SKKN sáng tạo bất đẳng thức tổng quát từ một bất đẳng thức thông dụng

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông, ngoài việc giúp học sinh
nắm chắc kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo
của học sinh trong việc khai thác thêm các bài toán mới từ những bài toán điển
hình, đồng thời biết vận dụng những bài toán đơn giản để giải những bài toán
phức tạp hơn là điều rất cần thiết cho công tác dạy học toán, cũng như công tác
bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổ thông.
Trong chương trình Toán THPT thì bất đẳng thức là phần kiến thức quan
trọng và khó, nhưng lại có vai trò rất lớn trong việc phát triển tư duy logic, óc
sáng tạo của học sinh. Hầu đa trong các kỳ thi, bất đẳng thức là câu vận dụng
cao, thách thức học sinh để có thể lấy điểm 10. Tuy nhiên, nếu chúng ta dạy học
sinh một cách bài bản, rèn luyện kĩ năng phân tích, đặc biệt hóa, khái quát hóa
từ những bài toán đơn giản đã gặp, thì chắc chắn học sinh sẽ giải quyết được
những bài toán phức tạp hơn.
Trong Sáng kiến kinh nghiệm của tôi, tôi cũng đã xuất phát từ một bất đẳng
thức quen thuộc để từ đó khái quát hóa thành nhiều bất đẳng thức tổng quát, mà
từ đó có thể đưa ra một lớp các bài bất đẳng thức cụ thể hay gặp trong trường
phổ thông. Vì vậy tôi chọn tên Sáng kiến kinh nghiệm là: “Sáng tạo Bất đẳng
thức tổng quát từ một bất đẳng thức thông dụng”. Hy vọng, với Sáng kiến
kinh nghiệm này của tôi sẽ góp một phần nhỏ trong việc nâng cao chất lượng
dạy và học môn Toán, đặc biệt là phần bất đẳng thức trong trường phổ thông.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích tôi nghiên cứu và viết Sáng kiến kinh nghiệm này là: Tự học, tự
nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, nhằm cải thiện chất
lượng giảng dạy cho học sinh được tốt hơn. Tạo ra nguồn tài liệu phục vụ cho
việc giảng dạy của bản thân, đồng nghiệp và phục vụ cho việc học của học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Trong SKKN này, đối tượng mà tôi hướng đến nghiên cứu là một bất đẳng
thức thông dụng trong trường phổ thông, để từ đó khái quát hóa và qua cái nhìn
ở nhiều góc độ để đưa ra một số bất đẳng thức tổng quát và các bài tập cụ thể áp

dụng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp mà bản thân tôi sử dụng để nghiên cứu trong SKKN này là
đặc biệt hóa khái quát hóa, từ một bài toán bất đẳng thức thông dụng, bản thân
đã khái quát thành nhiều bất đẳng thức tổng quát để từ đó có thể sáng tạo ra
được nhiều bất đẳng thức cụ thể.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Để nghiên cứu và thực hiện thành công SKKN của mình, bản thân đã dựa
vào một bất đẳng thức cổ điển thông dụng AM - GM (Sách phổ thông còn gọi là
bất đẳng thức Cauchy) và một bài toán chứng minh bất đẳng thức được GS TSKH Nguyễn Văn Mậu in trong rất nhiều sách về bất đẳng thức mà Giáo sư là
người chủ biên.
Bất đẳng thức AM - GM (Cauchy)
1


Cho các số a1 ; a2 ;...; an là các số thực không âm. Khi đó ta có BĐT:
a

1

a

... a

2

n n

a1a2...an

n

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a1 a2 ... an
Bài toán chứng minh BĐT ban đầu:
Cho a , b, c 0, m , n N * .
Chứng minh rằng: a m n b m n c m n a m b n b m c n c m an
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Nói đến BĐT là nói đến một vấn đề khó trong trường phổ thông, đa phần
học sinh ngại học BĐT, đặc biệt đối với những học sinh có học lực khá trở
xuống thường có tâm lí lo sợ và chán không muốn học. Trường tôi giảng dạy là
trường THPT Lê Văn Hưu cũng có tình trạng tương tự, Bất đẳng thức chỉ có thể
giảng dạy được ở các lớp mũi nhọn, còn ở các lớp đại trà rất khó để giảng dạy
chuyên đề này một cách đầy đủ.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề.
Tôi bắt đầu từ bất đẳng thức thông dụng mà chúng ta thường gặp trong
các tài liệu môn Toán bất đẳng thức trong trường phổ thông:
Bài toán 1:
Cho a , b, c 0, m , n N * .
(1)
m n
m n
m n
m n
m n
m n
Chứng minh rằng: a
b
c

a b b c c a
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
ma m nnbm n

m n

am n m . b m n n a

m

bn

m n

bm n m . cm n n b

m

cn

m n

cm n m . a m n n c

m

an

m n

mb m nncm n

m n
mc m nabm n
m n

Cộng các bất đẳng thức trên ta được:
am

n

bm

n

cm

n

a m b n b m c n c m an (đpcm)

