Thứ Tự Sắp Được Của Dãy Các Đại Lượng Trung Bình Tổng Quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ ĐỨC HIỆP

THỨ TỰ SẮP ĐƯỢC CỦA DÃY CÁC ĐẠI
LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ ĐỨC HIỆP

THỨ TỰ SẮP ĐƯỢC CỦA DÃY CÁC ĐẠI
LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - NĂM 2017

i

Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

Chương 1. Một số dạng bất đẳng thức giữa các đại lượng trung
bình cơ bản

4

1.1

Các giá trị trung bình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Một số dạng bất đẳng thức cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 2. Sắp thứ tự dãy các đại lượng trung bình tổng quát

16

2.1

Sắp thứ tự các trung bình của bộ số với trọng . . . . . . . . . . . 16

2.2

Sắp thứ tự các tổng của bộ số theo bậc của chúng . . . . . . . . . 21

Chương 3. Các dạng toán liên quan

24

3.1

Sắp thứ tự một số đại lượng sinh bởi lớp hàm đơn điệu . . . . . . 24

3.2

Điều chỉnh các bộ số theo thứ tự gần đều . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3

Một số mở rộng của định lý Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4

Một số bài toán trong các đề thi Olympic quốc gia và quốc tế . . 55

Kết luận

62

Tài liệu tham khảo

63


1

Bảng ký hiệu
N∗
I(a, b)
AG
APMO
IMO
MO

tập các số tự nhiên dương
tập các số thực trong khoảng (a, b)
bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
Olympic toán học châu Á Thái Bình Dương
Olympic toán học quốc tế do Ủy ban Olympic toán học
quốc tế tổ chức
Olympic toán học quốc tế

2

Mở đầu
Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt quan trọng trong toán học không chỉ như
là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc
lực của các mô hình toán học liên tục cũng như các mô hình toán học rời rạc
trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn . . . . Trong
hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế,
thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán
liên quan đến bất đẳng thức hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất
khó. Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của các
tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho
trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng (bất đẳng
thức) tương ứng.
Trong bất đẳng thức, thứ tự sắp xếp giữa các đại lượng trung bình của bộ
số thực dương đóng một vai trò quan trọng trong việc so sánh giá trị giữa các
đại lượng trung bình đó. Ngoài thứ tự sắp xếp của một số đại lượng trung bình
thông thường như trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa. . .
người ta còn quan tâm đến sắp thứ tự dãy các đại lượng trung bình tổng quát.
Mục đích của luận văn nhằm khảo sát các tính chất của dãy các đại lượng
trung bình tổng quát và một số dạng toán liên quan.
Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong 3 chương.
Chương 1 "Một số dạng bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình cơ
bản": giới thiệu một số dạng bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình cơ
bản và một số dạng bất đẳng thức cổ điển.


3

Chương 2 "Sắp thứ tự dãy các đại lượng trung bình tổng quát": trình bày

bài toán sắp thứ tự dãy các đại lượng trung bình tổng quát không có trọng và
có trọng.
Chương 3 "Các dạng toán liên quan": xét một số dạng toán liên quan là
các bất đẳng thức và các bài toán cực trị từ các đề thi học sinh giỏi và thi
Olympic.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học–Đại
học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của
các thầy cô của khoa Toán-Tin và các thầy cô trong trường. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường THPT Nguyễn
Bình, Đông Triều, Quảng Ninh và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện
tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học.
Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K9C và bạn bè đồng
nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm
luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn

Đỗ Đức Hiệp


4

Chương 1. Một số dạng bất đẳng thức
giữa các đại lượng trung bình cơ bản
Chương này giới thiệu một số dạng bất đẳng thức giữa các đại lượng trung
bình cơ bản và một số dạng bất đẳng thức cổ điển. Nội dung của chương được

viết trên cơ sở các tài liệu [1]–[4].

1.1

Các giá trị trung bình cơ bản

1.1.1 Trung bình thông thường

Giả sử n ∈ N∗ . Xét tập dãy các số dương
(a) := a1 , a2 , . . . , ai , . . . , an ;
(b) := b1 , b2 , . . . , bi , . . . , bn .

Định nghĩa 1.1.1 Ta nói dãy (a) tỷ lệ với dãy (b) nếu tồn tại hai số λ và µ
không đồng thời bằng 0 sao cho
λai = µbi

(i = 1, 2, . . . , n).

