Tìm hiểu về một số tính chất của sóng điện từ

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Vật lí, các thầy giáo, cô
giáo trong khoa và tổ Vật lý lý thuyết – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Đặc biệt, tôi xin trân trọng cám ơn cô giáo - Th.S Nguyễn Thị Phương
Lan đã quan tâm và tận tình hướng dẫn cho tôi trong quá trình hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp này.
Mặc dù đã cố gắng nhưng vẫn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính
mong sự đóng góp quý báu từ phía các thầy cô và các bạn trong khoa để khóa
luận tốt nghiệp của tôi được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin trân trọng cám ơn!
Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện

Đặng Thị Bích


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu khoa học riêng của tôi dựa
trên cơ sở những kiến thức đã học về môn Vật Lí và tham khảo các tài liệu
liên quan với sự hướng dẫn và giúp đỡ của giảng viên- Th.S Nguyễn Thị
Phương Lan. Nó không trùng với kết quả nghiên cứu của bất kì tác giả nào.
Các kết quả nêu trong đề tài là trung thực.

Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện

Đặng Thị Bích

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

................................................................................................. 1

NỘI DUNG ................................................................................................. 3
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH SÓNG ĐIỆN TỪ .................................. 3
1.1.

Khái niệm sóng điện từ và sự tạo thành sóng điện từ .......................... 3

1.2.

Các vectơ đặc trưng cho trường điện từ .............................................. 5

1.3.

Hệ phương trình Maxwell với điện từ trường tự do - sóng điện từ ...... 6

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ ............... 9
2.1.

Mặt sóng

2.2.

Sóng điện từ là sóng ngang .............................................................. 9

2.3.

Vận tốc của sóng điện từ trong một môi trường đồng chất và đẳng

hướng

......................................................................................... 9

....................................................................................................... 11

2.4.

Năng lượng của sóng điện từ .............................................................. 12

2.5.

Sóng điện từ tồn tại trong môi trường vật chất và trong chân không ... 16

2.6.

Ống dẫn sóng...................................................................................... 18

2.7.

Sự phân cực của sóng điện từ

2.8.

Bức xạ và phổ của sóng điện từ .......................................................... 43

........................................................ 39

Kết Luận ..................................................................................................... 46
Tài liệu tham khảo...................................................................................... 47


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mối quan tâm và sự mê hoặc của loài người với từ học và điện học đã
có cách đây ít nhất 2600 năm. Điện-từ học là một vấn đề rất rộng trong Vật lí.
Nó đã và đang được các nhà Vật lí tìm hiểu và nghiên cứu, trong đó có mảng
về sóng điện từ. Đối với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ hiện
nay thì sóng điện từ đóng một vai trò rất quan trọng.
Điện từ trường có thể được sinh ra từ rất nhiều nguồn khác nhau, như
từ sự hoạt động của máy móc công nghiệp, thiết bị điện, va chạm các vật thể,
nguồn điện, máy phát sóng radio.... Chính vì vậy mà trong môi trường xung
quanh chúng ta luôn tồn tại sóng điện từ. Và nó có rất nhiều ứng dụng quan
trọng trong cuộc sống nói chung cũng như trong ngành Vật lí nói riêng.
Nhằm củng cố và tìm hiểu sâu thêm về sóng điện từ, tôi đã bắt tay vào
nghiên cứu đề tài “Tìm hiểu về một số tính chất của sóng điện từ”. Với
mong muốn đóng góp một phần nhỏ trong việc tiếp cận lí thuyết và tìm hiểu
về tính chất của sóng điện từ.
2. Mục đích nghiên cứu
- Đưa ra hướng tiếp cận về sóng điện từ và hiểu được khái niệm thế nào
là sóng điện từ.
- Tìm hiểu về một số tính chất cơ bản của sóng điện từ.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Sóng điện từ.
- Phạm vi nghiên cứu: Một số tính chất của sóng điện từ.
4. Giả thuyết khoa học
- Sử dụng hệ phương trình Maxwell để từ đó đưa ra phương trình của

sóng điện từ.
- Phân tích một số tính chất của sóng điện từ.

