Mẫu latex luận văn thạc sĩ Toán Đại học đà nẵng

\documentclass[12pt,a4paper,oneside,openright]{book}
\usepackage{float}
\usepackage{longtable}
\usepackage{tocloft}
\usepackage[utf8]{vietnam}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,fancyhdr}
\usepackage{amsthm,amsxtra,latexsym, amscd}
\usepackage[top=3.5cm, bottom=2.5cm, left=3.5cm, right=2.0cm] {geometry}
\usepackage[unicode]{hyperref}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{titletoc}
\usepackage{boxedminipage,fancybox}
\usepackage{makecell}
\usepackage{multirow}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}
\usepackage{subfig}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{lipsum}
%.Định dạng lại chapter,section,subsection,subsubsection.........
\def\chaptertitlename{\fontsize{14pt}{14pt}\selectfont{CHƯƠNG}}
\titleformat{\chapter}[display]


{\vspace{-2cm}\normalfont\Large\filcenter\bfseries}
{{{\chaptertitlename\,}\thechapter}} {0pc}{{}\MakeUppercase}
%----------------------------------\titleformat{\section}{\bfseries}{}{0pt}{\thesection.\,}
\titleformat{\subsection}{\large\bfseries}{}{0pt}{\hspace{1.2cm}\thesubsection.\,}

\setcounter{secnumdepth}{3}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\alph{subsubsection}}
\titleformat{\subsubsection}{\large\bfseries\itshape}{}{0pt}{\hspace{2cm}\thesubsubsection.\,}
%--------------------------------------------------------------------\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}%Danh lai so thu tu
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi )}%Danh lai so thu tu
\renewcommand{\theequation}{\thechapter.\arabic{equation}}% Danh lai so cong thuc toan
\newcommand*\circled[1]{\tikz[baseline=(char.base)]{
\node[shape=circle,draw,inner sep=1pt] (char) {#1};}}

\numberwithin{subsection}{section}

\newtheoremstyle{theorem}% name
{0pt}%

Space above

{0pt}%

Space below

{\it}%

Body font

{}%

Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)

{\bfseries}% Thm head font
{.}%

Punctuation after thm head

{.5em}%

Space after thm head: " " = normal interword space;


%

\newline = linebreak

{}%
%------------------------Định dạng mục lục----------------------------------------------\titlecontents{chapter}
[0cm]

% left margin

{\addvspace{-14pt}}
{%

% above code

% numbered format

\bfseries{CHƯƠNG \thecontentslabel.\,}%
}%
{}

% unnumbered format

{\dotfill\bfseries\thecontentspage\newline}

\titlecontents*{section}
[0cm]

% left margin

{\addvspace{-14pt}}
{%

% above code

% numbered format

\small{\thecontentslabel. }%
}%
{}

% unnumbered format

{ \dotfill\thecontentspage\newline}
\titlecontents*{subsection}
[0cm]
{}
{%

% left margin
% above code
% numbered format

{\hspace{1.2cm}\thecontentslabel. }%


}%
{}

% unnumbered format

{ \dotfill\thecontentspage\newline}

\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}{Định lí}[section]
\newtheorem{dl}[theorem]{Định lí}
\newtheorem{hq}[theorem]{Hệ quả}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Hệ quả}
\newtheorem{problem}{Bài toán}
\newtheorem{main}{Định lý cơ bản}
\newtheorem{bd}[theorem]{Bổ đề}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Bổ đề}
\newtheorem{md}[theorem]{Mệnh đề}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Mệnh đề}
\newtheorem{theorem1}{Tính chất}[chapter]
\newtheorem{tc}[theorem1]{Tính chất}
\newtheoremstyle{definition}% name
{4pt}%

Space above

{4pt}%

Space below

{}%

Body font

{}%

Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)

{\bfseries}% Thm head font
{.}%

Punctuation after thm head


{.5em}%
%

Space after thm head: " " = normal interword space;
\newline = linebreak

{}%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{dn}[theorem]{Định nghĩa}
\newtheorem{definition}[theorem]{Định nghĩa}
\newtheorem{note}[theorem]{\bf Chú ý}
\newtheorem{vd}[theorem]{\bf Ví dụ}
\newtheorem{example}[theorem]{Ví dụ}

