De- d.an HSG toan 9 (T.Hoa)

Sở GD&ĐT Thanh Hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2005-2006
Trờng THPT Cầm Bá Thớc Môn: Toán
(Đề dự bị) Thời gian: 150 phút
...............

....................... ......................................

............................................
câu 1:(4 điểm) Cho: A =
43x22x2
+++
+
43x22x2
++

a) Tính A với x =
5
.
b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất
câu 2:(2 điểm) phân tích đa thức sau thành nhân tử :
P(x) = -6x
4
+ 11x
3
+ 3x
2
- 11x + 3
câu 3:(2 điểm) Giải hệ :

=++
=++
=++
2czcyxc
2bzbyxb
2azayxa
2
2
2
với a,b,c đôi một khác nhau
câu 4:(2 điểm) Giải phơng trình :
4x
2
+ 28x + 23 + 3
7x7x
2
++
= 2
câu 5:(2 điểm) Trong hệ trục toạ độ Đê-các vuông góc xoy cho A(o;a) ,
oa

. Gọi d là đờng thẳng
có phơng trình: y = -a . Hãy tìm quỹ tích các điểm M(x,y) sao cho khoảng cách từ M tới d
bằng MA
câu 6:(2 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F = x(2004 +
2
x2006

) , với -
2006

x

2006
câu 7:(4 điểm)
Cho tam giác ABC có đờng cao AH . Gọi I,K là các điểm nằm ngoài tam giác ABC sao cho
các tam giác ABI và ACK vuông tại Ivà K hơn nữa = ,M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng :

a) MI = MK
b) Bốn điểm I,H,M,K thuộc cùng đờng tròn.
câu 8:(2 điểm) Tìm điểm M trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' sao cho
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
+ MA'
2
+ MB'
2
+ MC'
2
+ MD'

2
đạt giá trị nhỏ nhất.
..................................................Hết...............................................................

Câu đáp án
điểm
từng
ý
điểm
toàn
câu
Câu1:
a) A =
43222
+++
xx
+
43222
++
xx
=
2
)132(
++
x
+
2
)132(
+
x

=
132
++
x
+
132
+
x
với x = 5 suy ra : A =
1352
++
+
1352
+
= 2
352
+
b)A=
132
++
x
+
132
+
x


3x21132x
++++
= 2

dấu "="xảy ra

3x2
+

1

-
2
3

x

-1
0,5
0,5
1
1,0
1,0
4
Câu2:
P(x) =- 6x
4
+ 11x
3
+ 3x
2
11x + 3
= (x - 1)(-6x
3

+ 5x
2
+ 8x - 3)
= (x - 1)(x + 1)(-6x
2
+ 11x - 3)
= (x 1)(x + 1)(2x - 3)(1-3x)
0,75
0,75
0,5
2
Câu 3





=++
=++
=++
)3(2
)2(2
)1(2
2
2
2
zcyxc
zbyxb
zayxa
Lấy (1) trừ (2) ta đợc (a

2
b
2
)x + (a - b)y = 0


(a + b)x + y = 0 (4) (vì a b)
Tơng tự lấy (2) trừ (3) ta đợc :
(b+ c)x + y = 0 (5) (vì c b)
Từ (4) và (5) với a c ta đựơc x = y = 0 , suy ra : z = 2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0,0,2)
0,5
0,25
0,5
0,75
2
câu 4
Đặt u =
77
2
++
xx
(u

0)
ta đợc pt: 4u
2
+ 3u - 7 = 0

u=1 hoặc u=-

4
7
(loại)
suy ra : x
2
+ 7x + 7 = 1

x=-1 hoặc x= -6
0,25
o,25
0,5
1
2
câu 5
Ta có : MA
2
= x
2
+ (y - a)
2

Khoảng cách từ M tới d bằng
ay
+
Khoảng cách từ M tới d bằng MA


x
2
+ (y - a)

2
= (y + a)
2



y =
a4
1
x
2
(vì a 0)
vậy tập hợp các điểm M là parabol y =
a4
1
x
2

0,25
0,25
0,25
0.5
0,25
2
câu6
Ta có:
F
=
x
(2004 +

2
2006 x

)
=
x
(
)
2
2006120042004 x
+

x
)20062004)(12004(
2
x
++
(BĐT Bunhiacopxki)
=
2
40102005 xx


2005

+
2
4010
22
xx
= 2005
2005
(BDT Cauchy)
Suy ra: GTNN bằng - 2005
2005
đạt đợc khi x= - 2005
0,75
0,75
2
GTLN bằng 2005
2005
đạt đợc khi x= 2005
0,5
câu7

Gọi E,F lần lợt là trung điểm của AB,AC . ta có:
IE =
2
1
AB = MF
EM =
2
1

AC = FK

nên

IAM =

MHK (c.g.c) suy ra MI = MK
b) Ta sẽ chứng minh . Đặt =

Ta có : =

, =


nên = 180
0
- 2

(1)
Xét tam giác IEM có = 2

nên 180
0
- 2

=
ta lại có (so le trong,AB song song với MF)
(do

IAM =

MHK ) nên
180
0
- 2

= (2)
Từ (1),(2)suy ra . do đó I,H,M,K thuộc cùng đờng tròn
0,25
0,5
0,5
0.5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
4
câu8

Ta có : MA + MC

AC
0,5
2
MB + MD–
≥

BD–
MC + MA–
≥
CA–
MD + MB–
≥
DB–
Suy ra : MA + MB+ MC + MD+ MA– + MB–+ MC– +MD–
≥
4a
(víi a lµ ®é dµi ®êng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt)
Ta cã: MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
+ MA'
2
+ MB'
2
+ MC'
2
+ MD'
2

≥
3

1
(MA + MB+ MC + MD+ MA– + MB–+ MC– +MD–)
2
≥
3
16
a
2
nh vËy GTNN cña
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
+ MA'
2
+ MB'
2
+ MC'
2
+ MD'
2

lµ
3
16
a

2
®¹t ®îc khi M lµ t©m cña h×nh hép
0,5
0,5
0,5