1


5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết về trường điện từ.
- Đưa ra các phương trình và hệ phương trình Maxwell về sóng điện từ.
- Tìm hiểu về một số tính chất của sóng điện từ.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc và tra cứu tài liệu.
- Phân tích tổng hợp một số tính chất của sóng điện từ.
7. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 2 chương:
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH SÓNG ĐIỆN TỪ
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ

2


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG ĐIỆN TỪ

1.1. Khái niệm sóng điện từ và sự tạo thành sóng điện từ
1.1.1. Khái niệm sóng điện từ
Sóng điện từ (hay bức xạ điện từ) là sự kết hợp của dao động điện
trường và từ trường vuông góc với nhau, lan truyền trong không gian như
sóng. Sóng điện từ cũng bị lượng tử hóa thành những “đợt sóng” có tính chất

như các hạt chuyển động gọi là photon.

Hình 1.1. Sự lan truyền của sóng điện từ
1.1.2. Sự tạo thành và lan truyền sóng điện từ
Như ta đã biết, định luật Faraday và định luật Ampère cho thấy khả
năng xuất hiện sóng điện từ được truyền trong không gian.

Giả thử tại điểm O trong chân không có xuất hiện điện trường E và

điện trường đó giảm dần. Theo định luật Ampère mở rộng, điện trường thay


đổi (trong trường hợp này là giảm) tạo ra từ trường B . Vì E giảm, mật độ



dE
dòng điện dịch j   0
hướng ngược với chiều của E và các đường sức từ
dt

3


có chiều theo chiều kim đồng hồ. Vì chân không không có dòng không đổi để

 
duy trì từ trường B, B sẽ giảm dần và làm xuất hiện điện trường xoáy E1 .
Chiều của đường sức điện trường này ngược với chiều quay của kim đồng hồ
(hình 1.2).

Hình 1.2. Sự tạo thành sóng điện từ


Điện trường E1 sẽ triệt tiêu điện trường E ở điểm O nhưng lại xuất

hiện tại điểm (1) ở bên cạnh. Điện trường E1 ở (1) giảm làm xuất hiện từ


trường B1 . Từ trường này có chiều ngược với B nên chúng sẽ triệt tiêu nhau,
chỉ còn từ trường ở điểm xa hơn. Từ trường ở điểm này giảm làm xuất hiện

điện trường xoáy E2 . Quá trình cứ tiếp diễn như vậy, kết quả là điện trường

và từ trường dịch dần sang phải. Như vậy, từ điện trường biến đổi ban đầu E
xuất hiện các nhiễu loạn điện từ gồm điện trường và từ trường thay đổi theo
thời gian, liên hệ với nhau và được truyền trong không gian. Một nhiễu loạn
như vậy được gọi là sóng điện từ.


Điện trường E và từ trường B có thể xem là hai mặt của một hiện
tượng vật lý duy nhất, trường điện từ, mà nguồn gốc của nó là điện tích
chuyển động không đều. Nhiễu loạn, một khi được phát ra trong trường điện
từ, là một sóng dịch chuyển ra khỏi nguồn và độc lập với nó.

4


Về chiều truyền của sóng điện từ, sự đối xứng cao của hệ phương trình
Maxwell trong chân không chứng tỏ nhiễu loạn sẽ được truyền theo chiều đối



xứng đối với cả B và E .


Và E và B có thể truyền trong chân không với vận tốc: [Điện động lực
học – Đào Văn Phúc]
v

1

(1.1.5)

 0 0

1.2. Các đại lượng đặc trưng cơ bản cho trường điện từ
Các quá trình điện từ được mô tả toán học thông qua 4 vectơ đặc trưng
cho trường điện từ:

 Vectơ cường độ điện trường E (V/m).

 Vectơ cảm ứng điện (hay vectơ điện dịch) D (C/m2).

 Vectơ cảm ứng từ B (T).


 Vectơ cường độ từ trường H (A/m).
Bốn vectơ trên không độc lập với nhau, nói chung chúng là các hàm
của tọa độ và thời gian, chúng liên hệ với nhau và liên hệ với điện tích cũng
như dòng điện theo những quy luật xác định. Trong môi trường đẳng hướng,

những quy luật này được phát biểu dưới dạng các vectơ của phương trình
Maxwell và các phương trình liên hệ sau:


D E


B  H

(1.2.1)
(1.2.2)

Trong đó:



là hằng số điện môi tuyệt đối của môi trường.



là độ từ thẩm tuyệt đối của môi trường.

