Một số giải pháp giúp học sinh giải nhanh bài tập trắc nghiệm phần phương trình mặt phẳng trong không gian OXYZ nhằm nâng cao hiệu quả thi tốt nghiệp THPT ở trường THCSTHPT quan hóa

a

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS&THPT QUAN HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“ MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM PHẦN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG
KHÔNG GIAN OXYZ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ THI TỐT
NGHIỆP THPT Ở TRƯỜNG THCS&THPT QUAN HÓA”

Người thực hiện: Nguyễn Hữu Hùng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2020
1


MỤC LỤC

Trang

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………….........2
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………...2
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………………..2
1.4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………….2
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm…………………………………..2
PHẦN 2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1. Cơ sở lý luận…………………………………………………………………...3
2.2. Thực trạng vấn đề………………………………………………………………3
2.3. Giải pháp thực hiện…………………………………………………………….4
2.3.1. Kiến thức cơ bản……………………………………………………………..4
2.3.2. Xây dựng các dạng bài tập cơ bản…………………………………………...6
2.3.3. Bài tập tự luyện……………………………………………………………..16
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm…………………………………………17
2.4.1. Tổ chức thực nghiệm……………………………………………………….17
2.4.2. Kết quả định lượng…………………………………………………………17
2.4.3. Kết quả định tính…………………………………………………………...18
2.4.4. Kết luận chung về thực nghiệm……………………………………………18
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận………………………………………………………………………20
3.2. Kiến nghị……………………………………………………………………..20
TÀI LIỆU THAM KHẢO
MỘT SỐ CỤM TỪ VIẾT TẮT:
THCS&THPT: Trung học cơ sở và Trung học phổ thông;
THPT QG: Trung học phổ thông Quốc gia;
TNTHPT: Tốt nghiệp Trung học phổ thông;
SKKN: Sáng kiến kinh nghiệm.

2


PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong thực tiễn dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng, đòi hỏi người
thầy phải là người thực sự dẫn dắt, định hướng và khơi gợi trong học sinh niềm
đam mê, hứng thú học tập để các em tự tìm tòi, tự phát hiện ra vấn đề và giải quyết
vấn đề.

Những năm gần đây, do yêu cầu của thực tiễn, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã
đổi mới hình thức thi THPT Quốc gia chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm. Chính
vì lí do đó, người giáo viên cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy sao cho
phù hợp. Chương trình SGK Hình học lớp 12, phần phương trình mặt phẳng của
chương III: “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” là một trong
những nội dung trọng tâm và quan trọng của chương trình Toán học bậc THPT.
Chính vì lí do đó trong các đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây, Bộ Giáo dục
và Đào tạo đưa nhiều câu hỏi về nội dung này. Là một giáo viên dạy Toán bậc
THPT, và nhất là trong năm học 2019 – 2020 tôi được phân công phụ trách giảng
dạy ba lớp 12 của trường, để các em có thể đạt được kết quả tốt trong các kì thi sắp
tới, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến: “Một số giải pháp giúp học sinh giải nhanh
bài tập trắc nghiệm phần phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz,
nhằm nâng cao hiệu quả thi Tốt nghiệp THPT ở Trường THCS và THPT Quan
Hóa”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa kiến thức và kỹ năng, giới thiệu một số dạng toán về phương
trình mặt phẳng nhằm phát huy năng lực của học sinh góp phần phát triển năng lực
tư duy sáng tạo và kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế thi Tốt nghiệpTHPT.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh khối lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy năm học 20192020. Cụ thể là lớp 12B, 12C,12D.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi THPT, đề thi
thử THPT những năm gần đây.
- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Toán 11, 12.
1.4.2. Phương pháp trao đổi
Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến
làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
1.4.3. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được sau

khi tiến hành nghiên cứu.
1.4.4. Phương pháp thực nghiệm (thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài tập,
củng cố bài học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra, đánh giá).

3


1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến kinh nghiệm đã nêu bật được cách dạy cho học sinh trung bình,
học sinh yếu kém cách làm bài tập trắc nghiệm dạng các bài toán về phương trình
mặt phẳng. Học sinh được dạy cách phân tích, tính toán để loại các đáp án sai, từ
đó chọn được đáp án đúng và nhanh nhất.
PHẦN 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi
dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông, đặc biệt là
môn Toán, môn học rất cần thiết và không thể thiếu được trong đời sống con người.
Môn Toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian
trong chương trình học của học sinh. Môn Toán có tầm quan trọng to lớn, nó là bộ
môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên
của con người. Môn Toán có khả năng giáo dục cho học sinh rèn luyện phương
pháp tư duy, phương pháp suy luận logic, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người
lao động trong thời đại mới.
Học sinh THPT đang ở lứa tuổi gần như hoàn thiện về nhân cách, có sức
khỏe dẻo dai, rất hiếu động và thích thể hiện mình. Các em nghe giảng rất dễ hiểu
nhưng cũng sẽ quên ngay khi không tập trung cao độ. Vì vậy, người giáo viên phải
tạo ra hứng thú trong học tập cho học sinh và cho các em thường xuyên được tập
luyện. Người dạy cần phải chắt lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho
học sinh.

Sách giáo khoa Hình học lớp 12 từ khi được chỉnh sửa bổ sung vào năm
2006 – 2007, nội dung có phần thay đổi, có phần được đưa thêm các kiến thức mới,
các bài toán thực tế được đưa vào cũng nhiều hơn đã đem lại những chuyển biến
nhất định trong kết quả dạy và học, làm cho học sinh hứng thú chú ý hơn vào nội
dung bài học. Nhất là trong thời đại ngày nay, thông tin bùng nổ với tốc độ nhanh
chóng, việc dạy học theo hướng thực tiễn là việc làm thực sự cần thiết.
Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp
cho học sinh THPT nói chung và học sinh trường THCS và THPT Quan Hóa nói
riêng vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp loại bài toán về phương trình
mặt phẳng.
2.2. Thực trạng vấn đề
Từ năm học 2016-2017, Bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia của
môn Toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm, đòi hỏi phương pháp dạy và
học cũng phải thay đổi cho phù hợp.
Trong các đề thi tham khảocũng như đề thi chính thức của Bộ GD-ĐT và các đề
thi thử của các trường THPT, học sinh thường gặp rất nhiều câu hỏi về phương trình

