HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN CỦA QUANG HIỆU

Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
Hệ thống kiến thức cơ
bản

Môn : Hình Học - THCS
Website:
1. Điểm - Đờng thẳng
- Ngời ta dùng các chữ cái in hoa A,
B, C, ... để đặt tên cho điểm
- Bất cứ hình nào cũng là một tập
hợp các điểm. Một điểm cũng là
một hình.
- Ngời ta dùng các chữ cái thờng a,
b, c, ... m, p, ... để đặt tên cho các
đờng thẳng (hoặc dùng hai chữ
cái in hoa hoặc dùng hai chữ cái
thờng, ví dụ đờng thẳng AB, xy, ...
)
- Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm
C nằm trên đờng thẳng a hoặc đ-
ờng thẳng a đi qua điểm C), kí
hiệu là:
C a

- Điểm M không thuộc đờng thẳng a
(điểm M nằm ngoài đờng thẳng a
hoặc đờng thẳng a không đi qua
điểm M), kí hiệu là:
M a

2. Ba điểm thẳng hàng
- Ba điểm cùng thuộc một đờng
thẳng ta nói chúng thẳng hàng
- Ba điểm không cùng thuộc bất kì
đờng thẳng nào ta nói chúng không
thẳng hàng.
3. Đờng thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
- Hai ®êng th¼ng AB vµ BC nh
h×nh vÏ bªn lµ hai ®êng th¼ng
trïng nhau.
- Hai ®êng th¼ng chØ cã mét ®iĨm
chung ta nãi chóng c¾t nhau, ®iĨm
chung ®ã ®ỵc gäi lµ giao ®iĨm
(®iĨm E lµ giao ®iĨm)
- Hai ®êng th¼ng kh«ng cã ®iĨm
chung nµo, ta nãi chóng song song
víi nhau, kÝ hiƯu xy//zt
4. Kh¸i niƯm vỊ tia, hai tia ®èi nhau, hai tia trïng nhau
- H×nh gåm ®iĨm O vµ mét phÇn ®-
êng th¼ng bÞ chia ra bëi ®iĨm O ®-
ỵc gäi lµ mét tia gèc O (cã hai tia
Ox vµ Oy nh h×nh vÏ)
- Hai tia chung gèc t¹o thµnh ®êng
th¼ng ®ỵc gäi lµ hai tia ®èi nhau
(hai tia Ox vµ Oy trong h×nh vÏ lµ
hai tia ®èi nhau)
- Hai tia chung gèc vµ tia nµy n»m

trªn tia kia ®ỵc gäi lµ hai tia trïng
nhau
- Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng
nhau
5. §o¹n th¼ng, ®é dµi ®o¹n th¼ng
- §o¹n th¼ng AB lµ h×nh gåm
®iĨm A, ®iĨm B vµ tÊt c¶ c¸c ®iĨm
n»m gi÷a A vµ B
- Hai ®iĨm A vµ B lµ hai mót
(hc hai ®Çu) cđa ®o¹n th¼ng
AB.
- Mçi ®o¹n th¼ng cã mét ®é dµi. §é
dµi ®o¹n th¼ng lµ mét sè d¬ng
6. Khi nµo th× AM + MB = AB ?
- NÕu ®iĨm M n»m gi÷a hai ®iĨm
A vµ B th× AM + MB = AB. Ngỵc
l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iĨm
M n»m gi÷a hai ®iĨm A vµ B
7. Trung ®iĨm cđa ®o¹n th¼ng
- Trung ®iĨm M cđa ®o¹n th¼ng
AB lµ ®iĨm n»m gi÷a A, B vµ c¸ch
®Ịu A, B (MA = MB)
- Trung ®iĨm M cđa ®o¹n th¼ng
AB cßn gäi lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa
®o¹n th¼ng AB
8. Nưa mỈt ph¼ng bê a, hai nưa mỈt ph¼ng ®èi nhau
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011