Bên cạnh những hằng số  và  , tính chất điện từ của mỗi môi
trường vật chất còn được đặc trưng bởi các hằng số:

5


 r  1  e 
0 


0

1
4 .9.109

là hằng số điện môi tương đối của môi trường.
F
 
m

H

0  4 .107  
m
r  1   m 


0

là hằng số điện môi của chân không.
là độ từ thẩm trong chân không.

là độ từ thẩm tương đối của môi trường.

Khi đó ta có:





D  1   e   0 E   r  0 E   E




B  1   m  0 H  r 0 H   H

(1.2.3)
(1.2.4)

(Ở đây, đơn vị của các đại lượng được tính trong hệ SI). [1]
1.3. Hệ phương trình Maxwell với điện từ trường tự do - sóng điện từ
Trường tĩnh và trường dừng là những trường gắn liền với điện tích và
dòng điện, khi điện tích và dòng điện biến đổi, chúng cũng biến đổi theo. Bên
cạnh các loại trường đó còn có một loại trường khác tồn tại độc lập đối với
điện tích và dòng điện, mà ta gọi là từ trường tự do. Các điện từ trường tự do
nói chung cũng do một hệ điện tích và dòng điện nào đó sinh ra. Nhưng sau
khi được hình thành, bằng cách nào đó chúng tách rời khỏi hệ điện tích, dòng
điện và vận động theo những qui luật riêng của chúng, không phụ thuộc vào
nguồn gốc sinh ra chúng nữa. Các phương trình Maxwell đã cho phép tiên
đoán sự tồn tại của điện từ trường tự do ngay trước khi chúng ta tạo ra loại
trường đó bằng thực nghiệm.
Các phương trình của điện từ trường tự do là các phương trình Maxwell

trong đó ta đặt điều kiện   0 và j  0 (chỉ có từ trường, không có điện tích
và dòng điện). Các điều kiện này có thể được thỏa mãn trong điện môi đồng
chất và vô hạn.

6

Ta có:


B
rotE  
t


D
rotH  
t

divD  0

divB  0

(1.3.1)
(1.3.2)
(1.3.3)
(1.3.4)

Kết hợp với các phương trình (1.2.1) và (1.2.2), có thể viết lại (1.3.1) –
(1.3.4) như sau:


H
rotE    .
t



E
rotH   .
t

divE  0

divH  0

(1.3.5)
(1.3.6)
(1.3.7)
(1.3.8)

Qua các phương trình trên, ta thấy đối với điện từ trường tự do, điện
trường và từ trường không tách rời nhau. Quan hệ giữa chúng chặt chẽ hơn so
với trường chuẩn dừng và thể hiện ở hai mặt: do tác dụng cảm ứng điện từ
Faraday và do tác dụng của dòng điện dịch. Có thể nói rằng từ trường biến
thiên sinh ra điện trường và ngược lại điện trường biến thiên sinh ra từ trường.
Điện trường và từ trường ở đây đều là trường xoáy.
Muốn xét kỹ hơn các tính chất của trường điện từ tự do, ta thực hiện
một số phép biến đổi.
Lấy rot hai vế của (1.3.5) và kết hợp với (1.3.6), ta có:


2E
rot rotE   . 2
t
So sánh với (1.3.7), ta viết được:





rot rotE  grad divE   2 E   2 E

7

(1.3.9)

(1.3.10)


Do đó:


2 E
 E   2  0
t
2

(1.3.11)

Tương tự ta cũng có:

2



H

 2 H   2  0
t

(1.3.12)

Như vậy, điện trường và từ trường cùng thỏa mãn một dạng phương
trình. Phương trình đó là phương trình D’Alember (Dalambe) hay phương
trình sóng. Điện từ trường tự do tồn tại dưới dạng sóng điện từ.