Chú ý rằng dãy không (0), tức là dãy gồm toàn số không, tỷ lệ với mọi dãy (b).
Nhận xét rằng tính tỷ lệ, như đã định nghĩa, là một quan hệ đối xứng giữa
các dãy nhưng không phải là một quan hệ bắc cầu; nó sẽ là quan hệ bắc cầu
nếu khi khảo sát ta bỏ đi dãy không. Nếu hai dãy (a) và (b) tỷ lệ và cả hai khác
dãy không thì bi = 0 nếu ai = 0, còn đối với những giá trị khác của chỉ số i, tỷ
số ai /bi không phụ thuộc vào i.


5

Định nghĩa 1.1.2 Xét các số thực r = 0. Khi đó tổng Mr (a) xác định theo
công thức

n

1
Mr (a) :=
n

ari

1/r

.

(1.1)

i=1

được gọi là trung bình bậc r.
Các đại lượng Mr (a) này sẽ được khảo sát chi tiết trong Chương 2.
Đặt
A = A(a) = M1 (a)

(1.2)

H = H(a) = M−1 (a)

(1.3)

và
G = G(a) =

√
n

a1 a2 . . . an .

(1.4)

Ta thấy, A(a) là một trung bình cộng thông thường, H(a) là một trung bình
điều hòa và G(a) là trung bình nhân.
1.1.2 Trung bình có trọng

Ta xét hệ các giá trị trung bình tổng quát hơn. Đó là các dạng trung bình
có trọng. Giả sử
pi > 0 (i = 1, . . . , n)

(1.5)

và đặt
n

Mr = Mr (a) = Mr (a, p) =

i=1
n

pi ari

1/r

,

(1.6)

pi
i=1

Mr = 0 (r < 0 và một số số a = 0),

(1.7)

n

G = G(a) = G(a, p) =

ap11 ap22

. . . apnn

1/

pi
i=1

.

(1.8)


6

n

Vì trung bình là hàm thuần nhất bậc không đối với p, nên ta có thể giả sử
pi = 1. Khi đó ta sẽ viết q thay cho p, chẳng hạn

i=1
n

qi ari

Mr (a) = Mr (a, p) =

n

1/r

qi = 1

i=1

(1.9)

i=1

và
n

G(a) = G(a, p) =

aq11 aq22

. . . aqnn

qi = 1 .

(1.10)

i=1

Định nghĩa 1.1.3 Xét các số thực r khác 0. Khi đó tổng Mr (a, p) xác định
theo công thức (1.9) được gọi là trung bình bậc r theo trọng (q).
Nhận xét rằng, ứng với r = −1, r = 1 và r = 2 ta lần lượt nhận được các
trung bình điều hòa, trung bình cộng và trung bình bình phương. Ta thấy trung
bình có trọng trở thành trung bình thông thường khi pi = 1 với mọi i.
Thông thường, ta không chỉ rõ trọng trong các công thức, nhưng sẽ luôn
hiểu rằng những giá trị trung bình được đem ra so sánh với nhau phải cùng
được thành lập tự một hệ trọng.
Trung bình thông thường là những trường hợp riêng của trung bình có
trọng. Mặt khác, trung bình có trọng với các trọng thông ước là trường hợp
riêng của trung bình thông thường (đối với hệ số a khác). Thật vậy, do tính
thuần nhất, ta có thể giả sử trọng là nguyên, còn trung bình có trọng nguyên
thu được từ trung bình thông thường bằng cách thay mỗi số bằng một hệ các
số giống nhau tương ứng. Trung bình với các trọng không thông ước có thể coi
như trường hợp giới hạn của trung bình thông thường. Ta sẽ thường xuyên sử
dụng các công thức hiển nhiên sau:
Mr (a) = A(ar )

1/r

G(a) = eA(log a) ,
1
M−r (a) =
,
Mr (1/a)

(1.11)
(1.12)
(1.13)


7
1/r

r

Mrs (a) = Ms (a )

.

(1.14)

Trong (1.12) ta giả sử a > 0, giả thiết này còn dùng trong các công thức khác
nếu chỉ số âm. Thêm nữa
A(a + b) = A(a) + A(b),

(1.15)

G(a, b) = G(a).G(b),

(1.16)

Mr (b) = kMr (a) nếu (b) = k(a)

(1.17)

(tức là nếu bi = kai trong đó k không phụ thuộc i).

1.2

G(b) = kG(a) nếu (b) = k(a),

(1.18)

Mr (a) ≤ Mr (b) nếu aν ≤ bν với mọi ν.

