Sáng kiến kinh nghiệm: Một số giải pháp nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán trong trường trung học phổ thông

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Hội đồng sáng kiến tỉnh Ninh Bình.
Chúng tôi là:
Tỷ lệ (%)
Trình độ
Ngày tháng
Chức
đóng góp vào
Nơi công tác
chuyên
năm sinh
vụ
việc tạo ra
môn
sáng kiến

STT

Họ và tên

1.

Bùi Thị Ngọc Lan

7/10/1972

THPT Yên
Khánh A

Phó Thạc sĩ
hiệu
trưởng

10%

2.

Bùi Thị Lợi

7/8/1978

THPT Yên Tổ
Thạc sĩ
Khánh A trưởng
chuyên
môn

10%

3

Vũ Thị Thu Trang

02/09/1984

THPT Yên
Khánh A

Giáo Cử nhân
viên

60%

4.

Trần Ngọc Uyên

16/5/1980

THPT Yên
Khánh A

Giáo Cử nhân
viên

10%

5.

Phạm Thị Ngọc Lan

16/6/1979

THPT Yên
Khánh A

Giáo Cử nhân
viên

10%

1. TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG
Tên sáng kiến: “ Một số giải pháp nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán
trong trường trung học phổ thông”
Lĩnh vực áp dụng: Toán THPT.
2. NỘI DUNG
a. Giải pháp cũ thường làm.
Trước đây khi thi tự luận, số lượng câu hỏi ít, học sinh mất điểm chủ yếu là do
không nắm được kiến thức cơ bản, tính toán sai và không biết cách trình bày. Do đó giáo
viên trong quá trình dạy học chủ yếu tập trung rèn kĩ năng trình bày bài không thiếu
bước, kĩ năng tính toán chính xác.

Trang 1/74


Nhưng hiện nay, với hình thức thi trắc nghiệm khách quan, với số lượng câu hỏi nhiều:
50 câu/ 1 đề, thời gian làm bài ngắn 90 phút nên đòi hỏi giáo viên cần phải xây dựng hệ
thống câu hỏi trắc nghiệm thật chất lượng, học sinh phải có tốc độ làm bài nhanh và
chính xác mới có thể đạt điểm cao. Với hình thức thi này thì học sinh khá giỏi đôi khi vẫn
bị sai những câu ở mức độ nhận biết, thông hiểu vì một số nguyên nhân sau:
• Các em đọc đề bài không kĩ, mặc định câu hỏi theo những câu quen thuộc mà
mình đã làm.
• Các em xác định sai yêu cầu bài toán do nắm không chắc kiến thức cơ bản, không
học kĩ lý thuyết.
• Các em tính toán sai.
Trước đây khi dạy học toán ở trường THPT chúng tôi dạy theo từng bài để đảm bảo lý
thuyết cơ bản cho học sinh. Sau mỗi bài chúng tôi cho bài tập tự luận đủ dạng cho học
sinh để củng cố kiến thức. Sau đó chúng tôi trắc nghiệm hóa những bài tập tự luận chỉ cốt

sao có đáp án đúng, những phương án còn lại nhiễu ngẫu nhiên. Trong những tiết ôn tập
phát bài cho học sinh làm. Trên lớp chữa bài cho học sinh bằng cách: các câu cơ bản yêu
cầu các em đọc đáp án, các câu hỏi ở mức Vận dụng hoặc Vận dụng cao giáo viên chữa
cụ thể. Mỗi giáo viên tự soạn bài dạy của mình, rất ít có sự trao đổi chuyên môn.
Cách làm này có những ưu điểm và nhược điểm sau:
* Ưu điểm:
1. Học sinh được rèn kĩ năng tính toán, trình bày qua những bài tập tự luận.
2. Giáo viên chỉ cần dùng những bài tập cũ có sẵn để dạy học sinh. Không tốn
nhiều thời gian cho việc soạn câu hỏi trắc nghiệm.
* Nhược điểm
1. Ra đề trắc nghiệm theo hướng trắc nghiệm hóa bài toán tự luận không đúng với
phương pháp ra đề thi trắc nghiệm
2. Không đủ thời gian để dạy tự luận rồi mới dạy trắc nghiệm nên không rèn cho
học sinh được nhiều.
3. Lượng câu hỏi trắc nghiệm đưa ra không được nhiều dẫn đến học sinh làm chưa
hết được các dạng toán. Câu hỏi đưa ra không đa dạng nên không tạo ra sự linh hoạt cho
học sinh khi làm bài.
4. Tự bản thân từng giáo viên soạn bài dạy của mình mất quá nhiều thời gian
nhưng vẫn có thể chưa đủ dạng, chưa có nhiều câu hỏi hay để phát triển tư duy của học
sinh.
5. Học sinh không được làm nhiều toán trắc nghiệm nên tốc độ làm bài chậm. Khó
đáp ứng xu thế thi hiện nay.
6. Không kiểm soát được những sai lầm của học sinh mắc phải trong chính những
câu hỏi ở mức độ Nhận biết – Thông hiểu.
7. Học sinh không biết sử dụng các kiến thức đã học để loại trừ đáp án nhiễu.
8. Học sinh không được kiểm tra đánh giá thường xuyên nên không tự đánh giá
được năng lực của mình, giáo viên cũng khó nắm bắt được tình hình của học sinh. Do đó
không điều chỉnh kịp thời được cách học và cách dạy.
b. Giải pháp mới cải tiến.
Trang 2/74