8


CHƯƠNG 2
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ

2.1. Mặt sóng
Xét trường hợp đơn giản của một điện từ trường tự do mà các thành


phần điện E và từ H chỉ là hàm của một tọa độ (ví dụ tọa độ là x). Ta có
phương trình D’Alambert:


2 E
 E   2  0
t
2

Trở thành:



2 H
 H   2  0
t
2

và

 2
 2


0
x2
t 2

Nghiệm của phương trình có dạng:



x




x

  f1 1    f 2 1  
v

v




Trong đó f1 và f 2 là hàm bất kì của t và x, và v 

1



.

x

Ta xét ý nghĩa của nghiệm riêng thứ nhất f1  t   .
 v

Trong mặt phẳng x = x1, trường biến thiên theo thời gian. Tại cùng một thời
điểm t1 , trường ở mọi điểm trên mặt phẳng đó đều có giá trị như nhau và bằng
x 

f1  t1  1   c ons t . Vì thế mặt phẳng x1 vuông góc với trục x gọi là mặt
v


đồng pha, hay mặt sóng, và sóng ở đây gọi là sóng điện từ phẳng.
2.2. Sóng điện từ là sóng ngang
Nếu điện từ trường là một sóng phẳng truyền theo chiều dương của Ox
và biến thiên với chu kì  

2
, thì phương trình sóng có dạng:
T

9


 

E  E 0 exp i  t  k .r  a





(2.2.1)



Trong đó k là vectơ sóng, r là bán kính vectơ của điểm quan sát với:

k r  x.k x  y.k y  z.k z


Thay E và H có dạng như (2.2.1) và các phương trình Maxwell của

điện từ trường tự do, ta có:
 


divE  i k .E

 
 

rotE  i  k .E 

(2.2.2)
(2.2.3)



E
 i E
t

(2.2.4)


Và đối với H cũng tương tự như vậy. Ta sẽ viết lại được các phương
trình (1.3.5) và (1.3.8) trở thành:
 

 k .E    H


 

 k .H    E



 
k .E  0
 
k .H  0

(2.2.5)
(2.2.6)
(2.2.7)

(2.2.8)



Theo (2.2.7) và (2.2.8) các vectơ E và H đều vuông góc với k , tức là

vuông góc với phương truyền sóng. Vậy sóng điện từ là sóng ngang.

Hình 2.1. Sóng điện từ là sóng ngang

10


2.3. Vận tốc của sóng điện từ trong một môi trường đồng chất và đẳng
hướng.
Vận tốc truyền sóng điện từ trong một môi trường đồng chất đẳng
hướng cho bởi:

v

c



Trong đó c = 3.108 m/s ;  và  lần lượt là hằng số điện môi và độ từ
thẩm của môi trường:

 = n gọi là chiết suất tuyệt đối của môi trường.

Trong chân không   1 ,   1 , vậy v = c, như thế c = 3.108 m/s là vận tốc
truyền sóng điện từ trong chân không, nó cũng vận tốc truyền ánh sáng trong
chân không. Thực nghiệm chứng tỏ n  1 , do đó:

vc
Nghĩa là vận tốc truyền sóng điện từ trong chân không là lớn nhất so
với các môi trường khác.
Ta có thể chứng minh tính chất này. Lấy rot hai vế của phương trình
thứ nhất của (1.3.1) ta được:

Nhưng




B 
rot rotE  rot
 ( rotB)
t t




 rot rotE  divE   2 E


D
1 1 
divE  div

D0
 0  0 div

(2.3.1)
(2.3.2)

Mặt khác:








2D
2E
( rotB)  ( rot 0  H )  0  (rotH )  0  2  0  0 2
t
t
t
t

t

Vậy (2.3.1) và (2.3.2) thành:

2



E
rot rotE   2 E   00  2
t

11



2


E
Hay cuối cùng
 2 E   00  2  0
t

Đây là phương trình truyền vectơ E , với vận tốc truyền v cho bởi:
v2 

Trong đó

1

 00 

 0 0 
1

 0 0

hay v 

1

 0 0

1
1
7

4

.10

4 .9.109
9.1016
 3.108 m / s  c

Vậy vận tốc truyền sóng điện từ trong môi trường đồng chất và đẳng hướng là:
c

v



(m / s )

