Đề 1 toán 11 thi HK2 2019 (1) DE CHINH THUC thd gv

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO

ĐỀ THI HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN - KHỐI 11
Ngày thi: 07/5/2019
ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1: (2 điểm) Tìm giới hạn các hàm số sau:

a)

x →−∞

4 x3 − 6x 2 + 3x − 1
x →1
− x 2 + 4x − 3

lim

lim ( x + 3) x 2 + 3x + 2
.

b)

Bài 2: (1 điểm)Tìm giá trị của tham số a để hàm số sau liên tục tại điểm
ìï 2x + 5 - 3
ï
f(x) = ïí

x- 2
ïï
ïïî x - 3a

x =2

khi x > 2
khi x £ 2

Bài 3: (2 điểm)
a) Tính đạo hàm của hàm số :

y = ( x2 − 2x ) . x2 − 3

.

2

b) Cho hàm số

f (x) =sin (3x) +cos(2x)

.
æπ ö
ç
ç ÷
÷
f ' è6 ø

Tính giá trị biểu thức

−3 x + 1
y = f ( x) =
2x − 5
Bài 4: (1 điểm) Cho hàm số
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
( C) tại điểm có tung độ là 1.
Bài 5: (4 điểm) Cho hình chóp

S . ABC

có

SA ⊥ ( ABC )

, đáy là tam giác vuông tại B. Biết độ

BC = a AB = a 3, SA = 3a
dài các cạnh
,
.

a)Chứng minh

( SBC ) ⊥ ( SAB )

b) Tính góc giữa

( SBC )

và

và tam giác SBC vuông.

( ABC )


c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
d)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

SB

và

AC

.

………….…………………(Hết)……………………………..

ĐÁP ÁN
Bài
Bài 1.
(2đ)

Nội dung
Tìm giới hạn các hàm số sau:

lim ( x + 3) x 2 + 3x + 2

a)

x →−∞

Vì

Điểm
3 2
 3
= lim x 1 + ÷( − x ) 1 + + 2
x →−∞
x
x x

= −∞

 lim ( − x 2 ) = −∞
 x →−∞

3 2
 3
 lim  1 + ÷ 1 + + 2 = 1 > 0
x
x x
 x →−∞ 

( x − 1) ( 4x 2 − 2x + 1)
4 x 3 − 6x 2 + 3x − 1
b)lim
= lim
x →1

− x 2 + 4x-3
x →1
( x − 1) ( − x + 3)
4x 2 − 2x + 1 3
=
x →1
−x + 3
2

lim+ f(x) = lim+

x®2

x®2

2x + 5 - 3
x-2

= lim+
x®2

2(x - 2)
(x - 2)( 2x + 5 + 3)

2
1
=
x ® 2 ( 2x + 5 + 3)
3
lim+ f(x) = lim+ (x - 3a) = 2 - 3a

= f(2)
= lim+

x®2

(0,25đ)
(0,25đ)

(0,5đ)
(0,5đ)

= lim

Bài 2.
(1đ)

(0,5đ)

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

x®2

Hàm số f(x) liên tục tại x=2
Û lim
f ( x) = lim- f ( x) = f (2) Û
+
x® 2

x®2

1
5
= 2 - 3a Û a =
3
9

(0,25đ)


Bài 3.
(2đ)

a) y = ( x 2 − 2 x ) . x 2 − 3
⇒ y ' = ( x2 − 2 x ) . x2 − 3 +
'

= ( 2 x − 2) x − 3 +
2

y' =

(

2x

)

x2 − 3 .( x 2 − 2 x )

'

.( x − 2 x ) =
2

2 x2 − 3
3x3 − 4 x 2 − 6 x + 6

(0,25đ)

( 2 x − 2 ) ( x 2 − 3) + x.( x 2 − 2 x )
x2 − 3

(0,25đ)

x2 − 3

b)f (x) =sin 2 (3x) +cos(2x) Þ f '(x) =2sin(3x)[sin(3x)]'- sin(2x)(2x) '
Þ f '(x) =2sin(3x) cos(3x).3 - sin(2x).2
æπ ö
Þ f '(x) =3sin(6x) - 2sin(2x) Þ f ' ç
ç ÷
÷=- 3
è6 ø
Bài 4.
(1đ)

y = f ( x) =
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tung độ là 1.

13
y' =
2
( 2 x − 5)

Gọi

M ( x0 ; y0 )

y0 = 1 ⇒ x0 =
là tiếp điểm

6
5

(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

tại điểm có
(0,25đ)
(0,5đ)

f ' ( x0 ) =
;

−3 x + 1
2x − 5

25

13

y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 ⇔ y =
Bài 5.
(4đ)

(0,5đ)

(0,25đ)

25
17
x−
13
13

Phương trình tiếp tuyến tại M là :
SA ⊥ ( ABC )
S . ABC
ABC
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác vuông
tại B.

BC = a, AB = a 3, SA = 3a

.

(0,75đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

a)


BC ⊥ SA (vi SA ⊥ ( ABC )) 
 ⇒ BC ⊥ ( SAB )
BC ⊥ AB( gt )

⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB )

BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC

( SBC )

vuông tại B

( ABC )

b)Tính góc giữa
và
( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC 

0
·
BC ⊥ SB ⊂ ( SBC )
 ⇒ ( ( SBC ) ,( ABC ) ) = ( SB, AB ) = SBA < 90
BC ⊥ AB ⊂ ( ABC ) 

Xét

∆SAB

c) Kẻ

·
tan SBA
=
vuông tại A có :

BH ^ AC

SA
·
= 3 ⇒ SBA
≈ 600
AB

ìï BH ^ AC
Þ BH ^ (SAC)
í
ïî BH ^ SA( viSA ^ (ABC)

tại H. Ta có
AB.BC a.a 3 a 3
Þ d(B;(SAC)) =BH =
=
=

AC
2a
2

(0,75đ)

(0,25đ)

(0,5đ)
(0,5đ)

SB
AC
d)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
.
AI ⊥ SK
Dựng hình chữ nhật AHBK. Kẻ
tại I
BK ⊥ AK , BK ⊥ SA ⇒ BK ⊥ ( SAK ) ⇒ BK ⊥ AI
Có
AI ⊥ SK ; AI ⊥ BK ⇒ AI ⊥ ( SBK )
Có
tại I

(0,25đ)
(0,25đ)

AC P ( SBK ) ⇒ d ( AC,SB ) = d ( AC,( SBK ) ) = d ( A,( SBK ) ) = AI

Tam giác SAK vuông tại A có AI là đường cao ;
1
1
1
1
1
13
= 2+
= 2+ 2 = 2
2
2
3a
AI
SA
AK
9a
9a
4
3a
⇒ AI =
= d ( AC , SB )
13

a 3
AK =BH =
2

(0,25đ)