Với thời đại 4.0, giáo dục hướng tới phát triển cá nhân một cách tổng thể. Ở
trường chúng tôi cơ sở vật chất tương đối tốt với máy chiếu được lắp đặt tại 100% các
lớp học từ năm học 2017 – 2018, thư viện điện tử được trang bị máy tính hiện đại có kết
nối Internet. Do đó việc dạy học cũng cần bắt kịp với sự thay đổi của thời đại. Với giai
đoạn hiện nay, thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh phản xạ nhanh với các kiểu câu hỏi và bài
tập, làm bài trong thời gian ngắn nhất nhưng hiệu quả nhất, biết suy luận lôgic để loại trừ
đáp án gây nhiễu. Do đó ngoài việc cung cấp đầy đủ lý thuyết cho học sinh thông qua các
tiết học bài mới chúng tôi đã cải tiến phương pháp dạy toán THPT thông qua các giải
pháp như sau:
GIẢI PHÁP 1. Cải tiến mạnh mẽ sinh hoạt chuyên môn
Theo sự chỉ đạo của Sở giáo dục và đào tạo, của lãnh đão trường chúng tôi tiến
hành sinh hoạt chuyên môn thường xuyên: một tuần ít nhất một buổi. Trong các buổi sinh
hoạt chuyên môn đó tổ trưởng đưa ra nhận xét những ưu nhược điểm của tuần trước,
thông báo kế hoạch của tuần tới, thành viên trong tổ ý kiến. Sau đó chúng tôi dành nhiều
thời gian hơn để làm những việc nhau:
1. Chúng tôi chia riêng các nhóm khối 10, khối 11, khối 12 để tiến hành soạn giáo
án chung cho cả tổ: Nhóm trưởng xây dựng đề cương, xin ý kiến các thành viên trong
nhóm sau đó gửi tổ trưởng duyệt để đảm bảo không thiếu dạng, lượng câu hỏi vừa đủ.
Khi đề cương đã được duyệt tiến hành làm bài, phản biện và nộp bài theo đúng quy định
trên Facebook bằng đường Link tải lên Drive.
(PHỤ LỤC TRANG)
2. Thường xuyên tổ chức xây dựng các tiết sinh hoạt chuyên môn theo hướng
nghiên cứu bài học.
(PHỤ LỤC TRANG)
3. Các thành viên trong tổ thường xuyên trao đổi các bài toán khó, các bài toán
hay, lạ và đặc biệt là chính những sai lầm bản thân giáo viên mắc phải. Quan điểm của
các thành viên là không dấu dốt, không giữ cho riêng mình những tài liệu hay và quý.
(PHỤ LỤC TRANG)

4. Ngoài giờ sinh hoạt chuyên môn theo quy định chúng tôi còn lập các nhóm trên
Facebook để tiếp tục trao đổi chuyên môn.
(PHỤ LỤC TRANG)
5. Chúng tôi tham gia rất nhiệt tình vào các diễn đàn Toán trên Facebook như:
Diễn đàn giáo viên Toán, Nhóm word hóa tài liệu và đề thi Toán, Nhóm Toán VD – VDC,
Nhóm Strong Team Toán VD, VDC
(PHỤ LỤC TRANG)
GIẢI PHÁP 2. Hướng dẫn học sinh làm việc theo nhóm kết hợp tự học, tự nghiên
cứu.
Bởi vì không ai là hoàn hảo, không ai có thể cáng đáng hết tất cả mọi việc. Do đó
chúng ta cần phải làm việc nhóm, tập trung các điểm mạnh của mọi người và bổ sung cho
nhau để hoàn thành công việc một cách tốt nhất. Trong học toán việc làm việc theo nhóm
là rất quan trọng. Chúng tôi đã tiến hành theo 2 hình thức:
1. Hoạt động nhóm trong giờ học bằng 1 trong hai cách tùy vào yêu cầu kiến thức:
Trang 3/74


Cách 1: Tạo các nhóm học sinh có đủ các trình độ để tham gia các hoạt động nhóm với
những bài tập mới.
Cách 2: Tạo các nhóm học sinh có trình độ như nhau trong các giờ luyện tập rèn kĩ năng.
Nắm bắt tình hình cụ thể của học sinh để thay đổi và xếp nhóm cho phù hợp với năng lực
của các em.
( PHỤ LỤC 1 - TRANG 08 )
2. Hoạt động nhóm ngoài giờ học trên lớp bằng hình thức lập nhóm học trên
Facebook hoặc Zalo có sự giám sát trực tiếp của giáo viên để các em trao đổi công việc
của nhóm mình. Giáo viên giải đáp kịp thời các thắc mắc của học sinh.
3. Sau mỗi tiết học lý thuyết chúng tôi giúp các em ghi nhớ kiến thức cơ bản bằng
cách: Yêu cầu các nhóm học sinh họp bàn để tóm tắt lý thuyết thông qua sơ đồ tư duy.
Giáo viên kiểm tra tính chính xác của kiến thức trong sơ đồ tư duy. Để tránh mất nhiều
thời gian của các em, với mỗi phần sau khi đã chốt được kiến thức đúng chúng tôi giao

cho 1 nhóm học sinh của 1 lớp làm. Các em có thể sử dụng phần mềm vẽ sơ đồ tư duy
Imindmap hoặc tự vẽ trên giấy (Tùy vào đặc điểm của kiến thức). Sau khi có sản phẩm
chúng tôi sẽ cho phổ biến đến các lớp. In phóng to và treo tại lớp học làm tư liệu cho các
em. (PHỤ LỤC - TRANG 9 )
4. Sau mỗi chuyên đề lớn chúng tôi tiếp tục yêu cầu các nhóm học sinh tóm tắt
các dạng toán thường gặp gồm: Phương pháp giải từng dạng toán và bài tập áp dụng cho
dạng toán đó. Chúng tôi khuyến khích học sinh tìm tòi các bài tập trong các đề thi thử
của các trường và đặc biệt là trong các đề thi của Bộ giáo dục. Sau đó chúng tôi tổ chức
cho các nhóm học sinh báo cáo kết trên lớp bằng Powerpoint. Các nhóm còn lại lắng
nghe và phản biện. Các em tự đánh giá và đánh giá bạn. Giáo viên đóng vai trò giám
khảo chấm điểm cho các nhóm, chuẩn hóa kiến thức. Yêu cầu các nhóm chỉnh sửa hoàn
chỉnh bài và gửi lại lên nhóm lớp làm kho tư liệu học tập
(PHỤ LỤC TRANG 15 )
Trong các hoạt động nhóm ngoài giờ học giáo viên yêu cầu nhóm trưởng phân công
nhiệm vụ cụ thể cho từng bạn trong nhóm, hướng dẫn các em tìm tài liệu trên thư viện
sách và thư viện điện tử của nhà trường.
GIẢI PHÁP 3. Xây dựng ngân hàng câu trắc nghiệm phù hợp với từng đối tượng
học sinh.
Để có những tiết học hiệu quả mỗi giáo viên chúng ta cần chuẩn bị cho mình một
giáo án chất lượng vừa đảm bảo kiến thức vừa bắt kịp với hình thức thi mới. Do đó chúng
tôi đã đổi mới như sau:
1. Mỗi tuần tổ trưởng đưa ra một chuyên đề: Yêu cầu mỗi đồng chí tổ viên làm
một chủ để nhỏ trong chuyên đề lớn.
2. Các câu hỏi trong mỗi chủ đề cần đảm bảo đầy đủ các dạng toán cơ bản, đủ 4
mức độ Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng và Vận dung cao. Cập nhật kịp thời các đề
thi của Bộ giáo dục các năm trước và đề thi thử của các trường. Yêu cầu các câu hỏi đưa
ra phải phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm: Lời giải ngắn gọn, các đáp án nhiễu là
những sai lầm học sinh hay mắc và đặc biệt cần hạn chế việc thử trực tiếp bằng máy tính.
3. Phân công phản biện bài vòng tròn để hạn chế tối đa sai sót.
Trang 4/74