(1.19)

Một số dạng bất đẳng thức cổ điển

1.2.1 Định lý về trung bình cộng và trung bình nhân

Định lý 1.2.1 Ta luôn có G(a) ≤ A(a).
Chứng minh. Bất đẳng thức phải chứng minh có thể viết dưới một trong hai
dạng sau:

p1 a1 + · · · + pn an
p1 + · · · + p n

ap11 . . . apnn ≤

hay

p1 +···+pn

(1.20)

n

aq11

. . . aqnn

≤

qi ai

(1.21)

i=1
n

qi = 1). Ta có

(ở đây,
i=1

a1 + a2
a1 a2 =
2

2

a1 − a2
−
2

2

a1 + a2
≤
2

2

.

Dấu đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 . Và do đó
a1 a2 a3 a4 ≤

a1 + a2
2

2

a3 + a4
2

2

≤

a1 + a2 + a3 + a4
2

4

.


8

Dấu bất đẳng thức thật sự xảy ra ở một trong các trường hợp a1 , a2 , a3 , a4
không đồng thời bằng nhau. Lặp lại suy luận này m lần, ta thấy
a1 + · · · + a2m 2m
a1 . . . a2m ≤
.
(1.22)
2m
Dấu đẳng thức xảy ra khi tất cả các số ai bằng nhau. Đây là bất đẳng thức
(1.20) với trọng đơn vị và n = 2m .
Bây giờ ta giả sử n là một số bất kỳ nhỏ hơn 2m . Đặt
b1 = a1 , . . . , bn = an
a1 + · · · + an
bn+1 = . . . = b2m =
=A
n
và áp dụng (1.22) cho dãy (b), ta có
2m −n

a1 a2 . . . an .A

b1 + · · · + b2m
<
2m

2m

nA + (2m − n)A
=
2m

2m

m

= A2

hay
a1 . . . an < An
trừ trường hợp tất cả các phần tử của (b) và vì thế tất cả các phần tử của (a)
bằng nhau. Đây chính là bất đẳng thức (1.20) với trọng lượng đơn vị.
Đặt
qi = q i + q i

(i = 1, 2, . . . , n)

trong đó qi > 0, qi > 0 và qi hữu tỷ. Lúc này
n

r =

n

qi ,

r =

i=1

qi
i=1

hữu tỷ và r + r = 1. Ta đã chứng minh (1.20) với dấu "<" cho p hữu tỷ và
dấu "≤" cho mọi p. Do đó
n
n
i=1
n

aqi <

qi ai

n

n
i=1

qi

n

i=1
i=1

i=1
n

aqi ≤

,
qi

qi ai

i=1
i=1

n
i=1

qi

,
qi

và
n

n

aqi i
i=1

n
q
ai i

=
i=1

q
ai i
i=1

<

1
r

r

n

qi ai
i=1

1
r

r

n

qi ai
i=1


9
n

≤

n

qi ai +
i=1

n

qi a1 =
i=1

qi ai .
i=1

Từ điều vừa chứng minh ở trên, suy ra
A(a) = M1 (a) > M1/2 (a) = M21 (a1/2 ) ≥ G 2 (a1/2 ) = G(a).

1.2.2 Bất đẳng thức H¨

older

Định lý 1.2.2 Giả sử (a), (b), . . ., (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số. Khi đó
G(a) + G(b) + · · · + G(l) < G(a + b + · · · + l),

(1.23)

trừ các trường hợp hoặc là
(1) mỗi cặp bất kỳ trong dãy (a), (b), . . ., (l) tỷ lệ, hoặc;
(2) tồn tại số i sao cho ai = bi . . . = li = 0.
n

qi = 1 thì

Định lý khẳng định rằng nếu
i=1

a1q1 aq22 . . . aqnn + bq11 bq22 . . . bqnn + · · · + l1q1 l2q2 . . . lnqn
< (a1 + b1 + · · · + l1 )q1 (a2 + b2 + · · · + l2 )q2 · · · (an + bn + · · · + ln )qn
trừ các trường hợp hai cột bất kỳ trong bảng
a1 ,
a2 ,
...,
an ,

b1 ,
b2 ,
...,
bn ,

...,
...,
...,
...,

l1
l2
...
ln

tỷ lệ hay khi một hàng gồm toàn số không. Điều kiện cần và đủ để tất cả các
cột tỷ lệ (tức là mọi cặp cột của bảng tỷ lệ) là hệ các đẳng thức:
aµ bi − ai bµ = 0,
aµ ci − ai cµ = 0, . . .
với mọi µ và i. Đây cũng là điều kiện cần và đủ để tất cả các hàng tỷ lệ. Để ý
tới điều kiện này, ta đổi chỗ các hàng và các cột trong bảng và viết α, β, . . . , λ
thay cho q1 , q2 , . . . , qn . Khi đó Định lý 1.2.2 tương đương với định lý sau.


