Bài tập toán xác suất học cao đẳng tiểu học

Chương I: Biến cố ngẫu nhiên và sác suất
1. Công thức xác suất cổ điển:
m
Số biến cố thuận lợi cho B
An
k!
P(B) =
=
Cn =
=
n
Số biến cố có thể xảy ra
k!
( n – k) !
Bài 1 (29): Đội tuyển thi hs giỏi của trường tiểu học X có 10 em, mỗi em thi
2 môn toán và tiếng việt. Kết quả (chấm điểm 20) của các em (.) đội đạt đc
từng môn như sau: Môn toán: 8 9 12 15 15 17 18 19 19 19
Môn T V: 7 10 15 16 18 18 18 19 19 20
Rút ngẫu nhiên từ mỗi môn 1 bài . Tìm xác suất để 2 bài thi đó:
a) Đều đạt 19 điểm.
b) Ít nhất 1 bài đạt 19 điểm.
c) Đạt 35 điểm.
Giải
Gọi A = “Hai bài rút ra đều đạt 19 điểm”
B = “Trong 2 bài rút ra có ít nhất 1 bài đạt 19 điểm”
C = “Hai bài rút ra đạt 35 điểm”
Ghép mỗi bài toán với 1 bài TV đc 1 biến cố có thể xảy ra => số biến cố
có thể xảy ra là: n = 10 x 10 = 100
a) Ghép mỗi bài toán đạt 19 điểm với 1 bài TV đạt 19 điểm thì đc 1 biến cố
thuận lợi cho A => Số biến cố thuận lợi cho A là: m = 3 x 2 = 6
m

6
P(A) =
=
= 0,06
n
100
b) Ghép mỗi bài toán đạt 19 điểm với 1 bài TV và mỗi bài TV đạt 19 điểm với 1
bài toán k đạt 19 điểm cho ta 1 biến cố thuận lợi cho B => Số biến cố thuận lợi
cho B là: m = 3 x 10 + 2 x 7 = 44
m
44
P(B) =
=
= 0,44
n
100
c) Rút đc 2 bài có tổng số điểm là 35. Ghép mỗi bài toán với 1 biến cố thuận lợi
cho C => Số biến cố thuận lợi cho C là:
m = (15 + 20) x 2 + (17 +18) x 3 + (19 + 16) x 3 = 8
m
8
P(B) =
=
= 0,08
n
100
Bài 3 (30): Gieo 2 đồng tiền cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để:
a) Cả 2 đồng đều xuất hiện mặt sấp.
b) Một đồng xuất hiện mặt sấp.
c) Ít nhất 1 đồng xuất hiện mặt sấp.

Giải:
a) Gọi A = “ Biến cố cả 2 xu đều xuất hiện mặt sấp”
=> Số biến cố có thể xảy ra là: n = 4 ( NN, NS, SN, SS)
=> Số biến cố thuận lợi cho A là 1 => Số biến cố thuận lợi cho A là:
P(A) = 1 / 4 = 0,25
1


b) Gọi B = “ Biến cố 1 đồng xu xuất hiện mặt sấp”
=> Số biến cố thuận lợi cho B là 2 => Số biến cố thuận lợi cho B là:
P(B) = 2 / 4 = 0,25
c) Gọi C = “ Biến cố có ít nhất 1 đồng xu xuất hiện mặt sấp”
=> Số biến cố thuận lợi cho C là 3 => Số biến cố thuận lợi cho C là:
P(C) = 3 / 4 = 0,75
Bài 7 (30): Nhóm “Chim Sơn ca” của trường tiểu học Kim Đồng có 10 em,
(.) đó 4 em lớp 5A, 3 em lớp 5B và 3 em lớp 5C. Gặp ngẫu nhiên 3 em trong
nhóm. Tìm xác suất để:
a) Ba em là học sinh 3 lớp khác nhau.
b) Trong đó có 2 em lớp 5A.
c) Cả 3 em đều là học sinh lớp 5A.
Giải:
Gọi A = “ Gặp ngẫu nhiên 3 em là học sinh 3 lớp khác nhau”
Gọi B = “Trong 3 em có 2 em lớp 5”
Gọi C = “Cả 3 em là học sinh lớp 5A”
Mỗi lần gặp 3 em trong đội ta đc 1 biến cố có thể xảy ra => Số biến cố có thể
xảy ra là:
10 !
10! 8 . 9 . 10
3
n = C10 =

=
=
= 120
3! (10- 3!)
3! 7! 2 . 3
a) Mỗi lần gặp đc 3 em ở 3 đội khác nhau cho ta 1 biến cố thuận lợi cho A
1

