Luận Văn Vectơ trong mặt phẳng và các bài toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (464.6 KB, 43 trang )
Khóa luận tốt nghiệp đại học
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------------VŨ THỊ VUI
[
VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG
VÀ CÁC BÀI TOÁN
BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
BÀI TOÁN ĐỊNH LƯỢNG
BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH
TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học
GV. BÙI VĂN BÌNH
HÀ NỘI - 2012
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
1
Khóa luận tốt nghiệp đại học
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã động
viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Văn Bình đã tạo điều
kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong
khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Ngày 10 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
VŨ THỊ VUI
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
2
Khóa luận tốt nghiệp đại học
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy
giáo Bùi Văn Bình cùng với sự cố gắng của bản thân em. Trong quá trình
nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học,
các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên
cứu của bản thân em, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, Ngày 10 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
VŨ THỊ VUI
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
3
Khóa luận tốt nghiệp đại học
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán “Tìm tập hợp điểm” hay “Bài toán quỹ tích” là bài toán rất hay
gặp trong các đề thi học sinh giỏi hay thi tuyển vào các trường chuyên, trường
ĐH, CĐ,…một đề tài đã làm say mê bao người, góp phần không nhỏ làm cho
người học yêu thích môn hình học hơn.
Không thể nào phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng của bài toán quỹ tích
trong việc rèn luyện tư duy toán học nói riêng và đối với việc rèn luyện tư duy
linh hoạt nói chung, một phẩm chất cần thiết cho các hoạt động sáng tạo của
con người. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với học sinh trong việc tiếp
nhận các kiến thức và phương pháp, càng khó hơn trong việc vận dụng các
kiến thức và phương pháp ấy trong việc giải bài tập.
Có rất nhiều phương pháp để giải một bài toán hình học trong đó
phương pháp vectơ là phương pháp có hiệu quả. Nó cho ta lời giải một cách
chính xác tránh được những yếu tố trực quan, các suy diễn phức tạp của
phương pháp tổng hợp và là phương tiện hiệu quả để giải các bài toán hình
học.
Xuất phát từ sự say mê của mình và được sự giúp đỡ tận tình của thầy
Bùi Văn Bình em đã chọ đề tài:
“Vectơ trong mặt phẳng và các bài toán”
Khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1. Kiến thức cơ bản về vectơ.
Chương 2. Phương pháp vectơ để giải bài toán quỹ tích.
Chương 3. Sử dụng tích vô hướng giải các bài toán định lượng-định
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
4
Khóa luận tốt nghiệp đại học
tính.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Đưa ra hệ thống lý thuyết phù hợp, một số dạng toán thường gặp thông
qua phương pháp chung và các ví dụ minh họa. Giúp học sinh bước đầu thấy
được tầm quan trọng của những ứng dụng của vectơ trong giải toán, coi đây là
một công cụ mới nhằm giải toán một cách có hiệu quả hơn.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Với khuôn khổ, phạm vi của khóa luận, tác giả tập trung đi sâu tìm hiểu
về phương pháp vectơ để giải bài toán quỹ tích và sử dụng tích vô hướng giải
các bài toán định lượng- định tính.
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
5
Khóa luận tốt nghiệp đại học
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ
1.1. VECTƠ
1.1.1. Định nghĩa
Cho đoạn thẳng AB . Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm
điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B . Khi đó ta nói AB là một
đoạn thẳng có hướng.
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng
Vectơ có điểm đầu A , điểm cuối B được kí hiệu là AB và đọc là
“vectơ AB ”.
B
A
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như AA , BB ,… được gọi
là vectơ-không.
1.1.2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là
giá của vectơ đó.
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc
trùng nhau.
Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là cùng hướng, nếu chiều
từ A đến B trùng với chiều từ C đến D . Kí hiệu AB CD .
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
6
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Hai vectơ cùng phương AB và RS được gọi là ngược hướng, nếu
chiều từ A đến B ngược với chiều từ R đến S . Kí hiệu AB RS .
Như vậy, nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc
ngược hướng.
B
A
R
S
D
C
Chú ý :
+ Ta quy ước rằng vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ.
+ Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác vectơ-không thì
cùng hướng.
+ Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi
đã có hai vectơ đó cùng phương.
1.1.3. Độ dài của vectơ
Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là AB .
Như vậy, đối với vectơ AB , PQ ,… ta có:
AB AB BA , PQ PQ QP ,…
Theo đó, độ dài của vectơ-không bằng 0.
