Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Khai thác và sử dụng các biến nhớ của máy tính điện tử cầm tay trong chương trình Toán phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỒ BÌNH
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CÔNG NGHIỆP

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC VÀ SỬ DỤNG CÁC BIẾN NHỚ
CỦA MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CẦM TAY
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG
Nhóm tác giả:
Phạm Thanh Bình - ĐH SP Tốn - Tổ trưởng chun mơn
Trần Thị Mai Phương - Thạc sĩ Tốn - Trưởng ban nữ cơng
Đơn vị cơng tác: Trường THPT Cơng Nghiệp Hồ Bình

HỒ BÌNH 2016


Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ
*
*

*

1. Lí do chọn sáng kiến.
Trong chương trình Tốn trung học phổ thơng, qua các giai đoạn thay
sách giáo khoa, ta thấy nội dung phần phương pháp tính có nhiều thay đổi.
Từ việc đưa ra các qui ước về biểu diễn giá trị gần đúng đến việc hướng
dẫn sử dụng máy tính điện tử cầm tay trong một số chủ đề. Điều này đã làm
cho q trình tính tốn trung gian trong luyện tập, thực hành được thuận lợi
hơn, đồng thời tạo cơ hội để người thực hành vận dụng và luyện được
nhiều kỹ năng biến đổi các biểu thức toán học linh hoạt và sinh động hơn.
Tuy nhiên, chủ đề này trong chương trình sách giáo khoa phổ thông

mới chỉ giới thiệu được những nội dung áp dụng trong các phần giải
phương trình, xác suất, thống kê và lượng giác. Các máy tính cầm tay được
giới thiệu để minh hoạ trong chương trình sách giáo khoa là những phiên
bản cũ, có loại cịn khơng thấy xuất hiện trên thị trường nữa. Với tốc độ
tính tốn lớn, miền trị rộng, độ chính xác cao, cùng với sự phát triển bứt
phá về công nghệ, các máy tính điện tử cầm tay thế hệ mới hiện nay đã
được trang bị thêm các tính năng đa dụng hơn, nhiều bộ nhớ hơn. Vì vậy,
việc sử dụng máy tính điện tử cầm tay để áp dụng trong việc giải các bài
tốn khơng dừng lại ở việc tính tốn đơn thuần như mục đích ban đầu khi
chế tạo nó: Từ việc thực hiện các phép toán số học đơn giản, đến các phép
tính siêu việt, ứng dụng trong thống kê, hỗ trợ giải phương trình, bất
phương trình, các phép tính vi phân, tích phân, các phép tính về số phức,
tính tốn trong ma trận, tính tốn về vector… Đặc biệt là các phiên bản gần
đây như: CASIO fx 500ES, CASIO fx 570ES, CASIO fx 570ES Plus,
CASIO fx 570VN Plus, VINACAL Vn-500MS, VINACAL Vn-570MS,

2


VINACAL 570ES Plus, VINACAL Vn-570ES Plus II… còn được bổ sung
thêm một số phím nhớ, cùng với khả năng cho phép thực hiện liên tiếp các
phép toán với nhiều biểu thức cùng nhập trên màn hình, thơng qua giá trị
các biến nhớ được nhập qua bàn phím hoặc được lưu qua các biểu thức và
thay đổi qua thao tác lặp.
Với những ưu thế vượt trội (plus), một số học thuật truyền thống trong
phương pháp tính như thuật tốn Horner, phân tích ra thừa số ngun tố,
tìm ước số chung lớn nhất, tìm bội số chung nhỏ nhất… đã được đơn giản
hố bằng cách cài đặt trực tiếp trong các phím chức năng. Các biến nhớ
được bổ sung trong hệ thống máy tính sẽ hỗ trợ giải các bài tốn phức tạp
sử dụng nhiều phép tính trung gian được nhanh hơn, tiện lợi hơn, hiệu quả

hơn. Đặc biệt, đối với các bài tốn có cấu trúc truy hồi được giải theo
phương pháp lặp, có thể vận dụng “lập trình” được lời giải theo quy trình
bấm phím bằng cách khai thác và sử dụng các phím nhớ một cách hợp lí
với những thuật tốn thích hợp.
Nếu chỉ thực hiện theo phân phối chương trình và “Hướng dẫn thực
hiện Chuẩn kiến thức, kĩ năng” mà Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành thì
chúng ta sẽ khơng đủ thời gian đưa thêm nội dung này vào để giới thiệu và
khai thác. Nhưng đối với các buổi dạy học theo chủ đề tự chọn, ngoại khoá,
chuyên đề, hội thảo, nhất là những giờ ôn tập cho học sinh cuối cấp, luyện
thi học sinh giỏi, ta có thể kết hợp vận dụng cho khai thác nội dung này
một cách hấp dẫn và lí thú.
Sáng kiến “Khai thác và sử dụng các biến nhớ của máy tính điện tử
cầm tay trong chương trình tốn phổ thông” sẽ đưa ra một số giải pháp
kỹ thuật để khai thác và vận dụng những kiến thức đã được nêu ở trên trong
chương trình tốn trung học phổ thơng. Đó là các giải thuật áp dụng trong
các bài tốn định lượng và các bài tốn có cấu trúc lặp. Nội dung này được

