HP toan 2019 2020 de va DA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2019 – 2020

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề).
Chú ý: Đề thi gồm 02 trang. Thí sinh làm bài vào tờ giấy thi.

Bài 1. (1,5 điểm)
Cho hai biểu thức:

A=

(

)

20 - 45 + 3 5 : 5;

x + 2 x x - 9 (với
x > 0 ).
+
x
x +3
a) Rút gọn các biểu thức A, B.
B=

b) Tìm các giá trị của x sao cho giá trị biểu thức B bằng giá trị biểu thức A.
Bài 2. (1,5 điểm)
a) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y = ( m + 4) x + 11 và

y = x + m 2 + 2 cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
2
1
ì
3
x
=
ï
y +1
2
b) Giải hệ phương trình ï
×
í
1
ï2 x +
=2
ïî
y +1
Bài 3. (2,5 điểm)
1. Cho phương trình x2 - 2mx + 4m - 4 = 0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số).
a) Giải phương trình: (1) khi m = 1.

b) Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

thỏa

mãn điều kiện x12 + ( x1 + x2 ) x2 = 12.
2. Bài toán có nội dung thực tế
Cho một thửa ruộng hình chữ nhật, biết rằng nếu chiều rộng tăng thêm 2 m, chiều dài
giảm đi 2m thì diện tích thửa ruộng đó tăng thêm 30 m2 ; và nếu chiều rộng giảm đi 2 m, chiều
dài tăng thêm 5m thì diện tích thửa ruộng giảm đi 20 m2 . Tính diện tích thửa ruộng trên.
Bài 4. (3,5 điểm)
1. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ( O ) vẽ hai tiếp tuyến AD, AE ( D, E là các tiếp điểm).
Vẽ cát tuyến ABC của đường tròn ( O ) sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C ; tia AC
nằm giữa hai tia AD và AO. Từ điểm O kẻ OI ^ AC tại I .
a) Chứng minh năm điểm A, D, I , O, E cùng nằm trên một đường tròn.

∑ và AB.AC = AD2 .
b) Chứng minh IA là tia phân giác của DIE
c) Gọi K và F lần lượt là giao điểm của ED với AC và OI . Qua điểm D vẽ đường
thẳng song song với IE cắt OF và AC lần lượt tại H và P. Chứng minh D là trung điểm
của HP.
2. Một hình trụ có diện tích xung quanh 140p (cm2 ) và chiều cao là h = 7(cm). Tính thể tích
của hình trụ đó.
Trang 1/2


Bài 5. (1,0 điểm)

æ1 1 1ö
a) Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh ( x + y + z ) ç + + ÷ ³ 9 ×
èx y zø
b) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A=

ab
bc
ca
+
+
×
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b

-------- Hết -------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ........................................... Số báo danh:....................................................
Cán bộ coi thi 1: .............................................. Cán bộ coi thi 2: .............................................

Trang 2/2


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2019 – 2020

HDC CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
(gồm 04 trang)
Bài

Đáp án
a) (1,0 điểm)
A=

(

)

20 - 45 + 3 5 : 5

= 2 5 : 5 = 2.
Bài 1
(1,5
điểm)

B=

Điểm

x

(

x +2
x

)+(

0,25
0,25

x +3

)(

x -3

)

0,25

x +3

B = x + 2 + x - 3 = 2 x - 1.

0,25

b) (0,5 điểm)
Vì B = A suy ra 2 x - 1 = 2 Û 2 x = 3 Û x =
Kết hợp với điều kiện x > 0 thì x =

3
9
Ûx= ×
2
4

9
4

0,25
0,25

a) (0,75 điểm)
Đồ thị hai hàm số y = ( m + 4) x + 11 và y = x + m2 + 2 cắt nhau tại một điểm trên trục

ìm + 4 ¹ 1
tung khi và chỉ khi í
×
2
î11 = m + 2
ìm ¹ -3 ìm ¹ -3
Ûí 2
Ûí
×
m
=
±
3
m
=
9
î
î

Bài 2
(1,5
điểm)

Vậy với m = 3 thì đồ thị hai hàm số y = ( m + 5) x + 11 và y = x + m2 + 2 cắt nhau tại
một điểm trên trục tung.
b) (0,75 điểm)
Điều kiện y ¹ -1.

