Sáng kiến kinh nghiệm: Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO AN GIANG
TRƯỜNG THCS&THPT PHÚ TÂN

Họ và tên: Lê Thiện Mỹ
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: THCS&THPT Phú Tân
Chuyên ngành: Sư phạm Toán

2018 - 2019


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG
TRƯỜNG THCS&THPT PHÚ TÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “ GIẢI BÀI
TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG
PHUONG PHÁP HÌNH HỌC”

Họ và tên: Lê Thiện Mỹ
Chức vụ: giáo viên
Chuyên ngành: Toán
Đơn vị: THCS&THPT Phú Tân


MỤC LỤC

Trang

A

PHẦN MỞ ĐẦU

1

B

PHẦN NỘI DUNG

4

I

Cơ sở lý thuyết

4

I.1

Các khái niệm

4

I.2

Các phép toán

5

I.3

Tính chất

6

II

Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

7

II.1

Một số phương pháp giải bài toán cực trị số phức

7

II.2

Phương pháp hình học

9

II.2.1 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang hệ tọa độ Oxy

9

II.2.2 Các bài toán thường gặp

10

III.

Hiệu quả đạt được

34

IV.

Mức độ ảnh hưởng

36

V.

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
THCS&THPT

Trung học cơ sở và Trung học phổ thông

TN THPT

Tốt nghiệp Trung học phổ thông

SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm

SGK

Sách Giáo Khoa

BGH

Ban giám hiệu


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Sơ lược lý lịch tác giả
- Họ và tên: LÊ THIỆN MỸ
- Ngày tháng năm sinh: 1985
- Đơn vị công tác: THCS&THPT Phú Tân
- Chức vụ hiện nay: giáo viên bộ môn
- Trình độ chuyên môn: đại học sư phạm Toán
- Lĩnh vực công tác: giáo dục
II. Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị
- Tình hình đơn vị: Trường đóng trên địa bàn nông thôn của huyện Phú Tân tỉnh An Giang,
cơ sở vật chất phục vụ giảng dạy còn hạn chế, đa số các gia đình đi làm ăn xa ít quan tâm
đến việc học của học sinh, một bộ phận học sinh có hoàn cảnh khó khăn ảnh hưởng đến việc
học tập

- Thuận lợi: Được sự quan tâm chỉ đạo của BGH nhà trường, sự giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm
của đồng nghiệp trong công tác giảng dạy, đa số học sinh yêu thích học toán.
- Khó khăn: Học sinh thuộc địa bàn nông thôn kinh tế còn khó khăn nên việc quan tâm đầu
tư cho học sinh của gia đình còn hạn chế. Hơn nữa trình độ tuyển sinh đầu vào của trường
khá thấp nên rất khó khăn cho việc giảng dạy nâng cao để học sinh đỗ vào các trường Đại
học tốp đầu của cả nước.
- Tên đề tài: “Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học”.
- Lĩnh vực: “Phương pháp dạy học toán”

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 1


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

III. Mục đích yêu cầu của đề tài
III.1. Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến
Trong các lĩnh vực của Toán học thì số phức ra đời khá muộn kể từ thế kỉ XVI sau
khi các nhà toán học nghiên cứu về phương trình đại số. Tuy sinh sau nhưng số phức có
nhiều đóng góp cho các ngành toán học như: đại số, lượng giác, hình học.
Ở trường phổ thông thì học sinh chỉ được tiếp xúc số phức ở cuối chương trình giải
tích lớp 12. Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ biết
được các kiến thức cơ bản của số phức, hơn nữa bài toán cực trị số phức là bài toán tương
đối khó đặc biệt với hình thức thi trắc nghiệm học sinh không có nhiều thời gian để tư duy
tìm lời giải. Từ đó dẫn đến việc ôn tập TN THPT Quốc gia gặp khó khăn.
III.2. Sự cần thiết áp dụng sáng kiến
Để làm tốt bài toán trên trong kì thi TN THPT Quốc gia học sinh phải tìm ra cách giải
nhanh chóng, chính xác trong khoảng thời gian ngắn. Vì vậy sáng kiến “giải bài toán cực trị
số phức bằng phương pháp hình học” đưa ra cách giải ngắn gọn trực quan học sinh chỉ cần

vẽ hình áp dụng các tính chất cơ bản của hình học sẽ có ngay đáp số. Sáng kiến này đáp ứng
được yêu cầu chính xác nhanh chóng không đòi hỏi tư duy quá nhiều trong việc giải bài thi
trắc nghiệm.
III.3. Nội dung sáng kiến
III.3.1. Tiến trình thực hiện
 Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến số phức, các nội dung thi TN THPT Quốc gia
môn Toán có liên quan đến cực trị số phức.
 Hướng dẫn học sinh áp dụng sáng kiến giải các bài tập trắc nghiệm cực trị số phức
 Tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ tiếp thu của học sinh.
 Điều chỉnh sáng kiến, phương pháp giảng dạy