10

Định lý 1.2.3 Nếu α, β, . . . , λ dương và α + β + . . . + λ = 1 thì
n

n

aαi bβi

· · · liλ

n

α

<

β

ai

i=1

bi

i=1

n

λ

···

li

i=1

(1.24)

i=1

trừ các trường hợp hoặc
(1) tất cả các dãy (a), (b), . . ., (l) tỷ lệ, hoặc;
(2) có dù chỉ một trong các dãy đó là dãy không.
Có thể diễn tả điều kiện có đẳng thức như sau: một trong các dãy tỷ lệ với
mọi dãy còn lại (trong đó dãy không được coi là tỷ lệ với tất cả các dãy khác).
Ta trình bày chứng minh Định lý 1.2.2 bằng hai cách sau đây.
Chứng minh.
Cách 1. Từ bất đẳng thức Cauchy
n

2

ai bi

n

n

a2i

≤

b2i

i=1

i=1

i=1

(trừ trường hợp dãy (a) và (b) tỷ lệ), ta có
n

4

ai bi ci di

n

a2i b2i

≤

i=1

i=1
n

i=1

b4i
i=1

2

c2i d2i
i=1
n

n

a4i

≤

n

2

n

c4i
i=1

d4i .
i=1

Ngoài ra nếu các dãy (a), (b), (c), (d) không đồng thời tỷ lệ thì ít nhất có một
trường hợp có dấu bất đẳng thức thực sự. Lặp lại lập luận này, ta nhận được
n

n

2m

ai bi . . . li

<

i=1

n
m
a2i

i=1

n
m
b2i

i=1

m

li2

...

(1.25)

i=1

đối với 2m dãy (a), (b), . . . nếu chúng không đồng thời tỷ lệ. Bất đẳng thức này
tương đương với (1.24) nếu trong (1.24) ta thay mỗi số mũ bằng 2m .
Bây giờ giả sử M là một số tự nhiên bất kỳ, bé hơn 2m và (g) là dãy thứ
M . Nếu dãy (ab . . . g) khác dãy không, ta đặt
m

m

A2 = aM , . . . , G2 = g M

(M dãy)


11
m

m

m

H 2 = K 2 = . . . = L2 = ab . . . g

(2m − M dãy).

Khi đó AB . . . L = ab . . . l và áp dụng (1.25) cho A, B, . . . , L, ta nhận được
n

n

2m

ai bi . . . gi

n

aM
i

<

i=1

...

i=1

hay

n

n

giM

ai bi . . . gi

i=1
n

giM

...

i=1

i=1

i=1

n

bM
i

aM
i

<

ai bi . . . gi

i=1

n

M

2m −M

(1.26)

i=1

nếu không phải tất cả các dãy (A), (B), . . ., (L) và do đó không phải tất cả các
dãy (a), (b), . . ., (l) tỷ lệ. Bất đẳng thức này tương đương (1.24) nếu trong đó
các số mũ bằng 1/M . Ta đã giả sử (ab . . . g) khác dãy không; trong trường hợp
ngược lại, (1.26) là hiển nhiên vì không có dãy nào trong các dãy (a), (b), . . .,

(l) là dãy không.
Nếu bây giờ α, β, . . . hữu tỷ, ta có thể chọn chúng sao cho
α=

α
β
, β=
,...
M
M
n

trong đó α , β , . . . là số nguyên và

α = M . Áp dụng (1.26) cho M dãy tạo
i=1

bởi α số a giống nhau, β số b giống nhau . . . ta có (1.24) với số mũ α, β, . . .
Cuối cùng, nếu α, β, . . . không phải tất cả là hữu tỷ thì ta thay chúng bằng
các xấp xỉ hữu tỷ có tổng bằng đơn vị, ta thành lập (1.24) với các số mũ hữu tỷ
này và chuyển qua giới hạn. Khi chuyển qua giới hạn, dấu "<" biến thành dấu
"≤". Để kết thúc chứng minh, ta đặt α = α1 + α2 , β = β1 + β2 , . . . trong đó tất
n

α1 = σ 1 ,

cả các số là dương và những số mang chỉ số 1 là hữu tỷ. Nếu lúc này
n
i=1

i=1

α2 = σ2 , do đó σ1 + σ2 = 1 và pσ1 1 = aαi 1 bβ1 , pσ2 2 = aαi 2 bβ2 , . . . thì ta có
n

n

aαi bβi

. . . liλ

i=1

n

pσi11 pσi22

=

≤

pi1

i=1

σ1

i=1

n

pi2

σ2

i=1

Vì α1 , β1 hữu tỷ nên
n

n

pi1 =
i=1

α1
σ1

λ1
σ1

n

ai

ai . . . li <
i=1

i=1

α1
σ1

n

...

li
i=1

λ1
σ1

.