2
1
2
1
ì
ì
7
ì
7x =
ï3 x - y + 1 = - 2
ï3 x - y + 1 = - 2
ï
2
ï
ï
ï
Ûí
Ûí
×
í
1
1
2
ï2 x +
ï4 x +
ï2 x +
=2
=2
=4
y +1

ïî
ïî
ïî
y +1
y +1

1
ì
1
ì
ïï x = 2
ïx =
Ûí
Ûí
2
1
ï1 +
ï
=2
î y = 0 (TMĐK y ¹ -1)
ïî y + 1
æ1 ö
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x, y ) = ç ;0 ÷ .
è2 ø
Bài 3
(2,5
điểm)

3.1 a) (0,5 điểm)
Với m = 1 phương trình (1) có dạng x 2 - 2 x = 0.

Û x ( x - 2) = 0 Û x = 0 hoặc x = 2.
Trang 3/2

0,25

0,25
0,25
0,25

0,25

0,25

0,25
0,25


Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0; x = 2 khi m = 1.
3.1 b) (1,0 điểm)
Có D ' = m2 - ( 4m - 4) = m2 - 4m + 4 = ( m - 2)2 .

0,25

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ( m - 2)2 > 0 Û m ¹ 2.

ì x + x = 2m
Khi đó theo hệ thức Vi-ét í 1 2
×
î x1 x2 = 4m - 4

Theo bài ra ta có x12 + ( x1 + x2 ) x2 = 12 (*).

( 2)
(3)

Û x12 + x1 x2 + x22 = 12 Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 = 12.
Thay (2) vào (3) ta có
4m2 - ( 4m - 4) = 12 Û 4m2 - 4m + 4 -12 = 0 Û m2 - m - 2 = 0.
2

Û m = -1 hoặc m = 2.
Kết hợp với điều kiện m ¹ 2 thì m = -1 thỏa mãn điều kiện của bài toán.
3.2 (1,0 điểm)
Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là
x ( m) , y ( m) (điều kiện x > 2, y > 2).

( )

0,25

0,25

0,25

0,25

Khi đó diện tích của thửa ruộng là xy m .
2

Nếu chiều rộng tăng thêm 2 m và chiều dài giảm đi 2 m thì diện tích thửa ruộng khi

đó là ( x + 2)( y - 2) (m2 ).
Theo đề bài ta có phương trình: ( x + 2)( y - 2) = xy + 30.
(1)
Nếu chiều rộng giảm đi 2 m và chiều dài tăng thêm 5 m thì diện tích thửa ruộng khi

0,25

đó là ( x - 2)( y + 5) (m2 ).
Theo đề bài ta có phương trình ( x - 2)( y + 5) = xy - 20.

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

ìï( x + 2 )( y - 2 ) = xy + 30
ì-2 x + 2 y = 34
Ûí
í
î5 x - 2 y = -10
ïî( x - 2 )( y + 5 ) = xy - 20
ì3x = 24
ìx = 8
Ûí
Ûí
.
î-2 x + 2 y = 34
î y = 25
Đối chiếu điều kiện ta thấy x = 8; y = 25 đều thỏa mãn.