Bài tập áp dụng BĐT (1):
Bài tập 1: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 3 b 3 c 3 a 2 b b 2 c c 2a
ab 2 bc 2 ca2
Bài tập 2: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 4 b 4 c 4 a 3b b 3 c c 3a
a2b2b2c2c2
a2 ab 3 bc 3 ca3
Bài tập 3: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:

2


a 5 b 5 c 5 a 4 b b 4 c c 4a
a 3b 2 b 3 c 2 c 3 a2
a 2 b 3 b 2 c 3 c 2 a3

Bài tập 4: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 7 b 7 c 7 a 6 b b 6 c c 6a
a 4 b 3 b 4 c 3 c 4 a3
a 5 b 2 b 5 c 2 c 5 a2

Từ BĐT (1) ta có thể suy ra BĐT (2) như sau:
Bài toán 2:
Cho a , b, c 0, m, n , k N * .
Chứng minh rằng: a m n k b m n k c m n k a m b n c k
bk
(2)
Chứng minh:

b m c n a kc m a n

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

ma m n knb m n k

kcm n

m n k

mb m

n k

nc m

n k

kam

n k

n k

na m

n k

kbm

n k

m n k

.

m n k

n

.

b
m

.

b
c

m

m n k

.

m n k

.

a
m n k

k

a
m n k

n

a

.

m

k

c
n

c
m n k

m n k

m n k

m

a
m n k

m n k

m n k
mc m

m n k

k

bc
m

b
m n k

b

k

n

k

c a
m

c

k

n

k

n

ab

Cộng các bất đẳng thức trên ta được:
am

n k

bm

n k

cm

n k

ambnck

bmcnak

c m a n bk (đpcm)

Bài tập áp dụng BĐT (2):
Bài tập 5: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 4 b 4 c 4 a 2 bc b 2 ca c 2ab
Bài tập 6: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 5 b 5 c 5 a 3bc b 3 ca c 3ab
a 2 b 2 c b 2 c 2 a c 2 a 2b
Bài tập 7: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 6 b 6 c 6 a 4 bc b 4 ca c 4ab
a 3b 2 c b 3 c 2 a c 3 a 2b a
2

b 3 c b 2 c 3 a c 2 a 3b

Từ BĐT (1) ta có thể suy ra BĐT (3) như sau:
Bài toán 3:
Cho a , b, c 0, m, n , k N * .
Chứng minh rằng: a m n b m n cm n a m b m cm
bn

Chứng minh:

cn

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
m n
bn
am n a
bn

2am

(3)

an

m n n
c 2bm
bm n b
cn

cm n
an

c m n a n 2cm


3


Cộng các bất đẳng thức trên ta được:
am n
bn

bm n
cn

cm n
2( a m b m c m ) a m n b n b m n c n c m n an
an
Theo (1) thì: a m b m c m a m n b n b m n c n c m n an

Nên:
( a m b m c m ) ( a m b m c m ) ( a m n b nb m n c n c m n an )

VT 3

a m b m cm

Bài tập áp dụng BĐT (3):
Bài tập 8: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:

a5 b5

c5
a

b2

c2

Bài tập 9: Cho

a3

b

c3

3

2

a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:

a 5 b 5 c 5 a 3 b 3 c3
c 2 a 2 b2
Bài tập 10: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 5 b 5 c5
b3

c3

a2

b

c2

2

a3

Bài tập 11: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 7 b 7 c7
b3

c3

a4

b

c4

4

a3

Từ bài toán (3) và bài toán (1), ta có thể suy ra BĐT (4) như sau:
Bài toán 4:
Cho a , b, c

0, m, n

N*.

k

Chứng minh rằng: a m n

bm n

bn

cn

cm n
an

m k

a

m k

b

m k

(4)

c

Bài tập áp dụng BĐT (4):
Bài tập 12: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 5 b 5 c5
b 2 c 2 a2

a2 b b

2

c c 2a

ab 2 bc 2 ca2
Bài tập 13: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:

a 5 b 5 c5
b

3

c

3

ab bc ca

a3

Bài tập 14: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:

a 7 b 7 c7
b3

c3

a 3b b

3

c c 3a

a3

ab 3 bc 3

ca3

Từ bài toán (3) và bài toán (2), ta có thể suy ra BĐT (5) như sau:
Bài toán 5:
Cho a , b , c 0, m , n , p , q
N*.
4


Chứng minh rằng:

am n p q

bm n p q

bn

cm n p q

a m b p c q b m c p a q c m a p bq

(5)

an

cn

Bài tập áp dụng BĐT (5):
Bài tập 15: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a5
b

b5
c

2
2
c5
bc b ca c ab
a a
Bài tập 16: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
2

a 7 b 7 c7
b2

c2

a 3bc b 3ca c 3ab

a2

a 2 b 2 c b 2 c 2 a c 2 a 2b
Bài tập 17: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 6 b 6 c6
b c a

a 3bc b

ca c 3ab

3

Từ bài toán (3), ta có thể suy ra BĐT (6) như sau:
Bài toán 6:
Cho a , b , c

N*.