3


dành cho các chương trình dạy học theo chủ đề tự chọn, ngoại khoá,
chuyên đề, hội thảo, nhất là những giờ ôn tập cho học sinh cuối cấp, luyện
thi học sinh giỏi. Đặc biệt là những bài tập sử dụng các biến nhớ của hệ
thống và các bài tốn có cấu trúc truy hồi được giải theo phương pháp lặp.
2. Mục đích nghiên cứu.
Xây dựng một số thuật tốn và áp dụng để giải các bài tốn trong
chương trình trung học phổ thơng. Từ đó, học sinh nắm được thêm một số
tính năng bổ sung của máy tính điện tử cầm tay thế hệ mới, khai thác và sử
dụng được những tính năng đó để giải các bài tốn hiệu quả hơn... Tiếp tục
vận dụng sáng tạo để giải các bài tập có độ phức tạp hơn, biết đánh giá và

nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau và cách giải khác nhau, từ
đó có thể phát triển hệ thống các bài toán bằng phương pháp tương tự hoá.
Đồng thời rèn luyện học sinh kỹ năng về tư duy thuật giải, kỹ năng phân
tích nhận dạng bài tốn, tổng qt hố bài tốn. Qua đó, giáo viên có thể
khai thác để dạy tích hợp Tin học trong mơn Toán.
3. Đối tượng.
+ Học sinh lớp 12TN1, lớp 12TN2 và đội tuyển học sinh giỏi trường THPT
Công Nghiệp, học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
+ Các bài toán minh hoạ và luyện tập được chọn lọc trong các kỳ thi giải
tốn trên máy tính cầm tay của tỉnh Hồ Bình từ năm 2004 theo các dạng
được phân loại:
- Áp dụng trong các bài toán về tiếp tuyến.
- Áp dụng trong các bài toán về cực trị.
- Áp dụng trong các bài tốn về độ lớn góc, khoảng cách, diện tích
trong mặt phẳng.

4


- Áp dụng trong các bài toán về khoảng cách, diện tích và thể tích trong
khơng gian.
- Áp dụng trong các bài toán về dãy số truy hồi.
- Các bài toán ứng dụng thực tế.
4. Phương pháp.
+ Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học.
+ Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải
quyết các bài toán ở những lớp trước. Kiểm tra đánh giá kết quả qua quá
trình áp dụng trong thực tiễn.
5. Lựa chọn công cụ minh hoạ.
+ Thiết bị minh hoạ: máy tính điện tử cầm tay CASIO fx 570VN Plus.

+ Chương trình: Phần mềm giả lập CASIO fx 570VN Plus.

5


Phần thứ hai: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA SÁNG KIẾN
Một số tính năng bổ sung của máy tính điện tử cầm tay thế hệ mới
1.1. Nhập các biểu thức và giá trị.
♦ Nhập biểu thức tính theo định dạng chuẩn: nhập thông thường theo qui
tắc chung.
♦ Nhập hàm có dấu ngoặc: Có dấu mở ngoặc tự động đi kèm. Sau khi nhập
biến xong phải đóng ngoặc.
♦ Bỏ qua dấu nhân: + Trước dấu mở ngoặc.
+ Trước hàm có đóng ngoặc.
+ Trước tên biến, hằng hay số ngẫu niên.
+ Trước kí hiệu mở đầu.
♦ Dấu đóng ngoặc cuối cùng của biểu thức: Một hay nhiều dấu ngoặc cuối
cùng (đứng trước dấu bằng = ) có thể được phép bỏ qua.
♦ Thực hiện liên tiếp các biểu thức:
Dùng dấu :

nối 2 hay nhiều biểu thức để thực hiện từng biểu thức

thành phần từ trái sang phải sau khi bấm

.
=
•

1.2. Sử dụng bộ nhớ máy tính.
Loại bộ nhớ
Bộ nhớ

Chức năng
Lưu lại kết quả phép tính cuối cùng.

Ans

Bộ nhớ độc lập
Các biến nhớ

Kết quả phép tính có thể cộng hoặc trừ với bộ nhớ độc
lập. Hiển thị “M” chỉ ra có dữ liệu trong bộ nhớ độc lập.
Các biến nhớ A, B, C, D, E, F, X, Y dùng để lưu các giá
trị riêng.