0,25

( )

Vậy diện tích ban đầu của thửa ruộng hình chữ nhật đó là 8.25 = 200 m2 .
Bài 4

Vẽ hình đúng cho câu a)

Trang 4/2

0,25
0,5


(3,5
điểm)

F

H
D

C
I
K

P

B
A

O

E

4.1 a (0,75 điểm)

∑ = 900 ( OI ^ AC tại I ).
Có OIA
∑ = 900 ( AD là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) tại D ).
ODA

0,25
0,25

∑ = 900 ( AE là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) tại E ).
OEA
Vậy năm điểm A, D, I , O, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AO (đpcm).
4.1 b (1,0 điểm)
Xét đường tròn đường kính AO có

∑ = EIA
∑ (các góc nội tiếp cùng chắn !AD = !AE).
DIA
∑ .
Þ tia IA là tia phân giác của DIE

0,25

0,25

0,25

Xét ( O ) có ∑
ACD = ∑
ADB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng
0,25

! ).
chắn BD

∑ chung; ∑
Xét DACD và DADB có DAC
ACD = ∑
ADB.
Do đó DACD # DADB (g.g).
AC AD
(các cạnh tương ứng tỉ lệ).
Þ
=
AD AB
Þ AB. AC = AD 2 (đpcm).
4.1 c (0,75 điểm)

∑ .
Vì IA là tia phân giác của DIE
mà IA ^ IF .
Þ IF là tia phân giác ngoài tại đỉnh I của DDIE.
DK FD
Þ
=

×
KE FE
HD FD
Xét DFOE có HD // IE Þ
=
×
IE
FE
DP DK
Xét DDKP có DP // IE Þ
=
×
IE
KE
HD DP
Từ (1) , ( 2 )và ( 3) suy ra
=
Þ HD = DP.
IE
IE
Vậy điểm D là trung điểm của đoạn thẳng HP.
4.2. (0,5 điểm)

Trang 5/2

0,25

0,25

(1)

( 2)
(3)

0,25

0,25


140p
= 10 (cm).
2p h 2p .7
Th tớch ca hỡnh tr V = p r 2 h = p .102.7 = 700p (cm3 ).
a) (0,25 im)
S xq

Bỏn kớnh ỏy ca hỡnh tr S xq = 2p rh ị r =

ổ1

( x + y + z)ỗ

ốx



x
y

+

ổx

ỗ

z

+

ốy



x

y

+
y
x

( x - y)
xy

x

+

z

+

z
x

ử ổy

+
+

ứ ốz

+

( y - z)
ổ1
ốx

+

z
y

6

ử ổz x
ử
- 2ữ + ỗ + - 2ữ 0
y
ứ
ứ ốx z

z

2

+

yz

Vy ( x + y + z ) ỗ

0,25

1ử
+ ữ9
y zứ

- 2ữ + ỗ
2

0,25

1

+

y

=

( z - x)

0,25

2

zx

0 "x, y, z > 0

1ử
+ ữ9
y zứ

1

b) (0,75 im)
p dng bt ng thc cõu a) ta cú

ab
Bi 5
(1,0
im)

a + 3b + 2c

=

ab
9

ì

9

( a + c ) + ( b + c ) + 2b

1 ổ ab
ab
aử
Ê ỗ
+
+ ữì
a + 3b + 2c 9 ố a + c b + c 2 ứ
Chng minh tng t ta cú:
bc
1 ổ bc
bc
bử
Ê ỗ
+
+ ữì
b + 3c + 2a 9 ố a + b a + c 2 ứ
ab



ab ổ 1

1

1 ử
+
+
ỗ
ữ
9 ố a + c b + c 2b ứ

Ê

0,25

(1)

(2)

ca
1 ổ ac
ac
cử
Ê ỗ
+
+ ữì
(3)
c + 3a + 2b 9 ố b + c a + b 2 ứ
Cng tng v ca cỏc bt ng thc (1); (2) v (3) ta cú

0,25

1 ổ ac + bc ab + ac bc + ab a + b + c ử
AÊ ỗ

+
+
+
ữ
9ố a+b
b+c
c+a
2
ứ
AÊ

1 ộ c (a + b)

ờ

9ở a+b

+

a (b + c )
b+c

+

b (c + a )
c+a

+

a +b + cự

2

ỳ
ỷ

1 3 ( a + b + c ) 1 3.6
ì
= ì
= 1.
9
2
9 2
Du = xy ra a = b = c = 2.
Vy giỏ tr ln nht ca biu thc A l 1 t c khi a = b = c = 2.
AÊ