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 2


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

III.3.2. Thời gian thực hiện
Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng trong học kì 2 năm học 2017 – 2018 tại trường
THCS&THPT Phú Tân.
III.3.3. Biện pháp tổ chức
 Nghiên cứu lý thuyết hoàn chỉnh sáng kiến.
 Áp dụng giảng dạy thực tế trên lớp.
 Đưa ra phương pháp để học sinh áp dụng giải bài tập
 Sửa bài làm của học sinh đối chiếu với các phương pháp giải khác.
 Tìm ra ưu điểm và khuyết điểm của phương pháp.
 Điều chỉnh sáng kiến, phương pháp giảng dạy.
 Kiểm tra mức độ tiếp thu của học sinh.

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 3


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

B. PHẦN NỘI DUNG
Chương I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I.1. CÁC KHÁI NIỆM
I.1.1. Định nghĩa số phức
,i2

Mỗi biểu thức dạng a

bi , trong đó a,b

Đối với số phức z

bi , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z .

a

Tập hợp các số phức kí hiệu là

1 được gọi là một số phức

.

Chú ý:

 Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a
 Như vậy ta có

a

0i

.

 Số phức bi với b

được gọi là số thuần ảo ( hoặc số ảo)

 Số 0 được gọi là số vừa thực vừa ảo; số i được gọi là đơn vị ảo.
I.1.2. Số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau:
a

bi

c

a
b

di

c
d

I.1.3. Số phức đối và số phức liên hợp
Cho số phức z

a

bi , a, b

, i2

1

 Số phức đối của z kí hiệu là z và z
 Số phức liên hợp của z kí hiệu là z và z

a
a

bi .
bi .

I.1.4. Biểu diễn hình học của số phức
Điểm M (a; b) trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm
biểu diễn số phức z  a  bi .

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 4


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

I.1.5. Môđun của số phức
Giả sử số phức z

bi được biểu diễn bởi M (a;b) trên mặt phẳng tọa độ. Độ dài của

a

vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là | z | .
a2

Vậy: | z | | OM | hay | z |

b2 .

Nhận xét: | z | | z | | z | .
I.2. CÁC PHÉP TOÁN
I.2.1. Phép cộng và phép trừ
Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức.
Tổng quát:
(a
(a

bi )
bi )

(c
(c

di )

di )

(a
(a

c) (b
c) (b

d )i
d )i

I.2.2. Phép nhân
Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2

1 trong kết

quả nhận được.
Tổng quát:
(a

bi).(c

di)

(ac

bd )

(ad

bc)i.

Chú ý:
 Phép cộng và phép nhân các số phức có đầy đủ các tính chất của phép cộng và phép
nhân các số thực.
 Cho số phức z

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

a

bi , a, b

, i2

1 . Ta có: z

z

2a ; z .z

| z |2 .

Trang 5


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

I.2.3. Phép chia hai số phức
Với a

bi

Cụ thể:

c
a

0 , để tính thương
di
bi

(c
(a

di)(a
bi)(a

c
a

bi)
bi)

di
, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a
bi

ac

bd

ad

bc

2

2

2

2

a

b

a

b

bi

i.

I.3 TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC
Cho số phức z

a

, i2

bi , a, b

1

 Tính chất 1: Số phức z là số thực

z

z

 Tính chất 2: Số phức z là số ảo

z

Cho hai số phức z1

a1

b2i; a1,b1, a2,b2

 Tính chất 3: z1

z2

 Tính chất 4: z1.z2
 Tính chất 5:

b1i; z 2

z1

a2

z

ta có:

z2

z1.z2

z1

z1

z2

z2

; z2

0

 Tính chất 6: | z1.z 2 | | z1 | . | z 2 |
 Tính chất 7:

z1

| z1 |

z2

| z2 |

; z2

0

 Tính chất 8: | z1

z 2 | | z1 |

| z 2 | dấu “=” xảy ra

z1

kz2 với k

0

 Tính chất 9: | z1

z 2 | | z1 |

| z 2 | dấu “=” xảy ra

z1

kz2 với k

0

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 6


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

CHƯƠNG II. GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP
HÌNH HỌC
II.1. Một số phương pháp giải bài toán cực trị số phức.
Có nhiều phương pháp để giải bài toán cực trị số phức ở đây tôi xin trình bày một số
phương pháp quen thuộc như: phương pháp khảo sát hàm số, phương pháp lượng giác,
phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Sau đây chúng ta xét một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1. (Phương pháp sử dụng bất đẳng thức) Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i
2