12
n

pi2 ta cũng được bất đẳng thức tương tự, chỉ có điều với dấu là "≤".

đối với
i=1

Kết hợp các kết quả này lại, ta được (1.24).
Cách 2. Ta có thể rút ra Định lý 1.2.3 từ Định lý 1.2.1. Thật vậy vì không có
dãy nào là dãy không, nên
n
i=1
n

(

n

n

ai

i=1

aαi bβi . . . liλ

)α (

=

n

bi

)β

i=1

...(

li

)λ

α

ai
n

ai

n

α

+β

n
i=1

i=1

bi
n

ai

i=1

n

li

i=1

ai

λ

li

bi

i=1

≤

...

n

i=1

i=1

β

bi

+ ··· + λ

li
n

bi
i=1

li
i=1

= α + β + · · · + λ = 1.
Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi:
bi
ai
=
= ... =
n
n
ai
bi
i=1

i=1

li

(i = 1, 2, . . . , n)

n

li
i=1

tức là khi các dãy (a), (b), . . ., (l) tỷ lệ.
Chú ý rằng chứng minh không phụ thuộc vào việc α, β, . . . có hữu tỷ hay
không vì trong chứng minh này không có một bước chuyển qua giới hạn nào,
trừ những bước đã gặp trong chứng minh Định lý 1.2.1.
1.2.3 Bất đẳng thức Minkowski

Định lý sau đây là sự mở rộng Định lý 1.2.2.
Định lý 1.2.4 Giả sử r hữu hạn và khác 1. Khi đó
Mr (a) + Mr (b) + · · · + Mr (l) > Mr (a + b + · · · + l)r > 1)

(1.27)

Mr (a) + Mr (b) + · · · + Mr (l) < Mr (a + b + · · · + l)r < 1)

(1.28)

trừ trường hợp (a), (b), . . . , (l) tỷ lệ hay r ≤ 0 và ai = bi = . . . = li = 0 với một
i nào đó.
Nếu r = 1 thì đẳng thức nghiệm đúng với mọi a, b, . . .. Định lý 1.2.2 là
trường hợp riêng của Định lý 1.2.4 khi r = 0.


13

Chứng minh. Lấy trung bình với trọng q và đặt
ai + bi + · · · + li = si ,

Mr (s) = S.

Khi đó

n
r

n

qi sri

S =

n

qi ai sr−1
i

=

i=1
n

+

i=1

n

qi bi sr−1
i
i=1

i=1

n

1/r

1/r

1/r

(qi ai )(qi si )r−1 + · · · +

=

qi li sr−1
i

+ ··· +

i=1

1/r

(qi li )(qi si )r−1 .
i=1

Trước tiên, giả sử rằng r > 1. Áp dụng bất đẳng thức
n

n

ari

ai bi <
i=1

1/r

i=1

n

bri

1/r

r > 1,

i=1

1 1
+ =1
r r

(1.29)

cho mỗi tổng ở vế phải, ta được
n
r

qi ari

S ≤

1/r

i=1

n

qi sri

1/r

n

+ ··· = S

r−1

qi ari

1/r

+ ··· .

(1.30)

i=1

i=1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tất cả (qar ), (qbr ), . . . tỷ lệ với (qsr ) tức là khi
(a), (b), . . . tỷ lệ. Vì S dương (trừ trường hợp tầm thường khi tất cả các dãy là
dãy không) nên từ (1.30) suy ra (1.27)
Hơn nữa giả sử 0 < r < 1. Nếu không phải tất cả các dãy (a), (b), . . . là
dãy không thì si > 0 với i nào đó. Nếu si = 0 với một giá trị riêng biệt nào đó
của i thì ai = bi = . . . = li = 0 và ta có thể loại giá trị i ấy. Vậy có thể xem tất
cả si > 0 , với giả thiết này thì từ bất đẳng thức
n

n

ari

ai bi >
i=1

i=1

1/r

n

bri
i=1

1/r

r < 1,

1 1

+ =1
r r

(1.31)

cho ta (1.30) với dấu bất đẳng thức ngược lại và chứng minh có thể kết thúc
như trên.
Cuối cùng, giả sử r < 0. Nếu một si nào đó bằng 0 thì tất cả trung bình
bằng không. Vì vậy, ta có thể giả sử si > 0 với mọi i. Nếu một ai nào đó bằng
không thì Mr (a) = 0 và ta có thể bỏ chữ a. Do đó, ta có quyền giả sử mọi


