Khai thác một số quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm của hàm hợp để giải bài toán nguyên hàm tích phân cho bởi phương trình đạo hàm mức độ vận dụng cao trong đề thi THPTQG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGA SƠN

---------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ
ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CHO BỞI PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO TRONG
ĐỀ THI THPTQG

Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2020


MỤC LỤC
Trang
I.
Mở đầu…..……………………………………………..………1
1.
Lí do chọn đề tài……..………………………………..……….1
2.
Mục đích và đối tượng nghiên cứu……………………..…..….1
3.
Phương pháp nghiên cứu…………………..…………..………2
II.

Nội dung………... …………………………………………….2
1.
Cơ sở lí luận……………………………………………............2
2.
Thực trạng………………………………………………….......2
3.
Giải pháp……………………………………………….………3
3.1 Khai thác quy tắc đạo hàm của tích…………….……………...3
3.2 Khai thác quy tắc đạo hàm của thương…………...…………...6
3.3 Khai thác quy tắc đạo hàm của hàm căn thức….……………...10
3.4 Khai thác quy tắc đạo hàm của hàm mũ………………………14
3.5 Khai thác quy tắc đạo hàm của hàm logarit tự nhiên................16
3.6 Bài tập tự luyện…...……………………………………...........17
III. Kết luận……………………………………………..…………18
1.
Kết quả nghiên cứu……………………………….….………..18
2.
Kết luận và kiến nghị……………………………………..…...18
Tài liệu tham khảo


I. MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện,
năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo,
đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội.
Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một
yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp
dạy học môn Toán.
Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải

phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp
với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm
vui, hứng thú học tập cho học sinh.”
Trong những năm trước đây, bài toán nguyên hàm – tích phân được cho bởi
phương trình đạo hàm chỉ nằm phần lớn ở chương trình đại học . Năm 2017, khi
bộ GD & ĐT quyết định áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn toán thì
bài toán nguyên hàm – tích phân được cho bởi phương trình đạo hàm đã được
coi là bài toán không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia, minh chứng điều đó
chúng ta đã thấy rất rõ trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ GD&
ĐT. Sự đổi mới quyết đoán ấy đã làm thay đổi toàn bộ cấu trúc của đề thi môn
Toán, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra với học
sinh không còn đơn thuần là tư duy chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng hơn
cả là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và thao tác tốc độ. Để thành công trong
việc giải quyết tốt một đề thi trắc nghiệm Toán thì ngoài việc học sâu cần phải
học rộng, nhớ nhiều các dạng toán.
Trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ, bài toán nguyên hàm –
tích phân được cho bởi phương trình đạo hàm nằm ở mức độ kiến thức vận
dụng cao, là bài toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm 8, 9, 10. Cái khó ở bài
toán này được đa phần các thầy cô giáo khi giảng dạy đều nhận xét nó nằm ở ba
yếu tố: yếu tố thứ nhất là đề bài được viết đa phần bằng các kí hiệu toán, nếu
học sinh không nắm chắc kiến thức đọc sẽ rất khó hiểu đề; yếu tố thứ hai là sử
dụng các tư duy đoán biểu thức đạo hàm, tư duy hàm số, đây là những tư duy
khó đối với học sinh phổ thông; yếu tố thứ ba, bài toán đòi hỏi sự biến đổi phức
tạp dễ gây sai sót, nhầm lẫn trong tính toán cho học sinh. Đây là bài toán mới,
được áp dụng vào thi cử chưa nhiều, trên thị trường sách các tài liệu tham khảo
còn ít, còn hạn chế cũng như chưa được đầu tư kĩ lưỡng về nội dung và hình
thức. Việc có một tài liệu hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia các dạng toán khoa học
luôn là một nhu cầu cấp thiết cho cả thầy cô và học sinh.
2. MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có một tài liệu học tập khoa học,
thêm kiến thức giải quyết tốt các bài toán nguyên hàm – tích phân được
cho bởi phương trình đạo hàm
- Đối tượng nghiên cứu:
1


Đề tài: “Khai thác một số quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm của hàm hợp để
giải bài toán nguyên hàm – tích phân cho bởi phương trình đạo hàm mức độ
vận dụng cao trong đề thi THPTQG”.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn thi, các
đề thi thử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các đề thi học sinh giỏi
của các tỉnh và khu vực, các báo cáo, luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảng
của một số giảng viên toán,…).
- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn.
II. NỘI DUNG
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò. Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm
vững những kiến thức Toán phổ thông nói chung, đặc biệt là xâu chuỗi các nội
dung, tạo ra mối liên hệ mật thiết giữa các mặt kiến thức là việc làm rất cần
thiết. Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học
ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt
vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi
học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt.
Khi gặp một bài toán nguyên hàm – tích phân được cho bởi phương trình
đạo hàm chúng ta có rất nhiều hướng tiếp cận để tư duy ra lời giải. Tuy nhiên

với những bài toán hay và khó, lối tư duy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ
kiến thức của chương hay kiến thức của cấp học sẽ khiến học sinh khó khăn
trong việc tìm ra hướng giải quyết. Vì tính chất phân loại của đề thi THPT Quốc
gia hiện nay, bài toán nguyên hàm – tích phân được cho bởi phương trình đạo
hàm đã đặt ra một yêu cầu cao hơn ở học sinh. Để giải quyết được bài toán, học
sinh cần nắm vững những kiến thức cơ bản của chương đạo hàm, nguyên hàm –
tích phân, các phép biến đổi logic toán học đã biết và kiến thức về hàm số. Tạo
ra một mối liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức, các kĩ năng, kết hợp lí luận
và thực tiễn giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sự
hứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong tiếp thu và
lĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, rút
ngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắc chắn đưa đến kết quả đúng,
khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp dạng toán khó. Đây là mục tiêu quan trọng
nhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáo viên.
2. THỰC TRẠNG
Khảo sát thực tế rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũng
như các trường THPT khác trên địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT
Mai Anh Tuấn) cho thấy học sinh ngày nay không mặn mà lắm với bài toán
nguyên hàm – tích phân được cho bởi phương trình đạo hàm. Lí do được các
bạn đưa ra là bài toán này khó, khó ngay từ khâu đọc đề và tư duy hiểu đề, quá
2