0, m , n , p

Chứng minh rằng: a m n p
bncp

bm n p

cnap

Chứng minh:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

am n p
bncp

a m n p b n c p2am

m
b m cm
cm n p a

(6)

anbp

bm n p b m n p c n a p2bm
cnap

cm n p

a n b p c m n p a n b p2cm

Cộng các BĐT trên ta được:
a

mn p

b

n

c

p

b mn p
n p
c a

mn p

c

n

a

b

p

2( a m b m c m ) a m n p b n c p b m n p c n a p c m n p a n bp

Mà theo (1) thì ( a m b m c m ) a m n p b n c p b m n p c n a p c m n p a n b p
Nên: a m n p

m

cm n p a

bm n p

bncp

cnap

b m cm (đpcm)

anbp

Bài tập áp dụng BĐT (6):
Bài tập 18: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a5

b2c

b5
c2a

c5 a

2

b

2

c

2

a
b
Bài tập 19: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a 3 b 3 c3 a b c
bc c
a
a
b
Bài tập 20: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
4
b 4 c 4
a7
b 7 c7 a
a
b2c c2a
2
b
2


5


Bài tập 21: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a7
b2c3

2

c7 a
a 2 b3

b7
c2a3

b

2

2

c

Từ bài toán (6) và bài toán (1), ta có thể suy ra BĐT (7) như sau:
Bài toán 7:
Cho a , b, c 0, m, n, p , kN *, m k .
Chứng minh rằng: a m n p
b m n p cm n p a m k b kb m k c k c m k ak
n p
n p
n p
b c

c a

a b

(7)

Bài tập áp dụng BĐT (7):
Bài tập 22: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a5
b2c

b5

ab bc ca

c5

2

2

c a

a b
Bài tập 23: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a5

b5

bc

c
a

2

c5

2

2

ab b c c a
a
b
Bài tập 24: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
3
3
3
a7
b7
c7
a b b c ca
b 2 c c 2 a a 2b
Bài tập 25: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
2
2
2
a7
b7
c7
a b b c ca
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b2

Từ bài toán (6) và bài toán (2), ta có thể suy ra BĐT (8) như sau:
Bài toán 8:
Cho a , b , c 0, m, n , p , q , r
N *, m q
r.
Chứng minh rằng:

am n
n

b c

bm n

p

p

n

p

c a

p

cm n
n

a b

m q r

p

p

a

q r

m q r

bc b

q

r

c a c

m q r

q

r

(8)

ab

Bài tập áp dụng BĐT (8):
Bài tập 26: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a7

b7

b 2 c c2a

2

2

2

c7 a bc b ca c ab

a 2b

abc ( a b c)
Bài tập 27: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:

a 2017
bc

b 2017
ca

c2017 a 2 b 2 c 2 a 2009 b 2009c2009
ab

abc ( a 2012b 2012

c2012 )

Bài tập 28: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
2017
a b c
a 6154 b 6154 c6154 ( abc )
bc
ca
ab
1
1
1
Từ (1) nếu ta thay a bởi , b bởi
c bởi , ta được BĐT tổng quát (9) sau:
a
b,
c

6


Bài toán 9:
Cho a , b, c 0, m , n N * .
Chứng minh rằng: 1
a

1
b

m n

1
c

m n

m n

1
a bn

1
b cn

m

m

1
c an

(9)

m

Bài tập áp dụng BĐT (9):
Bài tập 29: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1

1

1

2

2

2

1
1
1
a
b
c
a
b c
b
c a
Bài tập 30: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1
1 1
1
1
1
a

5

5

b

5

c

3 2

3

ab

bc

3

2

2

ca

111a4bb4c
c 4a

Bài tập 31: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1

a

3

1
b

3

1
c

3

1

1

1

2

2

c 2a

a b

b c

Từ (2) nếu ta thay a bởi 1 , b bởi 1 , c bởi 1 , ta được BĐT tổng quát (10) sau:
a

c
b

Bài toán 10:

Cho a , b , c 0, m , n , p N * .
1
Chứng minh rằng: 1
a

m n p

b

1
cmnp

m n p

1
a mb n c p

1
b mc n a p

1
c am

(10)
n

b

p

Bài tập áp dụng BĐT (10):
Bài tập 29: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1

1
b4

1 1
1
1
4
2
2
c
a bc b ca c 2ab
a4
Bài tập 30: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1 1
1 1
1
1
b5

a5

c5

a2b2c

c 2 a 2b

b2c2a

1

1

3

3

1
b ca

a bc

3

c ab

Bài tập 31: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1

a

2020

1
2020
b

1
2020
c

1
ab
c

1
2017

a

1
2017
b

1
2017
c

Từ bài toán (3), ta cũng suy ra BĐT (11) như sau:

Bài toán 11:
Cho a , b , c 0, m , n , p N * .
Chứng minh rằng: b n
am

n

cn

bm

n

an

cm

n

1

1

1

am

bm

cm

Bài tập áp dụng BĐT (11):
Bài tập 32: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:

(11)