1

1

=> Biến cố thuận lợi cho A là: m = C4 . C3 . C3 = 4 x 3 x 3 = 36
=> P(A) = 36 / 120 = 0,3
b) Mỗi lần gặp 2 em của lớp 5A và 1 em lớp 5B hoặc lớp 5C cho ta 1 biến cố
thuận lợi cho B
4!
2
1
2
1
=> Số b/ cố thuận lợi cho B là: m = C4 . C3 + C4 . C3 = 2 .
. 3 = 3. 4 . 3 = 36
2! 2!
=> P(B) = 36 / 120 = 0,3
c) Mỗi lần gặp đc 3 em lớp 5C cho ta biến cố thuận lợi cho C.
3

=> Số b/ cố thuận lợi cho C la: m = C4 = 4! / 3! 1! = 4 => P(C) = 4 / 120 = 0,033
Bài 8 (31): Trong hồ sơ thi giáo viên dạy giỏi của huyện X có 4 cô dạy lớp 1,

3 cô dạy lớp 2, 2 cô dạy lớp 3, 5 cô dạy lớp 4 và 6 cô dạy lớp 5. Rút ngẫu
nhiên 2 hồ sơ trong tập đó. Tìm xác suất để:
a) Hai hồ sơ đó của 2 giáo viên dạy cùng khối.
b) (.) 2 hồ sơ đó có ít nhất 1 hồ sơ của giáo viên dạy khối 1.
Giải:
Gọi A = “biến cố rút ngẫu nhiên 2 hồ sơ của giáo viên dạy cùng khối”
=> Số biến cố thuận lợi cho A là:
20 !
20!
19 . 20
2
n = C20 =
=
=
= 190
2! (20- 2!)
2! 18!
2
a) Mỗi lần rút đc 2 hồ sơ của 2 giáo viên dạy cùng khối cho ta biến cố thuận lợi
cho A => Số biến cố thuận lợi cho A là:
2


2

2

2

2

2

m = C4 + C3 + C2 + C5 + C6 =

4.3

3.2
+

5.4
+1+

6.5
+

= 69/2 = 34,5

2
2
2
2
=> P(A) = 34,5 / 190 = 0,18
2. Công thức xác suất toàn phần:
P(A) = ∑ P(Bi) . P(A/Bi)
3. Công thức Bayes:
P(Bk) . P(A/Bk)
P(Bk/A) =
P(A)
Bài 22(33): Theo số liệu thống kê ở 1 trường Tiểu học, HS là con giáo viên

chiếm 28%. Trong số HS là con giáo viên có 1,5% xếp loại học lực yếu kém,
trong số HS k phải là con giáo viên có 4,8% xếp loại học lực yếu kém.
a) Gặp ngẫu nhiên 1 HS của trường. Hỏi XS để em đó xếp loại học lực yếu
kém là bao nhiêu?
b) Gặp ngẫu nhiên 1 HS yếu kém của trường đó. Tìm XS để em đó là con
giáo viên.
Giải:
Gọi A = “Gặp em HS xếp loại yếu kém”
Gọi B1 = “Gặp em HS là con giáo viên”
Gọi B2 = “Gặp em HS k phải là con giáo viên”
=> B1, B2 lập thành 1 hệ đầy đủ các biến cố.
a) Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) =
= 0,28. 0,015 + (1 - 0,28) . 0,48 = 0,3876
b) Gặp ngẫu nhiên 1 em HS xếp loại yếu kém, theo công thức Bayes XS để em
đó là con giáo viên:
P(B1) . P(A/B1)
0,28. 0,015
P(B1/A) =
=
= 0,108
P(A)
0,3876
Bài 23 (33- 34): Tỉ lệ sản phẩm chứa (.) kho của 3 phân xưởng 1 xí nghiệp
sản xuất đồ nhựa như sau: Sản phẩm của phân xưởng I chiếm 35%, phân
xưởng II chiếm 28% và phân xưởng III chiếm 37%. Trong đó hàng kém
phẩm chất của phân xưởng I chiếm 5%, phân xưởng II chiếm 7% và phân
xưởng III chiếm 4%.
a) Lấy ngẫu nhiên từ (.) kho 1 sản phẩm. Tìm XS để sp đó là chính phẩm.
b) Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ta đc thứ phẩm. Hỏi sản phẩm đó khả năng

của phân xưởng nào nhiều hơn?
Giải: Gọi A = “Sản phẩm lấy ra từ kho hàng là phế phẩm”
Gọi Bi = “Sản phẩm lấy ra ở phân xưởng thứ i”, i = 1, 3
=> B1, B2, B3 lập thành 1 hệ đầy đủ các biến cố.
a) Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) + P(B3) . P(A/B3) =
= 0,35. 0,05 + 0,28 . 0,07 + 0,37 . 0,04 = 0,0519
=> P(A) = 1 – P(A) = 1 – 0,0519 = 0,9481
3


b) Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thứ phẩm, theo công thức Bayes XS để lấy được
sản phẩm ở phân xưởng nhiều hơn là:
P(B1) . P(A/B1)
0,35. 0,05
P(B1) =
=
= 0,337
P(A)
0,0519
P(B2) . P(A/B2)
0,07. 0,28
P(B2) =
=
= 0,3776
P(A)
0,0519
P(B3) . P(A/B3)
0,04. 0,37
P(B3) =