trình biến đổi phức tạp, sử dụng rất nhiều đơn vị kiến thức và hay gây nhầm lẫn,
trong khi điểm số dành cho dạng này trong đề thi chỉ có từ 0,2 đến 0,4 điểm.
Một phần khó còn do yếu tố tâm lí của học sinh khi nghĩ rằng đây là bài toán
dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm. Điều
này đã dẫn đến một sự thật đáng buồn, phần lớn các bạn học sinh khi ôn thi hay
làm thử đề thi trắc nghiệm toán đều bỏ qua hoàn toàn hoặc chỉ khoanh “chùa”
đáp án, trong khi bài toán này không phải bài toán quá khó, bài toán mấu chốt

nhất của đề. Từ thực tiễn đó đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài “Khai thác một số
quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm của hàm hợp để giải bài toán nguyên hàm –
tích phân cho bởi phương trình đạo hàm mức độ vận dụng cao trong đề thi
THPTQG”.
3. GIẢI PHÁP
3.1 Khai thác quy tắc đạo hàm của tích
3.1.1 Công thức
[ u ( x).v( x)] ' = u ' ( x).v( x) + u ( x)v' ( x) (1)
3.1.2 Phương pháp
+ Chuyển giả thiết về dạng u ' ( x).v( x) + u ( x)v' ( x) = g ( x)
+ Sử dụng công thức (1) ta có [ u ( x).v( x)] ' = g ( x)
+ Lấy nguyên hàm hai vế được u ( x)v( x) = ∫ g ( x)dx
+ Suy ra hàm số cần tìm và thực hiện yêu cầu bài toán
3.1.3 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên (0;+∞) thỏa mãn điều kiện
f (1) = 3 và x(4 − f ' ( x)) = f ( x) − 1, ∀x > 0 . Tính f (2)
A. 6
B. 3
C. 5
D. 2
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có x(4 − f ' ( x)) = f ( x) − 1, ⇔ xf ' ( x) + f ( x) = 4 x + 1
Suy ra [ xf ( x)] ' = 4 x + 1
2
Lấy nguyên hàm 2 vế được xf ( x) = ∫ (4 x + 1)dx = 2 x + x + C
Có f (1) = 3 ⇒ C = 0 ⇒ xf ( x) = 2 x 2 + x ⇒ f ( x) = 2 x + 1
Tính được f (2) = 5 . Chọn C
Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên R \ { − 1;0} thỏa mãn f (1) = 2 ln 2 + 1 và
x( x + 1) f ' ( x) + ( x + 2) f ( x) = x( x + 1) , ∀x ∈ R \ { − 1;0} . Biết f ( 2) = a + b ln 3 , với a , b
là hai số hữ tỉ. Tính T = a 2 − b

A. T = −

3
16

B. T =

21
16

Hướng dẫn:

C. T =

3
2

D. T = 0
x+2

Từ giả thiết ta có x( x + 1) f ' ( x) + ( x + 2) f ( x) = x( x + 1) ⇔ f ' ( x) + x( x + 1) f ( x) = 1
⇔

x2
x( x + 2)
x2
f ' ( x) +
f
(
x

)
=
x +1
x +1
( x + 1) 2

3


'

 x2

x2
f
(
x
)
=
Suy ra 

x +1
 x +1

x2
x2
1
f
(
x

)
=
dx = ∫ ( x − 1 +
)dx
Lấy nguyên hàm hai vế ta được
∫
x +1
x +1
x +1
x2
=
− x + ln x + 1 + C
2

x +1 x2
 − x + ln x + 1 + 1
f
(
1
)
=
2
ln
2
+
1
⇒
C
=
1

⇒
⇒
f
(
x
)
=
Có
2 
x  2

3 3
3
3
⇒ f (2) = + ln 3 ⇒ a = b = ⇒ T = − . Chọn A
4 4
4
16
Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên (0;+∞) thỏa mãn f (1) = 1 và
2 xf ' ( x) + f ( x) = 2 x , ∀x ∈ (0;+∞) . Tính f (4)
25
25
17
17
A.
B.
C.
D.
6
3

6
3

Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có 2 xf ' ( x) + f ( x) = 2 x ⇔ f ' ( x) +
⇔

x . f ' ( x) +

[

Suy ra

1
2 x

]

1
f ( x) = 1
2x

f ( x) = x

'

x . f ( x) = x

Lấy nguyên hàm hai vế ta được x . f ( x) = ∫ x dx =
1

2x

1

2 3
x +C
3

17

⇒ f (4) =
Có f (1) = 1 ⇒ C = 3 ⇒ f ( x) = 3 +
. Chọn C
6
3 x
Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f (1) = cot 1 và
1

1

∫ f ( x)dx = 1 . Tính tích phân ∫ ( f ( x) tan
0

2

x + f ' ( x ) tan x) dx

0

A. 1 − ln(cos1)
Hướng dẫn:

D. 1 − cot 1

C. − 1

B. 0

1

1



 1

2
Ta có ∫ ( f ( x) tan x + f ' ( x) tan x)dx = ∫  f ( x) 2 − 1 + f ' ( x) tan x  dx
 cos x 

0
0 
1

1

1

1

1


'
∫0  f ( x). cos 2 x + f ' ( x) tan x dx − ∫0 f ( x)dx = ∫0 [ f ( x). tan x] dx −∫0 f ( x)dx
1
[ f ( x) tan x] − 1 = cot 1. tan 1 − 1 = 0 . Chọn B
0
Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [ 0; π ] thỏa mãn f (0) = 2e
π

và f ' ( x) + sin x. f ( x) = cos x.e

cos x

, ∀x ∈ [ 0; π ] . Tính I = ∫ f ( x) dx (làm tròn đến hàng
0

phần trăm).
A. I ≈ 6,55

B. I ≈ 17,3

C. I ≈ 10,31

D. I ≈ 16,91
4

Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có f ' ( x) + sin x. f ( x) = cos x.e cos x ⇔ e − cos x . f ' ( x) + e − cos x . sin x. f ( x) = cos x
'
Suy ra [e −cos x f ( x)] = cos x
f ( x ) = ∫ cos xdx = sin x + C
Lấy nguyên hàm 2 vế được e
Có f (0) = 2e ⇒ C = 2 ⇒ f ( x) = (2 + sin x).e cos x
− cos x

π

π

0

0

cos x
Dùng máy Casio ta tính được I = ∫ f ( x)dx = ∫ (2 + sin x)e dx ≈ 10,31 . Chọn C

 π
 2

Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên  0;  thỏa mãn
f ( x) + tan x. f ' ( x) =

A.