4. Phân công người tổng hợp: Tách riêng đề, riêng đáp án, gửi sản phẩm lên nhóm
đúng thời gian quy định.
5. Tùy vào đối tượng học sinh giáo viên sử dụng các câu hỏi trong ngân hàng đề
một cách hợp lý. (PHỤ LỤC - TRANG 35 )
GIẢI PHÁP 4. Tổ chức kiểm tra và thi thử Online
Cùng với sự phát triển của xã hội, ngành công nghệ thông tin cũng có những bước
phát triển mạnh mẽ. Giờ đây, chỉ với một cú click chuột, cả thế giới đã ở trong tầm tay .
Cũng như vậy, việc đánh giá, kiểm tra học sinh không còn gói gọn theo mô hình lớp học
truyền thống . Cùng với sự hỗ trợ của thư viện điện tử, máy tính và Smartphone. Chúng
tôi đã thay đổi hình thức kiểm tra đánh giá như sau: Sau mỗi bài hoặc mỗi chương yêu
cầu học sinh làm đề Online có thể là đề 15 phút, 30 phút hoặc 45 phút, 90 phút tùy thuộc
vào đặc thù mỗi chương, mỗi bài học.
1. Giáo viên chuẩn bị đề và đáp án chi tiết.
2. Giáo viên tạo đề thi Online bằng ứng dụng Google Biểu mẫu và Google Sites
của Google Drive.
3. Giáo viên tổ chức thi cho học sinh trên thư viện điện tự hoặc thi ở nhà bằng
cách: Đúng thời gian quy định giáo viên phụ trách các lớp cung cấp đường Link
cho các em học sinh trên nhóm lớp gồm có 1 đường link đề và 1 đường link phiếu
trả lời trắc nghiệm hoặc cung cấp 1 đường link có cả đề và phiểu trả lời trắc
nghiệm.
4. Giáo viên tiến hành gửi bảng tổng hợp kết quả trên nhóm lớp. Nêu nhận xét
cho học sinh.
5. Tung đáp án chi tiết trên nhóm lớp ngay sau khi hết giờ làm bài.
6. Giáo viên tổ chức chữa bài Online hoặc Offline cho học sinh tùy vào tình hình
thực tế.
(PHỤ LỤC 04 – TRANG 36 )
GIẢI PHÁP 5. Phân tích sai lầm của học sinh khi làm toán trắc nghiệm. Đề xuất
phương án hạn chế sai lầm.

Với một bài tập tự luận dù là ở mức độ nhận biết chúng ta cũng có thể xây dựng
nên rất nhiều câu hỏi trắc nghiệm. Một sai lầm lớn nhất khi dạy toán trắc nghiệm đó là
chỉ chú trọng vào việc khoanh đáp án đúng mà không quan tâm đến phân tích những sai
lầm có thể mắc phải trong câu hỏi đó. Nhận thức rõ điều này chúng tôi đã thay đổi cách
dạy như sau:
1. Khi đưa ra cho học sinh một câu hỏi trắc nghiệm chúng tôi cần chọn lựa kĩ lưỡng
dựa trên những tiêu chí sau:
• Câu hỏi đưa ra đang kiểm tra lượng kiến thức nào?
• Các đáp án nhiễu đưa ra dựa trên những sai lầm nào hay gặp nhất của học sinh?
• Đưa ra các câu hỏi tương tự để học sinh hạn chế các sai lầm.
• Đưa ra các câu hỏi nâng cao để vừa rèn kiến thức cũ vừa phát triển tư duy cho
học sinh.
• Câu hỏi đưa ra có thể giải nhanh được hay không?

Trang 5/74


2. Dạy học sinh sử dụng MTCT một cách linh hoạt. Xây dựng hệ thống bài tập hạn
chế thử ngay được bằng máy tính để hướng học sinh phải hiểu bản chất của bài toán.
3. Với mỗi sai lầm của học sinh chúng tôi phân tích thật kĩ nguyên nhân cho học sinh
chứ không chỉ quan tâm đến đáp án đúng.
4. Chúng tối cố gắng lựa chọn những câu hỏi sao cho học sinh làm sai bài toán mà
vẫn chọn được đáp án đúng. Sau đó chúng tôi đưa ra luôn bài tập mà với cách hiểu sai đó
lập tức học sinh làm sai ngay. Để các em thấy việc quan trọng là hiểu bản chất vấn đề chứ
không phải chỉ quan tâm đến đáp án đúng.
(PHỤ LỤC – TRANG 53 )
Ưu điểm của giải pháp mới:
Giải pháp 1. Cải tiến mạnh mẽ sinh hoạt chuyên môn
1. Khi chúng tôi tiến hành làm đề cương theo nhóm lợi ích lớn nhất đó là chúng tôi không
mất quá nhiều thời gian trong quá trình soạn bài của cá nhân nữa. Chỉ tham gia một nhóm