4


mặt phẳng như: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm, phương trình mặt phẳng đi
qua điểm và song song (hay vuông góc) với đường thẳng cho trước, phương trình
mặt phẳng trung trực…
Các dạng toán này gây nhiều khó khăn cho học sinh THPT nói chung và học
sinh trường THCS và THPT Quan Hóa nói riêng, bởi lí do các em còn lúng túng
trong cách biến đổi, như quy tắc dấu ngoặc, cộng trừ số nguyên âm...
Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường
THCS và THPT Quan Hóa nói riêng (chất lượng đầu vào thấp), tư duy hệ thống, tư
duy logic của các em còn hạn chế, điều kiện kinh tế của gia đình còn rất nhiều khó khăn,
tình trạng sinh viên học đại học ra trường khó xin được việc làm. Vì vậy, khoảng 75%

số học sinh trong trường không có nhu cầu học đại học, các em chủ yếu lựa chọn học
nghề vừa mất ít thời gian, xin việc lại dễ hơn, các em còn lại (25%) chỉ đăng kí vào các
trường có điểm đầu vào thấp hoặc xét học bạ, do đó, các em chỉ đặt cho mình mục tiêu
là được nhiều nhất 5 điểm môn Toán.
Như chúng ta đã biết, một trong các cách để viết phương trình một mặt phẳng, ta
cần biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Bên cạnh đó, đề
thi THPTQG ra dưới hình thức trắc nghiệm, trong đó, chỉ có một đáp án đúng, ba đáp
án còn lại chắc chắn sai, do đó, việc thử để chọn đáp án đúng hay loại đáp án sai (với
sự trợ giúp của máy tính bỏ túi), hoặc thử tọa độ điểm, hoặc thử vectơ pháp tuyến là
việc làm vô cùng thiết thực đối với học sinh Trường THCS và THPT Quan Hóa. Xuất
phát từ thực tế đó, tôi mạnh đưa ra sáng kiến: “Một số giải pháp giúp học sinh giải
nhanh bài tập trắc nghiệm phần phương trình mặt phẳng trong không gian
Oxyz, nhằm nâng cao hiệu quả thi Tốt nghiệp THPT ở Trường THCS và THPT
Quan Hóa”.
2.3. Giải pháp thực hiện
Trước hết tôi cho học sinh củng cố phần lí thuyết
2.3.1. Kiến thức cơ bản: SGK Hình học 11, SGK Hình học 12.
Trong rkhông gian Oxyz , cho A( x A ; y A ; z A ), B ( xB ; yB ; z B ), C ( xC ; yC ; zC ) ,
r
a = (a1; a2 ; a3 ) , b = (b1; b2 ; b3 ) =(b ; b ;b ), mặt phẳng (α ) , ( β ) , đường thẳng ∆, ∆ '.
1
2 3
2.3.1.1.uuTọa
độ vectơ
u
r

AB = ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A )

;

2.3.1.2.
Tích vô hướng của hai vectơ
urr

a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ;
r r
r r
r
uur
r r
a
⊥
b
⇔
a
.
b
=
0;
⇔
a
=
k
.
a '(k ≠ 0);
a
,
b
Chú ý:
cùng phương

2.3.1.3.r Tích
có hướng của hai vectơ
r

a ∧ b = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 );

2.3.1.4. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là

M(

x A + xB y A + y B z A + z B
;
;
)
2
2
2
;

5


G(

x A + xB + xC y A + y B + yC z A + z B + zC
;
;
)
3

3
3
;

2.3.1.5. Tọa độ trọng tâm G của ∆ABC là
2.3.1.6. Vectơpháp tuyến
r
r r
n ≠ 0 là vectơ pháp tuyến của ( α ) nếu n ⊥ ( α );
r
r
(
α
)
k
.
n
n
Chú ý: Nếu là vectơ pháp tuyến của
thì
cũng là vectơ pháp tuyến
(
α
)
của
, (k ≠ 0) ;
2.3.1.7. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
r
M
(

x
;
y
;
z
)
(
α
)
n
Mặt phẳng
đi qua điểm 0 0 0 0 và nhận = ( A; B; C ) làm vectơ pháp
tuyến có phương trình là A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 .
Chú ý: 1. Mặt phẳng ( α ) cór phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0
thì ( α ) có một vectơ pháp tuyến là n = ( A; B; C )
2. Điểm thuộc mặt phẳng
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (α ) : Ax + By + Cz = 0 ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 = 0

2.3.1.8.r Vectơ
chỉ phương
r
r
a ≠ 0 là vectơ chỉ phương của ∆ nếu ∆ song song hoặc trùng với giá của a ;
r
r
a
k
.
a
∆

Chú ý: Nếu là vectơ chỉ phương của
thì
cũng là vectơ chỉ phương
của ∆ , k ≠ 0 ;
2.3.1.9. Phương trình đường thẳng
r
Đường thẳng ∆ qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận a = (a1; a2 ; a3 ) làm vectơ chỉ

 x = x0 + a1t

 y = y0 + a2t

phương có phương trình tham số:  z = z0 + a2t ( t là tham số) hoặc phương trình
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
a
a3 ( nếu a1, a2 , a3 đều khác 0);
1
2
chính tắc:

Chú ý:
 x = x0 + a1t

 y = y0 + a2t

Đường thẳng ∆ có phương trình tham số  z = z0 + a2t ( t là tham số) hoặc
x − x0 y − y0 z − z0

=
=
a
a
a3 (nếu a1, a2 , a3 đều khác 0) thì ∆ có một
1
2
phương trình chính tắc
r
vec tơ chỉ phương là a = (a1; a2 ; a3 )

2.3.1.10. Quan hệ giữa mặt phẳng, đường thẳng

6


r ur
r ur
(
α
)
n
,
n
'
a
(
β
)
Với

lần lượt là vectơ pháp tuyến của
,
; , a ' lần lượt là vectơ chỉ
phương của ∆ ,r ∆ ' , ukr ≠ 0 . Ta có:
r ur
(
α
)
(
α
)
n
=
k
.
n
'
n
(
β
)
(
β
)
⇔
⇔ . n ' = 0;
⊥
+)
//
;

r
ur
r ur
+) ∆ // ∆ ' ⇔ a r= k . ar' ; ∆ ⊥ ∆ ' ⇔ ar. ar ' = 0;
+) (α ) ⊥ ∆ ⇔ n = k . a ; (α ) // ∆ ⇔ n . a = 0;
2.3.1.11. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung
điểm của AB và vuông góc với AB ;

2.3.1.12. Mặt cầu

( S ) tâm I ( a; b; c) bán kính R > 0 có phương trình là

( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R 2

2.3.1.13. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
2
2
2
Khoảng cách từ M0(x0; y0;z0) đến (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 ( A + B + C ≠ 0 ) là

d( M 0 ,(α )) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

;
2.3.1.14. Hình chiếu vuông góc của một điểm trên các trục tọa độ, trên các mặt
phẳng tọa độ
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) trên trục Ox là M 1 ( x0 ;0; 0) ; trên trục
- Hình chiếu vuông góc của điểm

Oy là M 2 (0; y0 ;0) ; trên trục Oz là M 3 (0;0; z0 ) ;
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

'

- Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng (Oxy ) là M 1 ( x0 ; y0 ; 0) ;
'
'
trên mặt phẳng (Oxz ) là M 2 ( x0 ;0; z0 ) ; trên mặt phẳng (Oyz ) là M 3 (0; y0 ; z0 ) ;
2.3.2. Xây dựng các dạng bài tập cơ bản
Trong quá trình dạy học phần phương trình mặt phẳng, tôi đã hệ thống được
một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng thường gặp như sau:
Dạng 1: Mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến cho trước.
Dạng 2: Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng hay qua một điểm và chứa
một đường thẳng không qua điểm đó.
Dạng 3: Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng (hay song
song với hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng chéo nhau).
Dạng 4: Mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng hay chứa một
đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng.
Dạng 5: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng.
Dạng 6: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau.
Dạng 7: Mặt phẳng đi qua hai điểm và song song một đường thẳng (hay chứa một
đường thẳng và song song một đường thẳng).
Dạng 8: Mặt phẳng song song, song song cách đều hai đường thẳng.