- Hình gồm đờng thẳng a và một
phần mặt phẳng bị chia ra bởi a đ-
ợc gọi là một nửa mặt phẳng bờ a
- Hai nửa mặt phẳng có chung bờ đ-
ợc gọi là hai nửa mặt phẳng đối
nhau (hai nửa mặt phẳng (I) và (II)
đối nhau)
9. Góc, góc bẹt
- Góc là hình gồm hai tia chung
gốc, gốc chung của hai tia gọi là
đỉnh của góc, hai tia là hai cạnh
của góc
- Góc xOy kí hiệu là
ã
xOy
hoặc
à
O
hoặc
xOy
- Điểm O là đỉnh của góc
- Hai cạnh của góc : Ox, Oy
- Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai
tia đối nhau
10. So sánh hai góc, góc vuông, góc nhọn, góc tù.
- So sánh hai góc bằng cách so
sánh các số đo của chúng
- Hai góc xOy và uIv bằng nhau đ-
ợc kí hiệu là:
ã

ã
xOy uIv=
- Góc xOy nhỏ hơn góc uIv, ta viết:
ã
ã ã
ã
xOy uIv uIv xOy< <=> >
- Góc có số đo bằng 90
0
= 1v, là góc
vuông
- Góc nhỏ hơn góc vuông là góc
nhọn
- Góc lớn hơn góc vuông nhng nhỏ
hơn góc bẹt là góc tù.
11. Khi nào thì
ã
ã ã
xOy yOz xOz
+ =

- Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox
và Oz thì
ã
ã ã
xOy yOz xOz+ =
.
- Ngợc lại, nếu
ã
ã ã

xOy yOz xOz
+ =
thì
tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz
12. Hai góc kề nhau, phụ nhau, bù nhau, kề bù
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
- Hai gãc kỊ nhau lµ hai gãc cã
mét c¹nh chung vµ hai c¹nh cßn
l¹i n»m trªn hai nưa mỈt ph¼ng
®èi nhau cã bê chøa c¹nh chung.
- Hai gãc phơ nhau lµ hai gãc cã
tỉng sè ®o b»ng 90
0
- Hai gãc bï nhau lµ hai gãc cã
tỉng sè ®o b»ng 180
0
- Hai gãc võa kỊ nhau, võa bï
nhau ®ỵc gäi lµ hai gãc kỊ bï
13. Tia ph©n gi¸c cđa gãc
- Tia ph©n gi¸c cđa mét gãc lµ tia
n»m gi÷a hai c¹nh cđa gãc vµ t¹o
víi hai c¹nh Êy hai gãc b»ng nhau
- Khi:
· ·
·
· ·
xOz zOy xOy vµ xOz = zOy+ =
=> tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc

xOy
- §êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c
cđa mét gãc lµ ®êng ph©n gi¸c cđa
gãc ®ã (®êng th¼ng mn lµ ®êng
ph©n gi¸c cđa gãc xOy)
14. §êng trung trùc cđa ®o¹n th¼ng
a) §Þnh nghÜa: §êng th¼ng vu«ng gãc
víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung ®iĨm
cđa nã ®ỵc gäi lµ ®êng trung trùc cđa
®o¹n th¼ng Êy
b) Tỉng qu¸t:
a lµ ®êng trung trùc cđa AB


⊥



a AB t¹i I
IA =IB
15. C¸c gãc t¹o bëi mét ®êng th¼ng c¾t hai ®êng th¼ng
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
a
I
B
A
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
a) Các cặp góc so le trong:

à
à
1 3
A và B
;
à
à
4 2
A và B
.
b) Các cặp góc đồng vị:
à
à
1 1
A và B
;
à
à
2 2
A và B
;
à
à
3 3
A và B
;
à
à
4 4
A và B

.
c) Khi a//b thì:

à
à
1 2
A và B
;
à
à
4 3
A và B
gọi là các cặp
góc trong cùng phía bù nhau
16. Hai đờng thẳng song song
a) Dấu hiệu nhận biết
- Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng
thẳng a, b và trong các góc tạo
thành có một cặp góc so le trong
bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng
vị bằng nhau) thì a và b song song
với nhau
b) Tiên đề Ơ_clít
- Qua một điểm ở ngoài một đờng
thẳng chỉ có một đờng thẳng song
song với đờng thẳng đó
c, Tính chất hai đờng thẳng song song
- Nếu một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:
Hai góc so le trong bằng nhau;
Hai góc đồng vị bằng nhau;

Hai góc trong cùng phía bù nhau.
d) Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song
- Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông
góc với đờng thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau
a c
a / / b
b c


=>



1
4
2
3
4
3
2
1
b
a
B
A
c
b
a
b

a
M
c
b
a
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
- Mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mét
trong hai ®êng th¼ng song song th×
nã còng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng
kia
c b
c a
a / /b
⊥

