Luận Văn Định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
******
PHẠM THỊ HƢƠNG

ĐỊNH LÝ PHẠM TRÙ BAIRE
VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. BÙI KIÊN CƢỜNG

HÀ NỘI- 2012

Phạm Thị Hương

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lời cảm ơn

Khóa luận này của em đã đƣơc hoàn thành với sự chỉ bảo, hƣớng dẫn tận

tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng.
Qua đây em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo - Tiến sĩ
Bùi Kiên Cƣờng, ngƣời đã trực tiếp tạo điều kiện và giúp đỡ em trong suốt thời
gian làm khóa luận. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô
giáo trong tổ giải tích, cũng nhƣ các thầy cô giáo trong khoa Toán trƣờng ĐHSP
Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Phạm Thị Hương

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của em đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận
tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng, cùng với đó là sự cố gắng của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả
nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và
lòng biết ơn.
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của riêng bản thân, không có
sự trùng lặp với đề tài nghiên cứu của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm2012
Sinh viên
PHẠM THỊ HƢƠNG

Phạm Thị Hương

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU…………. .................................................................... 1
Chƣơng I: Một số kiến thức chuẩn bị ............................................................. 3
§1. Không gian metric ............................................................................. 3
§2. Tôpô trong không gian metric ........................................................... 5
§3. Không gian định chuẩn,không gian Banach ...................................... 7
Chƣơng II: Định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng.............................. 14
§1.Định lý phạm trù Baire,trƣờng hợp hàm biến thực ............................ 14
§2. Định lý ánh xạ mở…….. .................................................................... 18
§3. Định lý đồ thị đóng …... .................................................................... 20
§4.Nguyên lý bị chặn đều,liên hệ không gian L( X , Y ) ............................ 22
KẾT LUẬN .............................................................................................. 25
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................... 26

Phạm Thị Hương

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học đƣợc xây dựng vào nửa đầu thế kỉ
XX nhƣng hiện nay hầu nhƣ đƣợc xem nhƣ là một ngành toán học cổ điển. Nội
dung của nó là sự hợp nhất của những lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở
rộng một số khái niệm và kết quả của Giải tích, Đại số, Phƣơng trình vi phân…
Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích luỹ đƣợc
một nội dung hết sức phong phú. Những phƣơng pháp và kết quả rất mẫu mực
của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có
sử dụng đến những công cụ của Giải tích. Ngoài ra, nó còn có những ứng dụng
trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh vực khoa học khác.
Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngành
toán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết
những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó đề
ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tƣợng.
Với mong muốn đƣợc nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải
tích hàm, em đã chọn đề tài “Định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng” làm
đề tài khoá luận tốt nghiệp. Nghiên cứu đề tài này chúng ta có thể thấy đƣợc
ứng dụng rõ rệt của định lý phạm trù Baire. Thông qua đó thấy đƣợc vai trò
quan trọng của nó trong nhiều vấn đề giải tích và ứng dụng vào các lĩnh vực
khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết về định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng để
thấy đƣợc vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn đề giải tích (chứng minh

Phạm Thị Hương

1

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

một tập là tập thƣa,tập không đâu trù mật…) và ứng dụng vào các lĩnh vực khác
của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung.
3. Đối tƣợng và nhiệm vụ nghiên cứu
Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian metric, không
gian định chuẩn, không gian Banach, định lý ánh xạ mở, nguyên lý đồ thị đóng,
nguyên lý bị chặn đều.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng kết hợp các phƣơng pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân
tích, tổng hợp, so sánh…
5. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến định lý phạm trù Baire và một số
ứng dụng của nó.
6. Bố cục luận văn
Phần mở đầu.
Nội dung khoá luận gồm hai chƣơng:
Chƣơng I: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chƣơng II: Định lý phạm trù Baire và một số ứng dụng.
Kết luận.