7


Dạng 9: Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng cho trước, mặt phẳng cách mặt phẳng

cho trước khoảng l > 0 ; mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước và cách một
điểm cho trước khoảng k > 0 ;
Dạng 10: Tương giao giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Do đặc điểm của học sinh miền núi, điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn,
nhiều em ở xa trường nên cũng ảnh hưởng đến việc đi lại và học tập. Chính vì thế
các em tiếp thu rất chậm nên các ví dụ tôi thường cho ở dạng nhận biết và thông
hiểu.
Dạng 1: Mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến.
r
n ( A; B; C )

M(a;b;c )

Ví dụ 1: rTrong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm M (1; 2; −3)
và nhận n = (2;1; 4) làm vectơ pháp tuyến là:
A. (α ) : 2 x + y + 4 z + 8 = 0;
C. (α ) : −2 x + y + 4 z − 16 = 0;

B. (α ) : 2 x + y − 4 z + 16 = 0;
D. (α ) : 2 x + y + 4 z − 16 = 0.

Giải:
Đối với bài này, tôi cho học sinh làm theo hai cách, từ đó, các em rút ra
cách làm phù hợp với khả năng của mình.
Cách 1: Phương pháp tự luận
Để học sinh giải bài này theo phương pháp tự luận, tôi đưa ra hệ thống câu
hỏi hướng dẫn như sau:
Câu hỏi
1: Dạng tổng quát của phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và
r

nhận n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuyến là gì?
Trả lời: A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0.
Câu hỏi 2: Xác
định các giá trị x0 , y0 , z0 của điểm M (1; 2; −3) và A, B, C của vectơ
r
pháp tuyến n = (2;1; 4) Từ đó, viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M (1; 2; −3)
.
r
và nhận n = (2;1; 4) làm vectơ pháp tuyến dưới dạng A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0?
2( x − 1) + 1( y − 2) + 4( z − (−3)) = 0.

Trả lời:
Câu hỏi 3: Biến đổi 2( x − 1) + 1( y − 2) + 4( z − (−3)) = 0 về dạng Ax + By + Cz + D = 0? Từ
đó, chọn đáp án đúng cho bài toán?

8


2 x + y + 4 z + 8 = 0.

Trả lời:
Đáp án đúng: A
Nhận xét: Với cách làm trên, tôi thấy đa số học sinh mắc sai lầm khi biến
đổi 2( x − 1) + 1( y − 2) + 4( z − (−3)) = 0 thành 2 x + y + 4 z + 8 = 0 do các em vận dụng quy
tắc dấu ngoặc không thành thạo nên dẫn đến việc các em chọn đáp án sai.
Xuất phát từ thực tế đó, tôi hướng dẫn các em làm theo phương pháp trắc
nghiệm như sau:
Cách 2: Phương pháp thử
Câu hỏi 1: Thử tọa độ M vào từng đáp án, đáp án nào thỏa mãn?
Trả lời: Đáp án A , vì: 2.1 + 2 + 4.(−3) + 8 = 0 , đúng.

Đáp án đúng: A
Lưu ý: Khi chọn được đáp án đúng, ta dừng quá trình thử, vì chỉ có một đáp
án đúng, ba đáp án còn lại chắc chắn sai.
Kết luận 1: Cách giải bằng phương pháp tự luận dễ dẫn đến sai lầm, do học
sinh vận dụng quy tắc dấu ngoặc chưa thành thạo, và tính toán chưa chính xác.
Còn đối với phương pháp thử, với bài này, các em chỉ cần thử một lần. Ngoài ra,
các bài toán ta thử nhiều nhất là ba lần.
Ví dụ 2: rTrong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm M (2; −1;3)
và nhận n = (1;1;3) làm vectơ pháp tuyến là:
A. (α ) : x + y + 3z − 12 = 0;
C. (α ) : x + y + 3 z − 10 = 0;

B. (α ) : x + y + 3 z + 10 = 0;
D. (α ) : x + y + 3 z + 7 = 0.

Hướng dẫn: Thử tọa độ điểm M , ta được kết quả đúng là đáp án C.
Đáp án đúng: C.
Nhận xét: Trong bài này, ta cần thử ba lần. Tuy nhiên, có bài toán mà có sự
khác nhau giữa các vectơ pháp tuyến, ta cần thử vectơ pháp tuyến (sau đây gọi là
thử vectơ pháp tuyến). Xét ví dụ sau:
Oxyz , phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M (1; −2; 4)
Ví dụ 3: Trong không gian
và nhận

r
n = (2;3;5)

làm vectơ pháp tuyến là:

A. (α ) : 2 x + 3 y + 5 z + 16 = 0;

C. (α ) : −2 x + 3 y + 5 z − 12 = 0;

r

B. (α ) : 2 x − 3 y + 5 z − 28 = 0;
D. (α ) : 2 x + 3 y + 5 z − 16 = 0.

Hướng dẫn: - Thử vectơ pháp tuyến n(2;3;5) , loại đáp án B và C ;
- Thử tọa độ điểm M, loại đáp án A.
Đáp án đúng: D.
Dạng 2: Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C hay qua một
điểm M và chứa một đường thẳng d không qua M .
Ví dụ 1: Trong không Oxyz , cho ba điểm M (1; 0; 0), N (0; 2; 0), P(0; 0;3) . Phương trình
mặt phẳng ( MNP) là:
9


A. ( MNP) : x − y + 2 z = 0;
C. ( MNP ) : 6 x + 3 y + 2 z + 16 = 0;

B. ( MNP) : x − y + z − 2 = 0;
D. ( MNP) : 6 x + 3 y + 2 z − 6 = 0.

Đối với bài này, tôi vẫn hướng dẫn học sinh giải theo hai cách.
Cách 1: Phương pháp tự luận
Câu hỏi 1: Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( MNP) chứa ba điểm M , N , P
?
r uuuu
r uuur
n

=
MN
∧ MP = (6;3; 2)
Trả lời:
r
(
MNP
)
M
(1;
0;0)
n
Câu hỏi 2: Viết phương trình mặt phẳng
qua
và nhận = (6;3; 2)
làm vectơ pháp tuyến?
6( x − 1) + 3( y − 0) + 2( z − 0) = 0 hay 6 x + 3 y + 2 z − 6 = 0.
Trả lời:
D.