=> ⊥


e) Ba ®êng th¼ng song song
- Hai ®êng th¼ng ph©n biƯt cïng song
song víi mét ®êng th¼ng thø ba th×
chóng song song víi nhau
a//c vµ b//c => a//b
17. Gãc ngoµi cđa tam gi¸c
a) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cđa mét
tam gi¸c lµ gãc kỊ bï víi mét gãc
cđa tam gi¸c Êy
b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cđa tam

gi¸c b»ng tỉng hai gãc trong kh«ng
kỊ víi nã
·
µ
µ
ACx A B
= +
18. Hai tam gi¸c b»ng nhau
a) §Þnh nghÜa: Hai tam gi¸c b»ng
nhau lµ hai tam gi¸c cã c¸c c¹nh t-
¬ng øng b»ng nhau, c¸c gãc t¬ng
øng b»ng nhau
µ µ
µ µ
µ µ
ABC A 'B'C'
AB A 'B'; AC A 'C'; BC B'C'
A A '; B B'; C C'
∆ = ∆
= = =


⇔

= = =


b) C¸c trêng hỵp b»ng nhau cđa hai tam gi¸c
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
c

b
a
c
b
a
x
C
B
A
C
'
B'
A'
C
B
A
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
*) Trờng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh
(c.c.c)
- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba
cạnh của tam giác kia thì hai tam
giác đó bằng nhau
Nếu ABC và A'B'C' có:
AB A 'B'
AC A 'C' ABC A 'B'C'(c.c.c)
BC B'C'

=

= => =


=

*) Trờng hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh
(c.g.c)
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam
giác này bằng hai cạnh và góc xen
giữa của tam giác kia thì hai tam
giác đó bằng nhau
à à
Nếu ABC và A'B'C' có:
AB A 'B'
B B' ABC A 'B'C'(c.g.c)
BC B'C'

=



= => =


=


*) Trờng hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g)

- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam
giác này bằng một cạnh và hai góc
kề của tam giác kia thì hai tam giác
đó bằng nhau
à à
à à
Nếu ABC và A'B'C' có:
B B'
BC B'C' ABC A 'B'C'(g.c.g)
C C'


=


= => =


=


c) Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông
C'
B'
A'
C
B
A
C'
B'

A'
C
B
A
A
B
C
A'
B'
C'
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
 Trêng hỵp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cđa tam gi¸c vu«ng nµy
b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cđa tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c
vu«ng ®ã b»ng nhau.
 Trêng hỵp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kỊ c¹nh
Êy cđa tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc
nhän kỊ c¹nh Êy cđa tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c vu«ng ®ã
b»ng nhau.
 Trêng hỵp 3: NÕu c¹nh hun vµ mét gãc nhän cđa tam gi¸c
vu«ng nµy b»ng c¹nh hun vµ mét gãc nhän cđa tam gi¸c vu«ng
kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
 Trêng hỵp 4: NÕu c¹nh hun vµ mét c¹nh gãc vu«ng cđa tam
gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh hun vµ mét c¹nh gãc vu«ng cđa tam
gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
C'
B'
A'

C
B
A
C'
B'
A'
C
B
A
A
B
C
A'
B'
C'
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
19. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam
giác (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện
trong tam giác)
- Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh
lớn hơn là góc lớn hơn
à
à
ABC : Nếu AC > AB thì B > C

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn

à

à
ABC : Nếu B > C thì AC > AB

20. Quan hệ giữa đờng vuông góc và đờng xiên, đờng xiên và hình
chiếu
Khái niệm đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu của đờng xiên
-
Lấy A d, kẻ AH d, lấy B d và B H. Khi đó
:
- Đoạn thẳng AH gọi là đờng vuông góc
kẻ từ A đến đờng thẳng d
- Điểm H gọi là hình chiếu của A trên đ-
ờng thẳng d
- Đoạn thẳng AB gọi là một đờng xiên
kẻ từ A đến đờng thẳng d
- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của
đờng xiên AB trên đ.thẳng d
Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc:
Trong các đờng xiên và đờng vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một
đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vuông góc là đờng ngắn nhất.
Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu:
Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đờng thẳng đến
đờng thẳng đó, thì:
Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
Đờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
Nếu hai đờng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngợc
lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đờng xiên bằng nhau.
21. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam
giác
C'

