Toan 11 ba diem deda danh vo

Trường THPT Bà Điểm

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II - NĂM HỌC: 2018 - 2019
Môn: TOÁN – KHỐI 11
Thời gian làm bài: 90 phút

Họ và tên thí sinh: ………………………………….. SBD: ……………Lớp 11A………
Câu 1 (2,0 điểm): Tính các giới hạn sau:
a) lim

x3  8

x�2

2

x x 2





2
b) lim 3x  9x  2x .

.

x � �

Câu 2 (1.0 điểm): Tìm các giá trị của a để hàm số sau liên tục tại x=1.
� x  3  x2  2x  1

,
�
f ( x)  �
x3  1
� a
,
�

x �1
x 1

Câu 3 (1.0 điểm): Tính đạo hàm của hàm số
a) y 

1

b) y =

(x 2  x  1)5

Câu 4 (1.0 điểm): Cho hàm số y 

1 cos2 2x
tan2x

sin 3 x  cos 3 x
.CMR: y’’+y=0.
1  sin x. cos x

Câu 5 (1.0 điểm): Cho hàm số y 

x1
có đồ thị (H). Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp
x 1

1
1
tuyến song song với đường thẳng y   x  .
8
8
Câu 6 ( 2.0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . (SAB) và (SAC) cùng
vuông góc với (ABCD), SA = a 6 .
a) Chứng minh SA vuông góc (ABCD).
b) Xác định và tính góc giữa SC và (ABCD).
Câu 7 (2.0 điểm): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC vuông cân tại A với AB = a,AA’ = 2a và hình
chiếu của A’ trên (ABC) là trung điểm I của BC.
a) Chứng minh rằng BCC’B’ là hình chữ nhật
b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AA’C’C)

HẾT


ĐÁP ÁN TOÁN 11
ĐÁP ÁN

THANG
ĐIỂM

Câu 1 (2,0 điểm): Tính các giới hạn sau:

(x  2)(x 2  2x  4)
a) lim 2
= lim
x� 2 x  x  2
x�2
(x  2)(x  1)
2
x  2x  4
= lim
=4
x�2
x 1
2x
2
lim
b) lim 3x  9x  2x = x �
�3x  9x 2  2x
x � �
2
lim
1
= x � �
2 =
3 9
3
x
Câu 2 (1.0 điểm): Tìm các giá trị của a để hàm số sau liên tục tại x=1.
� x  3  x2  2x  1
,
x �1

�
f ( x)  �
x3  1
� a
,
x 1
�
x3  8





0.5
0.25+0.25
0.5

0.25+0.25

0.25

f(1)=a

lim f ( x)  lim
x �1

x �1

x  3  x2  2x 1
( x  3)  ( x 2  2 x  1) 2


lim
x �1 ( x  1)( x 2  x  1)( x  3  x 2  2 x  1)
x3  1

 x 4  4 x 3  2 x 2  3x  2
 x 3  3x 2  x  2
1

lim

x �1 ( x  1)( x 2  x  1)( x  3  x 2  2 x  1)
x�1 ( x 2  x  1)( x  3  x 2  2 x  1)
12

0.25

 lim

0.25

Hàm số liên tục tại x=1

0.25

1
� f (1)  lim f ( x) � a 
x �1
12
Câu 3 (1.0 điểm): Tính đạo hàm của hàm số

a) y 

1
(x  x  1)5
2

�
(x 2  x  1)5 �
5(x 2  x  1) 4  x 2  x  1
5(x 2  x  1) 4  2x  1
�
�
y'  


10
10
(x 2  x  1)10
 x 2  x  1
 x 2  x  1
'

b) y =

1 cos2 2x
tan2x

'

0.5


'

�
1 cos2 2x �
�
� 1 cos2 2x � � tan2x �
�
�
y'  �
2
� tan2x �
�
� 2 1 cos 2x
tan2x
'

� 1 �
4cos2x.sin2x.tan2x  2 1 cos2 2x � 2 �
1
�cos 2x �.

2
tan 2x
1 cos2 2x
2
tan2x
� 1

�
4sin2 2x  2� 2  1�
1
�cos 2x �.