Đáp án đúng:
Cách 2: Phương pháp thử
Câu hỏi 1: Thử tọa độ M (1; 0;0) vào từng đáp án, đáp án nào loại?
Trả lời: Các đáp án loại là A, B, C;
Câu hỏi 2: Vậy, đáp án nào đúng?
D.

Đáp án đúng:
Chú ý: Bài trên ta có thể giải theo phương trình đoạn chắn.
Kết luận 2: Trong hai cách giải trên, tôi thấy cách 2 thì học sinh tiếp thu và

làm bài tốt hơn, còn cách 1 thì đa số các em lúng túng, sai sót nhiều khi tính tích
có hướng của hai vectơ và áp dụng quy tắc dấu ngoặc. Còn nếu giải theo phương
trình đoạn chắn, học sinh sẽ gặp khó khăn khi quy đồng.
Trên cơ sở học sinh đã nắm được cách thử, tôi cho các em thực hành tiếp ví
dụ sau:
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) và đường thẳng
Phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua M và chứa d là:
A. ( P) : 5 x + 2 y − 3z = 0;
C. ( P) : 2 x + 3 y − 5 z + 7 = 0;

d:

x
y z
=
=
1 −1 1 .

B. ( P) : 2 x + 3 y − 5 z = 0;
C. ( P) : 5 x + 2 y − 3 z + 1 = 0.

Hướng dẫn:
Câu hỏi 1: Thử tọa độ M(1;2;3) vào các đáp án, đáp án nào không thỏa mãn?
Trả lời: Các đáp án B và D ;
Tìm một vectơ chỉ phương của d ?
Câu hỏir2:
Trả lời:

a = (1; −1;1)

10


uur
uur r
n
n
.
a
=
0
(
P
)
Vì
chứa d nên P
( P : vectơ pháp tuyến của ( P) ). Đáp án nào

Câu hỏi 3:
trong hai đáp án A và uCur thỏa mãn điều
kiện này? Từ đó, chọn đáp án đúng?
uur r
Trả lời: Đáp án A , vì nP = (5; 2; −3) ⇒ nP . a = 0;
Đáp án đúng: A
Kết luận chung: Qua hai dạng toán trên, tôi thấy rằng, phương pháp thử có
tính ưu việt hơn so với phương pháp tự luận: ít sai sót trong quá trình tính toán (là
điểm yếu của học sinh vùng cao), tốn ít thời gian hơn, dễ dàng chọn đáp án đúng
hơn. Bên cạnh đó, với phương pháp thử đáp án, lớp học sôi nổi hơn, học sinh làm
việc nhiệt tình, hăng hái hơn, thu hút được cả những em lâu nay sợ môn Toán. Do
đó, trong các dạng toán sau, tôi hướng dẫn các em giải quyết bài toán theo hướng

thử đáp án.

Dạng 3: Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng (hay
song song với hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng chéo nhau).
M(a;b;c)

r
n( A; B; C )

Ví dụ 1 (Trích đề thi chính thức THPT QG năm 2018, Câu 20, Mã đề 101):
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A(2; −1; 2) và song song với
mặt phẳng ( P) : 2 x − y + 3z + 2 = 0 có phương trình là:
A. 2 x + y + 3z − 9 = 0;
C. 2 x − y − 3 z + 11 = 0;

B. 2 x − y + 3z + 11 = 0;
D. 2 x − y + 3 z − 11 = 0.

Hướng dẫn:
Câu hỏi 1: Thử tọa độ A(2; −1; 2) vào các đáp án, loại các đáp án nào?
Trả lời: Các đáp án B và C .
Câu hỏi 2: Thử vectơ pháp tuyến, loại đáp án trong các đáp án còn lại? Từ đó, chọn
đáp án đúng?
Trả lời: Loại đáp án A .
Đáp án đúng: D.

11


Ví dụ 2: Trong không gian

Oxyz , cho điểm M (1; 0;0) và các đường thẳng d1 , d 2 với

 x = 1 + 2t

x − 3 y − 6 z d2 :  y = 5
d1 :
=
= ,
 z = 4 − t
( P ) qua M và song
1
1
−1
. Phương trình mặt phẳng

song với d1 , d 2 có phương trình là:
A. x + y + z − 1 = 0;
C. x + y + 2 z − 1 = 0;

B. 2 x + y + 2 z − 1 = 0;
D. 3x + y + 3z − 3 = 0.

Hướng dẫn:
- Thử tọa độ M vào các đáp án,
loại đáp án B .
r uu
r
r
(

P
)
a
,
a
' lần lượt là vectơ
n
- Thử vectơ pháp tuyến: Gọi là vectơ pháp tuyến của r r ;
r ur
d1 , d 2
(α ) / / d1 (α ) / / d 2
n
.
a
=
0
n
chỉ phương của
. Ta có:
nên
và . a ' = 0 , loại tiếp
,
các đáp án A, D.
Đáp án đúng: C.
Lưu ý: Trong quá trình thử, ta có thể chỉ thử tọa độ hoặc vectơ pháp tuyến.
Xét ví dụ sau:
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( P) qua M (−1; 2; 4) và song song mặt
phẳng (Q) :2 x − 4 y + 5 z − 15 = 0 có phương trình là:
A. 2 x − 4 y + 5 z + 10 = 0;
C. 2 x − 4 y + 5 z − 10 = 0;

B. 2 x − 4 y + 5 z − 5 = 0;
D. 2 x + 4 y + 5 z + 5 = 0.

Đáp án đúng: C.
Dạng 4: Mặt phẳng đi qua hai điểm (hay chứa một đường thẳng) và vuông góc
với một mặt phẳng.

B

A

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (1;1; 2), N (3; −1;1) và mặt phẳng
( P) : x − 2 y + z − 1 = 0 . Mặt phẳng (Q ) chứa M , N và vuông góc ( P ) có phương trình:
A. 4 x + 3 y + 2 z = 0;
C. 4 x + 3 y + 2 z + 11 = 0;

B. 2 x − 2 y − z − 4 = 0;
D. 4 x + 3 y + 2 z − 11 = 0.

Hướng dẫn:
Câu hỏi 1: Thử tọa độ M vào các đáp án, ta loại các đáp án nào?
Trả lời: Các đáp án A, B, C .

12


Câu hỏi 2: Đáp án đúng?
Trả lời: Đáp án D.
Đáp án đúng: D.

