ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN

Gv: §Æng §øc Quý st
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2003-2004
MÔN: THI TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27 tháng 6 năm 2003
Bài 1. (2 điểm)
Cho
2
x + x x - x - x

x + x
A =
a, Hãy rút gọn biểu thức A
b, Tìm x thoả mãn
A = x - 2 + 1
.
Bài 2. (2 điểm)
Cho phương trình: x
2
- 4( m – 1 )x + 4m – 5 = 0. (1)
a, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
2 2
1 2
x + x = 2m
.
b, Tìm m để P =

1 2
2 2
1 2
xx + x + x
có giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn O và đường kính DE vuông góc với
BC. Gọi D
1
E
1
và D
2
E
2
là hình chiếu vuông góc của DE trên AB và AC.
1. Chứng minh BE
1
= E
2
C = AD
1
; D
1
E
1
= AC và D
2
E
2

= AB.
2. Các tứ giác AD
1
DD
2
; AE
1
EE
2
nội tiếp trong một đường tròn và D1D
2

vuông góc với E
1
E
2
.
Bài 4. (2 điểm)
Cho hình chopSABC có SA
⊥
AB; SA
⊥
AC; BA
⊥
BC; BA = BC; AC =
a 2
; SA = 2a.
a, Chứng minh BC
⊥
mp(SAB)

b, Tính diện tích toàn phần của chóp SABC.
Bài 5. (1,5 điểm)
Cho các số thực a
1
; a
2
; ….; a
2003
thoả mãn: a
1
+ a
2
+ …+ a
2003
= 1.
Chứng minh:
2 2 2
1 2 2003
1
a + a + ... + a
2003
≥
.
--------------------------------------------- Hết ------------------------------------------------
-1-
Đề chính thức
Gv: §Æng §øc Quý st
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-----------------------------------------
Bài 1. (2 điểm)
Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình: 2x
2
+ 2mx + m
2
– 2 = 0.
1. Với giá trị nào của m thì:
1 2
1 2
1 1
+ + x + x = 1
x x
.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
2 2 1 2
2x x + x + x - 4
.
Bài 2. (1,5 điểm)
Giải phương trình: (x
2
+ 3x + 2)(x
2
+ 7x + 12) = 120.
Bài 3. (2 điểm)

Giải hệ phương trình:
2 2
x y + y x = 6
x y + y x = 20





.
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho M là điểm thay đổi trên đường tròn (O), đường kính AB. Đường tròn (E)
tâm E tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M và AB tại N. Đường thẳng MA, MB
cắt đường tròn (E) tại các điểm thứ hai C và D khác M.
1. Chứng minh CD song song với AB.
2. Gọi giao điểm của MN với đường tròn (O) là K (K khác M). Chứng minh
rằng khi M thay đổi thì điểm K cố định và tích KM.KN không đổi.
3. Gọi giao điểm của CN với KB là C và giao điểm của DN với KA là D. Tìm
vị trí của M để chu vi tam giác NCD nhỏ nhất.
Bài 5. (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y =
2 2
2x + 2x + 1+ 2x - 4x + 4
.
---------------------------------------------- Hết ------------------------------------------------
-2-
Đề chính thức
Gv: §Æng §øc Quý st
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005

MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (1,0 điểm)
Cho hai phương trình: x
2
+ ax + 1 = 0 và x
2
+ bx + 17 = 0. Biết hai phương trình
có nghiệm chung và
a + b
nhỏ nhấ. Tìm a và b.
Bài 2. (2 điểm)
Giải phương trình:
2
x + x - 5 + x + x - 5x = 20
.
Bài 3. (2,5 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
3 3
7 7 4 4
x + y = 1
x + y = x + y





.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x

3
+ y
3
+ 6xy = 21.
Bài 4. (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O. M là điểm chính giữa
cung BC không chứa điểm A. Gọi M là điểm đối xứng với M qua O. Các đường phân
giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM lần lượt tại E và
F.
1. Chứng minh tứ giác BCÈ nội tiếp được trong đường tròn.
2. Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r.
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM.
Bài 5. (2 điểm)
1. Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện :
0 a 3
≤ ≤
,
8 b 11≤ ≤

và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
2. Trong mặt phẳng (P) cho ba tia chung gốc và phân biệt Ox, Oy, Oz. Tio Ot
không thuộc (P) và
·
·
·
xOt = yOt = xOt . Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng (P).
--------------------------------------------- Hết -------------------------------------------------
-3-
Đề chính thức
Gv: §Æng §øc Quý st

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005
MÔN: TOÁN CHUNG
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2 điểm)
1. Giải phương trình: 7 - x = x - 1
2. Chứng minh phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) luôn có hai nghiệm phân
biệt. Biết rằng 5a – b + 2c = 0.
Bài 2. (2,5 điểm)
Cho hệ phương trình:
x + y-2 = 2
2x - y = m





(m là tham số)
1. Giải hệ phương trình với m = -1.
2. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 3. (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộccạnh AB (M khác A và B). Tia CM cắt tia
DA tại N. BVẽ tia Cx vuông góc với CM và cắt tia AB tại E. Gọi H là trung điểm của
đoạn NE.
1. Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp được trong đường tròn.

2. Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác NACE gấp ba diện tích hình
vuông ABCD.
3. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số bán kính các
đường tròn nội tiếp tam giác NAC và tam giác HBC không đổi.
Bài 4. (1,5 điểm)
Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
1. Chứng minh MN vuông góc với AB và CD.
2. Với giá trị nào của x thì thể tích hình chóp A.BCD lớn nhất.
Bài 5. (1 điểm)
Cho các số dương a, b, c thay đổi và thoả mãn: a + b + c = 4.
Chứng minh:
4a b b c c a+ + + + + >
.
------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------
-4-
Đề chính thức
Gv: §Æng §øc Quý st
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2005-2006
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga, Pháp)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề )
Bài 1: (2 điểm)
Cho phương trình: x
2
– (m + 1)x + m – 6 = 0.
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
2. Gọi x
1
, x

2
là các nghiệm của phương trình. Tìm m để: 3x
1
+ 2x
2
= 5.
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho hai số thực dương x, y thoả mãn điều kiện: 2x
2
– 6y
2
= xy. Tính giá trị của
biểu thức: A =
x - y
3x + 2y
.
Bài 3: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 1 9
x + + y + =
x y 2
1 1 25
x + + y + =
x y 4








.
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và P là điểm di động trên đường tròn (P
≠
A) sao cho PA
≤
PB. Trên tia đối PB lấy điểm Q sao cho PQ = PA, dựng hình vuông
APQR. Tia PR cắt đường tròn đã cho ở điểm C (C
≠
P).
1. Chứng minh C là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
AQB.
2. Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp
∆
APB, chứng minh K thuộc đường tròn
ngoại tiếp
∆
AQB.
3. Kẻ đường cao PH của
∆
APB, gọi R
1
, R
2
, R
3

lần lượt là bán kính các đường
tròn nội tiếp
∆
APB,
∆
APH và
∆
BPH. Tìm vị trí điểm P để tổng R
1
+ R
2
+
R
3
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: (1 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 3.
Chứng minh rằng a
4
+ b
4
+ c
4

≥
a
3
+ b
3
+ c

3
.
------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------
-5-
Đề chính thức
Gv: §Æng §øc Quý st
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2005-2006
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho biểu thức: M =
2 4
4
4 2 2 2
x - 1 1 1 - x
- x +
x - x + 1 x + 1 1 + x
  
 ÷ ÷
  
.
1. Rút gọn M.
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 2: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
2 4 2 2
xy - 4y + x = 0
x y - 8y + x = 0






.
Bài 3: (2,0 điểm)
1. Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x
2
+ 5y
2
– 4xy – x + 2y – 6 = 0.
Chứng minh:
1 4x - 2y + 1− ≤ ≤
.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y
3
– x
3
= 2x + 1.
Bài 4: (3,5 điểm)
1. Cho
∆
ABC có diện tích là 32 cm
2
, tổng độ dài hai cạnh AB và BC bằng 16
cm. Tính độ dài cạnh AC.
2. Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC) có đường cao AM và trung tuyến BO.
Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia BO tại điểm D. Gọi các điểm
N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng BD, CD.

a. Chứng minh: NA
2
= NP.NM
b. Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện:
2 2 2
x + y + z = 4 xyz
x + y + z = 2 xyz





----------------------------------------------Hết-------------------------------------------------
-6-
Đề chính thức
Gv: §Æng §øc Quý st
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2005-2006
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
1. Cho biểu thức P
(x)
=
2
x +12x + 12 - 3x.
Gọi x
1

, x
2
là các nghiểm của
phương trình x
2
– x – 1 = 0. Chứng minh:
( ) ( )
1 2
x x
P = P
.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x
2
+ 14 y
2
+ 13xy = 330.
Bài 2: (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
x + y + 2xy = 8 2
x + y = 4





Bài 3: (2,0 điểm)
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2
y = x + x + 1 + x - x + 1

.
2. Cho ba số thực x, y, z đều lớn hơn 2 và thoả mãn điều kiện:
1 1 1
+ + = 1
x y z
. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
x-2 y-2 z-2 1≤
. Dấu " = " xảy ra khi nào?
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC.
CA lần lượt tại các điểm M, N, P.
1. Xét trường hợp AB < AC, gọi D là giao điểm của các tia AO và MN.
Chứng minh AD
⊥
DC.
2. Gọi (T) là tam giác có các đỉnh là M, N, P, Giả sử (T) đồng dạng với tam
giác ABC theo tỉ số k. Tính k?
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD. Tiếp tuyến (d
1
) với đường tròn
cắt các cạnh AB, AD lần lượt tại các điểm M, P. Tiếp tuyến (d
2
) với đường tròn cắt
các cạnh CB, CD lần lượt tại các diểm N, Q. Chứng minh MN // PQ.
-----------------------------------------------Hết------------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
-7-
Đề chính thức