6


♦ Bộ nhớ

(Answer).
Ans

+ Cho phép lưu tối đa 15 chữ số và được cập nhật bất kỳ khi sử dụng một
trong các tổ hợp phím:
,
=

,

(M-),

M+

SHIFT

,
RCL

M+

(STO)
SHIFT

RCL

•

+ Giá trị bộ nhớ

khơng thay đổi nếu có lỗi trong việc vừa thực hiện
Ans

phép tính.
+ Nội dung bộ nhớ

vẫn còn được lưu ngay cả khi bấm phím

Ans

, thay
AC

đổi MODE phép tính hoặc tắt máy.
+ Đối với máy CASIO fx 570VN Plus còn bổ sung thêm các chức năng:
- Lưu giá trị kề trước giá trị của bộ nhớ [Ans] trong chế độ COMP vào
bộ nhớ [PreAns].
- Lưu các nghiệm của các phương trình, hệ phương trình trong chế độ
[EQN] vào các biến nhớ A, B, C, D, E, F.
♦ Biến nhớ độc lập M.
Một giá trị số có thể lưu vào biến nhớ M, thêm vào số nhớ, bớt ra từ số
nhớ. Biến nhớ độc lập M trở thành tổng cuối cùng.
Thao tác
M+

(M-)
SHIFT

M+

(M)
RCL

Chức năng
Thêm giá trị hoặc kết quả hiển thị của biểu thức vào
biến nhớ độc lập.
Bớt đi giá trị hoặc kết quả hiển thị của biểu thức từ
biến nhớ độc lập.

Gọi nội dung biến nhớ độc lập (gần nhất).

M+

+ Có thể chuyển giá trị biến nhớ M vào một phép tính bằng phím chức
năng

.
ALPHA

+ Chữ “M” hiển thị phía trên-trái màn hình khi có một giá trị nào đó khác 0
được lưu trong biến nhớ độc lập.

7


+ Nội dung biến nhớ độc lập vẫn còn ngay cả khi bấm

, thay đổi
AC

MODE tính tốn, kể cả khi tắt máy.
♦ Các biến nhớ A, B, C, D, E, F, X, Y và M có thể dùng để lưu (gán) số
liệu, hằng, kết quả và giá trị của các biểu thức khác.
+ Gán nội dung vào biến nhớ:
[Nội dung]

(STO) [Tên biến nhớ].
SHIFT

RCL

+ Gọi nội dung từ biến nhớ:

[Tên biến nhớ].
RCL

+ Chuyển nội dung biến nhớ vào biểu thức:

[Tên biến nhớ].
ALPHA

+ Xoá một biến nhớ theo tên gọi:
(STO) [Tên biến nhớ].
0

SHIFT

RCL

+ Nội dung biến nhớ vẫn còn ngay cả khi bấm

, thay đổi MODE tính
AC

tốn, kể cả khi tắt máy.
♦ Ý nghĩa của các biến nhớ:
+ Giúp cho người dùng nhập dữ liệu thuận lợi hơn. Đặc biệt, với các giá trị
phức tạp được lưu trong biến nhớ, biểu thức được nhập trên màn hình sẽ
gọn hơn.

+ Tránh được nhầm lẫn, sai sót khi cần sử dụng một giá trị lưu trong biến
nhớ nhiều lần.
+ Làm cho lời giải của bài tốn có cấu trúc, khoa học hơn.
1.3. Phím chức năng
CALC

♦ Đối với biểu thức chứa một biến: Tính giá trị của f(X) tại X = Xk.
+ Được thực hiện trong mode COMP và CMPLX, cho phép nhập biểu thức
chứa biến và tính ngay giá trị của biểu thức theo giá trị của các biến.

8


+ Biểu thức sẽ bị xoá khi thực hiện các thao tác khác, đổi MODE hay tắt
máy.
+ Qui trình thao tác:
▪ [Nhập biểu thức theo biến]

.
CALC

▪ Màn hình hiện: [Tên biến] ?
▪ Nhập giá trị vào biến theo tên (Xk) và

.
=
•

▪ Tiếp tục nhập các giá trị khác của biến (theo tên hiển thị trên màn hình) để
tính các giá trị tương ứng khác của biểu thức.

♦ Đối với biểu thức chứa nhiều biến:
Tính giá trị của f(x, y, z,…) tại x = A, y = B, z = C, …
+ Được thực hiện trong mode COMP và CMPLX, cho phép nhập biểu thức
chứa biến và tính ngay giá trị của biểu thức theo giá trị của các biến.
+ Biểu thức sẽ bị xoá khi thực hiện các thao tác khác, đổi MODE hay tắt
máy.
+ Qui trình thao tác:
▪ [Nhập biểu thức theo các biến]