B'
A'
C
B
A
A
B
C
d
B
H
A
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
- Trong mét tam gi¸c, tỉng ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n
®é dµi c¹nh cßn l¹i.
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB
- Trong mét tam gi¸c, hiƯu ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng nhá h¬n
®é dµi c¹nh cßn l¹i.
AC - BC < AB
AB - BC < AC
AC - AB < BC
- NhËn xÐt : Trong mét tam gi¸c, ®é dµi mét c¹nh bao giê còng lín h¬n
hiƯu vµ nhá h¬n tỉng ®é dµi hai c¹nh cßn l¹i.
VD: AB - AC < BC < AB + AC
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
C

B
A
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
21. Tính chất ba đờng trung tuyến của tam giác
- Ba đờng trung tuyến của một tam giác
cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi
đỉnh một khoảng bằng
2
3
độ dài đờng
trung tuyến đi qua đỉnh ấy:
GA GB GC
2
DA EB FC 3
= = =
G là trọng tâm của tam giác ABC
22. Tính chất ba đờng phân giác của tam giác
- Ba đờng phân giác của một tam
giác cùng đi qua một điểm. Điểm
này cách đều ba cạnh của tam
giác đó
- Điểm O là tâm đờng tròn nội
tiếp tam giác ABC
23. Tính chất ba đờng trung trực của tam giác
- Ba đờng trung trực của một tam
giác cùng đi qua một điểm. Điểm
này cách đều ba đỉnh của tam giác
đó

- Điểm O là tâm đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC
24. Phơng pháp chứng minh một số bài toán cơ bản
(sử dụng một trong các cách sau đây)
a) Chứng minh tam giác cân
1. Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau
2. Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau
3. Chứng minh tam giác đó có đờng trung tuyến vừa là đờng cao
4. Chứng minh tam giác đó có đờng cao vừa là đờng phân giác ở
đỉnh
b) Chứng minh tam giác đều
1. Chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau
2. Chứng minh tam giác đó có ba góc bằng nhau
3. Chứng minh tam giác cân có một góc là 60
0
c) Chứng minh một tứ giác là hình bình hành
1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
G
D
F
E
C
B
A
O
C
B
A
O

C
B
A
11
11
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh
hµnh
4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
5. Tø gi¸c cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng lµ
h×nh b×nh hµnh
d) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thang:
Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song song
e) Chøng minh mét h×nh thang lµ h×nh thang c©n
1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kỊ mét ®¸y b»ng nhau
2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®êng chÐo b»ng nhau
f) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt
1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
3. H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh ch÷ nhËt
g) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thoi
1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau
2. H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kỊ b»ng nhau
3. H×nh b×nh hµnh cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau
4. H×nh b×nh hµnh cã mét ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c cđa mét gãc
h) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng
1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kỊ b»ng nhau

2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc
3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c cđa mét gãc
4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng
5. H×nh thoi cã hai ®êng chÐo b»ng nhau
25. §êng trung b×nh cđa tam gi¸c, cđa h×nh thang
a) §êng trung b×nh cđa tam gi¸c
 §Þnh nghÜa: §êng trung b×nh cđa tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi
trung ®iĨm hai c¹nh cđa tam gi¸c
 §Þnh lÝ: §êng trung b×nh cđa tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø
ba vµ b»ng nưa c¹nh Êy
DE lµ ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c
1
DE / /BC, DE BC
2
=
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
E
C
B
D
A
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
b) Đờng trung bình của hình thang
Định nghĩa: Đờng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh bên của hình thang
Định lí: Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai
đáy và bằng nửa tổng hai đáy
EF là đờng trung bình của

hình thang ABCD
EF//AB, EF//CD,
AB CD
EF
2
+
=
26. Tam giác đồng dạng
a) Định lí Ta_lét trong tam giác:
- Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai
cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tơng
ứng tỉ lệ
AC'
AB'
B'C'/ /BC ;
AB AC
AC' C'C
AB' B'B
;
B'B C'C AB AC
=> =
= =
b) Định lí đảo của định lí Ta_lét:
- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên
hai cạnh này những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì đờng thẳng đó song
song với cạnh còn lại của tam giác
Ví dụ:
AC'
AB'
B'C'/ /BC