Phạm Thị Hương

2

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§1. Không gian metric
1.1. Định nghĩa
Ta gọi là không gian metric một tập hợp X   cùng với một ánh xạ d từ
tích X  X vào tập hợp số thực  thỏa mãn các tiên đề metric sau:
1) (x, y  X ), d ( x, y)  0, d ( x, y)  0  x  y ;
2) (x, y  X ), d ( x, y )  d ( y, x) ;
3) (x, y, z  X ), d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z, y ) ;
Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d ( x, y ) gọi là khoảng cách giữa hai
phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm.
1.1.1. Ví dụ
Với hai phần tử bất kỳ x, y   thì d ( x, y)  x  y xác định một metric
trên  và đƣợc gọi là metric tự nhiên trên  .
1.2. Sự hội tụ trong không gian metric
1.2.1. Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian metric M  ( X , d ) , dãy điểm

( xn )  X , điểm x0  X . Dãy điểm ( xn ) gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không
gian M khi n   nếu

(  0), (n0    ) ,(n  n0 ) : d ( xn , x0 )   ,
Kí hiệu : lim  x0 hay xn  x0 ,(n  ) .

n 

Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy ( xn ) trong không gian M .
1.2.2. Ví dụ

Phạm Thị Hương

3

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

a) Trong  m ta xét metric thông thƣờng. Xét phần tử a  (a1, a2 ,...., am )
và dãy ( x n ) với xn  ( x1n , x2n ,..., xmn ) . Ta có:

d ( xn , a) 

m

(x

n
i

 ai ) 2  xin  ai , i  1,...., m.

1

Từ đó suy ra:
lim xn  a trong ( m , d )  lim xin  ai i  1,..., m trong  .
x 

x 

b) Sự hội tụ của một dãy điểm ( xn ) trong không gian  1 là sự hội tụ của
dãy số thực đã biết trong giải tích toán học.
c) Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian C[a, b] tƣơng đƣơng với
sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn  a, b :
Trong C[a, b] ta xét “metric hội tụ đều”. Ta có:
d

xn  x    0, n0 : n  n0  sup xn (t )  x(t )   .
a t b

 dãy hàm {xn (t )} hội tụ đều trên  a, b về hàm x (t ) .
 lim xn (t )  x(t ) t   a, b .
x

Nhƣ vậy lim xn (t )  x(t ) t   a, b là điều kiện cần để lim xn  x trong
x 

x

C[a, b] với metric hội tụ đều.
1.3. Không gian metric đầy đủ
1.3.1 Định nghĩa 1.3.1. Cho không gian metric M  ( X , d ) . Dãy điểm ( xn )  X

gọi là dãy cơ bản trong M nếu:
(  0),(n0  N  ),(n, m  n0 ), d ( xm , xn )   .

Hay

Phạm Thị Hương

4

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

lim d ( xn , xm )  0 .

n ,m

1.3.2. Định nghĩa 1.3.2. Không gian metric M  ( X , d ) đƣợc gọi là không gian
đầy nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
1.3.3. Ví dụ
a) Không gian C[a, b] là không gian đầy.
b) Không gian  m với metric d thông thƣờng là đầy đủ. Thật vậy, xét tùy
ý dãy Cauchy ( x n ) với xn  ( x1n , x2n ,..., xmn ) . Vì
d ( x n , x k )  xin  xik i  1,..., m


d ( xn , xk )  0

nlim
,k 

 lim xin  xik  0 .
n ,k 

Nên suy ra các dãy ( xin ) : i  1,..., m là dãy cauchy trong  , do đó chúng
hội tụ vì  đầy đủ.
Đặt ai  lim xin (i  1,.., m) và xét phần tử a  (a1, a2 ,...., am ) , ta có lim x n  a
x 

x 

trong ( m , d ) .
§2. Tôpô trong không gian metric
2.1. Tập mở, tập đóng
2.1.1. Định nghĩa 2.1.1. Không gian metric M  ( X , d ) và tập A  X . Tập A
gọi là tập mở trong không gian M nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A,
nói cách khác, nếu điểm x  A thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A .
Tập A gọi là tập đóng trong không gian M nếu mọi điểm không thuộc A
đều là điểm ngoài của A , hay nói cách khác, nếu điểm x  A thì tồn tại một lân
cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A .

