Toan 11 HK2 deda nguyen phuong mai

Trường THPT Tây Thạnh
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN – KHỐI 11
Thời gian làm bài: 90 phút
(Không kể thời gian phát đề)

Họ và tên học sinh: ………………………………………………………Lớp:……….Mã số: …………
Câu 1

(1.5 điểm) Tính các giới hạn sau:
x2 − 4 x + 3
x→1
x3 − 1

a. lim

Câu 2

Câu 3

2
b. lim ( x − x + 3 + x )
x →−∞

 x 2 − 3x + 2

(1.5 điểm) Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − 2
mx − 1


khi x < 2

liên tục tại điểm x = 2.

khi x ≥ 2

(2.0 điểm)
a. Tìm đạo hàm của hàm số : y =
b. Cho hàm số y = f ( x) =

1− x

23 12
2019
x + 4 x − 11 +
12
x

2x − x2

. Giải bất phương trình: y. y ′ ≥ 0 .

2x +1
có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C )
x+2
biết tiếp tuyến này song song với đường thẳng (∆) : y = 3 x + 2 .

Câu 4

(1.5 điểm) Cho hàm số y =

Câu 5

( 3.5 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh AB = a , biết
SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 15 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD .
2
BD
⊥
(
SAC
) , ( SMN ) ⊥ ( SAC ) .
a. Chứng minh :
b. Xác định và tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng ( ABCD ) .
c. Xác định và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SMN ) .
-------Hết------


HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN - KHỐI 11
Câu

Lời giải (cần vắn tắt – rõ các bước được điểm)

Câu 1
(1.5
điểm)

a / lim
x→1

Điểm

0.25+0.25

x2 − 4 x + 3
( x −1)( x −3)
x −3
= lim
= lim
3
2
2
x→1 ( x −1) x + x +1 x→1 x + x +1
x −1

(

)

−2
=
=
12 +1+1 3

0.25

1−3

b / lim ( x 2 − x + 3 + x ) = lim

3− x

x − x+3 − x
3− x
3− x
= lim
= lim
x →−∞
x →−∞
1 3
1 3
x 1− + 2 − x
−x 1− + 2 − x
x x
x x
3 
3
x  − 1÷
−1
1
x 
x
= lim
= lim
=
x →−∞

 x→−∞ 
 2
1 3
1 3
− x  1 − + 2 + 1÷

−  1 − + 2 + 1÷
x x
x x




x →−∞

x →−∞

2

Câu 2
(1.5
( x − 1) ( x − 2 )
x 2 − 3x + 2
f ( x ) = lim−
= lim−
=1
điểm) Ta có :* xlim
−
→2
x →2
x→2
x−2
x−2
* lim+ f ( x ) = lim+ ( mx − 1) = 2m − 1 ;
x →2

x→2

* f (2) = 2m − 1

f ( x ) = lim f ( x ) = f (2)
Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ xlim
→2
x →2
−

0.25

0.25

0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25x4

1− x
2x − x2

⇒ y' =

( 1− x)

'

. 2x − x2 −

− 2 x − x2 −

(

2x − x2

2 x − x2
'
( 2x − x2 )

2 2 x − x2
2 x − x2

= y'=
− 2x − x2 −
=

0.25

+

⇔ m =1
Câu 3 a.
(2.0
'
23 12
2019 
2019


11
điểm) y ' =  x + 4 x − 11 +
÷ = 23x + 4 − 2
x 
x
 12
y=

2 − 2x

2 2x − x
2x − x2

'

) ( 1− x)

( 1− x)

( 1− x)
2

0.25

−2 x + x 2 − ( 1 − x )
=

Lưu ý khi
chấm

2 x − x2
2 x − x2

2

=

−1
(2 x − x ) 2 x − x 2
2

Đạo
hàm
đúng
mỗi
hạng tử được
0.25


0.25

Bất phương trình: y. y / ≥ 0

x

-∞ 0
x-1
- 2 2
(2 x − x ) + 0 +

x −1
(2 x − x 2 ) 2 -

⇔

1− x

−1

.