AB AC
= =>
; Các trờng hợp khác tơng tự
c) Hệ quả của định lí Ta_lét
- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với
cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tơng ứng tỉ lệ
với ba cạnh của tam giác đã cho. Hệ quả còn đúng trong trờng hợp đờng
thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai
cạnh còn lại (
AC' B'C'
AB'
B'C'/ /BC
AB AC BC
=> = =
)
F
E
D
C
B
A
C'B'
a
CB
A
13
13
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng

d) TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cđa tam gi¸c:
- §êng ph©n gi¸c trong (hc ngoµi) cđa mét tam gi¸c chia c¹nh ®èi
diƯn thµnh hai ®o¹n tØ lƯ víi hai c¹nh kỊ cđa hai ®o¹n ®ã
DB AB
DC AC
=
D'B AB
D'C AC
=
e) §Þnh nghÜa hai tam gi¸c ®ång d¹ng :
- Hai tam gi¸c ®ång d¹ng lµ hai tam gi¸c cã c¸c gãc t¬ng øng b»ng
nhau vµ c¸c c¹nh t¬ng øng tØ lƯ
µ µ
µ µ
µ µ
A A '; B B'; C C'
ABC A 'B'C'
AC BC
AB
k(tØ sè ®ång d¹ng)
A 'B' A 'C' B'C'

= = =

∆ ∆ <=>

= = =


f) §Þnh lÝ vỊ hai tam gi¸c ®ång d¹ng:

- NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cđa mét tam gi¸c vµ song song víi
c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi ®ång d¹ng víi tam gi¸c
®· cho
MN / /BC AMN ABC=> ∆ ∆
*) Lu ý: §Þnh lÝ còng ®óng ®èi víi trêng
hỵp ®êng th¼ng c¾t phÇn kÐo dµi hai
c¹nh cđa tam gi¸c vµ song song víi
c¹nh cßn l¹i
g) C¸c trêng hỵp ®ång d¹ng cđa hai tam gi¸c
*)Trêng hỵp 1: NÕu ba c¹nh cđa tam gi¸c nµy tØ lƯ víi ba c¹nh cđa tam
gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng.
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
C'
B'
a
C
B
A
C'
B'
a
C
B
A
D'
C
B
A
D
C

B
A
a
NM
C
B
A
S
S
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
Nếu ABC và A'B'C' có:
AC BC
AB
ABC A'B'C'(c.c.c)
A 'B' A 'C' B'C'

= = =>
*)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của
tam giác kia và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì hai tam
giác đồng dạng
à à
Nếu ABC và A'B'C' có:
BC
AB
A 'B' B'C'
ABC A 'B'C'(c.g.c)
B B'

=

=>


=

*)Trờng hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lợt bằng hai góc của
tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng;
à à
à à
Nếu ABC và A'B'C' có:
A A '
ABC A 'B'C'(g.g)
B B'


=

=>

=


h) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác vuông
*)Trờng hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì
chúng đồng dạng.
C
'

B'
A'
C
B
A
C'
B'
A'
C
B
A
C
'
B'
A'
C
B
A
15
15
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
S
S
S
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
µ µ
µ µ
0
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:

A A ' 90
ABC A 'B'C'
C C'
∆ ∆

= =

=> ∆ ∆

=


*)Trêng hỵp 2: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cđa tam gi¸c vu«ng nµy tØ lƯ
víi hai c¹nh gãc vu«ng cđa tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång
d¹ng.
Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:
AC
AB
ABC A 'B'C'
A 'B' A 'C'
= => ∆ ∆
*)Trêng hỵp 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh hun cđa tam gi¸c vu«ng
nµy tØ lƯ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh hun cđa tam gi¸c vu«ng kia
th× hai gi¸c ®ã ®ång d¹ng.
Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:
BC
AB
ABC A 'B'C'
A 'B' B'C'
= => ∆ ∆

27. TØ sè hai ®êng cao, tØ sè diƯn tÝch cđa hai tam gi¸c ®ång d¹ng
- TØ sè hai ®êng cao t¬ng øng cđa hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tØ sè
®ång d¹ng
- TØ s« diƯn tÝch cđa hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph¬ng tØ sè
®ång d¹ng
- Cơ thĨ :
A 'B'C' ABC theo tØ sè k∆ ∆
=>
2
A 'B'C'
ABC
S
A 'H'
k vµ k
AH S
= =
28. DiƯn tÝch c¸c h×nh
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
C'
B'
A’
C
B
A
C'
B'
A'
C
B
A