mà nhận được sản phẩm của cả ba khối lớp.
2. Các tiết sinh hoạt chuyên môn theo nghiên cứu bài học chúng tôi đã xây dựng được rất
nhiều tiết học chất lượng: vẫn đảm bảo truyền đạt kiến thức cho học sinh và đặc biệt học
sinh rất hứng thú trong các tiết học đó.
3. Tích cực trao đổi chuyên môn cả trong thời gian quy định và trên Face book, Zalo để
có thể trao đổi mọi lúc, có vấn đề gì băn khoăn, có bài toán khó chưa giải được thì nhờ sự
giúp đỡ của đồng nghiệp. Để không giáo viên nào còn băn khoăn vấn đề gì khi lên lớp.
Để không có thành viên nào trong tổ bị ở lại phái sau. Để tự tin đứng trước học sinh.
4. Khi tham gia các nhóm Toán trên mạng Internet chúng tôi đã rất tích cực làm bài vì
vậy chúng tôi đã nhận được một nguồn tài liệu khổng lồ cho tổ
Giải pháp 2. Hướng dẫn học sinh làm việc theo nhóm kết hợp tự học, tự nghiên cứu.
1. Khi các em tham gia làm việc theo nhóm đã đạt được những lợi ích sau:
Trước hết, hoạt động làm việc nhóm sẽ nâng cao tính tương tác giữa các thành viên nhằm
tác động tích cực đến người học như tăng cường động cơ học tập, nảy sinh những hứng
thú mới, kích thích sự giao tiếp, phát triển các mối quan hệ và quan tâm lẫn nhau giữa các
thành viên trong nhóm.
Thứ hai, hoạt động làm việc nhóm giúp chúng ta học hỏi được kiến thức của nhau, cùng
chia sẻ kinh nghiệm.
Thứ ba, hoạt động làm việc nhóm sẽ tăng khả năng phối hợp và tinh thần trách nhiệm của
mỗi thành viên trong nhóm.
Thứ tư, hoạt động làm việc nhóm giúp chúng ta cải thiện khả năng giao tiếp, trình bày, tự
tin thể hiện trước đám đông.
2. Khi các em học sinh biết tự học, tự nghiên cứu các em đã đạt được những lợi ích
sau:
• Tự học giúp các em lĩnh hội tri thức một cách chủ động, toàn diện, hứng thú.
• Tự học giúp các em nhớ lâu và vận dụng những kiến thức đã học một cách hữu ích
hơn trong cuộc sống. Không những thế tự học còn giúp con người trở nên năng
động, sáng tạo, không ỷ lại, không phụ thuộc vào người khác. Từ đó biết tự bổ
sung những khiếm khuyết của mình để tự hoàn thiện bản thân.
Trang 6/74

• Tự học là con đường ngắn nhất và duy nhất để hoàn thiện bản thân và biến ước mơ
thành hiện thực. Người có tinh thần tự học luôn chủ động, tự tin trong cuộc sống.
Giải pháp 3. Xây dựng ngân hàng câu trắc nghiệm phù hợp với từng đối tượng học
sinh.
Phương châm của việc xây dựng ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm là một người chỉ
làm một phần việc nhỏ nhưng nhận được sản phẩm là cả một chuyên đề lớn, tiết kiệm
thời gian cho giáo viên, đồng thời cũng chính là một hình thức để mỗi giáo viên học hỏi
nâng cao trình độ chuyên môn. Tạo ra một ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm có chất lượng
phục vụ trực tiếp cho việc giảng dạy, cho việc tự học, tự nghiên cứu của học sinh.
Giải pháp 4. Tổ chức kiểm tra và thi thử Online
Khi tổ chức kiểm tra và thi thử Online chúng tôi đã nhận thấy những ưu điểm sau:
• Học sinh được tiếp cận với sự phát triển của công nghệ tạo hứng thú học tập rất tốt
cho các em.
• Ngay sau khi nộp bài các em sẽ biết số điểm của mình, biết mình sai câu nào. Các
em so sánh được điểm của mình so với mặt bằng chung. Giúp các em điều chỉnh
kịp thời cách học. Các em được đối chiếu ngay với đáp án chi tiết tăng khả năng
tự đọc, tự học của các em. Các em được giải đáp luôn các thắc măc.
• Giáo viên nắm bắt được kết quả của lớp mình ngay sau khi hết giờ làm bài. Việc
kiểm tra trở nên nhanh chóng, thuận lợi.
• Một ưu điểm rất lớn nữa đó là tận dụng tối đa thời gian tự học của học sinh. Các
em được ôn luyện gấp nhiều lần việc chỉ kiểm tra, thi thử truyền thống.
Giải pháp 5. Phân tích sai lầm của học sinh khi làm toán trắc nghiệm. Đề xuất
phương án hạn chế sai lầm.
Đối với mỗi câu hỏi trắc nghiệm khi chúng tôi đã phân tích kĩ sai lầm cho
học sinh và lấy luôn ví dụ cho các em áp dụng chúng tôi nhận thấy các em đã có tiến bộ
rõ rệt cho những câu hỏi sau. Do đó hạn chế tối đa việc các em sai những câu hỏi nhận
biết thông hiểu trong đề thi.
3. HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI DỰ KIẾN ĐẠT ĐƯỢC

a. Hiệu quả kinh tế
Với sự nhiệt tình trong giảng dạy và hướng dẫn học sinh tự học, tự tìm tòi, cùng
với sự hỗ trợ của mạng Internet đem lại hiệu quả rất lớn cho cả người dạy lẫn người học.
Mỗi học sinh không phải mất hàng triệu đồng thậm chí hàng chục triệu đồng để đi học
thêm ở các trung tâm luyện thi mà các em vẫn nắm được kiến thức một cách sâu sắc và
vận dụng một cách sáng tạo vào cuộc sống.
Những phẩm chất và những trải nghiệm mà các em học sinh lĩnh hội được sau bài
học giúp các em có thêm hiểu biết, giúp tinh thần tự học, tự nghiên cứu lên cao, các em
định hướng được mục đích sống tốt đẹp, tránh xa được các tai tệ nạn xã hội. Ngoài ra
những phẩm chất đó còn giúp cho các em khi trưởng thành, sẽ trở thành những công dân
có ích cho đất nước, những chính trị gia, những nhà khoa học, những nhà kinh tế……
phục vụ tổ quốc, làm giàu cho quê hương đất nước.
b. Hiệu quả xã hội
Trang 7/74


Dạy học theo hướng đổi mới ở trên không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy, phát
triển khả năng tự học, tự giác tích cực trong học tập mà còn giúp cho các em hình thành
các năng lực, phẩm chất cao quý, cần thiết cho xã hội hiện đại, xã hội của công nghệ
thông tin, của số hóa, của liên kết và hợp tác toàn cầu, cần thiết cho hội nhập và phát
triển.
Ngoài ra giúp học sinh hứng thú học tập, lôi cuốn vào các hoạt động học, tạo ra
môi trường học tập lành mạnh, bạn học, tôi học từ đó các em không còn thời gian mà sa
vào các tai tệ nạn xã hội, tạo môi trường sống tốt đẹp hơn. Các em biết yêu thương, quý
trọng bản thân, cha mẹ, ông bà, yêu thương gia đình, quê hương đất nước, sống có ý
nghĩa, sống có trách nhiệm.
Từ năm học 2017– 2018 đến nay, đề tài được tiến hành áp dụng ở các lớp của cả
ba khối ở trường tôi và đặc biệt là lớp 12. Chúng tôi nhận thấy chất lượng dạy và học
môn Toán được nâng lên rõ rệt được cụ thể như sau:
KẾT QUẢ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH

Năm học

Giải nhất

Giải nhì

Giải ba

Giải khuyến
khích

2016 – 2017

0

1

0

1

2017 – 2018

0

1

2

0

2018 - 2019

1

0

2

0

KẾT QUẢ THI THPT QUỐC GIA
Năm học

TB các lớp dạy

TB của trường

TB toàn tỉnh

TB toàn quốc

2016 – 2017

7.47

7.37

5.78

5.19

2017 – 2018

6.87

6.42

5.17

4.86

Do đặc điểm của đề thi, năm học 2016 – 2017 điểm thi của toàn quốc cao hơn năm học
2017 – 2018. So tỉ lệ thì khi áp dụng phương pháp mới chúng tôi đã đạt được những kết
quả nhất định.
4. ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Đề tài được áp dụng khi dạy học sinh học Toán THPT. Đề tài có tính khả thi cao,
có thể thực hiện ở nhiều trường THPT trong toàn tỉnh cũng như trong cả nước.
Danh sách những người đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu:

TT

Họ và tên

1.