1.1.4 Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
7
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Nếu hai vectơ AB và CD bằng nhau thì ta viết AB CD .
Chú ý:
+ Quan hệ bằng nhau giữa hai vectơ là một quan hệ tương đương trên
tập các vectơ. Tập hợp các vectơ bằng nhau tạo thành một lớp tương đương
và được kí hiệu bằng một chữ cái thường và có mũi tên trên đầu như: a , b ,…
+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0 .
+ Khi cho trước vectơ a và điểm O , thì ta luôn tìm được một điểm A
duy nhất sao cho OA a .
1.1.5. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các
vectơ OA a và OB b . Khi đó góc AOB với số đo từ 00 đến 1800 được
gọi là góc giữa hai vectơ a và b .
Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là: a, b .
A
a
b
O
B
Nếu a, b 900 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là
a b hoặc b a .
Nhận xét :
+ a, b 00 a và b cùng hướng.
+ a, b 180
0
a và b ngược hướng.
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
8
Khóa luận tốt nghiệp đại học
1.2. Các phép toán vectơ
1.2.1. Phép cộng vectơ
1.2.1.1. Định nghĩa
Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm
B và C sao cho AB a , BC b . Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai
vectơ a và b .
Kí hiệu : AC a b
Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ.
a
B
b
C
A
Chú ý :
+ Nếu tổng của hai vectơ a và b là vec tơ không thì ta nói a là vectơ
đối của b hoặc b là vectơ đối của a .
Vectơ đối của vectơ a được kí hiệu là a .
+ Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng với vectơ a và có cùng
độ dài với vectơ a . Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0 .
1.2.1.2. Các tính chất
Với ba vectơ a , b , c tùy ý ta có:
1. Tính chất giao hoán : a b b a
2. Tính chất kết hợp : a b c a b c
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
9
Khóa luận tốt nghiệp đại học
3. Tính chất của vectơ không : a 0 0 a
1.2.1.3. Các quy tắc cần nhớ
Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta suy ra hai quy tắc sau đây :
a. Quy tắc ba điểm
Với ba điểm bất kì M , N , P ta có : MN NP MP
M
N
b. Quy tắc hình bình hành
P
Nếu OABC là hình bình hành thì ta có: OA OC OB
O
A
B
C
1.2.2. Hiệu của hai vectơ
1.2.2.1. Định nghĩa
Hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu a b là tổng của vectơ a và
vectơ đối của vectơ b , tức là : a b a b .
Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ
b
a
b
a
a
b
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
10
Khóa luận tốt nghiệp đại học
1.2.2.2. Quy tắc về hiệu hai vectơ
Nếu MN là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kỳ, ta luôn có :
MN ON OM .
1.2.3. Tích của một vectơ với một số
1.2.3.1. Định nghĩa
Tích của vectơ a với số thực k là một vectơ, kí hiệu là : k a được xác
định như sau :
1. Nếu k 0 thì vectơ k a cùng hướng với vectơ a .
Nếu k 0 thì vectơ k a ngược hướng với vectơ a .
2. Độ dài k a bằng k . a
Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một
số (hoặc phép nhân số với vectơ).
1.2.3.2. Các tính chất của phép nhân vectơ với số
Với hai vectơ bất kỳ a , b và mọi số thực k , l ta có :
1) k l.a kl .a
2) k l a k a la
3) k a b k a kb , k a b k a kb
4) k a 0 khi và chỉ khi k 0 hoặc a 0
1.3. Tích vô hướng của hai vectơ
1.3.1. Định nghĩa
Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác
định bởi : a.b a . b .cos a, b
Lưu ý :
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
11
Khóa luận tốt nghiệp đại học
a.b
+ Công thức tính góc giữa hai vectơ : cos a, b
a .b
+ Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ còn được viết dưới dạng sau :
1 2 2 2
- Dạng độ dài : a.b a b a b hay
2
1 2 2
a.b
a b a b
4
- Dạng tọa độ : Trong hệ tọa độ đêcac vuông góc Oxy cho vectơ
a x, y và b x, y . Khi đó : a.b x.x y. y
- Dạng hình chiếu : a.b a.b , trong đó b là hình chiếu của b trên
đường thẳng chứa vectơ a .