M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

A. S  34.

B. S  82.

i . Tính S

M2

4 . Gọi

m2 .

C. S  36.

D. S  68.

Lời giải
Ta có: 4
4
S

z 1 2i

3 2

M2

m2

2

z

z 2 i

4

i

3

3i

2

z

3 2 . Vậy M

4

3

i

3 2; m

3i

4

z

2

i

3 2

3 2

68 . Chọn D.

Ví dụ 2. (Phương pháp khảo sát hàm số) Cho số phức z thỏa mãn z 2 4i
Tìm giá trị nhỏ nhất của S

2i ?

z

A. Smin  5.
Lời giải. Gọi z
z 2 4i

S

z

2i

x

x2

B. Smin  3  2.

x 2

y

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

2

2

C. Smin  3 2.

D. Smin  3 5.

. Ta có:

yi x , y

z 2i

z 2i .

2

y 4
x2

2

6 x

x2
2

y 2
2x2

2

12x

y

4 x

36

Trang 7


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học
2 x2

Xét f x

12x

36

4 x 12

f x

0

x

3

fmin

f 3

18

Vậy Smin  3 2. Chọn C.
Ví dụ 3. (Phương pháp lượng giác hóa) Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i
lớn nhất của P

3 . Tìm giá trị

z 2i .

A. Pmax

26

6 17 .

B. Pmax

26 6 17 .

C. Pmax

26

8 17 .

D. Pmax

26 4 17 .

Lời giải
Gọi z

x

yi ; x

Ta có: z 1 2i
z 2i

2

z 2i

;y

9

1 3 sin t

x 1
2

4

26 6 17 sin t
26 6 17

z 2i

2

26

y

2

3 cos t
;
6 17

y 2 i.

x
2

9 . Đặt x

2

1 3 sin t ; y

2

3 cos t ; t

0; 2 .

26 6 sin t 4 cos t
.
Pmax

26

6 17 . Chọn A.

 Nhận xét: các phương pháp trên giải quyết bài toán cực trị số phức khá hiệu quả.
Tuy nhiên nó đòi hỏi người học phải có vốn kiến thức rộng và sự tư duy nhạy bén, việc
phát hiện ra lời giải trong vòng khoảng 8 phút là tương đối khó khăn. Vì vậy để giúp học
sinh phát hiện nhanh cách giải và đáp số trong bài toán trắc nghiệm tôi xin đề cập đến
phương pháp hình học được trình bày ở phần II.2 dưới đây, học sinh chỉ cần áp dụng các
tính chất hình học quen thuộc và vẽ hình trên giấy kẻ ô sẽ dự đoán ngay được đáp số trong
bài toán trắc nghiệm.

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 8

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

II.2. Phương pháp hình học
II.2.1. Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang hệ tọa độ Oxy
 Với M z

z

OM

 Với M

M z ;M

 Với A

A zA , B

tập hợp M
 Với M0

M z

z

z

MM

B zB trong đó zA ; zB là hai số phức khác nhau cho trước khi đó

M z thỏa z

M 0 z0 , R

zA

z

zB là đường trung trực của đoạn thẳng AB .

0 khi đó tập hợp các điểm M

M z thỏa z

z0

R là đường

tròn tâm M0 bán kính R .
 Với
z

M1

z1

M1 z1 , M2

z

z2

trục lớn k

2a

k k

M2 z2

khi đó tập hợp các điểm

M

M z

thỏa

0 là đường elip có nhận M1 , M2 là hai tiêu điểm là và độ dài

Các bước áp dụng phương pháp hình học trong bài toán cực trị số phức.
 Đặt M

M z từ điều kiện của bài toán ta tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thông

thường các tập hợp đó là: đường thẳng, đường tròn, elip.
 Từ biểu thức P chứa mô-đun số phức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta biểu

thị sang các yếu tố hình học tương ứng thông thường P là tổng độ dài các đoạn thẳng,
tổng bình phương độ dài các đoạn thẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.
Từ đó ta chuyển một bài toán số phức sang bài toán hình học.
 Vẽ hình biểu diễn tập hợp các số phức z , biểu diễn biểu thức P trên hệ trục tọa độ
Oxy áp dụng các tính chất hình học cơ bản như: AB