Nhận xét: Tôi thấy rằng, với phương pháp thử, trong trường hợp này, ta thì chỉ
cần thử tọa độ M mà không cần thử tọa độ các điểm còn lại đã thu được đáp án
đúng, vì ba đáp án A, B, C sai thì chắc chắn đáp án D đúng.
Để củng cố cách làm, tôi xét tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 4;1), B( −1;1;3) và mặt phẳng
( P) : x − 3 y + 2 z − 5 = 0 . Mặt phẳng (Q ) chứa A, B và vuông góc ( P) có phương trình:
A. x + 3 z − 11 = 0;
C. 2 y + 3 z − 11 = 0;

B. y − 2 z − 1 = 0;
D. 2 x + 3 y − 11 = 0.

Đáp án đúng: C.
Ngoài cách thử tọa ở trên, ta còn có thể chỉ thử vectơ pháp tuyến. Xét tiếp ví
dụ sau:
d:

x −1 y z +1
= =
2
1
3 và mặt phẳng

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
(Q) :2 x + y − z = 0 . Mặt phẳng ( P) chứa d và vuông góc với (Q ) có phương trình:
A. 4 x + 2 y + z = 0;

B. x − 2 y − 1 = 0;

C. x + 2 y − 11 = 0;

D. x − 2 y + z = 0.
r r
r ur
r ur
n
.
a
=
0
n
.
n
'
=
0
(
P
)
(
Q
)
n
d
Hướng dẫn: Vì
chứa và vuông góc
nên
và
(với , n ' lần
ur

r
lượt là vectơ pháp tuyến của ( P) , (Q ) , n ' = (2;1 − 1) ; a = (2;1;3) là vectơ chỉ phương

của d ).r r
- Thử nr . aur= 0 , loại các đáp án A, C ;

- Thử n . n ' = 0 , loại tiếp đáp án D ;
Đáp án đúng: B.
Dạng 5: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng.
Ví dụ 1 (Trích đề minh họa THPT QG năm 2020, Câu 34):
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm M (1;1; −1) và vuông góc với
x +1 y − 2 z −1
=
=
2
1 có phương trình:
đường thẳng ∆ : 2

A. 2 x + 2 y + z + 3 = 0; B. x − 2 y − z = 0; C. 2 x + 2 y + z − 3 = 0; D. x − 2 y − z − 2 = 0.

Hướng dẫn:
- Thử tọa độ M vào các đáp án, ta loại các đáp án A, D ;
- Thử vectơ pháp tuyến, ta loại tiếp đáp án B ;
Đáp án đúng: C.
Ta xét các ví dụ tương tự sau:
Ví dụ 2 (Trích đề minh họa TNTHPT năm 2020, Câu 37).

13

Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm M (2;1;0) và vuông góc với

x − 3 y −1 z +1
=
=
4
−2 có phương trình:
đường thẳng ∆ : 1

A. 3x + y + z − 7 = 0; B. x + 4 y − 2 z + 6 = 0; C. x + 4 y − 2 z = 0; D. 3 x + y − z + 7 = 0.
Đáp án đúng: C.

Ngoài dạng toán quen thuộc trên, ta còn gặp dạng toán liên quan đến
phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng cho trước. Xét các ví dụ sau:
Ví dụ 3 (Trích đề thi chính thức THPTQG năm 2017, Câu 26, Mã đề 102).
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(4;0;1), B(−2; 2;3) . Phương trình mặt
phẳngtrung trực của đoạn thẳng AB là:
A. 3 x − y − z = 0;

B. 3 x + y + z − 6 = 0; C. 3 x − y − z + 1 = 0; D. 6 x − 2 y − 2 z − 1 = 0.

Hướng dẫn:

uuu
r

Gọi M là trung điểm AB , thì M (1;1; 2) , ta có AB = (−6; 2; 2);
Mặt phẳng trung
trực của đoạn thẳng AB đi qua M và vuông góc AB nên nhận
uuu

r
r
AB = (−6; 2; 2) hay n = (3; −1; −1) làm vectơ pháp tuyến.
- Thử tọa độ M vào các đáp án, ta loại các đáp án C , D ;
- Thử vectơ pháp tuyến, ta loại đáp án B ;
Đáp án đúng: A.
Trong nhiều bài toán, có thể ta không cần thử tọa độ điểm, mà chỉ cần thử
vectơ pháp tuyến. Xét ví dụ sau:
Ví dụ 4 (Trích đề thi chính thức THPT QG năm 2019, Câu 30, Mã đề 101).
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(4;1; −2), B(5;9;3) . Phương trình mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:
A. 2 x + 6 y − 5 z + 40 = 0; B. x + 8 y − 5 z − 41 = 0; C. x − 8 y − 5 z − 41 = 0; D. x + 8 y + 5 z − 47 = 0.

Đáp án đúng: D.
Dạng 6: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau.
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng ( P) qua gốc O và vuông
góc với hai mặt phẳng (Q) : 2 x − y + 3 z − 1 = 0 , ( R) : x + 2 y + z = 0 là:
A. 7 x + y − 5 z = 0; B. 7 x − y − 5 z = 0; C. 7 x + y + 5 z = 0; D. 7 x − y + 5 z = 0.

Hướng
dẫn:
r ur uur

Gọi n, n1, n2 lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( P), (Q), ( R) .
ur
uu
r
n1 = (2; −1;3), n2 = (1; 2;1)
Ta có:r ur
n . n1 = 0

Thử
, ta loại các đáp án A, C , D , chọn đáp án đúng là B .
Đáp án đúng: B .
Trên cơ sở học sinh nắm được cách thử, tôi cho các em làm tiếp ví dụ sau:

14


Ví dụ 2: Phương trình mặt phẳng ( P) qua A(2;1; −5) và vuông góc với hai mặt
phẳng (Q) : 3 x − 2 y + z + 7 = 0 , ( R) : 5 x − 4 y + 3z + 1 = 0 là:

A. x + 2 y + z − 5 = 0; B. 2 x − 4 y − 2 z − 10 = 0; C . 2 x + 4 y + 2 z + 10 = 0; D. x + 2 y − z + 5 = 0.
Đáp án đúng: A.

Dạng 7: Mặt phẳng đi qua hai điểm và song song một đường thẳng(hay chứa
một đường thẳng và song song một đường thẳng)

B

A

Ví dụ: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;3), B( −5;1; 4) và đường thẳng

x − 3 y −1 z + 1
=
=
4
−2 . Phương trình mặt phẳng ( P) qua A, B và song song với ∆ là:
∆: 1

A. ( P ) : 2 x − 11 y + 23 z − 49 = 0;
B. ( P) : 2 x − 11 y + 23 z + 1 = 0;
C. ( P) : 2 x + 11y + 23z + 49 = 0;
D. ( P ) : 2 x + 11 y − 23 z − 93 = 0.