14

ai , bi , . . . dương và khi đó kết luận của định lý của được suy ra từ bất đẳng thức
(1.31).
Khi tất cả qi bằng nhau, ta có định lý sau đây:
Định lý 1.2.5 Nếu r hữu hạn và khác 0, khác 1 thì
n
r

(ai + · · · + li )
i=1
n

(ai + · · · + li )r

n

1/r

ari

<
i=1
n

1/r

ari

>

i=1

n

1/r

lir

+ ··· +
i=1
n

1/r

lir

+ ··· +

i=1

1/r

(r > 1)

(1.32)

(r < 1)

(1.33)

1/r

i=1

trừ trường hợp (a), (b), . . . , (l) tỷ lệ hay r < 0 và ai , bi , . . . , li bằng không với một
i nào đó.
Bất đẳng thức (1.32) thường được gọi là bất đẳng thức Minkowski. Định
lý 1.2.4 có vẻ như tổng quát hơn Định lý 1.2.5, nhưng thực ra, nó có thể suy ra
1/r

1/r

từ Định lý 1.2.5 nếu thay ai , bi , . . . bằng pi ai , pi bi , . . .
Định lý 1.2.4 có thể được phát biểu ở dạng rất đối xứng và đẹp như sau:
Định lý 1.2.6 Giả sử M(µ) là trung bình lấy theo chỉ số µ với trọng lượng pµ và
M(i) là trung bình lấy theo chỉ số i với trọng lượng qi và giả sử 0 < r < s < ∞.
Khi đó

(µ)
(µ)
(i)
M(i)
s Mr (aµi ) < Mr Ms (aµi ),

trừ trường hợp aµi = bµ ci .
Kết quả vẫn đúng với tất cả r, s mà r < s, trừ trường hợp có đẳng thức.
Chứng minh. Ta chứng minh định lý này với 0 < r < s < ∞. Nếu r ≤ 0 hoặc
một trong các số r và s vô hạn thì đẳng thức xuất hiện trong nhiều trường hợp
bổ sung.
Giả sử s/r = k > 1 và pµ arµi = Aµi . Khi đó bất đẳng thức phải tìm có dạng
n

m

pµ arµi

qi

m

1/s

<

qi
i=1

qi asµi

µ=1
m

n

n

pµ

µ=1

i=1

hay

s/r

k

Aµi
µ=1

m

1/k

i=1
n

qi Akµi

<
µ=1

r/s

i=1

1/k

.

1/r


15
n

Bất đẳng thức này thuần nhất theo q, do đó ta có thể giả sử

qi = 1 và khi
i=1

đó nó được đưa về (1.27).


16

Chương 2. Sắp thứ tự dãy các đại

lượng trung bình tổng quát
Chương này trình bày một số mở rộng các dạng trung bình sinh bởi các
đa thức đối xứng. Mục 2.1 giới thiệu về sắp thứ tự các trung bình của bộ số
với trọng. Mục 2.2 trình bày sắp thứ tự các tổng của bộ số theo bậc của chúng.
Kiến thức của chương được tổng hợp từ các tài liệu [2] và [3].

2.1

Sắp thứ tự các trung bình của bộ số với trọng
Như đã biết bất đẳng thức giữa giá trị trung bình cộng và trung bình nhân

chỉ là sự sắp được của hai phần tử trong một dãy biểu thức sắp được thứ tự.
Các biểu thức này chính là những hàm đối xứng sơ cấp.
Trong mục này ta xét một số mở rộng các dạng trung bình sinh bởi các đa
thức đối xứng. Các mở rộng này dựa trên các tính chất của hàm số như tính
đơn điệu (tựa đơn điệu) để so sánh, tính lồi, lõm (tựa lồi, lõm) để sắp thứ tự
theo các đặc trưng cho trước.
Ta xét bộ n số dương tùy ý (đã được đề cập ở Chương 1)
(x) := (x1 , x2 , . . . , xn ),
bộ hệ số dương (trọng đơn vị)
n

(α) := (α1 , α2 , . . . , αn ),

αi = 1
i=1

và Mh (x, α)-trung bình bậc h theo trọng (α) xác định theo công thức
n

αi xhi

Mh (x, α) =
i=1

1
h

.