BC

AC A, B,C , tính chất

đường trung tuyến, tính chất tam giác vuông suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của P

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 9


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

II.2.2. Các bài toán thường gặp
Bài toán 1. Cho số phức z0 và tập hợp các số phức z thỏa điều kiện z z1

z

z2 .

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của z z0 .
b. Tìm số phức z để z z0 nhỏ nhất.
Nhận xét

Gọi M

M z , M0

Điều kiện z z1

M 0 z0 , A
z

z2

A z1 , B

B z2

z

M thuộc đường trung trực

z0

MM0

của đoạn thẳng AB .

Bài toán trở thành

Ta thấy MM0
z

z0

a.

Tìm giá trị nhỏ nhất của MM0 với M

b.

Tìm M

.

để MM0 nhỏ nhất.

MH với H là hình chiếu của M0 trên

Vậy MM0 nhỏ nhất khi M

H và

d M0 ,

min

Từ đó ta có cách giải như sau:
Đặt z

x

điều kiện z z1

yi x , y

a. Tính z z0 min
b. Gọi

z

z2 ta viết phương trình đường thẳng

d M0 ,

là đường thẳng qua M0 và vuông góc với

. Khi đó H

Một số ví dụ áp dụng
Ví dụ 4: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z 1 2i

z

3 4i . Tìm giá trị nhỏ nhất của

z.

A. z min

5 13
.
13

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

B. z min

2 13.

C. z min

2.

D. z min

26.

Trang 10


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Lời giải
Đặt z

x

yi x , y

Ta có: z 1 2i

M

z

M x; y .

M z

3 4i

x 1

2

y

Vậy tập hợp các số phức z là đường thẳng

2

2

3

x

: 2x 3 y

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán M

2

5

0.7;1.2

y 4

2

2x 3 y

5

0

0

z

min

OM

1.38 gần với đáp

án A.
Ta có z min

5

d O,
22

3

2

5 13
chọn A.
13

Ví dụ 5. Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i
S

z

2

z

3 5i . Tìm giá trị nhỏ nhất của

i.

A. S min

B. S min

5.

68.

C. S min

34.

D. S min

12 17
.
17

Lời giải
Đặt z

x

yi x , y

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

M

M z

M x; y .
Trang 11


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Ta có: z 1 3i

z 3 5i

x 1

2

y

3

Vậy tập hợp các số phức z là đường thẳng
S

z

2

i

2 i

z

M0

2

:x

x 3

4y 6

2

y 5

2

x

4y 6

0

0

2; 1

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán Smin

M

1.3; 1.8

Smin

M0 M

2.89

gần đáp án D.
Kiểm tra dự đoán Smin

2

d M0 ,

4

1

12

42

6

Ví dụ 6. Trong các số phức z thỏa mãn z 2 5i
mãn z 1 i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S
A. S  

23
.
100

B. S 

12 17
chọn D.
17
z

i , số phức z

a bi a , b

thỏa

ab

13
.
100

5
6

C. S   .

D. S 

9
.
25

Lời giải

Đặt z

x

yi x , y

Ta có: z 2 5i

M
z

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

i

M z
x 3y 7

M x; y .
0
Trang 12


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Vậy tập hợp các số phức z là đường thẳng
1 i

z

1 i

z

M0

:x

4y 6

1; 1

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán z 1 i
Kiểm tra dự đoán: Gọi
hay

: 3x

x 4y 6
3x y 2

y 2

0
0

0

min

M

là đường thẳng qua M0 và vuông góc với

y

1
10
23
10

H

1
23
;
10 10

Bài toán 2. Cho số phức z thỏa z z0

:

x 1
1

0.23

y 1
3

23
. Chọn A.
100

S

R

S

khi đó tọa độ H là nghiệm hệ

0 . Gọi H là hình chiếu của M0 lên

x

0.1; 2.3

H

0 với z0

a

cho trước.

bi a , b

a. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của z z1 với z1 cho trước.
b. Tìm số phức z để z z1 đạt giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất.