14
9

x
. Biết
cos 3 x
2
B. −
9

π 
π 
3. f   − f   = aπ 3 + b ln 3 . Tính a + b
3
6
7
4
C.
D. −
9
9

Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có f ( x) + tan x. f ' ( x) =
'
Suy ra [ sin x. f ( x)] =

x
x
⇔ cos x. f ( x ) + sin x. f ' ( x) =
3
cos x

cos 2 x

x
cos 2 x

Lấy nguyên hàm 2 vế được sin x. f ( x) = ∫
Tính I = ∫

x
dx
cos 2 x

x
dx
cos 2 x

u = x
du = dx

⇒ I = x tan x + ∫ tan xdx = x tan x + ln cos x + C
dx ⇒ 
Đặt 
v = tan x
dv = cos 2 x
⇒ sin x. f ( x ) = x tan x + ln cos x + C

Với x = 0 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x) =

x tan x + ln cos x
sin x

5

4
a =
π 
 π  5π 3
− ln 3 ⇒ 
9 ⇒ a + b = − . Chọn D
Ta có aπ 3 + b ln 3 = 3. f   − f   =
9
9
3
6
b = −1
Ví dụ 7: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên (1;+∞) thỏa mãn f (3 e ) = 3e
và [ xf ' ( x) − 2 f ( x)]. ln x = x 3 − f ( x) , ∀x ∈ (1;+∞) . Tính f (2)
8
2
ln 2
A.
B. −
C.
D. 2 ln 2
ln 2
ln 2
9

Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có [ xf ' ( x) − 2 f ( x)]. ln x = x 3 − f ( x) ⇔ x ln x. f ' ( x) + (1 − 2 ln x). f ( x) = x 3

1 − 2 ln x
x2
ln x
1 − 2 ln x
⇔ f ' ( x) +
. f ( x) =
⇔ 2 . f ' ( x) +
. f ( x) = 1
x ln x
ln x
x
x3

5


'

 ln x

Suy ra  2 . f ( x) = 1
x

ln x
f ( x) = ∫ dx = x + C
x2
x3
8
3
f

(
e
)
=
3
e
⇒
C
=
0
⇒
f
(
x
)
=
⇒ f (2) =
Có
. Chọn A
ln x
ln 2

Lấy nguyên hàm 2 vế được

Ví dụ 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f (0) = 0 và
[ f ' ( x)] 2 + f ( x) f ' ' ( x) = 4 x 3 + 2 x . Tính f 2 (1)
A.

5
2

9
2

B.

C.

16
15

D.

8
15

Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có [ f ' ( x)] 2 + f ( x) f ' ' ( x) = 4 x 3 + 2 x ⇔ [ f ( x). f ' ( x)] ' = 4 x 3 + 2 x
3
4
2
Lấy nguyên hàm 2 vế được f ( x). f ' ( x) = ∫ (4 x + 2 x)dx = x + x + C
Có f (0) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x). f ' ( x) = x 4 + x 2
1

Lấy tích phân 2 vế ta được

∫
0

1

(

f 2 ( x) 1 8
=
2 0 15

)

f ( x). f ' ( x )dx = ∫ x 4 + x 2 dx ⇔
0

16
⇒ f 2 (1) = . Chọn C
15

Ví dụ 9: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn
3 f ( x) + xf ' ( x) ≥ x

2020

, ∀x ∈ [ 0;1] . Tính giá trị nhỏ nhất của

1

∫ f ( x)dx
0

A.

1
2018.2020

B.

1
2020.2022

C.

1
2019.2021

D.

1
2021.2023

Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có 3 f ( x) + xf ' ( x) ≥ x 2020 ⇔ 3 f ( x) + xf ' ( x) − x 2020 ≥ 0

(3 f ( x) + xf ' ( x) − x ) x
2020

2

≥ 0 ⇔ 3x 2 f ( x) + x 3 f ' ( x) − x 2022 ≥ 0

'

 3
x 2023 
x 2023
3


⇔  x f ( x) −
 ≥ 0 , suy ra hàm số g ( x) = x f ( x) − 2023 đồng biến trên [ 0;1]
2023


1

⇒ g ( x) ≥ g (0) = 0 ⇒ x 3 f ( x ) −

1

x 2023
x 2020
x 2020
≥ 0 ⇒ f ( x) ≥
≥ 0 ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫
dx
2023
2023
2023
0
0

1
x 2021
1
=
. Chọn D
2021.2023 0 2021.2023

3.2 Khai thác quy tắc đạo hàm của thương
3.2.1 Công thức
'

 u ( x)  u ' ( x).v( x) − u ( x).v' ( x)
+) 
, v ( x ) ≠ 0 (2)
 =
v 2 ( x)
 v( x) 
'

 1 
v ' ( x)
 = − 2
+) 
, v ( x ) ≠ 0 (3)
v ( x)
 v( x) 

3.2.2 Phương pháp
6

+ Chuyển giả thiết về dạng

u ' ( x).v( x) − u ( x )v' ( x)
= g ( x)
v 2 ( x)
'

'

 u ( x) 
 1 
= g ( x) (hoặc (3) ta có 
+ Sử dụng công thức (2) ta có 

 = g ( x) )
 v( x) 
 v( x) 
u ( x)
1
+ Lấy nguyên hàm hai vế được v( x) = ∫ g ( x)dx (hoặc v( x) = ∫ g ( x)dx )

+ Suy ra hàm số cần tìm và thực hiện yêu cầu bài toán
3.2.3 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [1;2] thỏa mãn điều kiện
f (1) = 2 và f ( x) − ( x + 1) f ' ( x ) = 2 xf 2 ( x) , ∀x ∈ [1;2] . Tính

2

∫ f ( x)dx

1

A. 1 + ln 2

B. 1 − ln 2

1
C. − ln 2
2

Hướng dẫn:
2
Từ giả thiết ta có f ( x) − ( x + 1) f ' ( x) = 2 xf ( x) ⇔

D.

1
+ ln 2
2

f ( x) − ( x + 1) f ' ( x)
= 2x
f 2 ( x)

'

 x +1
Suy ra 
 = 2x
 f ( x) 

x +1

2
Lấy nguyên hàm 2 vế được f ( x) = ∫ 2 xdx = x + C

x +1

1

1

2
Có f (1) = 2 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x) = x ⇒ f ( x) = x + x 2
2

Tính được

∫
1

2

1
1 1 
f ( x)dx = ∫  + 2 dx = + ln 2 . Chọn D
x x 
2
1

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn điều kiện
1
và f ( x) − f ' ( x) = f 2 ( x) , ∀x ∈ [ 0;1] . Tính f (1)
3
e
e+2
e
A.
B.
C.
2
2
e+2
f (0) =

Hướng dẫn:

2
Từ giả thiết ta có f ( x) − f ' ( x) = f ( x) ⇔

( )

D. e + 2

f ( x) − f ' ( x)
=1
f 2 ( x)

e x f ( x) − e x f ' ( x )
e x ' f ( x ) − e x f ' ( x)

x
⇔
=e ⇔
= ex
2
2
f ( x)
f ( x)
'

 ex 
x
Suy ra 
 =e
 f ( x) 
ex
= ∫ e x dx = e x + C
Lấy nguyên hàm 2 vế được
f ( x)
x
1
e
ex
x
f
(
0
)
=
⇒

C
=
2
⇒
=
e
+
2
⇒
f
(
x
)
=
Có
3
f ( x)
2 + ex

7


Tính được f (1) =

e
. Chọn C
2+e

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên (0;+∞) thỏa mãn f (1) =

1
3

và 3xf ( x) − x 2 f ' ( x) = 2 f 2 ( x) , ∀x > 0 , f ( x) ≠ 0 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên [1;2] . Tính M+m
A.