0,25

* Chỳ ý:
- Trờn õy ch trỡnh by mt cỏch gii, nu hc sinh lm cỏch khỏc m ỳng thỡ cho im ti a
ng vi im ca cõu ú.
- Hc sinh lm ỳng n õu cho im n ú theo ỳng biu im.
- Trong mt cõu:
+ Cú nhiu ý m cỏc ý ph thuc nhau, hc sinh lm phn trờn sai phn di ỳng thỡ khụng cho
im.
+ Cú nhiu ý m cỏc ý khụng ph thuc nhau, hc sinh lm ỳng ý no thỡ cho im ý ú.
Trang 6/2


- Bài hình học, học sinh vẽ sai hình thì không chấm điểm. Học sinh không vẽ hình mà vẫn làm đúng

thì cho nửa số điểm của các câu làm được.
- Bài làm có nhiều ý liên quan đến nhau, nếu học sinh công nhận ý trên mà làm đúng ý dưới thì cho
điểm ý đó.
- Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG

ĐỀ CHÍNH
THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2019 – 2020
ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi

Bài 1. (2.0 điểm)

Ê 3 x
a) Cho biểu thức P = Á
Á
Á
Á
Ëx x + 1 x -

1 ˆ˜
x+ 3
˜˜ :
(với x ≥ 0).

x + 1¯˜ x - x + 1
1
Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị của x để P ≥ .
5
2
b) Cho phương trình x + 4x - m = 0 (1) ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương
Ê1
1ˆ 2
2
trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn Á
Á + ˜˜˜ (x1 + x2 )= 4(m + 2).
˜
Á
x ¯
Ëx
x
+
x+1

1

2

Bài 2. (2.0 điểm)
a) Giải phương trình 2 x 2 + 3 x - 2 = (2 x - 1) 2 x 2 + x - 3 .
ÏÔx 3 + y y = 9
b) Giải hệ phương trình Ô
.
Ì 2
Ô

x
+
2
y
=
x
+
4
y
Ô
Ô
Ó
Bài 3. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O ) ( AB < AC). Kẻ đường
cao AH (H ŒBC )của tam giác ABC và kẻ đường kính AD của đường tròn (O).
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DH . Chứng minh OM là đường trung trực của đoạn thẳng
BC.
b) Gọi S , T là các giao điểm của đường tròn (O ) với đường tròn tâm A bán kính AH ; F là giao
điểm của ST và BC. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với DH tại E. Chứng minh
FB.FC = FH 2 và ba điểm F , E , A thẳng hàng.
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AH .
Bài 4. (1.0 điểm)
Cho x; y; z là ba số thực dương thỏa mãn x( x - z) + y( y - z) = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
x3
y3
x2 + y 2 + 4
biểu thức P = 2
.
+
+
x + z2 y2 + z2

x+ y
Trang 7/2


Bài 5. (2.0 điểm)
a) Tìm các số nguyên tố p; q thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) p 2 q + p chia hết cho p 2 + q.
ii) pq 2 + q chia hết cho q 2 - p .
1 1
1
1
b) Viết lên bảng 2019 số: 1; ; ; ... ;
. Từ các số đã viết xóa đi 2 số bất kì x; y
;
2 3
2018 2019
xy
rồi viết lên bảng số
(các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao
x+ y+ 1
tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?
----- Hết ----(Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ tên thí sinh:……………….………………...Số báo danh: …………...................................
Cán bộ coi thi 1:……….………...….................Cán bộ coi thi 2:.....………..……..……..........

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THPT CHUYÊN
HẢI PHÒNG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

Năm học 2019 – 2020
HƯỚNG

ĐỀ CHÍNH
CHUYÊN
THỨC

DẪN

CHẤM

MÔN

TOÁN

Hướng dẫn gồm 03 trang

Bài

Đáp án

Điểm

a) (1.0 điểm)
1
x+ 3
:
x- x + 1 x- x + 1
1
.