\newtheorem{nx}[theorem]{\bf Nhận xét}
\newtheorem{remark}[theorem]{Nhận xét}

\begin{document}
\addtocontents{toc}{\protect{\pdfbookmark[0]{MỤC LỤC}{toc}}} %Thêm mục lục vào bookmark
\fontsize{14pt}{14pt}\selectfont% Chon cỡ font

\setlength{\baselineskip}{21pt}%Dãn dòng 1,5=21/14
%khoảng cách phía trên công thức toán
\setlength{\belowdisplayskip}{2pt} %khoảng cách phía trên công thức toán
\setlength{\parskip}{4pt}% khoảng cách giữa các paragrap
\titlespacing*{\section}{0pt}{0pt}{0pt}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{0pt}{0pt}
%-----------------------------------------------%Dinh nghia viet tat


\newcommand{\x}{\mathbf{x}}
\newcommand{\z}{\mathbf{z}}
%\def\en{\enskip\enskip}
\renewcommand{\contentsname}{\centerline{\fontsize{14pt}{14pt}\selectfont{ MỤC LỤC}}}

\makeatletter\renewcommand{\ps@plain}{
\renewcommand{\@oddhead}{}
\renewcommand{\@evenhead}{}
\renewcommand{\@oddfoot}{}
\renewcommand{\@evenfoot}{} }
\makeatother
%---------------------------------------------Bìa 1-----------\font\td=t5-lmb10 at 14pt
\setlength{\fboxsep}{1pt}
\begin{boxedminipage}[t]{15.5cm}

\begin{boxedminipage}[t]{15.4cm}
\begin{titlepage}
\begin{center}
\vspace{0.5cm}
{\bf ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG}\\
{\bf TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM}\\
{\textbf{--------------------------------}}
\end{center}

\vspace{2cm}


\begin{center}
\bf {\td ĐINH THỊ H}
\end{center}

\vspace{3cm}

\begin{center}
\Large\bfseries\MakeUppercase{PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN}
\end{center}

\vspace{3cm}

\begin{center}
{\bf {LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC}}
\end{center}
\vspace{4cm}
\vfill
\begin{center}

{\bf ĐÀ NẴNG - NĂM 2018}
\end{center}
\end{titlepage}
\end{boxedminipage}


\end{boxedminipage}

%-----------------Bìa 2-----------------------\newpage
\font\td=t5-lmb10 at 14pt
\setlength{\fboxsep}{1pt}
\begin{boxedminipage}[t]{15.5cm}
\begin{boxedminipage}[t]{15.4cm}
\begin{titlepage}
\begin{center}
\vspace{0.5cm}
{\bf ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG}\\
{\bf TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM }\\
{\textbf{--------------------------------}}
\end{center}

\vspace{2cm}

\begin{center}
\bf ĐINH THỊ H
\end{center}

\vspace{0.6cm}

\begin{center}

\Large\bfseries\MakeUppercase{PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
Chuyên ngành: Toán giải tích\\
Mã số: 8.46.01.02
\end{center}
\vspace{2cm}
\begin{center}
{\bf {LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC}}
\end{center}
\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\bf Người hướng dẫn khoa học:\\
TS. Phan A
\end{center}
\vspace{2.5cm}
\vfill
\begin{center}
{\bf ĐÀ NẴNG - NĂM 2018}
\end{center}

\end{titlepage}


\end{boxedminipage}

\end{boxedminipage}

\newpage
\chapter*{DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU}
\thispagestyle{empty}
\baselineskip 21pt
\begin{center}
\begin{tabular}{ l l l}
\hline
\textbf{Ký hiệu} & \textbf{Tên tiếng Anh}& \textbf{Ý nghĩa}\\
\hline
$\mathbb{R}^n$ & n-dimensional vectors & không gian các vector n chiều\\
$\lambda_i$ & real eigenvalues & các giá trị riêng thực\\
$e_i$ & real eigenvectors & các vector riêng thực\\
$|\cdot|$ & standard Euclidean norm & chuẩn Euclide\\
$\partial f(x)/\partial x_i$ & partial derivative & các đạo hàm riêng theo biến $x_i$\\
$\nabla$ & gradient & gradient\\
$\phi$ & implicit function & hàm ẩn\\
$x^*$ & local minimum & cực tiểu địa phương\\
$L(x,\lambda)$ & Lagrange function & hàm số Lagrange\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\chapter*{Danh mục các Thuật ngữ}
\baselineskip 22pt
\begin{center}
\begin{tabular}{l l l}
\hline