2
tan 2x
1 cos2 2x
2
tan2x



Câu 4 (1.0 điểm): Cho hàm số y 



sin 3 x  cos 3 x
.CMR: y’’+y=0.
1  sin x. cos x

(sin x  cos x)(sin 2 x  sin x.cos x  cos 2 x) (sin x  cos x)(1  sin x.cos x )
y

 sin x  cos x
1  sin x.cos x
1  sin x.cos x
y’=cosx-sinx;
y’’=-sinx-cosx

0.5

0.25
0.25
0.25
0.25

Ta có: y’’+y ==-sinx-cosx+sinx+cosx =0(đpcm).
x1
có đồ thị (H). Viết phương trình tiếp tuyến của (H)
x 1
1
1
0.25
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y   x  .
8
8
2

Câu 5 (1.0 điểm): Cho hàm số y 

y’=

 x  1

2

Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm
1
1

d: y   x 
8
8
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d
2
1

2= 
8
 x0  1

�
3
x0  5 � y0 
�
2
 �
1
�
x0  3 � y0 
�
2
PTTT tại M
1 17
(nhận)
y   x
8
8

0.25

0.25

0.25


1
1
y   x
8
8

(loại)

Câu 6: ( 2.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . (SAB) và
(SAC) cùng vuông góc với (ABCD), SA = a 6 .
a) Chứng minh SA vuông góc (ABCD).
Ta có:
�
 SAB    ABCD   
�
 SAC    ABCD 
�
�
( SAB ) �(SAC )  SA
�

0.25
0.25
0.25

0.25

� SA  ( ABCD)

b) Xác định và tính góc giữa SC và (ABCD).
�SC �( ABCD )  C  
�
�SA   ABCD  tai A
� AC là hình chiếu của SC lên (ABCD)
�
��
SC,( ABCD)�
�
� SCA.
�  SA  3
tanSCA
▪
AC
�
� SCA  600.

0.25
0.25
0.25
0.25

Câu 7: (2.0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC vuông cân tại A với AB = a,
AA’ = 2a và hình chiếu của A’ trên (ABC) là trung điểm I của BC.
a) Chứng minh rằng BCC’B’ là hình chữ nhật.
B’

C’

M

M
A’

I

I

M
I
B
M
A

IC’

H

M

M

I

I M
C’M

C
M

Ta có : BCC’B’ là hình bình hành (tính
chất hình lăng trụ)
�
BC  AI (ABC vuo�
ng ca�
n ta�
i A)
�
BC  A 'I (A'I  (ABC),BC �(ABC))
�
�
AI �A'I =A trong (AA'I)
�
� BC  (AA 'I)
� BC  AA '
� BC  CC'(do CC'/ /AA ')

Suy ra : BCC’B’ là hình chữ nhật.

I

C’
b) Tính khoảng cách
từ điểm
B đến mặt phẳng (AA’C’C)
I

H

MC’
I

0.25
0.25

0.25
0.25


 BI(AA’C’C) = C
d(B,AA 'C'C)) BC

2
d(I,(AA 'C'C)) IC
� d(B,AA 'C'C))  2d(I,(AA 'C'C))

0.25

�

 Gọi M là trung điểm AC.Ta có :
�
AC  IM (IM//AB,AB  AC)
�
AC  A 'I (A'I  (ABC),AC �(ABC))
�
�

IM �A'I =I trong (A'IM)
�
� AC  (A 'IM)

 (AA’C’C)(A’IM) theo giao tuyến là A’M
Do đó khi kẻ IHA’M tại H trong (A’IM) thì IH(AA’C’C) tại H
nên IH = d(I,(AA’C’C))

0.25

ABC vuông cân tại A  BC = AB 2  a 2 � AI  a 2
2

AA’I vuông tại I  A’I =

AA '2  AI 2 

A’IM vuông tại I có đường cao IH


1
IH2



1
IM 2



1
IA '2

Vậy d(B,(AA’C’C))=



4
a2



2a 7
30

2
7a2



30
7a2

a 14
2

0.25
� IH 

a 7

30

0.25