Nhận xét
 Với M

M z ,I

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

I z0 , A

A z1

z

z0

IM , z

z1

AM

Trang 13


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

 z z0

R

R suy ra M thuộc đường tròn C tâm I bán kính R .

IM

Bài toán trở thành
a. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của AM với M

C

C để AM đạt giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất.

b. Tìm M

Gọi M1 , M2 là giao điểm của đường thẳng AI với đường tròn C
Khi đó AM1

AM

Vậy min AM

AM2

AM 1

M

AI

C

R ,max AM

AM 2

AI

R .

Từ đó ta có cách giải
+ Điều kiện z z0
a. min AM

R

0 ta viết phương trình đường tròn C tâm I bán kính R .

AM1

AI

R , max AM

AM2

AI

R

b. Tìm z .
+ Viết phương trình đường thẳng

trình C và phương trình

AI khi đó tọa độ M1 , M2 là nghiệm hệ gồm phương

.

Một số ví dụ áp dụng
Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn z 3 2i
A. Smin

5.

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

B. Smin

7.

2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S

C. Smin

3.

z

1 i.

D. Smin

2.

Trang 14


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Lời giải
Gọi z

x

yi x

Ta có: z 3 2i
S

z 1 i

.

;y

2

x 3
1 i

z

2

A

y

2

2

1; 1

4

I 3; 2 , R

2

5.

AI

y
A(-1;1)

O

x

1

H(1.4;-0.8)
I(3;-2)

M

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô ta dự đoán Smin
Kiểm tra dự đoán Smin

AI

5 2

R

4i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S

1
.
2

2

A. S

1.4; 0.8

H

Smin

3

AH

3 . Chọn C.

Ví dụ 8. Trong các số phức z thỏa mãn z 2 2i
z

M

a

là số phức thỏa

bi a , b

2 .

a b

1
.
2

2

B. S

1 gọi z

1
.
2

2

C. S

D. S

2

1
.
2

Lời giải
Gọi z

x

yi x

Ta có: z 2 2i
z

4i

z

;y

1

4i

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

,M

x 2

2

M z .

y

2

2

1

I 2; 2 , R

1

A 0; 4 . Phương trình đường thẳng AI : x

y

4

0
Trang 15


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

y

O

x

1
M1

I
M2

A(0;-4)

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô dự đoán:
S

1.3

2.7

1
2

1

; 2

2

yêu cầu bài toán. Vậy a

1

, M1 2
2

2
1
2

x 2

1

; 2

2

A. S

M

2

0
y

2

2

1

. Ta thấy AM1

1

2

,b

y 4

x

S

2

Ví dụ 9: Cho số phức z thỏa 2 i z 1
của z 1 . Tính S

min

M

M2

1.3; 2.7

0.91 gần với đáp án A.

2

Kiểm tra dự đoán: M1 , M2 là nghiệm hệ

M1 2

4i

z

x

2

x

2

1
2
1
2

,y

2

,y

2

1
2
1
2

AM2 nên M2 là điểm thỏa

a b 2

2

1
. Chọn A.
2

1 . Gọi M , m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

m

3.

2 2.

B. S

C. S

2 3.

D. S

2
5

.

Lời giải
Ta có: 2 i z 1

1

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

2

i z

1
2

i

1

z

2
5

1
i
5

1
5
Trang 16


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

M
M

2
5

1
i
5

m

2 2

1

1

5

5 2
5

5

2
5

;m

Bài toán 3. Cho số phức z thỏa z z1

z

1

i
5

z2

1

1

k k

5

5 2
5

5

0

a. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của z
b. Tìm số phức z để z đạt giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất.
Nhận xét
 Với M

M z , A1

 Điều kiện z z1

A1 z1 , A2

z

z2

A2 z2

MM1

MM2

k k

0 suy ra M nằm trên elip E nhận

M1 ; M2 làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k

2a , z

 Do chương trình lớp 10 chỉ học elip có 2 tiêu điểm F1
thiết là z c

z

c

k c

và có độ dài trục lớn k
 Ta có OM1
z min

OM

OM1

0, k

0

M

OM

c; 0 , F2 c; 0 nên thường giả

E nhận F1

c; 0 , F2 c; 0 làm tiêu điểm

2a .