9
10

B.

21
10

C.

5
3

D.

7
3

Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có 3xf ( x) − x 2 f ' ( x) = 2 f 2 ( x) ⇔ 3x 2 f ( x) − x 3 f ' ( x) = 2 xf 2 ( x)
⇔

3x 2 f ( x) − x 3 f ' ( x)

= 2x
f 2 ( x)
'

 x3 
Suy ra 
 = 2x
 f ( x) 
x3
= 2 xdx = x 2 + C
f ( x) ∫
1
x3
Có f (1) = ⇒ C = 2 ⇒ f ( x) = 2
3
x +2
4
2
x + 6x
f ' ( x) = 2
> 0 ∀x ∈ [1;2]
( x + 2) 2

Lấy nguyên hàm 2 vế được

4

M = f (2) = 3
5
⇒

⇒ M + m = . Chọn C
3
m = f (1) = 1

3

Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên (1;+∞) thỏa mãn điều kiện
f (3 e ) = 3e và ( xf ' ( x) − 2 f ( x)) ln x = x 3 − f ( x) , ∀x > 1 . Giá trị f ( 2) thuộc khoảng
nào dưới đây?



A. 12;

25 

2 




B. 13;

27 

2 




C. 14;

29 

2 

 23 
;12 
 2


D. 

Hướng dẫn:
 x 2 . f ' ( x ) − 2 xf ( x) 
f ( x)
3

 ln x = 1 − 3
(
xf
'
(
x
)
−
2
f
(
x

))
ln
x
=
x
−
f
(
x
)
⇔
Từ giả thiết
4
x
x


'

f ( x)
 f ( x) 
Suy ra  2  ln x = 1 − 3
x
 x 
'

f ( x) 
 f ( x) 

Lấy nguyên hàm 2 vế được ∫  2  ln xdx = ∫ 1 − 3 dx

x 
 x 

f ( x) ln x
f ( x)
f ( x)
f ( x) ln x
x 2 (x + C)
−
dx
=
x
−
dx
+
C
⇒
=
x
+
C
⇒
f
(
x
)
=
∫ x3
∫ x3
ln x

x2
x2
3
x
Có f (3 e ) = 3e ⇒ C = 0 ⇒ f ( x) =
ln x

8


Tính được f (2) =

8
 23 
∈  ;12  . Chọn D
ln 2  2


Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
2
và f ' ( x) = 2 x. f 2 ( x) ; f ( x) ≠ 0 . Tính f (1)
9
35
2
19
A. −
B. −
C. −
36
3

36
f ( 2) = −

D. −

2
15

Hướng dẫn:
f ' ( x)

2
Từ giả thiết ta có f ' ( x) = 2 x. f ( x) ⇔ f 2 ( x) = 2 x
'

 1 
Suy ra 
 = −2 x
 f ( x) 
1

2
Lấy nguyên hàm 2 vế được f ( x) = − ∫ 2 xdx = − x + C

2
9

1
2

Có f (2) = − ⇒ C = − ⇒ f ( x) =
2
3

2
− 2x 2 − 1

Tính được f (1) = − . Chọn B
Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [1;3] thỏa mãn điều kiện
f (1) = −1 và f ' ( x)[1 + f ( x)] 2 = ( x − 1) 2 . f 4 ( x) , ∀x ∈ [1;3] , f ( x) ≠ 0 .
3

Biết

∫ f ( x)dx = a ln 3 + b (a, b ∈ Z ) . Tính a + b

2

e

A. 0
Hướng dẫn:

C. − 1

B. 4

D. 2
f ' ( x)

f ' ( x)

f ' ( x)

2
2
4
2
Từ giả thiết f ' ( x)[1 + f ( x)] = ( x − 1) . f ( x) ⇔ f 4 ( x) + 2 f 3 ( x) + f 2 ( x) = ( x − 1)
'


1
1
1 
2
Suy ra − 3 − 2 −
 = ( x − 1)
 3 f ( x ) f ( x) f ( x ) 
1
1
1
1
3
Lấy nguyên hàm 2 vế được − 3 f 3 ( x) − f 2 ( x) − f ( x) = 3 ( x − 1) + C
3

 1

1

−1
+ 1 = −( x − 1) 3 ⇒ f ( x) =
Có f (1) = −1 ⇒ C = ⇒ 
3  f ( x) 
x
3
3
 a = −1
dx
f
(
x
)
dx
=
−
= − ln 3 + 1 ⇒ 
⇒ a + b 2 = 0 . Chọn A
Tính được ∫
∫
b
=
1
x

e
e

Ví dụ 7: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn điều kiện
f ' (0) = 9 và 9 f ' ' ( x) + [ f ' ( x ) − x ] 2 = 9 . Tính f (1) − f (0)

A. 2 + 9 ln 2

B. 9

C.

1
+ 9 ln 2
2

D. 2 − 9 ln 2

Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có:
9


9 f ' ' ( x) + [ f ' ( x ) − x ] = 9 ⇔ 9( f ' ' ( x ) − 1) = −( f ' ( x ) − x) 2 ⇒ −
2

f ' ' ( x) − 1
1
=
2
9
( f ' ( x) − x)

'



 1
1
Suy ra 
 =
 f ' ( x) − x  9
1

1

1

Lấy nguyên hàm 2 vế được f ' ( x) − x = ∫ 9 dx = 9 x + C
1
9

9
9
⇒ f ' ( x) =
+x
x +1
x +1
1
1
1
 9

f
(
1
)

−
f
(
0
)
=
f
'
(
x
)
dx
=
Tính được
∫0
∫0  x + 1 + x dx = 9 ln 2 + 2 . Chọn C
Ví dụ 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên (0;1) thỏa mãn điều kiện
 3
1
 = b và x + xf ' ( x) + 4 = 2 f ( x) , ∀x ∈ (0;1) , f ( x) ≠ 0 . Tính tích phân
f   = a ; f 

2
2



Có f ' (0) = 9 ⇒ C = ⇒ f ' ( x) − x =

I=

π
3

sin 2 x. cos x + 2 sin 2 x
dx theo a và b
∫
f 2 (sin x)
π
6

A.