Phạm Thị Hương

5

K34C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

2.1.2. Định lý 2.1.2. Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở là tập
mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng.
2.1.3. Hệ quả 2.1.3. Trong không gian metric bất kỳ, phần trong của một tập
mở là một tập mở, bao đóng của một tập là tập đóng.
2.2. Tôpô trong không gian metric
2.2.1. Định lý 2.2.1. Trong không gian metric bất kỳ, họ  tất cả các tập mở
trong M lập thành một tôpô trên X .
Tập  tất cả các tập mở trong không gian metric M  ( X , d ) gọi là tôpô
sinh bởi metric d .
Trong không gian metric bất kỳ M  ( X , d ) , topo  sinh bởi metric d là
tôpô có cơ sở lân cận đếm được.
2.2.2. Hệ quả 2.2.2. Trong không gian metric bất kỳ, giao của một họ tùy ý các
tập đóng, hợp của một họ hữu hạn tùy ý các tập đóng là tập đóng.
2.3. Tập trù mật, tập không đâu trù mật
2.3.1. Định nghĩa 2.3.1. Cho không gian tôpô X . Giả sử A và B là hai tập con
của X . Ta nói tập A trù mật trong B nếu B  A với A là bao đóng của tập A .
Tập A đƣợc gọi là trù mật khắp nơi nếu A trù mật trong toàn không gian X .
Một tập A đƣợc gọi là không đâu trù mật nếu int A   .
2.3.2. Định lý 2.3.2. Tập A là tập không đâu trù mật trong X khi và chỉ khi
mỗi tập mở khác rỗng trong X đều chứa một tập hợp mở khác rỗng không có
điểm chung với A .
Chứng minh

Phạm Thị Hương

6

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Giả sử A là tập không đâu trù mật và U là tập mở khác rỗng trong X . Vì

int A   nên U  A . Do đó:
W  U  ( X \ A)  

Vậy W là tập mở không rỗng và W  U ,W  A   .
Đảo lại, mỗi tập hợp mở không rỗng U đều tồn tại W là tập hợp mở
không rỗng và W  U , W  A   . Khi đó X \ W là tập hợp đóng. Do

A  X \ W nên A  X \ W . Từ đó, W  A   . Nhƣ vậy nếu U   là tập mở
bất kỳ thì U  A . Vì vậy int A   .
§3. Không gian định chuẩn, không gian Banach
3.1. Không gian định chuẩn
3.1.1. Định nghĩa 3.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trƣờng P cùng với một ánh xạ
từ X vào tập số thực  , kí hiệu là . thỏa mãn các tiên đề chuẩn sau đây:
1) (x  X ), x  0, x  0  x  0;
2) (x  X ), (  P),  x   x ;
3) (x, y  X ), x  y  x  y .
Số x gọi là chuẩn của véc tơ x . Ta kí hiệu không gian định chuẩn là X .
3.1.2. Ví dụ
Cho không gian véctơ l2 . Đối với véctơ bất kỳ x  ( xn )  l2 ta đặt:

x 



x
n 1

Phạm Thị Hương

7

2

n

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

thì đây chính là một chuẩn trên l2 . Không gian chuẩn tƣơng ứng kí hiệu là l2 .
3.1.3. Định nghĩa 3.1.3. Ta nói chuẩn . 1 và . 2 trên không gian véctơ X là
tƣơng đƣơng nếu tồn tại hằng số C1, C2 thỏa mãn:
C1 . 1  . 2  C2 . 1 .

3.1.4. Chú ý
Trong một không gian hữu hạn chiều, mọi chuẩn đều tương đương nhau.

Các chuẩn tương đương cùng sinh một tôpô. Điều này không còn đúng trong
không gian vô hạn chiều.
3.1.5. Định nghĩa 3.1.5. Một phép đẳng cấu giữa hai không gian tuyến tính định
chuẩn là một song ánh tuyến tính bị chặn.
Hai chuẩn . 1 và . 2 là tƣơng đƣơng  ánh xạ id : ( X , . 1 )  ( X , . 2 ) là một đẳng
cấu ( id liên tục và ánh xạ ngƣợc cũng liên tục).
3.1.6. Ví dụ
Mỗi không gian Hilbert tách đƣợc (tức tồn tại một cơ sở Hilbert đếm đƣợc) đều
đẳng cấu với l2 .
3.2. Không gian Banach
3.2.1. Định nghĩa 3.2.1. Một không gian Banach là một không gian tuyến tính định
chuẩn đầy đủ (tức là mọi dãy cơ bản đều hội tụ về một điểm nào đó của không gian
ấy).

3.2.2. Ví dụ
a) Không gian Hilbert là không gian Banach.
Phạm Thị Hương

8

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

b)

LP ( X , d  ) ,1  p   là không gian Banach.

c)




l p  (U n )nN : (| U n | p )1/ p    ,1  p   là không gian Banach
n




(chú ý rằng l p  Lp ( , d  ) với    n và  n là độ đo Dirac tại các
n

điểm nguyên n.
3.2.3. Định nghĩa 3.2.3. (Toán tử tuyến tính bị chặn) Một ánh xạ tuyến tính bị
chặn (hay toán tử bị chặn) T giữa hai không gian tuyến tính định
chuẩn ( X 1 , . 1 ) và ( X 2 , . 2 ) là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn  c  0 sao cho:
x  X 1 , Tx 2  c  Tx 1 .