.
CALC

▪ Màn hình hiện: [Tên biến thứ nhất] ?
▪ Nhập giá trị vào biến theo tên (A) và

.
=
•

▪ Màn hình hiện: [Tên biến thứ hai] ?
▪ Nhập giá trị vào biến theo tên (B) và

.
=
•

▪ Các biến nhớ còn lại được thực hiện tương tự…
▪ Tiếp tục nhập giá trị khác của các biến (theo tên hiển thị trên màn hình) để
tính các giá trị tương ứng khác của biểu thức.
♦ Đối với nhiều biểu thức :

9


Cho phép thực hiện liên tiếp các phép toán và các biểu thức cùng nhập trên
màn hình (được ngăn cách bởi dấu :

), theo thứ tự từ trái sang phải,

thông qua giá trị các biến nhớ được lưu qua các biểu thức và thay đổi qua
các vòng lặp (cycle).
Lưu ý: Kết quả các bài toán minh hoạ ở các phần sau đây thường được hiển
thị dưới dạng các giá trị gần đúng.

10


CHƯƠNG 2
ÁP DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN
2.1. Cho đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y=

2 x 2 − 3x + 5
mà tiếp điểm có hồnh độ x 0 = 3,2461. Tìm giá trị gần đúng
5x + 6

của a và b.
Đề thi giải tốn trên máy tính cầm tay, tỉnh Hồ Bình năm học 2003 –
2004.
Giải

6
♦ Với tập xác định Dy = \{ − }, từ điều kiện tiếp xúc:
5

 y( x 0 ) = ax 0 + b

.
 y' ( x 0 ) = a
x = 3,2461
 0

Ta xây dựng thuật giải như sau:
+ Nhập giá trị x0 = 3,2461

{lưu vào biến nhớ X}

+ Tính giá trị y(x0)

{lưu vào biến nhớ Y}

+ Tính đạo hàm y'(x0) = a

{lưu vào biến nhớ A}

+ Từ đó tính được b = y(x0) – ax0 = Y – AX
♦ Quy trình bấm phím:
(3.2461)

(STO)
SHIFT

▬

▭

2

ALPHA

)

(STO)
SHIFT

RCL

SHIFT

∫ ▬


5

▬

▭

ALPHA

RCL

ALPHA SD

–

•
SD

–

+
•

(–)

ALPHA

ALPHA

)

+

5

•

(Y)
)

ALPHA

)

3

6•

+

2

(STO)
SHIFT

x2

)

ALPHA

5

(X)
)

RCL

x2

–

3

ALPHA
•

6

)

ALPHA

)

+

5

•

(A)
(–)

ALPHA

)

=
•

•

11


♦ Kết quả: a ≈ 0,2838515467
b ≈ –0,1865628676.
2.2. Cho hàm số f(x) = 2x2 + 3x − x 4 − 7 x 2 + 3x − 1
Tính gần đúng các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b tiếp xúc với đồ
thị hàm số đã cho tại điểm có hồnh độ x0 = 3 + 2
Đề thi giải tốn trên máy tính cầm tay, chọn đội tuyển khu vực tỉnh Hồ
Bình năm học 2004 – 2005.
Giải
♦ Tập xác định Df = {x∈ | x4 – 7x2 + 3x – 1 > 0}
 f ( x0 ) = ax0 + b

Điều kiện tiếp xúc:  f '( x0 ) = a

 x0 = 3 + 2

♦ Thuật giải:
+ Nhập giá trị x0 = 3 + 2

{lưu vào biến nhớ X}

+ Tính giá trị f(x0)

{lưu vào biến nhớ Y}

+ Tính đạo hàm f'(x0) = a

{lưu vào biến nhớ A}

+ Tính giá trị b = f(x0) – ax0 = Y – AX
♦ Quy trình bấm phím:
3+

2
–

(STO)

2

SHIFT

ALPHA

7

x2

)

+

3

x•2

)

ALPHA

(STO)

•

(X)
)

RCL

+

(Y)

SHIFT

RCL

SHIFT

∫ ▬


2

ALPHA

)

x

4

ALPHA

)

–

1

)

ALPHA

3

−
√

–
)•

ALPHA

–

•

x

4

1

•

SD
ALPHA

x2

)
–

+
7

3

ALPHA

)

•ALPHA

x2

–•

ALPHA

ALPHA

(–)

)

ALPHA

)

SHIFT

)

RCL

−
√

–
+

•

(STO)
•

•

ALPHA SD

)

ALPHA

3

(–)

(A)

=
•

•

12


♦ Kết quả: a ≈ 11,73446
b ≈ −15,57027.
2.3. Tính gần đúng giá trị của a và b để đường thẳng y = ax + b tiếp xúc đồ
x +1

thị hàm số y =

= f(x) tại tiếp điểm có hồnh độ x0 = 1 + 2 .

