SKKN một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI NHANH CÁC BÀI ĐIỆN XOAY CHIỀU

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH
CÓ YẾU TỐ THAY ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP

NHỮNG SAI LẦM CƠ BẢN KHI GIẢI PHƯƠNG
“CHUẨN HÓA GÁN SỐ LIỆU”

TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thiêm
Chức vụ: Giáo viên
Người thực hiện: Nguyễn Tất Thành
SKKN thuộc môn: Toán

Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Vật lí

THANH HOÁ NĂM 2020


Mục lục

Trang
I.Mở đầu:................................................................................................................................................... 1
1.1. Lí do chọn đề tài..................................................................................................................... 1
1.2. Mục đích nghiên cứu............................................................................................................ 1
1.3. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................................... 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................................... 2
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm......................................................................................... 2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.................................................................... 2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.........................2
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.......................... 3
2.3.1. Giải pháp 1........................................................................................................................ 3
2.3.2. Giải pháp 2........................................................................................................................ 6
2.3.3. Giải pháp 3........................................................................................................................ 9
2.3.4. Giải pháp 4..................................................................................................................... 14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục , với bản
thân , đồng nghiệp và nhà trường................................................................................................ 16
III. Kết luận, kiến nghị................................................................................................................... 17
3.1. Kết luận.................................................................................................................................... 17
3.2. Kiến nghị................................................................................................................................. 18
Tài liệu tham khảo............................................................................................................................... 19


Cac thuât ngữ viêt tắt trong bai:
SKKN – sáng kiến kinh nghiệm
KTM – không thỏa mãn
THPT – trung hoc phổ thông
THPT QG – trung hoc phổ thông Quốc gia

HS – học sinh
TB – trung bình

HD – hướng dẫn


PHÂN I: MỞ ĐÂU
1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong môn toán ở trường phổổ̉ thông nói chung và đại số lớp 10 nói riêng thì
phần phương trình chứa ẩn dưới dấu căn giữ một vai trò, vị trí hết sức quan
trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán thì việc giải
phương trình còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao
động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi
dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh.
Các em học sinh đã được học giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cụ
thể với nội dung sách giáo khoa cơ bản chỉ giới thiệu phương trình chứa dấu căn
bậc hai dạng đơn giản. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này
quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều
bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong
thực tế, để biến đổổ̉i và giải chính xác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi
học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao, phải có
kỹ năng biến đổổ̉i toán học.
Một thực tế nữa là các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất
phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi THPT QG; không những
thế học sinh còn phải giải phương trình chứa căn trong các dạng toán khác như
phương trình mũ và logarit. Do đó học giải phương trình chứa căn không chỉ để
giải một lớp các bài toán về phương trình chứa căn mà còn là công cụ để các em
làm những bài toán dạng khác, tuy nhiên khi giải các phương trình loại này rất
nhiều học sinh gặp khó khăn và thường mắc những sai lầm cơ bản.
Với năng lực của học sinh, trong quá trình giảng dạy tôi cũng không hy
vọng có thể dạy cho các em có những kĩ năng để giải những bài toán khó và
phức tạp mà mục đích chính là giúp học sinh giải thành thạo một số dạng toán
cơ bản và không bị mắc sai lầm trong quá trình làm bài từ đó giúp các em tiếp

cận các dạng toán liên quan tốt hơn.
Tư nhưng lý do trên tôi chon đê tai: “Một số giải pháp giúp học sinh tránh
những sai lầm cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai”.
1.2. MỤC ĐICH NGHIÊN CƯU.
Giup cho hoc sinh năm chăc kiên thưc cơ bản về giải phương trình chứa ẩn
dưới dấu căn bậc hai.
Giúp học sinh nhận dạng được các dạng bài kèm theo cách giải quyết.
1.3. ĐÔI TƯỢNG NGHIÊN CƯU.
- Các bài toán về giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai:
Trang 1


+) Bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai dạng cơ bản. +)
Bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai bằng cách đặt
một ẩn phụ
+) Bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai bằng cách biến
đổổ̉i tương đương, bình phương nhiều lần.
+) Bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai bằng cách đặt
hai ẩn phụ
- Khi phân loại rõ được phương pháp giải trong từng trường hợp giúp học
sinh có nhận định nhanh chóng và xác định được con đường nhanh nhất để giải
quyết bài toán.
1.4. PHƯƠNG PHAP NGHIÊN CƯU.
-Tổổ̉ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua các tiết
dạy), thông qua kiểm tra nhận thức của học sinh để kiểm tra tính khả thi của đề
tài.
- Trao đổổ̉i ýý́ kiến với đồng nghiệp về nội dung giải phương trình chứa ẩn

dưới dấu căn bậc hai.
- Nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa 10 cơ bản và nâng cao; Sách giáo viên;

Sách bài tập; Các đề thi; Internet,.....
PHÂN II: NÔI DUNG
2. 1. CƠ SỞỞ̉ LÝ LUẬN.
Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trên thực tế kinh nghiệm đã giảng dạy
các nội dung trong chủ đề giải phương trình chứa căn thức mà trọng tâm là bài
toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
Khi giải bài tập , học sinh phải được trang bị các kiến thức cơ bản , các kỹ
năng phân tích đề bài, kỹ năng nhận dạng bài toán để từ đó suy luận ra quan hệ
giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, giữa bài toán đã làm và bài toán sẽ làm, hình
thành phương pháp giải toán bền vững và sáng tạo.
Hệ thống bài tập phải giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến
thức cơ bản nhất , và dần dần phát triển khả năng suy luận, khả năng vận dụng
các kiến thức đã học một cách linh hoạt và sáng tạo vào các bài toán. Từ đó học
sinh có hứng thú và tạo ra động cơ học tập tốt đối với nội dung này.
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤỤ̣NG SÁNG KIẾN
Khi gặp phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đa số học sinh thường giải sai,
giải không triệt để, kết luận thường thừa hoặc thiếu nghiệm.
Với các dạng toán khác mà khi triển khai đến bước phải giải phương trình
chứa ẩn dưới dấu căn thì học sinh thường sẽ giải sai hoặc lúng túng.
Trang 2


Trong các đề thi THPTQG thường xuất hiện các phương trình và bất
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai. Học sinh lớp 12 thường quên cách
giải dẫn đến giải sai.
Trong quá trình dạy học đôi khi chính giáo viên cũng mắc sai lầm, chính vì
vậy tôi xin mạnh dạn đưa ra một số giải pháp sau đây để góp phần tránh được
sai lầm cơ bản cho học sinh.
2.3. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
2.3.1. Giải pháp 1: Định hướng cho học sinh giải theo phương pháp biến

đổi tương đương đối với hai dạng phương trình cơ bản để khắc phục một số
sai lầm khi học sinh giải theo phương pháp biến đổi hệ quả
Dạng 1:

fx

Dạng 2:

fx

gx
gx

Trong sách giáo khoa Đại số 10 chỉ nêu phương trình dạng f x g x và trình
bày phương pháp giải bằng cách biến đổổ̉i hệ quả, trước khi giải chỉ đặt điều kiện
f x 0 . Nhưng chúng ta nên để ýý́ rằng đây chỉ là điều kiện xác định
của phương trình chứ không phải điều kiện có nghiệm của phương trình, cho
nên trong quá trình giải học sinh dễ mắc sai lầm khi lấy nghiệm và loại bỏ
nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều kiện f x 0 là điều kiện cần và đủ của
phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình 2 x 3 x 2 (1)
[2]
Sách giáo khoa đại số 10 đã giải như sau:
Điều kiện xác định của phương trình (1) là x

2

3 (*)
2

2

(1) 2x 3 x
4x 4 x
6x 7 0
Phương trình cuối có nghiệm là x 3 2 và x 3 2 .
Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay
các giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x 3 2 bị loại.
Vậy nghiệm phương trình (1) là x 3
2.
Một số học sinh đã mắc sai lầm là cho rằng sau khi giải được nghiệm ở
phương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện x

3 để lấy nghiệm và nghiệm
2

phương trình là x 3 2 và x 3

2.
Trang 3


Nhưng một số học sinh cẩn thận hơn là có thử lại nghiệm. Tuy nhiên với
cách giải trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban
đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Từ sự bất tiện trên giáo viên nêu và phân tích cách giải bằng phương pháp
biến đổổ̉i tương đương như sau :
2x 3 x 2
x 2 0
x 2