=
= 0,2851
P(A)
0,0519
Bài 24 (34): Học sinh khối 1 của 1 trường tiểu học chiếm 25%, khối 2 chiếm
20%, khối 3 chiếm 22%, khối 4 chiếm 18% và khối 5 chiếm 15% tổng số
học sinh của toàn trường. Tổng kết năm học tỉ lệ học sinh yếu kém của khối
1 là 1,5%, khối 2 là 2,2%, khối 3 là 2,1%, khối 4 là 3% và khối 5 là 3,5%.
a) Gặp ngẫu nhiên 1 HS của trường. Tìm XS để HS đó k phải là HS yếu
kém.
b) Gặp ngẫu nhiên 1 HS yếu kém. Tìm XS để em HS đó là hs khối Nam.
Giải:
Gọi A = “Gặp đc em HS yếu kém”
Gọi Bi = “Gặp đc em HS ở khối lớp i”, i = 1, 5
=> B1, B2, B3, B4, B5 lập thành 1 hệ đầy đủ các biến cố.
a) Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) + P(B3) . P(A/B3) + P(B4) . P(A/B4) +
P(B5) . P(A/B5) =
= 0,25. 0,015 + 0,2 . 0,022 + 0,22 . 0,021 + 0,18 . 0,03 + 0,15 . 0,035 = 0,02342
=> P(A) = 1 – P(A) = 1 – 0,02342 = 0,97658
b) Gặp ngẫu nhiên 1 em HS yếu kém, theo công thức Bayes XS để em đó ở khối
lớp 5 là:
P(B5) . P(A/B5)
0,15. 0,035
P(B5/A) =
=
= 0,224
P(A)
0,02342
4. Công thức xác suất nhị thức: k

k
Pn(k) = Cn . pk (1 – P)n – k = Cn pk qn – k
Bài 31(35): Học sinh giỏi lớp 5A đạt tỉ lệ 80%. Tìm xác suất để khi gặp ngẫu
nhiên 8 em có 5 em là học sinh giỏi.
Giải: Gọi A = “Gặp được em học sinh giỏi”
Coi việc gặp ngẫu nhiên 8 em HS là tiến hành 8 phép thử Bernoulli => n = 8
Theo công thức XS nhị thức, XS để biến cố A xuất hiện đúng 5 lần (k = 5) là:
5

P8(5) = C8 (0,8)5 . (1 – 0,8)8 – 5 = 56 . (0,8)5 . (0,2)3 = 0,1468.
Bài 32 (35): Giáo viên của 1 trường tiểu học có 15% là nam. Tìm XS để khi
gặp ngẫu nhiên 6 giáo viên có 4 người là nữ.
Giải: Gọi A = “gặp được giáo viên nữ”
P(A) = 0,85
Coi việc gặp ng/nhiên 6 GV của trng là tiến hành 6 phép thử Bernoulli => n = 6
Theo công4 thức XS nhị thức, XS để biến cố A xuất hiện đúng 4 lần (k = 4) là:
P6(4) = C6 (0,85)4 . (1 – 0,85)6 – 4 = 15 . (0,85)4 . (0,15)2 = 0,176
4


Chương 2: Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối
Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc
1. Bảng phân phối xác suất:
X
x1
x2 , …………, xn
P[X = xi] p1
p2, …………., pn
2. Hàm phân phối xác suất:
0

nếu x ≤ x1
P1
nếu x1 < x ≤ x2
F(x) =
P1 + p2
nếu x2 < x ≤ x3
p1 + p2 + …+ pi nếu xi < x ≤ xi + 1
1
nếu x > xn
Bài 1 (63): Tỷ lệ HS được lên lớp của 1 trường tiểu học đạt 95%. Gặp ngẫu
nhiên 2 HS của trường đó. Gọi X là số HS đc lên lớp (.) 2 em đó. Hãy viết
phân phối và hàm phân phối xác suất của X.
Giải:
Coi việc gặp ngẫu nhiên 2HS là tiến hành 2 phép thử Bernoulli => n = 2
Gọi A = “Gặp đc em HS đc lên lớp” => P(A) = 0,95
Theo công thức xác suất nhị thức ta có:0
- Xác suất để A xuất hiện 0 lần là: P2(0) = C12 (0,95)0 . (0,05)2 = 0,0025
- Xác suất để A xuất hiện 1 lần là: P2(1) = C22 (0,95)1 . (0,05) = 0,095
- Xác suất để A xuất hiện 2 lần là: P2(2) = C2 (0,95)2 . (0,05)0 = 0,9025
* Nếu X là số HS lên lớp trong 2 em ta có phân phối xác suất của X là:
X
0
1
2
P[X = xi] 0,0025
0,095
0,9025
* Hàm phân phối SX của X là:
0
nếu x ≤ 0