\textbf{Từ viết tắt} & \textbf{Thuật ngữ tiếng Anh} & \textbf{Thuật ngữ tiếng Việt}\\
\hline

CP & constrained programming & bài toán có điều kiện\\

ECP & equality constrained & bài toán có điều kiện cho bởi \\
& problem & phương trình\\

ICP & inequality constrained & bài toán có điều kiện cho bởi \\
& problem & bất phương trình\\

NLP & nonlinear programming & bài toán phi tuyến tính\\

NDP & nondifferentiable problem & bài toán không khả vi \\

K-T & Kuhn-Tucker Condition & điều kiện K - T\\

QP & quadratic programming & quy hoạch toàn phương\\


\hline
\end{tabular}
\end{center}

%--------------------------Lời cam đoan---------------------\newpage
\chapter*{Lời cam đoan}
\thispagestyle{empty}
\baselineskip
21pt
\ \ \ \ Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công
trình nghiên cứu nào khác.

\begin{flushright}
{\bf Tác giả} \hskip 1.5cm \quad\

\vspace{0.5cm}

\hskip 4cm\\

{\bf Đinh Thị H} \hskip 1cm \quad\
\end{flushright}

%---------------------Lời cảm ơn---------------------


\chapter*{Lời cảm ơn}
Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS. Phạm Quý Mười
đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hoàn thành được luận
văn~này.

\vspace{0.3cm}

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô~giáo đã tận tình dạy bảo tác giả
trong suốt thời gian học tập của khóa~học.

\vspace{0.3cm}

Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em trong lớp Toán giải tích K32 đã nhiệt tình
giúp đỡ tác giả trong quá~trình học tập tại lớp.

\begin{flushright}
{\bf Tác giả} \hskip 1.5cm \quad\

\hskip 3cm\\

{\bf Đinh Thị H} \hskip 1cm \quad\
\end{flushright}
\newpage

{\baselineskip22pt


\tableofcontents }
%\thispagestyle{empty}
\pagestyle{plain}
\newpage

%------Đánh số trang bắt đầu từ MỞ ĐẦU----------------------\makeatletter
\renewcommand{\ps@plain}{
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil{\thepage}\hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
\renewcommand{\@oddfoot}{\empty}
\renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot} }
\makeatother
\pagestyle{plain}
\setcounter{page}{1}% Bắt đầu đánh số trang từ trang Mở đầu
\thispagestyle{empty}
%-----------------------------------------------------------------------\pagenumbering{arabic}
\chapter*{MỞ ĐẦU}{\addcontentsline{toc}{chapter}{\bfseries{MỞ ĐẦU}}}

{\bf 1. Lý do chọn đề tài}

\vspace{0.3cm}
Phương pháp hàm phạt là một phương pháp được dùng để tìm nghiệm cho bài toán cực trị có điều kiện.
Ý tưởng chính của phương pháp là chuyển việc giải bài toán cực trị có điều kiện thông qua việc giải các
bài toán cực trị tự do. Các loại hàm phạt thường dùng là hàm phạt điểm ngoài, hàm phạt điểm trong,
hàm phạt Lagrange. Trong chương trình toán đại học, phương pháp này hầu như chưa được giới thiệu.


Hơn nữa, hầu hết các giáo trình tiếng Việt, chưa trình bày một cách đầy đủ về cơ sở lý thuyết của
phương pháp hàm phạt.

Các bài toán dạng này thường xuất hiện trong các tài liệu, giáo trình dành cho học viên cao học. Vì vậy,
việc nắm vững lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và các phương pháp giải là cần thiết cho học
viên, giúp học viên có cái nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề cực trị của hàm nhiều biến. Việc
nắm chắc cở sở lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và các phương pháp giải cũng giúp cho học viên
có khả năng giải và sáng tạo ra các bài toán mới.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán cực trị có điều kiện, cũng như các phương pháp hàm phạt
để giải các bài toán đó; được sự đồng ý hướng dẫn của thầy giáo TS. Phạm Quý Mười, em đã chọn đề
tài: “\emph{Phương pháp hàm phạt cho bài toán cực trị có điều kiện}” cho luận văn thạc~sĩ của mình.