Nhƣ đã biết từ trƣớc đó, T bị chặn  T liên tục  T liên tục tại một điểm.
Ta định nghĩa chuẩn của toán tử là:
T  sup Tx 2 .
x 1 1

3.2.4. Bổ đề 3.2.4. Chuẩn của toán tử cũng là một chuẩn trên không gian
L( X , Y ) tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y.

Chứng minh

. 2 là một chuẩn nên ta có:

Trƣớc hết, ta chứng minh bất đẳng thức tam giác. Vì

(T  S ) x

2

 Tx  Sx

 sup Tx  Sx
x 1 1

2

2

 Tx

 sup( Tx
x 1 1

2

2

 Sx 2 ,

 Sx 2 )

Mà
sup( Tx
x 1 1

Phạm Thị Hương

2

 Sx 2 )  sup Tx
x 1 1

9

2

 sup Sx 2 .
x 1 1

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 sup (T  S ) x 2  sup Tx 2  sup Sx
x 1 1

x 1 1

x 1 1

2

 T S  T  S .
Tiếp theo, ta chứng minh aT  a . T . Thật vậy, ta có :

aT  sup aTx
x 1 1

2

. Vì . 2 là một chuẩn nên: aTx 2  a Tx 2 . Mặt khác, với số

dƣơng bất kì a thì supa   a.sup
 , do đó:

aT  sup aTx
x 1 1

 sup a Tx
x 1 1

 a sup Tx
x 1 1

2

2

2

a T .

Cuối cùng, ta chứng minh T  0  T  0 . Nói cách khác, ta phải chứng minh Tx
= 0 x  X1 . Ta thấy, T  0   x 1  1, Tx 2  0 . Theo tính chất tuyến tính
thì x  X 1 , Tx 2  0 . Nhƣng do . 2 là một chuẩn nên Tx  0 , x  X1 . Do đó

T  0.
3.2.5. Định lý 3.2.5. Nếu Y là một không gian Banach thì L( X , Y ) cũng là một
không gian Banach.

Phạm Thị Hương

10

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chứng minh
Rõ ràng L( X , Y ) là không gian tuyến tính định chuẩn. Cho An là dãy Cauchy
các hàm trong L( X , Y ) khi đó:

An  Am  0 khi m, n  .
n ,m

Suy ra,  x  X ,  An ( x)  là dãy Cauchy. Do đó nó tồn tại giới hạn, giả sử là
A( x) . Khi đó ánh xạ x  A( x) tuyến tính là điều rõ ràng. Bây giờ, ta chứng

minh tính bị chặn:

A( x) y  lim An ( x)  limsup An . x
n

Nhƣng

 An nN là

X

dãy cauchy. Do đó nó bị chặn đều bởi hằng số C . Do đó,

Ax  C. x X .

Vậy A  L( X ,Y ) .
Cuối cùng, ta chứng minh rằng nó chính là giới hạn của dãy An :

( An  A)( x)  lim ( An  Am )( x)
m

 lim sup An  Am . x
m

 (1) x

Vậy An  A

L ( X ,Y )

X

X

do An là dãy Cauchy.

 0 . Định lý đƣợc chứng minh.

3.3. Định lý Hahn-Banach
3.3.1. Phát biểu định lý. Cho một phiếm hàm tuyến tính f xác định trong một
không gian con M của một không gian véctơ thực X .Nếu có một hàm dưới
tuyến tính  xác định trong X sao cho
(x  M )

Phạm Thị Hương

f ( x)   ( x) .

11

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Thì phải có một phiếm hàm tuyến tính F ( x ) xác định trong toàn thể X sao cho :
1) F là khuếch của f , nghĩa là:
(x  M ) F ( x)  f ( x) .

