ToanK11 thiHK2 kiệt lý thường

TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT

KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2018 - 2019

(Đề thi có 01 trang)

Đề thi môn: TOÁN - Khối: 11
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Ngày kiểm tra: ……./05/2019

x − 9x
x →3 x − 4 x + 3
3

Câu 1: (1đ) Tính lim

2

Câu 2: (1đ) Xét tính liên tục của hàm số
 2 − 2 x2 + x −1

y= f ( x ) = 
x −1
 x − 4cos( x − 1)


khi x > 1

tại x=1

khi x ≤ 1

Câu 3: (1đ) Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = (x-1)sin 2x
b)

y = 3x +

60 64
−
−5.
x x3

Câu 4: (1đ) Cho hàm số y = f ( x) = x 4 − 3x 2 + 1 có đồ thị ( C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại
điểm có hoành độ bằng 1.
Câu 5: (1đ) Cho hàm số y = f ( x ) =

1 − 3x
có đồ thị ( C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
x+2

tuyến vuông góc với đường thẳng d có phương trình: x - 7y – 16 = 0.
Câu 6: (1đ) Chứng minh phương trình: 2sin 5 x − 2m cos x + 1 + m 2 = 0 luôn có nghiệm với mọi số thực
m.
Câu 7: (2đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a. SO vuông góc mặt phẳng
ABCD, SO =

a 6
a 3
, OB =
3

3

a) Chứng minh SD vuông góc AC
b) Xác định và tính góc giữa mp (SAB) và mp (ABCD)
Câu 8: (2đ) Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AA ' = a 2
. Gọi M là trung điểm BC
a) Chứng minh BC ⊥ (AA ' M )
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C
----------HẾT----------


ĐÁP ÁN TOÁN 11
Câu 1:(1đ)

( x − 3) ( x 2 + 3 x )
x3 − 9 x
x 2 + 3x
lim 2
= lim
= lim
=9
x →3 x − 4 x + 3
x →3 ( x − 3 ) ( x − 1)
x →3 x − 1

Câu 2:(1đ) f(1) = -3
lim− f ( x) = lim− ( x − 4 cos ( x − 1) ) = −3
x →1

x →1

lim+ f ( x) = lim+

x →1

lim+

x →1

x →1

2 − 2 x2 + x −1
4 − 4x2 − 4x + 4
= lim+
=
2
x →1
x −1
x
−
1
2
+
2
x
+
x
−
1
(

)

4 ( x − 1) ( − x − 2 )

( x − 1) ( 2 + 2

x2 + x − 1

(

)

= lim+
x →1

4(− x − 2)
2 + 2 x2 + x −1

)

= −3

Do lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (1)
x →1

x →1

Vậy hs liên tục tại x=1
Câu 3a) y / = ( x − 1) sin 2 x + ( x − 1) ( sin 2 x ) = sin 2 x + 2 ( x − 1) cos 2 x
/

y/ = 3 −

Câu 3b)

/

60 192
+
x2 x4

Câu 4(1đ): gọi tiếp điểm M ( x0 ; y0 )
nên

x0 = 1 → y0 = −1 , y / = 4 x 3 − 6 x → y / (1) = −2 → pttt y = −2 x + 1

Câu 5 (1đ)
ktt = −

gọi tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) . Do tt vuông góc với d nên

1
−7
= −7 → y / ( x0 ) = −7 →
= −7 →
2
kd
( x0 + 2 )

 x0 = −1 → y0 = 4

 x = −3 → y = −10
0
 0
Vậy có 2tt: y=-7x-3 ; y=-7x-31
 π π
Câu 6(1đ): Đặt f(x)= 2sin 5 x − 2 m cos x + 1 + m 2 , f(x) liên tục trên  − ; 
 4 4
Ta có
 π
π 
 π  π 
f  − ÷ = 2 + 1 , f  ÷ = − 2 + 1 ⇒ f  − ÷ f  ÷ = −1 < 0
 4
4
 4 4
 π π
nên pt f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc  − ; 
 4 4
Câu 7: (2 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a. SO vuông góc mặt phẳng
ABCD, SO =

a 6
a 3
, OB =
3
3

a) Chứng minh SD vuông góc AC
b) Xác định và tính góc giữa mp (SAB) và mp (ABCD
a/ Chứng minh SD vuông góc AC

 AC ⊥ BD ( gt )

 AC ⊥ SO ( SO ⊥ ( ABCD) ⊃ AC )
⇒ AC ⊥ ( SBD )

 BD ∩ SO = O
 BD, SO ⊂ ( SBD)

S

Mà SD ⊂ ( SBD ) ⇒ AC ⊥ SD

D

A

a

b/ Xác định và tính góc giữa mp (SAB) và mp (ABCD)

O

C

H
B

Vì SO ⊥ ( ABCD) ,ta dựng OH  ⊥ AB tại H

⇒ SH ⊥ AB (Định lý 3 đường vuông góc)

Nên [ ( SAB ), ( ABCB ) ] = SHO
a 6 a 3
.
∆AOB vuông tại O,
OA.OB
3
3 =a 2
OH =
=
AB
a
3
a 6
SO
= 3 = 3 ⇒ SHO = 600
∆SOH vuông tại O, tan SHO =
OH a 2
3
Câu 8: (2 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=a, AA ' = a 2
. Gọi M là trung điểm BC
a/ Chứng minh BC ⊥ (AA ' M )
A’

C’

b/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C
a/ Chứng minh BC ⊥ (AA ' M )
 BC ⊥ AM ( gt )

 BC ⊥ AA ' ( gt )

⇒ BC ⊥ (AA ' M )

AA
',
AM
⊂
(AA
'
M
)

 AA '∩ AM = A

B’

H
C

A
M

b/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C
 AM ⊥ BC ⊂ ( BB ' C ' C )
⇒ AM ⊥ ( BB ' C ' C ) tại M . Dựng MH ⊥ B ' C

 AM ⊥ CC ' ⊂ ( BB ' C ' C )

B

Mà AM ⊥ ( BB ' C ' C ) ⊃ MH ⇒ AM ⊥ MH
Nên MH là đoạn vuông góc chung của AM và B’C

a
.a 2
∆BB ' C đồng dạng ∆HMC
HM MC
a
2
2
2
⇒
=
, B ' C = BB ' + BC = 2a ⇒ MH =
=
BB ' B ' C
2a
2


Vậy d ( AM , B ' C ) = MH =

a
2