Bùi Thị Lợi

Ngày
tháng năm Nơi công tác

sinh

Chức
danh

Trình độ
Nội dung công việc
chuyên
hỗ trợ
môn

7/10/1972 Yên Khánh Giáo viên Thạc sĩ Áp dụng giảng dạy
A
thử lớp 12A, 11A,

Trang 8/74


10 E
2.

Vũ Thị Thu Trang

7/8/1978

Yên Khánh
Áp dụng giảng dạy
Giáo viên Cử nhân
A
thử lớp 12B, 12K.

3. Phạm Thị Ngọc Lan

16/6/1979 Yên Khánh
Áp dụng giảng dạy
Giáo viên Cử nhân
A
thử lớp 12C, 11G

4.

Trần Ngọc Uyên

16/5/1980 Yên Khánh
Áp dụng giảng dạy
Giáo viên Cử nhân
A
thử lớp 12G, 10B.

5.

Bùi Thị Ngọc Lan

7/10/1972 Yên Khánh
Áp dụng giảng dạy
Giáo viên Thạc sĩ
A
thử lớp 10A, 11K.

Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và

hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.
XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO
ĐƠN VỊ CƠ SỞ

Yên Khánh, ngày 20 tháng 04 năm 2019
Người nộp đơn
Bùi Thị Ngọc Lan
Bùi Thị Lợi
Phạm Thị Ngọc Lan
Trần Ngọc Uyên
Vũ Thị Thu Trang

Trang 9/74


PHỤ LỤC 1 : MỘT SỐ SƠ ĐỒ TƯ DUY CỦA HỌC SINH
1. Học sinh vẽ trên phần mềm vẽ sơ đồ tư duy Imindmap

Trang 10/74


2. Học sinh vẽ trên giấy
Trang 11/74


3. Học sinh trình bày trên Powerpoint

Trang 12/74

Trang 13/74


PHỤ LỤC 2

Trang 14/74


MỘT SỐ SẢN PHẨM BÁO CÁO TRƯỚC LỚP CỦA HỌC SINH
I. MỘT SỐ HÌNH ẢNH BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ

Trang 15/74


II. MỘT SỐ ĐƯỜNG LINK SẢN PHẨM POWERPOINT BÁO CÁO CỦA HỌC SINH
1. Phương trình
/>2. Đạo hàm tiếp tuyến
/>3. Véc tơ
/>4. Tổ hợp xác suất, dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân, lượng giác
/>5. Phương trình mặt cầu
Trang 16/74


/>PHỤC LỤC 3
GIÁO ÁN ÔN TẬP CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM VÀ TIẾP TUYẾN THEO HÌNH THỨC HOẠT
ĐỘNG NHÓM CỦA HỌC SINH VÀ KIỂM TRA ONLINE
I. HỌC SINH CHUẨN BỊ Ở NHÀ THEO HÌNH THỨC CÁ NHÂN
1. Nhắc lại định nghĩa đạo hàm (2 cách). Tìm điều kiện của tham số để hàm số có đạo hàm tại
một điểm.
2. Ứng dụng vật lý của đạo hàm.

3. Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của hàm số khi biết tạo độ tiếp điểm, khi biết điểm
đi qua, khi biết hệ số góc.
4. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị.
5. Một số tính chất đặc biệt liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba, bậc nhất trên bậc
nhất.
II. BÀI TẬP LÀM TRƯỚC Ở NHÀ THEO HÌNH THỨC CÁ NHÂN KẾT HỢP NHÓM
1. Học sinh làm bài theo hình thức cá nhân. Nộp bài cho giáo viên.
2. Sau khi nộp bài song, trao đổi bài trên nhóm của mình. Các nhóm thống nhất rồi nộp bài cho
giáo viên theo từng nhóm.
3. Giáo viên cung cấp đáp án chi tiết cho học sinh. Căn cứ vào kết quả giáo viên sẽ chữa trên lớp
những câu hỏi mà nhiều học sinh sai sót.
HỆ THỐNG BÀI TẬP
Câu 1.
sai?

Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x0 là f ′( x0 ) . Khẳng định nào sau đây là

A. f ′( x0 ) = xlim
→x

f ( x + x0 ) − f ( x0 )
.
x − x0

B. f ′( x0 ) = ∆lim
x →0

f ( x0 + ∆ x) − f ( x0 )
.
∆x

C. f ′( x0 ) = xlim
→x

f ( x) − f ( x0 )
.
x − x0

D. f ′( x0 ) = lim
h→0

f (h + x0 ) − f ( x0 )
.
h

0

0

Lời giải
Chọn A
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Câu 2.

2018
2
Cho f ( x ) = x − 1009 x + 2019 x . Giá trị của lim

∆x →0

A. 1009 .

B. 1008 .

C. 2018 .
Lời giải

Chọn D.

f ( ∆x + 1) − f ( 1)
bằng:
∆x
D. 2019 .

f ( ∆x + 1) − f ( 1)
= f ' ( 1) .
∆x → 0
∆x
2017
Mà f ' ( x ) = 2018 x − 2018 x + 2019 ⇒ f ' ( 1) = 2019 .
Theo định nghĩa đạo hàm ta có lim

Vậy giá trị của lim

∆x → 0

f ( ∆x + 1) − f ( 1)
= 2019 .
∆x

Trang 17/74


 x 2 + ax + b, x ≥ 2
y
=
Cho hàm số
. Biết hàm số có đạo hàm tạị x = 2 . Giá
 3 2
 x − x − 8 x + 10, x < 2

Câu 3.

trị của a 2 + b 2 bằng
A. 20 .