Hướng dẫn:

uu
r
a2 = (1; 4; −2)
(
P
)
Gọi là vectơ pháp tuyến của
,
là vectơ chỉ phương của ∆ ;
- Thử tọa độ A , loại các đáp án B, D ;
r
n

r uu
r
n.a2 =0,

- Thử
loại đáp án A ;
Đáp án đúng: C.
Dạng 8: Mặt phẳng song song, song song cách đều hai đường thẳng cho trước.
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
d2 :

d1 :

x−2 y z
= =
−1 1 1 ,

x y −1 z − 2
=
=
2 −1
−1 . Phương trình mặt phẳng ( P) song song và cách đều d1 , d 2 là:

A. ( P) : 2 x − 2 z + 1 = 0; B. ( P) : 2 y − 2 z + 1 = 0; C. ( P) : 2 x − 2 y + 1 = 0; D. ( P ) : 2 y − 2 z − 1 = 0.

Hướng dẫn:
ur uu
r
a1 , a2

r
d
,
d
n
1
2
lần lượt là vectơ chỉ phương của
; là vectơ pháp tuyến của

Gọi
( P);
mặt phẳng
r uu
r
- Thử n.a1 =0, ta loại các đáp án A, C ;

d
=d
- Vì (P) cách đều d1 , d 2 nên ( M ,( P)) ( N ,( P)) với M , N lần lượt thuộc d1 , d2 .

15


Lấy M (2;0;0), N (0;1; 2) . Khi đó, thử đáp án B cho khoảng cách từ M , N đến mặt
phẳng ( P) , ta có:

d ( M ,( P )) = d( N ,( P)) =

1
2 2 Vậy, đáp án B thỏa mãn.
.

Đáp án đúng: B
Để học sinh thành thạo hơn cách thử với dạng toán này, tôi xét tiếp ví dụ sau
đây:
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng

d1 :

x − 2 y −1 z
=
=
1
−1 2 ,

x = 2 − t

d 2 :  y = 3 (t ∈ R )
 z = t
. Phương trình mặt phẳng ( P) cách đều d1 , d2 là:
A. ( P) : x + 3 y + z − 8 = 0;
B. ( P) : x + 5 y − 2 z + 12 = 0;
C. ( P) : x − 5 y + 2 z − 12 = 0;
D. ( P) : x + 5 y + 2 z + 12 = 0.
A.

Đáp án đúng:
Dạng 9: Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng cho trước, mặt phẳng cách mặt
phẳng cho trước khoảng l > 0 ; mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước
và cách một điểm cho trước khoảng k > 0 ;
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P), (Q) :
( P) : 2 x − 2 y + z − 4 = 0; (Q) : 2 x − 2 y + z − 8 = 0. Phương trình mặt phẳng ( R) cách đều
( P), (Q) là:
A. ( R) : 2 x − 2 y + z + 6 = 0;
C. ( R) : 2 x − 2 y − z + 1 = 0;

B. ( R) : 2 x + 2 y − 2 z + 1 = 0;
D. ( R) : 2 x − 2 y + z − 6 = 0.

Hướng dẫn:
ur uu
r r
Gọi n1 , n2 , n lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( P), (Q), ( R) . Vì ( R) cách đều
( P), (Q)

nên

( R) song

song

( P), (Q) .

Do đó,

r
ur r uur
n = k .n1, n = l .n2 (k ≠ 0, l ≠ 0)

và

d ( M 0 ,( P )) = d ( M 0 ,(Q ))
với M 0 ∈ ( R) .
r
ur
- Thử n = k .n1 , ta loại các đáp án B, C;

- Lấy

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ( R )

d( M 0 ,( P )) =

10
14
d( M 0 ,(Q )) = ⇒ d
( M 0 ,( P )) ≠ d ( M 0 ,(Q ))
3 ,
3
.

Thử đáp án A , ta có
Vậy, đáp án A không thỏa mãn.
Đáp án đúng: D.
Oxyz , cho hai mặt phẳng: (α ) : x − y + z − 1 = 0,
Ví dụ 2: Trong không gian
( β ) : x − y + z + 2 = 0. Phương trình mặt phẳng ( γ ) cách đều ( α ),( β ) là:

16


A. (γ ) : x − y + z + 5 = 0;
C. (γ ) : 2 x − 2 y + 2 z + 1 = 0;

B. (γ ) : x + y − z + 1 = 0;
D. (γ ) : x + y + z − 1 = 0.

Đáp án đúng: C.
Ngoài dạng toán trên, ta còn gặp dạng toán tìm mặt phẳng song song và

cách điểm cho trước khoảng k > 0 . Ta xét tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1; −1;1) và mặt phẳng
(α ) : − x + 2 y − 2 z + 11 = 0 . Phương trình mặt phẳng ( β ) song song ( α ) và cách A
khoảng k = 2 là:
A. ( β ) : x − 2 y + 2 z + 1 = 0;
B. ( β ) : x − 2 y + 2 z − 11 = 0;
C. ( β ) : x − 2 y + 2 z + 1 = 0 và ( β ) : x − 2 y + 2 z − 11 = 0 ; D. ( β ) : x − 2 y + 2 z + 11 = 0.

Hướng dẫn:
Ta thấy A ∉ (α ) . Vì (α ) song song ( β ) , ở 4 đáp án đều thỏa mãn điều kiện này.
Do đó, ta chỉ cần thử khoảng cách từ A đến ( β ) , ta thấy đáp án C thỏa mãn.
Đáp án đúng: C.
Dạng 10: Tương giao giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Ví dụ 1 (Trích đề thi chính thức THPT QG năm 2017, Câu 33, Mã đề 102).
2
2
2
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + 2) = 2 và hai
x − 2 y z −1
x y z −1
= =
d2 : = =
1
2 −1 ,
1 1 −1 . Phương trình nào dưới đây là
đường thẳng
phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( S ) và song song với d1 , d 2 ?
d1 :

A. x + z + 1 = 0; B. x + y + 1 = 0; C. y + z + 3 = 0; D. x + z − 1 = 0.

Hướng dẫn:
- Thử vectơ pháp tuyến, loại đáp án B, C;
- Thử khoảng cách: Vì mặt phẳng tiếp xúc (S ) nên khoảng cách từ tâm I(-1;1;-2)
đến mặt phẳng bằng bán kính R = 2 , ta loại tiếp đáp án D.
Đáp án đúng: A.
Ví dụ 2 (Trích Đề phát triển Minh họa 2020).
Trong không gian Oxyz , cho điểm I (1; 2;3) và mặt phẳng ( P) : 2 x − 2 y − z − 4 = 0
Mặt cầu (S ) tâm I tiếp xúc ( P) tại H . Tìm tọa độ H :
A. H (−3;0; −2);

B. H ( −1; 4; 4);

C. H (3; 0; 2);

Hướng dẫn:
Vì mặt phẳng ( P) tiếp xúc ( S ) tại H nên IH vuông góc ( P) hay
r

D. H (1; −1; 0)

uur
r
IH = k .n

(với

n = (2; −2;1) là vectơ pháp tuyến của ( P) và k ≠ 0 ) và H ∈ ( P)
.