1.3.2. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ a , b , c tùy ý và mọi số thực k , ta có :
1) Tính chất giao hoán : a.b b.a
2) a.b 0 a b
3) k a b a kb k a.b
4) Tính chất phân phối đối với phép cộng : a b c a.b a.c
Tính chất phân phối đối với phép trừ : a b c a.b a.c
1.4. Định lí
+ Cho ba vectơ a , b , c trong mặt phẳng ( a không cùng phương với
b ) khi đó ta luôn tìm được cặp số thực m , n duy nhất sao cho : c na mb
1.5. Một số bài toán cơ bản
Bài toán 1.
1) Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB . Chứng minh rằng
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
12
Khóa luận tốt nghiệp đại học
MA MB 0 .
2) Chứng minh rằng điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ
khi với điểm M bất kỳ, ta có MA MB 2MI .
Chứng minh
1. Theo quy tắc ba điểm, ta có MA AM MM 0 . Mặt khác, vì M là trung
điểm của AB nên AM MB . Vậy
MA MB 0
2. Với điểm M bất kỳ, ta có :
MA MI IA
MB MI IB
Như vậy MA MB 2MI IA IB .
Ta biết rằng I là trung điểm của AB khi và chỉ khi IA IB 0 . Từ đó suy
ra điều phải chứng minh.
Bài toán 2.
1) Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi
GA GB GC 0 .
2) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta luôn có:
GA GB GC 3GO .
Chứng minh
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
13
Khóa luận tốt nghiệp đại học
A
G
C
B
I
D
1. Trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trung tuyến AI . Lấy D là
điểm đối xứng với G qua I . Khi đó BGCD là hình bình hành và G là trung
điểm của đoạn thẳng AD . Suy ra GB GC GD và GA GD 0 . Ta có :
GA GB GC GA GD 0 .
Ngược lại, giả sử GA GB GC 0 . Vẽ hình bình hành BGCD có I
là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó GB GC GD , suy ra
GA GD 0 nên G là trung điểm đoạn thẳng AD . Do đó ba điểm A , G , I
thẳng hàng GA 2GI , điểm G nằm giữa A và I .
Vậy trọng tâm của tam giác ABC .
2. Do G là trọng tâm ABC nên ta có:
GA GB GC 0
GO OA GO OB GO OC 0 , với O là điểm bất kỳ.
OA OB OC 3OG , với O là điểm bất kỳ.
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
14
Khóa luận tốt nghiệp đại học
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
2.1. Lớp bài toán tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện K
2.1.1. Phương pháp chung
Với dạng bài toán này ta cần chú ý một số quỹ tích cơ bản sau:
+ Với 3 điểm A , B , C và một số k R cho trước ta luôn có:
Nếu MA MB thì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB
Nếu MC k AB thì M thuộc đường tròn tâm C bán kính k AB
(với k 0 )
+ Nếu MA k BC thì:
Với k R thì điểm M thuộc đường thẳng qua A và song song với
BC
Với k R thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song song
với BC theo hướng BC
Với k R thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song song
với BC theo hướng CB
2.1.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC , tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:
a . MA k MB k MC 0
b . 1 k MA MB k MC 0
Lời giải
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
15
1
2
Khóa luận tốt nghiệp đại học
a . Ta có 1 MA k MB MC 0
MA kCB
MA k BC
Vậy 1 MA k BC M thuộc đường thẳng qua A và song song
với BC .
b . Ta có 2 MA k MA MB k MC 0
MA MB k MA MC 0
Gọi E , F theo thứ tự lần lượt là trung điểm của AB và AC , ta được:
2 ME EA ME EB k MF FA MF FC 0
2 ME 2k MF 0
ME k MF M thuộc đường trung bình EF của tam giác ABC .
Ví dụ 2 :
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:
3
a . MA MB MC MB MC
1
2
b . MA 3MB 2 MC 2MA MB MC
2
Lời giải
a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta có :
MA MB MC 3MG
Gọi I là trung điểm của BC , ta có:
MB MC 2 MI
3
Khi đó: 1 3MG 2MI
2
MG MI
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
16
Khóa luận tốt nghiệp đại học
M thuộc trung trực của đoạn GI
Vậy quỹ tích điểm M là trung trực của đoạn GI
b. Gọi K là điểm thỏa mãn hệ thức:
KA 3KB 2 KC 0 tồn tại duy nhất điểm K
Ta có:
MA 3MB 2 MC 2 MK
*
Mặt khác:
2 MA MB MC MA MB MA MC BA CA 2 AI
**
Từ * và ** suy ra 2 MK AI M thuộc đường tròn tâm
K , bán kính bằng AI
Ví dụ 3:
Trên 2 tia Ox và Oy của góc
xOy lấy 2 điểm M , N sao cho
OM ON a ( a là độ dài cho trước). Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN .
Lời giải:
x
M0
M
O
N
N0
y
Lấy 2 điểm M 0 , N 0 thuộc Ox, Oy sao cho: OM 0 ON 0
Giả sử OM k ON a k , với 0 k a
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
17
a
2
Khóa luận tốt nghiệp đại học
2k 2 a k
Khi đó: OM OM 0 , ON
ON 0
a
a
Vì I là trung điểm của MN ta được:
1 1 2k 2 a k
OI OM ON OM 0
ON 0
2
2 a
a
k a k
OM 0 M 0 I OM 0
ON 0
a
a
k
a k
M 0 I 1 OM 0
ON 0
a
a
aM 0 I a k ON 0 OM 0
a k
M 0I
M 0 N0
a
I M 0 N0
Vậy quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN là đoạn thẳng M 0 N 0 ,
trong đó M 0, N 0 là 2 điểm thỏa mãn: OM 0 ON 0
a
2
Ví dụ 4:
Cho tam giác ABC , hai điểm M , N di động trên các tia AB và sao
cho
AM CN
. Dựng hình bình hành MNCP . Tìm tập hợp những điểm P .
AB CA
Lời giải
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
18
Khóa luận tốt nghiệp đại học
A
N
M
P
C
B
D
Đặt AM k AB , k 0
NC k AC
Gọi D là đỉnh của hình bình hành ABCD . Khi đó ta có:
AD AB AC
AP AM MP
AM NC (do MNCP là hbh)
k AB k AC
k AB AC
1
2
Từ 1 và 2 AP k AD , k 0
P thuộc tia AD
Ngược lại, với mọi P0 thuộc tia AD ta có:
AP0 k0 AD ( với k0 0 )
CP0 CA k0 AB AC
CP0 k0 AB k0 1 AC
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
3
19
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Trên tia AB , AC lấy điểm M 0 , N 0 sao cho AM k0 AB , N 0C k0 AC
Ta có: N 0 M 0 AM 0 AN 0 k0 AB k0 1 AC 4
Từ 3 và 4 N 0 M 0 CP0 tứ giác M 0 N 0CP0 là hình bình hành.
Vậy quỹ tích của P chính là tia AD
Ví dụ 5:
Cho tam giác ABC , M là một điểm di dộng trên cạnh BC . Kẻ MP, MQ
lần lượt song song với AC , AB cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q . Vẽ hình
bình hành BMPR và CMQS. Tìm quỹ tích trung điểm I của RS .
Lời giải:
Ta có:
2 AI AR AS
AR AB BR
AB MP
AB AP AM
AS AC CS AC MQ AC AQ AM
Do đó 2 AI AB AC AP AQ 2 AM
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
20
Khóa luận tốt nghiệp đại học
2AI AB AC AM
Vì M BC nên: AM k AB 1 k AC 0 k 1
2 AI AB AC k AB 1 k AC
Do đó 2 AI 1 k AB AC
AB
AC
AI 1 k
k
2
2
1
0 k 1
2
Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB, AC khi đó:
2 AI 1 k AE k AF 0 k 1
I thuộc đoạn EF
Vậy quỹ tích trung điểm I của RS là đường trung bình của tam giác
ABC ứng với cạnh BC .
2.1.3. Bài tập đề nghị
Bài tập 1:
Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:
a. k MA MB k MC , k R
b. MA 1 k MB k MC 0 , k R
Hướng dẫn:
a. Quỹ tích điểm M là đường thẳng qua B và song song với AC .
b. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và BC .
Quỹ tích điểm M là đường trung bình EF của tam giác ABC .
Bài tập 2:
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC , M là điểm tùy ý trong mặt
phẳng:
a. Chứng minh rằng:
v 3MA 5MB 2 MC không đổi
b. Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
21
Khóa luận tốt nghiệp đại học
3MA 2MB 2MC MB MC .