{\bf 2. Mục đích nghiên cứu}

\vspace{0.3cm}
- Nắm được bài toán cực trị có điều kiện, định nghĩa và điều kiện cần và đủ của cực trị.

- Phương pháp hàm phạt và ứng dụng để giải bài toán cực trị.

- Sáng tạo được bài toán mới vận dụng phương pháp này.

{\bf 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu}

\vspace{0.3cm}
Phương pháp hàm phạt giải bài toán cực trị trong hình học và đại số trong chương trình toán ở cấp đại
học và trong một số ứng dụng.

{\bf 4. Phương pháp nghiên cứu}


\vspace{0.3cm}
Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu trong và nước ngoài. Tham khảo, trao
đổi với cán bộ hướng dẫn.

{\bf 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn}

\vspace{0.3cm}
Tổng hợp tài liệu để có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về phương pháp hàm phạt cho bài toán cực
trị có điều kiên cũng như phương pháp giải các bài toán đó.

{\bf 6. Cấu trúc luận văn}

\vspace{0.3cm}
Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Trong chương này, trình bày một số kí hiệu, định nghĩa, định lí liên quan đến luận văn. Cụ thể,
định nghĩa tập mở, tập đóng, tập compact, tập lồi; định lí hàm ẩn, định lí giá trị trung bình và sự mở rộng
của chuỗi Taylor.

Chương 2: Chương này trình bày một số bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình và bất
phương trình.

Chương 3: Trình bày phương pháp hàm phạt, nêu các hàm phạt khả vi, không khả vi của bài toán cực trị
có điều kiện cho bởi phương trình và bất phương trình.

\chapter{KIẾN THỨC CHUẨN BỊ}


\noindent Trong chương này, trình bày một số kí hiệu, định nghĩa tập mở, tập đóng, tập compact, tập lồi;
định lí hàm ẩn, định lí giá trị trung bình và sự mở rộng của chuỗi Taylor.
\section{Các kí hiệu đại số}
\noindent Chúng ta kí hiệu $\mathbb{R}$ là trường số thực và $\mathbb{R}^n$ là không gian gồm tất cả
các vector $n$ chiều.
Cho bất kỳ tập con $S \subset \mathbb{R}$ bị chặn trên (chặn dưới), chúng ta kí hiệu $\sup S \; (\inf S)$
là cận trên nhỏ nhất (cận dưới lớn nhất) của $S$. Nếu $S$ không bị chặn trên (dưới), chúng ta viết $\sup
S = \infty \; (\inf S = -\infty)$. Trong luận văn này, \textit{mỗi vector được xem xét là một vector cột}.
Phép chuyển vị của ma trận $A$ cỡ $m \times n$ được kí hiệu là $A'$. Một vector $x \in \mathbb{R}^n$
được xem như một ma trận cỡ $n \times 1$, và do đó $x'$ là một ma trận cỡ $1 \times n$ hoặc vector
hàng. Nếu $x_1,...,x_n$ là các tọa độ của vector $x \in \mathbb{R}^n$, ta viết $x = (x_1,x_2,...,x_n)^T$.
Chúng ta cũng viết
$$x \ge 0 \; \textrm{nếu} \; x_i \ge 0, \; \forall i = 1,...,n,$$
$$x \le 0 \; \textrm{nếu} \; x_i \le 0, \; \forall i = 1,...,n.$$

Một ma trận đối xứng $A$ cỡ $n \times n$ được gọi là \textit{nửa xác định dương} nếu $x'Ax \ge 0,
\forall x \in \mathbb{R}^n$. Trong trường hợp này chúng ta viết
$$A \ge 0.$$

Khi đó, ma trận $A$ được gọi là \textit{xác định dương} nếu $x'Ax > 0, \forall x \ne 0$ và viết
$$A > 0.$$

Khi đó, $A$ là (nửa) xác định dương và nó là ma trận đối xứng.
Một ma trận $A$ đối xứng cỡ $n \times n$ có $n$ giá trị riêng thực $y_1,y_2,...,y_n$ và tương ứng có
$n$ vector riêng thực khác không $e_1,e_2,...,e_n$ đôi một trực giao. Khi đó ta có
\begin{equation}
\label{eq11}
\gamma x'x \le x'Ax \le \Gamma x'x, \; \forall x \in \mathbb{R}^n,
\end{equation}