17

Định lý 2.1.1 Với mỗi bộ n số dương (x) và trọng (α), ta đều có
n

xαi i ,

lim Mh (x, α) =

h→0

(2.1)

i=1

tức là, giới hạn là một trung bình nhân suy rộng.
Chứng minh. Trước hết, ta tính giới hạn
n

ln
i=1

lim ln (Mh (x, α)) = lim

h→0

αi xhi
.

h

h→0

Theo quy tắc L’Hospital, ta tính được
n

αi xhi ln xi

lim ln (Mh (x, α)) = lim i=1 n

h→0

h→0

i=1

αi xhi

n

=

n

xαi i .

αi ln xi = ln
i=1

i=1

Từ đây, dễ dàng suy ra (2.1).
Định lý 2.1.2 Với mỗi bộ n số dương (x) trọng (α), ta đều có
lim Mh (x, α) = max{xi ; i = 1, 2, . . . , n}.

h→+∞

(2.2)

Chứng minh. Thật vậy, nếu đặt
xs = max{xi ; i = 1, 2, . . . , n},
thì với mọi h > 0, ta có
1

αsh xs

Mh (x, α)

xs .

Từ đây, chuyển qua giới hạn ta thu được (2.2).
Hoàn toàn tương tự, bằng cách chuyển qua giới hạn khi h → −∞, ta có
định lý sau đây.


18

Định lý 2.1.3 Với mỗi bộ n số dương (x) trọng (α), ta đều có
lim Mh (x, α) = min{xi ; i = 1, 2, . . . , n}.

h→−∞

(2.3)

Chứng minh. Thật vậy, để ý rằng
M−h (x, α) =

1
,
1
Mh , α
x

∀h < 0.

Từ đây, chuyển qua giới hạn ta có ngay (2.3).
Từ các kết quả trên, ta quy ước:
n

xαi i ,

M0 (x, α) =
i=1

M−∞ (x, α) = min{xi ; i = 1, 2, . . . , n},
M+∞ (x, α) = max{xi ; i = 1, 2, . . . , n}.
Từ thứ tự sắp được
n

xαi i

min{xi ; i = 1, 2, . . . , n}

max{xi ; i = 1, 2, . . . , n},

i=1

ta có thứ tự sắp được
M−∞ (x, α)

M0 (x, α)

M+∞ (x, α),

ứng với sự sắp thứ tự tự nhiên theo chiều tăng dần
−∞, 0, + ∞.
Bây giờ ta có thể chứng minh một kết quả mạnh hơn rằng, dãy Mh (x, α)
là sắp được theo h như là một hàm đồng biến của hàm số biến h ∈ R.
Định lý 2.1.4 Với mỗi bộ n số dương (x) trọng (α), ta đều có

dMh (x, α)
dh

0,

∀h ∈ R \ {0}.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn .


19

Chứng minh. Thật vậy, để ý rằng
h2
Mh (x, α)

n

αi xhi
i=1

dMh (x, α)
dh

n

n

αi xhi ln xhi −

=

αi xhi ln

i=1

(2.4)

n

αi xhi .

i=1

i=1

Mặt khác, dễ dàng kiểm tra tính lồi của hàm số g(x) := xln x trong (0, +∞).
1
Thật vậy, ta có g (x) = > 0 ứng với mọi x > 0. Do vậy, với g(x) (là hàm lồi),
x
ta thu được
g(xi )

f (x) + (xi − x)g (x),

∀x, xi > 0.

n

Từ đây, chọn x =

αi xi , ta được
i=1
n

n

αi g(xi )

g

i=1

hay

n

αi xi
i=1

n

αi xi ln xi
i=1

n

αi xi ln
i=1

αi xi .

(2.5)

i=1

Dấu đẳng thức trong (2.5) xảy ra khi và chỉ khi các số xi đều nhận giá trị bằng
nhau. Từ (2.4) và (2.5) ta suy ra
dMh (x, α)
dh

0,

∀h ∈ R \ {0},

và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn .
Như vậy, nếu các số xi không nhận giá trị bằng nhau thì Mh (x, α) là một
hàm đồng biến theo biến h ∈ R. Đồ thị của hàm y = Mh (x, α) có hai tiệm cận
ngang y = min{xi ; i = 1, 2, . . . , n} và y = max{xi ; i = 1, 2, . . . , n}.
Định lý 2.1.5 Với mỗi bộ n số dương (x) trọng (α), ta đều có
f (h) = hln Mh (x, α)
là một hàm lồi trên R.