=
x+ 3
1
1
1
P≥ €
≥ € x £ 2 € x £ 4.
5
x+ 3 5
P=

1
Vậy 0 £ x £ 4 thỏa mãn bài toán.
(2.0
b) (1.0 điểm)
điểm)
PT đã cho có hai nghiệm phân biệt € D ' = 4 + m > 0 € m > - 4 .
ÏÔx1 + x2 = - 4
Áp dụng hệ thức Vi-et: Ô
.
Ì

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

Ô

Ô
Óx1 x2 = - m

4 (16 + 2m)
= 4 (m + 2) ( m π 0)
m
€ m2 = 16 € m = ± 4.
Kết hợp với điều kiện m > - 4; m π 0 ta được m = 4 thỏa mãn.
gt €

2

a) (1.0 điểm)
Trang 8/2

0,25
0,25
0,25


3
(2.0 ĐKXĐ:
x ≥ 1 hoặc x £ - .
điểm)
2

0,5

È2 x - 1 = 0
.

PT € (2 x - 1)(x + 2)= (2 x - 1) 2 x + x - 3 € ÍÍ
2
ÍÎx + 2 = 2 x + x - 3
1
2 x - 1 = 0 € x = (không thỏa mãn ĐKXĐ).
2
ÏÔx ≥ - 2
Ïx≥ - 2
Ô
Ô
.
x + 2 = 2x2 + x - 3 € Ô
€
Ì 2
Ì 2
2
Ô
Ô2 x + x - 3 = x + 4 x + 4 Ô
Ôx - 3x - 7 = 0
Ó
Ó
2

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 3 + 37 ; x2 = 3 2

0,25

37
2

(thỏa mãn

ĐKXĐ).
b) (1.0 điểm)
ĐKXĐ: y ≥ 0. Lấy phương trình thứ nhất trừ đi ba lần phương trình thứ hai:
x3 - 3x2 + 3x - 1 = 8 - 12 y + 6 y - y y € ( x - 1)3 = (2 -

y )3 € x - 1 = 2 -

y.
Èx = 1
+ Thế y = 3 - x vào PT thứ nhất: x3 + (3 - x)3 = 9 € x 2 - 3x + 2 = 0 € Í
.
ÍÎx = 2
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (1; 4), (2;1) (TMĐKXĐ).

I

A

3
(3.0
điểm)

E
S
O

T
F

B

C

H
M
D

a) (1.0 điểm)
Trang 9/2

0,25

0,5

0,5


Ta có OM //AH (Tính chất đường trung bình). Mà AH ^ BC fi OM ^ BC

0,5

fi OM là đường trung trực đoạn thẳng BC (đpcm).

0,5

b) (1.0 điểm)
FT FB
=

fi FB.FC = FT .FS (1).
FC FS
FH là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính AH fi FT .FS = FH 2 (2).
Từ (1) và (2) fi FB.FC = FH 2.
Gọi E ' là giao điểm của FA với (O) fi FE '.FA = FH 2 fi D FE ' H î D FHA(c.g.c)
∑
∑ = 900 fi HE ' ^ AF . Mà DE ' ^ AF fi E '; H ; D fi E ∫ E '; đpcm.
fi FE
' H = FHA
D FTBî D FCS (g.g )fi

c) (1.0 điểm)
Gọi I là điểm đối xứng với H qua E . Ta có AF là trung trực của đoạn thẳng
HI nên FH = FI và AH = AI , nghĩa là I thuộc đường tròn tâm A bán kính
AH .
∑ = 900 fi FI tiếp xúc với đường tròn tâm A
D AFI = D AFH (c.c.c)fi ∑
AIF = AHF
bán kính AH tại I (2).

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

HB HE
1

=
fi HB.HC = HD.HE = 2 HM . HI = HM .HI
HD HC
2
∑
∑
fi D HBI î D HMC (c.g.c)fi HBI = HMC fi tứ giác IBMC nội tiếp.