4x + 2x + 1
2

Đề thi giải tốn trên máy tính cầm tay, khu vực tỉnh Hồ Bình năm học
2003 – 2004.
Giải
♦ Tập xác định Dy =
 f ( x0 ) = ax0 + b

Điều kiện tiếp xúc:  f '( x0 ) = a

 x0 = 1 + 2

♦ Thuật giải:
+ Nhập giá trị x0 = 1 + 2

{lưu vào biến nhớ X}

+ Tính giá trị f(x0)

{lưu vào biến nhớ Y}

+ Tính đạo hàm f'(x0) = a

{lưu vào biến nhớ A}

+ Tính giá trị b = f(x0) – ax0 = Y – AX
♦ Quy trình bấm phím:
1+
▬

▭

(STO)

2

)

ALPHA
−
√

+

1

(STO)
RCL

SHIFT

∫ ▬

+

(Y)

2

)

•

▬

▭

)

ALPHA

+

4

ALPHA

)

x2

ALPHA

)

SHIFT

RCL

+

1

•

•

1
+

2

(STO)
•
ALPHA SD

ALPHA

SD



−
√

x2

)

•
ALPHA

4

SHIFT

(X)
)

RCL

SHIFT

–

ALPHA

(–)

ALPHA

)

ALPHA

(–)

(A)

)

+

1

•

=
•

•

13


♦ Kết quả: a ≈ −0,04603783346
b ≈ 0,743600694.
2.4. Gọi M là giao điểm có cả hai toạ độ dương của parabol (P): y 2 = 5x và
hypebol (H):

x2 y2
−
= 1.
4
9

a) Tính gần đúng toạ độ của điểm M.
b) Tiếp tuyến của hypebol tại M còn cắt parabol tại điểm N ≠ M. Tính gần
đúng toạ độ của điểm N.
Đề thi giải tốn trên máy tính cầm tay, chọn đội tuyển khu vực tỉnh Hồ
Bình năm học 2004 – 2005.
Giải
a) ♦ Thuật giải:
9
x2 y2
−
Từ
= 1 ⇔ y2 = (x2 – 4), ta xét phương trình hồnh độ:
4
4
9
9 2
(x – 4) = 5x ⇔ 9x2 – 20x – 36 = 0 ⇔ x = 10 ± 2 106
4
9

Trong đó
Bấm

10 − 2 106
10 + 2 106
< 0 nên ta chỉ xét nghiệm xM =
9
9

10 + 2 106
9

{lưu vào biến nhớ A}

Ta thu được yM = 5x M {lưu vào biến nhớ B}
♦ Quy trình bấm phím:
{kích hoạt [EQN] chế độ giải phương trình bậc 2}
5

MODE

9

3
(–)

=
•

2

0

(STO)
=

SHIFT

RCL

(–)

=
•

(–)

3

6

=
•

(A) {lưu nghiệm thứ 1 vào biến nhớ A}

•

{về chế độ tính tốn thơng thường}
1

MODE

−
√

5

ALPHA

(–)

(STO)
SHIFT

RCL

(B)
ALPHA

°’”

14


b) ♦ Thuật giải:
Từ kết quả trên, tiếp tuyến tại M với (H) có dạng:

x M x yM y
−
=1
4
9

4 y M y + 36
9x M

⇔ 9xMx – 4yMy – 36 = 0 ⇔ x =

Giao điểm thứ 2 của (H) với (P) được xác định:
y2 = 5.

4 y M y + 36
⇔ 9xMy2 – 20yMy – 180 = 0
9x M

Ta thu được nghiệm thứ 2: yN ≈ –1,42729158.
y 2N
5

Khi đó xN =

♦ Quy trình bấm phím (được thừa kế từ các kết quả phần (a)):
{kích hoạt [EQN] chế độ giải phương trình bậc 2}
5

MODE

9
(–)
(–)

ALPHA

3
(–)

=
•

2

0

1

8

ALPHA

0

°’”
=
•

(STO)
=

SHIFT

RCL

=
•

=
•

hyp

(C) {lưu nghiệm thứ 2 vào biến nhớ C}

•

{về chế độ tính tốn thơng thường}
MODE
▬

▭

1
ALPHA

hyp

x2

5

=
•

♦ Kết quả: a) xM ≈ 3,39902892; yM ≈ 4,12251678
b) xN ≈ 0,4074322511; yN ≈ –1,42729158
2.5. Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b đi qua
x2 y2
+
điểm M(5; –4) và là tiếp tuyến của ellip (E):

=1
16 9

Đề thi giải tốn trên máy tính cầm tay, khu vực tỉnh Hồ Bình năm học
2004 – 2005 (chương trình Bổ túc).
Giải

15


♦ Thuật giải: Ta có y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0.
Đường thẳng đi qua điểm M(5; –4) nên có:
5a + b = –4 ⇔ b = –5a – 4

(1)

Điều kiện tiếp xúc với ellip (E) là:
16a2 + (–1)2.32 = b2 ⇔ 16a2 + 9 = b2 ⇔ 16a2 – b2 + 9 = 0

(2)