2x 3
x 2 2
x

x 2
x 3 2

2

6x 7 0

x 3 2
2

x 3

Ví dụ 2: Giải phương trình 3x 2 2x 1 3x 1 (2) [3]
Với những học sinh nắm vững kiến thức và làm bài cẩn thận mà vẫn làm
theo phương pháp biến đổổ̉i hệ quả thì cũng gặp khó khăn trong quá trình giải đó
là: Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp
biến đổổ̉i hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để
3 x 2 2 x 1 0 và
thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm.
Do đó nên cho học sinh giải theo định hướng ở ví dụ 1 như sau:
1
x
1
3x 1 0

Ta có: 2

2

3x 2x 1

3

x

3
2

2

3x 1

3x

Vậy nghiệm của phương trình (2) là

1

x 1 x 3

4x 1 0

x

1
3

x 1 .

3
Qua 2 ví dụ trên giáo viên tổổ̉ng quát cách giải dạng phương trình f x g x để học
sinh khắc sâu phương pháp như sau :
gx 0
D¹ng 1: f x =g x

2

fx=gx
Chú ý: Không cần đặt điều kiện xác định của phương trình là f x

0.

*Bài tập tự luyện : Giải các phương trình sau :
a) x 1 x 3

Trang 4


b)

x

2

6x 6 2x 1

2

d) x 2 x 8
3x 4.
Đáp số :
a) x 5
b) x 1
c) x 4; x 7
Ví dụ 3:Giải phương trình 5 x 2 6 x 7x 3 (3) [4]
2
Học sinh thường đặt điều kiện 5 x 6 x 7 0 sau đó bình phương hai vế để
x 3 0
giải phương trình.
Khi đó ,học sinh gặp phải một trở ngại là mất thời gian để biểu thị hệ điều
kiện của phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x 3 0 là điều kiện
cần và đủ mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện.
Nên định hướng cho học sinh giải như sau :
x 3 0
x 3
x 3
x 2
Ta có : (3)
6x 7 x 3
5 x 10 0 x 2
2
2
5x

5x

Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là T

x 1

x 1

2;1

Việc định hướng ngay từ ban đầu là yêu cầu học sinh giải theo cách biến đổổ̉i
tương đương giúp cho học sinh không đi lệch hướng và tránh được những sai
lầm đáng tiếc.
Tổổ̉ng quát phương pháp để học sinh khắc sâu như sau :
gx

Dạng 2:

fx=

hoặc

fx=

fx

0

fx=gx
gx

gx

0

fx=gx

Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả g x 0 và f x 0 . Biểu thức nào dễ giải điều
kiện hơn thì nên chọn biểu thức đó.
*Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau:
a)
b)

x 3
2x2

9 2x
3x 4

7x 2
Trang 5


c)

x2 5x 4
Đáp số:

2x2

3x 12

a) x 4
b) x 3

8

c) x 6
Nhận xét: Đối với hai dạng phương trình cơ bản nêu trên nếu giải theo phương
pháp biến đổổ̉i hệ quả thì phải đặt điều kiện và phải thử lại nghiệm nên khá rườm
rà dẫn đến dễ mắc sai lầm và thiếu sót. Còn giải theo phương pháp biến đổổ̉i
tương đương thì đơn giản và thuận tiện hơn. Do đó trong khi dạy giáo viên nên
lấy ví dụ cụ thể phân tích thông qua đó định hướng cách giải tối ưu nhất giúp
học sinh khắc sâu phương pháp cho dạng bài.
2.3.2. Giải pháp 2: Khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải phương trình
dạng 1 ở trên theo phương pháp biến đổi tương đương bằng cách đặt ẩn phụ

2

Ví dụ 1: Khi gặp bài toán x
3 x 5x 2 3 x 7 (1) [1]
Nếu học sinh vẫn cứ biến đổổ̉i tương đương như sau:
3x
(1)

x

2

3x 7 0

2

3x 5

x

2

2

3x 7

thì sẽ dẫn đến một phương trình bậc bốn và để giải được kết quả cuối cùng thì
không phải lúc nào cũng thuận lợi.
Do đó ta phải có phương pháp khác đó là đặt ẩn phụ và từ đó hình thành cho học
sinh một lớp bài toán giải phương trình chứa căn bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Khi đó hướng dẫn học sinh biến đổổ̉i như sau :

Ta có: (1)
2

Đặt
t2

x
t

12

x

2

3x 5

3x 5

t (t
t

0

x

2

3 x 5 12 0

0) . Khi đó phương trình trở thành :

3

t

4 ( KTM )

2

3 ta được x 3 x 5 9

x1

x4

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là : T

1;4 .