\noindent trong đó
$$\gamma = \min\{\gamma_1,...,\gamma_n\}, \; \Gamma = \max\{\gamma_1,...,\gamma_n\}.$$

Cho $x$ là vector riêng ứng với giá trị riêng $\Gamma(\gamma)$, bất phương trình ở bên phải (trái)
trong công thức (\ref{eq11}) sẽ trở thành phương trình. Do đó $A > 0 \; (A \ge 0)$, nếu và chỉ nếu các giá
trị riêng của $A$ là dương (không âm).

Nếu $A$ xác định dương thì tồn tại duy nhất một ma trận xác định dương có bình phương bằng $A$. Đây
là ma trận có cùng các vector riêng như ma trận A và có giá trị riêng bằng căn bậc hai giá trị riêng của
$A$. Chúng ta kí hiệu ma trận này là $A^{1/2}$.

Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông và $C$ là một ma trận có chiều phù hợp. Phương trình thường sử
dụng
$$(A + CBC')^{-1} = A^{-1} - A^{-1}C(B^{-1} + C'A^{-1}C)^{-1}C'A^{-1}$$
\noindent là đúng với tất cả các ma trận nghịch đảo xuất hiện ở trên tồn tại. Phương trình có thể được
chứng minh bằng cách nhân phía bên phải bởi $(A + CBC')$.

Xét một ma trận vuông $M$ có dạng
$$M = \left[ \begin{array}{c}
A \; B\\

C \; D
\end{array} \right].$$

Khi đó, ta có:
$$M^{-1} = \left[ \begin{array}{c}
Q \; -QBD^{-1}\\
-D^{-1}CQ \; D^{-1} +D^{-1}CQBD^{-1}
\end{array} \right],$$


\noindent trong đó
$$Q = (A - BD^{-1}C)^{-1},$$
\noindent với điều kiện tất cả các ma trận nghịch đảo xuất hiện ở trên tồn tại. Chứng minh được thực
hiện bằng cách nhân $M$ với biểu thức cho $M^{-1}$ nêu trên.

\section{Các kí hiệu tôpô}
\noindent Chúng ta sẽ sử dụng chuẩn Euclide trong không gian $\mathbb{R}^n$ và được kí hiệu là $|
\cdot |$; tức là, đối với một vector $x \in \mathbb{R}^n$, chúng ta viết
$$|x| = \sqrt{x'x}.$$

Chuẩn Euclide của một ma trận $A$ cỡ $m \times n$ sẽ được kí hiệu là $|\cdot|$. Nó được cho bởi
$$|A| = \max\limits_{x\ne 0}\frac{|Ax|}{|x|} = \max\limits_{x \ne 0}\frac{\sqrt{x'A'Ax}}{\sqrt{x'x}}.$$

Từ công thức (1.1), ta có
$$|A| = \sqrt{\; \textrm{giá trị riêng lớn nhất của} (A'A)}.$$

Nếu ma trận $A$ là đối xứng, và $\lambda_1,...,\lambda_n$ là các giá trị riêng (thực) của $A$, thì các giá
trị riêng của $A^2$ là $\lambda^2_1,...,\lambda^2_n$, và chúng ta thu được
$$|A| = \max\{|\lambda_1|,...,|\lambda_n|\}.$$

Một dãy các vectơ $x_0,x_1,...,x_k,...,$ trong $\mathbb{R}^n$, được kí hiệu là $\{x_k\}$, được gọi là hội
tụ đến một vector $x$ nếu $|x_k - x| \to 0$ khi $k \to \infty$ (có nghĩa là, nếu cho $\epsilon > 0$, có
một $N$ sao cho với mọi $k \ge N$ chúng ta có $|x_k - x| < \epsilon$).
Nếu $\{x_k\}$ hội tụ đến $x$, chúng ta viết $x_k \to x$ hoặc $\lim\limits_{k \to \infty}x_k = x$. Tương
tự, cho một dãy các ma trận $\{A_k\}$ cỡ $m \times n$, chúng ta viết $A_k \to A$ hoặc $\lim\limits_{k
\to \infty}A_k = A$ nếu $|A_k - A| \to 0$ khi $k \to \infty$. Sự hội tụ của cả dãy vector và ma trận tương
đương với sự hội tụ của mỗi dãy của các tọa độ hoặc các phần tử của chúng.