F(x) =
0,0025
nếu 0 < x ≤ 1
0,0975
nếu 1 < x ≤ 2
1
nếu x > 2
Bài 4 (63): Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên f đc vho bởi bảng sau:
f
-3
-2
0
1
4
P[f = a] 0,2
0,14
0,42
0,18
0,06
a) Viết hàm phân phối xác suất của f.
b) Tính P[f < -1] ; P[ -4 ≤ f < 1 ].
Giải:
a) Viết hàm phân phối XS của f:
0
nếu a ≤ -3
0,2 nếu -3 < a ≤ -2
0,34 nếu -2 < a ≤ 0
F(a) =
0,76 nếu 0 < a ≤ 1
0,94 nếu 1 < a ≤ 4

1
nếu x > 4
b) P[ f < -1] = p[ f = -3] + p[f = -2] = 0,2 + 0,14 = 0,34
P[ -4 ≤ f < 1] = F(1) – F(4) = 0,76 – 0 = 0,76
5

0
1
2


Bài 3(63): Theo số liệu của 1 trạm phòng chống lao cho biết: (.) số những
người đến tram khám và kiểm tra sức khỏe có 15% bị nhiễm lao. Gọi X là
biến ngẫu nhiên chỉ số hồ sơ bệnh nhân bị nhiễm lao (.) số 3 hồ sơ rút ngẫu
nhiên của trạm. Viết phân phối và hàm phân phối xác suất của X.
Giải:
Coi việc xét ngẫu nhiên 3 hồ sơ là tiến hành 3 phép thử Bernoulli => n = 3
Gọi A = “Rút đc hồ sơ bệnh nhân bị nhiễm lao” => P(A) = 0,15
Theo công thức xác suất nhị thức ta có:
0

- Xác suất để A xuất hiện 0 lần là: P3(0) = C3 (0,15)0 . (0,85)3 - 0 = 0,614125
1

- Xác suất để A xuất hiện 1 lần là: P3(1) = C3 (0,15)1 . (0,85)3 – 1 = 0,325125
2

- Xác suất để A xuất hiện 2 lần là: P3(2) = C3 (0,15)2 . (0,85)3 -2 = 0,057375
3

- Xác suất để A xuất hiện 3 lần là: P3(3) = C3 (0,15)3 . (0,85)0 = 0,003375
* Nếu X là số hồ sơ bị nhiễm lao (.) 3 hồ sơ ta có phân phối xác suất của X là:
X
0
1
2
3
4
P[X = xi] 0,614125 0,325125 0,057375 0,057375 0,003375
* Hàm phân phối XS của X là:
0
nếu x ≤ 0
0,614125 nếu 0 < x ≤ 1
F(X) =
0,93925
nếu 1 < x ≤ 2
0,996625 nếu 2 < x ≤ 3
1
nếu x > 3
Bài 9(64): Trong số 10 em HS của trường tiểu học A đi thi HS giỏi có 7 em
đạt giải. Gọi f là số em k đạt giải khi gặp 2 em (.) đội tuyển. Viết phân phối
xác suất của f. (cũng hỏi như thế khi gặp 5 em).
Giải:
Coi việc gặp ngẫu nhiên 2HS (.) đội tuyển là tiến hành 2 phép thử Bernoulli
=> n = 3
Gọi A = “Gặp em HS k đạt giải” => P(A) = 0,3
Theo công thức xác suất nhị thức ta có:
0

- Xác suất để A xuất hiện 0 lần là: P2(0) = C2 (0,3)0 . (0,7)2 = 0,49

1

- Xác suất để A xuất hiện 1 lần là: P2(1) = C2 (0,3)1 . (0,7) = 0,42
2

- Xác suất để A xuất hiện 2 lần là: P2(2) = C2 (0,3)2 . (0,7)0 = 0,09
* Bảng phân phối xác suất của X là:
X
0
1
P[X = xi] 0,49
0,42
* Hàm phân phối SX của X là:
0
nếu x ≤ 0
F(x) =
0,49
nếu 0 < x ≤ 1
0,91
nếu 1 < x ≤ 2
1
nếu x > 2
6

2
0,09


Bài 10(64): Tỷ lệ chính phẩm của sản phẩm một xí nghiệp khi xuất xưởng
đạt 90%. Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm của xí nghiệp. Gọi biến ngẫu nhiên f