S
S
S
S
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
.S a b=

2
S a
=

1
S ah
2
=
1
S ah
2
=
1
S ah
2
=
1
S (a b)h EF.h
2
= + =
.

=
S a h
1 2
1
S d d
2
= ì
29. Học sinh cần nắm vững các bài toán dựng hình cơ bản
(dùng thớc thẳng, thớc đo độ, thớc có chia khoảng, compa, êke)
a) Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trớc;
b) Dựng một góc bằng một góc cho trớc;
c) Dựng đờng trung trực của một đoạn thẳng cho trớc, dựng trung điểm
của một đoạn thẳng cho trớc;
d) Dựng tia phân giác của một góc cho trớc;
e) Qua một điểm cho trớc, dựng đờng thẳng vuông góc với một đờng
thẳng cho trớc;
f) Qua một điểm nằm ngoài một đờng thẳng cho trớc, dựng đờng thẳng
song song với một đờng thẳng cho trớc;
g) Dựng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh kề và góc xen giữa,
hoặc biết một cạnh và hai góc kề.
a
h
a
h
a
FE
b
h
a
h

a
d
1
d
2
17
17
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
a
b
h
a
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
30. HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng (líp 9)
a) Mét sè hƯ thøc vỊ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng

2
b ab'=

2
c ac'=

2 2 2
a b c= +
(Pi_ta_go)
 bc = ah

2
h b'c'=


2 2 2
1 1 1
b c h
+ =
b) TØ sè lỵng gi¸c cđa gãc nhän
 §Þnh nghÜa c¸c tØ sè lỵng gi¸c cđa gãc nhän
c¹nh ®èi
sin
c¹nh hun
α =
c¹nh kỊ
cos
c¹nh hun
α =
c¹nh ®èi
tg
c¹nh kỊ
α =
c¹nh kỊ
cotg
c¹nh ®èi
α =
 Mét sè tÝnh chÊt cđa c¸c tØ sè lỵng gi¸c
+) §Þnh lÝ vỊ tØ sè lỵng gi¸c cđa hai gãc phơ nhau
Cho hai gãc α vµ β phơ nhau. Khi ®ã:
sinα = cosβ; tgα = cotgβ; cosα = sinβ; cotgα = tgβ.
+) Cho
0 0
0 90< α <

. Ta cã:

2 2
0 sin 1; 0 cos 1; sin cos 1< α < < α < α + α =


sin cos
tg ; cotg ; tg .cotg 1
cos sin
α α
α = α = α α =
α α
 So s¸nh c¸c tØ sè lỵng gi¸c
0 0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
0 90 sin sin ;cos cos ;tg tg ;cotg cotg< α < α < => α < α α > α α < α α > α
c) Mét sè hƯ thøc vỊ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
a
H
h
b'
b
c'
c
CB
A
α
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học

2010 - 2011
b = a.sinB; c = a.sinC
b = a.cosC; c = a.cosB
b = c.tgB; c = b.tgC
b = c.cotgC; c = b.cotgB
=> a =
b c b c
sinB sinC cosC cosB
= = =
31. Đờng tròn, hình tròn, góc ở tâm, số đo cung
- Đờng tròn tâm O, bán kính R là hình
gồm các điểm cách O một khoảng bằng
R, kí hiệu (O ; R).
- Hình tròn là hình gồm các điểm nằm
trên đờng tròn và các điểm nằm bên
trong đờng tròn đó.
- Trên hình vẽ:
+) Các điểm A, B, C, D nằm trên (thuộc)
đờng tròn; OA = OB = OC = OD = R.
+) M nằm bên trong đờng tròn; OM < R
+) N nằm bên ngoài đờng tròn; ON > R
+) Đoạn thẳng AB là dây cung (dây)
+) CD = 2R, là đờng kính (dây cung lớn
nhất, dây đi qua tâm)
+)
ẳ
AmB
là cung nhỏ (
0 0
0 180< <