2) (x  X ) F ( x)   ( x) .
3.3.2. Hệ quả 3.3.2. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một
không gian con M của không gian định chuẩn X bao giờ cũng có thể khuếch
thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên toàn thể X , mà có F  f .
3.3.3. Hệ quả 3.3.3. Cho không gian định chuẩn X . Với mỗi phần tử khác
không x0  X tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên toàn
không gian X sao cho f ( xo )  xo và f  1 .
3.4. Đối ngẫu đơn và đối ngẫu kép
3.4.1. Định lý 3.4.1. (Định lý Riesz) Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi
đó, với mọi F  H  thì tồn tại duy nhất hàm f  H sao cho F ( x)  f , x ,

x  H . Vì vậy, H  H  là một đẳng cấu giữa H và H  .
3.4.2. Ví dụ
a) ( L2 )  L2 .
b)  l2   l2 .
*

Sau đây ta sẽ mở rộng sang không gian Banach: Ta có ( Lp )  Lp ,1  p   với
1 1
  1 nói cách khác, ta có định lý sau:
p p'

Phạm Thị Hương

12

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

3.4.3. Định lý 3.4.3. Cho1  p   . Khi đó, với mọi F  ( Lp ) thì tồn tại duy
nhất hàm f  Lp với

1 1
  1 sao cho   Lp : F ( )   f  d  . Ngoài ra
p p

( L1 )  L , ( L )  L1.
3.4.4. Định nghĩa 3.4.4. Đối ngẫu kép là đối ngẫu của không gian đối ngẫu, cụ
thể: X   ( X  ) .
Coi J : X  X  cho bởi J ( x)(v)  v( x) với v  X  đƣợc gọi là phép nhúng chính
tắc từ X vào X  Nó cũng là một phép nhúng đẳng cự. Để thấy rõ điều này, ta
viết:

J ( x)  sup J ( x)( f )  sup  f , x   sup f . x  x
f 1

f 1

f 1

Từ Hệ quả 3.3.3 của Định lý Hahn – Banach, f  X  sao cho f ( x)  1 và

f , x  x . Do đó, sup là đạt đƣợc và đẳng thức xảy ra.
Nói chung, J ( x)  X  , rõ hơn ta nói X  X  với phép đồng nhất chính
tắc. Trong không gian hữu hạn chiều đẳng thức xảy ra. Điều đó không còn đúng
trong không gian vô hạn chiều.
3.4.5. Chú ý
Nếu J ( x)  X  thì ta nói rằng X là phản xạ.
3.4.5.1. Ví dụ về không gian phản xạ
. Không gian Hilbert là một không gian phản xạ.
. Không gian Lp với 1  p   (từ ( Lp )  ( Lp ' )  Lp '' với

1 1
  1 và
p p'

1
1

 1  p ''  p)
p ' p ''

. Không gian L1 không phản xạ vì ( L1 )  L mà ( L )  L1 nhƣ đã thấy
trƣớc đó.

Phạm Thị Hương

13

K34C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƢƠNG 2. ĐỊNH LÝ PHẠM TRÙ BAIRE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

§1. Định lý phạm trù Baire, trƣờng hợp hàm biến thực
Định lý phạm trù Baire là một định quan trọng trong giải tích hàm và đã đƣợc
chứng minh trong luận văn tiến sỹ của Rene - Louis Baire vào năm 1899. Định
lý này có rất nhiều hệ quả. Bây giờ chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý.
1.1. Định lý 1.1. (Định lý phạm trù Baire) Cho X là một không gian metric đủ
và Fn là dãy các tập con đóng của X với phần trong rỗng (int( Fn )  ) . Khi đó

int(U ( Fn ))   .
Dạng bù của Định lý. Nếu On là một dãy các tập con mở trù mật của X thì

On cũng là tập trù mật.
Chứng minh Định lý phạm trù Baire:
Cho On là dãy các tập con mở trù mật. Thì On là trù mật nếu ta chứng minh
đƣợc nó có giao với mỗi tập mở.
Cho W là một tập mở tùy ý, xo  W , thì rO  0 sao cho B( xo , ro )  W Từ

O1 là trù mật  giao của nó với

B( xo , ro ) là khác rỗng. Do đó,

x1  B( xo , ro )  O1 .
Từ B( xo , ro )  O1  O1' là giao của các tập mở  O1' là tập mở. Do đó, r1  0 sao
cho) B( x1 , r1 )  O1' và r1 

r0
.
2

Bằng phép quy nạp ta thu đƣợc một dãy xn sao cho:

B( xn , rn )  B( xn1, rn1 )  On và rn  1 rn1 .
2

Phạm Thị Hương

14

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Do đó, d ( xn , xn1 )  rn1 

Trường ĐHSP Hà Nội 2

r0
. Đây là dãy Cauchy trong On . Từ X là không
2n1

gian đủ  xn có giới hạn l  X . Do B( xn , rn ) là đóng và hình thành một dãy tập
hợp giảm dần với mỗi n, l  B( xn , rn )  On .Do đó, l  On và l  B( xn , rn ) .Do
đó l  B( xo , ro )  W

 l  W  (On )
 On giao với tập mở và do đó nó là tập trù mật.
1.2. Chú ý
1.2.1. Định lý đƣợc sử dụng để chứng minh tập nào đó có phần trong khác rỗng.
Ví dụ: Nếu T là một ánh xạ tuyến tính và T 1 ( B(0, 1)) là tập có phần trong
khác rỗng thì T bị chặn.
Ta thấy rằng, nếu T 1 ( B(0, 1)) có phần trong khác rỗng thì x0 ,   0 sao
cho T 1 ( B(0, 1))  B( x0 ,  )  B(0, 1)  T ( B( x0 ,  )) .
  y thỏa mãn y   , T ( x0  y)  1  T ( y)  1  T ( x0 ) với

x, T (

~
x 
)  C  T ( x)  C x .
x 2

Định lý này có tên là Baire bởi vì nó dùng thuật ngữ của Baire cho tập hợp:
1.2.2. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X, tập E  X đƣợc gọi là thuộc vào
phạm trù thứ nhất nếu nó là hợp đếm đƣợc của các tập không đâu trù mật trong
X, còn ngƣợc lại thì đƣợc gọi là thuộc vào phạm trù thứ hai .
Theo định lý phạm trù Baire thì mọi không gian metric đầy đủ X đều
thuộc vào phạm trù thứ hai trong chính nó.

Phạm Thị Hương

15

K34C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định lý phạm trù Baire và khái niệm phạm trù Baire đƣợc giới thiệu trong
định lý về hàm trong đƣờng thẳng thực rất có ích. Ta sẽ tìm hiểu đôi chút về điều
này. Đầu tiên ta đƣa ra một mô tả yếu định nghĩa về tập không đâu trù mật với
các tập con của  và một vài thuật ngữ thích hợp. Một tập A   đƣợc gọi là trù
mật trong I nếu A là giao khác rỗng của mọi khoảng con của I . A   đƣợc
gọi là không đâu trù mật nếu nó không trù mật trong mọi khoảng con, nghĩa là
mọi khoảng đều có một khoảng con nằm hoàn toàn trong A .
1.3. Định lý Baire về các hàm thuộc lớp thứ nhất
1.3.1. Định nghĩa
. Cho f là hàm giá trị thực trên  .Với khoảng I bất kỳ, ta gọi :

w( I )  sup f ( x)  inf f ( x) là dao động của hàm f trên I .
xI

xI

. Lấy x cố định bất kỳ, hàm w(( x   , x   )) giảm với  và xấp xỉ giới
hạn w( x)  lim w(( x   , x   )) đƣợc gọi là dao động của hàm f tại x .
 0

. W gọi là thác triển hàm giá trị thực trên R và ta thấy rằng w( x0 )  0 khi
và chỉ khi f là liên tục tại x0 .
. Nếu w( x0 )  0 , w( x0 ) cho ta giá trị gián đoạn của f tại x0 . Ta gọi D f là


1
tập các điểm mà tại đó f gián đoạn. Thì : D f  {x : w( x)  } .
n 1
n

. Một hàm f đƣợc gọi là lớp thứ nhất (của Baire) nếu nó có thể đƣợc biểu
diễn bởi giới hạn điểm của một dãy hàm liên tục.
Một phản ví dụ là hàm f n ( x)  max(0,1  n x ) . f n ( x) liên tục nhƣng hàm
hội tụ f(x) = f ( x)  {0} ( x) là không liên tục. Tuy nhiên, ta đã chứng minh đƣợc

Phạm Thị Hương

16

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

trong định lý dƣới đây một hàm thuộc lớp thứ nhất không thể gián đoạn khắp
nơi.
1.3.2. Định lý Baire về các hàm thuộc lớp thứ nhất
Nếu f là hàm thuộc lớp thứ nhất thì f liên tục ngoại trừ trên một tập các điểm
thuộc phạm trù thứ nhất.
Chứng minh
Ta thấy rằng, với mỗi   0 thì tập F  {x : w( x)  5 } là tập không đâu trù mật,
từ đó Df là tập thuộc phạm trù thứ nhất. Cho f ( x)  limf n ( x), f n liên tục và ta ký
hiệu:

En   {x : fi ( x)  f j ( x)   },( n  1,2..)
i , j n

Thì En là tập đóng, En  En1 và  En  R .Cho I  R là khoảng đóng bất kỳ thì
I chính là không gian metric đầy đủ và theo định lý phạm trù Baire, nó không

thể là hợp đếm đƣợc của các tập không đâu trù mật.