Cho dãy $\{x_k\}$, dãy con $\{x_k|k \in K\}$ tương ứng với một tập chỉ số vô hạn $K$ được kí hiệu $\
{x_k\}_K$. Một vector $x$ được gọi là một \textit{điểm giới hạn} của dãy $\{x_k\}$ nếu có một dãy con
$\{x_k\}_K$ hội tụ đến $x$.

Mọi dãy các số thực $\{r_k\}$ là đơn điệu tăng, tức là thỏa mãn $r_k \le r_{k+1} \; (r_k \ge r_{k + 1})$ với
mọi $k$, phải hội tụ đến một số thực hoặc $+\infty \; (-\infty)$ (nữa dãy không bị chặn trên (dưới)).
Trong trường hợp sau cùng chúng ta viết $\lim\limits_{k \to \infty}r_k = +\infty \; (\lim\limits_{k \to
\infty}r_k = -\infty)$.
Cho bất kì dãy số thực bị chặn $\{r_k\}$, chúng ta xét dãy $\{s_k\}$ trong đó $s_k = sup\{r_i|i \ge k\}$.
Vì dãy này đơn điệu giảm và bị chặn, nên nó có một giới hạn, được gọi là \textit{giới hạn trên} của $\
{r_k\}$ và được kí hiệu bởi $\lim\sup\limits_{k \to \infty}r_k$.
Chúng ta định nghĩa tương tự cho \textit{giới hạn dưới} của $\{r_k\}$ và kí hiệu bằng
$\lim\inf\limits_{k \to \infty}r_k$. Nếu $\{r_k\}$ không bị chặn trên, chúng ta có $\lim\sup\limits_{k
\to \infty}r_k = +\infty$, và nếu nó không bị chặn dưới, chúng ta có $\lim\inf\limits_{k \to \infty}r_k =
-\infty$.

\section{Tập mở, tập đóng và tập compact}
\noindent Cho một vector $x \in \mathbb{R}^n$ và một số thực $\epsilon > 0$, chúng ta kí hiệu hình cầu
mở với tâm tại $x$ với bán kính $\epsilon > 0$ bởi $S(x;\epsilon)$; tức là,
\begin{equation}\label{eq12}
S(x;\epsilon) = \{z||z - x| < \epsilon\}.

\end{equation}

Cho một tập con $X \subset \mathbb{R}^n, \; \exists x \in X$ và một số thực $\epsilon > 0$, công thức
(\ref{eq12}) được viết lại như sau
\begin{equation}
\label{eq13}
S(X;\epsilon) = \{z|z - x| < \epsilon\}.
\end{equation}


\begin{dn}
\label{dn11}
Một tập $S$ của $\mathbb{R}^n$ được gọi là tập mở, nếu với mọi vector $x \in S$, tồn tại một $\epsilon
> 0$ sao cho $S(x; \epsilon) \subset S$.
\end{dn}

Nếu $S$ là tập mở và $x \in S$, thì $S$ được gọi là một lân cận của $x$. Phần trong của một tập $S
\subset \mathbb{R}^n$ là tập tất cả các phần tử $x \in S$ trong đó tồn tại $\epsilon > 0$ sao cho
$S(x;\epsilon) \subset S$.

\begin{dn}
\label{dn12}
Một tập S được gọi là tập đóng nếu và chỉ nếu phần bù của nó trong $\mathbb{R}^n$ là tập mở.
\end{dn}

Phát biểu một cách tương đương khác: $S$ được gọi là tập đóng nếu và chỉ nếu mọi dãy hội tụ $x_k$,
với các phần tử trong $S$, hội tụ đến một điểm thuộc về $S$.