Thay (1) và (2), ta thu được: 9a2 + 40a + 7 = 0 ⇔ a = − 20 ± 337
9

Với a1 =

− 20 + 337
{lưu vào biến nhớ A} ⇒ b1 = –5a1 – 4
9

Với a2 =

− 20 − 337
{lưu vào biến nhớ B} ⇒ b2 = –5a2 – 4
9

♦ Quy trình bấm phím:
{kích hoạt [EQN] chế độ giải phương trình bậc 2}
5

MODE

9

3

=

4

•

0

=

7

•

(STO)
=

SHIFT

RCL

SHIFT

RCL

(–)

=
•

(A) {giá trị a1}

•

(STO)
=

(B) {giá trị a2}
°’”

•

{về chế độ tính tốn thơng thường}
1

MODE

(–)

5

ALPHA

)

–
•

CALC

ALPHA

(–)

4

{giá trị b1}

=
•

{giá trị b2}
CALC

ALPHA

°’”

=
•

♦ Kết quả: a1 ≈ –0,182493361; b1 ≈ –3,087533195
a2 ≈ –4,261951083; b2 ≈ 17,30975542
2.6. Cho hàm số y =

2 x 2 + 2x + 3
= f(x)
x+2

a) Tính (gần đúng) giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số.

16


b) Gọi d là đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho tại điểm có
hồnh độ x0 = 1,234. Tính (gần đúng) khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường
thẳng d.
Đề thi giải tốn trên máy tính cầm tay, chọn đội tuyển khu vực tỉnh Hồ
Bình năm học 2005 – 2006.
Giải
Tập xác định Df = \{–2}
a) ♦ Thuật giải:
Ta có: f'(x) =

2 x 2 + 8x + 1

( x + 2) 2

f'(x) = 0 ⇔ 2x2 + 8x + 1 = 0 ⇔ x = − 4 ± 14
2

Trong đó xCT =
và xCĐ =

− 4 + 14
2

{lưu vào biến nhớ A}

− 4 − 14
2

{lưu vào biến nhớ B}

Thu được f(CT) = –6 + 2 14 và f(CĐ) = –6 – 2 14 tương ứng.
♦ Quy trình bấm phím:
{kích hoạt [EQN] chế độ giải phương trình bậc 2}
5

MODE

2

3

=

8

•

=

1

•

(STO)
=

SHIFT

RCL

=

SHIFT

RCL

=
•

(A) {giá trị xCT}

(–)

•

(STO)

(B) {giá trị xCĐ}
°’”

•

{về chế độ tính tốn thơng thường}
MODE

1

ALPHA

(–)

▬

▭

2

ALPHA

(STO)

ALPHA

(–)

(–)

+

(X)
)

RCL

SHIFT

x2

2

(–)

+

2

•

{giá trị f(CT)}

ALPHA

+

3

•

=
•

•

17


{giá trị f(CĐ)}
CALC

=

°’”

ALPHA

•

b) Xét đường thẳng d khơng vng góc với trục hồnh có phương trình
 f (x 0 ) = ax 0 + b

y = ax + b. Điều kiện tiếp xúc là:  f '(x 0 ) = a

 x = 1, 234
 0

♦ Thuật giải:
+ Nhập giá trị x0 = 1,234

{lưu vào biến nhớ X}

+ Tính giá trị f(x0)

{lưu vào biến nhớ Y}

+ Tính đạo hàm f'(x0) = a

{lưu vào biến nhớ A}

+ Tính giá trị b = f(x0) – ax0 = Y – AX {lưu vào biến nhớ C}
+ Ta thu được đường thẳng y = Ax – C ⇔ Ax – y + C = 0
A.0 − 0 + C

+ Khoảng cách từ gốc toạ độ (0; 0) đến đường thẳng d là:

A 2 + 12

♦ Quy trình bấm phím:
(STO)
1

•

▬

▭

2

2

3

4
)

ALPHA

SHIFT

x2

+

2

SHIFT

)
▬

▭

∫ ▬


+

2

•2

ALPHA

+

2

)

ALPHA

+

(STO)

•
ALPHA

(X)
)

RCL

SHIFT

RCL

•
(Y)
SD

x2

)

+

2

ALPHA

SHIFT

RCL

)

ALPHA

)

(STO)

•
ALPHA SD
▬

▭

SHIFT

–

ALPHA

(–)

hyp
•

ALPHA

hyp

)

)

ALPHA
−
√

SHIFT
ALPHA

+

3

•

(A)

(STO)

•
ALPHA

3

RCL

(–)

x2

+

hyp

(–)

(C)