2.4. Năng lượng của sóng điện từ
2.4.1. Năng lượng điện từ trường
Điện trường và từ trường là những dạng của vật chất, có thuộc tính của
vật chất vì thế chúng có năng lượng.
Điện từ trường có năng lượng, năng lượng đó không tập trung vào một
chỗ như đối với các vật thể mà nó được giải ra liên tục trong không gian, với
mật độ năng lượng bằng w. Nói nó chung là hàm của tọa độ và thời gian.
Năng lượng của điện từ trường trong một thể tích V bất kì là:
(2.4.1)

w   w dV
V


Ta gọi P là vectơ mật độ dòng năng lượng, tương tự như vectơ mật độ

dòng điện. Nếu năng lượng của điện từ trường được bảo toàn thì ta viết được
phương trình của định luật bảo toàn năng lượng điện từ trường có dạng:

dw
 divP  0
dt

(2.4.2)

12


Xuất phát từ hệ phương trình Maxwell ta đi tìm năng lượng sóng điện
từ và xem năng lượng này có tuân theo định luật bảo toàn có dạng như (2.2.2)
không.

Xét các phương trình Maxwell (1.3.1) và (1.3.2) với j  0 . Nhân vô


hướng (1.3.1) với H và (1.3.2) với E , sắp xếp lại ta có:

  B 

H
 H rot E  0
t

  D 
  
E
 E rot H  jE  0
t

Cộng từng vế hai phương trình trên ta có:


  B 
   D 
 

H
 H .rot E + E
 E rot H  jE =0
t
t

(2.4.3)

Mặt khác:
 

 

H rot E  E rot H = div  E. H 

Và:




  D
  D
 E2  ED
E
 E


;
t
t

t 2
t 2


 
  B  H B
H

t t 2

Thế vào (2.3.2) ta có:
 
  
  ED  H B 

  div  E.H   jE  0
t 
2


(2.4.4)

Trong số hạng thứ nhất có thứ nguyên của mật độ năng lượng. Ta gọi
đó là mật độ năng lượng của điện từ trường:
  
ED  H B
w
(2.4.5)
2
 

Trong số hạng thứ hai,  E.H  có thứ nguyên (mật độ năng
lượng)  (vận tốc). Ta gọi nó là mật độ dòng năng lượng.

 
P   E.H 

13

(2.4.6)


Phương trình (2.4.2) trở thành:
  
w
(2.4.7)
 divP  jE  0
t

Khi có dòng điện dẫn, j  0 và định luật bảo toàn năng lượng có dạng

(2.4.7). Ta lấy tích phân (2.4.7) theo một thể tích V bất kì giới hạn bởi một
mặt kín không đổi S:

 
d
w
dV

divPdV


V
V j EdV  0
dt V



 
dw
  P dS  Q  0
dt S

Phương trình trên có nghĩa là: Khi năng lượng điện từ trường trong thể
tích V biến đổi theo thời gian, phải có dòng năng lượng điện từ trường chảy
vào hoặc chảy ra khỏi thể tích V, và phải có nhiệt lượng Jun-Lenz tạo ra trong
thể tích đó.
Như vậy điện từ trường có năng lượng mà mật độ của nó bằng
  
ED  H B
. Năng lượng đó được bảo toàn: nó chuyển rời từ nơi này sang
w
2
nơi khác hoặc chuyển hóa thành nhiệt năng.
2.4.2. Năng lượng của sóng điện từ
Trong trường điện từ tự do (tức là sóng điện từ), khi chỉ có điện từ

trường, không có dòng điện thì j  0 và (2.4.7) trở thành:

w
 divP  0
t

(2.4.8)

Giống như phương trình (2.4.2) ở trên. Nó có ý nghĩa tương tự như ý
nghĩa của phương trình định luật bảo toàn điện tích: tại một điểm bất kì, nếu
mật độ năng lượng điện từ tăng hoặc giảm, phải có một dòng năng lượng điện
từ nơi khác chảy đến hoặc từ điểm có chuyến đi. Hay nói cách khác sóng điện
từ mang năng lượng và năng lượng này được truyền đi theo cùng với nó, với