là số chính phẩm trong số 5 sản phẩm đó. Viết phân phối xác suất của f.
Giải:
Coi việc rút ngẫu nhiên 5 sản phẩm là tiến hành 5 phép thử Bernoulli => n = 5
Gọi f = “Lấy ngẫu nhiên sản phẩm là chính phẩm” => P(A) = 0,90
Theo công thức xác suất nhị thức ta có: 0
- Xác suất để f xuất hiện 0 lần là: P5(0) = C15 (0,90)0 . (1 – 0,90)5 - 0 = 0,00001
- Xác suất để f xuất hiện 1 lần là: P5(1) = C52 (0,90)1 . (0,1)4 = 0,00045
- Xác suất để f xuất hiện 2 lần là: P5(2) = C53 (0,90)2 . (0,1)3 = 0,0081
- Xác suất để f xuất hiện 3 lần là: P5(3) = C54 (0,90)3 . (0,1)2 = 0,0729
- Xác suất để f xuất hiện 4 lần là: P5(4) = C55 (0,90)4 . (0,1)1 = 0,32805
- Xác suất để f xuất hiện 5 lần là: P5(5) = C5 (0,90)5 . (0,1)0 = 0,59049
* Bảng phân phối xác suất của f là:
f
0
1
2
3
4
5
P[f = xi]
0,00001 0,00045 0,0081 0,0729 0,32805 0,59049
* Hàm phân phối XS của f là:
0
nếu x ≤ 0
0,00001
nếu 0 < x ≤ 1
0,00046
nếu 1 < x ≤ 2
F(f) =
0,00856

nếu 2 < x ≤ 3
0,08146
nếu 3 < x ≤ 4
0,40951
nếu 4 < x ≤ 5
1
nếu x > 5
3. Hàm phân phối đồng thời của 2 biến ngẫu nhiên X, Y
Ví dụ: Cho bảng phân phối đồng thời:
Y
1
2
X
- Tìm phân phối xác suất của X, Y
1
0,1
0,06
- Tìm phân phối đồng thời.
2
0,3
0,18
3
0,2
0,16
2

Giải: Ta có:2 P[ X = 1] =j =∑
p1j = 0,1 + 0,06 = 0,162
1
P[ X = 2] =j = ∑

p2j = 0,3 + 0,18 = 0,48; P[ X = 3] =j =∑
p3j = 0,2 + 0,16 = 0,36
1
1
=> Phân phối của X là:
X
1
2
P[X = xi] 0,16
0,48
Tương tự ta có phân phối của Y là:
Y
1
2
P[Y = yj] 0,6
0,4
4. Kì vọng toán của biến x: (EX) ∞
EX =i = ∑
xi pi
1

3
0,36

∞

*Tính chất: - Nếu C là 1 hằng số: EC = C vì EC =i =∑
C . pi = C . 1 = C
1
- E (C . X) = C . EX

7


- E (X . Y) = EX . EY với X, Y độc lập;
- E (X + Y) = EX + EY
2
5. Phương sai: (DX) DX = E (X – EX)
*Tính chất:∞
∞
2
2
2
2
2
- DX =i =∑1 (xi – EX) pi
- DX = E(X ) - (EX) với E(X ) =i =∑1 xi . pi
- DC = 0
- D(X . Y) = DX . DY với X, Y là độc lập
- D(X + Y) = DX + DY - D(CX) = C2DX
Bài tập: Tìm kì vọng, phương sai, trung vị, mod?
X
-5
-1
4
P[X = a]
0,1
0,6
0,3
*Kì vọng: 3
EX =i =∑

xi p3 i =2 (-5) . 0,1 + (-1) . 0,6 + 4 . 0,3 = 0,1
1
E(X2)i ==1 ∑ xi pi = (-5)2 . 0,1 + (-1)2 . 0,6 + 42 . 0,3 = 7,9
* Phương sai: DX = E(X2) - (EX)2 = 7,9 – (0,1)2 = 7,89
* Trung vị: Không có xMe để F(xMe) = ½ => K có trung vị
* Mod: P[x = -1] = 0,6 là lớn nhất => modx = -1
Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục và phân phối xác suất của nó
1. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên nhận mọi giá trị (.)
khoảng a, b nào đó và (a, b) (-∞; +∞)
2. Hàm phân phối: F(x) = p[W : X(w) < x], x R
3. Phân phối liên tục tuyệt đối:
- Biến ngẫu nhiên x có phân phối liên tục tuyệt đối nếu F(x) = ∫ f(x)dx, x R
Hàm f(x) gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên x
Hàm mật độ f(x) có tính chất: f(x) = F’(x); f(x) ≥ 0
∫ f(x) dx = 1
P(a ≤ x < b) = F(b) – F(a) = ∫ f(x) dx
* Kì vọng toán: EX = ∫ x f(x) dx
* Phương sai: DX = E(X – EX)2 = E(X2) – (EX)2
Trong đó: E(X2) = ∫ x2 f(x) dx
Ví dụ: Cho hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X như sau:
0
với x ≤ 0
F(x) =
x
với 0 < x ≤ 1
1
với x > 1
Tìm f(x), Tính EX, DX ?
Giải: Theo tính chất ta có:
0 với x

[0, 1]
’
f(x) = F (x) =
1 với x
[0, 1]

2
EX = ∫ x f(x) dx = ∫ x 0 dx + ∫ x 1 dx + ∫ x 0 dx = ∫ x dx = X = 1/2
2
3
2
2
2
X
E(x ) = ∫ x f(x) dx = ∫ x dx =
= 1/3
3
DX = E(x2) – (EX)2 = 1/3 – (1/2)2 = 1/12