)
+)
ẳ
AnB
là cung lớn
+) Hai điểm A, B là hai mút của cung
- Góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn đ-
ợc gọi là góc ở tâm (
ã
AOB
là góc ở tâm
chắn cung nhỏ AmB)
- Góc bẹt COD chắn nửa đờng tròn
- Số đo cung:
+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của
góc ở tâm chắn cung đó
ẳ
sđAmB =
(
0 0
0 180< <
)
+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa
360
0
và số đo của cung nhỏ (có chung
hai mút với cung lớn)
ẳ
0
sđAnB 360=

+) Số đo của nửa đờng tròn bằng
180
0
, số đo của cả đờng tròn bằng
19
19
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông

0
180 =
0 0
0 180< <
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
360
0
32. Quan hƯ vu«ng gãc gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y
- Trong mét ®êng trßn, ®êng kÝnh vu«ng
gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iĨm
cđa d©y Êy
AB
CD⊥
t¹i H => HC = HD
- Trong mét ®êng trßn, ®êng kÝnh ®i qua
trung ®iĨm cđa mét d©y kh«ng ®i qua
t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy
33. Liªn hƯ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y
§Þnh lÝ 1: Trong mét ®êng trßn
a) Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Ịu t©m
b) Hai d©y c¸ch ®Ịu t©m th× b»ng nhau

AB = CD => OH = OK
OH = OK => AB = CD
§Þnh lÝ 2: Trong hai d©y cđa mét ®êng trßn
a) D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n
b) D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n
AB < CD => OH > OK
OH > OK => AB < CD
34. VÞ trÝ t¬ng ®èi cđa ®êng th¼ng vµ ®êng trßn
a) §êng th¼ng vµ ®êng trßn c¾t nhau (cã
hai ®iĨm chung)
- §êng th¼ng a gäi lµ c¸t tun cđa (O)
d = OH < R vµ HA = HB =
2 2
R OH−
b) §êng th¼ng vµ ®êng trßn tiÕp xóc
nhau (cã mét ®iĨm chung)
- §êng th¼ng a lµ tiÕp tun cđa (O)
- §iĨm chung H lµ tiÕp ®iĨm
d = OH = R
*) TÝnh chÊt tiÕp tun: NÕu mét ®êng th¼ng
lµ tiÕp tun cđa mét ®êng trßn th× nã vu«ng
gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iĨm.
a lµ tiÕp tun cđa (O) t¹i H => a
OH⊥
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
c) Đờng thẳng và đờng tròn không giao
nhau (không có điểm chung)

d = OH > R
35. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn
- Để nhận biết một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn ta có hai
dấu hiệu sau:
Dấu hiệu 1: Đờng thẳng và đờng tròn chỉ có một điểm chung (định
nghĩa tiếp tuyến)
Dấu hiệu 2: Đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông
góc với bán kính đi qua điểm đó
( )
H O
a là tiếp tuyến của (O)
a OH tại H



=>




36. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau; đờng tròn nội tiếp,
bàng tiếp tam giác
a) Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của
một đờng tròn cắt nhau tại một điểm
thì:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là
tia phân giác của góc tạo bởi
hai tiếp tuyến
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là

tia phân giác của góc tạo bởi
hai bán kính đi qua các tiếp
điểm.
ã
ã
AB AC;OAB OAC= =
;
ã
ã
AOB AOC=
b) Đờng tròn nột tiếp tam giác
- Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của
tam giác đợc gọi là đờng tròn nội tiếp
tam giác, khi đó tam giác gọi là tam
giác ngoại tiếp đờng tròn
- Tâm của đờng tròn nội tiếp tam
giác là giao điểm của các đờng phân
giác các góc trong của tam giác
21
21
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
c) §êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c
- §êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cđa
mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi c¸c phÇn
kÐo dµi cđa hai c¹nh kia gäi lµ ®êng
trßn bµng tiÕp tam gi¸c
- T©m cđa ®êng trßn bµng tiÕp lµ
giao ®iĨm cđa hai ®êng ph©n gi¸c