Nâng lên tổổ̉ng quát ta có phương pháp giải cho dạng bài này như sau :

Trang 6


Phương pháp: Chuyển phương trình về dạng af x b f x c 0 Sau đó
đặt ẩn phụ: f x t t 0
2
Đưa về phương trình về dạng: at bt c 0

2

Ví dụ 2 : Giải phương trình 5

4 x 12 x 11 4 x
Theo mạch trên học sinh sẽ giải như sau :

2

12 x 15

(2) [6]

2

Ta có : (2) 4 x 2 12 x 11 5 4 x 12 x 11 4 0
2
Đặt
(t 0)
4 x 12 x 11 t ,( t 0)
t 1
(thoả mãn điều kiện của t)
2
Phương trình trở thành : t 5t 4 0
4
t
(phương trình vô
2
2
+) Với t 1 ta được
4 x 12 x 11 1 4 x 12 x 10 0
nghiệm).
3 14
x
2
2
2
+) Với t 4ta được
4x 12x 11 4 4x 12x 5 0
3 14
x
2
14 3 14

;
Vậy tập nghiệm của phương trình là: T
2
2
Ví dụ 3:
[6]
2
2
2
2
Giải phương trình: 2 x 1 2 x 1 4 x 1 3 2 x 1
3

Ta biến đổổ̉i để trong phương trình có những biểu thức giống nhau như sau:

2x

2

Đặt

1 2x

2

2x

2

1 22x

2

1 32x

2

1 6

1 t , (t 1)

Khi đó ta được một phương trình bậc ba với ẩn t: t

3

2t

2

3t 6 0

t 2
t 2 t

2

3 0

3

t
t

3 (KTM)

6

+) Với t 2 2x2 1 2 x 2 +) Với t 3 2x2 1
3x1
Trang 7


6
Vậy phương trình có tập nghiêm là: T1;1

2

6
;

2

Nhận xét : Khi việc bình phương hai vế mà dẫn đến một phương trình phức tạp
thì ta nên nghĩ đến việc biến đổổ̉i để trong phương trình có những biểu thức chứa
biến giống nhau để giải theo phương pháp đặt ẩn phụ.
Trong hai ví dụ này, ta có thể khái quát thành dạng tổổ̉ng quát như sau:
ax

2

ax

bx

2

bxax

t2

,

2

2

bx

, khi đó ta đổổ̉i biến ax

bx

t

0,t 0

Tuy nhiên trong một vài trường hợp, nếu phương trình trên có nghiệm từ hai nghiệm hửu tỉ trở lên (có thể
trùng nhau) ta vẫn có thể giải bằng cách bình phương hai vế của phương trình.

2

Ví dụ 4: Giải phương trình:

2x 1 x

3x 1 0 (ĐH Khối D – 2006) [5]

Ta có:

2

4

(4)2x 1 x
x 1

3x 1 x

2 2
x

3

6x

4x 2

2

11x 8x 2 0

x 1
x 2
x 2

2
2

Thử lại ta thấy phương trình có tập nghiệm là : T

1;2

2

* Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau:

a) x 1 2 x 1 2x 2x2
2

b) x 5 2 x
c) x2 4 3 x
Đáp số:

3x

2

3x

5x 2 6 5x

1
2

a)

x

b)

x 1; x 4
Trang 8


c) x 2; x 7
2.3.3. Giải pháp 3: Định hướng cho học sinh nên đặt điều kiện trước khi giải
các phương trình chứa nhiều căn thông qua một số phương pháp giải khác
nhau để tránh sai lầm khi lấy nghiệm của phương trình
Phương pháp : Đối với các phương trình chứa nhiều căn bậc hai ta nên đặt điều
kiện trước khi giải.
a. Phương trình chứa nhiều căn giải bằng phương pháp biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần

Ví dụ 1 : Giải phương trình 3x 7 x 1 2 (1) [4]
3x 7 0
7
x

Điều kiện:

x1 0

3 x 1 (1')

x 1

Với điều kiện (11’) ta có:
(1)3x 7 2
x 1 3x 7 x 5 4 x 1
2 x 1 x 1 (với điều kiện (1’) ta tiếp tục bình phương hai vế)

2

2

4x 4 x 2x 1 x
2x 3 0
(thoả mãn điều kiện (1’)
x 1
3
x
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: T1;3
Ví dụ 2: Giải phương trình 2 x 4

x 1

2x 3 4x 16 (2) [1]

Khi gặp bài toán này nhiều học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau :
Ta có : (2) 2 x 4 x 1
2x 3
4x 16

2 x 4

x 1 2x 3

x 1 2x 3

4(x 4)
x 1 0
x 1x 2
x 1 2x 3x 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 2 .
Ta nhận ra ngay x 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình đã cho
do học sinh không tìm điều kiện của phương trình
x 4 0
Lời giải đúng là: Điều kiện x 1 0
x 4
(2’)
2x 3 0
Trang 9


Với điều kiện (2’) ta có: (2)

2 x

4

x 1

2x 3

2 x

4

x 1 2 x 3 x 2 ( không thỏa mãn) Vậy
phương trình đã cho vô nghiệm.
Chú ý:

A

B

A

0

A

C

B

C

Tuy nhiên không phải bài nào ta cũng cố đi tìm cho được điều kiện cụ thể
của phương trình, chẳng hạn như ví dụ sau:
Ví dụ 3 : Giải phương trình
7 x 2 x x 5 3 2x x2 (3) [6]

7 x2 x x 5 0
3 2 x x2 0

(3’)

HD : Điều kiện

x

5 0

Lưu ý: Hệ điều kiện trên rất phức tạp nên ta không cần giải ra cụ thể.
Với điều kiện (3’) nên hai vế không âm , bình phương hai vế ta được

(3) 7 x 2 x x 5 3 2x x2
x2x 4 0

x x 52 x 4

x2 x 5 4 x

2

16 x 16

2 x 0
x 1

2 x 0

x 1

x 3 x 2 16 x 16 0
x 4
Vậy nghiệm của phương trình (3) là x

( thỏa mãn điều kiện (3’))

1

Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 x 7 2 x 1 x 1 4 (4) [6] Điều kiện của
phương trình là x 1 (4’)
Ta thấy: Biểu thức dưới dấu căn x 7 2 x 1 có dạng hằng đẳng thức (a + b)2
= a2 +2ab + b2 nên ta biến đổổ̉i như sau:
4

2

x 1 12

x 1

4

2 x

1 2

x 1 4

x 1 2 x 1 4 x 3 x 3 thỏa
mãn điều kiện (4’). Vậy nghiệm của phương trình là x 3.
b. Phương trình chứa nhiều căn bậc hai giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 x 2 7 xx 2 7 x 1

[6]
Trang 10


Trong dạng phương trình này học sinh cần nhận xét là:
x 2 27 x 2 5
( hằng số ), do đó nếu ta đặt
t2

5 2

x 2

x 2 7 x t thì ta có:

7 x , cần chú ý đến điều kiện của biến trung gian để việc

giải bài toán có nhiều thuận lợi.
Điều kiện 2 x 7
Đặt t
x 2
7 x
Ta suy ra t2

5 2

( t 0)
x 2

7 x
t 3

Ta được phương trình: t2 5 t 1 t2 t 6 0

t 2 ( KTM)
Với t 3 ta được

x 2

7 x 2 x

2

9 x 18 0

x 3

x 6

x 6

x 3

Vậy phương trình có 2 nghiệm x 6 và x 3.
Tuy nhiên có những bài như sau:

Ví dụ 2: Giải phương trình

2x 3

x 1 3x 2

2x2

5 x 3 16 (2) [1]

2 x 3 0 x 1(2’)
0
x 1
Ta thấy ( 2 x 3) 2
x 1 2 3 x 4 khác hằng số
HD: Điều kiện

Tuy nhiên ta vẫn có thể giải bằng phương pháp trên
Đặt

2x 3

x 1 t , (Điều kiện t 0)