8


Chương 3: LÝ THUYẾT THỐNG KÊ
Bài 1: Lí thuyết mẫu
Tần số
n
Tần số: Wi =
= i
Kích thước mẫu n
Hàm phân phối mẫu:

m
F(x) = n
Gọi là hàm phân phối thực nghiệm của biến ngẫu nhiên x
m là các số quan sát Xi < x ; n là kích thước mẫu
Ví dụ: X là biến chỉ năng lực học toán. Kiểm tra 10 em kết quả:
X 3
5
6
ni 3
4
3
Viết hàm phân phối mẫu?
Kích thước mẫu n = 10
- Bảng tần suất:
X 3
5
6
ni 3 / 10
4 / 10
3 /10
- Hàm phân phối mẫu:
F(x) =
* Kì vọng mẫu:
X
x1
x2 …
Tần số ni n1
n2 …
Kì vọng mẫu là:
Phương sai mẫu:

1
S = n

0
3/ 10
7/10
1
xn
nn

với x ≤ 3
với 3 < x ≤ 5
với 5 < x ≤ 6
với x > 6

1
X = n
n

n

k

∑ xi ni

i=1

1
2
2

2
∑
(X
–
X)
=
i
i=1
n i =∑1 (Xi ) – (X) = X – (X)
n
1
S*2 = n - 1 S2 =
∑ ( Xi – X)2
n-1
Bài 7(110): Cho mẫu ngẫu nhiên:
X 1
4
6
ni 10
15
25
Hãy xác định: Hàm phân phối mẫu; Đa giác tần số; Đa giác tần suất Trung
bình và phương sai mẫu của các mẫu trên.
Giải:
a) Kích thước mẫu n = 50
4
6
Ta có bảng tần suất: X 1
wi 10
15

25
50
50
50
Ta có hàm phân phối mẫu:
0
với x ≤ 1
F10(x) =
10 / 50
với 1 < x ≤ 4
25 / 50
với 4 < x ≤ 6
1
với x > 6
2

2

9


Đa giác tần số và tần suất
ni

wi
0,5

25
15
10

0,3
0,2

0 1
4
6 xi
0
Trung bình mẫu:
1 . 10 + 4 . 15 + 6 . 25
X=
= 4,4
50
Phương sai mẫu:
12 . 10 + 42 . 15 + 62 . 25
X2 =
= 23
50
2
2
S = X – (X)2 = 23 – (4,4)2 = 3,64
S*2 =

1

4

6 xi

n

50 2 50
. S2 =
S = 49 . 3,64 = 3,71
n-1
50 - 1

Bài 2 Ước lượng tham số
1. Khoảng ước lượng of kì vọng a (.) phân phối chuẩn cho mẫu quan sát x 1,
x2, …, xn của biến ngẫu nhiên x từ phân phối chuẩn dạng tổng quát N(a, σ2).
a. Khoảng ước lượng của kì vọng a với độ tin cậy 1 - là:
- σ – đã biết:
x σ
x σ
Xn < a < Xn + √n
√n
X tra từ bảng phân phối chuẩn N(0, 1) sao cho F(x ) = 1 – 2
- σ- chưa biết:
*
t s*(x)
t
s
(x)
Xn < a < Xn + √n
√n
1 n
∑ ( Xi – X)2
n - 1i = 1
Nếu n > 30 thì ta tra như x ở phần trên.
S* =

n < 30 thì ta tra như x tra ở bảng phân phối student
Với n – 1 bậc tự do (bảng 2 phía)
Ta có thể viết:

*
*
a = Xn ± t . s (x) là khoảng chứa tham số a có đầu nút là: Xn ± t . s (x)
√n
√n

10


Bài 1: Tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 10 học sinh kết quả như sau:
X: 5 4 3 5 6
7 6 2 8
5
(n = 10)
Giả sử X có phân phối chuẩn dạng tổng quát N(a, σ2)
Hãy tìm khoảng ước lượng của a với độ tin cậy 0,95.
Giải:
Ta có: X = 2.1 + 3.1+ 4.1 + 5.3 + 6.2 + 7.1 + 8.1
=5,1
10
1 10
1
*2
S = n - 1 i =∑1 (xi – X)2 = 9 [(2- 5,1)2 + (3-5,1)2 + (4- 5,1)2 + 3.(5 - 5,1)2
+ 2.(6- 5,1)2 + (7- 5,1)2 + (8-5,1)2] = 3,21
n = 10 < 30 => t tra ở bảng phân phối student với n - 1 = 9 bậc tự do 1 - = 0,95