H ∈ ( P) ,ta loại các đáp án A, B ;
- Thử u
ur
r
- Thử IH = k .n , ta nhận đáp án C.
Đáp án đúng: C.

17


2.3.3. Bài tập tự luyện
Oxyz , phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M (1; −2; 4) và
Bài 1. Trong không gian
r
n = (2;3;5)

nhận

làm vectơ chỉ phương là:

A. (α ) : 2 x + 3 y + 5 z + 16 = 0;
C. (α ) : −2 x + 3 y + 5 z − 12 = 0;

B. (α ) : 2 x − 3 y + 5 z − 28 = 0;
D. (α ) : 2 x + 3 y + 5 z − 16 = 0.

Bài 2 (Trích đề thi chính thức THPT QG năm 2017, Câu 20, Mã đề 103).
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( P) qua A(3; −1; −2) và song song
(Q) : 3 x − y + 2 z − 4 = 0 có phương trình là:
A. 3x + y − 2 z − 4 = 0; B. 3x − y + 2 z + 6 = 0; C. 3x − y + 2 z − 6 = 0; D. 3 x − y − 2 z + 6 = 0.

Bài 3. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; −2; 4), B(3; 2; −1) và mặt phẳng
( P) : x − 4 y + 2 z − 5 = 0. Mặt phẳng (Q ) qua A, B và vuông góc ( P ) có phương trình:
A. 2 x + 2 y + 3 z − 7 = 0; B. 2 x − 2 y + 3 z − 7 = 0; C. 2 x + 2 y + 3 z − 9 = 0; D. 2 x + 2 y + 3 z + 9 = 0.

Bài 4. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(3;1; −1), B(2; −1; 4) và mặt phẳng
( P) : 2 x − y + 3 z = 0. Mặt phẳng (Q ) qua A, B và vuông góc với mặt phẳng ( P) có
phương trình:
A. 2 x − y + 3z − 2 = 0; B. x − 13 y − 5 z + 5 = 0; C. − x + 13 y + 5 z = 0; D. x − 13 y − 5 z + 6 = 0.

Bài 5

(Trích đề thi chính thức THPT QG năm 2018, Câu 21, Mã đề 102):
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; −2) và vuông góc với

x +1 y − 2 z + 3
=
=
1
3 có phương trình:
đường thẳng ∆ : 2
A. 3 x + y + z − 5 = 0; B. 2 x + y + 3 z + 2 = 0;

Bài 6

C. x + 2 y + 3z + 1 = 0;

D. 2 x + y + 3z − 2 = 0.

(Trích đề thi chính thức THPT QG năm 2017, Câu 19, Mã đề 101).

Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt
x −1

=

y+2

=

z −3

?

−2
1
phẳng qua A(3; −1;1) và vuông góc với một đường thẳng ∆ : 3
A. 3x − 2 y + z + 12 = 0; B. 3x − 2 y + z − 8 = 0; C. 3 x − 2 y + z − 12 = 0; D. x − 2 y + 3 z − 2 = 0.

Bài 7

(Trích đề thi chính thức THPT QG năm 2017, Câu 37, Mã đề 101).

18


 x = 1 + 3t

d1 :  y = −2 + t
x −1 y + 2 z
d2 :

=
=
 z = 2
Oxyz
2
−
1
2 và
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
,
,
( P) : 2 x + 2 y − 3 z = 0. Phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm d1 và ( P) , đồng thời
d2

vuông góc

là:

A. 2 x − y + 2 z + 22 = 0; B. 2 x − y + 2 z + 13 = 0; C. 2 x − y + 2 z − 13 = 0; D. 2 x + y + 2 z − 22 = 0.

Bài 8 (Trích đề thi chính thức THPT QG năm 2019, Câu 30, Mã đề 101).
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;3; 0), B(5;1; −2) . Phương trình mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:
A. 2 x − y − z + 5 = 0;

B. 2 x − y − z − 5 = 0;

C. x + y + 2 z − 3 = 0;

D. 3 x + 2 y − z − 14 = 0.

Bài 9. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;1;1) và mặt phẳng ( P) : 2 x + y + 2 z − 1 = 0.
2
(
P
)
(
Q
)
(
P
)
Phương trình mặt phẳng
song song
và khoảng cách từ A đến
bằng 3

là:
2x + y + 2z − 3 = 0
A. ( P ) : 
2 x + y + 2 z − 7 = 0 ;

2x + y + 2z − 3 = 0
B. ( P) : 
2 x + y + 2 z − 5 = 0 ;

2 x + y + 2z −1 = 0
C. ( P) : 
2 x + y + 2z − 2 = 0 ;

2 x + y + 2 z − 2 = 0
D. ( P) : 
 2 x + y + 2 z − 5 = 0.
điểm A(2; −3; 4) và mặt

Bài 10. Trong không gian Oxyz , cho
(α ) : 2 x − 4 y + 4 z + 3 = 0. Phương trình mặt phẳng ( β ) song song
khoảng bằng k = 3 là:
 x − 2 y + 2 z − 25 = 0
A. ( β ) : 
 x − 2 y + 2z − 7 = 0

;

phẳng
(α ) và cách A

B. ( β ) : x − 2 y + 2 z − 25 = 0;

2 x − 4 y + 4 z − 5 = 0
D. ( β ) : 
C. ( β ) : x − 2 y + 2 z − 7 = 0
 2 x − 4 y + 4 z − 13 = 0.
Bài 11. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 2 x − 4 y + 4 z + 3 = 0. Phương trình
mặt phẳng (Q) cách ( P ) khoảng bằng l = 2 là:
A. (Q ) : x − 2 y + 2 z + 9 = 0;
C. (Q) : x − 2 y + 2 z + 1 = 0;

B. (Q) : x − 2 y + 2 z + 5 = 0;

D. (Q ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Tổ chức thực nghiệm
Tổ chức thực nghiệm tại trường THCS - THPT Quan Hóa, huyện Quan Hóa,
gồm: Lớp thực nghiệm: 12B,12C; lớp đối chứng: 12D;

19


Trình độ hai nhóm lớp tương đương nhau, lớp 12B có 30 học sinh, lớp 12C có
27 học sinh, lớp 12D có 25 học sinh, thời gian tiến hành thực nghiệm từ tháng 3
năm 2020 đến tháng 5 năm 2020.
2.4.2. Kết quả định lượng
- Lớp đối chứng (ĐC): 12B, 12C;
- Lớp thực nghiệm (TN): 12D
Số
Điểm/ lớp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 bài
TN 12B,12C