1

=
•

•
♦ Kết quả: a) f(CĐ) ≈ –13,48331477; f(CT) ≈ 1,483314774

b) Khoảng cách h ≈ 0,594998377
2.7. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + 1 = f(x) có đồ thị đi qua hai điểm A(2; 3)
và B(3; 0).
a) Tính giá trị gần đúng của a và b.
18


b) Đường thẳng y = mx + n là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có
hồnh độ x0 = 3 . Tính giá trị gần đúng của m và n.
Đề thi giải tốn trên máy tính cầm tay, chọn đội tuyển khu vực tỉnh Hồ
Bình năm học 2006 – 2007.
Giải
a) Tập xác định Dy =
Tại A(2; 3), ta có: 8a + 4b = 2;
Tại B(3; 0): 27a + 9b = −1.
11
31
= − 0,6(1) và b =
= 1,7(2).
18

18

Từ đó thu được: a = −

11
18

b) Từ kết quả a) ta có y = f(x) = − x3 +

31 2
x +1
18

 f (x 0 ) = mx 0 + n

♦ Điều kiện tiếp xúc:  f '(x 0 ) = m

x 0 = 3

♦ Thuật giải:
+ Nhập giá trị x0 = 3

{lưu vào biến nhớ X}

+ Tính giá trị f(x0)

{lưu vào biến nhớ Y}

+ Tính đạo hàm f'(x0) = m

{lưu vào biến nhớ A}

+ Tính giá trị n = f(x0) – mx0 = Y – AX
♦ Quy trình bấm phím:
(STO)

(X)

−
√

3

(–)

▬

▭

1

1

1

8

ALPHA

)

x

3

+

▬

▭

3

1

1

8

ALPHA

)

x2

+

SHIFT

(STO)

•
SHIFT

RCL

SHIFT

∫ ▬

+
•



▬

▭

)

RCL

(Y)

1

•

SD

▬

▭

(–)
3

1
1

1
1

1
8

8
ALPHA

ALPHA

)

x2

x

)
+

3
1

•

19


(STO)
)

SHIFT

–

ALPHA

ALPHA
ALPHA SD

♦ Nhận xét:

(–)

RCL

(–)

ALPHA

)

(A)
=
•

•

+ Ta thấy f(x) là hàm đa thức nên việc tính hệ số m = f'(x0) có thể tính đơn
11
31
− 99 + 62 3
+
3 =
2
9
18

giản hơn: m = f'( 3 ) = −
+ Từ đó tính được n =

− 11 3 + 37 62 − 33 3
22 3 − 25
−
=
6
6
6

11

31
= −0,6(1); b =
= 1,7(2).
18
18

♦ Kết quả: a) a = −

b) m ≈ 0,4659527816; n ≈ 2,18486294
2.8. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx – 1 đồ thị (C). Hãy xác định các hệ số a,
5
6

b, c biết (C) cắt parabol (P) có phương trình y = x 2 - x +

hồnh độ bằng

số góc bằng -

1
tại điểm có
24

1
 3 47 
và tiếp tuyến của (C) tại điểm A  - ; ÷ thuộc (C) có hệ
2
 4 64 

31

.
16

Đề thi giải tốn trên máy tính cầm tay, tỉnh Hồ Bình năm học 2014 –
2015.
Giải
Gọi giao điểm của (C) với (P) là B, ta có:
♦ Thuật giải:
+ Từ hồnh độ xB =

1
1
, tính được tung độ yB = − . {Lưu vào biến nhớ A}.
2
8
1 1

+ Với (C) đi qua điểm B  ;- ÷, lập hệ thức:
 2 8

20


3
2
1
1
1
7
1

1
1
1
(1)
a  ÷ + b  ÷ + c -1 = - ⇔ a + b + c =
8
4
2
8
2
8
2
2

 3 47 
÷, lập hệ thức:
 4 64 

+ Với (C) đi qua điểm A  - ;
-

27
9
3
111
a + b- c =
64
16 4
64

(2)

+ Với có hệ số góc bằng -

31
, ta có:
16

31
27 3
31
 -3 
y'  ÷ = ⇔ a- b+c = 16 2
16
 4  16

(3)

+ Giải hệ gồm (1), (2) và (3), ta thu được a, b, c cần tỡm.
Quy trỡnh bm phớm:
x2

)

ALPHA

5

6

ALPHA

ã

ữ

2

4

)

(STO)
ã

CALC

5

=

SHIFT

RCL

ã

+

1

ã

{yB = 1 }

()

8

{kớch hot [EQN] ch gii h phng trỡnh 2 n}
MODE

5

ALPHA

()

2

{nhp a1}
=
ã

1

ữ

1

ữ

7

ữ

()

9

()

1

2
ữ

{nhp b1}
4

=

2

=

8

=

7

ữ

ã

{nhp c1}
ã

{nhp d1}
ã

{nhp a2}
6

4

=
ã

{nhp b2}
1

3

ữ

1

1

6

=
ã

{nhp c2}
4

=

ữ

6

ã

{nhp d2}
4

=
ã

21

2

7

ữ

()

3

ữ

{nhp a3}
1

6

2

=

=
ã

{nhp b3}
ã

{nhp c3}

1

()

=
ã

3

1

ữ

{nhp d3}
1

6

=
ã

{Hin kt qu}
=
ã

Kt qu: a = 3; b = 4; c = –1.