=> = 0,05. Do đó t(0,05; 9) = 2,26
Vậy khoảng ước lượng của a với độ tin cậy 0,95 là:
Xn -

s*
√n

< a < Xn +

s*
<=> 5,1 - 2,26 .
√n

3,21
< a < 5,1 + 2,26 .
10

3,21
10

<=> 3,81 < a < 6,38
Bài 2: Kiểm tra sản lượng lúa ở 1 vùng phía bắc đc kết quả như sau:
Mảnh:
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sản lượng 51 48 56 57 44 52 54 60 46 47
(tạ/ ha)
Hãy tìm khoảng ước lượng của a với độ tin cậy 90%. Biết rằng sản lượng
lúa có quy luật phân phối chuẩn N(a, σ2).
Giải:

Ta có: X = 51 + 48+ 56 + 57 + 44 + 52 + 54 + 60+ 46 + 47
=51,5
10 1
1 10
2
S = n - 1 i =∑1 (xi – X) = 9 [(51- 51,5)2 + (48- 51,5)2 + (56- 51,5)2 +
*2

(57- 51,5)2 + (44- 51,5)2 + (52- 51,5)2 + (54- 51,5)2 + (60- 51,5)2 + (46- 51,5)2 +
(47- 51,5)2 = 27,61
n = 10 < 30 => t tra ở bảng phân phối student với n - 1 = 9 bậc tự do 1 - = 0,9
=> = 0,1. Do đó t(0,1; 9) = 1,83
Vậy khoảng ước lượng của a với độ tin cậy 0,9 là:
Xn -

s*
√n

< a < Xn +

s*
√n

<=> 51,5 – 1,83 . 27,61
10

< a < 51,5 + 1,83 . 27,61
10
<=> 18,45 < a < 54,54

11


b. Khoảng ước lượng của xác suất p trong phân phối nhị thức
- Khoảng ước lượng của xác suất p với độ tin cậy 1 - là:
P (1- p)
P (1- p)
n
n
k
Trong đó, p =n
, k là tần số xuất hiện biến cố A trong n phép thử x trong
bảng phân phối chuẩn N(0;1) sao cho F(x ) = 1Bài tập: Gieo 400 hạt giống thấy có 5 hạt k nảy mầm hãy tìm khoảng
ước lượng để xác xuất k nảy mầm p với độ tin cậy 0,999.
Giải:
k
5
Gọi A = “không nảy mầm” => k = 5
=> p =
=
n
400
Gieo 400 hạt => n = 400
=> Khoảng ước lượng của xác suất k nảy mầm p với độ tin cậy 1 - = 0,999 là:
p–x

(x đc tra ở bảng phân phối chuẩn sao cho F(x ) = 1 =12
=> x = 3,3)
P (1- p)

P (1- p)
n
n
5
5
15
400 < p < 5 + 3,3
<=>
– 3,3 400
400
400
400

0,001
= 0,9995
2

p–x

<=> - 0,0058 < p < 0,0308
(xác suất bao giờ cũng dương)
<=> 0 ≤ p < 0,0308

12

5
5
1400
400

400


Bài 3: Kiểm định giả thiết
Bài toán 1: Kiểm định về trung bình a (.) mẫu có phân phối chuẩn N(a, σ2).
VD1: Kiểm tra ngẫu nhiên 15 HS kết quả như sau:
X: 2 3 7 6 9 7 6 5 1 2 7 8 5 5 6
Giả sử các quan sát này có phân phối chuẩn N(a, σ 2) với σ = 1. Hãy kiểm
định giả thiết H0: a = 6 với k: a 6 ở mức = 5%.
Giải:
0,05
x đc tra ở bảng phân phối chuẩn sao cho F(x ) = 1 =12 = 0,975
2
=> x = 1,96.
Ta có: X = 1.1 + 2.2+ 3.1 + 5.3 + 6.3 + 7.3 + 8.1 + 9.1
=5,3
15
X – a0 √n
5,3 – 6 √15
=
= 2,71 > x
Z =
σ
1
=> Bác bỏ giả thiết H0 , tức là điểm trung bình k phải là 6 (a 6)
VD2: Kiểm tra chất lượng sản phẩm của 1 nhà máy người ta kiểm tra ngẫu
nhiên 20 sản phẩm kết quả như sau:
Kích thước sp (xi)
12, 12, 12, 13, 13,5
3

5
8
0
Tần số (ni)
1
2
4
2
1
Giả sử kích thước của sản phẩm tuân theo quy luật phân phối chuẩn. Hãy
kiểm định giả thiết H0: a = 12 với k: a 12 ở mức = 5%
Giải
Giải:
0,05
x đc tra ở bảng phân phối chuẩn sao cho F(x ) = 1 =12 = 0,975
2
=> x = 1,96.