3a + b
4ab

B.

3b + a
4ab

C.

3b − a
4ab

D.

3a − b
4ab

Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có:
x + xf ' ( x) + 4 = 2 f ( x) ⇔ x + 4 = 2 f ( x) − xf ' ( x ) ⇔ x 2 + 4 x = 2 xf ( x ) − x 2 f ' ( x )
x 2 + 4 x 2 xf ( x) − x 2 f ' ( x)
x 2 + 4x  x 2 

⇔ 2
=
⇔
=
f ( x)
f 2 ( x)
f 2 ( x )  f ( x ) 

Tính I =

π
3

'

π
3

sin x. cos x + 2 sin 2 x
sin 2 x. cos x + 4 sin x. cos x
dx
=
dx

∫
∫
f 2 (sin x)
f 2 (sin x)
π
π
2

6

6

Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx
Có
I=

3
2

∫
1
2

3
2

3
2

t + 4t

x + 4x
dt = ∫ 2
dx = ∫
2
f (t )
f ( x)
1
1
2

2

2

2





3
x 
x
3
1
3a − b
2 =
 dt =
−
=

f ( x) 
f ( x) 1
4ab
 3
1
 4f 
4 f 

2
2
 2 
2

'

2

Chọn D
3.3 Khai thác quy tắc đạo hàm của hàm căn thức
3.3.1 Công thức

(

)

'

v( x) =

v' ( x)

2 v( x)

, v( x) > 0 (4)

3.3.2 Phương pháp

10


v' ( x)

+ Chuyển giả thiết về dạng 2 v( x) = g ( x)

[

+ Sử dụng công thức (4) ta có

]

'

v( x) = g ( x )

+ Lấy nguyên hàm hai vế được v( x) = ∫ g ( x)dx
+ Suy ra hàm số cần tìm và thực hiện yêu cầu bài toán
3.3.3 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn điều kiện
f (0) = 1 và f ' ( x) = 2 f ( x ) , ∀x ∈ [ 0;1] . Tính

1

∫ f ( x)dx
0

8
A.
3

1
C.
3

B. 7

D.

7
3

Hướng dẫn:
f ' ( x)

Từ giả thiết ta có f ' ( x) = 2 f ( x) ⇔ 2 f ( x) = 1
Suy ra

[

]

'

f ( x) = 1

Lấy nguyên hàm 2 vế được f ( x) = ∫ dx = x + C
Có f (0) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ f ( x) = x + 1 ⇒ f ( x) = ( x + 1) 2
1

Tính được

1

∫ f ( x)dx = ∫ ( x + 1)
0

2

dx =

0

7
. Chọn D
3

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa
1

mãn điều kiện f (0) = 1 và 16 x f ( x) − [ f ' ( x)] = 0, ∀x ∈ [ 0;1] . Tính I = ∫ f ( x)dx .
2

2

0

−2
B.
3

8
A.
15

Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có 16 x
Suy ra

(

)

2

4
C.
3

28
D.
15

2
[
f ' ( x )]
f ( x ) − [ f ' ( x )] = 0 ⇔
2

4 f ( x)

= 4x 2 ⇒

f ' ( x)
2 f ( x)

= 2x

'

f ( x) = 2 x

Lấy nguyên hàm 2 vế được

f ( x) = ∫ 2 xdx = x 2 + C
1

Từ f (0) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ f ( x) = ( x + 1) ⇒ I = ∫ f ( x)dx =
2

2

0

28
15

Chọn D
Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f (0) = 1 và ( f ' ( x ) ) 2 = e x ( f ( x ) ) 2 , ∀x ∈ R , f ( x) > 0 . Tính f (3)
A. 1
B. e 2
C. e 3
D. e
Hướng dẫn:
2
2
2
x
x 3
3
Từ giả thiết ta có ( f ' ( x) ) = e ( f ( x) ) ⇔ f ' ( x) = e . ( f ( x) ) ⇔

f ' ( x)
3

( f ( x) )

2

= 3 ex

11

3

Lấy tích phân 2 vế được

∫ ( f ( x) )
0

3

f ' ( x)

3

3

2

dx = ∫ e dx ⇔ ∫
0

0

( f ( x) ) 2

3

x
3

3

1

x

3

df ( x ) = ∫ e dx
0

x
3

3
3
33 f ( x) = 3e
⇔ 3 f (3) − 3 f (0) = e − 1 ⇔ f (3) = e 3 . Chọn C
0
0
Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [ 2;4] thỏa mãn điều kiện
7
f ( 2) = và 4 x 3 f ( x) = [ f ' ( x )] 3 − x 3 , f ' ( x) > 0 , ∀x ∈ [ 2;4] . Tính f (4) .
4
40 5 − 1
20 5 − 1
40 5 − 1
20 5 − 1
A.

B.
C.
D.
4
4
2
2

Hướng dẫn:
Ta có f ' ( x) > 0 ∀x ∈ [ 2;4] , suy ra hàm số đồng biến trên [ 2;4] ⇒ f ( x) ≥ f (2) =
Từ giả thiết ta có 4 x 3 f ( x) = [ f ' ( x)] 3 − x 3 ⇔ x 3 [ 4 f ( x) + 1] = [ f ' ( x)] 3

7
4

4 f ' ( x)

Suy ra 4 x = 3 4 f ( x) + 1
4

4

Lấy nguyên hàm 2 vế được 24 = ∫ 4 xdx = ∫ 3
2

⇔ 3 [ 4 f ( x) + 1]

2

4 f ' ( x)

4 f ( x) + 1

dx =

4
33
[ 4 f ( x) + 1] 2
2
2

4
40 5 − 1
2
= 16 ⇔ 3 [ 4 f (4) + 1] = 20 ⇔ f (4) =
. Chọn A
2
4

2

Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên [1;4] thỏa
mãn điều kiện f (1) = 1 và [ f ( x) + xf ' ( x)] 2 = 4 f ( x) . Tính f (4)
A.

8
3

B. 2

C.

9
4

D.