c¸c gãc ngoµi t¹i hai ®Ønh nµo ®ã
hc lµ giao ®iĨm cđa mét ®êng ph©n
gi¸c gãc trong vµ mét ®êng ph©n gi¸c
gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh
- Víi mét tam gi¸c cã ba ®êng
trßn bµng tiÕp (h×nh vÏ lµ ®-
êng trßn bµng tiÕp trong gãc
A)
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
37. Vị trí tơng đối của hai đờng tròn, tiếp tuyến chung của hai đ-
ờng tròn.
a) Hai đờng tròn cắt nhau
(có hai điểm chung)
- Hai điểm A, B là hai giao điểm
- Đoạn thẳng AB là dây chung
R - r < OO' < R + r
- Đờng thẳng OO là đờng nối tâm,
đoạn thẳng OO là đoạn nối tâm
*) Tính chất đ ờng nối tâm : Đờng nối
tâm là đờng trung trực của dây chung
b) Hai đờng tròn tiếp xúc nhau
(có một điểm chung)
- Điểm chung A gọi là tiếp điểm
+) Tiếp xúc ngoài tại A:
OO' R r= +
+) Tiếp xúc trong tại A:
OO' R r=

c) Hai đờng tròn không giao nhau
(không có điểm chung)
+) ở ngoài nhau:
OO' R r> +
+) Đựng nhau:
OO' R r<
+) Đặc biệt (O) và (O) đồng tâm:
OO' 0=
23
23
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
d) TiÕp tun chung cđa hai ®êng
trßn
- TiÕp tun chung cđa hai ®êng trßn lµ
®êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai ®êng
trßn ®ã
- TiÕp tun chung ngoµi kh«ng c¾t
®o¹n nèi t©m
- TiÕp tun chung trong c¾t ®o¹n nèi
t©m
38. So s¸nh hai cung trong mét ®êng trßn hay trong hai ®êng
trßn b»ng nhau.
- Hai cung ®ỵc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã sè ®o b»ng nhau
- Trong hai cung, cung nµo cã sè ®o lín h¬n ®ỵc gäi lµ cung lín h¬n
- KÝ hiƯu:
»
»
»

¼ ¼
»
AB CD; EF GH GH EF= > <=> <
39. Liªn hƯ gi÷a cung vµ d©y.
*) §Þnh lÝ 1:
Víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn hay trong
hai ®êng trßn b»ng nhau:
a) Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau
b) Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau
»
»
»
»
AB CD AB CD ; AB CD AB CD= => = = => =
*) §Þnh lÝ 2:
Víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn hay trong
hai ®êng trßn b»ng nhau:
a) Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n
b) D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n
»
»
»
»
AB CD AB CD ; AB CD AB CD> => > > => >
40. Gãc néi tiÕp
a) §Þnh nghÜa:
- Gãc néi tiÕp lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn ®êng
trßn vµ hai c¹nh chøa hai d©y cung cđa ®-
êng trßn ®ã.
- Cung n»m bªn trong gãc ®ỵc gäi lµ cung

bÞ ch¾n
b) §Þnh lÝ:
Trong mét ®êng trßn, sè ®o cđa gãc néi
tiÕp b»ng nưa sè ®o cđa cung bÞ ch¾n
·
BAC
lµ gãc néi tiÕp ch¾n
cung nhá BC(h×nh a) vµ
ch¾n cung lín BC(h×nh b)
·
1
BAC
2
=
s®
»
BC
c) HƯ qu¶: Trong mét ®¬ng trßn
+) C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
+) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng
nhau thì bằng nhau
+) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90
0
) có số đo bằng nửa số đo của
góc ở tâm cùng chắn một cung
+) Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông.

41. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
a) Khái niệm:
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc
có đỉnh nằm trên đờng tròn, một cạnh là một
tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của
đờng tròn
- Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn
- Hình vẽ:

ã
BAx
chắn cung nhỏ AmB

ã
BAy
chắn cung lớn AnB
b) Định lí:
- Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung bằng nửa số đo của cung bị chắn
c) Hệ quả:
Trong một đờng tròn, góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn
một cung thì bằng nhau.
ã
BAx

ã
1
ACB
2

= =
sđ
ẳ
AmB
ã
ẳ
ã
ẳ
1
BAx sđAmB
2
1
BAy sđAnB
2
=
=
42. Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đ-
ờng tròn.
a) Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn.
- Góc có đỉnh nằm bên trong đờng tròn đợc gọi
là góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn
- Hình vẽ:
ã
BEC
là góc có đỉnh ở bên trong đ-
ờng tròn chắn hai cung là
ẳ
ẳ
BnC , AmD
- Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn

bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
ã
ẳ
ẳ
sđBnC sđAmD
BEC
2
+
=
n
m
o
e
c
b
a
d
25
25
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông