 1

1

n 2  2  1   3n
n. 2  1  3n
n


n
 lim
2n  1
2n  1

 1

1
n  2 1  3
1  3
2
n
n


 lim
 lim
.
1
1

2
n2  
n
n


 1

1
1
1

Mặt khác: lim 2  0  lim  2  1  3   4 ; lim    0  lim  2    2 .
n
n
n

 n

1
1  3
2
1  n 2  3n
4
 lim n
  2.
Suy ra: lim
1
2n  1
2
2
n
 
Câu 16. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tích vơ hướng AB.CD bằng?
a2

a2
B.
.
C. a 2 .
D. 0 .
A.  .
2
2
Lời giải
Chọn D
A

B

D
M
C

Gọi M là trung điểm của CD.
Trang 8/13 – Diễn đàn giáo viên Toán


 
CD  BM
 CD   ABM   CD  AB  CD. AB  0.
Vì ABCD là tứ diện đều nên 
CD  AM
Câu 17. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D . Biểu thức nào sau đây đúng:
  
   

A. AD  AB  AC .
B. AB  AB  AA  AD .
   
   
C. AC  AB  AA  AD .
D. AD  AB  AD  AC .
Lời giải
Chọn C
A'

B'

C'

D'

A

D

B

C

   
Theo qui tắc hình hộp thấy AC  AB  AA  AD đúng.
2
Câu 18. Với giá trị nào của tham số m thì lim  mx  3x  2m   0 .
x 1

A. m  3 .

B. m  1 .

C. m  0 .
Lời giải

D. m  3 .

Chọn A
Ta có:
lim  mx 2  3 x  2m   0
x 1

 m.  1  3.  1  2m  0
2

 m  3
3 6 f (x)  5  5
f (x)  20
 10 . Tình lim
.
x 2
x 2
x2  x  6
x2
12
6
4
.

.
.
B. T 
C. T 
D. T 
25
25
25
Lời giải

Câu 19. Cho f (x) là đa thức thỏa mãn lim
A. T 

4
.
15

Chọn D
f (x)  20
 10 nên f (x)  20 khi x  2
Vì lim
x 2
x2
Ta có:
3 6 f (x)  5  5
6 f (x)  5  125
lim
 lim
2
x2

x 2
2
x  x6
 x  2  x  3  3  6 f (x)  5  5. 3 6 f (x)  5  25




 f (x)  20

6
 lim 
.

x2
2
 x  2  x  3  3  6 f (x)  5   5. 3 6 f (x)  5  25 

 


6
 10.
5.  3  6.  5  202  5. 3 6.20  5  25


4
 .
25
Câu 20. Phương trình x 7  2 x 2  x  5  0 có nghiệm thuộc khoảng nào dưới đây?.

Trang 9/13 - WordToan


A.  0;1 .

B. 1; 2  .

C.  1; 0  .

D.  2;3  .

Lời giải
Chọn B
Xét hàm số f  x   x 7  2 x 2  x  5 liên tục trên D   .

Ta có: f 1  3  0 ; f  2   129  0 .
Ta thấy f 1 . f  2   0 do đó f  x   0 có nghiệm thuộc khoảng 1; 2  .
Câu 21. Cho hình lăng trụ ABC. ABC  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB và CC  . Gọi  là giao
tuyến của hai mặt phẳng  AMN  và  ABC   . Khẳng định nào sau đây đúng?.
B.  // AB .
C.  // AC .
D.  // AA .
A.  // BC .
Lời giải
Chọn A
A
B

C

M
N
A'
B'
C'

I

Theo bài ra ta có: BC // MN // B C  .
Trong  ACC A  gọi I  AN  AC  .
Khi đó hai mặt phẳng  AMN  và  ABC   có điểm chung I và lần lượt đi qua hai đường thẳng
song song MN ; BC  .
Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng  AMN  và  ABC   là đường thẳng  qua I và song song
với BC    // BC .
Câu 22. Kết quả của giới hạn lim
x2

A. 1 .

x2 - 5x + 6
.
x-2
B. - 2 .

C. 0 .
Lời giải

D. - 1 .

Chọn D

Có lim
x 2

( x - 2)( x - 3)
x-2

= lim ( x - 3) = 2 - 3 = -1 .
x 2

x n -1
, (m , n Ỵ * ) .
Câu 23. Kết quả của giới hạn lim m
x1 x -1
n -1
n
n +1
.
B. .
C.
.
A.
m -1
m
m +1
Lời giải
Chọn B
Ta có

Trang 10/13 – Diễn đàn giáo viên Toán

D.

n!
.
m!


x n -1
x n - x n-1 + x n-1 - x n-2 + x n-2 + ... - x + x -1
= lim m
x1 x m -1
x1 x - x m-1 + x m-1 - x m-2 + x m-2 + ... - x + x -1
( x -1)( x n-1 + x n-2 + ... + 1)
x n-1 ( x -1) + x n-2 ( x -1) + ... + ( x -1)
= lim m-1
lim
=
x1 x
( x -1) + x m-2 ( x -1) + ... + ( x -1) x1 ( x -1)( x m-1 + x m-2 + ... + 1)
lim

x n-1 + x n-2 + ... + 1 n
.
=
x1 x m-1 + x m-2 + ... + 1
m
Câu 24. Cho hình hộp ABCD. ABC D . Gọi M là trung điểm của AB . Mặt phẳng  MAC   cắt hình hộp
ABCD. ABC D theo thiết diện là hình gì?
A. Hình thang.

B. Hình tam giác.
C. Hình ngũ giác.
D. Hình lục giác.
Lời giải
Chọn A

= lim

B

C

A

D

B'

C'

D'

A'

Gọi N là trung điểm của BC , ta có MN //AC //AC  nên MN   MAC   .

 MAC    ABBA  MA;  MAC    ABCD   MN
 MAC    BCC B  NC ;  MAC    ABC D  AC 
Thiết diện thu được là tứ giác MNC A . Do MN //AC  nên MNC A là hình thang.
Câu 25. Kết quả của giới hạn lim  x 2  3 x  1 bằng:

x 1

A. 2 .

B. 0 .

C. 1 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn D

Dễ thấy f  x   x 2  3 x  1 liên tục tại x  1 nên lim  x 2  3 x  1  f 1  1 .
x 1

PHẦN II: TỰ LUẬN (5 ĐIỂM)
Câu 26. (3 điểm) Tính các giới hạn sau:
x 2  3 x  10
2n  2017
a) lim
.
b) lim
.
x 2
x2
3n  2018

c) lim
x 3

x 1  3 x  5
.
x3

Lời giải
2017
2017




n2 

2

2n  2017
n
n
  lim 

a) lim
 lim 
2018 
2018 
3n  2018


n3


3

n 
n 


2017 

2017
lim  2 
 lim 2  lim
n 

n  20  2


2018 3  0 3
2018 

lim  3 
 lim 3  lim n
n 

b) lim
x 2

 x  2  x  5  lim x  5  2  5  7
x 2  3x  10
 lim



x 2
x 2
x2
x2
Trang 11/13 - WordToan


x 1  3 x  5
x 1  2  2  3 x  5
x 1  2
2 3 x5
 lim
 lim
 lim
x 3
x 3
x 3
x 3
x3
x 3
x 3

c) lim
x 3

x 1  2
 lim
x 3
x 3

Ta có: lim
x 3



x 1  2

 x  3 

 x  3
 lim
x 3
 x  3   x  1  2  x 3

Có: lim
x 3

2 x5
 lim
x 3
x3

2  
3

 lim
x 3

 lim

x 3

 lim
x 3

 lim
x 3



 x  3
 x  3
 x  3

4  2

4  2


3

x5

x5 

1
4  23 3 5 



3

x5 



3

35





x 3

2

 x  3 



x 1  2





4  2

3

x5 



3



3

x5

x5


2


2

3

2



3

x5





3

x5



x5
2



  lim

x  5 4  23 x  5 

3

3  x 
3

x 1  2


x  5   x  5 

3

4  23 x  5 

4  2

3

 x  3

8  x  5

1
3

2 

x 1  2



x  1  22

1
1
1


x 1  2
3 1  2 4

 lim

3





2

2


2

1
1

444
12

x 1  3 x  5
x 1  2
2 3 x5 1 1 1
 lim
 lim
  
x 3
x 3

x 3
x3
x 3
x 3
4 12 6
Câu 27. (1,5 điểm) Cho tứ diện đều SABC cạnh a . Gọi I , J lần lượt là trọng tâm tam giác SBA , SBC , K là
điểm trên cạnh BC sao cho BC  3CK .
a) Chứng minh  IJK  / /  SAC  .

Vậy: lim

b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi  IJK  .
Lời giải
a) Gọi M , N , H lần lượt là trung điểm của AB , BC , SC .

 IJ / / MN
 IJ / / AC  IJ / /  SAC  (1) .
Ta có 
 MN / / AC
Trang 12/13 – Diễn đàn giáo viên Toán


JH CK 1

  JK / / HC  JK / /  SAC  (2) .
BH BC 3
Từ (1) và (2)   IJK  / /  SAC  .

Có
b)

S

E

J

I
A

C
F
M

N

K

B

+)Trong  SBC  gọi E  JK  SB  E   IJK  .
Trong  SAB  gọi F  IE  AB  F   IJK  .
Suy ra  IJK    SAB   EF .

 IJK    ABC   FK .
 IJK    SBC   KE .
Vậy thiết diện là tam giác EFK .
EK EF FK 2
+)Ta có




SC SA AC 3
Mà SC  SA  AC  a  EF  FK  KE 

2a
.
3

Suy ra tam giác EFK đều.
2
3 a2 3
 2a 

.
Vậy S EFK    .
9
 3  4
Câu 28. (0,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 3  3 x 2   2m  2  x  m  3  0 có
ba nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  1  x2  x3 .
Lời giải
Điều kiện cần:
Đặt f  x   x 3  3 x 2   2m  2  x  m  3 thì f  x  liên tục trên .

Từ giả thiết phương trình có nghiệm x1  1  x2  x3 . Do lim f  x    nên ta suy ra
x 

f  1  0  m  5  0  m  5. Ta chứng minh đó cũng là điều kiện đủ.

Điều kiện đủ:

Giả sử m  5. Thế thì từ f  1   m  5  f  1  0.

Vì lim f  x    và do hàm f  x  liên tục trên  nên suy ra phương trình có nghiệm x1  1.
x 

Lại có f  0   m  3  0 (do m  5 ). Nên phương trình có nghiệm 1  x2  0.
Lại do tính liên tục của f  x  trên  và lim f  x    nên phương trình có nghiệm 0  x3 .
x 

Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa x1  1  x2  x3 là m  5.
------------- HẾT ------------Trang 13/13 - WordToan