20

Chứng minh. Vì f (h) là hàm khả vi, nên ta kiểm tra tính lồi trực tiếp thông
qua tính đạo hàm của hàm số
n

αi xhi .

f (h) = ln
i=1

Ta có
n

f (h) =

i=1

αi xhi ln xi
n

i=1
n

f (h) =

i=1

,
αi xhi
n

αi xhi

i=1

n

αi xhi (ln xi )2 −
n
i=1

αi xhi

i=1

αi xhi ln xi

2

.

2

Theo bất đẳng thức Cauchy, thì
n

n

n

αi xhi

αi xhi (ln

i=1

nên kéo theo f (h)

2

αi xhi ln xi

−

xi )

i=1

2

0,

i=1

0.

Từ đây, ta nhận được kết quả của một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất liên
quan đến dạng trung bình bậc h có trọng.
Bài toán 2.1.1 Với mỗi bộ n số dương (x) trọng (α), xét bộ các số (h) với tổng
n

αi hi = S,
i=1

không đổi. Chứng minh rằng

n

Mαhii hi (x)

MSS (x).

i=1

Chứng minh. Dễ kiểm tra hàm số
n

αi xhi

f (h) = ln
i=1

(2.6)


21

là hàm lồi khả vi bậc hai. Thật vậy, vì f (h) là hàm khả vi, nên ta kiểm tra tính
lồi trực tiếp thông qua tính đạo hàm của hàm số
n

αi xhi .

f (h) = ln
i=1

Ta có
n

f (h) =

i=1

αi xhi ln xi
n

i=1
n

f (h) =

i=1

,
αi xhi
αi xhi

n
i=1

αi xhi (ln xi )2 −
n
i=1

αi xhi

n
i=1

2

αi xhi ln xi

.

2

Theo bất đẳng thức Cauchy, thì
n

n

αi xhi
i=1

nên kéo theo f (h)

n

αi xhi (ln

2

αi xhi ln xi

−

xi )

i=1

2

0,

i=1

0.

Do đó, theo bất đẳng thức Jensen, ta có
n

n

αi f (xi )

f

αi xi .

i=1

i=1

Trong bất đẳng thức trên thay xi bởi hi , từ đó ta có ngay (2.6), điều phải chứng
minh.

2.2

Sắp thứ tự các tổng của bộ số theo bậc của chúng
Xét bộ n số dương tùy ý (x) := (x1 , x2 , . . . , xn ). Cũng tương tự như đối với

trung bình Mh (x, α) trong mục trước, ta xét tổng bậc h đối với bộ (x).
Định nghĩa 2.2.1 Xét các số thực h = 0. Khi đó tổng Sh (x) xác định theo
công thức

n

xhi

Sh (x) =
i=1

1
h

,

(2.7)


22

được gọi là tổng bậc h của bộ số (x).
Tính đơn điệu của tổng Sh (x) dạng (2.7) được phát biểu dưới dạng sau.
Định lý 2.2.1 Với mỗi bộ n số dương (x), tổng Sh (x) nghịch biến trong (−∞, 0)

và trong (0, +∞). Ngoài ra,
lim Sh (x) = min{xi ; i = 1, 2, . . . , n}

h→−∞

và
lim Sh (x) = max{xi ; i = 1, 2, . . . , n}.

h→+∞

Chứng minh. Vì Sh (x) khả vi trong các khoảng (−∞, 0) và (0, +∞), nên ta
kiểm tra tính đơn điệu trực tiếp bằng tính đạo hàm và xét dấu của nó trong
các khoảng tương ứng. Sử dụng đẳng thức
n

xhi

hln Sh (x) =
i=1

để tính đạo hàm hai vế theo h, ta dễ dàng suy ra kết luận của định lý.
Định lý 2.2.2 Với mỗi bộ n số dương (x), hàm số f (h) := hln Sh (x) là một
hàm lồi theo h.
Chứng minh. Chứng minh được suy ra từ tính chất lồi của hàm số F (h) :=
hln Mh (x, α).
Tương tự, dễ dàng kiểm tra tính lồi của các hàm số g1 (h) := Sh (x) và
g2 (h) := ln Sh (x) trong (0, +∞).
Từ đây, ta thu được hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.1 Với mỗi bộ n số dương (x) và bộ số dương (α), xét bộ số (h) =
(h1 , h2 , . . . , hn ) sao cho tổng

α1 h1 + α2 h2 + · · · + αn hn = M
không đổi. Khi đó

n

αi Shαii (x)
i=1

SM (x).