0

1

1

4

18

9

10

8

6

0

57

ĐC 12D

0

2

2

5

6

5

3

2

0

0

25

Kết quả lớp thực nghiệm có 51/57 (chiếm 89,47%) đạt điểm trung bình trở lên,
trong đó có 24/57 (chiếm 42,10%) đạt khá giỏi.
Lớp đối chứng có 16/25 (chiếm 64%) đạt điểm trung bình trở lên, trong đó có
5/25 (chiếm 20%) đạt khá giỏi.
Qua kết quả nghiên cứu ta thấy rằng, ở lớp thực nghiệm tỷ lệ đạt điểm khá giỏi
đều cao hơn các lớp đối chứng. Ngược lại, tỷ lệ điểm trung bình và dưới trung bình
của các lớp đối chứng lại cao hơn. Điều đó phần nào cho thấy học sinh các lớp thực
nghiệm tiếp thu kiến thức nhiều hơn và tốt hơn. Một trong những nguyên nhân đó
là: Ở lớp thực nghiệm, lớp học diễn ra nghiêm túc, học sinh hứng thú học tập, tích
cực, chủ động “đóng vai”, số lượng học sinh tham gia xây dựng bài nhiều làm cho
không khí lớp học sôi nổi kích thích sự sáng tạo, chủ động nên khả năng hiểu và
nhớ bài tốt hơn. Còn ở lớp đối chứng, lớp học vẫn diễn ra nghiêm túc, học sinh vẫn
chăm chú nghe giảng, nhưng các em tiếp thu kiến thức chủ yếu thông qua giáo
viên. Giáo viên sử dụng phương pháp như thông báo, giải thích nên quá trình làm

việc thường nghiêng về giáo viên.
2.4.3. Kết quả định tính
Qua quá trình phân tích bài kiểm tra ở các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng
và theo dõi trong suốt quá trình giảng dạy, tôi có những nhận xét sau:
- Ở các lớp đối chứng:
+ Phần lớn học sinh chỉ dừng lại ở mức độ nhớ và tái hiện kiến thức. Tính độc lập
nhận thức không thể hiện rõ, cách trình bày rập khuôn trong SGK hoặc vở ghi của
giáo viên.
+ Việc vận dụng kiến thức đối với đa số các em còn khó khăn, khả năng khái quát
hóa và hệ thống hóa bài học chưa cao.
+ Giờ học trầm lắng, kém hứng thú, các em vẫn trả lời câu hỏi nhưng chưa nhiệt
tình. Tuy nhiên, vẫn có một số học sinh hiểu bài khá tốt,vận dụng đúng công thức,
làm bài nhanh, chính xác.
- Ở lớp thực nghiệm:

20


+ Phần lớn học sinh hiểu bài tương đối chính xác và đầy đủ
+ Lập luận rõ ràng, chặt chẽ
+ Đa số các em có khả năng vận dụng những kiến thức đã học và kiến thức thực tế .
+ Các em, đặt câu hỏi và trả lời câu hỏi với tinh thần say mê, hào hứng, không khí
giờ học thoải mái.
+ Tuy nhiên, vẫn còn một số ít học sinh chưa nắm vững nội dung bài học, khả năng
phân tích, tổng hợp, khái quát hóa và vận dụng kiến thức chưa tốt.
2.4.4. Kết luận chung về thực nghiệm
Với kết quả thực nghiệm này, tôi có thêm cơ sở thực tiễn để tin tưởng vào khả
năng ứng dụng phương pháp dạy học gắn liền với thực tiễn.
Qua thực nghiệm dạy học, tôi nhận thấy:
- Hứng thú học tập của học sinh cao hơn, hoạt động thảo luận sôi nổi hơn và hiệu

quả cao hơn, học sinh tập trung để quan sát và phân tích, phát biểu xây dựng bài tốt
hơn.
- Tăng cường thêm một số kỹ năng hoạt động học tập cho HS như quan sát, phân
tích, tổng hợp, so sánh, kỹ năng làm việc độc lập
- Hoạt động của giáo viên nhẹ nhàng, thuận lợi hơn để có thể tập trung vào việc
đưa HS vào trung tâm của hoạt động dạy học.
- Kiến thức được cung cấp thêm, bổ sung và làm rõ SGK, đồng thời gắn với thực
tiễn nhiều hơn.
Do giới hạn về thời gian cũng như các điều kiện khác nên tôi chưa thực hiện
thực nghiệm được trên quy mô lớn hơn. Chính vì thế mà kết quả thực nghiệm chắc
chắn chưa phải là tốt nhất.

21


PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Từ những kết quả nghiên cứu tôi rút ra những kết luận chính sau:
- Bước đầu hệ thống hóa được cơ sở lý luận và thực tiễn của việc sử dụng phương
pháp dạy học trắc nghiệm gắn với thực tiễn. Nhằm phát huy tính tích cực, chủ động
sáng tạo của học sinh.
- Xây dựng được quy trình dạy học trắc nghiệm: xây dựng lý thuyết, bài tập vận
dụng dạng tự luận để ghi nhớ công thức, bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận.
- Tiến hành thực nghiệm ở một số lớp, những kết quả bước đầu đã đánh giá được
hiệu quả của phương pháp dạy trong dạy học. Từ đó kết luận được phương pháp.
3.2. Kiến nghị
Qua nghiên cứu đề tài này, tôi rút ra một số kiến nghị sau:
- Cần phát huy tối đa vai trò của phương pháp dạy học trắc nghiệm gắn liền với
thực tiễn.
- Giáo viên cần có biện pháp cụ thể để rèn luyện kỹ năng làm bài tập dạng trắc

nghiệm đối với từng đối tượng học sinh (trình độ trung bình hay khá, giỏi).
- Ngoài ra cần bố trí phòng máy chiếu hợp lí để học sinh không mất nhiều thời gian
di chuyển cũng như ổn định trật tự thời gian đầu giờ.
Do khả năng và thời gian có hạn nên kết quả nghiên cứu mới chỉ dừng lại ở
những kết luận ban đầu và nhiều vấn đề chưa đi sâu. Các dạng toán tôi đưa ra chưa
bao quát hết được dạng toán liên quam đến phương trình mặt phẳng. Vì vậy không
thể tránh khỏi những thiếu sót, do đó kính mong nhận được sự góp ý của quý thầy
cô đồng nghiệp để đề tài dần hoàn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 24 tháng 6 năm 2020
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

22


Nguyễn Hữu Hùng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuẩn kiến thức kĩ năng môn Toán THPT, Bộ Giáo dục và Đào tạo.
2. Luyện thi trung học phổ thông quốc gia năm 2018, 2019, Nhà xuất bản giáo dục.
3. Giáo trình Hình học lớp 11, Hình học lớp 12, Nhà xuất bản giáo dục năm 2006
4. Một số tài liệu, chuyên đề ôn thi đại học, đề thi thử của một số trường THPT.
5. Đề thi, đề minh họa Thi Tốt nghiệp THPT các năm từ 2017 đến 2020.

23