14


 
ED  HB
mật độ năng lượng bằng w 
và mật độ dòng năng lượng
2

 
P   E.H  .

a) Mật độ năng lượng
Ta đã biết sóng điện từ mang năng lượng và năng lượng này được
 
ED  HB
truyền đi theo cùng với nó với mật độ năng lượng là: w 
.
2
Bây giờ ta đi tính giá trị tuyệt đối của mật độ năng lượng:


  

k  k n  .n    .n
v
 

Thế giá trị đó vào phương trình  k .E    H ta có:
 

  n.E    H

Ta có:

(2.4.9)

Hay về giá trị tuyệt đối:

 E  H

(2.4.10)

Từ (2.4.5) và (2.4.9) và chú ý đến (1.2.1) và (1.2.2) ta có:
1 
1 
w   E2  H 2
2
2

(2.4.11)

Về giá trị tuyệt đối, ta có:

1
1
w   E2  H 2
2
2

(2.4.12)

Kết hợp (2.4.10) và (2.4.12) ta được:
w   E2  H 2

(2.4.13)

Từ (2.4.13) ta thấy rằng năng lượng của sóng điện từ không tập trung
vào một chỗ nào mà nó được chia đều cho hai thành phần điện trường và từ
trường, cùng lan truyền trong không gian với sóng điện từ.

15


b) Vectơ mật độ dòng năng lượng Umov – Poynting
Từ (2.4.6), (2.4.9) và (2.4.10), ta có giá trị tuyệt đối của vectơ mật độ
dòng năng lượng Umov – Poynting là:
P  E .H  E



 E2 H 2

1  E2  H 2
EH
H


 w.v


2




Trong đó v là vận tốc truyền sóng.
Như vậy, năng lượng điện từ trường phân bố đều theo cả hai thành
phần: điện trường và từ trường.

Vectơ P đặc trưng cho sự truyền năng lượng điện từ một các đầy đủ,


bởi vì chiều của vectơ P là chiều truyền năng lượng (phương và chiều của P

trùng với phương và chiều truyền sóng). Trị số của P là giá trị năng lượng
truyền qua một đơn vị diện tích đặt vuông góc với phương truyền sóng, trong
một đơn vị thời gian.
Nếu vẽ tưởng tượng trong trường điện từ các đường cong có tiếp tuyến

tại mỗi điểm trùng với hướng của các vectơ P thì những điểm đó biểu diễn
đường truyền của năng lượng điện từ và được gọi là đường dòng năng lượng.
Vậy, sóng điện từ có mang theo năng lượng và năng lượng đó được bảo

toàn.
2.5. Sóng điện từ tồn tại trong môi trường vật chất
2.5.1. Sóng điện từ trong các vật dẫn đồng chất
Ta xét sóng điện từ trong môi trường vật dẫn đồng chất, nghĩa là

  c ons t ,   c ons t  0 . Khi đó, các phương trình Maxwell có dạng:

  
H
(2.5.1)
  E   

t



  
E
(2.5.2)
  H   E  

t
 
 H  0
(2.5.3)
 
(2.5.4)
 E  0

16

Lấy rot hai vế của (2.5.1) và sử dụng (2.5.2) và (2.5.4) ta được:


2


E

E
(2.5.5)
 2 E   2  
0
t
t
Thực hiện tương tự đối với (3.1.2), ta được:



2 H
H
2
 H   2  
0
t
t

(2.5.6)

Nghĩa là, trường điện và trường từ cũng thỏa mãn các phương trình có
dạng như nhau. Đó là các phương trình sóng điện từ trong các vật dẫn đồng
chất.
2.5.2. Sóng điện từ trong các điện môi đồng chất
Như ta đã biết, sóng điện từ là sự lan truyền của trường điện từ tự do,
tức là nó tồn tại độc lập đối với các điện tích, hay là   0, j  0 . Đối với
điện môi đồng chất ta có thể viết các phương trình Maxwell dưới dạng:

 
H
(2.5.7)
  E  
t

 
E
(2.5.8)
 H 
t
Như vậy, các phương trình trên cho ta các nghiệm biến thiên theo thời
gian. Trường hợp ngược lại, tất cả các nghiệm đều bằng không, cho nên
trường điện từ tự do phải biến thiên theo thời gian và tồn tại dưới dạng sóng
điện từ.
Để xây dựng phương trình về sự biến thiên của điện trường ta lấy rot
hai vế của (2.5.7):
  
  
    E    (  H )
t

(2.5.9)

Khai triển hai vế của (2.5.9) theo công thức của giải tích vectơ và kết
hợp với (2.5.7), (2.5.8) ta được:

17



2


E
 2 E   2  0
t

(2.5.10)

Để xây dựng phương trình về sự biến thiên của trường từ ta lấy rot hai
vế của (2.5.8) và cũng làm tương tự như trên, ta được:


2 H
2
 H   2  0
t

(2.5.11)

Theo định nghĩa trong quang học thì chỉ số khúc xạ bằng n  

Khi đó ta cũng có thể viết (2.5.10) và (2.5.11) dưới dạng:

 2  n 2 2  E (r )  0

(2.5.10’)

 2  n 2 2  H (r )  0

(2.5.11’)

Trong đó ta đã thay E  r , t   E (r )eit ; H  r , t   H (r )eit
Như vậy, trường điện và trường từ cũng thoả mãn các phương trình có
dạng giống nhau, đó là phương trình d’Alembert thuần nhất hay phương trình
sóng. [2]
2.6. Ống dẫn sóng
Chúng ta đều biết rằng, khi sử dụng hệ dẫn sóng là hệ hai dây dẫn song
hành (đường dây gồm 2 dây dẫn kim loại trụ tròn có đường kính d như nhau
đặt song song với nhau và cách nhau một khoảng D trong môi trường đồng
nhất và đẳng hướng): Trường điện từ lan truyền trong không gian dọc theo
dây dẫn và ở phía ngoài dây, vì vậy ngoài năng lượng có ích truyền dọc theo
dây dẫn còn có năng lượng tổn hao do bức xạ ra môi trường xung quanh.
Năng lượng tổn hao này tỉ lệ với bình phương của tần số sóng, cho nên đối
với những sóng có tần số đủ nhỏ sự tốn hao này là không đáng kể, nhưng đối
với sóng cao tần và siêu cao tần thì lại rất lớn. Do đó, ở tần số sóng vào cỡ
cm, trong kĩ thuật người ta thường sử dụng ống dẫn sóng.
Ống dẫn sóng là một ống rỗng thành kim loại có độ dẫn cao. Sóng điện
từ truyền dọc ống dẫn sóng bằng sự phản xạ nhiều lần ở những điểm ở bên

18

trong thành ống, có thể coi như không bị tổn hao vì bức xạ. Sự tổn hao do
nhiệt so với cáp cũng nhỏ vì ống dẫn sóng không có lõi dây dẫn ở giữa ống.
Do cấu trúc đơn giản, tổn hao năng lượng bé, ống dẫn sóng được áp dụng
rộng rãi trong các thiết bị siêu cao tần.
Để sóng điện từ trong ống dẫn sóng không bị tổn hao đáng kể sau nhiều
lần phản xạ và giao thoa, tần số sóng phải lớn hơn một giới hạn nào đó được
gọi là tần số giới hạn. Tiết diện của ống dây dẫn sóng càng bé thì tần số giới
hạn càng cao. Do đó để kích thước ống dẫn sóng không quá lớn thì tần số
sóng truyền trong ống dẫn sóng phải lớn thường không thấp hơn 109 Hz.
Sau đây, chúng ta sẽ nghiên cứu quá trình truyền sóng trong ống dẫn
sóng có tiết diện hình chữ nhật và ống dẫn sóng trụ tròn.
Giả sử ống dẫn sóng rất dài so với tiết diện của ống, sóng điện từ biến
thiên điều hoà với tần số  . Ta cũng giả thiết, sự chuyền sóng trong ống
không có tổn hao, thành ống là vật dẫn lý tưởng (độ dẫn điện    ) và điện
môi bên trong cũng là lý tưởng (độ dẫn điện   0 ). Khi đó biên độ hình
chiếu của các vectơ trường không thay đổi theo hướng trục z của ống dẫn
sóng.
Biên độ phức của các vectơ trường có dạng:
.
  