Nói một cách khác: Một tập $S$ là tập compact nếu và chỉ nếu mọi dãy $\{x_k\}$ với các phần tử trong
$S$ có ít nhất một điểm giới hạn thuộc về $S$.

\begin{dn}
\label{dn13}
Một tập con $S$ của $\mathbb{R}^n$ được gọi là tập compact nếu và chỉ nếu nó là tập đóng và bị chặn
(tức là, nó là tập đóng và tồn tại một số $M > 0$ sao cho $|x| \le M, \forall x \in S$).
\end{dn}


Một kết quả quan trọng nữa là nếu $S_0,S_1,...,S_k,...$ là một dãy các tập compact khác rỗng trong
$\mathbb{R}^n$ sao cho $S_k \supset S_{k + 1}$ với mọi $k$ thì giao $\bigcap\limits_{k=0}^{\infty}S_k$
là một tập khác rỗng và compact.

\section{Hàm liên tục}
\noindent Một hàm $f$ là một ánh xạ từ một tập con khác rỗng $S_1 \subset \mathbb{R}^n$ vào một
tập $S_2 \subset \mathbb{R}^m$, được kí hiệu bởi $f:S_1 \to S_2$.
Hàm $f$ được gọi là liên tục tại $x \in S_1$, nếu $f(x_k) \to f(x)$ với mọi dãy $x_k \to x$.
Một cách phát biểu khác tương đương $f$ liên tục tại $x$ nếu với mọi $\epsilon > 0$ luôn tồn tại $\delta
> 0$ sao cho với mọi $y$ thỏa mãn $|y - x| < \delta$ và $y \in S_1$ ta có $|f(y) - f(x)| <\epsilon$.

Hàm $f$ được gọi là liên tục trên $S_1$ (hoặc đơn giản là liên tục) nếu nó liên tục tại mỗi điểm $x \in
S_1$. Nếu $S_1,S_2$, và $S_3$ là các tập khác rỗng và $f_1:S_1 \to S_2$ và $f_2:S_2 \to S_3$ là các
hàm, thì hàm $f_2 \circ f_1:S_1 \to S_3$ được xác định bởi $(f_2 \circ f_1)(x) = f_2[f_1(x)]$ được gọi là
hàm hợp của $f_1$ và $f_2$. Nếu $f_1: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ và $f_2: \mathbb{R}^m
\to \mathbb{R}^p$ là liên tục, khi đó $f_2 \circ f_1$ cũng liên tục.

\section{Hàm khả vi}
\noindent Một hàm giá trị thực $f: X \to \mathbb{R}$ trong đó $X \subset \mathbb{R}^n$ là một tập mở
được goị là khả vi liên tục nếu các đạo hàm riêng $\partial f(x)/ \partial x_1,...,\partial f(x)/\partial x_n$
tồn tại, với $x \in X$ và là các hàm liên tục tại $x$.

Trong trường hợp này chúng ta viết $f \in C^1$ trên $X$. Một cách tổng quát, chúng ta viết $f \in C^p$
trên $X$ cho một hàm $f: X \to \mathbb{R}$, trong đó $X \subset \mathbb{R}^n$ là một tập mở, nếu tất
cả các đạo hàm riêng của $f$ bậc $p$ tồn tại và liên tục trên $X$. Nếu $f \in C^p$ trên $\mathbb{R}^n$,
thì chúng ta viết đơn giản là $f \in C^p$. Nếu $f \in C^1$ trên $X$, gradient của f tại một điểm $x \in X$
được định nghĩa là vector cột
$$\nabla f(x) = \left[ \begin{array}{c}
\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}\\
\vdots\\
\frac{\partial f(x)}{\partial x_n}


\end{array} \right].$$

Nếu $f \in C^2$, Ma trận Hessian của $f$ tại $x$ được định nghĩa là ma trận đối xứng cỡ $n \times n$ có
$\partial^2f(x)/\partial x_i \partial x_j$ là phần tử thứ $nm$ hàng $i$ cột $j$, tức là:
$$\nabla^2 f(x) = \left[ \begin{array}{c}
\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}
\end{array} \right].$$

Nếu $f: X \to \mathbb{R}^m$ trong đó $X \subset \mathbb{R}^n$, thì $f$ được biểu diễn bởi vector cột
của các hàm thành phần $f_1,f_2,...,f_m$:
$$f(x) = \left[ \begin{array}{c}
f_1(x)\\
\vdots\\
f_m(x)
\end{array} \right].$$

Nếu $X$ là tập mở, chúng ta viết $f \in C^p$ trong $X$ nếu $f_1 \in C^p, f_2 \in C^p,...,f_m \in C^p$
trong $X$. Chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu
$$\nabla f(x) = [\nabla f_1(x)...\nabla f_m(x)].$$

Như vậy, ma trận $\nabla f$ cỡ $n \times m$ có các cột là các gradient $\nabla f_1(x),...,\nabla f_m(x)$.