3 x 2 2 x2 5 x 3 t 2 4
Phương trình (2) trở thành :
Với t 5 ta được 2

2 x2

t

2

t 20 0

t 5

t 4 ( KTM)
5 x 3 21 3x ( là phương trình thuộc dạng 1)

21 3x 0
4 2x2

5x 3

441 126x 9x2

x 7
x2 146x 429

0

x 7
x 3x 3
x

143

So sánh với điều kiện (2’) ta có nghiệm của phương trình là x

3
Trang 11


Ví dụ 3 : Giải phương trình : x 2 x 2 2 x 2

4 2x 2

[1]

Hướng dẫn : đặt điều kiện x 2
Cũng với hướng giải đó ta đặt :
x 2 x 2 t (t 0) t2 2 x 2 x2 4

2

Phương trình trở thành t

t 2 0

t 1
t 2( KTM )

Với t 1 2

2

2

x

4 2 x 1 4( x

2

4) 4 x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x

4x 1 x

17
4

17

4
Có thể tổng quát cho những phương trình đặt ẩn phụ dạng này như sau:
m f xg x 2n f x g x n f x g x p 0 ,
đặt

f x

g x t (t 0) , bình phương hai vế để biểu diễn các đại lượng

còn lại qua ẩn t.
c. Phương trình chứa nhiều căn khác bậc giải bằng phương pháp đặt hai ẩn
phụ :
Ví dụ 1: Giải phương trình:

3

24

x

12 x 6

[5]

Với phưong trình này có chứa hai loại căn là căn bậc hai và căn bậc ba, do đó
phương pháp binh phương hai vế hay mũ ba hai vế đều không đem lại kết quả
thuận lợi cho việc giải, còn nếu đặt một ẩn phụ thì không thể đưa phương trình
về dạng không chứa căn. Đó là lí do để hướng học sinh đến việc phải đặt hai
ẩn phụ.
Ta chỉ cần đặt điều kiện cho căn bậc hai là x 12
3

24 x u
12 x v , v 0

Đặt

3 2
. Ta nhận thấy rằng u v 36 ( hằng số)

u v 6
Do đó ta có hệ
u

u 0
Với

v 6

3

v

2

36

3 24 x
12 x 6

u 0 u 3
v 6 v 3

u 4
v 10

0
x 24

Trang 12


Với

Với

u 3

3 24 x 3

v 3

12 x 3

u 4

3 24 x

x 3

4

v 10

12 x 10

x 88

Vậy phương trình có tập nghiệm là : T
Ví dụ 2: Giải phương trình:

3

x 1

3

x

24;3; 88
3

3

2 [1]

Với phương trình này chỉ chứa một loại căn nhưng để mất căn ta phải mũ ba
hai vế nhưng việc làm này sẽ dẫn đến một phương trình khá phức tạp và khó
giải.
Nhưng ta lại thấy rằng 3 x 1 3 3
x 3 3 2 ( hằng số).
3

x 1

u

Do đó ta đặt

v

3

x 3
3

2

u v

Khi đó ta có hệ

u

3

v

3

2

3
u

v 0

3
2

3

Vậy phương trình có nghiệm là x 3

Ta tổổ̉ng quát dạng này như sau: F f x , n a
*Bài tập tự luyện:

a) x

4

1 x

b) 3 x x2

3

c) x 2
Đáp số:

x 1 2

x 3

3
x 3
0

f x,mb

f x

0.

1 2x

2 x x2 1
x1 3

7

a)

x 0; x 2

b)

x

c)

x 3

1

2

5

Trang 13


2.3.4. Giải pháp 4:Tránh sai lầm cho học sinh khi khai căn của bình

phương

một biểu thức, đưa một biểu thức ra ngoài hay vào trong căn bậc hai

Phương pháp:

A

2

A,

A

A 0

A,A 0
Ví dụ 1: Khi gặp phương trình: x

2

x 3 x 2 x 6 (1) [6]

7 x 12

Bài toán này HS có thể mắc sai lầm như sau:
Lời giải sai:

2

(1) x

2

7x 12x 3

x 3

x

x 6

x 4x 3 x 3 x 2

x 3 x 4x 3
x 3

x 2
x 2 x 4

0

x 3

x 4 0
Giải ta có:

x 2 x 4

x 2 x 4

2

x 2 x 4 (*)
x 4

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : T
HS có thể kết luận với x

3 và x

x

2

9 x 14

0

x 7

3;7

7 là hai nghiệm thoả mãn của phương trình.