 E  E0 ( x, y )e Kz
 
 H  H ( x, y )e Kz
0


ống dẫn sóng chữ nhật

.

  
 E  E0 (r ,  )e z
 
 H  H (r ,  )e  z
0


ống dẫn sóng trụ tròn

Trong đó hệ số truyền K phải thuần ảo.
. .
Để xác định E , H ta phải giải hệ phương trình Maxwell dạng phức:

19


.
.
rot H  i E
.
.
rot E  i H

Và áp dụng điều kiện biên trên bề mặt vật dẫn lý tưởng tại bề mặt của
thành ống dẫn sóng. Chú ý rằng:



E
  KE0 e Kz   KE ;

z




H
  K 0 H 0 e Kz   KH
z

2.6.1. Ống dẫn sóng hình chữ nhật
Ống dẫn sóng hình chữ nhật là một ống kim loại rỗng, thẳng, có tiết
diện ngang hình chữ nhật, bên trong có chứa điện môi đồng nhất hoặc không
khí. Để tìm trường điện từ trong ống dẫn sóng chữ nhật, ta chọn hệ toạ độ
Descartes như sau: trục z trùng với trục của ống dẫn sóng, trục x hướng theo
thành rộng, trục y hướng theo thành hẹp (Hình 2.3). Lúc này các toạ độ ngang
q1 = x, q2 = y.

Hình 2.2. Ống dẫn sóng chữ nhật
 
Khai triển các phương trình của E , H ta được:

20


 H z


 y  KH y  i Ex



H z


KH

 i E y

x
x


 H y H x

 i E z


x

y


(2.6.1)

 E z


 y  KE y  i H x


E z

 i H y
 KE x 

x

 E y E x

 i H z


x

y


(2.6.2)

Thay các biểu thức của H x , H y vào các biểu thức của E x , E y ta sẽ biểu
diễn được các thành phần của E x , E y và H x , H y theo E z , H z như sau:

 E z
 H z 
1
 i
 E x    K

x
x
y 





 E  F 1   K  Ez  i  H z 
 y
x
y
x 

 E z  H z 
1 

H

i




 x 2
y
x 



 E z
 H z 
1 
K
 H y  2  i


 
x
y 

  2 E z  2 E z
2 
 x 2  y 2   Ez  0

 2
2 

  H z   H z   2 H  0
z
 x 2
y 2

Trong đó  2  K 2   2

21

(2.6.3)

(2.6.4)


Như vậy E z , H z có thể xác định độc lập với

định các thành phần hình chiếu khác nhau của E và

nhau, từ đó ta có thể xác

H.

Từ các phương trình trên ta thấy rằng trường điện từ trong ống dẫn
sóng trong trường hợp tổng quát là tổng của hai trường độc lập:
- Trường có thành phần dọc Ez  0, H z  0 gọi là trường điện
ngang TE (hay còn gọi là sóng từ)
- Trường có thành phần dọc E z  0, H z  0 gọi là trường từ
ngang TM (hay còn gọi là sóng điện).
Ta cũng thấy rằng, trong ống dẫn sóng không tồn tại các sóng điện từ
ngang TEM.


Thật vậy, giả sử H z  0 tức H vuông góc với trục z, các đường sức

của H được bao bởi đường cong C khép kín nằm trong mặt phẳng vuông góc
với trục z:



 
H .dl  0

(C )

Mặt khác theo phương trình Maxwell thứ nhất:

 
Ez 

E
H
.
dl

(C )
S t dS   S tz dS
Với S là diện tích giới hạn bởi C:

E z
S t dS  0  Ez  0

Chúng ta sẽ khảo sát lần lượt các sóng TM và TE trong ống dẫn sóng
chữ nhật và ta hiểu E, H là các biên độ phức của trường.
a) Sóng từ ngang TM trong ống dẫn sóng chữ nhật
Bài toán Dirickle là thành phần dọc Ez đối với ống dẫn sóng chữ nhật
trong hệ toạ độ Descartes có dạng:

22