Từ I  ( En  I ) , nghĩa là ( En  I ) không thể là các tập không đâu trù mật. Do
i 1

đó, với số thực dƣơng n , En  I chứa một khoảng mở J .
Ta có fi ( x)  f j ( x)   , x  J ; i, j  n . Cho j  n và cho i   thì

f ( x)  f n ( x)   , x  J .
Bây giờ, từ f n liên tục, với x0 bất kỳ, x0  J thì có một lân cận

I ( x0 )  J sao cho f n ( x)  f n ( x0 )   , x  I ( x0 ) . Do đó

f ( x)  f n ( x0 )  2 , x  I ( x0 ) . Do đó:
w( x0 )  w( I ( x0 ))

Phạm Thị Hương

17

K34C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 sup f ( x)  inf f ( x)
xI ( x0 )

xI ( x0 )

 sup f ( x)  f n ( x0 )  f n ( x0 )  inf f ( x)
xI ( x0 )

xI ( x0 )

 2  2  4
Do đó không có điểm nào của J thuộc F . Giả sử, mọi khoảng đóng J có một
khoảng mở J  I \ F . Dễ dàng ta thấy mọi khoảng I  R đều có một khoảng
con trong F c , nghĩa là F là tập không đâu trù mật.
§2. Định lý ánh xạ mở
2.1. Định nghĩa 2.1. (Ánh xạ mở) Ánh xạ A từ không gian metric M1  ( X , d1 )
vào không gian M 2  (Y , d2 ) gọi là ánh xạ mở tại điểm x0  X nếu ánh xạ A
biến mỗi lân cận của điểm x0  X trong M1 thành lân cận của điểm Ax0 trong

M 2 . Ánh xạ A gọi là ánh xạ mở, nếu ánh xạ A biến mỗi tập mở trong M1 thành
tập mở trong M 2 .
2.2. Định lý 2.2. (Định lý ánh xạ mở Banach) Cho T là ánh xạ tuyến tính từ
không gian Banach X lên không gian Banach Y . Khi đó T là ánh xạ mở nếu
ảnh của một tập mở bất kỳ là một tập mở.
Chứng minh
Bằng phép tịnh tiến và dùng tính chất tuyến tính, với r  0 bất kì ta chứng

minh rằng:

T ( BX (0, r ))  BY (0, r ') với r ' bất kỳ.

Phạm Thị Hương

18

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Kí hiệu Fn  T ( B(0, n)) . Từ T là ánh xạ lên, U Fn  Y thì theo định lý phạm
nN

trù Baire, hàm Fn0 nào đó có phần trong khác rỗng  int (T ( B(0,1)))   .
Do đó, ta có thể giả sử rằng với   0 bất kì, B(0,  )  T ( B(0,1)) (do nó có
chứa phần trong không rỗng).
Ta sẽ chứng minh rằng T ( B(0,1))  T ( B(0,3)) và do đó: B(0,  )  T ( B(0,3)) .Thật
vậy:
Từ giả thiết không gian là tuyến tính và T là tuyến tính, ta có thể chọn một
lƣợng thích hợp sao cho B (0,

 .r
3

)  T ( B(0, r )) và do đó ta chọn r ' 

r
3

.

Vì vậy, cho y  T ( B(0,1)) ,ta sẽ tìm đƣợc x  B(0,3) sao cho y  Tx . Từ định
nghĩa của tập đóng  x1  B(0,1) sao cho: y  Tx1 


2


1
 y  Tx1  B(0, )  T ( B(0, )) .
2
2

1

Theo định nghĩa tập đóng, x2  B(0, ) sao cho y  Tx1  Tx2  . Vì vậy, ta
4
2
nhắc lại điều này với: n, xn sao cho y  Tx1  Tx2  ...  Txn 


2

n

và xn 

1
.
2n



Vậy ta lấy x   xi hội tụ vì dãy là Cauchy. Do đó:
i 1



 x   xi  2  3 .
i 1

 x  B(0,3) và Tx  y .
 T ( B(0,1))  T ( B(0,3)) .