Mà không ngờ rằng phương trình đã cho còn có một nghiệm nữa là x 2cũng
thoả mãn.
Lời giải đúng phải là: Ta có

2

(1) x

2

7x 12

x 3 x

x 6

x 3 x 4x 3 x 3 x 2
x 3 x 4x 3
x 3
x 3
Giải (2): (2)x 3

2

x 2

x 2 x 3 x 4
x 2 x 3 x 4 3
x 2 x 3

2

x 4
Trang 14

x 3

x 2 x 4 0

x 3

x 3

x 2 x 4

x 7
Giải (3): (3)x 3 x 2 x 3 x 4
x 3

x 2 x 4 0

x 3

x 3

x 2 4 x
x 2
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : T

2;3;7

0
khi A=0
Chú ý: A B = A B = A B khi A>0 -A B

2

khi A<0
Lời giải trên đã bỏ sót mất trường hợp A 0
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Phương trình có dạng: 2x 2

x2 2 x
2

2x

21 x

2

1

2x

2

2

2 2 1
x

2

2x

2

2 x 2 [1]

1 2(x 2)

Đến đây nếu để học sinh tự làm tiếp thì nhiều học sinh sẽ mắc sai lầm như sau:
đưa phương trình về dạng :
1

2x

2

1 1

2x

2

1

2( x

x 1

2)

2

Và kết luận nghiệm của phương trình là x 1
2
Tuy nhiên lời giải đúng thì x 1
2 lại không là nghiệm của phương trình
Lời giải đúng như sau:
Phương trình 1 2 x
- Nếu 1

2x

2

2

1 0 0 2x

Khi đó (*) trở thành x
- Nếu 1

2

2x

1

1

1 0

2

1 1

2x

2

1

2( x 2) (*)

1

x 1(a)

2
2 1 x 1 2 không thỏa mãn (a)
x 1(b). Khi đó (*) trở thành:

Trang 15


2x

2

x

1 x 2

2x
x

x

2
1 ( x 2)2

2

2

2

2 5
x 2 5
x

2 2x

3 0

Do (b) nên ta chỉ nhận được x
2 5
Do vậy nghiệm của phương trình là: x 2
Ví dụ 3 : Giải phương trình x 5

5.

x 2

x 2

x 5

[1]

Một số HS đã có lời giải sai như sau:
Ta có: x 5 x 2 x 2
x 5
x 2 0

x 5 x 2 x 2
x 2

x

2

x 2 3 x 10 x 2

x 5 x 2x 2

4x 4

x 14

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nhận xét: Rõ ràng x 14 là nghiệm của phương trình. Lời giải trên đã làm cho bài

toán có nghiệm trở thành vô nghiệm.

A
Lưu ý : B

B

AB khi A 0 ; B 0
=

- AB khi A<0; B 0

Do đó lời giải đúng phải là:
Trường hợp 1: ( x 5).
x 2
x 5

x 2 x 2

Trường hợp 2: ( x 5).
x 5
x 5

x 2

x 2

x 2
x 5
2

x 2

x 2

( x 5)( x 2) x 2

x 2

hệ vô nghiệm
x 14

x 2
x 5
2

x 5

x 2

( x 5)( x 2)x 2

x 5

x 14

x 14

Vậy phương trình có nghiệm là x

14.
Trang 16


2.4. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐEM LẠI
Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung các bài giảng liên quan đến SKKN và
có sự tham góp của đồng nghiệp, vận dụng SKKN vào giảng dạy đã thu được
một số kết quả nhất định sau:
1) Đa số học sinh có cái nhìn tổổ̉ng quát, sâu rộng hơn và tránh được nhiều
sai lầm đáng tiếc hơn khi giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai.
2) Giúp cho học sinh lớp 10 có kiến thức chắc chắn hơn, kỹ năng thành thạo
và tự tin hơn khi học phần này và giúp cho học sinh lớp 12 có thêm kinh nghiệm
để chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT quốc gia.
3) Đề tài đã góp phần nâng cao cho học sinh khả năng giải các phương trình
chứa ẩn dưới dấu căn, cũng như vận dụng để giải bất phương trình chứa ẩn dưới
dấu căn bậc hai. Gây được sự hứng thú cho học sinh học tập hơn. Năm học
2019-2020 tôi đã áp dụng đề tài này cho học sinh các lớp 10C3 ; 10C7 trong các
tiết chính khóa, các tiết tự chọn và tôi sẽ sử dụng để ôn thi THPTQG cho học
sinh lớp 12 trong năm học sắp tới.
THỐNG KÊ KẾT QUẢ KIỂM TRA 45 PHÚT NĂM HỌC 2019-2020
Số HS
1-2
3-4
5-6
7-8
9-10
10C3
44
0
0