B. 17 . C. 18 .

D. 25 .
Lời giải

Chọn A
TXĐ D = ¡ .
2
 x + ax + b, x ≥ 2
y = f(x)=  3
2
 x − x − 8 x + 10 , x < 2

f ( x )− f ( 2)

x 2 + ax + b − ( 4 + 2a + b )
= lim+
= lim+ ( x + 2 + a ) = a + 4
x →2
x →2
x →2
x−2
x−2
f ( x )− f ( 2)
x 3 − x 2 − 8 x + 10 − ( 4 + 2a + b )
x 3 − x 2 − 8 x + 6 − 2a − b
lim−
= lim−
= lim−
x →2
x→2
x →2
x−2
x−2
x−2
f ( x )− f ( 2)
f ( x )− f ( 2)
= lim−
Hàm số có đạo hàm tại x = 2 khi và chỉ khi lim+
.
x →2
x →2
x−2
x−2
Ta có lim+

f ( x )− f ( 2 )
tồn tại hữu hạn nên
x →2
x−2
8 − 4 − 16 + 6 − 2a − b = 6 ⇔ 2a + b = −6 ( 1 ) .

Khi đó lim−
Do đó

f ( x )− f ( 2)
x 3 − x 2 − 8 x + 6 − 2a − b
x 3 − x 2 − 8 x + 12
= lim−
= lim−
= lim− ( x + 3 ) = 5
x →2
x→2
x→2
x→2
x−2
x−2
x−2
f ( x )− f ( 2 )
f ( x )− f ( 2)
lim+
= lim−
⇔ a + 4 = 5 ⇔ a = 1.
x→ 2
x →2

x−2
x−2
Thay vào ( 1 ) ta có: b = −7 .
lim−

Vậy a 2 + b 2 = 50 .
Câu 4.

Cho hàm số ( C ) :  y =

1 4
x − 2 x 2 . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M
4

có hoành độ x0 > 0, biết y′′ ( x0 ) = −1 là
A. y = −3 x − 2 .

B. y = −3 x + 1 .

C. y = −3 x + 5 .D. y = −3 x + 1 .
4
4

Câu 5.
Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − 2 x − 1 . Tiếp tuyến song song với đường thẳng
2 x + y − 3 = 0 của đồ thị hàm số trên có phương trình là
A. 2 x + y + 1 = 0. .
B. 2 x + y − 2 = 0 .
C. x + 2 y + 1 = 0 .
D. y = 2 x + 1 .

Lời giải
Chọn A.
Đường thẳng D : 2 x + y − 3 = 0 được viết lại dưới dạng y = −2 x + 3 . Suy ra, hệ số góc
của D bằng −2.
Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với D , suy ra: y′ ( x0 ) = −2

Trang 18/74


 x0 = 0 Þ y0 = −1
Û 3 x02 + 6 x0 − 2 = −2 Û 3x02 + 6 x0 Û 
 x0 = −2 Þ y 0 = 7



Tại

điểm

( 0; −1) ,

ta

được

phương

trình

tiếp

tuyến

y = −2 ( x − 0 ) − 1 = −2 x − 1 Û 2 x + y + 1 = 0 .

 Tại điểm ( −2; 7 ) , ta được phương trình tiếp tuyến y = −2 ( x + 2 ) + 7 = −2 x + 3 (loại,
do trùng với đường thẳng D ).
Vậy, tiếp tuyến cần tìm có phương trình là 2 x + y + 1 = 0 .
Điểm M trên đồ thị hàm số y = x 3 – 3x 2 –1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k
bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là

Câu 6.

A. M ( 1; –3) , k = –3 .

B. M ( 1;3) , k = –3 .

C. M ( 1; –3) , k = 3 .

D. M ( −1; –3)

, k = –3 .
Lời giải
Chọn A.
Gọi M ( x0 ; y0 ) . Ta có y′ = 3x 2 − 6 x .
Hệ

số

góc

của

tiếp

tuyến

với

đồ

thị

tại

M

là

k = y ′ ( x0 ) = 3x02 − 6 x0 = 3 ( x0 −1) − 3 ≥ −3
2

Vậy k bé nhất bằng −3 khi x0 = 1 , y0 = −3 .
x+2
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm ( –6;5 ) là
x −2
1
7
1
7

A. y = – x –1 ; y = x + .
B. y = – x –1 ; y = − x + .
4
2
4
2
1
7
1
7
C. y = – x + 1 ; y = − x + .
D. y = – x + 1 ; y = − x − .
4
2
4
2
Lời giải
Chọn B.
x+2
−4
y=
⇒ y′ =
2 .
x−2
( x − 2)

Cho hàm số y =

Câu 7.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y =

x+2
tại điểm M ( x0 ;y0 ) ∈ ( C ) với x0 ≠ 2
x−2

là:

y = y′ ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 ⇔ y =

−4

( x0 − 2 )

Vì tiếp tuyến đi qua điểm

2

( x − x0 ) +

( –6;5)

x0 + 2
.
x0 − 2

nên ta có 5 =

−4

( x0 − 2 )

 x0 = 0
⇔ 4 x02 − 24 x0 = 0 ⇔ 
 x0 = 6
1
7
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: y = – x –1 và y = – x + .
4
2

Trang 19/74

2

( −6 − x0 ) +

x0 + 2
x0 − 2


Câu 8.

Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2x + 3
chắn hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?
x+2
A. y = x + 2 .
B. y = x − 2 .

C. y = − x + 2 .

y=

y=

D.

1
3
x+ .
4
2

Lời giải
Chọn A
2x + 3
(C )
x+2
TXĐ: D = ¡ \ { −2}

Ta có y =

y' =

1

( x + 2)

2

Gọi phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng
(d ) : y =

1

( x0 + 2 )

2

. ( x − x0 ) +

2 x0 + 3
x0 + 2

 2x2 + 6x + 6 
2
0
÷
Ta có (d ) ∩ Ox = A ( −2 x0 − 6 x0 − 6;0 ) ; (d ) ∩ Oy = B  0; 0
2

÷
x
+
2
(
)
0




Ta thấy tiếp tuyến ( d ) chắn trên hai trục tọa độ tam giác OAB luôn vuông tại O
Để tam giác OAB cân tại O ta có OA = OB ⇒ −2 x − 6 x0 − 6 =
2
0

⇔

1

( x0 + 2 )

2

2 x02 + 6 x0 + 6

( x0 + 2 )

2

 x0 = −3
=1⇔ 
 x0 = −1

Ta có hai tiếp tuyến thỏa mãn (d ) : y = x và ( d ) : y = x + 2 .

1
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại M cùng với
x −1

các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 . Tọa độ điểm M là:
3

 3 4
 1
A.  4; ÷.
B.  ; −4 ÷ .
C.  − ; − ÷.
D. ( 2;1) .
 3
4

 4 7
Lời giải
Chọn B

Câu 9.

Trên đồ thị của hàm số y =

1
1
1 

y
'
=
−
⇒
y

'
a
=
−
(
)
2
2 . Phương trình tiếp tuyến
Gọi M  a;
.
Ta
có:
÷
( x − 1)
( a − 1)
 a −1 

tại M với đồ thị hàm số đã cho là y = −

1

( a − 1)

2

( x − a) +

1
a −1

 2a − 1 
÷, B = d ∩ Ox ⇒ B ( 2a − 1; 0 ) .
Gọi A = d ∩ Oy ⇒ A  0;
 ( a − 1) 2 ÷


Trang 20/74

(d) .


Tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác OAB vuông tại O.
Do

đó

2a − 1
1
1
3
2
2
SOAB = OA.OB = . 2a − 1 .
= 2 ⇔ ( 2a − 1) = 4 ( a − 1) ⇔ 4a − 3 = 0 ⇔ a = .
2
2
2
4
( a − 1)

3

Vậy M  ; −4 ÷.
4


Câu 10.

Cho hàm số y =

2x − 3
có đồ thị là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
x−2

M thuộc ( C ) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A , B
4
, với I ( 2; 2 ) .
17
1
3
1
7
1
3
1
7
A. y = − x − ; y = − x − .
B. y = − x − ; y = − x + .
4
2

4
2
4
2
4
2
1
3
1
7
1
3
1
7
C. y = − x + ; y = − x − .
D. y = − x + ; y = − x + .
4
2
4
2
4
2
4
2
Lời giải
Chọn D.
 2x − 3 
∈ (C ) , x0 ≠ 2
I ( 2; 2 ) , gọi M  x0 ; 0
x0 − 2 ÷




sao cho côsin góc ·ABI bằng

Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M : y = −

2x − 3
1
( x − x0 ) + 0
2
( x0 − 2)
x0 − 2

 2 x0 − 2 
Giao điểm của ∆ với các tiệm cận: A  2;
÷, B(2 x0 − 2; 2) .
 x0 − 2 
4
1 IA
⇔ IB 2 = 16.IA2 ⇔ ( x0 − 2) 4 = 16 ⇔
Do cos ·ABI =
nên tan ·ABI = =
4 IB
17
x0 = 0 hoặc x0 = 4
1
3
 3
Tại M  0; ÷ phương trình tiếp tuyến: y = − x + .

4
2
 2
1
7
 5
Tại M  4; ÷ phương trình tiếp tuyến: y = − x + .
4
2
 3

Câu 11.

Gọi ( T ) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

x +1
x+2

( C)

tại điểm có tung độ

dương, đồng thời ( T ) cắt hai tiệm cận của ( C ) lần lượt tại A và B sao cho độ dài AB
nhỏ nhất. Khi đó ( T ) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?
A. 0, 5 .

B. 2,5 .

C. 12,5 .
Lời giải

Chọn C.

Trang 21/74

D. 8 .



x +1 
; gọi điểm M  x0 ; 0
÷∈ ( C ) .
( x + 2)
x0 + 2 

x +1
1
x − x0 ) + 0
Phương trình tiếp tuyến: y =
2 (
x0 + 2 .
( x0 + 2 )
y′ =

1

2

Ta có tiệm cận đứng: d1 : x = −2 và tiệm cận ngang: d 2 : y = 1 .
A = ( T ) ∩ d1 nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

x +1
1

 x = −2
x − x0 ) + 0
2 (
y =
x0 + 2 ⇔ 
x +1
x
1
( x0 + 2 )

y=
−2 − x0 ) + 0
= 0
2 (
 x = −2

x0 + 2 x0 + 2
( x0 + 2 )


B = ( T ) ∩ d 2 nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
x +1
1

x − x0 ) + 0
 x = 2 x0 + 2

2 (
y =
x0 + 2 ⇔ 
( x0 + 2 )

y =1
y =1

2
4
 2  AB 2 = 4 ( 2 + x ) 2 +
≥ 2 16 = 8 .
0
;
2
AB = ( 2 x0 + 4 ) + 
÷
2
+
x
(
)
0
 2 + x0 
2

 x0 = −1
. Vì y0 > 0 ⇒ x0 = − 3 .
AB min bằng 8 ⇔ 
 x0 = −3

Suy ra A ( −2; 3) , B ( −4; 1) nên ta có phương trình AB : y = ( x + 3) + 2
⇔ y = x+5.
M = AB ∩ Ox nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

y = x +5
 x = −5
⇔
⇒ M ( −5; 0 ) .

y
=
0
y
=
0


N = AB ∩ Oy nên tọa độ điểm N là nghiệm của hệ:
y = x +5
x = 0
⇔
⇒ N ( 0; 5 ) .

x
=
0
y
=
5



Vậy S ∆OMN =

Câu 12.

1
.5.5 = 12, 5 .
2

Gọi S là tập hợp các điểm thuộc đường thẳng y = 2 mà qua mỗi điểm thuộc S

x2
đều kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số y =
đồng thời hai tiếp tuyến
x −1
đó vuông góc với nhau. Tính tổng hoành độ T của tất cả các điểm thuộc S .
A. T = 2 3 .
B. T = 3 .
C. T = −1 .
D. T = 2.
Lời giải
Chọn D.

Trang 22/74


y=

x2

1
= x +1+
x −1
x −1

Gọi điểm A ( a; 2 ) ∈ ( d ) : y = 2 . Đường thẳng đi qua A có dạng y = k ( x − a ) + 2
 x2
 x −1 = k ( x − a ) + 2

⇒ ( 1 − a ) 2 k 2 − 4k − 4 = 0
Điều kiện tiếp xúc:  2
x
−
2
x

=k
 ( x − 1) 2
Để 2 tiếp tuyến vuông góc nhau ⇒

−4

(1− a)

2

a=3
= −1 ⇒ 
 a = −1


Vậy tổng hai hoành độ là: 2 .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ ¡ để đồ thị hàm số y = 4 x3 − 3 x
tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 1 ?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn B.
Để đồ thị hàm số y = 4 x3 − 3x tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 1 khi hệ sau có
nghiệm
4 x3 − 3x = mx − 1, ( 1)
 2
12 x − 3 = m, ( 2 )
1
Thay ( 2 ) vào ( 1) ta có 8 x 3 − 1 = 0 ⇔ x = ⇒ m = 0 .
2

Câu 13.

Câu 14. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t 3 − 3t 2 + 5t + 2 , trong đó t
tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là
A. 24 m/s 2 .
B. 12 m/s 2 .
C. 17 m/s 2 .
D. 14 m/s 2 .
Lời giải
Chọn B
2

Ta có: s′ ( t ) = 3t − 6t + 5 ⇒ a ( t ) = s ′′ ( t ) = 6t − 6 ⇒ a ( 3) = 12 m/s 2 .

Câu 15.

Biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số

Q ( t ) = 2t 2 + t , trong đó t được tính bằng giây ( s ) và Q được tính theo ( C ) . Tại thời

điểm bao nhiêu thì cường độ dòng điện bằng 9 .
A. t = 2s .
B. t = 2,75s .
C. t = 2,75s .
Lời giải
Chọn A

Trang 23/74

D. t = 4s .


Cường độ dòng điện được biểu thị bởi hàm số : I ( t ) = Q′ ( t ) = 4t + 1 . Với cường độ
dòng điện bằng 9 ta có 4t + 1 = 9 ⇔ t = 2 .
Câu 16.

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ¡ . Xét các hàm số g ( x ) = f ( x ) − f ( 2 x )

và h ( x ) = f ( x ) − f ( 4 x ) . Biết rằng g ′ ( 1) = 18; g ′ ( 2 ) = 1000 . Tính h′ ( 1) .
A. – 2018

B. 2018

C. 2020

D. – 2020

Lời giải
Chọn B

g ( x ) = f ( x ) − f ( 2x ) ⇒ g′ ( x ) = f ′ ( x ) − 2 f ′ ( 2x )
18 = g ′ ( 1) = f ′ ( 1) − 2 f ′ ( 2 )
18 = f ′ ( 1) − 2 f ′ ( 2 )
⇒
⇒
1000 = g ′ ( 2 ) = f ′ ( 2 ) − 2 f ′ ( 4 )
2000 = 2 f ′ ( 2 ) − 4 f ′ ( 4 )

⇒ 2018 = f ′ ( 1) − 4 f ′ ( 4 )
Mặt khác h ( x ) = f ( x ) − f ( 4 x ) ⇒ h′ ( x ) = f ′ ( x ) − 4 f ′ ( 4 x )

⇒ h′ ( 1) = f ′ ( 1) − 4 f ′ ( 4 ) = 2018
III. HOẠT ĐỘNG NHÓM TRỰC TIẾP TRÊN LỚP
LẦN 1: NHÓM GỒM CÁC EM CÓ TRÌNH ĐỘ KHÁC NHAU. CÁC EM KHÁ GIỎI
GIÚP ĐỠ CÁC EM YẾU.
Câu 1.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai:
A. Nếu hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x0 thì f ( x ) có đạo hàm tại xo .
B. Nếu tiếp tuyến tại điểm M o ( xo ; f ( xo ) ) của đồ thị hàm số y = f ( x ) song song với
trục hoành thì f ' ( xo ) = 0 .
C. Nếu f ' ( xo ) = 0 thì tồn tại tiếp tuyến tại điểm M o ( xo ; f ( xo ) ) của đồ thị hàm số

y = f ( x ) song song hoặc trùng với trục hoành.

D. Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 và đồ thị của hàm số là một đường cong

( C)

thì tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M o ( xo ; f ( xo ) ) có hệ số góc k = f ' ( xo ) .
Lời giải

Chọn A.
Vì hàm số y = f ( x ) liên tục tại điểm xo thì y = f ( x ) có thể có hoặc không có đạo
hàm tại điểm xo .
Câu 2.

Cho hàm số f ( x ) = sin x . Giá trị của biểu thức lim

A. − 1 .

x→π

B. π .

C. 1 .
Lời giải

Chọn A
Ta có f ( x ) = sin x ⇒ f ′ ( x ) = cos x , ⇒ f ′ ( π ) = −1 .

Trang 24/74

f ( x) − f ( π)
x−π

bằng
D. 0 .


f ( x) − f ( π)
Vậy limπ
1
= f ′(
x →π
x−π

Câu 3.

) =−

.

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng ( −∞; +∞ ) thỏa mãn các điều kiện

 f 2 ( x)
khi x > 0
f ( x)

có đạo hàm tại điểm x = 0 . Giá trị của
lim
= 2 và hàm số y =  sin 2 x
x→0

x
ax + b khi x ≤ 0

biểu thức a + b bằng
A. 3 .

B. 0 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C

 f 2 ( x)
khi x > 0

- Hàm số y = g ( x ) =  sin 2 x
có đạo hàm tại điểm x = 0 khi và chỉ khi
 ax + b khi x ≤ 0

f 2 ( x)
g ( x ) − g ( 0)
g ( x ) − g ( 0)
−b
ax + b − b
lim+
= lim−
sin

2
x
⇔ lim+
= lim−
x →0
x →0
x−0
x−0
x→0
x →0
x
x
2
 f ( x) 
 f 2 ( x)
x
b
x
b

÷= a
⇔ lim+ 
.
−
=
a
⇔
lim
.
−

÷

÷
2
x →0
x →0+ 
÷
x
sin
2
x
x
x
sin
2
x
x







b = 0
b
b
 4x

⇔ lim+ 

− ÷ = a ⇔ lim+  2 − ÷ = a ⇔ 
x →0  sin 2 x
x →0 
x
x
a = 2
Vậy a + b = 2 .
LẦN 2: PHÂN NHÓM THEO TRÌNH ĐỘ HỌC SINH
CÁC EM HỌC LỰC TRUNG BÌNH – YẾU LÀM CÁC CÂU HỎI SAU:
Câu 1.
Cho hàm số y = x3 − x 2 − x + 1 . Phương trình các đường tiếp tuyến của đồ thị hàm
số tại giao điểm của nó với trục hoành là.
A. y = 0 và y = x − 1 .
B. y = x + 1 và y = x + 4 .
C. y = 0 và y = 4 x + 4 .
D. y = x − 1 và y = x + 1 .
Lời giải
Chọn C.
Ta có y ' = 3 x 2 − 2 x − 1 .
Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành là
 x = −1
x3 − x2 − x + 1 = 0 ⇔ 
x = 1 .
Với x = −1 ⇒ y = 0 ⇒ y ' ( −1) = 4 ⇒ y = 4 ( x + 1)
Với x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ y ' ( 1) = 0 ⇒ y = 0 .
Trang 25/74