13


Bài toán 2: So sánh 2 trung bình của 2 mẫu độc lập có phân phối chuẩn dạng
tổng quát.
VD1: Kiểm tra ngẫu nhiên 7 con lợn giống ở trại 1 và 6 con lợn giống ở trại
2 và kết quả cân được như sau:
Ở trại 1: X:
15, 10, 12,6 14, 12,6 13, 11,9
7
3
5

8
Ở trại 2: Y:
12, 13, 10, 11,4 14,9 12,6
3
7
4
Giả sử các quan sát X, Y là độc lập và có phân phối chuẩn dạng tổng quát
N(a1, σ2) và N(a2, σ2). Hãy so sánh trọng lượng trung bình của lợn giống của
2 trại ở mức
= 0,1 với σ = 0,1.
Giải:
Để so sánh trọng lượng trung bình ở 2 trại ta đưa về bài toán kiểm định giả thiết
H0: a1 = a2 với k: a1 = a2 ở mức
= 0,1
Ta có:
0,1
x đc tra ở bảng phân phối chuẩn sao cho F(x ) = 1 =12 = 0,95
2
=> x = 1,64
X = 15,7 + 10,3 + 2.12,6 + 14,5 + 13,8 + 11,9 = 13,05
7
Y = 12,3 + 13,7 + 10,4 + 11,4 + 14,9 + 12,6
= 12,55
6
13,05– 12,55

X–Y
=> Z =
σ

1 + 1

=
1

= 0,898 < x

1 + 1

6
=> Chấp nhậnmgiả nthiết H0: a1 =7 a2 trọng
lượng trung bình của lợn giống ở 2 trại
là bằng nhau.
Bài toán 3: Kiểm định về XS P trong phân phối nhị thức kiểm định giả thiết
H0: p = p0 với k: p = p0.
VD: Gieo 300 hạt giống đậu tương thấy có 261 hạt nảy mầm người ta thông
báo tỷ lệ nảy mầm của đậu tương là 90% điều nhận định đó có đúng k? tại
sao cho mức kiểm định = 5%.
Giải:
Gọi A = “Hạt nảy mầm” => P(A) = 90% => X = 261; n = 300
Ta đưa về bài toán kiểm định giả thiết H0: p = 0,9 với k: p = 0,9 ở mức = 5% =
0,05
x đc tra ở bảng phân phối chuẩn sao cho F(x ) = 1 =1= 0,975
2
2
=> x = 1,96
Ta có:
Z =

X – n p0

n p0 (1- p0)

=

261 – 300 . 0,9
300. 0,9 .(1- 0,9)
14

= 1,73 < x


=> Chấp nhận giả thiết H0: p = 0,9
=> Tỷ lệ nảy mầm của hạt đậu tương đã thông báo là đúng
Bài toán 4: So sánh 2 xác suất trong 2 dãy phép thử Bernoulli
VD1: Có hai phương pháp gieo hạt. Theo phương pháp A gieo 100 hạt có 80
hạt nảy mầm. Theo phương pháp B gieo 125 hạt có 90 hạt nảy mầm. Hãy so
sánh 2 phương pháp với mức kiểm định = 5%.
Giải:
Ta có X = 80, Y = 90, n = 100, m = 125. Để so sánh 2 phương pháp ta đưa về bài
toán kiểm định giả thiết H0: p1 = p2 với k: p1 = p2 ở mức = 5% =
0,05
x đc tra ở bảng phân phối chuẩn sao cho F(x ) = 1 =12 = 0,975
2
=> x = 1,96
X Y
Ta có:
n m
Z=
=
1 + 1

n m

=

X+Y
n+m

1- X+Y
n+m

80 - 90
100 125

=

1
1
80 + 90
+
100 125 100 + 125

1-

80 + 90
100 + 125

0,08
= 1,387494 < x
0,0576579

=> Chấp nhận giả thiết H0: p1 = p2 hiệu quả của hai phương pháp này như nhau.
VD: Để đánh giá chất lượng sản phẩm của nhà máy ta kiểm tra ngẫu nhiên
100 sản phẩm ở nhà máy I thấy có 90 sản phẩm tốt và 150 sản phẩm ở nhà
máy II thấy có 100 sản phẩm tốt. Hãy so sánh tỷ lệ sản phẩm tốt do 2 nhà
máy sản xuất ra ở mức = 5%.
Giải: Ta có X = 90, Y = 80, n = 150, m = 100.
Ta thấy
X
90
Y
100
=
= 0,9 ;
=
= 0,666
100 100
150 150
X > Y Ta kiểm định giả thiết H : p = p với k: p > p
0
1
2
1
2
m
n
X Y
Ta có:
m n
Z=
=

1 + 1
m n

=

X+Y
m+n

1- X+Y
m+n

90 - 100
100 150
1
1
90 + 100
+
100 150 100 + 150

=
1-

90 + 100
100 + 150
15

0,23334 = 4,233 > 1,65
0,05513

= 5% = 0,05 x đc tra ở bảng phân phối chuẩn sao cho
F(x ) = 1 = 1 – 0,05 = 0,95 => x = 1,65
=> Giả thiết H0 bị bác bỏ, tức là tỷ lệ phế phẩm ở nhà máy II cao hơn nhà máy I.

16