2 x − x 2 (2 x − x 2 ) 2 x − x 2
x −1
⇔
≥0
(2 x − x 2 ) 2

1 2 +∞
0 + +
+ 0 +
0 +

0.25

+

≥0

⇔x ≥ 1
Câu 4

2x +1
(1.5 • Đặt y = f ( x) = x + 2
điểm)
3
• y'=
2
( x + 2)

0.25

0.25

0.25
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( x0 , y0 ) có dạng:
(d): y − y0 = f '( x) ( x − x0 ) .
(∆) : y = 3 x + 2 có hệ số góc là k = 3 .
Vì tiếp tuyến song song với (∆) : y = 3 x + 2 nên hệ
số góc của tiếp tuyến là y ′ ( x0 ) = 3 .
⇔

3

( x0 + 2 )

2

= 3 (Đk: x0 ≠ −2 )

 x0 = −1(n) .
2

⇒ ( x0 + 2 ) = 1 ⇔ 
 x0 = −3(n)
2(−1) + 1
= −1 khi đó tiếp tuyến là
*Với x0 = −1 ⇒ y0 =
(−1) + 2
y = 3 ( x + 1) − 1
(loại vì trùng với ∆ ).
⇔ y = 3x + 2
*Với x0 = −3 ⇒ y0 = 5 khi đó tiếp tuyến là :
y = 3 ( x + 3) + 5
( nhận)
⇔ y = 3 x + 14
KL: Vậy TT cần tìm là: y = 3x + 14
Câu
5
(3.5
điểm)

a.Chứng minh : BD ⊥ ( SAC ) ?
 SA ⊥ ( ABCD )

Có:  BD ⊂ (ABCD)
⇒ SA ⊥ BD

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25
0.25
0.25


 BD ⊥ AC (ABCD la hinh vuong)

 BD ⊥ SA(cmt )
Có: 
 AC ,SA ⊂ (SAC)

0.25

⇒ BD ⊥ ( SAC )
* Chứng minh : ( SMN ) ⊥ ( SAC ) ?
M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD
⇒MN là đường trung bình ∆BCD
⇒MN//BD
Theo giả thiết, ta có:
 MN / / BD

 BD ⊥ (SAC)

0.25

0.25

⇒ MN ⊥ ( SAC )

 MN ⊥ ( SAC )

 MN ⊂ (SMN)
⇒ ( SMN ) ⊥ ( SAC )
b. Tính góc giữa SM và (ABCD).
SM ∩ (ABCD) = M

 SA ⊥ ( ABCD ) tai A
⇒Hình chiếu của SM lên (ABCD) là AM.
⇒ ·SM , ( ABCD ) = (·SM , AM )

(

0.25

)

0.25
2

Xét ∆ABM vuông tại B, có AM = AB 2 + BM 2 = a 2 + a = a 5
4
2
 SA ⊥ ( ABCD )

Có:  AM ⊂ (ABCD)
⇒ SA ⊥ AM
Xét ∆SAM vuông tại A, ta có
a 15

·
·
SA
tan SMA =
= 2 = 3 ⇒ SMA = 600
AM
a 5
2
·
⇒ (·SM , ( ABCD ) ) = (·SM , AM ) = SMA
= 60o
Gọi I = AC ∩ MN .
Trong ∆SAI: Kẻ AH ⊥ SI tại H
( SMN ) ⊥ ( SAC )

( SMN ) ∩ ( SAC ) = SI

 AH ⊂ ( SMN )
 AH ⊥ SI
⇒ AH ⊥ ( SMN )
⇒ d ( A, ( SMN ) = AH
Xét ∆SAI vuông tại A , với AC = a 2, AI =
Nên

0.25

0.25

0.25

3
3 2a
( đvđd)
AC =
4
4

0.25


1
1
1
1
1
52
= 2+ 2 =
+
=
2
2
2
AH
SA
AI
45a 2
 a 15   3 2 
a÷

÷ 

 2   4 
45a 2
45 3a 65
⇒ AH = a
=
52
52
26
3a 65
Vậy d ( A, ( SMN ) ) = AH =
(đvđd)
26
⇒ AH 2 =

0.25
0.25