Thỉnh thoảng chúng ta sẽ cần xem xét các gradient của các hàm số chỉ đối với một số biến số. Kí hiệu sẽ
như sau:

Nếu $f: \mathbb{R}^{n+r} \to \mathbb{R}$ là một hàm giá trị thực của $(x,y)$ trong đó $x =
(x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n, y = (y_1,...,y_r) \in \mathbb{R}^r$, chúng ta viết


$$\nabla_x f(x,y) = \left[ \begin{array}{c}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x_1}\\
\vdots\\
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x_n}
\end{array} \right], \; \nabla_y f(x,y) = \left[ \begin{array}{c}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y_1}\\
\vdots\\
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y_r}
\end{array} \right],$$
$$\nabla_{xx} f(x,y) = \left[ \begin{array}{c}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x_i \partial x_j}
\end{array} \right], \; \nabla_{xy} f(x,y) = \left[ \begin{array}{c}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x_i \partial x_j}
\end{array} \right],$$
$$\nabla_{yy} f(x,y) = \left[ \begin{array}{c}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y_i \partial y_j}
\end{array} \right].$$

Nếu $f: \mathbb{R}^{n+r} \to \mathbb{R}^m, f = (f_1,...,f_m)$, chúng ta viết
$$\nabla_x f(x,y) = [\nabla_x f_1(x,y) \; \ldots \; \nabla_x f_m(x,y)],$$

$$\nabla_y f(x,y) = [\nabla_y f_1(x,y) \; \ldots \; \nabla_y f_m(x,y)].$$

Cho $h: \mathbb{R}^r \to \mathbb{R}^m$ và $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^r$, xét hàm $f:
\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ được xác định bởi
$$f(x) = h[g(x)].$$


Khi đó nếu $h \in C^p$ và $g \in C^p$, chúng ta cũng có $f \in C^p$ và
$$\nabla f(x) = \nabla g(x)\nabla h[g(x)].$$

\begin{dn}~\cite{Gateaux} \textbf{Hàm khả vi Gateaux}:
%\textit{
Cho $f$ là một hàm số trong một tập con mở $U$ của không gian Banach $X$ vào không gian Banach
$Y$. Chúng ta nói $f$ là khả vi Gateaux $x \in U$, nếu tồn tại giới hạn và toán tử tuyến tính $T: \; X \to Y$
sao cho:
\begin{equation*}
\lim_{t \to 0} \frac{f(x+th) - f(x)}{t} = T_x(h).
\end{equation*}
%}
với mọi $h \in X$. Toán tử $T$ được gọi là khả vi Gateaux của $f$ tại $x$.
\end{dn}

\section{Định lý giá trị trung bình và sự mở rộng của dãy Taylor}
\noindent Cho $f:X \to \mathbb{R}$, và $f \in C^1$ trên tập mở $X \subset \mathbb{R}^n$. Giả sử rằng
$X$ chứa đoạn thẳng nối hai điểm $x,y \in X$.
Định lý giá trị trung bình khẳng định rằng tồn tại một số thực $\alpha$ với $0 < \alpha < 1$ sao cho
$$f(y) = f(x) + \nabla f[x + \alpha(y - x)]'(y - x).$$

Nếu thêm điều kiện $f \in C^2$, thì tồn tại một số thực $\alpha$ với $0 < \alpha < 1$ sao cho
$$f(y) = f(x) + \nabla f(x)'(y - x) + \frac{1}{2}(y - x)'\nabla^2f[x + \alpha(y - x)](y - x).$$

Cho $f: X \to \mathbb{R}^m$ và $f \in C^1$ trên tập mở $X \subset \mathbb{R}^n$. Giả sử $X$ chứa
đoạn thẳng nối hai điểm $x,y \in X$. Dãy Taylor bậc nhất tới $x$ được cho bởi phương trình
$$f(y) = f(x) + \int\limits_{0}^{1}\nabla f[x + \alpha(y - x)]'(y - x)d\alpha.$$