Hướng dẫn:
a. Ta có:
v 3MA 5MB 2 MC 3 MA MB 2 MC MB 3BA 2 BC
b. Gọi E là điểm thỏa mãn hệ thức
3IA 2 IB 2 IC 0 tồn tại duy nhất điểm I
Ta được:
3MA 2MB 2MC 3 2 2 MI 3MI
(1)
Mặt khác:
MB MC CB
(2)
Thay (1), (2) vào hệ thức của câu b ta suy ra quỹ tích điểm M là đường
tròn tâm I , bán kính bằng
1
BC .
3
Bài tập 3:
Cho tam giác ABC , các điểm M , N , P di động trên các cạnh BC , CA và
AB sao cho
MB PA NC
. Dựng hình bình hành MNPQ . Tìm quỹ tích
MC PB NA
những điểm Q .
Hướng dẫn:
- Dựng hình bình hành ABCD
- Quỹ tích của Q là đoạn BD
Bài tập 4:
Cho tứ diện ABCD có AB CD . Các điểm M , N lần lượt thuộc các
cạnh AB và CD sao cho
AM DN
. Gọi I là điểm chia MN theo tỉ số k .
AB DC
Tìm tập hợp I khi M , N thay đổi.
Hướng dẫn:
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
22
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Gọi I1 , I 2 là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC sao cho
I1 A k I1 D , I 2 B k I 2C . Khi đó quỹ tích trung điểm I chính là đoạn I1I 2 .
2.2. Lớp bài toán tìm điểm M thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng
2.2.1. Phương pháp chung
Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dạng sau:
MA2 k 0 thì M thuộc đường tròn tâm A , bán kính R k
MA.MB k . Với A, B cố định và k không đổi
Gọi I là trung điểm của AB ta được:
k MA.MB MI IA MI IB MI IA MI IA MI 2 IA2
MI 2 k IA2 k
Đặt l k
1
AB 2
4
1
AB 2 . Khi đó:
4
+ Nếu l 0 thì quỹ tích M là tập rỗng
+ Nếu l 0 thì quỹ tích M chính là điểm I
+ Nếu l 0 thì M thuộc đường tròn tâm I , bán kính R l .
Mở rộng:
n
Nếu ta có, MA. i MAi k , với A, Ai
i 1
n
i 1, n cố định,
i
0 và
i 1
k không đổi.
Khi đó:
n
- Gọi là K điểm thỏa mãn
KA 0 suy ra tồn tại duy nhất điểm cố
i
i
i 1
định K
n
n
- Từ đó i MAi i MK MK , i
n
i 1
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
i 1
i 1
23
Khóa luận tốt nghiệp đại học
k
- Khi đó ta được MA.MK
+ Nếu MA.BC k , với A, B, C cố định. Khi đó:
Gọi M 0 , A0 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M và A lên BC ,
ta được:
k MA.BC M 0 A0 .BC
M 0 A0
k
BC
Có giá trị không đổi và do A0 cố định nên M 0 cũng cố định. Vậy điểm M
thuộc đường thẳng vuông góc với BC tại M 0
Đặc biệt khi k 0 thì M thuộc đường thẳng qua A và vuông góc với BC
2.2.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tìm tập hợp những điểm M sao cho
a 2
MA.MB MB.MC MC.MA
4
1
Lời giải
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC , ta có:
MA MB MC 3MO
2
2
MA MB MC 9MO
MA2 MB 2 MC 2 2 MA.MB MB.MC MC.MA 9 MO 2
Mặt khác:
2 2 2
MA2 MB 2 MC 2 MA MB MC
2
MO OA MO OB
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
24
2
MO OC
2
2
Khóa luận tốt nghiệp đại học
3MO 2 OA2 OB 2 OC 2 2MO OA OB OC
3MO 2 OA2 OB 2 OC 2 (do OA OB OC 0 )
3MO 2 a 2
MA2 MB 2 MC 2 3MO 2 a 2 3
Thay 3 vào 2 ta được:
2 MA.MB MB.MC MC.MA 9 MO 2 3MO 2 a 2
a2
2
MA.MB MB.MC MC.MA 3MO
2
Khi đó 1 được chuyển về dạng:
3MO 2
a2 a2
a2
a
MO 2
MO
2
4
4
2
Suy ra M thuộc đường tròn tâm O bán kính R
a
2
Vậy quỹ tích các điểm M là đường tròn tâm O bán kính R
a
2
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:
a. AM . AB AC. AB
b. 2MB 2 MB.MC a 2 , với a BC
Lời giải
a. Ta biến đổi 1 về dạng:
1 AM AC AB 0
MC . AB 0
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán
25
(1)
2