7


b 2 c 2 a2 a 3 1
1 1
3 3
a
b
c
b c
b 3 c 3 a3 a 5
b5c5

Bài tập 33: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:

a

1

1
b 2

2

c

1
2

Bài tập 34: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:

a

b

c
b 5

5

c

a

1
a 4

5

b

1

c

4

1
4

1

Từ bài toán (4), ta cũng suy ra BĐT (12) như sau:
Bài toán 12:
Cho a , b , c 0, m , n , p N *;m p .
1
cn
an
Chứng minh rằng: b n
am

bm

n

cm

n

c mp a p
1

am pbp

n

(12)

bm pcp

Bài tập áp dụng BĐT (12):
Bài tập 35: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b
a3

c
b3

a
1
1
1
3
c
ab bc ca
Bài tập 36: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1
1
1
b 3 c 3 a3
5
5
5

a
b
c
ab bc ca
Bài tập 37: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b
c a 1 1 1 a 5 b 5 c 5 a 3b
b 3c c 3a

Bài toán 13:
Cho a , b , c 0, m , n , p , q

p q.
1

*

N ;m

1

Chứng minh rằng:
bn
am

cn
bm

n

an
n

cm

(13)

1
am

n

bm

p qcpaq

cm

p q a p bq

p qbpcq

Bài tập áp dụng BĐT (13):
Bài tập 38: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b
a5

Bài
toán
15:

c
b5

a
1
1
1
5
2
2
c
a 2 bc b ca c ab
Bài tập 39: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1
1
1
b 2 c 2 a2
7
7
7
2
2 2
2 2
a
b
c
a b c b c a c a 2b

Cũng từ (6), (7), (8), ta cũng có các BĐT tổng quát sau:

Bài toán 14:
Cho a , b , c 0, m , n , p N * .
n p
cnap
anbp
1
1
Chứng minh rằng: b c
am

n p

bm

n p

cm

n p

a

m

b

m

1
c

m


(14)
8


Cho a , b, c 0, m, n, p , k N *;m k .
n p
cnap
anbp
Chứng minh rằng: b c
am

bm

n p

cm

n p

1
am kbk

n p

Bài toán 16:
Cho a , b , c 0, m, n , p , k , r N *;m k r .

1
Chứng minh rằng:
bncp
am

cnap
bm

n p

1
bm kck

1

a n bp
cm

n p

am

n p

k rbkcr

bm

a 2b
c7

1

1

k rckar

cm

4

(16)

k r a k br

1

a
b
c4
1 1 1 a 3b b 3
c c 3a
Bài tập 41: Cho a , b, c 0 . Cho a , b , c
a

7

c2a
b7

(15)

c m k ak

1

Bài tập áp dụng BĐT (14), (15), (16):
Bài tập 40: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b2c

1

4

*

:

;a b c 3
2

2

c a a 2b
b4
c4
a4
*
;a b c 5
:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P b c
Bài tập 42: Cho a , b, c 0 . Cho a , b , c
Chứng minh rằng: P b 2 c c 2 a 2b
1 1

VT

HD:

1

1

b

abc a

a
a 1 b7
7

c

c7 9 625 243

3

a b c

243

.
a b c

625

3

Từ BĐT (3) cũng gợi ý để ta suy ra BĐT (17) sau:
Bài toán 17:
Cho a , b, c 0, m , n N *
Chứng minh rằng: a m n
bm n
cm n
n

b c

n

c a

a b

1
n

2

n

a m b m cm

(17)

Chứng minh:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
am n
b cn

am

cm n
a bn

cm

n

b cn

2 am

a bn

2n
2 cm

4n

n

bm

bm n
c an

n

c an
4n

2 bm
2n

2

4n

n

Cộng các BĐT trên ta được:
VT 7

2

2

n

a

m

b

m

c

m

4

1

n

a

m n

b c

n

b

m n

c a

n

c

m n

a b

n

Ta có:

9


am

n

b cn bm

n

c an cm

n

m n

a

n

a bn

a

k

n

k

Cn b

nk

c

k

mn

b

n

k

Cn c

k 0

nk

c

m n

C nk a n k bk

k 0

k 0

n

C nk a m n b n k c k b m n c n k a k c m n a n k bk k 0
Mà theo (2) thì:
am

bm

c

m

a

m n

b

n k

c

k

Do đó:
VT 7

2

n

a

m

b

m

b

1

c

m

c

m n

n

C a
n

k

m

b

m

n k

a

c

k

m n

a

n k

bk

c

m

n
k 0

2
2. 2

2

1

1
n

n

am

4
bm

1 n m
m
m
4 n .2 . a b c

cm

a m b m cm

Bài tập áp dụng BĐT (17):
Bài tập 43: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a
b
c
3
b c
c a
a b
2
Bài tập 44: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1a b c
a2
b2
c2
b c
c a
a b
2
Bài tập 45: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:

1a 2 b 2 c 2
a3
b3
c3
b c

c a

a b
2
Bài tập 46: Cho a , b , c 0; a b c 4 :

Chứng minh rằng:

a3

b3

b c

c a

c3

8

a b

3

Bài tập 47: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1a b c
a3
b3
c3
(b c ) 2

( c a ) 2 ( a b) 2 4
Bài tập 48: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1 a 3 b 3 c3
a5
b5
c5
(b c ) 2 ( c a ) 2 ( a b) 2 4

1

2
2
2
4a b b c c a

Bài tập 49: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a7
(b c )

1 a 2 b 2 c2
b7
c7
5

5
( c a ) ( a b) 5 32
Bài tập 50: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
10


a7
(b c ) 3

b7
(c a)

c7
( a b) 3

3

1 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a2
8

Từ BĐT (6) cũng gợi ý để ta suy ra BĐT (18) sau:
Bài toán 18:
Cho a , b, c 0, m , n N * . Chứng minh rằng:
am 2n
n
a b
a c

bm 2 n
n

b a b c

n

m 2n

1

c
n

n

n

c ac b

n

a m b m cm

(18)

4

Chứng minh:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

am

am 2n

2n

a bn a cn

a bn a cn
bm

bm 2n
b an b cn

2n

2.