22

CHƯƠNG 3
ÁP DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
3.1. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) = 1 + 2sinx + 3cosx trên đoạn [0; π].
Đề thi giải toán trên máy tính cầm tay, khu vực tỉnh Hồ Bình năm học
2004 – 2005 (chương trình Bổ túc).
Giải
♦ Thuật giải:
Với tập xác định Df = , chọn [MODE] Rad. Ta có: f'(x) = 2cosx – 3sinx
f'(x) = 0 ⇔ 2cosx = 3sinx
Sử dụng chức năng [SOLVE] thu được x0 trên [0; π], lưu vào biến nhớ X.
Tính các giá trị f(0); f(x0); f(π) để xác định giá trị lớn nhất và giá tr nh
nht.
Quy trỡnh bm phớm:
(Rad)
SHIFT

2

4

MODE

cos

)

ALPHA

)

ALPHA

sin

3

CALC

(STO)
SHIFT

=

CALC

RCL

SHIFT

)

ALPHA

(X)
ALPHA

)

3

cos

ã

1

+
ã

CALC

SHIFT

sin

2

ì 10

ALPHA

()

x

)

+

{giỏ tr f(x0)}
ALPHA

=
ã

{giỏ trã f(π)}
=
•

Trong đó f(0) = 1
♦ Kết quả: fmax = f(x0) ≈ 4,605551275
fmin = f(π) = –2.
ex
3.2. Cho hàm số y = 2
. Tìm (gần đúng) giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
x + x +1

nhất của hàm số trên đoạn [−1; 2].
23


Đề thi giải tốn trên máy tính cầm tay, tỉnh Hồ Bình năm học 2003 –
2004.
Giải
♦ Thuật giải:
Từ tập xác định Dy =
+ Tính y' =

x ( x − 1).e x

(x

2

)

+ x +1

2

+ y' = 0 ⇔ x = 0, x = 1
+ Từ đó tính các giá trị y(–1); y(0); y(1); y(2)
Quy trỡnh bm phớm:



ALPHA

ALPHA

ì 10

x

ALPHA

)

+

ALPHA

)

x

)

x2

()

1

1

ã
{giỏ tr y(1) = 1 }

•
CALC

+

e

=
•

{giá trị y(0) = 1}
CALC

0

=
•

{giá trị y(1) = e }
CALC

1

3

=
•

2
{giá trị y(2) = e }

CALC

2

7

=
•

♦ Kết quả: ymax = y(2) =
ymin = y(–1) =

e2
≈ 1,0556;
7
1
≈ 0,3679.
e

3.3. Đề thi giải tốn trên máy tính cầm tay, chọn đội tuyển khu vực tỉnh
Hồ Bình năm học 2004 – 2005.
a) Cho hàm số f(x) =

4 x 6 46 x 5 215x 4 176 x 3 39 x 2
+
−
+
+
−54x + 2004
3
5
4
3
2

Tính (gần đúng) giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
[−10; 5 ]

24

b) Cho hàm số f(x) = sin(2x + 1) − x2. Tính (gần đúng) giá trị lớn nhất và
1
].
3

giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [−1;

Giải
a) Tập xác định Df =
♦ Thuật giải:
Ta có f'(x) = 8x5 + 46x3 – 215x3 + 176x2 + 39x – 54
= (x – 1)(x – 2)(x + 9)(8x2 – 2x – 3)
1
2

3
. Từ đó:
4

f'(x) = 0 ⇔ x = 1; x = 2; x = –9; x = – ; x =
1
2

3
4

Tính các giá trị: f(–10); f(–9); f(– ); f(0); f( ); f(1); f(2); f( 5 ) để xác định
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

♦ Quy trình bấm phím:
▬

▭

+

4

3

ALPHA

5

ALPHA

)

x

5

4

ALPHA

)

x

4

3

ALPHA

)

SHIFT

2

ALPHA

)

x2

2

0

0

4

CALC

CALC

(–)

(–)

(–)

x2
–

6
▬

▭

–
+
•+

5•

▬

• ▭

+

▬

▭

4

2•

1

5

1

▬

▭

4

7
3

6

6
9

ALPHA

)

•

{f(−10) = – 535018 = –178339,(3)}

•
CALC

x

)

1

0

3

=

3

=
•

{f(−9) ≈ –226015,05}

•

•

{f(−1 ) ≈ 2024,915625}

5

=

2

•

{f(0) = 2004} (cú th nhm trc tip)
CALC

CALC

0

3

=
ã

ữ

{f( 3 ) 1984,632422}
4

=

4

•

25