22
17
5
Tỷ lệ %
0%
0%
50%
38,6%
11,4%
10C7
41
0
9
31
1
0
Tỷ lệ %
0%
22%
75,6%
2,4%
0%
Do sự phân hóa đối tượng HS được chuyên môn nhà trường sắp xếp từ đầu
năm, trình độ HS lớp 10C3 học tốt hơn nhiều so với lớp 10C7. Tuy nhiên tranh
thủ các tiết học chính khóa,tự chọn kết hợp với các phương pháp dạy học tích
cực, dạng bài tập phân hóa rõ ràng, phù hợp với từng đối tượng HS nên kết quả
của lớp10C7 có sự tiến bộ rõ rệt, số HS đạt điểm TB chiếm đa số , đặc biệt có
HS đạt điểm mức khá cứng.
III. KẾT LUẬN - KIẾN
NGHỊ 3.1 Kết luận

Bản thân tôi luôn xác định với học sinh đối với môn Toán bài tập thì vô vàn
nhưng chung quy lại ở một số dạng và dạng bài nào cũng có phương pháp giải
rõ ràng. Vậy nên việc nhận định dạng bài và hiểu được phương pháp giải thì sẽ
giải quyết được các bài toán ấy một cách nhanh chóng và chính xác.
Khi áp dụng vào thực tế giảng dạy tôi nhận thấy sự tiến bộ rõ rệt ở học sinh.
Phần lớn các em đã không còn “ sợ” và “ngại” các bài toán liên quan đến giải
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai nữa và đặc biệt một số em còn thể
hiện sự linh hoạt trong cách giải các bài tập dạng này.
3.2. Kiến nghị
Trang 17


Bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai là một trong số
những bài toán cơ bản của chủ đề phương trình và thường gặp trong các đề thi.
Do đó trong khi dạy học giáo viên cần tìm những bài toán cơ bản nhất để phân
tích và giúp học sinh hiểu và nắm vững cách giải. Từ đó giúp các em có tư duy
linh hoạt hơn ở các bài tập tương tự và các dạng toán khác nữa ví dụ như bài
toán giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng kinh nghiệm nghiên cứu còn nhiều hạn chế
vậy nên trong quá trình viết sáng kiến kinh nghiệm này chắc hẳn không tránh
khỏi những thiếu sót . Kính mong nhận được sự quan tâm, đóng góp ýý́ kiến của
quýý́ thầy cô để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin trân trọng cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ
KT. Hiệu trưởng
PHT

Đỗ Duy Thành

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 06 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình

viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Nguyễn Thị Thiêm

Trang 18


DANH MỤỤ̣C TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Tư liệu trên mạng Internet
2 SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao – NXB Giáo dục
3 Sách BT Đại số 10 Cơ bản và nâng cao – NXB Giáo dục
4 Học toán theo SGK mới – NXB Đại học sư phạm năm 2006

[5] Đề thi tuyển sinh đại học các năm, Bộ Giáo dục.
[6] Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán – Trần Phương , Nguyễn
Đức Tấn – NXB Hà Nội năm 2004

Trang 19


DANH MỤỤ̣C
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢỤ̣C
HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT,
CẤP SỞỞ̉ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ
C TRỞỞ̉ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thiêm
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Thạch Thành 3
Cấp đánh
TT

Tên đề tài SKKN

giá xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

MỘT SỐ KINH NGHIỆM
GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN VỀ
1.

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ
THỊ HÀM SỐ BẬC BA CÓ

Năm học
đánh giá
xếp loại

2016Sở

C

2017

CHỨA THAM SỐ

Trang 20