1 am

16 n
b a n b c n 2.

4n
1 bm

16 n

4
n

c m 2n c b n c a n 2. 1 cm

cm 2n
c bn c an
16 n
4n
Cộng các BĐT trên ta được:
VT 18 2. 1 a m b m c m 1 (a m 2n a b n a c n
n

bm

n

4

2n

b an b cn

cm

16

2n

c bn c an)

Mà:

a
a

a bn a cn bm

m 2n
n

m 2n

Cn a

2n

b an b cn

n

k

n k

cm

2n

n k

k

c bn c an

n

k

k

b . Cn a

k 0
n

cm

2n

n k

c

k

b

m 2n

k 0
n

n

k

Cn b

a . C n k b n k ck

k 0

k 0

C nk c n k a k . C nk c n k bk
k 0

k 0

2

n

a m 2 n a 2 n 2 k b k c kb m

C nk

2 n

b

2 n 2 k

akc

k

c

m 2 n

c

2 n 2k

b k ak

k 0

4 n a m 2 k b k c kb m

akc

2 k

c

k

m

2k

bkak

4n a m

bm

cm

Từ đó suy ra:
VT 18
c

2. 4

m

4

1

n

1
n

a

m

am
b

bm cm

m

16

1
n

4n a

m

b

m

cm

Bài tập áp dụng BĐT (18):
Bài tập 51: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
a2

b2

c2

3

a b a c
b a b c
c b c a
4
Bài tập 52: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
11


b3

1 a b c
c3
c
b a
b c
c b
c a 4
Bài tập 53: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0; a b c 4 thì:
4
a4
b4
c4
a b a c
b a b c
c b c a
3
Bài tập 54: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1 a b c
b5
a5

c5
a3
a b a

a b2 a c2
b a2 b c2
c b2 c a2
Bài tập 55: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1a
a5
b5
c5
a b a c
b a b c
c b c a
4

16
3

3

b

c

3

Từ BĐT (18) cũng gợi ý để ta suy ra BĐT (19) sau:
Bài toán 19:

Cho a , b, c 0, m , n N * . Chứng minh rằng:
am 2n

b

n

bm 2n
n

b c

1 a m b m cm

cm 2n

n

n

c c a

a

n

n

a b

(19)

n

2

Chứng minh:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

am

am 2n

2n

bn b cn

b n b c n 2.

1 am
2n

4n

bm

bm 2n

2n

cn c an

c n c a n 2.
4n

n
m
cm 2n
c m 2n a n a b 2. 1 c
an a bn
4n
2n
Cộng các BĐT trên ta được:
VT 19 2. 1 a m b m c m
1 (am2nbn b cn bm2ncn c an cm
n

2n

a

b

bn b cn

bm

2n

cn c an cm

n

C nka m

Cn b
2 n

2n

an a bn)

an a bn

n

k

n k

c

k

b

m 2n

c

k 0

n

2n

4

n

m 2n

2n

n

Mà: 2
am

1 bm

n

n

k

Cn c

n k

a

k

c

m 2n

a

k 0

b n b n k c k

n

C nk a n k bk
k 0

b m 2 n c n c n k a k

c m 2n a n a n k bk

k 0

2 n a m 2 n b 2 n k c kb m

2 k

c

2 n k

a

k

c

m

2 k

a

2n k

b

k

2n a

m

b

cm

m

Từ đó suy ra:
VT 19
c

m

2. 2
2

1

n

1
n

a

m

am
b

m

bm

cm

4

1
n

2n a

m

b

m

cm

Bài tập áp dụng BĐT (19):
Bài tập 56: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
12


1a b c
b3
a3
c3
bb c
cc a
aa b
2
Bài tập 57: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:

1 a 2b 2 c
a4
b4
c4
bb c

cc a

aa b

2

2

1

2 ab bc ca

Bài tập 58: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1 a 3 b 3c
a5
b5
c5
bb c

cc a

aa b

3

2

1

2
2
2
2a b b c c a

Bài tập 59: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
b2

a5
b c2

b5
c5
c2 c a2 a2 a b
*

Bài tập 60: Cho a , b, c
a4
bb c

P

;a b c 5

b4

cc a

2

1a b c
4

. Tìm GTNN của biểu thức:

c4
aa b

Từ BĐT (18) cũng gợi ý để ta suy ra BĐT (20) sau:
Bài toán 20:
Cho a , b, c 0, m , n N * . Chứng minh rằng:
am 3n

a b

2n

bm 3n
n

a c

b a

n

1a
8n

cm 3n
2n

bc

c a

2n

n

c b

m

b

m

c

m

(20)

Chứng minh:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

am 3n

a m 3n a b 2n a c n

a b 2n a c n

64 n

bm 3n
b a n b c 2n

b m 3n b a n b c 2n

1

n

n

64
c b n c a 2n

a m b m c m 64

8n
2. 1
n

8

n

c m 3n
cm 3n
c b n c a 2n
64 n
Cộng các BĐT trên ta được:
VT 20 2. 8

2. 1 am

1
n

2.