0,25

Lại có FI 2 = FB.FC (cùng bằng FH 2 ) fi FI tiếp xúc với đường tròn (IBMC ) tại
I . Kết hợp với (2) suy ra đpcm.

0,25

x3
xz 2
xz 2
z
=
x
≥
x
= x- .
2
2
2
2
x +z
x +z

2 xz
2
3
2
2
Tương tự 2 y 2 ≥ y - z . Suy ra P ≥ x + y - z + x + y + 4 .
y +z
2
x+ y

0,5

D HBE î D HDC (g.g )fi

Áp dụng bất đẳng thức Côsi

4
(1.0
2
2
điểm) Theo gt z = x + y fi P ≥ x + y +
x+ y

0,25

4
≥ 4.
x+ y

0,25

Vậy Pmin = 4 € x = y = z = 1.
a) (1.0 điểm)
p2q + pMp2 + q fi q (p2 + q)- (p 2q + p)= q 2 - p Mp 2 + q .

(pq2 + q)- p (q2 - p)= p2 + qMq2 p = - (p2 + q)€ q 2 + q + p 2 - p = 0(VN ).

pq2 + qM
q2 - p fi

+ q2 -

p.

5
+ q2 - p = p2 + q € (q + p)(q - p - 1)= 0 € q - p - 1 = 0 € q = p + 1.
(2.0
điểm) Mà p, q là hai số nguyên tố nên p = 2, q = 3 (thỏa mãn bài toán).
b) (1.0 điểm)
Đặt z =

xy
1 1 1 1
1
fi = + +
fi + 1=
x + y + 1 z x y xy
z

Ê1 ˆ˜ Ê

1 ˜ˆ
Á
Á
+
1
.
+ 1˜ (1).
˜
Á
Á
Á
Áy ˜˜¯
Ëx ¯˜ Ë

Với mỗi tập các số dương {x1; x2 ;...; xn }tùy ý, xét biểu thức

Trang 10/2

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


ˆ˜
Ê1
ˆ Ê1
ˆ˜ Ê 1

˜˜ .
˜˜ ...Á
P (x1; x2 ;...; xn )= Á
+
1
+
1
Á
Á + 1˜˜˜ .Á
Á
Áx
˜ Á
˜
Á
Ëx1 ˜¯ Ë
¯
Ëxn
¯
2

Từ (1) suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kì x; y rồi viết lên bảng số

xy
các
x + y +1

số còn lại trên bảng giữ nguyên thì giá trị biểu thức P của các số trên bảng
không đổi.
Ê1 1 1
1

1 ˜ˆ
Gọi số cuối cùng là a fi P (a )= P Á
; ; ;...;
;
˜˜
Á
Á

Ë1 2 3
2018 2019 ¯
ˆÊ
ˆ˜
Ê
ˆ˜ Ê
˜˜ Á
Á
Á
˜˜
˜
Á
Á
Á
Ê1 ˜ˆ Á1 ˜˜ Á 1
˜˜ Á 1
1
1
˜˜ = 2020! fi a =
Á
Á
fi + 1= Á

+ 1˜˜ .Á
+
1
...
+
1
+
1
.
˜
˜
Á
Á
Á
Á
˜
˜
˜
Á
1 ˜ Á 1
1
Ë1 ¯ Á
a
2020!- 1
˜˜ Á
˜˜
Á
Á
Á
˜

˜Á
˜
Á2 ¯˜ Ë
Á2018 ¯Ë
Ë
2019 ¯

0,25
0,25

Chú ý:- Trên đây chỉ trình bày tóm tắt một cách giải, nếu thí sinh làm theo cách khác
mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm.
- Thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm.
- Trong một câu, nếu thí sinh làm phần trên sai, dưới đúng thì không chấm điểm.
- Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm. Thí sinh không vẽ hình
mà làm vẫn làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được.
- Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh công nhận ý trên để làm ý dưới
mà thí sinh làm đúng thì chấm điểm ý đó.
- Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn.

Trang 11/2