Phạm Thị Hương

19

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

2.3. Hệ quả 2.3. Nếu T là ánh xạ tuyến tính bị chặn giữa hai không gian Banach
là một song ánh thì ánh xạ ngƣợc của nó liên tục. Do đó T là một đẳng cấu.
2.4. Hệ quả 2.4. Nếu X và Y là những không gian Banach và T  L( X ,Y ) là song
ánh thì T 1  L( X ,Y ) và khi đó T đƣợc gọi là một đẳng cấu. Từ định lý ánh xạ
mở ta thấy T là mở, mà T  (T 1 )1 là một tập mở  T 1 cũng là tập mở.

§3.Định lý đồ thị đóng
Hệ quả quan trọng khác của định lý phạm trù Baire là định lý đồ thị đóng.
3.1. Định nghĩa 3.1. Cho hai không gian định chuẩn X và Y và ánh xạ A từ
không gian X vào không gian Y .Ta gọi đồ thị của toán tử A , kí hiệu  ( A) là tập

 ( A)  {( x, Ax) : x  X }  X  Y .
Nếu đồ thị  ( A) của toán tử A là tập đóng trong không gian định chuẩn tích
X  Y thì toán tử A gọi là toán tử đóng.

Thật vậy, nếu ta lấy một dãy hội tụ {( xn ,Txn )}   (T) thì xn  x với x  X và
do T liên tục  Txn  Tx .
Do đó {( xn ,Txn )} hội tụ tới {( x, Tx)}   (T) và do đó T là đóng.
Định lý đồ thị đóng khẳng định rằng nếu X và Y là những không gian đầy thì sự
hội tụ là tất yếu.
3.2. Định lý 3.2. (Định lý đồ thị đóng) Cho X ,Y là hai không gian Banach và

T : X  Y là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó T bị chặn khi và chỉ khi đồ thị của
nó  (T )  {( x,Tx) : x  X )  X  Y là tập đóng.
Chứng minh
Trƣớc khi chứng minh, ta có nhận xét sau:
Phạm Thị Hương

20

K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nếu X là không gian Banach với các chuẩn . 1 và
x 1 C x

2

.

2

và C  0 sao cho

thì C1  0 sao cho: x 2  C1 x 1 .

Thật vậy, ánh xạ id : ( X , . 2 )  ( X , . 1 ) là một ánh xạ bị chặn và cũng là
một song ánh. Vì vậy, theo hệ quả của định lý ánh xạ mở thì ánh xạ ngƣợc của
nó cũng bị chặn.
Bây giờ, ta chứng minh định lí. Áp dụng kết quả trên cho chuẩn
.

1

và . 2 cho bởi: x 1  x

X

, x

2

 x

X

 Tx Y . Khi đó rõ ràng x 1  x 2 .

Giả sử  (T ) là tập đóng. Vậy ( X , . 2 ) có là một không gian Banach ?
Lấy một dãy Cauchy x n nN trong ( X , . 2 ) . Do đó xn  x với . 1 , từ . 1 là
bị chặn theo trên bởi . 2 . Tƣơng tự lấy {T ( xn )}n là dãy cơ bản trong Y . Vì vậy,
từ Y là Banach  {T ( xn )}n hội tụ về y  Y nào đó  ( xn ,T ( xn ))  ( x, y) .
Do đó, Tx  y và từ đồ thị của T là tập đóng (giả sử, đồ thị chứa tất cả các
điểm giới hạn) ta có:
xn  x 2  xn  x 1  T ( xn  x) Y  0  0  0

Theo đó ( X , . 2 ) là một không gian Banach. Vì vậy,
T ( x)

y

 x 2  x 1  x 2  C1 x 1  c1 x

X

Bây giờ, giả sử T là bị chặn. Do đó T liên tục. Vì vậy, cho

{ ( xn ,T ( xn )) }hội tụ trong X  Y sao cho ( xn ,T ( xn ))  ( x, y)  X  Y .

 xn  x .
 T ( xn )  T ( x) do T liên tục.
Do đó y  Tx và ( x, y )  ( x, Tx)  (T ) .
Vậy đồ thị là tập đóng.

Phạm Thị Hương

21

K34C - Toán