1
8

n

bm
cm

(a m 3n a b 2n a c n b m 3 n b a

b c 2 n c m 3n c b n c a 2n )

Mà:

13


a m 3 n a b 2n a
n

am3n

3

C nk

cn

a m 3n a b n a

bn a

cn

2

an kbk

a n k c k8n a m 3 k b 2k ck

k 0

Tương tự ta có:

b m 3 n b c 2n b
n

bm3n

3

k

an

b m 3n b c n b

cn b

an

2

bn kck

b n k a k8n b m 3 k c 2k ak

Cn

k 0

c m 3 n c a 2n c
n

cm3n

3

C nk

bn

c m 3n c a n c

cn kak

an c

bn

2

c n k b k8n c m

3 k

a

2k

bk

k 0

Do đó:
am3n a

b 2 n ac n

8n a m 3 k b 2 k c kb

m 3 k

bm3n b
c

2 k

a

c

k

an b c2n

m 3 k

a

2k

c m 3n c

b n c a 2n

bk

Mà theo BĐT (2) thì:
a m
b m
cm
a m 3 k b 2 k c kb m 3 k c 2 k a k c m 3 k a 2k b k
Từ đó suy ra:
VT 18 2. 1 a m b m c m
1 8n a m b m c m 1 a m

8

n

64

n

8

b m cm

n

Bài tập áp dụng BĐT (20):
Bài tập 61: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1a b c

a4
b4
c4
2
b a b c
8
a b2 ac
c b c a2
Bài tập 62: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
1 a2 b 2 c
a5
b5
c5
2
2
a b 2 ac
b a b c
c b c a
8

Bài tập 63: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0; a b c 5
5

5

a7
a b4 ac

b7
b a2 b c4

2

thì:

5

25
a
b
c
2
b a b c
24
a b2 ac
c b c a2
Bài tập 64: Cho a , b, c 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
2

c7
c b2 c a

4

1
64

a b c

Từ trên ta cũng có thể đưa ra hai BĐT sau:

Bài toán 21:
Cho a , b, c 0, m , n N * . Chứng minh rằng:
am 3n

b2n

b cn

bm3n

c2 n c a

1 a m b m cm

cm 3n
n

a 2n a b

n

(21)

n

2

Bài toán 22:
14

Cho a , b, c 0, m , n N * . Chứng minh rằng:

am 3n

bm3n

2n

bn b c

2n

cn c a

1 a m b m cm

cm 3n
an a b

2n

(22)

n

4

Bài tập áp dụng BĐT (21, 22):
Bài tập 65: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:

a4
b4
c4
2

2

1

2

a b c
b b c c c a a a b 2
Bài tập 66: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
a5 b5
bb c2
cc

1

c5
2

a

aa

4a

2

b 2 c2

b2

Bài toán 23:
Cho a , b, c 0; n N * ; m
am n
b pc

bm n
c pa

n

*

*

;p

1 a m b m cm

cm n
a pb

n

. Chứng minh rằng:

n

(23)

1 pn

Chứng minh: Áp dụng AM-GM ta có:
am

am n
b pc
m n

b

b

n

c pa

b pc n

1 p
c pa n

m n

n

n

1 p

2n

n

am
m n

2

2n

1 p

2

n

1 p

b ;

c m n a pb

c

m

n

a pb

1 p

n

2

1 p n cm

2n

Cộng các BĐT trên ta được:
VT 23

am bm cm

2
1 p

1
1 p

n

a m n b pc n b m n c pa

n

c m n a pb n

2n

n

Mà: a

m n

b pc

n

a

m n

C nk b n k p k ck
k 0

b

m n

c pa

n

n

b

m n

n

Cn c

k

p a

k

cm n a

n

pb

n

c

m n

b pc n

bm

n

c pa n

C nk a n k p k b k
k 0

cm

n

n

a pb n
n

C nk p k a m n b n k c kb m n c

nk

k 0

1 p

n k

k 0

Nên:
am

k

n

a

b

m

c

k

c

mn

a

nk

1

b

k

C nk p k a m b m cm
k 0

m

2 am bm cm
1 pn

VT 23

1 p

m

a

1 1 pn am
1 p 2n

bm

cm

a m b m cm
n

Bài tập áp dụng BĐT 23:
Bài tập 67: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:

15


a2
b 2c

b2
c 2a

c2
a 2b

1a b c

3
Bài tập 68: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
1 a 3 b 3 c3
a5
b5
c5
b 3c 2 c 3a 2
a 3b 2 16

Bài tập 69: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
a5
b 5c

3

b5

c 5a

c5
a 5b

3

1 a 2 b 2 c2
216

3

Bài tập 70: Cho a , b , c 0; a b c 5 . Tìm GTNN của P.
P
c5
a5
b5
b 4c 3
c 4a3
a 4b 3
Bài tập 71: Cho a , b , c 0; a b c 5 . Tìm GTNN của P.
P a5
b5
c5
b 4c 3
c 4 a 3 a 4b 3
Bài tập 72: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
1 a 2 b 2 c2
a4
b4

c4
2
b 3c 2 c 3a
a 3b 2 4

Bài tập 73: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
b3
c 5a2

a3

b 5c 2

c3
a 5b 2

1a b c
16

Bài tập 74: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
a

b

b 2c

4

b 3c

3

c

c 2a

4

c 3a

3

11
4

a 2b

1
3

3

2

2

b
81 a
Bài tập 75: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
a

b
c
1 1
1
a

3b

3

64 a

b

1
c

3

1
2
c

Bài tập 76: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
1

1

b 3c

1

c 3a

a 3b

1 1

1

1

4a

b

c

Bài tập 77: Cho a , b , c 0; a 2 b 2 c2 5 . Tìm GTNN của P.
c3
c 2 a 5 a 2b 5
Bài tập 78: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
a2
b2
c2
1 1
1
P

a3

b 2c 5

b 3c

4

b3

c 3a

4

a

3b

4

16 a

2

b

1
2

c

2

Bài tập 79: Cho a , b , c 0; a b c 3 . Tìm GTNN của P.
16


a3

b3

c3

b 5c 4

c 5a4

a 5b 4

P

Một cách tương tự ta có thể chứng minh được bất đẳng thức (24) sau:
Bài toán 24:
Cho a , b , c 0; n N * ; m * ; p , q * . Chứng minh rằng:
1
(24)
a m b m cm
am n
bm n
cm n
n

pb qc

n

pc qa

pa qb

n

n

p q

Bài tập áp dụng BĐT 24:
Bài tập 80: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
a3

b3

2b 3c 2

1 a b c
25

c3

2c 3a 2

2 a 3b 2

Bài tập 81: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì: m 1; n 4; p 2; q 5
a5

b5

2b 5c 4

1 a b c

c5

2c 5a 4

2 a 5b 4

81

Bài tập 82: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0
a3
2b 3c

b3
4

2 c 3a

c3
4

thì: m 1; n 4; p 2; q 3

1

1

1

4

b c
a
Bài tập 83: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì: m 3; n 4; p 3; q 5
a
3b 5c

2 a 3b

b
4

3c

c
4

3a 5b

1
2

3

1

1

3

3

64 a
b
c
Bài tập 84: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì: m 2; n 2; p 2; q 3
1

5a

1
4

1

2b 3c

2

2 c 3a

1
2

1
2

2 a 3b

1
2

b

1

2

c

2

a

Bài tập 85: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì: m 5; n 3; p 1; q 2
1

1
3

a2 b 2c

1
3

b2 c 2 a

c 2 a 2b

1

1

3

1

5

1
5

5

27 a
b
c
Bài tập 86: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì: m 3; n 2; p 3; q 1
1

1

2

a 3b 1c

1

b 3c 1a

2

c 3a 1b

2

1

1

1

4

3

3

b

1
c

3

a

Từ bài toán 24 gợi ý cho ta có thể suy ra BĐT tổng quát sau:
Bài toán 25:
Cho a , b, c 0; n, t N * ; m * ; p , q , r , s * . Chứng minh rằng:
am

bm

n t

pa qb n ra sc t
1
a
p q

Chứng minh:

n

r s

t

n t

pb qc n rb sa t

m
b mc m

cm

n t

pc qa n rc sb t

(25)


17


Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
n
t
a m n t pa qb ra sc

am n t
pa qb n ra sc t

bm n t
pb qc n rb sa t
cm n t
pc qa n rc sb t
Từ trên suy ra:
VT 25
2

a
p q nr s t
b m n t pb

m

am

p qn r st
2

bm

bm nt

p q 2 n r s 2t
pb qc n rb sa t

cm

p q 2 n r s 2t
nt
pc qa n rc sb t

p qn r st
2

p q 2 n r s 2t

p qn r st

m

b

m

c

am n t

1
2n
r s

p q

qc n rb sa t

2

cm

n

ra sc

nt

pc

pa qb

t

2t

c m n t pc qa n rc sb t )

Mà:
n

a

m nt

n

pa qb ra sc

t

a

m nt

k

n k

Cn p

t

k

q a

n k

k

i

b . Ct r

k 0
t

C nk p n k q k

Cti r t i s i a m

k 0

b

pb qc rb sa

t

b

m nt

C

k
n

p

k

q b

n k

k

i

c . C t r t i s i b t i ai

k 0

i 0
t

C nk p n k q k

Cti r t i s i b m

k 0

c

pc qa

n

rc sb

t

c

b k ci

t

n k

n

m nt

k i

i 0

n

n

s i a t i ci

i 0

n

m nt

t i

k i

c k ai

i 0
n

m

n tC nk p n k
k 0

t

qkc

n

nk

a k . Ct i r

sic

ti

bi

ti

i 0

t

C nk p n k q k

Cti r t i s i c m

k i

a k bi

k 0i 0

Do đó:
am

nt

n
C

qb n ra

pa
k

n

k 0

n k

p

k

t

q . Ct r
i 0

i

sc t
t i

i

b m n t pb
qc n rb
rcsb t

m k i

s a

k

i

m k i

b c b

k

i

sa t

m k i

ca c

k

a

cm

qa n

i

b

p q n r s t a m b m cm

Vậy:
VT 25

2
a mb
p qnr s t
a m b m cm
1

m

c

m

p q

1
2n
r s

p q

n

r s

t

a

m

b

m

c

m

2t

p qn r st

Bài tập áp dụng BĐT 25:
Bài tập 87: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:

m 2; n 1; t

2; p

2; q

1; r

3; s

2
18


a5
2 a b 3a 2 c

b5
2b c 3b 2 a

2

c5
2c a 3c 2b

2

1 a 2 b 2 c2
75

2

Bài tập 88: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
m 1; n 2; t 2; p 1; q 2; r 1; s 2
b5
c5
a 2c 2
a 2b 2
b 2c 2 b 2 a 2
c 2 a 2 c 2b
Bài tập 89: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
m 1; n 1; t 1; p 3; q 2; r 5; s 1
a5

a3
3a 2b

b3
5a c

c3

5b a
3c 2 a 5c b
Bài tập 90: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
m 2; n 2; t 1; p 2; q 3; r 1; s 2
2

2 a 3b

b
a 2c

2

2b 3c

30

c
b 2a

2c 3a

2

2

1a b c

3b 2c

a

1a b c
9

1 1
1 1
2

2
2
75 a
b
c

c 2b

Bài tập 91: Cho a , b, c 0; a b c 3 . Tìm GTNN của P:
m 1; n 2; t 2; p 2; q 1; r 1; s 2
a
b3
3

P

c3

2 a b 2 a 2c 2

2b c 2 b 2 a 2
2c a 2 c 2b 2
Bài tập 92: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
m 4; n 2; t 1; p 2; q 1; r 1; s 1
1
2
a2a b a c

1
2

b 2b c b a

1
2
c 2c a c b

1 1
1 1
4
4
4
50 a
b
c

Bài tập 93: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
m 4; n 2; t 1; p 2; q 1; r 1; s 1
1
2
a2a b a c

1
2
b 2b c b a

1
2
c 2c a c b

1 1 1

4
4
18 a
b

1
c

4

Bài tập 94: Chứng minh rằng, nếu a , b , c 0 thì:
m 4; n 1; t 1; p 2; q 1; r 1; s 1
a

2

1
2a b a c

b

2

1
2b c b a

c

2

1
2c a c b

1 1 1 1
4
4
4
6a
b
c

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Như đã nói ở trên, bất đẳng thức không chỉ khó đối với học sinh mà còn là
vấn đề khó đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường phổ thông,
trong quá trình làm SKKN này, tôi có điều kiện áp dụng trong việc giảng dạy về
BĐT cho học sinh trong các buổi học bồi dưỡng. Một tín hiệu đáng mừng là với
cách dạy phát huy tính sáng tạo của học sinh trong việc khái quát hóa từ các bất
đẳng thức cơ bản thường gặp để đưa ra các bất đẳng thức mới lạ hơn, nhưng
19


cách thức giải vẫn như bài toán cũ. Đặc biệt khi tôi dạy BĐT trong SKKN của
tôi, học sinh rất hào hứng đón nhận và bước đầu hình thành ở học sinh được khả
năng tư duy sáng tạo.
Với tôi, SKKN này là một tài liệu mà tôi dùng làm tư liệu phục vụ cho
công tác giảng dạy của tôi.
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi cũng đã được các thành viên trong tổ chuyên
môn lấy làm tài liệu phục vụ cho công tác giảng dạy.
3. Kết luận, kiến nghị

3.1. Kết luận.
Trong khuôn khổ, phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm, tôi chỉ đưa ra được
một lượng kiến thức như ở trên, vẫn còn một số bất đẳng thức đã được khái quát
mà tôi chưa có điều kiện đưa vào SKKN này. Tôi hy vọng, SKKN của tôi sẽ có
ích trong việc tự học, phát triển tư duy sáng tạo của các em học sinh và là tài
liệu hữu ích cho các thầy cô giáo giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông.
3.2. Kiến nghị.
Hàng năm, Sở GD & ĐT Thanh Hóa phát động phong trào viết SKKN
trong cán bộ, giáo viên phổ thông, rất nhiều SKKN được xếp giải cấp ngành,
nhưng cũng chỉ là nghe như vậy, các SKKN chưa được phổ biến rộng rãi. Vì vậy
tôi kiến nghị, các SKKN đạt giải nên đóng thành tập san và phân về các trường
phổ thông để SKKN được áp dụng trong thực tiễn dạy và học.
Tài liệu tham khảo
1. Lý thuyết cơ sở của hàm lồi và các bất đẳng thức cổ điển.
Tác giả: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn, nhà XB Đại học Quốc gia
Hà Nội năm 2013.

XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

Tôi xin cam đoan nội dung trong
SKKN trên là do tôi tự nghiên cứu và
đánh máy, không sao chép từ tài liệu
khác. Tôi xin chịu trách nhiệm trước
lời cam đoan của mình.
Thanh Hóa, tháng 5 năm 2018
Người viết SKKN

Phạm Đình Huệ

20