Hướng dẫn:
2
Từ giả thiết ta có [ f ( x) + xf ' ( x)] = 4 f ( x) ⇔

⇔

[ f ( x) + xf ' ( x)] 2

Suy ra

4 xf ( x)

[

]

'

xf ( x) =

7
3

[ f ( x) + xf ' ( x)] 2

4 f ( x)

=1

1
f ( x ) + xf ' ( x)
1
( xf ( x) ) = 1
⇔
=
⇔
x
2 xf ( x)
x
2 xf ( x)
x
1
'

=

x

Lấy nguyên hàm 2 vế được xf ( x) = ∫

1
x

dx = 2 x + C

Có f (1) = 1 ⇒ C = −1 ⇒ xf ( x) = 2 x − 1 ⇒ f ( x) =

(2 x − 1) 2
x

9
4

Tính được f (4) = . Chọn C
Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) nhận giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên

[ 0;1] . Đặt

x

g ( x) = 1 + 2 ∫ f (t )dt biết g ( x) ≥ [ f ( x)] , ∀x ∈ [ 0;1] . Tích phân
3

0

1

∫ [ g ( x)]
3

2

dx

0

có giá trị lớn nhất bằng.
12


A. 4

B.

5
3

C. 5

D.

4
3

Hướng dẫn:
 F ' ( x) = f ( x )
 g ( x) = 1 + 2 F ( x)

x

Gọi F(x) là một hàm số thỏa mãn F ( x) = ∫ f (t )dt ⇒ 
0

f ( x)

F ' ( x)

3
Suy ra 1 + 2 F ( x) = g ( x) ≥ [ f ( x)] ⇒ 3 1 + 2 F ( x) ≤ 1 ⇒ 3 1 + 2 F ( x) − 1 ≤ 0

F ' ( x)

F ' ( x)

1

1

−
Xét 3 1 + 2 F ( x) = 1 ⇒ ∫ 3 1 + 2 F ( x) dx = ∫ dx ⇒ 2 ∫ (1 + 2 F ( x) ) 3 d (1 + 2 F ( x) ) = x + C

33
2
. (1 + 2 F ( x ) ) = x + C
4
3
2
Xét hàm số h( x) = .3 (1 + 2 F ( x) ) − ( x + C ) , ∀[ 0;1] .
4
F ' ( x)
Có h' ( x) = 3 1 + 2 F ( x) − 1 ≤ 0 nên hàm số nghịch biến trên [ 0;1]
3
2
⇒ h( x) ≤ h(0) = .3 (1 + 2 F (0) ) − C
4

3
3
3
Từ F (0) = 0 ⇒ h( x) ≤ − C . Ta chọn C sao cho − C = 0 ⇒ C =
4
4
4
33
3
4
2
2
Khi đó . (1 + 2 F ( x) ) ≤ x + ⇒ 3 [ g ( x)] ≤ x + 1
4
4
3
1
1
5
4

2
⇒ ∫ 3 [ g ( x)] dx ≤ ∫  x + 1dx = . Chọn B
3
3

0
0
⇔

 π

Ví dụ 7: Cho hàm số f(x) không âm và có đạo hàm liên tục trên 0;  thỏa
 2
 π
π 
2
mãn f (0) = 3 và f ( x). f ' ( x) = cos x. 1 + f ( x) , ∀x ∈ 0;  . Tính f  


A. 2

B. 2 2

C.

1
3

2

2

D. 2 3

Hướng dẫn:
2
Từ giả thiết ta có f ( x). f ' ( x) = cos x. 1 + f ( x) ⇔

Suy ra

[ 1 + f ( x) ] = cos x
2

2 f ( x ). f ' ( x)
2 1 + f 2 ( x)

= cos x

'

Lấy nguyên hàm 2 vế được 1 + f 2 ( x) = ∫ cos xdx = sin x + C
Có f (0) = 3 ⇒ C = 2 ⇒ f ( x) = (sin x + 2) 2 − 1
π 
Tính được f   = 2 2 . Chọn B
2

3.4 Khai thác quy tắc đạo hàm của hàm mũ
3.4.1 Công thức

(e )

u( x) '

= e u ( x ) .u ' ( x ) (5)

13


3.4.2 Phương pháp

+ Chuyển giả thiết về dạng e u ( x ) .u ' ( x) = g ( x)
'
+ Sử dụng công thức (5) ta có [e u ( x ) ] = g ( x)

+ Lấy nguyên hàm hai vế được e = ∫ g ( x)dx
+ Suy ra hàm số cần tìm và thực hiện yêu cầu bài toán
3.4.3 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn điều kiện
u( x)

1

f (0) = 1 và f ' ( x).e f ( x ) − x

2

−1

= 2 x . Tính

∫ f ( x)dx
0

4
A.
3

C. −

B. 2

1
3

D.

7
3

Hướng dẫn:
'
Từ giả thiết ta có f ' ( x).e f ( x )− x −1 = 2 x ⇔ f ' ( x).e f ( x ) = 2 xe x +1 ⇔ ( e f ( x ) ) = 2 xe x +1
'
Suy ra [e f ( x ) ] = 2 xe x +1
2

2

2

2

Lấy nguyên hàm 2 vế được e f ( x ) = ∫ 2 xe x +1dx = e x +1 + C
Có f (0) = 1 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x) = x 2 + 1
2

1

Tính được

1

f ( x)dx = ∫ ( x 2 + 1)dx =

∫
0

0

2

4
. Chọn A
3

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f
f (0) = 1 và 3 f ' ( x ).e

A.

9
2

B.

3

( x ) − x 2 −1

−

2x
= 0 . Tính
f 2 ( x)

45
8

C.

7

∫ xf ( x)dx
0

11
2

D.

15
4

Hướng dẫn:
f
Từ giả thiết ta có 3 f ' ( x).e

[

] ( )
'

3

( x ) − x 2 −1

−

3
2
2x
= 0 ⇔ 3 f 2 ( x). f ' ( x).e f ( x ) = 2 xe x +1
2
f ( x)

'

Suy ra e f ( x ) = e x +1
Lấy nguyên hàm 2 vế được e f ( x ) = e x +1 + C
Có f (0) = 1 ⇒ C = 0 ⇒ f 3 ( x) = x 2 + 1 ⇒ f ( x) = 3 x 2 + 1
3

2

3

7

Tính được ∫ xf ( x)dx =

0

7

∫ x.
0

x 2 + 1dx =

2

45
. Chọn B
8

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên (0;+∞) thỏa mãn điều kiện
5


x3
 . Tính ∫ f ( x)dx .
f (1) = 0 và f ( x) = x ln
 xf ' ( x) − f ( x ) 
1
A. 12 ln 13 − 13
B. 13 ln 13 − 12
C. 12 ln 13 + 13

D. 13 ln 13 + 12

Hướng dẫn:




x3
f ( x)
x3



f
(
x
)
=
x
ln
⇔
=
ln
Từ giả thiết
 xf ' ( x) − f ( x ) 
 xf ' ( x) − f ( x) 
x





14


⇔e

f ( x)
x

x3
xf ' ( x) − f ( x)
=
⇔
.e
xf ' ( x ) − f ( x )
x3

Lấy nguyên hàm 2 vế được e
f ( x)
x

f ( x)
x

=

f ( x)
x

'

 f ( x) 
=x⇔
.e
 x 

f ( x)
x

'

 f ( x) 
= x ⇔  e x  = x



x2
+C
2

x2 +1
x2 +1
⇒ f ( x) = x ln
2
2
2x


x 2 + 1 du = 2
5
5

2
x +1
u = ln

x +1
dx . Đặt 
2 ⇒
Tính I = ∫ f ( x)dx = ∫ x ln
2
2
1
1
dv = xdx
v = x + 1


2
5
2
2
x +1 x +1 5
⇒I=
. ln
− xdx = 13 ln 13 − 12 . Chọn B
2
2 1 ∫1
1
Có f (1) = 0 ⇒ C = ⇒ e
2

=

Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
π 
f (0) = 0 và f ' ( x). 1 + e f ( x ) = 1 + e x . Tính f  
2
π
A. π
B.
C. 0
4

(

)

D.

π
2

Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có f ' ( x).(1 + e f ( x ) ) = 1 + e x ⇔ f ' ( x) + f ' ( x).e f ( x ) = 1 + e x
'
Suy ra ( f ( x) + e f ( x ) ) = 1 + e x

Lấy nguyên hàm 2 vế được f ( x) + e = ∫ (1 + e )dx = x + e + C
Có f (0) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x) + e f ( x ) = x + e x (*)
Ta có hàm số f (t ) = t + e t có f ' (t ) = 1 + e t > 0 nên đồng biến trên R
Từ (*) ⇒ f ( x) = x

f ( x)

x

x

π  π
Tính được f   = . Chọn D
2

2

Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f (0) = 1 và 3 f 2 ( x ). f ' ( x) − 4 xe − f

3

2

= 1 . Biết I =

( x ) + 2 x + x +1

−1+ 4089
4

a là

∫ (4 x + 1) f ( x)dx = b
0

phân số tối giản. Tính a − 3b
A. 6123
B. 12279
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có:
3 f 2 ( x ). f ' ( x) − 4 xe − f

[f

3

]

'

( x) − x e f

[

3

( x )− x

( x ) + 2 x 2 + x +1

)

(

)

'

= 1 ⇔ f 3 ( x) .e f

= (2 x 2 + 1) ' .e 2 x

] (
'

3

C. 6125

2

3

( x)

−ef

D. 12273

3

( x)

= (4 x + 1).e 2 x

2

+ x +1

− e2x

2

+ x +1

+1

'

Suy ra e f ( x )− x = e 2 x +1
Lấy nguyên hàm 2 vế được e f ( x ) − x = e 2 x +1 + C
Có f (0) = 1 ⇒ C = 0 ⇒ f 3 ( x) − x = 2 x 2 + 1 ⇒ f ( x) = 3 2 x 2 + x + 1
3

2

3

2

15


Tính được I =

−1+ 4089
4

∫ (4 x + 1) f ( x)dx =
0

a = 12285
12285
⇒
⇒ a − 3b = 12273 . Chọn D
4
b = 4

3.5 Khai thác quy tắc đạo hàm của hàm logarit tự nhiên
3.5.1 Công thức

( ln u ( x) ) ' = u ' ( x)
u ( x)

(6)

3.5.2 Phương pháp
u ' ( x)

+ Chuyển giả thiết về dạng u ( x) = g ( x)
+ Sử dụng công thức (6) ta có [ ln u ( x)] ' = g ( x)
+ Lấy nguyên hàm hai vế được ln u ( x) = ∫ g ( x)dx ⇔ u ( x) = e ∫
+ Suy ra hàm số cần tìm và thực hiện yêu cầu bài toán
3.5.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) luôn nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên
[1;2] thỏa mãn điều kiện f (1) = 1 và f ' ( x) − 3 f ( x) = 0 . Tính f (2)
A. e 3
B. e 2
C. e
D. 0
Hướng dẫn:
g ( x ) dx

f ' ( x)

Từ giả thiết ta có f ' ( x) − 3 f ( x) = 0 ⇔ f ( x) = 3
Suy ra [ ln f ( x)] ' = 3
Lấy nguyên hàm 2 vế được ln f ( x) = ∫ 3dx = 3x + C
Có f (1) = 1 ⇒ C = −3 ⇒ ln f ( x) = 3x − 3 ⇒ f ( x) = e 3 x −3
Tính được f (2) = e 3 . Chọn A
Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên [ − 1;0] thỏa
mãn điều kiện f (0) = 0 và f ' ( x) − 2 x(1 + f ( x)) = 0 , ∀x ∈ [ − 1;0] . Tính f (1)
A. e 3 + 2
B. e 2 − 1
C. e
D. e − 1
Hướng dẫn:
f ' ( x)

Từ giả thiết ta có f ' ( x) − 2 x(1 + f ( x)) = 0 ⇔ f ' ( x) = 2 x(1 + f ( x)) ⇔ 1 + f ( x) = 2 x
⇔

[1 + f ( x)] '
1 + f ( x)

= 2x

Suy ra [ ln(1 + f ( x))] ' = 2 x
2
Lấy nguyên hàm 2 vế được ln(1 + f ( x)) = ∫ 2 xdx = x + C
Có f (0) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ ln(1 + f ( x)) = x 2 ⇒ 1 + f ( x) = e x ⇒ f ( x) = e x − 1
Tính được f (−1) = e − 1 . Chọn D
Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) luôn dương và có đạo hàm liên tục trên [ 0;2] thỏa
mãn điều kiện f (0) = 1 và f ' ( x) + 2 xf ( x) = e x f ( x) , ∀x ∈ [ 0;2] . Tính f (2)
A. e e + 2
B. e e − 1
C. e e −5
D. e − 1
Hướng dẫn:
2

3

2

2

2

16


f ' ( x)

x
x
x
Từ giả thiết có f ' ( x) + 2 xf ( x) = e f ( x) ⇔ f ' ( x) = (e − 2 x) f ( x) ⇔ f ( x) = e − 2 x
Suy ra [ ln f ( x)] ' = e x − 2 x
x
x
2
Lấy nguyên hàm 2 vế được ln f ( x) = ∫ ( e − 2 x ) dx = e − x + C
Có f (0) = 1 ⇒ C = −1 ⇒ ln f ( x) = e x − x 2 − 1 ⇒ f ( x) = e e − x −1 ⇒ f (2) = e e −5
Tính được f (−1) = e − 1 . Chọn C
x

2

2

3.6 Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho hàm số f(x) luôn dương và có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa
mãn f (1) = 1 và [ 2 f ( x) + 1 − x ]. f ' ( x) = 2 x[1 + f ( x)], ∀x ∈ [ 0;1] . Tính
2

1

∫ f ( x)dx
0

1
B.
3

A. 2

2
C.
5

D. 1

Câu 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f (1) = 0 và x 6 .[ f ' ( x)] 3 + 27[ f ( x) − 1] 4 = 0 . Tính f ( 2)
A. 2
B. 1
C. − 5
D. − 7
Câu 3: Cho hàm số f(x) luôn dương và có đạo hàm liên tục trên (0;+∞) thỏa
3

x5
1
2 f ( x)
+ 2 x 3 . Tính f ( 2) + f (3)
mãn ∫ 2 dx =
và f ' ( x) =
20
x
2 f ( x)
A. 110
B. 90
C. 20

D. 25
Câu 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn điều kiện
f (0) = 0 và f ' ( x).e f ( x ) − x − x = 0 . Tính f (1)
A. ln 3
B. ln 2
C. 0
D. e
Câu 5: Cho hàm số f(x) không âm và có đạo hàm liên tục trên [ 0;3] thỏa mãn
điều kiện f (0) = 0 và f ' ( x) − x 2 f ( x) = e.x 2 . Tính f (3)

A. e10

B. e10 − 1

C. e10 + e

D. e10 − e

17


III. KẾT LUẬN
1. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Thực tế cho thấy, với cách phân loại các dạng toán như trên đã tạo được cho
học sinh sự nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm được thời gian hơn
trong quá trình giải toán. Học sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn trong học
tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, gắn kết tư duy lí luận với thực tiễn. Cách
làm trên đã đáp ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh. Sau khi đã
được ôn tập những dạng toán cơ bản và phương pháp, học sinh đã tự giải được
những bài tập tương tự, nhất là những bài tập nằm trong các đề thi thử của các

trường THPT. Hiệu quả trong học tập của học sinh đã được nâng lên rõ rệt.
Để có được bài viết trên, tôi đã phải nghiên cứu rất nhiều tài liệu và kiểm
chứng qua một số nhóm học sinh có học lực giỏi và khá trong các lớp12 ở
trường tôi như lớp 12A, 12B, 12D năm học 2019 - 2020.
Với 5 bài toán trong hệ thống bài tập tự luyện ở trên, mỗi lớp tôi đã chọn ra
hai nhóm học sinh với số lượng bằng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tôi
cho làm sau khi triển khai bài viết, nhóm II: tôi cho làm trước khi triển khai bài
viết, thời gian làm bài là 20 phút. Kết quả thu được cụ thể thể hiện ở bảng sau:
Nhóm

Số học sinh có lời Số học sinh có lời
Số học giải đúng 0-2 câu giải đúng 3-5 câu
sinh
0 câu
1-2 câu 3-4 câu 5 câu

NHÓM I
Lớp 12A
15
0
3
3
9
Lớp 12D
20
0
5
7
8
Lớp 12K

15
0
2
6
7
NHÓM II
Lớp 12A
15
4
10
1
0
Lớp 12D
20
3
15
2
0
Lớp 12K
15
2
10
3
0
Qua bảng thống kê ta thấy cách làm trên thể hiện được sự hiệu quả vượt trội.
2. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên nắm
chắc cơ sở lý thuyết, chủ động trong việc tìm tòi cách giải mới, kế thừa và phát
huy những kiến thức có sẵn một cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải và
đưa ra hệ thống các bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh, hướng dẫn học

sinh vận dụng hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng một cách có hệ thống
thì sẽ tạo được điều kiện để học sinh củng cố và hiểu sâu về lý thuyết cùng với
việc thực hành giải toán hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy được tính
chủ động và sự sáng tạo trong việc học của học sinh.
Đề tài đã được tác giả tâm huyết nghiên cứu, đầu tư kĩ lưỡng cả về chất
lượng, nội dung và hình thức, rất mong hội đồng KH nghành xét duyệt và phổ

18


biến rộng rãi giúp giáo viên và học sinh có thêm tài liệu bổ ích để giảng dạy và
học tập.
Bài viết chắc không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong các bạn đồng
nghiệp bổ sung góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn, cũng như ứng dụng vào
việc dạy học cho học sinh lớp mình giảng dạy, đem lại cho học sinh những bài
giảng hay hơn, cuốn hút hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 5/ 07/ 2020
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.
Người viết:

Nguyễn Văn Vương

19

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Các đề thi chính thức và thử nghiệm THPT Quốc gia năm 2018, 2019,
2020 của Bộ GD & ĐT
2. Tuyển tập tạp chí toán học và tuổi trẻ năm 2017, 2018, 2019, 2020
3. Khóa học luyện thi trắc nghiệm môn toán 2019-2020, thầy Mẫn Ngọc
Quang, thầy Nguyễn Bảo Vương, thầy Đặng Việt Đông
4. Chuyên đề luyện thi trắc nghiệm toán 2017, 2018, 2019, 2020 thầy
Nguyễn Tiến Minh, thầy Đặng Thành Nam, thầy Đặng Việt Hùng,
Thầy Đoàn Trí Dũng.
5. Tuyển tập đề thi trắc nghiệm môn toán năm 2017, 2018, 2019, 2020 của
các trường: Chuyên ĐH Vinh, Chuyên Hùng Vương, Chuyên Lương
Thế Vinh, Chuyên KHTN, Chuyên Quốc Học Huế, ĐH Quốc Gia Hà
Nội, ĐH Sư phạm Hà Nội, Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, các trường
THPT trong tỉnh: Chuyên Lam Sơn, THPT Ba Đình, THPT Bỉm Sơn,
THPT Mai Anh Tuấn, THPT Quảng Xương 1, THPT Hậu Lộc 1,
THPT Tĩnh Gia 1, THPT Hàm Rồng, THPT Đào Duy Từ, THPT Như
Thanh, THPT Lang Chánh,…
6. Tổng ôn chuyên đề tích phân của thầy Nguyễn Bảo Vương
7. Chuyên đề giải bài toán tích phân hàm ẩn của Tạ Đức Huy

20