OM3 ; OM2

OM2 ; z max

OM

OM3

OM4

OM4

y
M1
M4

M

x
M3

O
M2

Từ đó ta có cách giải
Điều kiện z c

z

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

c

k c

0, k

0

M

x2
E : 2
a

y2
b2

1 với a

k
2
Trang 17


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

a. z max

k
;z
2 min

a

k2

b

4c 2

2

b. Tìm z
z max

M

M3 ; M

M4

z

a , z min

a; z

M

M1 ; M

M2

z

b; z

b

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 10. Cho số phức z thỏa z 4
của z tính giá trị S

M

4

10 . Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

m2 .

6.

A. S

z

13.

B. S

5.

D. S

5 32

4 . Chọn D.

C. S

4.

Lời giải
Ta có: M

z max

10
2

5; m

102

z min

2

Bài toán 4. Cho số phức z thỏa z z1
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của S
b. Tìm số phức z để S

z

4.42

z
z3

z
z3
z

3

S

z2 với z1 ; z2 là các số phức cho trước.
z

z4 với z3 ; z4 là các số phức cho trước.

z4 đạt giá trị nhỏ nhất.

Nhận xét
 Với M

M z , M1

M1 z1 , M2

M2 z2 điều kiện z

z1

z

z2 suy ra M

là đường trung trực của M1 M2 .
 Với A

A z3 , B

B z4

z

z3

AM , z

z4

BM

 Khi đó bài toán trở thành
Cho đường thẳng

và hai điểm A , B cố định. Tìm M

để S

AM

BM đạt giá trị

nhỏ nhất. Tính Smin
Trường hợp 1: nếu A , B khác phía so với

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

khi đó M

: AM

BM

AB suy ra
Trang 18


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Smin

AM

BM

AB khi đó A , B, M thẳng hàng hay M

min

AB

.

A

M1
M0

M
M2

B

Trường hợp 2: nếu A , B nằm cùng phía so với
A

gọi A là điểm đối xứng của A qua

B

M1
M0

M
M2

A'

M

: AM

khi đó M

BM

AB

AM

BM

A B . Vậy Smin

AM

BM

min

AB

.

Lời giải
 Điều kiện z z1
 Thay A

A z3 , B

z

z2 viết phương đường thẳng

o Smin

o Tìm z

z z3
x

xét xem A , B cùng phía hay khác phía so với

B z4 vào

 Nếu A , B cùng phía so với
z z4

.

:
z3

min

z4

yi ta viết phương trình đường thẳng AB khi đó x; y là nghiệm hệ

phương trình gồm phương trình
 Nếu A , B khía phía so với
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

.

và phương trình AB .

:
Trang 19


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

o Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với

. Khi đó

d

I thì I là trung

điểm AA , từ tọa độ A , I ta tìm được tọa độ A
o Smin

z z3

o Tìm z

x

z z4

min

z z3

z z4

min

z3

z4

yi ta viết phương trình đường thẳng A B suy ra x; y là nghiệm hệ

phương trình gồm phương trình

và phương trình A B .

Ví dụ áp dụng
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z 1 i
S

z

2

z 3

i

A. Smin

z 2 3i . Tìm giá trị nhỏ nhất của

2i

13 61
.
17

5 493
.
17

B. Smin

10 251
.
17

C. Smin

D. Smin

71
.
3

Lời giải
Đặt M
S

z

M z :z 1 i

2

i

z 2 3i

3 2i

z

A

M

: 2x

8 y 11

0

2; 1 , B 3; 2

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ô ta thấy A , B cùng phía so với
suy ra Smin

AB

dự đoán A

1.6; 2.6

6.5 gần với đáp án B.

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 20


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Kiểm tra dự đoán: Thay A vào

y 9

2

8.1 11

y

Vì I là trung điểm AA nên A

và I

61
34
31
17

x

4x y 9 0
Tọa độ I :
2x 8 y 11 0

d

A.

8.

2

11

0

suy ra

61 31
;
34 17

I

27 45
;
17 17

.

Smin

AB

Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn z 2i
z

2.3

0.

Gọi A là điểm đối xứng của A qua

z 1 2i

0 , thay B vào

.Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với

suy ra A , B cùng phía so với
d : 4x

2

5 493
chọn B.
17

z

i . Tìm phần thực của z biết

C.

2
.
3

4i đạt giá trị nhỏ nhất.

5
.
6

B.

1
.
6

D.

3
.
4

Lời giải

Đặt M
z 1 2i

M z : z 2i

z

4i

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

z

z

i

1 2i

M

z

: 2y 1

4i

0

A 1; 2 , B 0; 4

Trang 21